Презентация по математике "Теорема Пика"

• 1 слайд

  Теорема Пика
  Использование формулы Пика для нахождения площади многоугольников
  Подготовила: учитель математики
  ГБОУ «Шебекинская гимназия-интернат»
  Клевцова С.В.
  

• 2 слайд

  Георг Александр Пик 
  (10 августа 1859 – 13 июля 1942)
  Учёба
  Георга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг окончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. В 1880 году Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов». В 1881 году он получил место на кафедре физики в Пражском университете. В 1882 году написал работу «Об интеграции гиперэллиптических дифференциалов логарифмами». В 1884 году Пик уехал в Лейпцигский университет. Позже, в 1885 году, он вернулся в Прагу, где и прошла оставшаяся часть его научной карьеры.
  Работы
  Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, лемма Шварца — Пика. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.
  

• 3 слайд

  Формула Пика
  
  В вариантах ЕГЭ присутствует целая группа заданий, в которых дан многоугольник, построенный на клеточной бумаге, и поставлен вопрос о нахождении его площади. Масштаб клетки это один квадратный сантиметр.
  
  Площади типовых многоугольников, таких как параллелепипед, трапеция и треугольник, легко найти через соответствующие формулы площадей фигур. Но что делать, если у представленной фигуры нет специальной формулы нахождения площади? В таком случае уместно использование формулы Пика для нахождения площади многоугольника.
  
  М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)
  N – количество узлов внутри треугольника
  *Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.
  Формула Пика
  

• 4 слайд

  Доказательство теоремы Пика
  Сначала заметим, что формула Пика верна для единичного квадрата. Действительно, в этом случае мы имеем    и .
  Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны a и b . Имеем в этом случае  
  и, по формуле Пика, 
  Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на осях координат. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами  и , рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат целочисленных точек.
  Тогда для этого случая
  и получаем, что 
  
  
  
  
  
  
   
  
  Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник (см. рисунки). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.
  

• 5 слайд

  
  Остается сделать последний шаг: перейти от треугольников к многоугольникам. Любой многоугольник можно разбить на треугольники (например, диагоналями). Поэтому нужно просто доказать, что при добавлении любого треугольника к произвольному многоугольнику формула Пика остается верной.
  Пусть многоугольник M и треугольник T  имеют общую сторону. Предположим, что для M формула Пика справедлива, докажем, что она будет верна и для многоугольника, полученного из M добавлением T. Так как M и T имеют общую сторону, то все целочисленные точки, лежащие на этой стороне, кроме двух вершин, становятся внутренними точками нового многоугольника. Вершины же будут граничными точками. Обозначим число общих точек через  и получим
    — число внутренних целочисленных точек нового многоугольника,
   — число граничных точек нового многоугольника.
  Из этих равенств получаем
  
  Так как мы предположили, что теорема верна для M и для T по отдельности, то
  
  Тем самым, формула Пика доказана.
  
  Теорема Пика доказана.
  

• 6 слайд

  Рассмотрим пример.
  1. Возьмём многоугольник без специальной формулы нахождения площади:
  
  2. Отметим узлы:
  M = 11 (обозначены красным)
  N = 5 (обозначены синим)
  Ответ: 9,5
  
  

• 7 слайд

  Источники
  https://matematikalegko.ru/formuli/ploshhad-figury-na-liste-v-kletku-formula-pika.html
  
  http://hijos.ru/2011/09/14/formula-pika/
  
  https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9F%D0%B8%D0%BA%D0%B0
  
  https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D0%BA,_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3