Проект "Делить или не делить?" - Вот в чём вопрос"

муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

Первотроицкая средняя школа

ПРОЕКТ

Тема «ДЕЛИТЬ ИЛИ НЕ ДЕЛИТЬ?» - ВОТ В ЧЁМ ВОПРОС»

Автор: Слесарь Лада Артёмовна, 6 класс.

Руководитель: Пилипейко Олеся Ивановна, учитель математики.

2019

1.     Введение

«Лучший способ изучить что-либо - это открыть самому»

(Д. Пойа)

В этом году на уроках математики мы познакомились с простыми и составными числами, а так же с признаками делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Знание признаков помогает нам быстро считать и делать меньше ошибок при счете. У меня возникли вопросы: «А существуют ли признаки делимости на другие числа?», «Пригодятся ли эти знания в дальнейшем при изучении математики?».  

Признаки делимости чисел очень интересная тема. Меня она очень заинтересовала, я изучила много литературы и к своей радости нашла несколько из них.

Своими открытиями я решила поделиться с одноклассниками и учениками 11 класса, так как им эта тема понадобится при сдаче ЕГЭ.

Гипотеза проекта

    Я предполагаю, что существуют другие признаки делимости.

Цель

    Исследовать признаки делимости кроме тех, что мы изучаем в школьном курсе математики. И познакомить с ними других учащихся.

Поставленная цель достигается через следующие задачи:

1. Познакомиться с различными источниками;

2. Систематизировать полученную информацию;

3. Попробовать на практике применить несколько выявленных признаков;

4. Познакомить учащихся с другими признаками.

Объектом данного исследования выступают признаки делимости.

2.     Основная часть

2.1.          Немного из истории

Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком  Леона́рдо Пиза́нским (лат. Leonardus Pisanus, итал. Leonardo Pisano, около 1170 года, Пиза — около 1250 года, там же) — первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибона́ччи. над этим же вопросом в свое время задумался живший в 3 веке до нашей эры александрийский ученый Эратосфен. Его метод составления списка простых чисел назвали «решето Эратосфена». Пусть надо найти все простые числа до 100. Напишем подряд все числа до 100.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.

Оставив число 2, зачеркнем все остальные четные числа. Первым уцелевшим числом после 2 будет 3. Теперь, оставив число 3, зачеркнем числа, делящиеся на 3. Затем зачеркнем числа, делящиеся на 5. В результате все составные числа окажутся вычеркнутыми и останутся только простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. По этому методу можно составлять списки простых чисел, больших 100.

Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы. Выделялись классы: совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3), дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220 и 284: 284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142) и др. Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662г.г.). Ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки. Его признак состоит в следующем: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа a на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.
                                           2.2  Простые и составные числа

Простыми называются натуральные числа, которые не имеют других натуральных различных делителей, кроме единицы и самого себя.

Например, число 11 – простое, т.к. делится на 1 и само на себя.

Числа, которые имеют и другие натуральные делители кроме 1 и самого себя, называются составными.

Например, число 144 – составное, т.к. имеет более двух делителей: 1; 2; 12; 72; 144. 

Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.

2.3.          Признак делимости

Математики прошлых веков придумали множество удобных уловок, чтобы облегчить расчеты и вычисления. Вполне разумный выход из положения, ведь у них не было ни калькуляторов, ни компьютеров. Казалось бы, теперь все эти полезные приемы никому не нужны, ведь у каждого школьника всегда под рукой сотовый телефон со встроенным калькулятором, но, в некоторых ситуациях, умение пользоваться удобными способами вычисления значительно облегчает решение задач и существенно сокращает затраченное на них время. К подобным полезным приемам вычисления, несомненно, относятся признаки делимости на число.

Признак  делимости - это правило, по которому, не выполняя деления, можно  установить, делится ли одно число на другое.

Какие-то из них более легкие изучают  в рамках школьного курса, а некоторые - достаточно сложные и представляют скорее исследовательский интерес, чем практический.

Впрочем, проверить каждый из признаков делимости на конкретных числах всегда интересно.

2.4.          Признаки делимости, изучаемые в школьном курсе математики

На  2:  Если число оканчивается на 0 или любое четное число, то оно делится на 2. 

Пример:       152, 47760, 5298.

На 3: Если сумма цифр числа делится на 3, то и все число делится на 3.

Пример:     735426:3=245142, т.к. 7+3+5+4+2+6=27, а 27:3.

На 9:  Если сумма цифр числа делится на 9, то и все число делится на 9.

Пример:     153711:9=17079, т.к. 1+5+3+7+1+1=18, а 18:9.

На 5:  Если натуральное число оканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5.

Пример:   450,  48765

На 10:  На 10 делится любое натуральное число, которое оканчивается на 0.

Пример:       8570, 6500000

2.5.          Другие признаки делимости натуральных чисел.

Изучив дополнительную литературу, я открыла для себя и другие признаки делимости натуральных чисел.

На 4:  Число делится на 4, когда две его последние цифры нули или составляют число, делящееся на 4.

Пример:    36500:4=9125

56812,  12:4,  следовательно,   56812:4= 14203

На 6:  Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

Пример: 35664:4=8916

Так как 35664 четное число и делится на 3 (3+5+6+6+4=24), то это число делится на 6.

На 7: Число делится на 7, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на число 7 .

364:7=52, так как 36-(2 × 4) = 28 делится на 7.

1792 делится на 7, так как 179-(2 × 9) =161 делится на 7.

На 8: Если число, составленное из трех последних цифр в записи целого числа, делится на 8, то оно делится на 8. 

Пример: 21 008:8=2626, так как 8:8=1.

 Если справа в записи целого числа три цифры (или большее их количество) являются нулями, то такие числа делятся на 8.

Пример: 21 000, 780 000, 255 210 204 000

На 11:  Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11.

Пример:   285846:11= 25986, т.к. 2+5+4=11, 8+8+6=22, 22-11=11,

а 11 делится на 11.

 На 13:   Натуральное число делится на 13, если разность числа тысяч и числа, образованного последними тремя цифрами, делится на 13.

Пример:    465400:13=35800, т.к. 465-400=65, а 65делится на 13.           

Или другой признак:  Число делится на 13, если сумма числа десятков и учетверенной цифрой в разряде единиц делится на 13.

Пример:  845:13= 65, т.к. 84+5*4=104, а 104 делится на 13.

На 17:  Число делится на 17, если модуль разности числа десятков и умноженной на 5 цифрой в разряде единиц делится на 17.

 Примеры:  187:17= 18, т.к. |18-7*5|= 17, а 17 делится на 17.

                      1428:17= 84, т.к. |142-8*5|= 102, а 102 делится на 17.

На 19:  Число делится на 19, если сумма его десятков с удвоенной цифрой единиц делится на 19.

Примеры:   855:19=45, т.к. 85+5*2= 95, а 95 делится на 19.

                      1843:19=97, т.к. 184+3*2= 190, а 190 делится на 19.

На 23:    Число делится на 23, если число его десятков, сложенное с умноженной на 7 цифрой в разряде единиц, делится на 23.

Пример:  207:23=9, т.к. 20+7*7 69, а 69делится на 23.

На 29:   Число делится на 29, если число его десятков, сложенное с утроенной цифрой в разряде единиц, делится на 29.

Пример:   261:29=9, т.к. 29+3*1= 29, а 29 делится на 29.

На 31: Число делится на 31, если модуль разности числа десятков и утроенной цифры числа в разряде единиц делится на 31.

Пример:  744:31=24, т.к.  74-4*3=62, а 62 делится на 31

Изучив дополнительную литературу, я сделала вывод, что признаков  делимости достаточно много.

Все перечисленные признаки делимости  можно обобщить в четыре группы:

1 группа – делимость чисел по последним цифрам числа (признаки делимости на 2, 4, 5,10..).

2 группа – делимость чисел определяется по сумме цифр числа (признаки делимости на 3, 9, 7…).

3 группа – делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа (признаки делимости на 7, 11,13…).

4 группа – признаки делимости определяются с использованием нескольких других признаков  (признаки делимости на 12, 6 и т.д.)

3.        Практическая часть

  Когда я перешла к решению задач на применение признаков делимости натуральных чисел, мне стало интересно: «А понадобятся ли мне эти знания в старших классах?».  В сборнике по подготовке к ЕГЭ по математике 2018 года базового уровня я нашла такие задачи. Это задачи под №19.

Задача 1. Найдите четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого равно 60.  В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Я рассуждала так, число делится на 15, если оно делится на 5 и на 3.  Если число делится на 5, то оно заканчивается 0 или 5. Число оканчиваться  на 0 не может, т.к. произведение цифр бы тогда равнялось нулю. Значит, число оканчивается  цифрой 5.

 Т.к. число четырехзначное, то осталось найти еще три цифры (стоящие перед 5), которые при умножении дадут 12. Т.к 60:5=12.

Число 12 можно представить в виде произведения следующих трех множителей:               12=1*3*4,

                           12=1*2*6,

                           12=2*2*3.     

Из условия задачи число должно делиться на 15, поэтому выбираю тот вариант, где сумма цифр множителей и числа 5 будет делиться на 3.    1345 не делится на15, т.к. сумма цифр не делится на 3.

1265 тоже не делится на 15,сумма цифр не делится на 3.

2235 делится на 15, т.к. (2+2+3+5) делится на 3 и число оканчивается 5. Первые три цифры числа можно чередовать.

Ответ: 2235 или  2325 или 3225.   

Задача 2.  Найти шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 0 и 6 и делится на 90.

   Решение:  90=10*9. Число должно делиться на 10 и на 9. Т.е. оно должно оканчиваться на 0 и сумма цифр числа должно делиться на 9.     Значит в записи числа должны быть три 6, т.к 3*6=18, а 18 делится на 9.  Возможные варианты ответов: 666000, 600660, 660600, 606060.

Задача 3.  Найдите четырехзначное число, кратное 45, все цифры которого различны и нечетны. В ответе укажите какое-либо одно такое число.

Решение:  45=9*5.  Искомое число должно делиться на 9 и на 5.  Значит, оканчиваться оно должно на 5, т.к. 0 число четное. Первые три цифры могут быть 1, 3, 7,9. Выбираем такие три числа, чтобы их сумма  с цифрой 5, делилась бы на 9. Это цифры 1, 3,9 и 5. Т.к. 1+3+9+5=18, а 18 делится на 9. Возможные ответы: 1395, 3195, 9135, 3915,1935.

Задача 4. Вычеркните в числе 53164185 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответ укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Решение:    12=3*4.  Искомое число должно делиться на 3 и на 4. Значит, сумма цифр числа делится на 3 и последние две цифры образуют число, делящееся на 4.   Рассуждая таким образом, можно вычеркнуть последние цифры 5 и 1. Оставшиеся две последние цифры образуют число 48, которое делится на 4.  Остается из оставшихся цифр убрать такую, чтобы сумма оставшихся делилась на 3. Это может быть цифра 3.  Оставшиеся цифры образуют число 51648, которое делится на 12  (48:4 и  5+1+6+4+8=24, и 24 делится на 3).

Задача 5. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение: Искомое натуральное число делится на 24, следовательно, оно делится на 3 и на 8.

Число делится на 3, если сумма его цифр кратна 3.

Число делится на 8, если три его последние цифры делятся на 8 или являются нулями.

Чтобы искомое число делилось на 3, оно должно состоять из шести цифр 2, или из трех цифр 2 и трех цифр 0.

222 не делится на 8, поэтому первый вариант нас не устраивает.

Значит искомое число состоит трех цифр 2 и трех цифр 0.

На 8 в этом случае делится, например, такое число: 222000

Задача 6. Найдите трехзначное натуральное число, кратно 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите како-нибудь одно такое число. 

Решение: Сумма трех цифр равна их произведению, например, в том случае, если это цифры 1, 2, 3.

Составим из этих цифр число, которое делится на 4. Две последние цифры этого числа должны образовать число, которое делится на 4. Это может быть 12 или 32. В таком случае искомым числом может быть одно из чисел 321 или 132.

4. Практическая значимость проекта.

Я решила научить пользоваться признаками делимости учащихся  11 классов нашей школы. Выпускники с большим интересом познакомились с презентацией, вспомнили признаки делимости, которые изучали в 6 классе и познакомились с новыми. Все ребята получили памятки «Признаки делимости», с их помощью они решили несколько заданий.

    Итак, в заключение хочу  сказать о практической значимости моей работы. Материал данного проекта можно изучать на факультативных занятиях, использовать при подготовке к математическим олимпиадам, а самое главное,   подготовке   к Единому Государственному Экзамену по математике в выпускных классах.

3. Заключение

Результаты работы над проектом:

•      Работая над проектом, я изучила справочную литературу  и интернет-ресурсы по теме исследования.   

•      Изучила  признаки делимости чисел.

•      Расширила свои  знания о признаках делимости чисел, убедились в их многообразии.  

•       Провела для учащихся 11 класса урок «Признаки делимости». Для этого урока подобрала много интересных примеров.

Список источников:

·        Г. И. Глейзер «История математики в школе 7 – 8 классы», Москва, 1982, «Просвещение».

·        «1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний» Москва 2004 «Мир книги»

·        Я.И. Перельман. Занимательная Алгебра, - М.: Триада-Литера, 1994.-199с.

  Электронные источники.