Проект "Удивительный мир флексагонов" (6 класс)

Региональная научно-практическая конференция обучающихся

«К вершинам знаний — 2015»

Секция: математика

Тема: Удивительный мир флексагонов

Автор: Услонцева Анастасия и Щербакова Виктория

Научный руководитель: Лазутина Светлана Александровна

Место выполнения работы: МБОУ СОШ с.Троекурово , Лебедянский район с.Троекурово

2015г

Оглавление

Оглавление. 2

Введение. 3

1. История флексагонов. 4

2. Схемы построения флексагонов. 4

2.1. Тетрафлексагоны.. 4

2.2. Гексафлексагоны.. 7

2.3. Флексоры.. 11

2.4. Флексманы.. 13

3. Изготовление флексагонов. 14

4. Применение флексагонов. 19

Заключение. 22

Литература. 23

Приложение. 24

Введение

Все мы любим занимательную математику. Занимательная математика пробуждает наблюдательность, умение логически мыслить, веру в свои силы. Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, парадокса и т.д.

Многие считают, что математика не интересна и состоит только из формул, задач, решений и уравнений. Мы  хотим продемонстрировать своей работой, что математика разноплановая наука, и главная цель – показать, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения. Сегодня в магазинах можно найти много различных игрушек, в то же время дети и взрослые любят заниматься рукоделием. Бумажное творчество – это одно из любимых занятий многих людей. Очень многие известные люди занимались различными видами бумажного искусства, которые хранятся в музеях многих стран мира.

Лист бумаги таит в себе много интересного, особенно привлекательны головоломки из бумаги. Увлекательными головоломками являются и флексагоны, которые не сложно изготовить самому.

Флексагоны и подобные им фигуры обладают необычной способностью изгибаться разными способами, при перегибании флексагонов одни поверхности прячутся внутрь, показывая новые грани.

На первый взгляд, это похоже на интересную игрушку для развития ума и рук. Однако подобные изгибающиеся фигуры используют в дизайне и науке. И до сих пор их тайны до конца не раскрыты.    Мы приглашаем вас на короткую экскурсию в мир флексагонов, флексоров, флексманов, - бумажных игрушек, обладающих поразительной способностью внезапно менять свою форму и цвет.

Гипотеза: удивительный мир флексагонов  тесно связан с математикой и может стать хорошей основой для его изучения.

Цель проекта – изучить и изготовить некоторые модели флексагонов ,установить связь флексагонов с математикой.

Задачи проекта:

1)     познакомиться с историей и видами моделей флексагонов;

2)     изучить схемы построения флексагонов;

3)     изготовить  некоторые модели флексагонов .

1. История флексагонов

Появление флексагонов обязано отличию британских и американских блокнотов. Бумага формата Letter была слишком широкой и не умещалась в скоросшиватель, предназначенный для бумаги формата A4. Первый флексагон был открыт в 1939 году английским студентом Артуром Стоуном, изучавшим в то время математику в Принстонском университете в США. Стоун обрезал края бумаги и стал складывать из них различные фигуры. У него получился шестиугольник, перегнув который он обнаружил, что можно увидеть третью сторону шестиугольника.

Стоун рассказал о своем изобретении друзьям, и те назвали фигуру флексагоном (от английского flex – сгибать). Шестиугольные флексагоны получили название гексафлексагоны. Вскоре был создан «Флексагонный комитет», в который вошли, кроме Стоуна, аспирант-математик Бриан Таккерман, аспирант-физик Ричард Фейнман и преподаватель математики Джон У. Тьюки. К 1940 году Фейнман и Тьюки разработали теорию. Теория не была опубликована полностью, хотя отдельные её части впоследствии были открыты заново.

Популярность флексагоны получили после появления статьи Мартина Гарднера «Mathematical Games» в журнале «Scientific American» в 1956 году, посвящённой гексафлексагонам. Флексагоны неоднократно были запатентованы в виде игрушек, но не получили широкого коммерческого распространения.

Флексагон – это многоугольник, перегибая которую можно увидеть другие поверхности.

Флексор – многогранник, изгибая который можно увидеть другие грани.

Флексман – это квадрат, изгибая который можно получить объемного «гнущегося человечка».

2. Схемы построения флексагонов

Поскольку многоугольники и многогранники имеют разное количество вершин, то можно построить самые разнообразные модели флексагонов и флексоров.

Необходимое оборудование для изготовления изгибающихся фигур:

-       бумага, линейка, простой карандаш, ножницы;

-       скотч, клей,

-       материал для красочного оформления (краски, карандаши, цветная бумага, иллюстрации, фотографии).

Мы рассмотрели некоторые модели флексагонов, флексоров и флексманов. Далее мы разобрали схемы и этапы построения разных моделей.

2.1. Тетрафлексагоны

Тетрафлексагоны (тетра – четыре) – сложенные из бумаги (или другого материала) прямоугольники, в недрах которых скрывается несколько поверхностей. Их можно увидеть, вывернув четырёхугольник определённым образом. Здесь представлены несколько разновидностей тетрафлексагонов [2].

Тритетрафлексагон

Тритетрафлексагон ‒ флексагон с тремя поверхностями, который имеет форму квадрата.

Он делается из Z-образной полоски бумаги (Рис. 1а).

Рис. 1а

Обратная сторона:

Рис. 1б

Полоску перегибают и склеивают (Рис. 1с):

Рис. 1с.

Для того, чтобы увидеть третью его сторону, нужно перегнуть флексагон вдоль вертикальной оси, а затем раскрыть его с обратной стороны.

Тетратетрафлексагон

Тетратетрафлексагон ‒ флексагон с четырмя поверхностями, который имеет форму квадрата.

Существует, по крайней мере, шесть типов четырёхсторонних тетрафлексагонов. Один из таких тетратетрафлексагонов делается из прямоугольника, разделенного на 12 квадратов (Рис. 2а).

Рис. 2а

Для изготовления модели нужно вырезать по пунктирной линии и сложить квадраты:

Рис. 2б

Для того, чтобы увидеть остальные его стороны, нужно последовательно открывать четырёхугольник аналогично тритетрафлексагону.

Гексатетрафлексагон

Гексатетрафлексагон ‒ флексагон с шестью поверхностями, который имеет форму квадрата.

Эта игрушка представляет собой совсем другой тип тетрафлексагона: его можно сгибать вдоль и поперек.

Для его изготовления требуется бумага, вырезанная в форме квадратной рамки (Рис. 3а). Перегибая его вдоль осей, можно увидеть стороны, помеченные цифрами от 3, 4 или 5. Если брать рамки большего размера, можно построить флексагоны с числом поверхностей.

  

Рис. 3а.

Сгибаем по схеме и склеиваем (Рис. 3б):

Рис. 3б.

2.2. Гексафлексагоны

Тригексафлексагон

Тригексафлексагон (гекса – шесть) ‒ флексагон с тремя поверхности, имеющий форму правильного шестиугольника. Каждая из трех поверхностей флексагона состоит из шести треугольников.

Для создания тригексафлексагона необходимо взять полоску бумаги, размеченной на 10 треугольников с равными сторонами. Последний (серый треугольник нужен для склеивания фигуры). Цифра в треугольнике означает принадлежность к стороне шестиугольника.

Рис. 4а

Вторая сторона полоски:

Рис. 4б

Полоску перегибают и переворачивают по всем сторонам треугольников

Рис. 4в

Подогнуть последний треугольник вниз (треугольники со звездочками) и приклеить к оборотной стороне первого, получив шестиугольник. 

Рис. 4г

Гексагексафлексагон

Гексагексафлексагон (гекса – шесть) ‒ флексагон с шестью поверхностями, который имеет форму правильного шестиугольника.

Для создания гексагексафлексагона необходимо взять полоску бумаги, размеченной на 19 треугольников с равными сторонами. Последний (серый треугольник нужен для склеивания фигуры). Цифра в треугольнике означает принадлежность к стороне шестиугольника.

Рис. 5а

Вторая сторона полоски:

Рис. 5б

Полоску перегибают и переворачивают по всем сторонам треугольников:

Рис. 5в

Перегнув полоску еще раз, расположим ее концы так, чтобы предпоследний треугольник оказался наложенным на первый. Подогнуть последний треугольник вниз и приклеить к оборотной стороне первого, получив шестиугольник. 

Рис. 5г

Схема переворачивая гексафлексагонов:

Рис. 5д.

Тетрагексафлексагон

Тетрагексафлексагон ‒ флексагон с четырьмя поверхностями, который имеет форму правильного шестиугольника.

Для создания тетрагексафлексагона необходимо взять полоску бумаги, размеченной на 13 треугольников с равными сторонами в виде зигзага. Последний (серый треугольник нужен для склеивания фигуры) [2].

Рис. 6а.

Обратная сторона:

Рис. 6б.

Складываем по схеме, аналогичной предыдущей.

2.3. Флексоры

Флексор – многогранник, изгибая который можно увидеть другие грани.

Больше всего нам понравился флексор, называмеый куб Йошимото. Он состоит из 2 частей по 8 кубиков.

Рис. 7а

Для его изготовления нам понадобится 16 заготовок, которые вырезаются из схемы:

Рис. 7б

Вырезав заготовку, ее нужно согнуть по всем линям и склеить с помощью скотча. Должна получить такая половина куба:

Рис. 8

После этого склеиваем с помощью скотча по два кубика. Главное при склейке – склеить правильно, иначе куб не будет правильно раскладываться.

Рис. 9а

Затем склеиваем пары кубиков:

Рис. 9б

И наконец, собираем первую половину куба:

Рис. 9в

Аналогично собираем вторую половину куба и накладываем их на друга. Получаем готовый куб.

  

Рис. 10

Если что-то перепутали в процессе, скотч легко удаляется и процесс можно повторить. В результате должен получиться кубик, который выворачивается наизнанку (можете пометить одну из сторон одного кубика и убедиться, что в одном положении она видна, а в другом – нет).

2.4. Флексманы

Флексманы – переводятся как «гнущиеся человечки». У них действительно человеческий дар: когда флексман ставят на отклоненную под углом плоскость, он начинает «идти» по ней мелкими шажками.

Флексман делают из квадрата бумаги, который сгибают по диагоналям сгибом вверх, а посередине ‒ сгибов вниз:

Далее складываем квадрат в треугольник по уже намеченным линиям и четыре раза сгибаем по штриховой линии:

Рис. 11

В конце работы нужно только отогнуть маленькие треугольники с четырех сторон, и флексман готов начинать путь по наклонной плоскости.

3. Изготовление флексагонов

Далее мы опишем, как поэтапно изготовляли флексагоны.

Начали мы с простейшего тритетрафлексагона. Он имеет три поверхности и поэтому называется тритетрафлексагоном. Его легко сложить из полоски бумаги, изображенной на рисунке 12 (а - лицевая, б - оборотная сторона полоски).

а                                             б

Рис. 12

Перевернув полоску бумаги оборотной стороной вверх, перегнем ее слева направо вдоль вертикали, разделяющей две тройки, а затем загнем самый правый нижний квадрат (рис. 12в)

Рис. 12 в.

Склеим его оборотную сторону с верхним квадратом лентой (рис. 12г).

Рис. 12г

На верхней поверхности окажутся квадраты с двойками, на нижней – квадраты с единицами. Перегнем тритетрафлексагон по вертикальной оси и сложим его вдвое так, чтобы квадраты с двойниками оказались снаружи. Вывернув получившуюся «книжечку» спереди, мы увидим, что квадраты с единицами исчезли, спрятались внутрь, зато стали видны квадраты с тройками.Из получившегося флексагона мы решили сделать календарь, поскольку он имеет 12 квадратов с двух сторон.

Рис. 13

После этого мы сделали гексатетрафлексагон.  Для изготовления мы взяли прямоугольный кусок тонкого картона и разделили его на 12 квадратов. Нумерация квадратов на обеих сторонах листа показана на рис. 14а.

а                              б

Рис. 14

 Пунктиром обозначены линии разрезов. Взяв прямоугольник так, чтобы лицевая его сторона (рис. 14а) была обращена к нам, отогнем вниз и налево язычок из двух центральных квадратов с цифрами 2 и 1 и подогнем правый столбец. То, что при этом получится, показано на рис. 14в.

Рис 14в

Еще раз подогнем правый столбец и загнем на себя и вправо квадрат с тройкой, торчавший до сих пор слева. После этих операций все квадраты с 1 окажутся сверху. Склеивать ничего не нужно, так как потом не найти другие стороны.

Рис. 14г

Легко догадаться, как следует перегнуть тетратетрафлексагон, чтобы увидеть квадраты с единицами, двойками и тройками. Несколько труднее увидеть четверки. Из этого флексагона мы решили сделать открытку к  70-летию Победы в Великой Отечественной войне (приложение)

Тетратетрафлексагон часто используется для рекламных трюков: трудность отыскания «листка» с четверками превращает его в занимательную головоломку.

После этого мы приступили к созданию флексоров. Начали с куба Йошимото. Вырезали 16 заготовок как на рисунке 20а. Далее склеиваем стороны и получаем полукуб Рис. 20б.

Рис. 20а

Рис. 20б

Далее создаем еще 16 таких половинок кубика. И начинаем склеивать, как на рис. 20в.

Рис. 20в.

Склеив по схеме 2 части по 8 кубиков, мы получаем большой куб. Мы наклеили фотографии  нашего села с.Троекурово и получили такую необычную «фоторамку», которая  показывает достопримечательности нашего села. (рис. 20г).

Рис. 20г.

4. Применение флексагонов

Флексагоны очень интересны и их применяют в разных областях. Самое популярное применение – в качестве игрушек. Наиболее известны цепочки из деревянных брусков или пластмассовых кубиков, скрепленных между собой крест-накрест проволочками или тесемками. Стоит лишь определенным образом передвинуть отдельные звенья цепочки, как создается полное впечатление, что верхний кубик перемещается в самый низ цепи. На самом деле это не более чем обман зрения, вызванный последовательным изгибанием шарнирных соединений, выполненных по схеме тритетрафлексагона. В 90-е годы прошлого столетия в США широкой популярностью пользовалась основанная на этом же принципе игрушка под названием «Лестница Якова». В наше время в магазинах игрушек можно было встретить ее современные варианты – «Кубики клик-клак» и «Кубики флип-флоп» .

 

В одной из них к скрытому развороту флексагона была приклеена «счастливая» монетка, которую нужно было найти. В другой, которая называлась «Cherchez la femme» . Задача заключалась в том, чтобы отыскать портрет молодой девушки. И сейчас в магазинах можно увидеть старинный детский фокус, обычно известный под названием «Волшебный доллар». Шарнирные соединения этой игрушки, выполненные по схеме тритетрафлексагона, позволяют показывать незамысловатые фокусы с исчезновением долларовой купюры и других плоских предметов.

На рисунке ниже представлена игрушка куб Йошимото, изготовленная из пластика.

Кроме игрушек действие флексагонов показывать разные стороны используется в технике, например, для создания шарнирное соединение двойного действия на дверной петле:

Интересное применение флексагоны находят в дизайне:

-     лампа и настенный светильник флексагон:

-     предметы интерьера:

одежда:

Из флексагонов можно создавать новые рекламные проекты, прикрепляя к фигуре уже объемные фигуры (возможно, даже и не кубической формы), можно использовать в качестве открытки-трансформера  или интересной игрушки. Можно сделать из него необычную основу для фотографий.

Но большее применение, я думаю, многогранник найдет в дизайнерском деле: цикл перегибаний последовательно позволяет фигуре быть и диваном, и стулом, и креслом и, если убрать одну сторону куба,‒ полкой для вещей или комодом.

 

Заключение

Многие думают, глядя на флексагоны и флексоры - просто игрушка. А вот и не просто! Попробуй сделать своими руками. И не просто сделать, а собрать нужную информацию, исследовать, выявить закономерности, разработать чертежи, соблюсти точные вычисления (чтобы флексагон не оказался кривым). Вложить всё своё терпение и смекалку. А сколько нужно фантазии, чтобы разрисовать, украсить флексагон?! Или, например, надоел тебе флексагон с шестью поверхностями, сделай другой, где число поверхностей больше! Дерзай, пробуй, твори!!!

Благодаря самостоятельному изготовлению моделей флексагонов и флексоров,  проведенных над ними исследований, удалось лучше понять и изучить их мир, т.е. добиться поставленной цели. Конечно, на это ушло достаточно времени .Если выбор и название темы не вызвали затруднений, то поиск информации (интернет, библиотека), построение чертежей, разработка схем сборки, сама сборка моделей и исследования, проведенные над ними, а также конкретизация и оформление материала потребовали много усилий и времени.

      Работа над флексагонами и флексорами расширили  наши знания в математике. Мы познакомились с ранее незнакомым нам видом флексагонов, увидели математику с совершенно другой неизвестной, но занимательной стороны.. Например, при изготовлении гексафлексагона, или кольца тетраэдров нужно чертить правильные треугольники и т.д.Мы наглядно увидели, как работают флексагоны и флексоры. Гексафлексагоны действительно могут, выворачиваясь изменять цвета. Увидела, что кольцо тетраэдров с 6 звеньями – жесткое, с 10 звеньями принимает симметричную форму, в виде звезды. С нечетным количеством звеньев кольцо принимает асимметричную форму.

Вращаешь флексагон… и понимаешь, все эти зримые образы подготовили чувства и мышление к восприятию того, что постоянно окружает нас в жизни. Как одно явление, не переставая быть собой, одной из своих «сторон», воплощается в своей противоположности, воссоздавая, с ним друг друга, в постоянном диалоге. Такая игра граней выстраивает мир…

Литература

1.      Flexagons. [Электронный ресурс]. Режим доступа –   http://www.mathematische-basteleien.de/flexagons.htm. Загл. с экрана.

2.      Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. 2-е изд., испр. и доп. – Пер. с англ.– М.: Мир, 1999 - 447с.

3.      Остроун Н. Киселев А. Флексагоны. Мастерила, 2001, №9.

4.      Фельдман Г. Кубический флексагон. Квантик, 2012, №12, 16-18.

5.      Флексагоны. [Электронный ресурс]. Режим доступа –   http://puzzles.h1.ru/Flexes/flexagones.html. Загл. с экрана.

Приложение

Тритетрафлексагон

Тетратетрафлексагон

Гексатетрафлексагон

Тригексафлексагон

Тетрагексафлексагон

Гексагексафлексагон

Флексор. Развертка для изготовления куба

 Открытки

 

Краткое описание документа:

Многие считают, что математика не интересна и состоит только из формул, задач, решений и уравнений. Мы хотим продемонстрировать своей работой, что математика разноплановая наука, и главная цель – показать, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения.

Лист бумаги таит в себе много интересного, особенно привлекательны головоломки из бумаги. Увлекательными головоломками являются и флексагоны, которые не сложно изготовить самому.

Флексагоны и подобные им фигуры обладают необычной способностью изгибаться разными способами, при перегибании флексагонов одни поверхности прячутся внутрь, показывая новые грани.На первый взгляд, это похоже на интересную игрушку для развития ума и рук. Однако подобные изгибающиеся фигуры используют в дизайне и науке. И до сих пор их тайны до конца не раскрыты. Мы приглашаем вас на короткую экскурсию в мир флексагонов, флексоров, флексманов, - бумажных игрушек, обладающих поразительной способностью внезапно менять свою форму и цвет.

Гипотеза: удивительный мир флексагонов тесно связан с математикой и может стать хорошей основой для его изучения.

Цель проекта – изучить и изготовить некоторые модели флексагонов ,установить связь флексагонов с математикой.

Задачи проекта:

1)познакомиться с историей и видами моделей флексагонов;

2)изучить схемы построения флексагонов;

3) изготовить некоторые модели флексагонов .

Многие думают, глядя на флексагоны и флексоры - просто игрушка. А вот и не просто! Попробуй сделать своими руками. И не просто сделать, а собрать нужную информацию, исследовать, выявить закономерности, разработать чертежи, соблюсти точные вычисления . Вложить всё своё терпение и смекалку. А сколько нужно фантазии, чтобы разрисовать, украсить флексагон?! Благодаря самостоятельному изготовлению моделей флексагонов открытку к 70-летию Победы в Великой Отечественной войне и флексоров «Достопримечательности с.Троекрово», проведенных над ними исследований, удалось лучше понять и изучить их мир, т.е. добиться поставленной цели. Работа над флексагонами и флексорами расширили наши знания в математике. Мы познакомились с ранее незнакомым нам видом флексагонов, увидели математику с совершенно другой неизвестной, но занимательной стороны. Вращаешь флексагон… и понимаешь, все эти зримые образы подготовили чувства и мышление к восприятию того, что постоянно окружает нас в жизни. Как одно явление, не переставая быть собой, одной из своих «сторон», воплощается в своей противоположности, воссоздавая, с ним друг друга, в постоянном диалоге. Такая игра граней выстраивает мир…