Презентация проекта по математике "В поисках оптимальных решений"

• 1 слайд

  В поисках оптимальных решений
  9 «В» класс
  Руководитель: Князева В.А.
  МОУ СОШ №72
  Станица Кривянская Октябрьский (с) район Ростовской области
  2009г.
  

• 2 слайд

  «Математика знает весьма тонкие изобретения, могущие принести большую пользу для удовлетворения учиться»
  
  
  
  
  Декарт
  
  

• 3 слайд

  Легенда об основании Карфагена гласит, что когда финикийский корабль пристал к берегу, местные жители согласились продать прибывшим столько земли, сколько можно огородить ее одной бычьей шкурой. Но хитрая финикийская царица Дидона разрезала эту шкуру на ремешки, связала их и огородила ремнем большой участок земли, примыкавший к побережью.
  Проблема:
  Какая, известная геометрическая фигура имеет наибольшую площадь при заданном периметре?
   
  
  
  
  
  Руины Карфагена
  
  
  

• 4 слайд

  Введение
  Великий русский математик П. Л. Чебышев в работе «Черчение географических карт» писал, что «особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения по возможности большей выгоды».
  
  

• 5 слайд

  Но не только людям приходится решать такие задачи.
  
  Форма ячеек пчелиных сот такова, что при заданном объеме на них идет наименьшее количество воска. Пчелы не изучали высшую математику - естественный отбор привел к тому, что выжили лишь пчелы, тратившие меньше всего усилий на строительство сот. Пчелам помогает решать свои задачи инстинкт, человеку – разум.
  
  

• 6 слайд

  
  Решение проблемы будем искать в следующих направлениях:
  
  
  История разработки методов решения задач на экстремумы.
  Решить проблему экспериментально.
  Доказать гипотезу теоретически.
  
  

• 7 слайд

  Цели и задачи проекта:
  Показать историческую важность открытия методов решения задач на экстремум.
  В интересной и занимательной форме донести до учащихся тему проекта, используя дополнительную литературу, свои задумки и электронную презентацию.
  Решить задачу Дидоны.
  
  

• 8 слайд

  Из истории…
  Математикам удалось разработать методы решения задач на наибольшие и наименьшие значения функций, зависящих от одного или нескольких переменных.
  Чем больше аргументов, тем сложнее задача, тем труднее выбрать оптимальные значения величин.
  Для функций одного аргумента отыскание экстремумов делается с помощью дифференциального исчисления.
  Даже старшеклассник справляется с задачей, если функция зависит от одного аргумента.
  Но часто приходится отыскивать экстремумы функций многих переменных.
  
  

• 9 слайд

  Из истории…
  Инженеры-технологи стремятся так организовать производство, чтобы на имеющемся станочном парке сделать как можно больше продукции.
  Конструкторы ломают голову, стремясь изобрести наилегчайший прибор на космическом корабле.
  Экономисты стараются так спланировать прикрепление заводов к источникам сырья, чтобы транспортные расходы оказались наименьшими.
  
  

• 10 слайд

  Из истории…
  . В случае большого количества аргументов для решения задачи требуется огромное количество вычислений, так что невозможно обойтись без современных ЭВМ.
  Для решения таких задач составляются специальные программы, откуда и возникло название «линейное программирование». Задачи на линейное программирование впервые решил советский ученый Л. В. Канторович.
  Линейное программирование сейчас применяется в самых различных областях.
  

• 11 слайд

  «Многие идеи имеют свою эпоху, во время которой они открываются одновременно в различных местах подобно тому, как фиалки произрастают всюду, где светит солнце».
  Янош Бояйи
  История одной задачи
  
  
  

• 12 слайд

  История одной задачи
  Возьмем две точки А и В и соединим их всевозможными кривыми.
  Возникает задача: найти такую кривую, что двигаясь по ней, падающая точка А быстрее всего попадет в точку В. В 1696 году Иоганн Бернулли доказал, что искомой кривой является циклоида.
  
  Иоганн Бернулли предложил Лейбницу найти решение (тот быстро нашел ответ), а Лейбниц предложил опубликовать «столь замечательную и до сих пор неслыханную задачу» для состязания между геометрами с годичным срок для решения
  

• 13 слайд

  История одной задачи
  
  Позднее Лейбниц высказал в одной заметке мнение, что во всем мире эту задачу могут решить лишь три математика (Лопиталь, Гудде и Ньютон). 
  Прогноз оказался верным – поступило лишь три решения, одно из которых принадлежало Лопиталю, второе – Якобу Бернулли, а третье было без подписи опубликовано в английском журнале. Но Иоганн Бернулли сразу угадал, что в Англии мог решить задачу с таким блеском только Исаак Ньютон.
  Как писал сам Бернулли, он узнал Ньютона, как льва узнают по когтям.
  И действительно, задача стоила того, чтобы ее решали великие математики.
  Ведь в ней шла речь о функциях, у которых аргументами служили кривые линии.
  Самое замечательное решение оказалось у Якоба Бернулли.
  Он сформулировал принцип: если какая-нибудь кривая обладает свойством максимума или минимума, то каждая ее бесконечно малая часть обладает тем же свойством.
  
  
  

• 14 слайд

  Из истории…
  Много задач на нахождение кривых линий, обладающих свойствами экстремума, решил Леонард Эйлер.
  И в геометрии новое исчисление оказалось очень полезным. После того, как вывели формулу для длины пространственной кривой, возникла задача: найти кратчайшее расстояние среди всех кривых, соединяющих две точки А и В поверхности и лежащих на этой поверхности.
    Например:
  на плоскости – отрезок
  на сфере – дуга диаметрального сечения
  на эллипсоиде вращения – геодезическая линия.
  

• 15 слайд

  
  Открытие геодезических линий позволило продвинуться вперед картографам и геодезистам.
  

• 16 слайд

  Из истории…
  Общий метод решения задач на экстремальные свойства кривых линий разработал Лагранж.
  Метод Лагранжа назвали вариационным исчислением.
  Своеобразные вариационные задачи возникают при изучении процессов управления. Это управление самолетами, ракетами, экономическими системами и т. д.
  Возникает задача: как осуществить переход из одного состояния в другое, либо в кратчайший срок, либо с наименьшим расходом топлива Экстремальные задачи теории управления изучали советский математик академик Л. С. Понтрягин и его ученики В. Г. Болтянский, Г. В. Гамкрелидзе и Е. Ф.Мищенко. Он разработал особый метод решения получивший название «принцип максимума Понтрягина».
  
  

• 17 слайд

  
  Разбейте пустыню пополам, тогда лев, несомненно, окажется в одной из половин, т. к. в противном случае его не было бы во всей пустыне.
  Далее разобьем пополам эту половину, затем ту часть, где окажется лев, и т. д. до тех пор, пока размер полученной части станет сравнимым с размерами льва.
  Тогда лев окажется в клетке.
  Анекдот Как ловить льва в пустыне?
  

• 18 слайд

  Эксперимент
  
  
  Из формулы: Ѕ = а в sina площадь параллелограмма будет принимать наибольшее значение при α = 90°( это прямоугольник). Составим таблицу возможных значений для сторон прямоугольника и треугольника при постоянном периметре и вычислим площадь. Например: периметр фигуры равен 12 см.
  Прямоугольник Треугольник
  
  
  Вывод: эксперимент показал, что среди прямоугольников наибольшую площадь имеет квадрат, а среди треугольников – равносторонний треугольник.
  Пусть длина окружности равна периметру данной фигуры. Вычислим площадь круга.
  С = 2 π ґ, Ѕ = π ґ², т. о. Ѕ = С²/4π = 36 /π ≈ 11,5
  
  
  

• 19 слайд

  Эксперимент
  
  
  
  
  Решим задачу Дидоны при помощи мыльной пленки. Проволочное колечко окунем в мыльный раствор и на пленку положим нитку, связав ее концы. У нитки неправильная форма. Проколем пленку внутри нитки и мыльная пленка, стремясь занять меньшую площадь, мгновенно расправит петлю в правильную окружность!
  
  Итак, экспериментально мы пришли к гипотезе: наибольшую площадь при заданном периметре имеет круг, но всякая гипотеза требует доказательства.
  
  
  
  
  

• 20 слайд

  Сказка Точка зрения на плоскость
  В плоскости проходило много линий – и прямые, и кривые, и ломаные. И у всех были свои точки зрения на мир.
  - все в мире делится на возвышенное и униженное, - резала правду одна прямая
  - нет, отрубила другая, - все в мире – или правые или неправые.
  - не ссорьтесь, девочки, - плавно изогнувшись, вмешалась кривая, - все в мире диалектично: здесь ты правый, а тут унижен. Ломаные свое мнение высказывать стеснялись, а окружность формулировала так: - весь мир – или внутренний или остальной. Ну, об остальном мне говорить неинтересно, зато мой внутренний мир богат. Только такие, всесторонние как я…
  - плоские личности так много болтают, прервала ее спираль, а что касается мира – то он лишь прослойка между витками, чтоб они не перепутались…
  И никто не спрашивал мнения маленькой, незаметной– точки единственной общей точки плоскости и линии, проходившей вне этой плоскости.
  Решая задачи, не упускайте на первый взгляд незаметные факты.
  
  

• 21 слайд

  Задача Дидоны
  
  Найти прямоугольник наибольшей площади, ограниченный с одной стороны морем, а с трех других сторон ремнем заданной длины l.
  Решение.
  Пусть АВ = х, тогда ВС = ℓ-2х, а Ѕ(х) = х(ℓ-2х) (1) на отрезке [0,ℓ/2]. Преобразуем функцию (1) к виду:
  Ѕ(х) = хℓ -2х² = -2(х - ℓ/4)² + ℓ²/8, откуда видно, что функция (1) принимает наибольшее значение при х = ℓ/4
  Итак, прямоугольник является половиной квадрата, примыкающей длинной стороной к морю, его площадь
  
  Ѕ = ℓ²/32.
  
  

• 22 слайд

  Торопящийся луч света
  
  Законы отражения и преломления света применяются при расчете сложных оптических систем. Общий принцип формулируется так: Луч света, падающий из точки А в точку В, движется по такому пути, что время, затраченное им на этот путь, экстремально. С помощью производной можно доказать, что угол падения света равен углу отражения.
  
  

• 23 слайд

  Этот принцип дает ключ к разгадке головоломки
  
  Ворона видит двор
  Напротив дерева – забор.
  Слетай на землю, клюй зерно,
  Оно рассыпано давно.
  Задача вроде бы проста,
  Да остры когти у кота.
  Куда слететь,
  Схватить зерно и на забор взлететь?
  Чтоб от кота вороне упорхнуть,
  Тут надобно найти короткий путь.
  
  Замечание: задачу можно решить и геометрически, и алгебраически.
  

• 24 слайд

  Задача о трех железных дорогах
  
  
  В лесу, Средь трех прямых дорог,
  Живет медведь. Знаток ответь:
  Где, В кругу валежней, Меж корнями,
  Ему Берлогу надо рыть,
  Чтоб до ближайшей Из дорог,
  Как можно больше Было расстоянье?
  
  

• 25 слайд

  Лиса и курятник
  Нора лисы и курятник располагаются по одну сторону от реки. По какому маршруту должна бежать лиса, чтобы путь от норы до курятника с остановкой на берегу был самым коротким?
  
  Р е к а
  Н
  К
  К
  

• 26 слайд

  Задача о крокодилах
  В круглом озере живут три крокодила. Где они должны сидеть, чтобы наибольшее из расстояний от любой точки озера до ближайшего к ней крокодила было как можно меньше?
  
  

• 27 слайд

  Та же задача для четырех крокодилов
  

• 28 слайд

  Задача о кошке
  
  
  
  У мышки три выхода из норки известные кошке. Где надо сесть кошке, чтобы расстояние от нее до самого дальнего из трех выходов было как можно меньше?
  
  
  
  
  
  
  Решение.
  1 способ: кошка должна сидеть в центре окружности, проходящей через все три точки. Замечание: если треугольник АВС прямоугольный или тупоугольный, то кошка должна сидеть в середине наибольшей стороны.
  2 способ: кошка должна сидеть в точке пересечения трех окружностей с центрами с точках А, В и С и с наименьшим радиусом.
  
  

• 29 слайд

  Как провести шоссе?
  Из приречного города А надо направлять грузы в пункт В, расположенный на а км ниже по реке и в d км от берега. Как провести шоссе от В к реке, чтобы провоз грузов из А в В обходился возможно дешевле, если провозная плата с тонно-километра по реке вдвое меньше, чем по шоссе?
  
  

• 30 слайд

  Канал и плот
  Канал имеет прямоугольный поворот. Какой максимальной площади плот, имеющий форму прямоугольника, может пройти по этому каналу?
  Обоснуйте чертеж
  Решение:
  

• 31 слайд

  Бумажный змей
  Змею, имеющему вид кругового сектора, желают придать такую форму, чтобы он вмещал при данном периметре наибольшую площадь. Какова должна быть форма сектора?
  
  Решение. Пусть ґ – радиус сектора, ℓ - дуга, р –периметр, Ѕ – площадь, тогда р = 2ґ+ ℓ, Ѕ(ґ) = ґ ℓ/2 = ґ (р - 2ґ)/2 = ґ р - 2ґ²/2 (1). Функция (1) принимает наибольшее значение при ґ = -в/2а (вершина параболы; ветви вниз), т. о. ґ = р/4, тогда ℓ = р/2. Итак, сектор при данном периметре замыкает наибольшую площадь, если его радиус составляет половину дуги.
  
  

• 32 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  Расходы в час на эксплуатацию корабля состоят из расходов на топливо и других расходов (содержание команды, амортизация и т. д.).
  Расходы на топливо будут тем больше, чем быстрее движется судно, остальные же расходы от скорости не зависят. Чем медленнее движется корабль, тем дешевле его эксплуатация? Нет! Поскольку расходы нужно рассчитывать не на 1 час, а на 1 км пути.
  Возникает задача: какой должна быть скорость парохода, чтобы общая сумма расходов на 1 км пути была наименьшей, если расходы на топливо за 1час пропорциональны квадрату скорости?
  Решение: пусть Ѕ – сумма расходов в час, а V – скорость судна, тогда расходы на 1км пути найдем по формуле: Ѕ/Ѵ. По условию Ѕ = ķѴ²+в, где ķ – коэффициент пропорциональности, в – другие расходы (кроме топлива).
  Итак, надо найти значение Ѵ, при котором функция у = ķѴ+в/Ѵ имеет наименьшее значение.
  
  Эту функцию можно исследовать на минимум с помощью производной, поэтому оставим вопрос пока открытым и вернемся к нему в 11-м классе.
  Оптимальная скорость
  

• 33 слайд

  Сколько решений имеет система: где р - параметр?
  
  
  Решение:
  
  
  читай чертеж !
  

• 34 слайд

  Занимательные задачи Волшебный замок
  В замке 3 двери открыты, а 3 закрыты.Если пройти через любую из дверей, то открытые двери закрываются, а закрытые – открываются. Хоттабыч хочет осмотреть весь замок без повтора. Волосок из его бороды открывает закрытые двери и закрывает открытые. Докажите, что Хоттабыч осмотрит замок, затратив не более 2-х волосков?
  

• 35 слайд

  Занимательные задачи Найди число
  Найди наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 становится квадратом, а после умножения на 3 - кубом целого числа?
  
  n - ?
  2n =n²
  3n=n³
  
  

• 36 слайд

  Занимательные задачи Три бочки
  Бак полон воды. Ее перелили поровну в три бочки. В первой бочке вода заняла 1/2 его объема, во второй – 2/3 , а в третьей – 3/4 объема. Известно, что бак и все три бочки вмещают по целому числу литров.
  При каком наименьшем объеме бака это возможно?
  

• 37 слайд

  Заключение
  Нам удалось найти фигуру, имеющую наибольшую площадь при заданном периметре – это круг.
  Также мы считаем, что работа стоит затраченных усилий, так как мы пополнили свой багаж знаний, получили навыки самостоятельной и совместной работы, а также навыки в поисковой и творческой деятельности.
  Мы надеемся, что исторические факты, подбор различных задач и разные методы их решения вызовут интерес и у учеников, и у учителей и будут полезны им при организации элективного курса.
  И в завершение мы хотим привести слова
  Блеза Паскаля:
  
  

• 38 слайд

  «Предмет математики настолько серьезен,
  что полезно не упускать случая делать его немного занимательным».
  
  
  
  
    Паскаль