Проект "Симметрия в алгебре"

Симметрия в алгебре

Выполнил: Коротков Даниил 9а класс

Учитель :

г. Свободный 2022г

  Содержание                                                                                            

 Введение                                                                                                         3

1. Общее понятие симметрии. Виды симметрии                                                4- 5                            

2. Симметрия графиков функций.                                                                           6

3.Симметрия в алгебре                                                                                     7

4. Практическое применение  симметрии                                                              8                                                                                             

Заключение                                                                                                     9

Список использованной литературы                                                            10

 Введение

Всякое человеческое познание  начинается с созерцаний,                      переходит к понятиям    и заканчивает идеями говорил И. Кант.

Любопытство и удивление толкают человека на этот путь познания, заставляют его учиться всю долгую жизнь. За это природа дарит ему великое благо – знание, и оно служит человеку, облегчая его труд на Земле, открывая путь в космос.

Одним из важнейших понятий для изучения окружающего мира является симметрия. Идею симметрии подсказывает сама природа, что заинтересовало меня, захотелось подробно изучить где и как используется это удивительное свойство симметрия.

Целью данной работы является :

Рассмотреть, как симметрия используется в школьном курсе алгебры

Задачи:

Познакомиться с понятием «симметрия»

Научиться различать виды симметрии

Понять, как симметрия используется в алгебре.   

Симметрией в алгебре занимались такие ученые как Леонард Эйлер, Эрланд Самуэль, Жозеф Луи Лагранж.

Развитие науки имеет свои законы. Из наблюдения окружающего рождается предположение о природе и связях процессов и явлений; из фактов и правдоподобных предположений строится теория; теория проверяется экспериментом и, подтвердившись, продолжает развиваться, снова проверяется бесчисленное множество раз. Такой ход развития и составляет научный метод; он позволяет отличить заблуждение от научной истины, подтвердить предположение, избежать ошибок.

1. Общее понятие симметрии. Виды симметрии

Я в листочке, я в кристалле,     

Я  в живописи, архитектуре,

 Я  в геометрии, я в человеке.    

 Одним я нравлюсь, другие  находят меня скучной.  Но все признают, что  я – элемент  красоты. Прочитав такую загадку, не сомневаюсь все поймут что речь идет конечно  о симметрии.
                                                                                          

   В древности слово «симметрия» употреблялась как «красота», «гармония». Термин «гармония» в переводе с греческого означает «соразмерность, одинаковость в расположении частей».  Аристотель говорил что математика выявляет порядок,   симметрию, и определенность, а это важнейшие виды прекрасного.                                                            

Люди с давних времен использовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта.

Симметрия широко распространена в природе. Её можно наблюдать в форме листьев и цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических тел, в порхающей бабочке, загадочной снежинке, мозаике в храме, морской звезде.

Симметрия широко используется на практике, в строительстве и технике. Это строгая симметрия в форме античных зданий, гармоничные древнегреческие вазы, здании Кремля, машинах, самолетах и многом другом.   Примерами использования симметрии являются паркет и бордюр.

По преданию, термин «симметрия» придумал скульптор Пифагор Регийский, живший в г. Регул. Отклонение от симметрии он определил термином «асимметрия». Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто потому, что она прекрасна. Считая сферу наиболее симметричной и совершенной формой, они делали вывод о сферичности Земли.

         Представители первой научной школы в истории человечества, последователи Пифагора Самосского, пытались связать симметрию с числом. Каждой вещи, учили пифагорейцы, соответствует определенное отношение чисел, которое они называли логосом. Поэтому познание  вещей заключалось для них познанием логоса. Пифагорейцы предпочитали вместо слова «симметрии» пользоваться словом «гармония». Широко используя идею гармонии и симметрии, ученые древности любили обращаться не только к сферическим формам, но и к правильным многогранникам. У правильных многогранников грани – правильные многоугольники одного вида, а углы между гранями равны. Древние греки установили, что существует всего пять правильных выпуклых многогранников, название которых связаны с числом граней, - тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр. Все правильные многогранники обладают зеркальной симметрией.

         Проходя сквозь века, термин «симметрия» обрастал различными толкованиями. «Симметрия – это некая «средняя мера», - считал Аристотель. Римский врач Гален (2 в. н. э.) под симметрией понимал покой души и уравновешенность. Пифагорейцы понимали под симметрией (гармонией) единство противоположностей. Леонардо да Винчи считал, что при создании художественного произведения главную роль играют пропорциональность и гармония, под которыми он понимал симметрию. Альбрехт Дюрер (1471-1528 г.г.) утверждал, что правильные симметричные многогранники лежат в основе построения чертежей различных инженерных сооружений, и поэтому каждый художник должен знать способы построения правильных симметричных фигур.

В математике рассматриваются различные виды симметрии. Каждый из них имеет своё название. Познакомимся, какие существуют виды симметрии в пространстве, на плоскости, на прямой. Движение плоскости - это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния. Итак, осевая и центральная симметрия представляют собой отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояния между точками. Рассмотрим три основных вида симметрии.

- центральная симметрия

- осевая симметрия

- зеркальная симметрия

2.Симметрия графиков функций.

      Впервые с симметрией мы встречаемся при построении графиков или при графическом решении задач. В этом случае симметрия зависит от четности , нечетности функции. Напомним,  функция называется нечётной, если справедливо равенство f (- x) = -f(x)

    Функция f называется чётной, если справедливо равенство f ( -x) = f (x)

Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называется функцией общего вида.

   · График чётной функции симметричен относительно оси ординат «Oy».

· График нечётной функции симметричен относительно начала координат «O».

3. Симметрия в алгебре

Примеры числовых симметрий

4.Практическое применение симметрии в алгебре

Задача.

                     Составим квадратное уравнение, корни которого были бы кубами корней уравнения

х² - 7х + 11 = 0.

Обозначим корни уравнения х² - 7х + 11 = 0 через х₁ и х₂.

По форму­лам Виета имеем   

                                                             х₁ + х₂ = 7

                                                   и

                                                              х₁ х₂ = 11.

 Корни уравнения, которое требу­ется составить, имеют вид

y₁ = х^{3        ,}       y₂ = х³

Поэтому коэффициенты иско­мого уравнения

таковы:

                    р =-( у_{г   +}у₂₎₌ -( х³  + х³),

                   q = у₁у₂ = x ³x ³.

Но   х³  + х³  = (х ₁ + х₂) ((х ₁ + х₂)² – Зх ₁х₂) = 7 (7² - 3 • 11) = 112,

х³   х³  = (х ₁ х₂)³ = 1331.

Поэтому р = -112, q = 1331 и требуемое уравнение имеет

вид          у²- 112у + 1331 = 0.

Заключение

Приведенные выше примеры лишь малая часть того, где можно наблюдать симметрию в алгебре. В любом из её разделов можно обнаружить элемент симметрии. Здесь можно вспомнить  матрицы, симметричные относительно главной диагонали, законы распределения случайной величины. Симметрия вносит красоту и гармоничность в решение задач. Такое явление как симметрия действительно окружает нас повсюду

     Симметрия – в широком и узком смысле является той идеей, которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок во всех физических явлениях. Свою работу я хотела бы закончить следующими словами:

«Радость видеть, понимать, доказывать – самый прекрасный дар природы. Конца познанью нет!».

Список использованной литературы

1.Болтянский В.Г. , Виленкин Н.Я  Симметрия в алгебре  - ММЦНМО2002

2. Курляндчик Л.Д.,  Фомин Д.А. Теорема Виета и вспомогательный многочлен

3. Парамонова И.М Симметрия в математике.- М: МЦНМО 2002

4. Гиндикин, С. Г. Рассказы о физиках и математиках [Текст] / С. Г. Гиндикин.- М.: Наука, 1985. — 48 с.  — (Биб­лиотека «Квант». Вып. 14).

5. Колосов, А. А. Книга для внеклассного чтения по математике [Текст] / А. А. Колосов. — М.: Наука, 2008. – 187 с.