Презентация по высшей математике "Использование математических моделей при изучении экологических дисциплин"

Преподаватель: Жинелеева Галина Николаевна

Дисциплина: «Высшая математика»

Специальность: «Прикладная экология»

Использование математических моделей при изучении экологических дисциплин.

Экология - одно из слов, появившихся сравнительно недавно у всех на устах и на страницах газет и журналов. Еще в 60-х годах нашего столетия почти никто, кроме узких специалистов, его не знал, да и большинство из тех, кто знал, использовал в таком смысле, который вряд ли способен заинтересовать широкую общественность. А между тем, термину более 120 лет.

В 1869 г. немецкий естествоиспытатель Эрнст Геккель предложил составной термин «экология» («эко» - дом, жилище, местопребывание и «логос» - наука, знание) как название раздела биологии, ставшего самостоятельным.

Первоначально этот термин применялся лишь тогда, когда шла речь о взаимодействии растительного и животного мира с окружающей средой.

Но постепенно пришло понимание того, что человек – природное существо, его образ жизни, его судьба, его сознание неотделимы от окружающей среды и она, окружающая среда, составляет неотделимую часть его бытия и все это должно стать предметом специального изучения.

Во взаимодействии «Человек - Природа» непрерывно возникают проблемы, для решения которых возникает необходимость того, чтобы рядом с экологом работал биолог и физик, а с геологом – химик. Для их взаимопонимания необходим язык, объединяющий эти столь различные науки – этим языком и является математика.

Невозможно представить себе современную экологию без широкого применения математического моделирования. Математические модели в экологии используются практически с момента возникновения этой науки. Модели помогают установить некоторые закономерности развития отдельных популяций, а также сообществ. Может показаться удивительным, что люди пытаются воссоздать живую природу в искусственной математической форме, но для этого есть причины:

- модели помогают выразить с помощью нескольких параметров важные разрозненные свойства большого числа уникальных наблюдений, что облегчает экологу анализ рассматриваемого процесса или проблемы.

- модели выступают в качестве «общего языка», с помощью которого может быть описано каждое уникальное явление; свойства таких явлений становятся более понятными.

- модель может служить образцом «идеального объекта», при сравнении с которым можно оценивать и измерять реальные объекты и процессы.

В отличие от физики, где «модель» часто является точно установленным законом природы, в экологии модель гораздо более условна. Ее адекватность реальности проверяется лишь экспериментально и лишь тогда можно сделать вывод о полезности соответствующей модели (иначе она была бы лишь математическим упражнением).

Рассмотрим некоторые примеры применения математических моделей при изучении химических и экологических дисциплин в колледже по специальности «Прикладная экология».

1. Применение функций к моделированию экологических процессов.

1. Дробно-рациональная зависимость.

Изучая размножение микроорганизмов на разных питательных веществах (субстратах) французский микробиолог Ж. Моно показал, что в большинстве случаях зависимость скорости поедания субстрата микроорганизмами от концентрации S субстрата может описываться уравнением:

,

где - максимальная скорость поедания субстрата;

- постоянная.

Графиком функции является гипербола.

2.Показательная зависимость.

При изучении различных природных процессов чаще всего встречаются зависимости между переменными величинами, которые описываются показательной функцией.

Так размножение большинства бактерий описывается показательной зависимостью: ,

где - количество бактерий в момент времени ; - начальное количество бактерий в момент времени ; - константа скорости размножения бактерий, которая определяется экспериментально.

Формула показывает, что, с каждой отдельной клетки через каждые десять минут появляется две клетки, еще через десять минут клеток будет уже четыре, потом восемь и т. д., т. е. эти числа образуют геометрическую прогрессию.

Экспоненциальное возрастание, начиная с небольших чисел, приводит до гигантских величин, которые увеличиваются с молниеносной скоростью. Но для большинства экологических процессов значение переменных не могут возрастать неограниченно.

Для описания таких процессов используется показательная зависимость: .

Так, действие токсичных веществ на организмы, которые укорачивают продолжительность их жизни, описывается зависимостью: , где

- количество вещества, действующего на организм;

- средняя продолжительность жизни исследуемых организмов;

-максимальная продолжительность жизни;

- коэффициент, который определяется экспериментально для каждой популяции.

Г

Т

рафик функции имеет вид:

0

p

_{II. Использование дифференциальных уравнений к моделированию экологических процессов.}

Аппарат дифференциальных уравнений широко используется для построения динамических моделей экологических процессов, т. е. для исследования величин, изменяющихся во времени.

1. Анализ кислородного баланса водоемов.

Процесс разложения отходов и формирование кислородного баланса в водоеме описываются уравнениями:

; (1) , где

L- биохимическое потребление кислорода;

D- дефицит кислорода в воде вследствие загрязнения;

-скорость потребления кислорода на разложение отходов - скорость растворения кислорода атмосферы в воде через поверхностный слой.

Интегрируя уравнения (1) получим зависимость дефицита кислорода в воде от времени:

(2)

С помощью формулы (2) можно ответить на вопросы:

• каков будет максимальный дефицит кислорода в реке?

• на каком расстоянии от источника выбросов он имеет место?

• через какое время после сброса сточных вод наступает максимальное понижение концентрации кислорода в реке?

2. Основные закономерности роста популяций.

Динамика роста популяции по гиперболе описывается следующим уравнением:

.

Его решение имеет вид: ,

где - численность популяции;

- момент времени, при котором численность популяции становится равной бесконечно большой величине; - константа.

Гиперболический рост описывает взрывоподобное увеличение численности народонаселения. Параметры гиперболической кривой и величина могут быть определены методом наименьших квадратов.

Уравнение, описывающее изменение численности популяции имеет вид (экспоненциальный рост): .

Его решение имеет вид: ,

где - постоянная скорости размножения популяции; - начальная численность популяции.

3. Конкурентное взаимодействие популяций в биоценозе.

Типы взаимодействия биологических видов в биоценозе различны: нейтрализм, конкуренция, хищничество, паразитизм, симбиоз.

Система дифференциальных уравнений, которая описывается во взаимодействии «хищник – жертва» имеет вид:

;

,

где:

и - численность популяции жертвы и хищника;

- коэффициент прироста численности жертвы в отсутствии давления со стороны хищника;

-коэффициент, описывающий изменение численности хищника в отсутствии жертвы;

-коэффициент, описывающий изменение численности жертвы при встрече с хищником;

- коэффициент, описывающий изменение численности хищника при встрече с жертвой.

III. Использование методов математической статистики к моделированию экологических процессов.

Динамика экологических процессов очень сложна и контролируется большим количеством факторов, большая часть из которых нестабильна, вследствие чего влияние каждого из них на процесс меняется. Вследствие этого количественные характеристики процесса хаотично меняются около своих средних значений. Поэтому процесс не удается описать общей функциональной зависимостью, и таким образом, прогнозировать его дальнейшее развитие в подробных деталях. В таких случаях для моделирования экологического процесса применяют математико-статистические методы. При построении статистической модели исследуемого процесса собирают экспериментальные данные про его параметры, одновременно фиксируя значения наиболее влияющих факторов.

Рассмотрим задачу:

В результате измерений зависимости концентрации аммиака в реке от расстояния до места сброса получена таблица:

, км

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

С, мг/л

1,24

1,10

0,92

0,88

0,64

0,59

0,41

0,30

0,22

0,00

Построить статистическую зависимость , используя метод наименьших квадратов.

Решение:

Экспериментальные данные отразим в виде точек на координатной плоскости:

1,5

.

1,0

…

.

.

0,5

.

.

.

.

.

.

.

50

100

0

Убеждаемся, что экспериментальные точки приближенно лежат на одной прямой. Будем считать, что между величинами и линейная зависимость:

.

Коэффициенты а и b найдем по методу наименьших квадратов:

; (3).

Составим расчетную таблицу:

1

10

1,24

100

12,4

2

20

1,10

400

22

3

30

0,92

900

27,6

4

40

0,88

1600

35,2

5

50

0,64

2500

32

6

60

0,59

3600

35,4

7

70

0,41

4900

28,7

8

80

0,30

6400

24

9

90

0,21

8100

19,8

10

100

0,00

10000

0

550

6,30

38500

237,1

Подставим значение из таблицы в формулы (3):

;

Итак, зависимость концентрации аммиака в реке от расстояния от места сброса имеет вид: .

Современная наука характеризуется глубоким проникновением математических методов в различные отрасли природоведения. Существенно возрастает роль математики в решении экологических проблем. Обработка экспериментальных данных с использованием математической статистики - это лишь наиболее распространенное, но не единственное и не самое важное применение математики в экологии.

В настоящее время деятельность человека оказывает значительную нагрузку на окружающую среду. Поэтому сегодня любой проект перед запуском в действие должен пройти детальную экологическую экспертизу, базой для которой является построение адекватной математической модели. Только с помощью математических методов можно учесть взаимодействие различных факторов, которые определяют структуру и особенности функционирования природных систем.

Литература

1. Берешко И. Н., Бетин А. В. Математические модели в экологии Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского

«Харьковский авиационный институт» 2006 – 70 с.

2. Романов М. Ф., Федоров М. П. Математические модели в

экологии. — СПб: Иван Федоров, 2003. — 240 с.

3. Федоров М. П., Романов М. Ф. Математические основы

экологии. — СПб: Изд-во СПбГТУ, 1999. — 156 с.

• 1 слайд

  Использование математических моделей при изучении экологических дисциплин «Все взаимосвязано со всем» -первый экологический закон.

• 2 слайд

  Эколо́гия (от др.-греч. οἶκος — обиталище, жилище, дом, имущество и λόγος — понятие, учение, наука) —наука о взаимодействиях живых организмов и их сообществ между собой и с окружающей средой. Термин впервые предложил немецкий биолог Эрнст Геккель в 1866 году в книге «Общая морфология организмов». 

• 3 слайд

  Человек – природное существо, его образ жизни, его судьба, его сознание неотделимы от окружающей среды и она, окружающая среда, составляет неотделимую часть его бытия и все это должно стать предметом специального изучения.

• 4 слайд

  Невозможно представить себе современную экологию без широкого применения математического моделирования. Математические модели в экологии используются практически с момента возникновения этой науки. Модели помогают установить некоторые закономерности развития отдельных популяций, а также сообществ.

• 5 слайд

  - модели помогают выразить с помощью нескольких параметров важные разрозненные свойства большого числа уникальных наблюдений, что облегчает экологу анализ рассматриваемого процесса или проблемы; - модели выступают в качестве «общего языка», с помощью которого может быть описано каждое уникальное явление; свойства таких явлений становятся более понятными; - модель может служить образцом «идеального объекта», при сравнении с которым можно оценивать и измерять реальные объекты и процессы Причины применения математических моделей в экологии:

• 6 слайд

  Рассмотрим некоторые примеры применения математических моделей при изучении химических и экологических дисциплин в колледже по специальности «Прикладная экология»: I. Применение функций к моделированию экологических процессов; II. Использование дифференциальных уравнений к моделированию экологических процессов; III. Использование методов математической статистики к моделированию экологических процессов.

• 7 слайд

  Дробно-рациональная зависимость

• 8 слайд

  Показательная зависимость

• 9 слайд

  Анализ кислородного баланса водоемов

• 10 слайд

  Основные закономерности роста популяций

• 11 слайд

  Конкурентное взаимодействие популяций в биоценозе

• 12 слайд

  Использование методов математической статистики к моделированию экологических процессов

• 13 слайд

• 14 слайд

  Современная наука характеризуется глубоким проникновением математических методов в различные отрасли природоведения. Существенно возрастает роль математики в решении экологических проблем. Обработка экспериментальных данных с использованием математической статистики - это лишь наиболее распространенное, но не единственное и не самое важное применение математики в экологии.

• 15 слайд

  В настоящее время деятельность человека оказывает значительную нагрузку на окружающую среду. Поэтому сегодня любой проект перед запуском в действие должен пройти детальную экологическую экспертизу, базой для которой является построение адекватной математической модели. Только с помощью математических методов можно учесть взаимодействие различных факторов, которые определяют структуру и особенности функционирования природных систем.