Презентация "Задания повышенного и высокого уровня сложности из КИМ ОГЭ по математике"

• 1 слайд

  
  Семинар-практикум по решению задач ОГЭ
  
  
  ЗАДАНИЯ
  повышенного и высокого
  уровней сложности
  из КИМ ОГЭ по математике
  
  Иванова Татьяна Николаевна
  МАОУ «СОШ №15»
  Соликамского ГО
  
  
  2021 – 2022 уч.г.
  

• 2 слайд

  Вариант 8
  
  1. Решите уравнение 𝑥 2 −6𝑥+ 6−𝑥 = 6−𝑥 +7.
  2. Из пунктов А и В одновременно выехали два автомобиля. 1-й проехал с постоянной скоростью весь путь. 2-й проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости 1-го автомобиля на 6 км/ч, а вторую половину – со скоростью 56 км/ч, после чего он прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость 1-го автомобиля, если она больше 45 км/ч.
  3. Постройте график функции 𝑦= 7𝑥−10 7 𝑥 2 −10𝑥 .
  При каких значениях k прямая y=kx
  имеет с графиком ровно одну общую точку
  

• 3 слайд

  
  4. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции АВСD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 9, BF = 12.
  5. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках Р и М соответственно. Докажите, что BP=DM.
  6. В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника ABC.
  

• 4 слайд

  1. Решите уравнение
  𝒙 𝟐 −𝟔𝒙+ 𝟔−𝒙 = 𝟔−𝒙 +𝟕
  Решение:
  𝑥 2 −6𝑥+ 6−𝑥 = 6−𝑥 +7
  Для данного уравнения должно выполняться условие:
  6−𝑥≥0 ⇒ 𝑥≤6.
  𝑥 2 −6𝑥+ 6−𝑥 − 6−𝑥 −7=0
  𝑥 2 −6𝑥−7=0
  𝑥=3± 9+7
  𝑥=3±4
  𝑥 1 =−1, 𝑥 2 =7.
  𝑥=7 не удовлетворяет условию, что 𝑥≤6.
  Значит оно не является корнем уравнения.
  
  Ответ: -1
  

• 5 слайд

  2. Из пунктов А и В одновременно выехали два автомобиля. 1-й проехал с постоянной скоростью весь путь. 2-й проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости 1-го автомобиля на 6 км/ч, а вторую половину – со скоростью 56 км/ч, после чего он прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость 1-го автомобиля, если она больше 45 км/ч.
  Решение:
  Пусть Sкм – расстояние между А и В,
  𝑥 км/ч – скорость первого автомобилиста, 𝑥>45, тогда
  𝑥−6 км/ч – скорость второго автомобилиста на первой половине пути.
  Составим таблицу по данным задачи.
  
  
  

• 6 слайд

  2. (продолжение)
  
  Время, за которое оба автомобилиста проехали весь путь от А до В, одинаковое, т.е. 𝑡 1 = 𝑡 2 .
  Следовательно, можно составить уравнение:
  𝑆 𝑥 = 𝑆 2(𝑥−6) + 𝑆 112 ОДЗ: 𝑥≠0 𝑥≠6
  𝑆 𝑥 = 56𝑆+𝑆(𝑥−6) 112(𝑥−6)
  Разделим обе части уравнения на S. Получим
  1 𝑥 = 50+𝑥 112(𝑥−6)
  112𝑥−672=50𝑥+ 𝑥 2
  𝑥 2 −62𝑥+672=0
  𝑥=31± 961−672
  𝑥=31±17
  𝑥 1 =14, 𝑥 2 =48. По условию задачи скорость 1 автомобилиста больше 45 км/ч. Следовательно, скорость 1 автомобилиста 48 км/ч.
  Ответ: 48 км/ч
  

• 7 слайд

  3. Постройте график функции 𝒚= 𝟕𝒙−𝟏𝟎 𝟕 𝒙 𝟐 −𝟏𝟎𝒙 .
  При каких значениях k прямая y=kx
  имеет с графиком ровно одну общую точку
  
  Решение:
  𝑦= 7𝑥−10 7 𝑥 2 −10𝑥 ОДЗ: 7𝑥−10≠0 𝑥≠0 ; 𝑥≠ 10 7 𝑥≠0
  
  При 𝑥≠ 10 7 имеем 𝑦= 7𝑥−10 7 𝑥 2 −10𝑥 = 7𝑥−10 𝑥 7𝑥−10 = 1 𝑥
  График заданной функции представляет собой гиперболу с выколотой точкой 10 7 ; 7 10 .
  
  
  

• 8 слайд

  3. Продолжение.
  Прямая 𝑦=𝑘𝑥
  будет иметь с графиком
  одну общую точку,
  если она пройдет через
  «выколотую» точку.
  Подставим координаты
  «выколотой» точки
  в уравнение прямой
  у = k х: 7 10 =𝑘∙ 10 7 .
  Тогда 𝑘= 7 10 : 10 7 = 49 100 ,
  а уравнение прямой
  примет вид 𝑦= 49 100 𝑥.
  
  Ответ: k = 𝟒𝟗 𝟏𝟎𝟎 .
  А
  х
  у
  у = k х
  у = 1/х
  

• 9 слайд

  4. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции АВСD пересекаются в точке F.
  Найдите АВ, если AF = 9, BF = 12
  Решение:
  Докажем, что ∠𝐴𝐹𝐵=90°.
  Пусть ∠В𝐴𝐹=𝑥, тогда ∠𝐵𝐴𝐷=2𝑥.
  Значит,∠𝐴𝐵С=180°−∠𝐵𝐴𝐷= =180°−2𝑥.
  Тогда ∠𝐴𝐵𝐹= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 180°−2𝑥 2 =90°−𝑥.
  Следовательно, ∠𝐵𝐴𝐹+∠𝐴𝐵𝐹=𝑥+90°−𝑥=90°.
  Значит, ∠𝐴𝐹𝐵=180°− ∠𝐵𝐴𝐹+∠𝐴𝐵𝐹 =180°−90°=90°.
  Тогда по теореме Пифагора
  𝐴𝐵= 𝐴𝐹 2 + 𝐵𝐹 2 = 9 2 + 12 2 =15.
  Ответ: 15
  A
  B
  C
  D
  F
  

• 10 слайд

  5. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках Р и М соответственно. Докажите, что BP=DM
  Доказательство:
  Рассмотрим ∆𝐵𝑂𝑃 и ∆𝐷𝑂𝑀:
  BO=OD, т.к. диагонали параллелограмма
  точкой пересечения делятся пополам,
  ∠𝐵𝑂𝑃=∠𝐷𝑂𝑀- как вертикальные,
  ∠𝑃𝐵𝑂=∠𝑀𝐷𝑂 как накрест лежащие при параллельных прямых 𝐵𝐴 и 𝐶𝐷 и секущей 𝐵𝐷.
  Значит, ∆𝐵𝑂𝑃= ∆𝐷𝑂𝑀 по стороне и двум прилежащим к ней углам.
  Отсюда следует равенство соответствующих сторон: BP=DM.
  Что и требовалось доказать.
  A
  B
  C
  D
  O
  P
  M
  

• 11 слайд

  6. В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника ABC.
  
  1 способ: с помощью средних линий треугольника
  Решение:
  1. Рассмотрим ∆АВ𝐷:
  по условию BO – биссектриса, высота и медиана,
  значит ∆АВD – равнобедренный и АВ = BD, АО = OD=14.
  2. Т.к. ВЕ – биссектриса ∆АВС, то АЕ ЕС = АВ ВС = 1 2 .
  Значит ЕС = 2АЕ.
  3. В ∆ВСЕ проведем 𝐷𝐹∥𝐵𝐸.
  Т.к. точка D – середина ВС, то 𝐷𝐹 – средняя линия ∆ВСЕ , тогда
  𝐷𝐹= 1 2 𝐵𝐸=14 и EF = FC = AE.
  4. Рассмотрим ∆А𝐷𝐹: OE – средняя линия, значит ОЕ= 1 2 𝐷𝐹=7.
  5. Рассмотрим ∆А𝑂𝐸: ∠𝑂=90° , 𝐴𝑂= 14, OE = 7, тогда по т. Пифагора
  АЕ= АО 2 + ОЕ 2 = 196+49 =7 5 .
  6. АС = 3АЕ = 21 5 .
  А
  В
  С
  D
  O
  E
  F
  

• 12 слайд

  6. (продолжение)
  
  7. ВО=ВЕ−ОЕ=28−7=21.
  8. Рассмотрим ∆А𝑂В: ∠𝑂=90° , 𝐴𝑂= 14, ВO = 21,
  тогда по т. Пифагора
  АВ= АО 2 + ВО 2 = 196+441 =7 13 .
  9. ВС = 2АВ = 2∙7 13 =14 13 .
  
  АВ=7 13 , ВС=14 13 , АС=21 5 .
  
  
  
  Ответ: 7 13 , 14 13 , 21 5 .
  
  А
  В
  С
  D
  O
  E
  F
  

• 13 слайд

  6. В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника ABC.
  2 способ: через дополнительное построение
  Решение:
  1. Рассмотрим ∆𝐴𝐵𝑂 и ∆𝐵𝑂𝐷:
  ∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐵𝑂𝐷=90°,
  ∠𝐴𝐵𝑂=∠𝑂𝐵𝐷 - по условию,
  ВО – общая сторона.
  Значит, ∆𝐴𝐵𝑂= ∆𝐵𝑂𝐷 по стороне и
  двум прилежащим к ней углам.
  Тогда ∠В𝐴𝑂=∠𝐵𝐷О и 𝐴𝐵=𝐵𝐷.
  2. BD=DC – по условию, тогда ВС=2АВ.
  3. Т.к. 𝐴𝐵=𝐵𝐷, то ∆𝐴𝐵𝐷− равнобедренный, значит ВО −биссектриса и
  медиана. Поэтому , АО = ОD = 14 см.
  4. Т.к. ВЕ – биссектриса, то АВ ВС = АЕ ЕС ⇔ 1 2 = АЕ ЕС ⇒ ЕС=2АЕ и АС=3АЕ.
  
  
  А
  В
  С
  D
  O
  E
  

• 14 слайд

  6. (продолжение)
  5. Проведем ВК∥АС
  и рассмотрим ∆𝐵𝐷𝐾 и ∆𝐴𝐷𝐶:
  ∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵𝐷𝐾 −как вертикальные,
  ∠К𝐵𝐷=∠𝐷𝐶𝐴 - как углы при
  параллельных прямых ВК и АС и секущей ВС,
  ВD=DC – по условию.
  Значит, ∆𝐵𝐷𝐾= ∆𝐴𝐷𝐶 по стороне и двум
  прилежащим к ней углам.
  Тогда ВК=АС, ∠ВК𝐷=∠𝐷𝐴С.
  
  6. Т.к. ВЕ – биссектриса, то АВ ВС = АЕ ЕС ⇔ 1 2 = АЕ ЕС ⇒ ЕС=2АЕ и АС=3АЕ.
  
  7. ∆АОЕ~∆ВОК по углам:∠АОЕ=∠ВОК=90°, ∠К𝐵𝐷=∠𝐷𝐶𝐴.
  Следовательно, ВК АЕ = ВО ОЕ = ОК АО = 3 1 ⇒ ВО ОЕ = 3 1 ⇒ ВО=3ОЕ.
  
  По условию ВЕ = 28, значит ОЕ = 7, ВО = 21.
  
  8. По т. Пифагора АВ= ВО 2 + АО 2 = 14 2 + 21 2 = 637 =7 13 , тогда
  ВС=2АВ=14 13 ,
  АС=3АЕ=3 АО 2 + ОЕ 2 =3 14 2 + 7 2 =3∙ 245 =21 5 .
  Ответ: 7 13 , 14 13 , 21 5 .
  
  
  
  А
  В
  С
  D
  O
  E
  K
  В
  

• 15 слайд

  6. В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника ABC.
  3 способ: по теореме Менелая
  Решение:
  1. Рассмотрим ∆𝐴𝐵𝑂 и ∆𝐵𝑂𝐷:
  ∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐵𝑂𝐷=90°,
  ∠𝐴𝐵𝑂=∠𝑂𝐵𝐷 - по условию,
  ВО – общая сторона.
  Значит, ∆𝐴𝐵𝑂= ∆𝐵𝑂𝐷 по стороне и двум
  прилежащим к ней углам.
  Тогда ∠В𝐴𝑂=∠𝐵𝐷О и 𝐴𝐵=𝐵𝐷.
  
  2. BD=DC – по условию, тогда ВС=2АВ.
  3. Т.к. 𝐴𝐵=𝐵𝐷, то ∆𝐴𝐵𝐷− равнобедренный,
  тогда ВО −биссектриса, высота и медиана.
  Значит, АО = ОD = 14 см.
  А
  В
  С
  D
  O
  E
  

• 16 слайд

  6. (продолжение)
  4. Т.к. ВЕ – биссектриса, то АВ ВС = АЕ ЕС ⇔ 1 2 = АЕ ЕС ⇒ЕС=2АЕ и АС=3АЕ
  5. Пусть ВО = 𝑥, тогда ЕО=28−𝑥.
  По теореме Пифагора АВ 2 = АО 2 + ВО 2 .
  АВ= АО 2 + ВО 2 = 14 2 + 𝑥 2 , тогда ВС=2 14 2 + 𝑥 2 ,
  АЕ 2 = АО 2 + ОЕ 2
  АЕ= АО 2 + ЕО 2 = 14 2 + (28−𝑥) 2 , 𝐴𝐶=3 14 2 + (28−𝑥) 2 .
  По теореме Менелая
  ЕО ОВ ∙ В𝐷 𝐷𝐶 ∙ 𝐶𝐴 𝐴𝐸 =1. Значит 28−𝑥 𝑥 ∙ 1 1 ∙ 3 14 2 + (28−𝑥) 2 14 2 + (28−𝑥) 2 =1
  28−𝑥 𝑥 ∙ 1 1 ∙ 3 1 =1 ⇒ 28−𝑥 𝑥 = 1 3 ⇒3∙28−3𝑥=𝑥 ⇒𝑥=21.
  Следовательно, ВО=𝑥=21, 𝑂𝐸=28−𝑥=7 .
  

• 17 слайд

  6. (продолжение)
  
  7. Находим стороны треугольника АВС :
  АВ= АО 2 + ВО 2 = 14 2 + 21 2 = 196+441 = 637 =7 13 ,
  
  ВС=2АВ=14 13 ,
  
  АС=3АЕ= 3 АО 2 + ОЕ 2 =3 14 2 + (28−𝑥) 2 =
  =3 196+49 =
  =3 245 =21 5 .
  
  Ответ: 7 13 , 14 13 , 21 5 .
  

• 18 слайд

  6. В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника ABC.
  4 способ: метод площадей
  Решение:
  1. Т.к.∆𝐴𝐵𝑂= ∆𝐵𝑂𝐷 по стороне и
  двум прилежащим к ней углам,
  то ∆𝐴𝐵𝐷 – равнобедренный (𝐴𝐵=𝐵𝐷)
  и АО = ОD = 14 см.
  2. Т.к. АО=ОD , то 𝑆 ∆𝐴𝑂𝐵 = 𝑆 ∆𝐵𝑂𝐷 и
  𝑆 ∆𝐴𝑂Е = 𝑆 ∆𝑂𝐷Е = S.
  Тогда 𝑆 ∆𝐴𝐷𝐸 = 𝑆 ∆𝐴𝑂𝐸 + 𝑆 ∆𝑂𝐷𝐸 =2𝑆.
  3. BE - биссектриса ⇒ АВ ВС = АЕ ЕС = 1 2.
  Тогда 𝑆 ∆𝐷𝐸С = 2𝑆 ∆𝐴𝐸𝐷 =2∙2𝑆=𝟒𝑺.
  4. BD=DC ⇒ 𝑆 ∆𝐴𝐵𝐷 = 𝑆 ∆𝐴𝐷𝐶 = 6S.
  5. 𝐴𝑂=𝑂𝐷= 1 2 𝐴𝐷 ⇒ 𝑆 ∆𝐴𝐵𝑂 = 𝑆 ∆𝐵𝑂𝐷 = 1 2 𝑆 ∆𝐴𝐵𝐷 = 1 2 ∙6𝑆=𝟑𝑺=3∙ 𝑆 ∆𝐴𝑂𝐸 .
  6. 𝑆 ∆𝐴𝑂𝐵 = 1 2 ∙𝐴𝑂∙𝑂𝐵=𝟑𝑺, 𝑆 ∆𝐴𝑂𝐸 = 1 2 ∙𝐴𝑂∙𝑂𝐸=𝑺 ⇒ 𝑂𝐵=3∙𝑂𝐸.
  
  
  
  А
  В
  С
  D
  S
  E
  О
  S
  4 S
  3 S
  3 S
  

• 19 слайд

  6. (продолжение)
  7. BE=𝑂𝐸+𝐵𝑂=4𝑂𝐸=28 ⇒𝑂𝐸=7, 𝐵𝑂=21.
  По теореме Пифагора для ∆𝐴𝑂𝐸:
  𝐴𝐸= 𝐴𝑂 2 + 𝑂𝐸 2 = 14 2 + 7 2 = 245 =7 5 ,
  𝐴𝐶=3𝐴𝐸=3∙7 5 =21 5 ;
  ∆𝐴𝑂𝐵: 𝐴𝐵= 𝐴𝑂 2 + 𝑂𝐵 2 = 14 2 + 21 2 = 637 =7 13 ;
  𝐵𝐶=2𝐴𝐵=14 13 .
  𝐴𝐵=7 13 , 𝐵𝐶=14 13 , 𝐴𝐶=21 5 .
  
  Ответ: 7 13 , 14 13 , 21 5 .
  
  

Краткое описание документа:

В работе рассмотрено решение заданий одного варианта второй части ОГЭ по математике. Отражено правильное оформление решений с учетом критериев оценки и указаний экспертам. Материал презентации предназначен как учителям - предметникам, так и учащимся, готовящимся к сдаче ОГЭ по математике.