ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ СУММЫ ПЕРВЫХ п ЧЛЕНОВ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

Применение формулы суммы первых п членов
арифметической прогрессии

Цели: закреплять умения и навыки применения формулы суммы первых п членов арифметической прогрессии при решении задач; провести подготовку к контрольной работе.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Является ли арифметической прогрессией последовательность, заданная формулой:

а) х_п = 2п + 1;

б) у_п = п² – п;

в) z_n = –64?

2. Найдите разность арифметической прогрессии:

г) 17; 13; 9; …

д) (х_п), если х₁₀ = 4, х₁₂ = 14;

е) (у_п), если у_п = 3п – 0,5.

3. (а_п) – арифметическая прогрессия, вычислите:

ж) а₇, если а₁ = 1, d = –2;

з) а₁₀, если а_п = 17 · п – 100;

и) а₁₂, если а₁ = 0, а₂ = 3.

III. Проверочная работа.

Работа проводится по вариантом, задания на «прямое» применение формулы суммы п первых членов арифметической прогрессии.

В а р и а н т  1

1) Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, если а₁ = 16,5; d = –1,5.

2) Найдите сумму первых сорока членов последовательности, заданной формулой а_п = 3п + 2.

3) Найдите  сумму  десяти  первых  членов  арифметической  прогрессии (а_п), если а₁ = 8, а₇ = 26.

В а р и а н т  2

1) Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если а₁ = 18,5; d = –2,5.

2) Найдите сумму первых двадцати членов последовательности, заданной формулой х_п = 4п + 5.

3) Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии (а_п), если а₁ = 6, а₁₁ = 46.

О т в е т ы:

Задание	I вариант	II вариант
1	99	72,5
2	2540	940
3	215	336

IV. Формирование умений и навыков.

Все упражнения, решаемые на этом уроке, можно условно разделить на следующие виды:

1) На вычисление суммы первых п членов арифметической прогрессии по двум формулам (требует выбора формулы в зависимости от условия задачи).

2) На вычисление отдельных членов, числа членов, разности арифметической прогрессии по формулам суммы первых п членов.

3) На нахождение вышеперечисленных величин при наличии дополнительных условий и ограничений, сводящиеся к решению систем уравнений, неравенств.

Задания первого вида были выполнены в ходе проверочной работы.

Упражнения:

№ 609 (в), № 610, № 612, № 614, № 616. Решение у доски с комментариями.

Р е ш е н и е

№ 609 (в).

(а_п) – арифметическая прогрессия;

а_п = 4п, а_п ≤ 300;

4п ≤ 300;

п ≤ 75, значит, п = 75 – количество таких чисел.

а₁ = 4; а₇₅ = 4 · 75 = 300;

S₇₅ =  · 75 = 11400.

О т в е т: 11400.

№ 610.

В  этом  упражнении  задана  арифметическая  прогрессия  (а_п),  где
а₁ = 10; d = 3. Наши формулы позволяют находить сумму с первого по п-й член включительно, а требуется найти с 15-го по 30-й включительно. Заметим, что  мы  можем  найти  суммы членов арифметической прогрессии с 1-го по 30-й и с 1-го по 14-й включительно, их разность и даст искомый результат.

S₃₀ =  · 30;  S₃₀ =  · 30 = 1605.

S₁₄ =  · 14;  S₁₄ =  · 14 = 413.

S₃₀ – S₁₄ = 1192.

О т в е т: 1192.

№ 612.

(с_п) – арифметическая прогрессия;

с₇ = 18,5; с₁₇ = –26,5.

S₂₀ =  · 20;  S₂₀ =  · 20 = 55.

О т в е т: 55.

№ 616.

Количество шаров в каждом ряду можно представить в виде арифметической прогрессии (а_п), где а₁ = 1; d = 1.

1. S_n = 120. Найти п.

S_n =  · п;  120 =  · п;

240 = (п + 1) · п;

п² + п – 240 = 0;

п = 15 или п = –16, так как п N, то выбираем п = 15.

2. п = 30. Найти S₃₀.

S₃₀ =  · 30;  S₃₀ =  · 30 = 465.

О т в е т: 15 рядов, 465 шаров.

V. Итоги урока.

Ответить на контрольные вопросы (учебник, с. 153).

Домашнее задание: № 609 (б; г), № 611, № 613