Проект "ФЛЕКСАГОНЫ, ФЛЕКСОРЫ, ФЛЕКСМАНЫ"

ФЛЕКСАГОНЫ, ФЛЕКСОРЫ, ФЛЕКСМАНЫ

(Математика)

реферативно-исследовательская работа

Исследовательская (творческая) работа на Челябинский

молодежный интеллектуальный форум «Шаг в будущее-Созвездие-НТТМ»

(секция 3.1.б «Фундаментальная математика»)

Содержание:

Введение

1. Флексагоны

-       История открытия

-       Гексагексафлексагон

-       Путь Таккермана

-       Двойное шарнирное соединение

2. Вращающие кольца тетраэдров

-       Изготовление флексора

-       Спор о существовании флексора

-       Магическое кольцо из восьми тетраэдров

3. Флексманы

-       Изготовление флексмана

-       Свойство флексмана

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение

Все мы любим занимательную математику. Занимательная математика пробуждает наблюдательность, умение логически мыслить, веру в свои силы. Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, парадокса и т.д. Относится ли занимательная математика к чистой или прикладной математике? С одной стороны, занимательную математику, безусловно, следует считать математикой без малейшей примеси утилитарности. С другой стороны, она, несомненно, относится к прикладной математике, ибо отвечает извечной человеческой потребности в игре. Вероятно, такая потребность в игре лежит в основе даже чистой математики. Не так уж велико различие между восторгом человека, сумевшего найти ключ к сложной головоломке, и радостью математика, преодолевшего еще одно препятствие на пути к решению сложной научной проблемы. И тот и другой заняты поисками истиной красоты – того ясного, четко определенного, загадочного и восхитительного порядка, что лежит в основе всех явлений. Неудивительно поэтому, что чистую математику порой трудно отличить от занимательной.

Многие считают, что математика не интересна и состоит только из формул, задач, решений и уравнений. Я хочу продемонстрировать своей работой, что математика разноплановая наука, и главная цель – показать, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения.

Я приглашаю на короткую экскурсию в загадочный мир флексагонов, флексоров, флексманов, - бумажных игрушек, обладающих поразительной способностью внезапно менять свою форму и цвет.

Цель работы:

– изучить мир флексагонов, флексоров и флексманов.

Задачи

– представить в работе ряд математических игрушек, и показать, что в их основе лежит чистая математика;

– продемонстрировать своей работой, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения.

Для выполнения намеченных задач, мною были использованы следующие методы: сбор и анализ литературы, описание, поиск информации, обработка информации.

1.1 История открытия

Флексагоны - это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые поверхности неожиданно выходят наружу. Если бы не одно случайное обстоятельство - различие в формате английских и американских блокнотов, - флексагоны, возможно, не были бы открыты и по сей день и многие выдающиеся математики лишились бы удовольствия изучать их замысловатую структуру.

Это произошло в конце 1939 года. Как-то раз Артур Х. Стоун, двадцатитрехлетний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенно интересной. Перегнув полоску бумаги в трех местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник (рис.1). Взяв этот шестиугольник за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы обе стороны исходного шестиугольника были разного цвета, то после перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех. При этом Стоуну удалось найти настолько интересную конфигурацию, что он решил показать свои бумажные модели друзьям по университету. Вскоре "флексагоны" в изобилии стали появляться на столе во время завтраков и обедов, когда вся компания собиралась вместе. Для проникновения в тайны "флексологии" был организован "Флексагонный комитет". Кроме Стоуна, в него вошли аспирант-математик Бриан Таккермен, аспирант-физик Ричард Фейнман и молодой преподаватель математики Джон У. Тьюки.

Рис. 1

Постоянные модели были названы гексафлексагонами: "гекса" - из-за их шестиугольной формы (От греческого "гекс", что означает шесть.), "флексагонами" - из-за их способности складываться (To flex [англ.] - складываться, сгибаться, гнуться.). Первый построенный Стоуном флексагон был назван тригексафлексагоном, так как у него были три поверхности. Вторая не менее изящная модель Стоуна получила название гексагексафлексагона (первое "гекса" - шесть - также означает число поверхностей этой модели).

1.2 Гексафлексагон

Гексагексафлексагон – это флексагон, имеющий форму правильного шестиугольника.

Чтобы сложить гексагексафлексагон, берут полоску бумаги (великолепным материалом для изготовления гексагексафлексагонов может служить лента от кассовых аппаратов), разделенную на 19 равносторонних треугольников (рис.2). В треугольники с одной стороны нужно вписать в указанном на рис. 2 порядке цифры 1, 2, 3. Девятнадцатый (последний) треугольник остается незаполненным. Треугольники на обратной стороне следует в соответствии со схемой на рис. 2 пронумеровать цифрами 4,5,6. После этого полоску складывают так, чтобы треугольники на ее обратной стороне, имеющие одинаковые цифры, оказались наложенными друг на друга - 4 на 4, 5 на 5, 6 на 6. В результате у нас получится заготовка гексагексафлексагона, показанная на рис. 2, б. Перегнув ее по линиям ab и cd (рис. 2,в), получим шестиугольник. Остается лишь подвернуть вниз торчащий вправо пустой треугольник и приклеить его к пустому треугольнику на нижней стороне полоски. Проделать все эти операции намного легче, чем описать.

   

Рис. 2                                                                                     Рис. 3

Если все сделано верно, то во всех треугольниках на видимой стороне должна стоять цифра 1, а во всех треугольниках на другой стороне - цифра 2. В таком виде тригексафлексагон готов к перегибанию. Взявшись за два смежных треугольника (рис. 3), согнем шестиугольник по общей стороне этих треугольников и подогнем противоположный угол флексагона. При этом откроются треугольники с цифрами 3 или 5. Перегибая флексагон наугад, вы без труда обнаружите и остальные поверхности. Однако поверхности с цифрами 4, 5 и 6 найти несколько труднее, чем поверхности с цифрами 1, 2 и 3. Иногда вы будете блуждать по замкнутому кругу: сколько бы вы ни бились, перед вами будут открываться лишь одни и те же уже успевшие надоесть вам поверхности.

1.3 Путь Таккермана

Таккерман довольно быстро нашел простейший способ выявления всех поверхностей любого флексагона: держа флексагон за какой-нибудь угол, следует открывать фигуру до тех пор, пока она "открывается", а затем переходить к следующему углу. Этот метод, известный как "путь Таккермана", позволяет увидеть все шесть разворотов гексафлексагонов за один цикл из 12 перегибаний. Поверхности с цифрами 1, 2 и 3 будут появляться в три раза чаще, чем поверхности с цифрами 4,5 и 6. Путь Таккермана удобно изображать в виде схемы, показанной на рис. 4. Стрелки указывают, в каком порядке становится видимыми поверхности флексагона. Схемы такого типа пригодны для исследования любой разновидности флексагонов. Если модель перевернуть, то путь Таккермана будет изображаться той же схемой, но направление ее обхода будет противоположным.

Рис. 4

Комитет обнаружил, что, удлиняя цепочку треугольников, можно делать флексагоны с 9, 12, 15 и даже большим числом поверхностей. Таккерман ухитрился даже изготовить действующую модель флексагона с 48 поверхностями! Он также обнаружил, что из зигзагообразной полоски бумаги (то есть из полоски с зубчатым, а не прямым краем) можно сложить тетрагексафлексагон (с четырьмя поверхностями) и пентагексафлексагон (с пятью поверхностями). Существует три различных гексагексафлексагона: первый складывают из прямой полоски бумаги, второй - из полоски, предварительно сложенной в виде шестиугольника, и третий - из полоски, форма которой напоминает лист клевера. Разновидностей декагексафлексагона (с десятью поверхностями) намного больше - их 82. Заготовки для всех 82 типов декагексафлексагонов имеют вид бумажных полос, сложенных самым причудливым образом. В принципе можно построить флексагон с любым числом поверхностей, но если поверхностей больше 10, то число разновидностей флексагонов катастрофически возрастает. Кстати, все флексагоны с четным числом поверхностей делаются из двусторонних полос, а флексагоны с нечетным числом поверхностей, подобно листу Мёбиуса, имеют одну сторону.

Полная математическая теория флексагонов была разработана в 1940 году Тьюки и Фейнманом. Помимо всего прочего, теория указывает точный способ построения флексагона с любым числом сторон, причем именно той разновидности, которая требуется. В своем полном виде эта теория так и не была опубликована, хотя отдельные ее части впоследствии были открыты заново другими математиками. Среди энтузиастов "флексологии" следует назвать отца Таккермана известного физика Луи Таккермана. Таккерман старший внес существенный вклад в теорию флексагонов, разработав простой, но эффективный способ изображать путь Таккермана в виде дерева.

Нападение японцев на Пирл-Хабор приостановило работу "Флексагонного комитета", а война вскоре разбросала всех четырех его учредителей в разные стороны.

Комитет все еще надеется как-нибудь собраться и написать одну или две статьи с подробным изложением теории флексагонов. Но пока этого не случилось, ничто не мешает нам, играя с самодельными флексагонами, попытаться вывести собственную теорию.

1.4. Двойное шарнирное соединение

Двойное шарнирное соединение – это конструктивный элемент, служащий основой для еще одного ряда флексагонных моделей. Вырежем из бумаги два прямоугольника 2,5 х 5 см и две полоски размером 1 х 7 см. На обоих концах каждой полоски отогнем по квадрату 1 х 1 см. Раскрасим прямоугольники и полоски, как прямые, так и оборотные стороны.

         Приклеим обе полоски к одному из прямоугольников, соединяя незакрашенные квадраты  с незакрашенными, и завернем обе полоски на красную сторону прямоугольника.

Рис.5

         Сверху красной стороной наложим второй прямоугольник и снова склеим незакрашенные квадраты. Это и есть двойное шарнирное соединение. Оно само является простейшим флексагоном, который может находиться в двух состояниях. Чтобы перейти от одного состояния к другому, нужно сблизить удаленные стороны прямоугольников.

Рис. 6

2. Вращающиеся кольца тетраэдров

Вращающиеся кольца тетраэдров – эта цепочка из тетраэдров обладает удивительной способностью изгибаться и выворачиваться до бесконечности, все время меняя свою форму. Кольцо из тетраэдров – это первый пример флексора – изгибаемого многогранника.

Дж.М. Андреас и Р.М. Сталкер независимо друг от друга открыли семейство изгибаемых конечных многогранников с 2n вершинами, 6n ребрами (из которых 2n сдвоенных) и 4n треугольными гранями; n может равняться 6, 8 или любому большему целому числу. Гранями служат грани n тетраэдров, соединенных между собой в циклическом порядке по определенным парам противоположных ребер каждого, так что получается фигура наподобие кольца. При n = 6 эта фигура еще достаточно жесткая, но при n = 8 она уже может изгибаться и выворачиваться до бесконечности, как колечко дыма. Когда n четно, фигура стремится принять симметричную форму; особенно хороша она при n = 10 (рис. 7). Когда n нечетно, из-за полного отсутствия симметрии картина становится, пожалуй, еще более захватывающей. При n, большем или равном 22, кольцо может заузливаться.

2.1 Изготовление флексора

Флексор (латин. flexor - сгибатель) – вращающиеся кольца тетраэдров

Для изготовления модели кольца достаточно одного листа. В случае n = 6, нужно разместить фигуру, состоящую из 24 правильных треугольников и 9 клапанов. Вырезав ее, нужно сделать сгибы по внутренним линиям – по штриховым линиям вверх, а по пунктирным вниз – и приклейте клапаны в соответствии с буквенными обозначениями.

Рис.7

2.2 Спор о существовании флексора

Кольцо из тетраэдров как изгибаемый многогранник вызывает ряд возражений. Во- первых, в нем есть дырка. Во-вторых, имеются ребра, к которым подходят по четыре грани. Так что непонятно, стоит ли называть это кольцо многогранником.

Чтобы избежать всяких сомнений, при поиске флексоров можно было бы ограничиться только выпуклыми многогранниками, т.е. многогранниками, лежащими по одну сторону от каждой из своих граней. Но имеется знаменитая теорема Коши о том, что любой выпуклый многогранник неизгибаем. Она была доказана в 1813 году. Хотя эта теорема не исключала существования невыпуклых флексоров, но многие математики считали, что и таких флексоров тоже не существует.

2.3 Магическое кольцо из восьми тетраэдров – является магическим в нескольких смыслах. На нем расположены числа от 1 до 32. Четыре грани каждого тетраэдра дают в сумме 66; соответствующие грани, взятые по одной из каждого тетраэдра дают в сумме 132 (например, 9+7+17+31+10+8+18+32 = 132) – то же самое получается для восьми наборов из восьми граней, которые спирально обвиваются вокруг кольца (например, 1+12+31+21+2+11+32+22 = 132).

Рис. 8

Магическое вращающееся кольцо

3. Флексманы – это существа, населяющие мир флексагонов и флексоров.

3.1 Изготовление флексмана.

Надо вырезать из плотной бумаги квадрат со стороной 15-20 см. Его нужно согнуть по диагоналям сгибом вверх и по штриховой линии сгибом вниз (рис 9). А затем сложить чтобы получился треугольник. Теперь нужно будет проделать четыре одинаковые операции. Результат первой из них – сгиб по штриховой линии рисунка 9, б – изображен на рисунке 9, в, окончательный результат – на рисунке 9, г. Остаются еще четыре одинаковые завершающие операции – отгибание маленьких треугольников, и перед нами – флексман.

Рис. 9

3.2 Свойство флексмана

Самое примечательное свойство флексманов – это их умение ходить по наклонным плоскостям. Стоит поставить флексмана на достаточно пологую наклонную плоскость, и он тут же начинает мелкими шажками спускаться по ней. Каждый из флексманов обладает своеобразным характером или, уж во всяком случае, своеобразной походкой.

 Заключение

Многие считают, что математика не интересна и состоит только из формул, задач, решений и уравнений. Я продемонстрировал своей работой, что математика разноплановая наука, и показал, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения. Занимательная математика пробуждает наблюдательность, умение логически мыслить, веру в свои силы. Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, парадокса и т.д.

В своей работе я рассмотрел флексагоны, флексоры и флексманы, которые обладают удивительными свойствами изменять свою форму и цвет.

В ходе работы я изготовил из бумаги, рассмотренные объекты и наглядно увидел все перечисленные свойства.

Данную работу можно использовать на занятиях в математическом кружке, для заинтересованности учащихся к изучению математики, для развития логического мышления.

Литература

1.                Математические головоломки и развлечения. (Mathematical puzzles and diversions) 2-е издание, исправленное и дополненное. Перевод с английского Ю.А.Данилова под редакцией Я.А.Смородинского. М.: Мир. Редакция научно-популярной и научно-фантастической литературы, 1999 - Математическая мозаика

2.                А.А. Панов «Флексагоны, флексоры, флексманы»/ журнал «Квант» №7 1998 г.

3.                 Мартин Гарднер. Гексафлексагоны и Другие Математические Развлечения http://stepanov.lk.net/gardner/hex/hex.html

Приложение

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Краткое описание документа:

Все мы любим занимательную математику. Занимательная математика пробуждает наблюдательность, умение логически мыслить, веру в свои силы. Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, парадокса и т.д. Относится ли занимательная математика к чистой или прикладной математике? С одной стороны, занимательную математику, безусловно, следует считать математикой без малейшей примеси утилитарности. С другой стороны, она, несомненно, относится к прикладной математике, ибо отвечает извечной человеческой потребности в игре. Вероятно, такая потребность в игре лежит в основе даже чистой математики. Не так уж велико различие между восторгом человека, сумевшего найти ключ к сложной головоломке, и радостью математика, преодолевшего еще одно препятствие на пути к решению сложной научной проблемы. И тот и другой заняты поисками истиной красоты – того ясного, четко определенного, загадочного и восхитительного порядка, что лежит в основе всех явлений. Неудивительно поэтому, что чистую математику порой трудно отличить от занимательной.

Многие считают, что математика не интересна и состоит только из формул, задач, решений и уравнений. Я хочу продемонстрировать своей работой, что математика разноплановая наука, и главная цель – показать, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения.

Я приглашаю на короткую экскурсию в загадочный мир флексагонов, флексоров, флексманов, - бумажных игрушек, обладающих поразительной способностью внезапно менять свою форму и цвет.

Цель работы:

– изучить мир флексагонов, флексоров и флексманов.

Задачи

– представить в работе ряд математических игрушек, и показать, что в их основе лежит чистая математика;

– продемонстрировать своей работой, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения.

Для выполнения намеченных задач, мною были использованы следующие методы: сбор и анализ литературы, описание, поиск информации, обработка информации.