Проект по алгебре учащейся 9б класса ГБОУ СОШ №26 г.Сызрани Загуменновой Ксении "Решаем задачи по теме Геометрическая прогрессия"

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Самарской области

средняя общеобразовательная школа №26 города Сызрани

городского округа Сызрань Самарской области

Проект по алгебре

Решаем задачи по теме «Геометрическая прогрессия»

Выполнила проект

Учащаяся 9б класса

ГБОУ СОШ №26 г.Сызрани

Загуменнова Ксения

Проверила

учитель I категории

Гаврилина Ж.Ю.

Сызрань, 2017 г.

Содержание.

1. Цели и задачи проекта.
2. Теоретическая часть
3. Практическая часть
4. Информационные ресурсы

Цели и задачи проекта

- рассмотрение некоторых видов задач по теме «Геометрическая прогрессия» с целью усвоения, углубления, расширения знаний по теме;

- формирование представлений о способах решения задач;

- формирование умений применять определение и формулы по теме в задачах;

- формирование коммуникативных действий, направленных на структурирование информации по данной теме.

 - развитие умения выделять информацию из разных источников.

Теоретическая часть по теме

 «Геометрическая прогрессия».

Геометрическая прогрессия  - это последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, т.е. b_n+1 =  b_n·q и b_n ≠ 0.

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.

Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти любой член прогрессии.

Геометрическая прогрессия обладает следующим свойством:

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего её членов.

b_n² = b_n-1· b_n+1

Формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии.

При решении многих задач удобно пользоваться формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии:

или

Практическая часть.

1.      В гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии ( b_n) из­вест­но, что b₁= 4, q = -2.  Найти пятый член этой про­грес­сии.

Решение.

b_n = b₁

b₅ = b₁ = 4  = 64                                Ответ. 64

2.      Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия  ( b_n)  за­да­на фор­му­лой  n - го члена  b_n= 3. Ука­жи­те чет­вер­тый член этой про­грес­сии.

Решение.

 b_n= 3

 b₄= 3= 22 (-27) = -594

                                                                                  Ответ. -594

3.      Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия (b_n), зна­ме­на­тель ко­то­рой равен 2, а b₁= . Най­ди­те сумму пер­вых шести её чле­нов.

Решение.

S₆ = = (-0,75) = 63 -47,25

                                                                                Ответ. -47,25

4. В гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии сумма пер­во­го и вто­ро­го чле­нов равна 75, а сумма вто­ро­го и тре­тье­го чле­нов равна 150. Най­ди­те пер­вые три члена этой про­грес­сии.

Решение.

  

b₁ = 25

b₂ = 25  = 50

b₃ = 50 = 100       

Ответ : 25 ; 50 ; 100.

5. Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем b_n = 16Най­ди­те сумму пер­вых её 4 чле­нов.

Решение:

b₁  = 162 ¹ =  486

S₄ =   19440

Ответ :  19440

6. Вы­пи­са­ны пер­вые не­сколь­ко чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии: 17, 68, 272, ... Най­ди­те её четвёртый член.

Решение:

 = 4

q = 4

b₄  = 272  =  1088

Ответ :  1088

7. Вы­пи­са­но не­сколь­ко по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии: … ; 162,5 ; x ; 6,5 ; 1,3 ; … Най­ди­те член про­грес­сии, обо­зна­чен­ный бук­вой x.

Решение:

 = 5

X = 6,5  =  32,5

Ответ :  32,5

8. Вы­пи­са­ны пер­вые не­сколь­ко чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии: −1024; −256; −64; … Най­ди­те сумму пер­вых 5 её чле­нов.

Решение:

b₁ = -1024

 = 

q  =  = 0,25

b₄  = - 64  = - 16

b₅ = - 4

S₅ = -1024 – 256 – 64 – 16 – 4= - 1364

Ответ :  - 1364

9. Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем b_n= 16 ) ⁿ .Най­ди­те сумму пер­вых её 4 чле­нов.

Решение:

b₁  = 168  = 84

b₂  = 84  = 42

b₃  = 42  = 21

b₄  = 21  = 10,5

S₄ = 84+ 42 + 21 + 10,5 = 157,5

Ответ :  157,5

10. Вы­пи­са­но не­сколь­ко по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии: … ; 1,75; x; 28 ; −112; … Най­ди­те член про­грес­сии, обо­зна­чен­ный бук­вой x.

Решение:

 = -

X = 28   ) = - 7

Ответ :  - 7

11. Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия (b_n), для ко­то­рой b₅ = −14, b₈ = 112. Най­ди­те зна­ме­на­тель про­грес­сии.

Решение:

b₁  q⁴ = - 14

b₁  q⁷ = 112

q⁷ – q⁴ = q³

q³ = 112 : ( - 14) = - 8

q = - 2

Ответ :  - 2

12. Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем b₁ = −7, b_{n + 1} = 3b_n. Най­ди­те сумму пер­вых 5 её чле­нов.

Решение:

S₅ =   - 847

Ответ :  -  847

13. Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия (b_n), зна­ме­на­тель ко­то­рой равен 3, а b₁ = 19. Най­ди­те b₄.

Решение:

b₄ = 19 3³ = 19  27 = 513

Ответ :  513

14. Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия (b_n), зна­ме­на­тель ко­то­рой равен 5, а b₁= . Най­ди­те сумму пер­вых 6 её чле­нов.

Решение:

S₆ =   1562,4

Ответ :  1562,4

15. Вы­пи­са­ны пер­вые не­сколь­ко чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии: − 256; 128; − 64; … Най­ди­те сумму пер­вых семи её чле­нов.

Решение:

 = -

S₇ =   

Ответ :  - 172

16. Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия (b_n), для ко­то­рой b₃ =    b₆ = -196. Най­ди­те зна­ме­на­тель про­грес­сии.

Решение:

b₁  q² = 

b₁  q⁵ = - 196

q⁷ – q⁴ = q³

q³ = - 196 :  = - 343

q = - 7

Ответ :  - 7

17. Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем b₁ = −3, b_{n + 1} = 6b_n. Най­ди­те сумму пер­вых 4 её чле­нов.

Решение:

q = 6

S₄ =   

Ответ :  - 777

18. Вы­пи­са­но не­сколь­ко по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии: … ; -12 ; x ; -3 ; 1,5 ; … Най­ди­те член про­грес­сии, обо­зна­чен­ный бук­вой x.

Решение:

 = - 2

X = - 2  = 6

Ответ :  6

19. Сумма трёх первых членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим членам прибавить соответственно числа 25, 27 и 1, то получатся 3 числа, образующих арифметическую прогрессию. Найти седьмой член геометрической прогрессии.

Решение:

b₁, b₂, b₃ – члены геометрической прогрессий

b₁ + 25, b₂ + 27, b₃ + 1 – члены арифметической прогрессий

 = 28

91 ( q² – 2q + 1) = 28 ( 1 + q + q² )

91q² – 182q + 91 = 28 + 28q + 28q²

91q² – 28q² – 182q – 28q + 91 -28 = 0

63q² – 210q + 63 = 0   /: 21

3q² – 10q + 3 = 0

D =  100   = 100 – 36 = 64

q₁ =  =                                     b₁ = 91 : (1 +  +  ) = 63

q₂ =  = 3                                     b₁ = 91 : (1+ 3 + 9 ) = 7

b₇ = b₁ ⁶ = 63  =  =

b₇ = b₁q⁶ = 7  3⁶ = 5103

Ответ: 5103 или

20. Положительные числа х₁, х₂, х₃, х₄ образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. При этом числа х₁, х₂ – корни уравнения х² - 12х + а = 0; числа х₃, х₄ – корни уравнения х² - 3х + b = 0. Найдите а и b.

Решение:

Применим теорему Виета.

Так как числа х₁, х₂ – корни уравнения х² - 12х + а = 0, то  х₁ + х₂ = 12,  х₁ · х₂ = а.

Так как числа х₃, х₄ – корни уравнения х² - 3х + b = 0, то  х₃ + х₄ = 3,  х₃ · х₄ = b.

Составим систему уравнений :

По условию задачи х₁, х₂, х₃, х₄ – положительные числа и образуют геометрическую прогрессию,то

Разделим второе уравнение системы на первое, получим:

q² = , значит q₁ = , q₂ = -  (не удовл). Тогда из первого уравнения системы получим

х₁=  = 8, х₂= 8· = 4

а = х₁ · х₂ = 8·4 = 32

b = х₃ · х₄ =  = ·8··8 = 2

Ответ: а = 32, b = 2.

21. Три числа образуют убывающую геометрическую прогрессию. Если среднее из них удвоить, наименьшее – утроить, а наибольшее оставить без изменения, то получится арифметическая прогрессия. Чему равен знаменатель такой геометрической прогрессии?

Решение:

По условию прогрессия имеет вид: х, qх, q²х – члены геометрической прогрессии, а х, , 2qх, 3q²х – члены арифметической прогрессии с разностью d, тогда

q₁=, q₂=1

По условию прогрессия убывающая, т.е. q<1, то q =

                                                                    Ответ: q =

Информационные ресурсы

1.       Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк и др. Алгебра, 9 класс. М.: «Просвещение», 2009.

2.      Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. Математика. 9 класс. Подготовка к ГИА-2016. Учебно – тренировочные тесты.  – Ростов-на-Дону: Легион, 2016.

3.      https://oge.sdamgia.ru

4.      http://www.egeigia.ru/all-gia/materialy-gia/matematika/1957-oge-2015-matematika-varianty-zadaniy-yashchenko

Краткое описание документа:

Проект по алгебре

Решаем задачи по теме «Геометрическая прогрессия»

Выполнила проект

Учащаяся 9б класса

ГБОУ СОШ №26 г.Сызрани

Загуменнова Ксения

Проверила

учитель I категории

Гаврилина Ж.Ю.

Содержание.

1. Цели и задачи проекта.
2. Теоретическая часть
3. Практическая часть
4. Информационные ресурсы

Цели и задачи проекта

- рассмотрение некоторых видов задач по теме «Геометрическая прогрессия» с целью усвоения, углубления, расширения знаний по теме;

- формирование представлений о способах решения задач;

- формирование умений применять определение и формулы по теме в задачах;

- формирование коммуникативных действий, направленных на структурирование информации по данной теме.

- развитие умения выделять информацию из разных источников.