Проект «Геометрическая модель алгебраической задачи»

У кошки маленький котеночек подрос.

— Как дальше быть? — возник вопрос.

Ловить мышей — такая штука,

Что тут нужна теперь наука.

Решила мать, что впору

Послать котенка в школу,

И вот за партой в классе

Сидит пушистый Вася...

С усердием большим, как наказала мать,

Принялся кот науку постигать.

Он изучил до тонкости по темам

Строение мышей (по графикам и схемам).

Их чучела изготовлял из тряпок

В кружке «умелых лапок».

Решал, едва не плача,

Он про бассейн задачу.

(Сколь выльется сметаны, когда открыты краны.)

Был в геометрии как дома,

Знал доказательств остроту;

Тригонометрия знакома

Была прилежному коту.

И через десять лет, науками богат,

Понес домой наш кот из школы аттестат...

В то время у какой-то горки

Мышонок вылезал из норки,

Хоть Васька изучал мышиный род по книгам,

Исконного врага узнал он все же мигом.

Но как его схватить?

Нельзя же прыгнуть сразу!

Тут надо применить

Научных знаний базу...

Вот неизвестного мышонка

За икс он принял очень тонко.

Затем в системе CGS

Нашел его удельный вес.

v — скорость, ускоренье — а.

(А брызги сыплются с пера!)

По теореме Пифагора

Он путь нашел довольно скоро;

Привел ответы, глядя в книгу,

К логарифмическому виду;

Вписал последнюю строку

И приготовился к прыжку...

Пока ученый кот над уравненьем бился,

Мышонок-неуч в норке скрылся.

Запомните, друзья, соль истины такой:

Теория мертва без практики живой.

К. Анкундинов

Этапы решения задач:

1.     Выбор неизвестных;

2.     Составление уравнений или систем уравнений, а в некоторых случаях — систем неравенств;

3.     Нахождение неизвестных или нужной комбинации неизвестных;

4.     Отбор решений, подходящих по смыслу задачи.

Способы решения задач:

•        арифметический;

•        алгебраический;

•        геометрический: графический метод, метод площадей, метод подобия треугольников, тригонометрический метод и др.

Геометрические методы решения задач:

•     позволяют наглядно представить ситуацию задачи;

•     позволяют заменить алгебраическое решение задачи чисто геометрическим.

 

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №4» имени Героя Советского Союза Знаменского В.С.  г. Сухиничи Сухиничского района Калужской области

Памятка – буклет

«Метод подобия в решении текстовых задач»

Выполнили: учащиеся 8класса

Бункова Настя, Жаркова Настя, Лебедева Катя

под руководством учителя математики Жаровой О.А.

2018 г.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА «РАБОТУ» (№ 22 (340900))

Первая бригада может выполнить некоторую работу за 36 дней, а вторая -  за 45  дней. За сколько дней обе бригады,  работая вместе,  выполнят всю работу.

Решение.

Абсцисса точки O соответствует времени, за которое выполнят всю работу обе бригады, работая одновременно. Из подобия треугольников BOK и LOA получаем, что BO : OL = 36 : 45 = 4/5. Из подобия треугольников BCO и BAL имеем  = . Следовательно, CO = 4/9 *45=20.

Ответ: обе бригады, работая вместе, выполнят всю работу за 20 дней.

Замечание. Стоит обратить внимание на следующий замечательный факт из планиметрии. Четырехугольник ABKL (см. рис) – трапеция, отрезок CO – половина отрезка  CD (отрезка прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей трапеции, параллельно основаниям).

Этот отрезок СD – среднее гармоническое оснований трапеции.

СD=2ab /(a+b).

РЕШЕНИЕ  ЗАДАЧ  ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

1.      ЗАДАЧИ   НА   ДВИЖЕНИЕ

Подразумевается зависимость S=vt,

где S – путь, км; v – скорость движения, км/ч; t – время, ч.

2.      ЗАДАЧИ НА «РАБОТУ»

Подразумевается пропорциональная зависимость А=Nt,

где А - количество выполняемой работы; N –производительность труда, мощность; t – время.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ПОДОБИЯ

•      изображаем графики соответствующих процессов (без точного соответствия числовым данным задачи);

•        используя графики, находим подобные треугольники, из которых и определяем интересующие нас величины.

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ДВИЖЕНИЕ (№ 22 (314605))

Из двух населенных пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выходят два туриста. При встрече оказывается, что турист, вышедший из А, прошел на 2 км больше, чем второй турист. Продолжая движение с той же скоростью, первый турист прибывает в пункт В через 1 ч. 36 мин., а второй - в А – через 2ч. 30 мин. Найдите расстояние АВ и скорость каждого туриста.

Решение.

Построим графики движения туристов.

Ось  абсцисс - время t, ч.; ось ординат – расстояние S, км.

АС – график движения I туриста. ВD – график встречного движения туриста II . Точка Р – место встречи туристов .

Ответ: 18 км, 5 и 4 км\ч

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №4» имени Героя Советского Союза Знаменского В.С.  г. Сухиничи Сухиничского района Калужской области

Районная  научно-практическая конференция «Открытие», посвящённая  275-летию со дня рождения княгини Е.Р. Дашковой.

Возрастная категория: «8-9 классы»

Секция: математика

Название работы:

ПРОЕКТ: «Геометрическая модель алгебраической задачи»

Авторы работы:

Бункова Анастасия, Жаркова Анастасия, Лебедева Екатерина – учащиеся 8 класса.

Руководитель:

Жарова Оксана Александровна

учитель математики высшей квалификационной категории.

Сухиничи, 2018

Введение.

С начала своей жизни мы постоянно сталкиваемся с решением определённых задач. Складывали, вычитали конфеты (яблоки, птичек и т.п.), затем находили путь пешехода (автобуса, поезда…).  С каждым годом задачи становятся всё сложнее. В этом учебном году, на уроках алгебры мы столкнулись с решением текстовых задач при помощи дробно-рациональных уравнений. Мы привыкли решать задачи арифметически (расчётом) и алгебраически (при помощи уравнений) и с новыми задачами возник

Проблемный вопрос: Можно ли текстовую задачу  решить иначе?

Актуальность проекта: связана с необходимостью выработки навыка быстрого решения текстовых задач в условиях ограниченного времени при различных видах контроля знаний учащихся. Умение решать текстовые задачи является одним из основных показателей уровня математического развития ученика, глубины усвоения им учебного материала. По этой причине, текстовые задачи обязательно присутствуют в текстах государственной итоговой аттестации, и являются, как правило, самыми сложными для нас - учащихся. Традиционно текстовые задачи решаются арифметическим способом (по действиям) или алгебраическим (с помощью уравнений, неравенств и их систем). При решении заданий имеет значение не только правильность, но и скорость решения.

Цель: найти, изучить и показать новый метод решения текстовых задач.

Предмет проекта: текстовые задачи.

Объект проекта:  геометрический способ решения задач текстовых задач.

Гипотеза: решение текстовых задач можно представлять геометрическими построениями.

Задачи проекта:

1. Рассмотреть различные способы решения традиционных текстовых задач.
2. Рассмотреть на конкретных примерах, применим ли геометрический метод для решения текстовых задач.
3. Провести обучающий урок для учащихся нашего класса.
4. Создать буклет – памятку для всех заинтересованных лиц по данной теме.

Основное содержание.

Глава I.

Умение решать текстовые задачи является одним из основных показателей уровня математического развития ученика, глубины усвоения им учебного материала. По этой причине, текстовые задачи обязательно присутствуют в текстах государственной итоговой аттестации, и являются, как правило, самыми сложными для учащихся. Традиционно текстовые задачи решаются арифметическим способом (по действиям) или алгебраическим (с помощью уравнений, неравенств и их систем). При решении заданий имеет значение не только правильность, но и скорость решения. В ходе работы мы попытались отыскать метод решения текстовых задач, который во многих случаях является рациональным, значительно упрощает решение, ведёт к более быстрому получению ответа. И мы нашли такой метод.

Геометрический подход, точнее метод подобия, к решению некоторых алгебраических задач на движение или работу помогает составить уравнение гораздо проще. Другой геометрический приём: «Приравнивание площадей равновеликих прямоугольников» дает способ решения задач на смеси и сплавы. Тесную связь геометрии и алгебры нельзя игнорировать. Интеграция наук очень современное направление в мировом прогрессе.

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорции было создано в Древней Греции в V—IV вв. до н. э. трудами Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и др. Оно изложено в VI книге «Начал» Евклида, начинающиеся следующим определением: «Подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны».

Геометрия была и будет одной из самых востребованных наук современного мира. Без преувеличения можно сказать, что вся (или почти вся) геометрия со времен «Начал» Евклида покоится на свойствах треугольника - геометрической фигуры, занимающей особое место, так как имеет важное практическое значение. Знание геометрии треугольника и практическое значение теорем о нем очевидно в геодезии и архитектуре. На рубеже ХIХ – ХХ веков благодаря большому количеству работ, посвящённых треугольнику, образовался целый раздел планиметрии «Новая геометрия треугольника», строящийся на понятиях геометрического преобразования. Ни одно из преобразований не теряет актуальность с течением времени.

Глава II.

На дом дана задача, которую мы решили традиционно (алгебраически), но возник вопрос: задача на движение (скорость, путь, время), скорость не меняется, значит путь зависит от времени прямолинейно. А что если построить графики движения в одной системе координат (S, t)?А раз есть вопрос, значит должен быть ответ. И мы его получили…

ОГЭ – 2014. Два пешехода вышли одновременно из двух сел А и В навстречу друг другу. После встречи первый пешеход шел 25 минут до села В, а второй шел 36 минут до села А. Сколько минут они шли до встречи?

Решение. 1 способ - алгебраический.

Пусть до встречи пешеходы шли Х минут. Тогда первый был в пути (Х +25) минут, второй (Х + 36) минут. В 1 минуту первый пешеход проходил 1/(х +25)м., а второй 1/(х +36)м. расстояния АВ. Вместе они проходили в 1 минуту 1/х м. расстояния АВ. Составим уравнение:

Это уравнение имеет единственный положительный корень Х= 30. Следовательно, пешеходы шли до встречи 30 минут.

2 способ - геометрический.

Пусть до встречи пешеходы шли Х минут. Построим графики движения пешеходов. Так как в задаче работа рассматривается как равномерный процесс, то отрезок АО – график движения первого пешехода, а отрезок ВР – график движения второго пешехода, АК – изображает время движения до встречи, МО– время движения первого пешехода после встречи до села В, МО=25,КР– время движения второго пешехода после встречи до села А, КР = 36. Проведем МК ‖ АВ и рассмотрим образовавшиеся треугольники.

Из подобия двух пар треугольников BNM и PNK, MNO и KNA (по двум углам) следует, что

Это уравнение имеет единственный положительный корень Х = 30. Следовательно, пешеходы шли до встречи 30 минут.

И в этом решении мы применили свои знания из геометрии по теме «Подобие треугольников» и увидели, что задачи из алгебры можно решать и геометрически, причём более наглядно и интересно. Но мы на этом не остановились….Решили попробовать задачи на совместную работу, ведь формулы пути (S=vt) и работы (A=Nt) математически похожи, а, значит, схожи и графики, следовательно, решение должно быть аналогичным. Проверим?

Первая бригада может выполнить некоторую работу за 36 дней, а вторая -  за 45  дней. За сколько дней обе бригады,  работая вместе,  выполнят всю работу.

1-способ – алгебраический (пояснения опускаем)

2-способ – геометрический

Графики выполнения работ AK и BL первой и второй бригадой соответственно (на вертикальной оси s – доля всей работы (AB = t))

 

 Абсцисса точки O соответствует времени, за которое выполнят всю работу обе бригады, работая одновременно. Из подобия треугольников BOK и LOA получаем, что

BO : OL = 36 : 45 = 4/5. Из подобия треугольников BCO и BAL имеем  = . Следовательно, CO = 4/9 *45=20.

Ответ: обе бригады, работая вместе, выполнят всю работу за 20 дней.

Замечание. Стоит обратить внимание на следующий замечательный факт из планиметрии. Четырехугольник ABKL (см. рис) – трапеция, отрезок CO – половина отрезка  CD (отрезка прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей трапеции, параллельно основаниям).

Этот отрезок СD – среднее гармоническое оснований трапеции.

СD=2ab /(a+b).

Ура, получилосьJ

Мы поделились своим открытием со своими одноклассниками на уроке. Этот способ решения их также заинтересовал. Далее мы поставили себе цель исследовать задачи на движение в одну сторону и в противоположных направлениях, но это уже в следующих работах. До встречи!!! А пока изучайте наш буклет, задавайте нам вопросы, всегда рады помочьJ

Вывод:

Достоинство геометрического решения задачи – в его наглядности: на графике видна связь между величинами, входящими в условие задачи; чертёж помогает расширить задачу – поставить и решить более общие вопросы, глубже проникнуть в существо задачи, оценить реальность результата и промежуточных действий. И, наконец, традиционные решения алгебраическим или арифметическим способом зачастую являются громоздкими и сложными, требуют больших временных затрат. Графический способ экономит время.

Список источников

1.      Асмолов А.Г.Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система заданий. – М. Просвещение, 2010.

2.      Байбородова Л.В. Проектная деятельность школьников в разновозрастных группах: пособие для учителей общеобразоват. организаций / Л.В. Байбородова, Л.Н. Серебренников. – М.:Просвещение, 2013.

3.      Белова Т.Г. Исследовательская и проектная деятельность учащихся в современном образовании http://cyberleninka.ru/article/n/issledovatelskaya-i-proektnaya-deyatelnost-uchaschihsya-v-sovremennom-obrazovanii

4.      Дрозд Л.Л. Формирование универсальных учебных действий младших школьников средствами проектно-исследовательской деятельности  http://www.docme.ru/doc/37770/formirovanie-universal._nyh-uchebnyh-dejstvij

5.      Стрельцова И., Сухаревская Е. Проекты и исследования // Первое сентября. - №5 – 2008 г.  http://nsc.1september.ru/article.php?ID=200800504

Краткое описание документа:

Проект + буклет 8-9 класс на применение метода подобия для решения текстовых задач по алгебре.

Актуальность проекта связана с необходимостью выработки навыка быстрого решения текстовых задач в условиях ограниченного времени при различных видах контроля знаний учащихся. Умение решать текстовые задачи является одним из основных показателей уровня математического развития ученика, глубины усвоения им учебного материала. По этой причине, текстовые задачи обязательно присутствуют в текстах государственной итоговой аттестации, и являются, как правило, самыми сложными для нас - учащихся. Традиционно текстовые задачи решаются арифметическим способом (по действиям) или алгебраическим (с помощью уравнений, неравенств и их систем). При решении заданий имеет значение не только правильность, но и скорость решения.

Цель: найти, изучить и показать новый метод решения текстовых задач.

Предмет проекта: текстовые задачи.

Объект проекта:геометрический способ решения задач текстовых задач.