Презентация – пособие «Преобразование графиков функций »

• 1 слайд

  
  Презентация – пособие
  «Преобразование графиков функций »
  Часть I
  Учителя Новопокровской ош
  Глухова Виктора Владимировича
  
  
  
  Новопокровка 2014 – 2015 уч. год
  

• 2 слайд

  Рассмотрим преобразования графика функции
  у = f (x) в график функции у = k f ( x + m ) + n .
  Осознаем роль коэффициента k и слагаемых m и n в данной формуле.
  График функции у = f (x) является базовым. Повторим для начала все основные графики функций, которые мы изучали в 9 классе
  

• 3 слайд

  Прямая пропорциональность y = k x
  Например, у = 2х , (прямая, проходящая через начало координат.)
  

• 4 слайд

  График линейной функции y = k x + b
  Например, у = 3х – 2 ( прямая, не проходящая через начало координат.)
  

• 5 слайд

  График обратной пропорциональности, функции у =
  гипербола , не пересекающая оси координат .
  

• 6 слайд

  График квадратичной функции y = x2
  Парабола, проходящая через начало координат и точки (1;1) и ( -1;1).
  

• 7 слайд

  График кубической функции y = x3
  Кубическая парабола, проходящая через начало координат и
  точки (1;1) и ( -1;-1).
  

• 8 слайд

  График функции y =
  Парабола, существующая только для х ≥ 0 , проходящая через начало координат и точки ( 1; 1 ) и ( 4 ; 2).
  

• 9 слайд

  Теперь повторим материал 8 класса по уравнению прямой y = k∙x + b
  Как проходит прямая в зависимости от коэффициента k ?
  Каково положение прямой в зависимости от свободного члена b ?
  
  Рассмотрим на конкретных примерах.
  

• 10 слайд

  Если в уравнении y = k x коэффициент k > 0 , то прямая проходит в I и III четвертях. Угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс – острый
  ( k = tg α > 0 )
  

• 11 слайд

  Если в уравнении y = k x коэффициент k < 0 , то прямая проходит в II и IV четвертях. Угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс – тупой . ( k = tg α < 0 )
  

• 12 слайд

  Если в уравнении y = k x + b b > 0 , то прямая y = k x сдвигается параллельно вверх на b единиц, если b <0 то прямая y = k x сдвигается вниз параллельно на b единиц.
  В одной системе координат построим графики (по цвету формулы )
  а) у = -0,5х б) у = - 0,5х + 5
  в) у = -0,5х – 4 г) у = -0,5х – 8
  

• 13 слайд

  Рассмотрим, какова роль свободного члена b в формуле прямой у = kx + b
  построим графики в одной системе координат
  а) у = 0,3х + 3 ; б) у = 2х + 3 ; в) у = - 4х + 3
  Все эти графики пересекают ось ординат в точке
  ( 0 ; 3 )
  

• 14 слайд

  Мы всё ближе к осознанию преобразования графика функции
  у = f (x) в график функции
  у = k f ( x + m ) + n
  Рассмотрим поэтапно преобразования:
  а) f (x) и f (x) + n
  б) f (x) и f ( x + m)
  в) f (x) и k f (x)
  г) f (x) и k f ( x + m ) + n
  

• 15 слайд

  Первое преобразование
  у = f (x) в у = f (x) + n
  
  
  
  Построим в одной системе координат графики следующих функций
  а) у = х2 ; б) у = х2 + 3;
  в) у = х2 – 4 ;
  г) у = х2 – 9
  Вывод: если n > 0 , то парабола y = x2 сдвигается параллельным переносом вверх на n единиц,
  если n < 0, то парабола y = x2 сдвигается вниз на n единиц.
  

• 16 слайд

  Рассмотрим преобразование, которое мы не могли наблюдать с графиками прямых. Общий вид преобразования у = f (x) и у = f ( x + m). Теперь число прибавляется не к функции, как в предыдущем примере, а к аргументу.
  Что же мы ожидаем увидеть?
  Что если m > 0 , то парабола y = x2 сдвигается параллельным переносом вдоль оси абсцисс влево на m единиц, если m <0 то парабола y = x2 сдвигается параллельным переносом вдоль оси абсцисс вправо на m единиц.
  То есть если m положительное число, то сдвиг происходит вдоль оси абсцисс , но в отрицательном направлении и , наоборот, если m отрицательное число, то сдвиг происходит вдоль оси абсцисс , но в положительном направлении
  

• 17 слайд

  Для того, чтобы увидеть параллельный перенос – сдвиг вдоль оси абсцисс нам достаточно построить в одной системе координат графики следующих функций
  1. у = х2 ; 2. у =( х + 2)2;
  3. у =( х – 3)2 ; 4. у =( х – 5)2
  

• 18 слайд

  Теперь рассмотрим преобразование
  у = f (x) и у = k f (x).
  Оценим роль коэффициента k. Оценивать будем по двум моментам.
  а) k - положительный или отрицательный коэффициент.
  б) k - больше или меньше единицы.
  

• 19 слайд

  Рассмотрим преобразование, когда у = f (x) переходит в у = k f (x), где k - отрицательный коэффициент. Наблюдаем симметричное отображение относительно оси абсцисс графика у = х2 в график у = - х2 , а у = 3х2 в график у = - 3х2
  

• 20 слайд

  Рассмотрим преобразование, когда у = f (x) переходит в у = k f (x), где k - положительный коэффициент. Наблюдаем, что, график функции у = k х2 получается из графика у = х2 с помощью сжатия его в k раз к оси ординат ( Оу), если k >1 , или с помощью растяженя в k раз к оси ординат ( Оу) , если 0 < k < 1. Строим графики :
  у = х2 ; у = 2 х2 ; у = 3х2 ; у = 0,2 х2
  

• 21 слайд

  Для обобщения преобразование
  у = f (x) в у = k f ( x + m ) + n
  рассмотрим для наглядности построение простого графика функции
  у = (х- 3)2 – 1
  
  1) Строим базовый график у = х2
  

• 22 слайд

  
  По формуле у = k f ( x + m ) + n имеем m = - 3.
  2) График у = х2 сдвигается вправо ( m <0) на три единицы , получили график у = (х - 3)2
  

• 23 слайд

  По формуле у = k f ( x + m ) + n имеем n = -1.
  3) График у = (х-3)2 сдвигается параллельным переносом вниз (n < 0) на одну единицу, получили график у = (х- 3)2 – 1
  

• 24 слайд

  Подведем итоговое преобразование, комплексно объединяющее все предыдущие преобразования
  у = f (x) в у = k f ( x + m ) + n .
  
  Из выше сказанного, после обобщений, следует :
  1) k – растягивает или сжимает график функции f (x) к оси ординат (Оу)
  2) m – производит сдвиг графика вдоль оси абсцисс (Ох)
  3) n – производит сдвиг графика вдоль оси ординат (Оу)
  Для наглядности построим график функции у = – 2(х – 4)2 + 5, но разобьём построение на последовательные этапы
  1. у = х2 (базовый график)
  2. у = 2 х2 ( сжатие к оси ординат в два раза)
  3. у = – 2х2 ( симметричное отображение относительно Ох)
  4. у = – 2(х – 4)2 ( сдвиг влево на 4 единицы)
  5. у = – 2(х – 4)2 + 5 (сдвиг вверх на 5 единиц)
  
  

• 25 слайд

  Этапы построения графика функции у = – 2(х – 4)2 + 5,
  базовый график у = х2 переходит в у = 2 х2 .
  Наблюдаем сжатие к оси ординат (Оу) в два раза
  

• 26 слайд

  Этапы построения графика функции у = – 2(х – 4)2 + 5,
  график у = 2х2 переходит в у = – 2х2 .
  Наблюдаем симметричное отображение относительно Ох.
  

• 27 слайд

  Этапы построения графика функции у = – 2(х – 4)2 + 5,
  график у = – 2х2 переходит в у = – 2(х – 4)2 .
  Наблюдаем сдвиг влево параллельным переносом на 4 единицы.
  
  

• 28 слайд

  Этапы построения графика функции у = – 2(х – 4)2 + 5,
  график у = – 2(х – 4)2 переходит в у = – 2(х – 4)2 + 5 .
  Наблюдаем сдвиг вверх параллельным переносом на 5 единиц.
  
  

• 29 слайд

  Таким образом по преобразованию у = f (x) в
  у = k f ( x + m ) + n . график у = х2 в несколько этапов переходит в график у = – 2(х – 4)2 + 5 .
  

• 30 слайд

  Рассмотрим построение графика у = поэтапно, но без пояснений
  

• 31 слайд

  Второй шаг, результат первого шага пунктиром. Какое действие?
  

• 32 слайд

  Третий шаг, результат первых шагов пунктиром. Какое действие?
  

• 33 слайд

  Четвёртый, окончательный шаг. Какое действие?
  

• 34 слайд

  Это окончательный график у = .это график никогда не пересечёт горизонтальную линию у =- 3 и вертикальную линию х = - 2 ( их называют асимптотами)
  Вспомним, область определения функции D(y) = (-; -2)U(-2: )
  область изменения функции Е (у) = (-; -3)U(-3: )
  

• 35 слайд

  В преобразовании у = f (x) в у = k f ( x + m ) + n не учитывается коэффициент, который может стоять перед аргументом Х. В 10 классе это будет учитываться.
  А пока рассмотрим построение графика у =
  Область определения D(y)= [0;) базовой
  функции y =
  Минус перед аргументом делает область определения противоположной.
  D(y)= (-;0] для функции y =
  То есть происходит симметричное отображение базового графика, но относительно оси Оу.
  Ну а дальнейшие преобразования - параллельный сдвиг вправо и вниз Вам уже известен.
  Проследите самостоятельно эти этапы, но уже в одной системе координат.
  

• 36 слайд

• 37 слайд

  Проверьте степень усвоения учебного материала, ответив на тесты. Нажмите клавишу Esc и заполните тесты.
  Сравните свои ответы с приведёнными ниже, если результат Вас не удовлетворил, то посмотрите презентацию вновь, но более внимательно
  

• 38 слайд

  B-1 русский яз
  B-2 украинский язык
  

• 39 слайд

  Проверим результаты усвоения материала
  

• 40 слайд

  B-1
  B-2
  

• 41 слайд

  Удачи и терпения
  в изучении
  математики !!!
  
  
  
  Когда будете закрывать программу , пожалуйста,
  не сохраняйте изменения.