Презентация по математике на тему "Векторный метод решения иррациональных уравнений и неравенств" (9-11 класс)

• 1 слайд

  
  ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
  
  
  Кузнецова Елена Борисовна, учитель математики
  МБОУ СОШ № 46 с УИОП
  г. Сургут
  

• 2 слайд

  Задача 1
  Доказать, если 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 =𝟏,
  то 𝒙 𝟒 +𝟏 + 𝒚 𝟒 +𝟏 + 𝒛 𝟒 +𝟏 ≥ 𝟏𝟎
  Доказательство:
  Пусть 𝑎 ( 𝑥 2 ;1), 𝑏 ( 𝑦 2 ;1), 𝑐 ( 𝑧 2 ;1);
  𝑑 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = ( x 2 + y 2 + z 2 ; 1+1+1), 𝑑 ( 1; 3),
  | 𝑎 |= 𝑥 4 +1 ; | b |= 𝑦 4 +1 ; | 𝑐 |= 𝑧 4 +1 ;
  | 𝑑 |= 1+9 = 10 .
  Для любых векторов 𝑎 ( 𝑎 1 ; 𝑎 2 ), 𝑏 ( 𝑏 1 ; 𝑏 2 ), 𝑐 ( 𝑐 1 ; 𝑐 2 ) справедливо неравенство | 𝑎 | + | 𝑏 | + +| 𝑐 | ≥ | 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 | => 𝒙 𝟒 +𝟏 + 𝒚 𝟒 +𝟏 + + 𝒛 𝟒 +𝟏 ≥ 𝟏𝟎
  

• 3 слайд

  Задача 2
  Решить неравенство (𝟔− 𝒙) 𝟐 +𝟒 + (𝒙− 𝟐) 𝟐 +𝟏 ≤ 5
  Решение:
  Пусть 𝑎 (6-x; 2), 𝑏 (x-2; 1) и 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 = ( 4;3 );
  | 𝑎 |= (𝟔− 𝒙) 𝟐 +𝟒 ; | 𝑏 | = (𝒙− 𝟐) 𝟐 +𝟏 ;
  | 𝑐 | =| 𝑎 + 𝑏 |= 16+9 = 5.
  По условию | 𝑎 |+ | 𝑏 | ≤ 5, а по неравенству треугольника | 𝑎 |+ | 𝑏 | ≥| 𝑎 + 𝑏 |=5 =>| 𝑎 |+ | 𝑏 | = 5 => 𝑎 и 𝑏 коллинеарны и 𝑎 ↑↑ 𝑏 => 6−𝑥 𝑥−2 = 2 1 ;
  x= 10 3 Ответ: 10 3
  

• 4 слайд

  Задача 3
  Решить неравенство 𝒙+𝟏 + 𝟐𝒙−𝟑 + 𝟓𝟎−𝟑𝒙 ≤ 12
  Решение: ОДЗ 𝟑 𝟐 ; 𝟓𝟎 𝟑
  Пусть 𝑎 (1;1;1), 𝑏 ( 𝑥+1 ; 2𝑥−3; 50−3𝑥 )
  𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑥+1 + 2𝑥−3 + 50−3𝑥
  | 𝑎 |= 3 ; | 𝑏 | = 48 ;
  Очевидно, 𝑎 ⋅ 𝑏 ≤ | 𝑎 |⋅ | 𝑏 |,
  𝑥+1 + 2𝑥−3 + 50−3𝑥 ≤ 3 ⋅ 48 =12
  справедливо для любых x из ОДЗ => х∈ 𝟑 𝟐 ; 𝟓𝟎 𝟑 - решение неравенства
  

• 5 слайд

  Задача 4
  Решить неравенство 𝟏𝟑𝒙−𝟔− 𝟔𝒙 𝟐 + 𝟐𝟎𝒙− 𝟕−𝟏𝟐𝒙 𝟐 + 𝟓𝒙−𝟐−𝟐𝒙 𝟐 ≥ 4 - x
  Решение:
  (3−2𝑥)(3𝑥−2) + (7−6𝑥)(2𝑥−1) + (2−𝑥)(2𝑥−1) ≥
  ≥4 – x, ОДЗ: 2 3 ; 7 6
  Пусть 𝑎 ( 7−6𝑥 ; (2−𝑥) ; (3𝑥−2) ),
  𝑏 ( (2𝑥−1) ; 2−𝑥 ; (3−2𝑥) ).
  𝑎 ⋅ 𝑏 = (3−2𝑥)(3𝑥−2) + (7−6𝑥)(2𝑥−1) + + (2−𝑥)(2𝑥−1)
  | 𝑎 |= 7−6𝑥+2𝑥−1+3𝑥−2 = 4−𝑥
  | 𝑏 | = 2𝑥 −1+2 −𝑥+3−2𝑥 = 4−𝑥
  | 𝑎 |⋅ | 𝑏 | = 4 – x => 𝑎 ⋅ 𝑏 ≥ | 𝑎 |⋅ | 𝑏 | , но 𝑎 ⋅ 𝑏 ≤ | 𝑎 |⋅ | 𝑏 | =>
  

• 6 слайд

  Задача 4
  𝑎 ⋅ 𝑏 = | 𝑎 |⋅ | 𝑏 | => 𝑎 и 𝑏 коллинеарны и
  𝑎 ↑↑ 𝑏 => 7−6𝑥 2𝑥−1 = 2−𝑥 2−𝑥 = 3𝑥−2 3−2𝑥 ;
  7−6𝑥 = 2𝑥−1 ;
  7 – 6x = 2x – 1;
  𝑥=1
  Ответ : x = 1
  

• 7 слайд

  Задача 5
  Решить уравнение
  x 𝟐𝒙−𝟏 +2 𝒙−𝟏 = 𝒙 𝟐 +𝒙−𝟏 ⋅ 𝟐𝒙+𝟑
  Решение:
  Пусть 𝑎 𝑥; 𝑥−1 , 𝑏 ( 2𝑥−1 ;2).
  | 𝑎 |= 𝑥 2 +𝑥 −1 ; | 𝑏 | = 2𝑥+3
  𝑎 ⋅ 𝑏 = x 2𝑥−1 +2 𝑥−1 ,
  | 𝑎 |⋅ | 𝑏 | = 𝑥 2 +𝑥−1 ⋅ 2𝑥+3
  𝑎 ⋅ 𝑏 = | 𝑎 |⋅ | 𝑏 | => 𝑎 и 𝑏 коллинеарны => 𝑥 2𝑥−1 = 𝑥−1 2 , x≥1
  2 𝑥 2 +3x-1=0, x = −3± 17 4 < 1
  Ответ: корней нет
  

• 8 слайд

  Задача 6
  Решить уравнение
  2 𝒙−𝟏 +5x = (𝒙 𝟐 +𝟒)(𝒙+𝟐𝟒)
  Решение:
  ОДЗ x≥1.
  Пусть 𝑎 2;𝑥 , 𝑏 ( 𝑥−1 ;5).
  𝑎 ⋅ 𝑏 = 2 𝑥−1 +5x , | 𝑎 |⋅ | 𝑏 | = (𝑥 2 +4)(𝑥+24) =>
  𝑎 ⋅ 𝑏 = | 𝑎 |⋅ | 𝑏 | => 𝑎 и 𝑏 коллинеарны => 2 𝑥−1 = 𝑥 5 ,
  f(x)= 2 𝑥−1 , g(x)= 𝑥 5 . f(x) – непрерывная и убывающая функция при x>1, g(x) - непрерывная и возрастающая на Ох
  => уравнение имеет не более одного корня,
  найдем подбором х=5.
  Ответ: 5
  

• 9 слайд

  Задача 7
  Решить систему уравнений
  
  
  
  Решение:
  Пусть 𝑎 x+2;y , 𝑏 (x - 2;y), | 𝑎 |= (𝑥+2) 2 + 𝑦 2 | 𝑏 | = (𝒙−𝟐) 𝟐 + 𝑦 2 . Пусть 𝑐 = 𝑎 - 𝑏 = ( 4;0 ), | 𝑐 |=4.
  | 𝑎 |+ | 𝑏 |= | 𝑐 | => 𝑎 и 𝑏 коллинеарныe => 𝑥+2 𝑥−2 = 𝑦 𝑦 .
  Если y ≠ 0, то 𝑥+2 𝑥−2 = 1 - ПРОТИВОРЕЧИВО.
  Пусть y =0 => 𝑥+2 + 𝑥−2 =4 𝑥 2 −6𝑥+5=0 , при x=1 𝑥+2 𝑥−2 < 0 => x=1, y=0. Ответ: x=1, y=0
  

• 10 слайд

  СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ