Применение интеграла к вычислению физических величин и площадей.

• 1 слайд

  Презентация к Практическому занятию по математике
  № 34 Применение интеграла к вычислению физических величин и площадей.
  Козыревой Т.А.
  

• 2 слайд

  урок
  преподавателя математики Козыревой Т.А.
   С ДОБРЫМ УТРОМ! НАЧАТ ДЕНЬ.
  ПЕРВЫМ ДЕЛОМ ГОНИМ ЛЕНЬ.
  НА УРОКАХ НЕ СКУЧАТЬ,
  А РАБОТАТЬ И ЧИТАТЬ!
  
  
  ДОБРЫЙ ДЕНЬ, ДОБРЫЙ ЧАС!
  КАК Я РАДА ВИДЕТЬ ВАС!
  ДРУГ НА ДРУГА ПОСМОТРЕЛИ
  И ТИХОНЕЧКО ВСЕ СЕЛИ.
  

• 3 слайд

  Желаю
  Желаю удачи !!!
  

• 4 слайд

  Работа в группах
  Одному или одной
  Трудно справиться с бедой.
  Слово «мы»
  Сильней, чем «я».
  Мы – семья
  И мы – друзья.
  
  
  

• 5 слайд

  Свойства интеграла
  

• 6 слайд

  
  Математика
  Вычисления Sфигур.
  Длина дуги кривой.
  Vтела на S параллельных сечений.
  V тела вращения и т.д.
  Физика
  Работа А переменной силы.
  S – (путь) перемещения.
  Вычисление массы.
  Вычисление момента инерции линии, круга, цилиндра.
  Вычисление координаты центра тяжести.
  Количество теплоты и т.д.
  
  

• 7 слайд

  На каком рисунке изображена фигура, не являющаяся криволинейной трапецией?
  
  

• 8 слайд

  С помощью формулы Ньютона-Лейбница вычисляют
  
  А)первообразную Б) площадь криволинейной трапеции в) интеграл г) производную
  А если фигура не является криволинейной трапецией, как найти ее площадь? Я думаю, что вы догадались, чему будет посвящено следующее задание «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла».
  
  

• 9 слайд

  Сведения из истории интегрального исчисления
  
  Интеграл - одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в связи с необходимостью решения задач из физики, механики математики, но в первую очередь, следующих двух: определения скорости прямолинейного движения и площади фигур.
  История понятия интеграла уходит корнями к математикам Древней Греции и Древнего Рима. Известны работы учёного Древней Греции - Евдокса Книдского (ок.408—ок.355 до н.э.) на нахождение объёмов тел и вычисления площадей плоских фигур.
  Сам Архимед (287-212 до н.э.) высоко ценил результаты древних математиков. Согласно его желанию, на его могиле высечен шар, вписанный в цилиндр. Архимед показал, что объём такого шара равен двум третьим объёма цилиндра. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления, но потребовалось более полутора тысячи лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.
  Большое распространение интегральное исчисление получило в XVII веке. Учёные: Г. Лейбниц (1646-1716)и И.Ньютон (1643-1727) открыли независимо друг от друга и практически одновременно формулу, названную в последствии формулой Ньютона - Лейбница, которой мы пользуемся. То, что математическую формулу вывели философ и физик никого не удивляет, ведь математика—язык, на котором говорит сама природа.
  Символ интеграла был введён Лейбницом (1675г.) Этот знак является изменением формы латинской буквы S. А слово «интеграл» было введено Я. Бернулли (1690). Пределы интегрирования указал уже Л.Эйлер(1707-1783). В 1697 году появилось название новой ветви математики - интегральное исчисление. Его ввёл Бернулли.
  В развитии интегрального исчисления приняли участие и русские учёные: М.В.Остроградский, Буняковский В.Я., Чебышев П.Л. Немецкий математики: Б.Риман, О.Коши. Советский учёный – А.Я.Химчин.
   
  
  

• 10 слайд

  Вычисление объёма тел при помощи интеграла.
  
  Пусть задано тело объёмом V, причём имеется такая прямая что, какую бы плоскость, перпендикулярную этой прямой, мы ни взяли, нам известна площадь S сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпендикулярная оси Ох, пересекает её в некоторой точке х. Следовательно, каждому числу х (из отрезка [а;b],) поставлено в соответствие единственное число S(х) - площадь сечения тела этой плоскостью. Тем самым на отрезке [а;b] задана функция S(х). Если функция S непрерывна на отрезке [а;b], то справедлива формула
  Полное доказательство этой формулы даётся в курсах математического анализа, а здесь остановимся на наглядных соображениях, приводящих к ней.
  Разобьём отрезок [а; b] на n отрезков равной длины точками , и пусть , k=1, 2, …, n.
  Через каждую точку х проведём плоскость, перпендикулярную оси Ох. Эти плоскости разрезают заданное тело на слои Объём слоя, заключённого между плоскостями и , при достаточно больших n приближенно равен площади сечения, умноженной на " толщину слоя" х, и поэтому
  Точность этого приближённого равенства тем выше, чем тоньше слои, на которые разрезано тело, т.е. чем больше n. Поэтому при . По определению интеграла.
   
  
  

• 11 слайд

• 12 слайд

  x=f(у)
  f(у)
  у
  х
  у=b
  у=a
  0
  В
  А
  
  
  
  
  
  

• 13 слайд

• 14 слайд

• 15 слайд

• 16 слайд

• 17 слайд

  r
  Hr
  H
  x
  dx
  
  x
  dx
  
  r
  H
  x
  dx
  

• 18 слайд

• 19 слайд

• 20 слайд

Краткое описание документа:

В данной презентации предложен материал,позволяющий проверить приобретенные знания и умения по теме. Использованные примеры, позволяют совер­шенствовать практические навыки и вычислительную культуру по при­менению формулы Ньютона- Лейбница при вычислении объемов тел.Приведены примеры использования интегралов в физике, геометрии, сведения из истории интегрального исчисления.