Презентация по математике на тему:"Обобщающий урок по теме: Прогрессии"

• 1 слайд

  АРИФМЕТИЧЕСКАЯ
  И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ
  

• 2 слайд

  Девиз:
  “Дорогу осилит идущий,
  а математику - мыслящий”.
  

• 3 слайд

  Содержание
  Назад в Историю
  Лови ошибку
  Устная работа
  Переменка 1
  Переменка 2
  Практические задачи
  Это интересно
  

• 4 слайд

  НАЗАД, В ИСТОРИЮ!
  Понятие числовой последо -вательности возникло и раз- вивалось задолго до соз - дания учения о функциях.
  
  На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий
  АРХИМЕД (ок. 287–212 гг.
  до н.э)
  
  

• 5 слайд

  Прогрессии в древности
  Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.
  
  

• 6 слайд

  Древний Египет
  
  Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в V в. до н. э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:
  
  

• 7 слайд

  Древний Египет
  Задача из египетского папируса Ахмеса:
  «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры»
  Формула, которой пользовались египтяне:
  
  

• 8 слайд

  Англия XVIII век
  В XVIII в. в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессий:
  Арифметическая
  Геометрическая
  

• 9 слайд

  Германия
  Нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи еще учеником начальной школы.
  1 + 2 + 3 + 4 + ….. + 99 = (1 + 99) + (2 + 98) + …… + (49 + 51) + 50 = 100 ∙ 49 + 50 = 4900 + 50 = 4950
  Решение
  КАРЛ ГАУСС
  (1777 – 1855)
  

• 10 слайд

  Лови ошибку!
  a
  b
  

• 11 слайд

  Проверь себя!
  a
  b
  

• 12 слайд

  Устная работа
  П
  Р
  Е
  С
  Р
  И
  С
  Я
  О
  Г
  

• 13 слайд

  Фигуры составляются из квадратных плиток по образцу, показанному на рисунке. Сколько требуется квадратных плиток для составления десятой фигуры?
  
  
  
  Ответ: 22 плитки
  
  

• 14 слайд

  
  Назовите пропущенные члены арифметической прогрессии:
  5;__;-7;-13;___;___;…
  
  Ответ: 5; -1; -7; -13; -19; -25;…
  

• 15 слайд

  Дана арифметическая последовательность
  -8;-16;…
  Найти разность арифметической прогрессии.
  Ответ: d=-8
  

• 16 слайд

  Найти знаменатель геометрической прогрессии, если
  
  
  
  Ответ:
  
  

• 17 слайд

  Найти
  
  
  
  
  Ответ:
  

• 18 слайд

  Найти пятый член геометрической прогрессии
  
  
  
  Ответ:
  
  

• 19 слайд

  Составьте геометрическую прогрессию с = 5, q =-2. Найдите первые пять членов.
  
  Ответ:5;-10;20;-40;80.
  

• 20 слайд

  Найдите сумму первых 20 членов арифметической прогрессии, если
  
  
  Ответ:
  

• 21 слайд

  Найдите сумму геометрической прогрессии
  
  
  
  Ответ:
  
  

• 22 слайд

  ПОЗДРАВЛЯЮ!
  Какую бы ты оценку (если это не 5) ни получил сегодня на уроке, учитель поставит тебе на 1 балл выше.
  Тебе выпал +1.
  

• 23 слайд

  Переменка 1
  Один из учеников, вызванный к доске, должен идти от стола учителя к двери по прямой. Первый шаг он делает длиной 1 м., второй 1/2м, третий 1/4 м и т. д. так, что длина следующего шага в два раза меньше длины предыдущего. Дойдет ли ученик до двери, если расстояние от стола до двери по прямой 3 м?
  

• 24 слайд

  Решение 1
  Составим последовательность чисел
  Зная формулу
  Значит
  Вывод: не дойдет!
  Откуда
  

• 25 слайд

  Переменка 2
  Петя довольный пришел из школы и предложил папе
  заключить сделку: в учебном году 34 недели; за 1 неделю Петя получит
  1 копейку, за вторую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т.д.
  
  

• 26 слайд

  Решение 2
  Геометрическая прогрессия
  
  

• 27 слайд

  Прогрессии в жизни и быту
  Для решения некоторых задач по физике, геометрии, биологии, химии, экономике, строительному делу используются формулы арифметической и  геометрической прогрессий.
  

• 28 слайд

  Старинные задачи
  1. Задача-легенда
  2 Задача из папируса Райдна
  3 Задача из арифметики Магницкого
  4 Из «Курса чистой математики» Е.Д Войтяховского
  Биология
  Физика
  Экономика
  Математика
  Разное
  
  

• 29 слайд

  Задача легенда
  Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 зерно, за вторую — 2 зерна, за третью — 4 зерна и т. д. Обрадованный царь посмеялся над Сетой и приказал выдать ему такую «скромную» награду. Стоит ли царю смеяться?
  Решение
  

• 30 слайд

  Решение задачи - легенды
  n = 64
  Ее сумма равна
  
  18 446 744 073 709 551 615
  Дано ; 1, 2, 4, 8, 16…
  

• 31 слайд

  Вывод
  Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться.
  Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.
  

• 32 слайд

  Старинные задачи
  Задача из папируса Райнда: «У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»
  Решение
  

• 33 слайд

  Решение задачи из папируса Райнда
  Людей всего 7, кошек = 49, они съедают всего = 343 мыши, которые съедают всего = 2401 колосьев, из них вырастает = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19 607.
  

• 34 слайд

  Задача из арифметики Магницкого
  Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, обретя лошадь, раздумал и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия:
  "Если по-твоему цена  лошади высока, то купи ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне 1/4 коп., за второй-1/2коп., за третий-1коп., и т.д.“
  Покупатель, соблазненный низкой ценой, и желая даром получить  лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей.
  
  Решение
  

• 35 слайд

  Решение задачи из арифметики Магницкого
  1. Составим последовательность чисел
  2. Данная последовательность является геометрической
  
  прогрессией со знаменателем q =2, n = 24.
  3. Попытаемся подсчитать сумму
  5. Имеем
  4. Зная формулу
  

• 36 слайд

  Из "Курса чистой математики" Е.Д. Войтяховского
  Служилому воину дано вознаграждение за первую рану 1 к., за вторую 2 к., за третью 4 к., и т.д. Всего воин получил 655 р. 35 к. Спрашивается число его ран.
  Решение
  

• 37 слайд

  Решение задачи о воине
  Геометрическая прогрессия:
  1,2,4,8,10,... Знаменатель равен 2.
  Сумма 65535. S(n) = 1*(1-q^n)/(1-q)
  (1-2^n)= 65535*(1-2), 65536=2^n, n =16
  Ответ. 16 ран.
  

• 38 слайд

  Биология
  В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Записать колонию, рожденную одной бактерией за 7 минут
  Решение
  Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория- туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления их стало 320.
  Решение
  
  

• 39 слайд

  Решение 1
  Число инфузорий каждый раз увеличивается в 2 раза, значит, количество инфузорий увеличивается в геометрической прогрессии.
  
  
  
  
  
  q=2
  Ответ:5 инфузорий было первоначально.
  

• 40 слайд

  Решение 2
  Зная формулу
  Данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем
  q =2, n = 7.
  Получаем
  м
  

• 41 слайд

  Физика
  1) Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло дна шахты через 5 секунд после начала падения”.
  Решение
  2) Ступенчатый шкив состоит из десяти ступеней. Диаметры их составляют арифметическую прогрессию. Наибольший диаметр 300 мм, наименьший – 120 мм. Найдите остальные диаметры (Шкив – колесо, которое передает движение приводному ремню или канату).
  Решение
  

• 42 слайд

  Решение 1
  
  Арифметическая прогрессия
  м,
  м,
  с
  Ответ: глубина шахты 122,5 м.
  

• 43 слайд

  Решение 2
  a1=120; a10= 300.
  a10= a1 + 9d; 9d = 300-120=180; d = 20.
  Ответ: 120; 140; 160; 180; 200; 220; 240; 260; 280; 300 мм.
  

• 44 слайд

  Экономика
  Срочный вклад в банке ежегодно увеличивается на 90%. Каким станет вклад через 3 года, если вначале он был равен 800 р.?
  Решение
  
  В романе М .Е.Салтыкова-Щедрина «Господа Головлевы» сын Порфирия Владимировича Петя проиграл в карты казенные 3000 руб. и попросил у бабушки эту сумму взаймы. Он говорил: «Я бы хороший процент дал. Пять процентов в месяц». Подсчитайте, сколько денег готов был вернуть Петя через год, согласись бабушка на его условия?
  Решение
  

• 45 слайд

  НАСЛЕДСТВО
  Джентльмен получил наследство. Первый месяц он истратил 100$, а каждый следующий месяц он тратил на 50$ больше, чем в предыдущий. Сколько $ он истратил за второй месяц? За третий? За десятый? Каков размер наследства, если денег хватило на год такой безбедной жизни?
  
  Решение
  

• 46 слайд

  Решение
  Применив формулу
  ,получаем:
  
  Применив формулу
  

• 47 слайд

  Решение 1
  
  Геометрическая прогрессия
  b1 = 800; q = 1,9
  Через 3 года руб
  

• 48 слайд

  Решение 2
  В первый месяц Петя уплачивает
  3 000 *1,15=3450 руб. следующим платежом будет
  3 000 *
  Получается геометрическая прогрессия с первым членом прогрессии 3 450 и знаменателем , нас интересует сумма 12 членов. По формуле суммы n - имеем, что
  
  
  
  Ответ: 16 050,75 руб.
  

• 49 слайд

  Математика
  Величины углов выпуклого четырехугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью 42°. Найдите эти углы.
  Решение
  
  Решить уравнение: 2 + 5 + 8 + …+ х = 155 (слагаемые составляют арифметическую прогрессию).
  Решение
  

• 50 слайд

  Решение 1
  Решение: d = 5 – 2 = 3,
  Sn = (2a1 + d(n – 1) ) * n : 2,
  155 =( 2 * 2 + 3(n -1)) * n : 2,
  n = 10.
  an = 2 + 3 * 9 = 29.
  х = 29.
  Ответ: 29.
  

• 51 слайд

  Решение 2
  Дано: арифметическая прогрессия
  т. к.
  Ответ:
  

• 52 слайд

  Разное
  Курс воздушных ванн начинают с 15 мин. в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 час 45 минут?
  Решение
  При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?
  Решение
  

• 53 слайд

  Решение 1
  Арифметическая прогрессия
  мин
  ,
  мин
  Найти:
  Ответ: 10 дней следует принимать ванны.
  

• 54 слайд

  Решение 2
  Кладку бревен рассмотрим в виде арифметической прогрессии, где а1= 1, а2= 2, аn= 12
  d = 2 – 1 = 1
  an = a1+ d · (n - 1)
  12 = 1 + n – 1
  n = 12
  
  
  
  
  
  Ответ: 78 бревен.
  

• 55 слайд

  Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями! Так, вспомним строки из"Евгения Онегина".
  
  ...Не мог он ямба от хорея,
  Как мы не бились отличить...
  
      Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.
      Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7...
  Прогрессии в литературе
  

• 56 слайд

  Примеры
  «Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...»
  «Я пропАл, как звЕрь в загОне»
  Прогрессия: 2; 4; 6; 8...
  Ямб
  Хорей
  Прогрессия: 1; 3 ;5; 7...
  Б. Л. Пастернак
  

• 57 слайд

  Часто говорят, что цифры управляют миром; по крайней мере нет сомнения в том, что цифры показывают, как он управляется. (И. Гете)
  Математика - это искусство называть разные вещи одним и тем же именем. (А. Пуанкаре )
  

• 58 слайд

  Заключение
  Закончился двадцатый век.
  Куда стремится человек?
  Изучен космос и моря,
  Строенье звезд и вся земля.
  Но математиков зовет
  Известный лозунг
  «Прогрессия — движение вперед».