Проектная работа по теме:"Квадратичная функцция"

• 1 слайд

  
  
  
  Автор разработки материалов проекта:
  ученик 9 класса МКОУ «Колпаковсая СОШ»
  Ежов Максим
  Руководитель проекта :
  учитель математики
  Ежова Любовь Михайловна
  Квадратичная функция:
  Просто, сложно, красиво.
  

• 2 слайд

  Цель проекта:
  
  Задачи проекта:
  Выяснить:
  Какие геометрические свойства имеет парабола
  В чём особенность параболических зеркал
  Возможно ли, используя графики квадратичных функций, построить образ какого-либо изображения
  Какие функциональные зависимости встречаются в окружающем нас мире
  Имеют ли место применения квадратного трёхчлена и графиков квадратичной функции при подготовке ГИА
  
   
  
  
  В рамках подготовки к ГИА составить задания «Проверь себя»
  
  
  Раскрыть прикладной характер функциональных зависимостей
  
  Показать применение квадратного трёхчлена и графиков квадратичной функции при решении задач ГИА повышенной сложности.
  

• 3 слайд

  В истории черпаем мы мудрость, в поэзии-остроумие, в математике-проницательность.
  Френсис Бэкон
  

• 4 слайд

  
  Франсуа Виет и Рене Декарт
  

• 5 слайд

  
  Функция
  y = a x² + b x + c
  и л и
  у = a ( х - m )² + n
  
  В математике это слово впервые употреблено
  Готфридом Вильгельмом
  Лейбницем
  Каков же геометрический смысл параболы?
  

• 6 слайд

  Аполлоний Пергский, живший в III в. до н.э.
  “Парабола” означает приложение или притча..
  

• 7 слайд

  Геометрия параболы
  Точка F(0;1/4) точка фокуса параболы y=x², а прямая
  y=-1/4 – директриса этой параболы, отрезки MN и FM равны между собой.
  Директриса и фокус есть у всякой параболы.
  F
  M
  N
  Рассмотрим теперь графики функций вида:
  y = a x² + b x + c
  
  Парабола — кривая второго порядка.
  

• 8 слайд

  Алгоритм построения графика функции
  у= -1(х-3)2 -2
  1. Построить график функции у=x2 (по точкам).
  
  
  2. Осуществить сдвиг графика вдоль оси OX на  3 единицы масштаба вправо .
  
  3. Осуществить сдвиг полученного графика вдоль оси OY на 2 единицы масштаба вниз.
  
  y
  x
  0
  Моделирование квадратичной функции
  
  

• 9 слайд

  Алгоритм построения графика функции у=1(х+3)2 + 4
  1. Построить график функции у=x2 (по точкам).
  
  
  
  3. Осуществить сдвиг графика вдоль оси OX на  3 единицы масштаба влево .
  
  4. Осуществить сдвиг полученного графика вдоль оси OY на 4 единицы масштаба вверх.
  
  y
  x
  0
  

• 10 слайд

  Существует еще один из способов
  построения параболы y = x²
  x
  0
  0
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
  М(х;у)
  Пусть известны вершина О параболы и точка М(х;у), лежащая на параболе. Точки пересечения отрезка МК с перпендикулярами, имеющими те же номера, лежат на параболе.
  
  К
  

• 11 слайд

  Приращение функции
  
  
  Как меняется значение функции у=х², если значения аргумента меняются на одну и туже величину? Пусть
  Приращение=2(постоянно)!
  Приращение равно разности последующего и предыдущего значений функции
  

• 12 слайд

  
  М -точка параболы
  лучи:
  МF через фокус параболы, а МК параллельно её оси симметрии
  МЕ касательная к параболе
  М
  К
  Е
  F
  Замечательное свойство параболы:
  

• 13 слайд

  У ПРОЖЕКТОРОВ ЗЕРКАЛО ОБЫЧНО ДЕЛАЕТСЯ В ФОРМЕ ПАРАБОЛОИДА. Если поместить источник света в фокусе параболоида, то лучи, отразившись от параболического зеркала образуют параллельный пучок
  В зеркальных телескопа тоже применяют параболические зеркала
  

• 14 слайд

  Параболическая солнечная электростанция в
  Калифорнии
  

• 15 слайд

  Площадь S прямоугольника с периметром, равным 20 см, является функцией длины основания х.
  
  Задача исследование
  х
  
  
  Что это за прямоугольник?
  10-х
  Р=20см
  S(х)=х(10-х). т.е. S(х)=-х²+10х
  Нули функции х=0 и х=10. Координаты вершины параболы: х=5; у=25.
  Площадь прямоугольника будет наибольшей при х=5,
  т.е.когда прямоугольник
  окажется квадратом.
  
  х
  у
  о
  0
  10
  5
  25
  Применение квадратичной функции на нахождение max(наибольшего) и min(наименьшего) значений
  S(x)= -х²+10х
  

• 16 слайд

  Камень, брошенный вверх со скоростью V , находится в момент времени t на расстоянии s(t)=-q/2*t²+V от земной поверхности ( q- ускорение силы тяжести); камень летит по параболе
  
  
  

• 17 слайд

  Лабораторная работа по изучению движения тела, брошенного горизонтально в поле тяжести Земли
  Квадратичная зависимость у от х:
  
  Шарик будет двигаться по ветви параболы
  
  
  
  

• 18 слайд

  Исследование движения тела, брошенного под углом к горизонту
  

• 19 слайд

  
  Я провёл расчёты с камнем. Камень падает с высоты 20м, начальная скорость его V0 =0.
  Записал уравнение, которое задаёт соотношение между высотой h(м) камня над землёй и временем падения t(с).
  Подставив в формулу h=-q/2*t2+ V0 t +h значения V0 =0и h=4, считая g=9,8 ,hͅо=20м.
  График, часть параболы, задаваемой уравнением h=20-4,9 t2
  
  о
  t
  h
  20
  1
  2
  h=20-4,9 t2
  Вывод:
  Камень примерно падает 2с,
  на промежутке[1;2] график быстрее «идёт вниз».
  

• 20 слайд

  Для некоторой реки экспериментально установили следующую
  зависимость скорости течения реки v(м/с) от глубины h (м)
  V(t) =- h2+2h+8
  Найти максимальную глубину реки
  (т.е. глубину, где v=0) и глубину
  с максимально сильным течением.
  
  -2
  0
  4
  h, м
  V м/с
  Ответ: v=0, если h=-2 и h=4
  т.е. максимальная глубина 4 м.
  Наибольшая скорость 9 м/с при h=1м.
  Задачи прикладного характера.
  

• 21 слайд

  После начала торможения движение электропоезда описывается законом
  скорость меняется по закону V=16-0,2t, где t - время (с), v - скорость (м/с),
  S - пройденный путь (м). Через сколько секунд поезд остановится?
  Каков его тормозной путь?
  Построю графики этих функций S=S(t), v=v(t).
  парабола
  t(c)
  80
  160
  0
  640
  S(м)
  Поезд проедет 640м через 80с
  0
  t(c)
  80
  16
  v, (м/с)
  

• 22 слайд

  Поверхность жидкости в сосуде имеет форму параболоида
  

• 23 слайд

  Применение параболы в баллистике
  
  Баллистика –наука о движении тел, брошенных в пространстве. Она занимается, главным образом, исследованием движения снарядов.
  

• 24 слайд

  ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ КОМПАС ЛЕОНАРДО ДАВИНЧИ
  Параболы в физическом пространстве
  

• 25 слайд

  Параболы в физическом пространстве
  ПАДЕНИЕ БАСКЕТБОЛЬНОГО МЯЧА
  

• 26 слайд

  Параболические траектории
  струй воды
  

• 27 слайд

• 28 слайд

  Решение задач ГИА с помощью квадратичной функции.
  
  
  
  
  
  При каких значениях m и n, связанных соотношением m+n=2, квадратный трёхчлен 2m²-2mn-3n² принимает наименьшее значение?
  Решение: выразим из равенства m+n=2 переменную m через n: m=2-n. Подставим 2-n вместо переменной m в выражение 2m²-2mn-3n², получаю n ²-12n+8.
  Квадратичная функция принимает наименьшее значение при х= -
  -
  
  воспользовавшись этой формулой, получаю:
  n=6, m=-4
  

• 29 слайд

  Постройте график функции
  Решение.
  Построим в одной системе координат графики функций
  , если
  , если
  

• 30 слайд

  Построим график функции у=х²+4│х│+3
  
  
  
  Случай1
  х≥0 у=х²+4х+3
  Нули функции х²+4х+3=0
  
  
  х=-3
  х=-1
  вершина параболы
  х=-2, у=-1
  0
  -1
  -3
  Случай 2
  х <0 у=х²-4х+3
  Нули функции х²-4х+3=0
  х=3 вершина параболы х=2,
  х=1 у=-1
  
  1
  1
  3
  -2
  2
  -1
  3
  

• 31 слайд

  
  7
  
  6
  
  5
  
  4
  
  3
  
  2
  
  1
  
  0
  
  x
  
  -1
  
  -2
  
  -3
  
  -4
  
  -3
  
  -2
  
  -1
  
  y
  
  1
  
  2
  
  3
  4
  
  
  
  
  
  
  
  
  Постройте график функции
  Сколько общих точек может иметь
  с этим графиком прямая у=m?
  (Для каждого случая укажите соответствующие значения m).
  Решение.
  Построим графики функций 1) у=х²-2х-3 при х²-2х-3 ≥0
  2) у=х²-2х-3 при х²-2х-3 <0
  Ответ:
  прямая у = m имеет с графиком функции
  две общие точки при m=0, m>4;
  четыре общие точки при 0<m<4.
  нет общих точек при m<0;
  при m=4 три общие точки;
  
  

• 32 слайд

  Построить график функции
  Решение.
  Построим в одной системе координат графики функций:
  , если
  , если
  При каких m прямая
  имеет с графиком этой функции две общие точки?
  Решение.
  При
  прямая
  имеет с графиком две общие точки.
  Ответ: при
  

• 33 слайд

  Проверьте себя!
  

• 34 слайд

  Решить уравнение:
  
  .
  Построим в одной системе координат графики функций
  .
  
  Ответ:
  ;
  .
  
  

• 35 слайд

  Критерии для получения отметки
  «Проверь себя»
  

• 36 слайд

  Данные проведённого тестирования
  

• 37 слайд

  С обучающимися 8 класса
  был мной апробирован метод
  математической графики.
  

• 38 слайд

  Изображения, полученные с помощью графиков квадратичной функции рисунков
  

• 39 слайд

  В ходе работы над данным проектом:
  1. Сформулировано строгое математическое определение параболы.
  2. Рассмотрен способ построения параболы.
  3. Изучены некоторые свойства параболы.
  4. Выявлена связь между понятиями «парабола» и «конические сечения».
  5. Определены сферы применения параболы(физика, техника, баллистика, биология ).
  6.Показано практическое применение графиков квадратичной функции при решении прикладных задач. 
  7. Подтверждена значимость математики в окружающем мире
  

• 40 слайд

  Таким образом, я считаю:
  Функция
  Квадратичная, необходимая
  Строить, исследовать, применять
  Функция-это красиво, важно!
  

• 41 слайд

  Путь к появлению понятия функции
  заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт
  Функцию, которую можно задать формулой y=ax2+bx+c, где х – независимая переменная, а, b и с – некоторые числа, причем а≠0).
  Квадратичная функция
  МКОУ «Колпаковская СОШ»
  Ученики 8 класса
  Бек Дмитрий и Ежов Максим
  Функцию, которую можно задать формулой y=ax2+bx+c, где х – независимая переменная, а, b и с – некоторые числа, причем а≠0).
  Квадратичная функция
  МКОУ «Колпаковская СОШ»
  Ученик 9 класса
  Ежов Максим
  Путь к появлению понятия функции
  заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт
  

• 42 слайд

  Информационные ресурсы:
  
  Информационные ресурсы:
  Ажгалиев У. “Возможно ли исследование и построение графика
  дробно-рациональной функции без использования производной?” (“Математика в школе”, № 7, 2010, ООО “Школьная Пресса”);
  Большая советская энциклопедия http://dic.academic.ru.;
  Большой энциклопедический словарь Брокгауза Ф.А., Ефрона И.А., http://dic.academic.ru;
  «Демонстрационный эксперимент по физике в средней школе», изд-во «Просвещение», Буров В.А., М., 2000 г;
  «Высшая математика» И.В. Виленкин, В.М. Гробер, « Феникс»2004;
  Ступницкая М. А.Что такое учебный проект? – М.: Первое сентября, 2010.– 44с.;
  Приложение к газете «Первое сентября», №9, 1998, №11, 2009;
  Функции и графики»,издательство «Наука, М.,1998
  Шахейстер А.Х. Построение графиков элементарными методами / СПб; ЧеРо-на-Неве, 2003.-184 с.
  http://wiki.techn.sstu.ru/index.php/Учебный_проект_Функции_вокруг
  http://ru.wikipedia.org/wiki/Коническое сечение
  

  Вариант 1

Постройте график функции  у= (х+3)² +4

 

                                              Вариант 2

Постройте график функции  у= (х - 2)² + 3

 

 Дополнительное  задание

Постройте график функции  у= - (х-3)² -2

 

МКОУ "Колпаковская СОШ"            Проектно-исследовательская работа                   Квадратичная функция:                  Просто, сложно, интересно

                                                               Автор проекта:

                                                                                           Ежов Максим

                                                                                           ученик 9 класса

                                                                 Руководитель: учитель математики

                                                                                                 Ежова Л.М.

                               2014г.

                                     ОГЛАВЛЕНИЕ

Ι. Введение        

ΙΙ. Основная часть

1.Определение параболы как геометрического места точек

 2.Геометрические свойства  параболы

 3.Способы построения параболы

4.Преобразование графиков функции y = a(x – m)² + n.

     4.1. Параллельный перенос по оси Ох

      4.2. Параллельный перенос по оси Оy

 5. Особенность параболических зеркал  

 6.Функциональные зависимости, встречающиеся в окружающем нас мире

  7.Возможность с помощью графиков функций построение

         различных             изображений

8.Применения квадратного трёхчлена и графиков квадратичной функции при подготовке ГИА

ΙΙΙ. Заключение.

ΙV. Список литературы.

 Введение

    В окружающем нас мире много предметов, которые описывают некоторую математическую функцию. Заинтересовавшись этой идеей я заметил, что функция y = a  + bx + с - одна из самых простых и знакомых функций во всем школьном курсе математики, и кажется, что про нее все уже должно быть известно. Но не так все просто.

Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик. Задач на квадратичную функцию очень  много – от простых, непосредственно вытекающих из формул и теории, до сложных, требующих всестороннего анализа и глубокого понимания свойств функции.

    На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами не только в математике, но и в других сферах деятельности.      Например, врачи выявляют болезни сердца, изучая графики, полученные с помощью кардиографа, их называют кардиограммами.

   Широко применяются графики в экономике, в частности кривая спроса и предложения, линия производственных возможностей.

             Многие физические зависимости выражаются квадратичной функцией.

 Актуальность выбранной темы:

-графический способ – один из самых удобных и наглядных способов    представления и анализа информации.

-задачи  с параметрами  и задачи, повышенной сложности с применением  квадратичной  функции, очень популярны на экзаменах  ЕГЭ и ГИА, школьных олимпиадах разного уровня, так как позволяют явно увидеть, при каких значениях параметра  выполняются требуемые условия.

 -геометрические преобразования графиков, построение кусочно-заданной функции, графики, содержащие переменную под знаком модуля,  позволяют передать не только поведение какого-либо процесса, но и передать красоту

-свойства квадратичной функции лежат в основе решения

квадратных неравенств. 

-Используя графики квадратичных функций, можно построить образ какого-либо предмета. Актуальность  метода "Математическая графика"  безусловно, вызывает интерес.

Цель проекта:

•      Раскрыть прикладной характер функциональных зависимостей,

•      Показать применение квадратного трёхчлена и графиков квадратичной функции при решении задач ГИА и ЕГЭ различной сложности.

Задачи проекта:

Выяснить:

1)Что мы знаем о параболе

2)Как её построить

3) Какие геометрические свойства имеет парабола

4) В чём особенность параболических зеркал  

5)Какие функциональные зависимости встречаются в

 окружающем нас мире

6)Возможно ли с помощью графиков функций построить 

 различные изображения

7)Имеют ли место применения квадратного трёхчлена и

графиков квадратичной функции при подготовке ГИА

 Необходимое оборудование: компьютер, документ-камера, миллиметровая бумага, интернет-ресурсы, сканер, средства измерения для выполнения лабораторной работы по изучению движения тела, брошенного горизонтально.

Форма проектного продукта

•               исследовательская работа;

•               компьютерная презентация;

•               статистический анализ;

•               рисунки с применением графиков квадратичной функции

•               буклет" Квадратичная функция", тестовые задания для учащихся.

Этапы работы над проектом:

1.            Проблематизация (сформулировать цель).

2.            Целеполагание (определить, каким будет продукт)

3.            Планирование работы

4.            Презентация проекта

Основополагающий вопрос

Геометрические свойства параболы

Проблемные вопросы

    1)Какая прямая является директрисой для каждой параболы?

      Уравнение     этой прямой.

2)Какая точка параболы -фокус? Координаты этой точки.

 Какое имеет место эта точка  в действительности?

3)Существует ли  способ построения параболы с учётом

точки фокуса?

4)Имеются ли точки параболы, равноудалённые от точки фокуса

и    прямой-директрисы?

5)Каким изменениям подвластна парабола?

6)Как по уравнению квадратичной функции у= x²

представить её график?

Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет   и Рене Декарт

   Слово «функция» происходит от латинского function-исполнение, приближение, сравнение и иногда, как приближение. В математике это слово впервые употреблено Готфридом Вильгельмом Лейбницем.

Графиком этой функции является  парабола, слово это греческое.

Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной прямой, называемой директрисой и от данной точки, называемой фокусом.

N

М

F

Любая точка М параболы равноудалена от некоторой точки F(0;1/4).Эта замечательная точка F называется фокусом параболы y=x², а прямая

 y=-1/4 – директрисой этой параболы, отрезки MN и FM равны между собой.

Директриса и фокус есть у всякой параболы.

Графики функций вида:

у=ах²+bх+c ничем не отличаются от функции у=х²  

занимают лишь другое положение относительно координатных осей.

С помощью шаблона графика функции у=х²  

Показываю моделирование квадратичной функции.

Рассматриваю другие способы построения параболы, выполняя практическую часть работы.

Исследую, как меняется значение функции у=х², если значения аргумента меняются на одну и ту же величину. Значения аргумента  составляют арифметическую прогрессию, а значения  у при этом, не составляют арифметическую прогрессию, добавив к таблице значений ещё один столбец, записывая в нём, на сколько меняется значение у, когда аргумент х переходит от своего значения к следующему. Изменение- приращение функции, но и приращение тоже составляют арифметическу прогрессию.

 Парабола обладает замечательным свойством.

Название параболы связано с задачей построения прямоугольника с заданной стороной, равновеликого данному квадрату: если заданный квадрат имеет площадь  , а одна из сторон искомого прямоугольника должна быть равна a, то верно равенство   = ay. Построение такого прямоугольника называлось приложением, это название перешло и на связанную с ним кривую. Рассмотрим задачу-исследование.

Чертим  прямоугольники с периметром, равным 20см. и вычислим его  площадь.

Площадь S-прямоугольника с периметром, равным 20см., является функцией длины основания x.

зададим функцию S(x) формулой и убедимся, что это квадратичная функция и построим ее график, найдем значения функции в граничных точках, при x (0 ; 10) и выясним при каком значении длины основания x площадь прямоугольника будет наибольшей? Что это за прямоугольник?

 1) Если длина одной стороны основания равна х, то длина второй равна 10 - х, тогда S(x) = х(10 - х) = - + 10х

2) нули функции х = 0 и х = 10 , а графически это парабола, ветви которой направлены вниз с координатами вершины параболы (5 ; 25). Площадь не может быть отрицательной, поэтому изобразим только ту часть параболы, которая расположена выше оси ох.

   Если х=0 или х=10, то у=0. При этих значениях х прямоугольник "превращается в отрезок.

           Ответ на вопрос "дают" координаты верхней точки параболы- её вершины. Площадь прямоугольника будет наибольшей при х=5, т.е. в том случае, когда этот прямоугольник окажется квадратом.

у

25

0           5         10  х

По параболе летит и брошенный нами камень и пушечное ядро.

Современная математическая символика возникла в XVI веке. У древнегреческих же математиков не было ни координатного метода, ни понятия функции. Тем не менее свойства параболы были изучены ими очень подробно. Изобретательность античных математиков просто поражает воображение - ведь они могли использовать только чертежи и словесные описания зависимостей.

Наиболее полно исследовал параболу, Аполлоний Пергский, живший в III в. до н.э.

Аполлоний Пергский ( Перге, 262 до н.э. — 190 до н.э.) — древнегреческий математик, один из трёх (наряду с Евклидом и Архимедом) великих геометров античности, живших в III веке до н.э.

Он же дал этой кривой название (ведь формул то не было!)

Он ввёл и другие математические термины, латинские аналоги которых навсегда вошли в науку, в частности: асимптота, абсцисса, ордината, аппликата.

“Парабола” означает приложение или притча. Долгое время так называли линию среза конуса, пока не появилась квадратичная функция.

Если взять неограниченную поверхность, которую называют конической и пересечь ее какой-нибудь плоскостью так, чтобы в сечении получить параболу.

Задача – исследование.

1)Построю параболу y=1/4

2)В этой же системе координат построю прямую d, уравнение которой y=-1 и отмечаю точку F(0;1)

3)Отмечаю на параболе несколько точек с целыми координатами и для каждой из них вычисляю расстояние до точки F и до прямой d.

5)Доказываю, что все точки параболы y=1/4 равноудалены от точки F и прямой d.

В основу этой задачи положено определение параболы как геометрического места точек, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки и от данной прямой, не проходящей через эту точку. Это определение эквивалентно, что парабола – это линия, которая является графиком уравнения y=a,называемая кривой второго порядка.

3)Решение.

 

d

-1

                                                               х

	K

 

Возьму, например, на параболе точку М(4;4). Расстояние от точки М до точки F равно длине отрезка FM, которую можно вычислить, используя прямоугольный треугольник FMN. Длина катета FN равна абсциссе точки М, значит FN=4. Длина катета MN на единицу меньше ординаты точки М, значит MN=3. По теореме Пифагора FM= =5.

Расстояние от точки М до прямой d = длине отрезка МК. Она на единицу больше ординаты точки М, МК=5.

Таким образом FM=MK, т.е. точка М находится на одинаковом расстоянии от точки F и от прямой d.

Понятно, что таким же свойством обладает точка параболы (-4;4), симметричная точке М(4;4).

Таким же свойством обладают точки параболы (2;1) и (-2;1). Проверка также показывает эту справедливость и для точек (6;9) и (-6;9).

5) Пусть М (x;y) – произвольная точка параболы y=1/4. Найдем длины отрезков FM и МК.

В треугольнике FMN FN=x, MN=y – 1, MN=1/4 – 1. Значит, 

FM==  = = 1/4  + 1.

Поскольку МК = у + 1, МК = 1/4 +1, получаем, что FM=MK. Утверждение доказано.

Точка F(0;1) – это фокус параболы  y=1/4, а прямая d, задаваемая уравнением у=-1 – ее директриса

Фокус и директрису имеет каждая парабола у = а. Выполняю практическую работу по доказательству равенств расстояний от любой точки параболы до точки фокуса и до директрисы.

           Полоской бумаги измеряю расстояние от точки F до какой-нибудь точки М параболы. Затем прикалываю полоску в точке М и поворачиваю ее вокруг этой точки так, чтобы она стала вертикальной. Конец полоски опустится немного ниже оси абсцисс. Отмечаю на полоске, насколько она выйдет за ось абсцисс. Возьму теперь другую точку на параболе и повторяю измерение еще раз. Насколько теперь опустился край полоски за ось абсцисс? Результат таков: какую бы точку на параболе у =  мы не взяли, расстояние от  этой точки до точки (0;1/4) будет больше расстояния от той же точки до оси абсцисс всегда на одно и то же число – на ¼.

Можно сказать иначе: расстояние от любой точки параболы у =  до точки (0;1/4) равно расстоянию от той же точки параболы до прямой у = - ¼, параллельной оси Ох.

Вот еще одно замечательное свойство параболы. Выбираю какую-нибудь точку на параболе и провожу через нее два луча: один через фокус параболы, а другой параллельно ее оси симметрии. Если теперь провести касательную к параболе в этой точке, то она образует одинаковые углы с построенными лучами. Это значит, что если  поместить в фокусе параболы источник света, то лучи от него, отражаясь от параболы, пойдут дальше параллельно ее оси. Поэтому отражатели прожекторов делают в форме параболоидов вращения. Свет такого прожектора образует сильный, узконаправленный луч.

Свет от далекой звезды идет почти параллельно. В какой точке соберется свет, падающий на параболическое зеркало телескопа?

Для того чтобы  увидеть параболоид вращения наливаю  в стакан воды и размешиваю ее ложечкой. Когда  ложечку вынимаем, поверхность воды примет форму параболоида вращения.

Следующий способ построения параболы у = .Пусть известны вершина О параболы и еще одна точка М, лежащая на параболе.

Опустим из точки М перпендикуляр МК на ось абсцисс и разделим отрезок МК на несколько равных отрезков. Затем разделим отрезок ОК на такое же количество равных между собой отрезков. Затем разделим отрезок ОК на такое же количество равных между собой отрезков и через каждую из полученных на оси абсцисс точек проведем к ней перпендикуляр. Соединяю точку О отрезком с какой-либо из отмеченных точек на отрезке МК, то точка пересечения этого отрезка с перпендикуляром, имеющим тот же номер, лежит на параболе.

. Многие физические зависимости выражаются квадратичной функцией; например, камень, брошенный вверх со скоростью , находится в момент времени t на расстоянии  от земной поверхности (g – ускорение); количество тепла Q, выделяемого при прохождении тока в проводнике с сопротивлением R, выражается через силу тока формулой

Рассмотрим задачи прикладного характера.

Для некоторой реки экспериментально установили следующую зависимость скорости течения реки v(м/с) от глубины h (м)

V(t) =- h²+2h+8

1.Найти максимальную глубину реки (т.е. глубину, где v=0) и глубину с максимально сильным течением.

Решение: (Для решения задачи достаточно выяснить, какое значение -наибольшее или наименьшее - принимает функция. Это значение равно ординате вершины параболы).

Найти вершину (m:n): m=-- ось симметрии.

                                  n=y(m)=

·        Ветви направлены-

·        Нули функции

По графику ответить на вопросы.

Ответ: v=0, если h=-2 и h=4 т.е. максимальная глубина 4 м. Наибольшая скорость 9 м/с при h=1м.

2.После начала торможения движение электропоезда описывается законом , а скорость меняется по закону V=16-0,2t, где t - время (с), v - скорость (м/с), S - пройденный путь (м). Через сколько секунд поезд остановится? Каков его тормозной путь? Построю графики этих функций S=S(t), v=v(t).  

- парабола ветви вниз Вершина x=m=-=-=80(c) y=S(t)=t(16-0,1t)= =80(16-0,1·80)=80·8=640м. нули функции 16t-0,1t2=0                  t(16-0,1t)=0           t1=0          16-0,1t=0                            -0,1t=-16                              t2=160

V=16-0,2t-линейная функция t v 0 16 80 0 16-0,2t=0 t=80 v=16м/с≈57,8км/ч Поезд проедет 640м через 80с.

По графикам могу ответить на вопросы:

1)                Через сколько секунд поезд остановится?

               через 80с  v_поезда=0

2)                Каков его тормозной путь?

               [После торможения поезд проедет 640м.]

Для сравнения автомобиль со скоростью 60км/ч проходит 17м в секунду.

Его тормозной путь 3-6 метров!!!

Я провёл лабораторную работу по изучению движения тела, брошенного горизонтально в поле тяжести Земли, по экспериментальной установке. Стальной шарик , начинающий движение в верхней части дугообразного лотка вылетает горизонтально в точке О с начальной скоростью V, пролетает вдоль вертикальной фанерной доски. Желоб закреплён в штативе так, что точка О находится на высоте h над горизонтальной фанерной доски, на которую падает шарик. Для фиксации точки падения шарика на доску помещаю полоску копировальной бумаги. Падение шарика на доску оставляет метку на белой бумаге. После удара о доску шарик падает в пенал. Для измерения дальности полёта провожу 5 пусков шарика из одной и той же точки дугообразного лотка.

Чтобы определить вид траектории, по которой шарик будет двигаться в этом случае, нахожу время t из первого уравнения и подставляю  его во второе уравнение. В результате  получаю  квадратичную зависимость у от х:

Это означает, что шарик  при этом будет двигаться по ветви параболы

 

После защиты моего проекта,  для обучающихся 8-9 классов, была предложена работа "Проверь себя", учащимся 9 класса, обучающиеся (4 чел.) на "4", задания типичные ГИА варианты выбираются по усмотрению обучающихся.

                        " Проверь себя"

1 вариант

1. При каких значениях m и  n,связанных соотношением m+n=2, выражение 2m²  -2mn-3n² принимает наименьшее значение?

Решение: Принимает наименьшее значение при х=воспользовавшись этой формулой, получим :n=6, m=-4

2.  Постройте график функции  

2 вариант

1.Постройте график функции Сколько общих точек может иметь с этим графиком прямая у=m? (Для каждого случая укажите соответствующие значения m)

Решение.

4

3

2

1

y

-1

-2

-3

-4

-3

-2

-1

x

0

1

2

3

4

5

6

7

                                                 

                                               

                                               

1)           нет общих точек при m<0;

2)           две общие точки при m=0, m>4;

3)           три общие точки при m=4;

4)           четыре общие точки при 0<m<4.

Ответ: при m<0 нет общих точек;

            при m=0, m>4 две общие точки;

            при m=4 три общие точки;

            при 0<m<4 четыре общие точки.

2. При каких значениях р вершины парабол   и 

расположены по разные стороны от оси х?

Решение.

1)

    <0 при любых р, значит вершина этой параболы расположена ниже оси ОХ.

2)

     

Вершина второй параболы должна быть расположена выше оси ОХ, значит

 

                                                       p

                      0

Итак, вершины парабол расположены по разные стороны от оси ОХ при

Ответ:

3 вариант

1.Парабола проходит через точки К(0;1),  L(1;2), М(-1;6). Найдите координаты ее вершины.

Решение.

Общий вид уравнения параболы  .  Так как парабола проходит через точки  K, L и М, то их координаты удовлетворяют данному уравнению.

К(0;1):        1= с.

L(1;2):        2= a+b+1,

                   a+b=1.

M(-1;6):     6=a-b+1,

                   a-b=5.

     

- уравнение параболы.

  

() – вершина параболы.

Ответ:

2. 1.Решить уравнение:

.

Решение. .

Построим в одной системе координат графики функций  и .

Ответ: .

4 вариант

1.Решить графически систему уравнений

 

Решение. Построим в одной системе координат графики функций  и .

;

x

; .

x	1	2	3	4
y	-6	-4	0	6

2.При каком значении b корнем квадратного трехчлена  является число 6?

При найденном значении b определите второй корень трехчлена, постройте график функции , укажите промежутки возрастания и убывания функции, значения x, при которых , , .

Решение.

 1.Так как  - корень уравнения, то;

                                                                      ;

                                                                      .

2.Если , то

                                                 

                                                  

                                                 

 

3) Построим график функции .

; .

(5;3) – вершина параболы.

.

Мною  после защиты проекта в 8-9 классах был проведён

              тест   «Проверь себя» по заданиям повышенной сложности типичные ГИА

Критерии и оценки:

Количество набранных баллов	Отметка	Критерии оценивания
0-4	2	График построен неверно
7-8	4	График построен верно, но неверно найдены искомые параметры
9-10	5	График построен верно, верно найдены искомые параметры

Данные проведённого тестирования

№ п/п	Ф.И.О.	Класс	Количество набранных баллов	Отметка
1	Смольников В.	9	8	4
2	Крючкова Е.	9	9	5
3	Гонская В.	9	7	4
4	Бек Д.	9	6	3

Анализ полученных результатов

В тестировании принимали участие 4 обучающихся, 1 обучающийся получил отметку "5", 1 обучающийся отметку "3" и 2 обучающихся отметку "4".  Учитывая, что все обучающиеся имеют отметку "4", то тестирование  успешно, обучающий материал изложен понятно и доступно. Предложенный тест помогает наглядно увидеть, что для обучающегося осталось не ясным  или вызвало трудности.  В процессе исследования был составлен тест с решением. Опираясь на результаты тестирования тест можно рекомендовать в качестве самоучителя для  обучающихся.

В процессе исследования был составлен тест с решением. Опираясь на результаты тестирования тест можно рекомендовать в качестве самоучителя для  обучающихся.

С обучающимися 8 класса был мной апробирован метод математической графики.

1 группа , обучающиеся  на "4" и "5"

. Обучающиеся выполняли практическую работу по заданным функциям, выполняя изображение «Цветок»  и "Лицо клоуна".(Приложение 10).  Для изображения  «цветка» с помощью шаблона функции y = 2x² потребовалось 5-10 минут. "Лицо клоуна" по заданным функциям, потребовалось 20 минут.

2 группа, обучающиеся на "3"

Строили параболу по точке лежащей на параболе и вершине параболы в начале координат, находили расстояние от точки фокуса  и директрисы до любой точки, лежащей на параболе.

"Математическая графика" несет в себе элемент самоконтроля. Строя, например, портрет кота, я должен следовать логике рисунка. Метод предполагает элемент творчества. Заинтересовавшись им, я смог и сам построить свои "произведения искусства".

Проанализировал полученные результаты: 80% обучающихся справились с работой, работа выполнялась с желанием , интересом.

                             Заключение

Меня заинтересовала тема «Квадратичная функция», и я углубил свои знания о ней. Эта тема позволила мне расширить мое представление о функции и ее свойствах. С помощью изучения квадратичной функции я узнал, что существуют различные способы построения параболы и продолжил решать задачи из  ГИА  повышенного уровня сложности.         

В своей работе я узнал определение параболы через геометрическое  место точек. Как её построить? Какие геометрические свойства имеет парабола? В чём особенность параболических зеркал? 

Работая над проектом  я

1.Обобщил знания по теме «Квадратичная функция,

ее свойства и график».

2.Выяснил роль квадратичной функции  в окружающей нас жизни.

3.Для создания презентации использовал

интернет ресурсы.

4.Опыт работы с единой коллекцией цифровых образовательных ресурсов помог мне в решении всех учебных вопросов по теме «Квадратичная функция, ее свойства и график».

Я думаю, что полученные мною знания еще не раз будут использованы не только  на уроках математики, но при изучении других предметов, а также пригодятся мне в жизни.  

" В истории  черпаем мы мудрость, в поэзии-остроумие,  в математике-проницательность"

                                                                                                          Роджер  Бэкон

В ходе выполнения этой работы научила меня правильно пользоваться дополнительной литературой, делать отбор нужного  материала, работать с ним и просто решать довольно сложные задачи.

Думаю, что моя работа поможет моим одноклассникам при подготовке к экзаменам, а некоторые задания могут быть использованы и при подготовке ЕГЭ.

                                                 

Целью работы является раскрытие прикладного характера функциональных зависимостей. Задачи, которые были поставлены в ходе исследовательской работы: рассмотреть функциональные зависимости в природе, биологии, технике;  проанализировать графические изображения, построить свои изображения с помощью графиков известных функций. Поставленные задачи были выполнены.

                                                 

В ходе проектной работы над темой провожу исследование этих свойств и  преобразований графиков функций у=ax²+n, у=а(х+m)²+n, у=а(х+m)²,  полученные результаты оформляю в  виде алгоритма, составляю публикацию по теме: " Квадратичная функция".

Перспективой для дальнейшего исследования по проблеме «Математической графики» является построение изображений в графическом редакторе, частично работа в этом направлении уже ведется.

Информационные ресурсы:

•      Ажгалиев У. “Возможно ли исследование и построение графика дробно-рациональной функции без использования производной?” (“Математика в школе”, № 7, 2010, ООО “Школьная Пресса”);

•      Большая советская энциклопедия http://dic.academic.ru.;

•      Большой энциклопедический словарь Брокгауза Ф.А., Ефрона И.А., http://dic.academic.ru;

•         «Демонстрационный эксперимент по физике в средней школе», изд-во «Просвещение», Буров В.А., М., 2000 г;

•      «Высшая математика» И.В. Виленкин, В.М. Гробер, « Феникс»2004;

Ступницкая М. А.Что такое учебный проект? – М.: Первое сентября, 2010.– 44с.;

•         Приложение к газете «Первое сентября», №9, 1998, №11, 2009;

•         Функции и графики»,издательство «Наука, М.,1998

•         Шахейстер А.Х. Построение графиков элементарными методами / СПб; ЧеРо-на-Неве, 2003.-184 с.

•            http://wiki.techn.sstu.ru/index.php/Учебный_проект_Функции_вокруг

•         http://ru.wikipedia.org/wiki/Коническое сечение

•         yandsearch?text=приложения параболы                                                  

                                                 

Приложение 2.

2 слайд.

Цель и задачи проекта

3 слайд.

Эпиграф

4 слайд.

Путь  к появлению понятия функции

5 слайд.

Знакомая незнакомка.

 Функция

 y  =  a  x²  +  b x  +  с

 и л и

 у =  a ( х   -  m )²  + n

6 слайд.

Наиболее полно исследовал параболу,

 Аполлоний Пергский, живший в III в. до н.э.

7 слайд.

 Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной прямой, называемой директрисой и от данной точки, называемой фокусом

8 слайд.

Алгоритм построения графика функции
у = -1(х-3)² -2

9 слайд.

Алгоритм построения графика функции у=1(х+3)² + 4

10 слайд.

Существует еще один из способов

 построения параболы y = x²

11 слайд.

Как меняется значение функции у=х², если значения аргумента меняются на одну и туже величину.

12 слайд.

Задача исследование

Площадь S прямоугольника с периметром, равным 20 см, является функцией длины  основания х.

13 слайд.

Замечательное свойство параболы.

14 слайд.

В Древней Греции открыли параболу ещё в 260-170 г.г. до нашей эры при изучении конических сечений. Уже в 17 веке Галилео Галилей доказал, что тело , брошенное под углом к горизонту, двигается по параболе.

15 слайд.

Поверхность жидкости во вращающемся сосуде имеет форму параболоида вращения.

16 слайд.

Применение параболы в баллистике.

17 слайд.

Задача на исследование полета камня.

18 слайд.

Камень, брошенный вверх.

19 слайд.

Исследование движения тела, брошенного под углом к горизонту.

20 слайд.

Исследование движения тела брошенного под углом к горизонту.

21 слайд.

Параболические зеркала у прожекторов и зеркальных телескопов.

22 слайд.

Параболическая солнечная электростанция в

Калифорнии.

23 слайд.

Падение баскетбольного мяча.

24 слайд.

Параболические траектории

 струй воды.

25 слайд.

Параболический компас Леонардо Давинчи.

26 слайд.

Траектории прыжков животных близки к параболе.

27 слайд.

Решение задач ГИА  9 класса с помощью квадратичной функции.

28 слайд.

Постройте график функции:

29 слайд.

Построим график функции  у=х²+4│х│+3

30 слайд.

Постройте график функции

31 слайд.

Построить график функции:

32 слайд.

Использование параболоидов
 в технике.

33 слайд.

Применение параболы
в баллистике.

34 слайд.

Проверьте себя.

35 слайд.

Дополнительное задание. Построить график функции  у=х²+4│х│+3

36 слайд.

График функции у=f(Х)получается из графика у=f(х) при х≥0 график у=f(х)  сохраняется, м эта же часть графика симметрично отображается относительно оси ОУ.

37 слайд.

Вывод.

38 слайд.

Для достижения указанной цели нам необходимо было решить следующие задачи.

•         Ознакомиться со свойствами квадратичной функции, в частности, с взаимным расположением корней в зависимости от значений коэффициентов.

•         Изучить методы решения задач с параметрами, выделив те, где используются свойства квадратичной функции.

•         Сделать подборку задач, позволяющих проиллюстрировать эти методы.

•         Подобрать задачи для самостоятельного решения.

•         Сделать обзор литературы по этой теме.

•         Оформить презентацию

39 слайд.

Дидактические цели проекта.

40 слайд.

Методические задачи проекта.

41 слайд.

Мост Цзин Ма, Гонконг. Высота 1377 м, построен в 1997  г. (с железнодорожными путями и метро).

42 слайд.

Рефлексия.

43 слайд.

Что было в ходе работы над данным проектом.

44 слайд.

Выводы.

45 слайд.

Спасибо за внимание.

46 слайд.

Литература.

47 слайд.

Таким образом мы видим, что

48 слайд.

Решить уравнение:

49 слайд.

Вертикальная асимптота – это прямая,

параллельная оси OY.

50 слайд.

Рисунки из парабол.

51 слайд.

Буклет.

Лист 3

Тест  Вариант 1

Определите, какая графическая модель  соответствует каждой из данных функций.

Буквы, обозначающие графики, запишите рядом с формулами.

y   С   -2   0   x   -3	y   2   Л   0   x
y   А   0   x	y   П   0   x   -2
y   Ь   2   -3   0   x	y   А   0   2   x
y   3   0   2   x   К	y   У   2   0   x   -3

y = x2 - 2	y = (x-2)2	y = (x+2)2-3	y = -(x-2)2+3	y = x2	y = - x2+2	y = (x+3)2+2

Лист 3

Тест  Вариант 2

Определите, какая графическая модель  соответствует каждой из данных функций.

Буквы, обозначающие графики, запишите рядом с формулами.

y   Б   -2   0   x   -3	y   2   Е   0   x
y   Л   0   x	y   С   0   x   -2
y   В   2   -3   0   x	y   О   0   2   x
y   3   0   2   x   О	y   И   2   0   x   -3

y = x2 - 2	y = (x-2)2	y = (x+2)2-3	y = -(x-2)2+3	y = x2	y = - x2+2	y = (x+3)2+2

Лист 3

Тест   Вариант 3

Определите, какая графическая модель  соответствует каждой из данных функций.

Буквы, обозначающие графики, запишите рядом с формулами.

y   Б   -2   0   x   -3	y   2   Е   0   x
y   Ш   0   x	y   Ч   0   x   -2
y   В   2   -3   0   x	y   Е   0   2   x
y   3   0   2   x   Ы	y   К   2   0   x   -3

y = x2 - 2	y = (x-2)2	y = (x+2)2-3	y = -(x-2)2+3	y = x2	y = - x2+2	y = (x+3)2+2

Лист 3

Тест   Вариант 4

Определите, какая графическая модель  соответствует каждой из данных функций.

Буквы, обозначающие графики, запишите рядом с формулами.

y   Й   -2   0   x   -3	y   2   И   0   x
y   Н   0   x	y   Л   0   x   -2
y   Ц   2   -3   0   x	y   Е   0   2   x
y   3   0   2   x   Б	y   В   2   0   x   -3

y = x2 - 2	y = (x-2)2	y = (x+2)2-3	y = -(x-2)2+3	y = x2	y = - x2+2	y = (x+3)2+2

Лист 3

Тест   Вариант 5

Определите, какая графическая модель  соответствует каждой из данных функций.

Буквы, обозначающие графики, запишите рядом с формулами.

y   Р   -2   0   x   -3	y   2   Л   0   x
y   Х   0   x	y   Д   0   x   -2
y   Е   2   -3   0   x	y   И   0   2   x
y   3   0   2   x   И	y   А   2   0   x   -3

y = x2 - 2	y = (x-2)2	y = (x+2)2-3	y = -(x-2)2+3	y = x2	y = - x2+2	y = (x+3)2+2

Лист 3

Тест  Вариант 6

Определите, какая графическая модель  соответствует каждой из данных функций.

Буквы, обозначающие графики, запишите рядом с формулами.

y   Г   -2   0   x   -3	y   2   Н   0   x
y   А   0   x	y   Л   0   x   -2
y   Ж   2   -3   0   x	y   А   0   2   x
y   3   0   2   x   Р	y   Е   2   0   x   -3

y = x2 - 2	y = (x-2)2	y = (x+2)2-3	y = -(x-2)2+3	y = x2	y = - x2+2	y = (x+3)2+2

Приложение 1

Квадратичная функция: сжатие, растяжение

    Продолжим знакомиться с квадратичной функцией. Влияние коэффициента k на расположение ветвей параболы было рассмотрено ранее. Если k˃0 , то ветви направлены вверх, если k˂0, то ветви направлены вниз. Построим по точкам графики функций y=2x²  и  y=1/4x² . В первом случае коэффициент k˃0, во втором 0˂k˂1. 
Заполняем таблицу.

х	у = 2х2	у = 0,25х2
-4	32	4
-3	18	2,25
-2	8	1
-1	2	0,25
0	0	0
1	2	0,25
2	8	1
3	18	2,25
4	32	4

Строим графики по точкам.     

График функции (красный цвет)  y=2x2

График функции (красный цвет) y=1/4x2

                              Приложение 2

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ

Функция

называется квадратичной функцией.

Выделим полный квадрат

		корней нет
Теорема Виета Для того чтобы числа x1, x2, были решениями уравнения ax2+bx+c=0 необходимо и достаточно, чтобы x1+x2=-b/a; x1x2=c/a.

Графиком квадратичной функции является парабола получаемая из графика функции

y = ax² с помощью двух параллельных переносов:

1) сдвига вдоль оси ОХ на x₀ единиц (вправо, если x₀ > 0 и влево, если x₀ < 0).

2) сдвига вдоль оси ОY на y₀ единиц (вверх, если y₀ > 0 и вниз, если y₀ < 0).

Точка с координатами (x₀; y₀) называется вершиной параболы.

Приложение 3

С помощью электронных таблиц построены графики функций  у=х²  и у=а(х-m)² + n,

Ваша задача –  моделировать на компьютере поведение квадратичной функции при изменении её параметров

Инструкция по работе с программой:

Перед вами 3 столбца чисел

• блок A10:A30 – это значение переменной х
• блок B10:B30 – это значение функции у=х²
• блок C10:C30 – это значение функции у=а(х-m)² + n.

При вводе в ячейки E4, E5, E6 чисел автоматически пересчитываются значения функции в блоке C10:C30.

Такое достигается, если мы используем, какие ссылки при составлении формул?   (– Абсолютные ссылки.)

Какой знак визуально отличает относительную ссылку от абсолютной?  ( - знак доллара)

По блокам B10:B30 и C10:C30 построены диаграммы в виде графиков.

Мы видим сразу два графика,

­    синий график  -  это график функции у=х² будет оставаться на месте,

­    а красный график - это график функции у=а(х-m)² + n, будет сдвигаться в зависимости от чисел, которые вы введете в ячейки E4, E5, E6.

Программа проста в работе. Давайте потренируемся в работе с ней на конкретном примере.

Слайд !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

a	m	n	g(x)
1	-3	-10	g(x) = (x+3)2 -10
-1	3	10	g(x) = - (x-3)2 +10

У вас на столах лежит задание для практической работы (возьмите лист 1), вы должны параметрам a,m,n придать различные значения и сделать вывод, по какой оси, на сколько и в каком направлении будет сдвигаться график.

(Учащиеся работают за  компьютерами, используя раздаточный материал ).

Приложение 4

Практическая работа по теме:  Преобразование графика квадратичной функции f(x)=x².

Задание: Построить график функции g(x)=a(x-m)²+n и описать преобразование.

a	m	n	Формула функции	Преобразование графика.
a=1	m=5	n=0	g(x)=	График функции g(x) получается из графика f(x) в результате сдвига вдоль оси_______ на ___ единиц _______________.
a=1	m= -5	n=0	g(x)=	График функции g(x) получается из графика f(x) в результате сдвига вдоль оси_______ на ___ единиц _______________.
a=1	m=0	n= 20	g(x)=	График функции g(x) получается из графика f(x) в результате сдвига вдоль оси_______ на ___ единиц _______________.
a=1	m=0	n= -60	g(x)=	График функции g(x) получается из графика f(x) в результате сдвига вдоль оси_______ на ___ единиц _______________.
a=1	m=5	n= 50	g(x)=	График функции g(x) получается из графика f(x) в результате сдвига вдоль оси_______ на ___ единиц _______________, и вдоль оси_______ на ___ единиц _______________
a=1	m= -2	n= -40	g(x)=	График функции g(x) получается из графика f(x) в результате сдвига вдоль оси_______ на ___ единиц _______________, и вдоль оси_______ на ___ единиц _______________
a=1	m=3	n= -30	g(x)=	График функции g(x) получается из графика f(x) в результате сдвига вдоль оси_______ на ___ единиц _______________, и вдоль оси_______ на ___ единиц _______________
a= -1	m=3	n=0	g(x)=	График функции g(x) получается из графика f(x) в результате сдвига вдоль оси_______ на ___ единиц _______________.
a= -1	m=0	n= -30	g(x)=	График функции g(x) получается из графика f(x) в результате сдвига вдоль оси_______ на ___ единиц _______________.
a= -1	m= -1	n=40	g(x)=	График функции g(x) получается из графика f(x) в результате сдвига вдоль оси_______ на ___ единиц _______________, и вдоль оси_______ на ___ единиц _______________
a= -1	m=3	n= -20	g(x)=	График функции g(x) получается из графика f(x) в результате сдвига вдоль оси_______ на ___ единиц _______________, и вдоль оси_______ на ___ единиц _______________

1. Построить график функции у=|a |x2 (по точкам).

 2. Eсли

      а>0 не нужно   применять осевую симметрию относительно      оси OX

      а<0 надо        применить осевую симметрию относительно     оси OX.

3. Осуществить сдвиг  графика вдоль оси OX на  |m| единиц масштаба,

           если m<0  -  то влево,

          если m>0  -  то вправо.

4. Осуществить сдвиг полученного графика вдоль оси OY на  |n| единиц масштаба:

      если n > 0 – то вверх,

      если n < 0 – то вниз.

   Приложение 5

Определите, какая графическая модель, соответствует каждой из данных функций.

Буквы, записанные рядом с графиками, запишите в соответствующую ячейку таблицы под формулами, и вы получите фамилии величайших

математиков мира (6 вариантов).

Ученики в результате выполнения теста получают фамилии великих математиков:  Паскаль, Соболев, Чебышев,  Лейбниц,  Дирихле, Лагранж.

Если ученики быстро справляются с вышеизложенными заданиями, то  самостоятельно  строят график функции  у= -1(х-3)² -2 на координатной плоскости

Птиложение 6

Тестовое задание по теме: Квадратичная функция

• Запишите корни уравнения 7x=112.

       Вариант ответа:16; 4; 4,-4    

• Укажите интервалы, для которых значения функции отрицательны у=-х-2х+8.

       Вариант ответа:(-4,2); (-2,4); -2   

• Найти решение неравенства 2х+5х-12>0.

       Вариант ответа:(х<-8 и x>3);(-8 и 3);(3,8)

• Функция у=ах убывает на промежутке.

       Вариант ответа: х<0;х>0;при любых значениях    

• Функция у=ах возрастает на промежутке.

       Вариант ответа: x>0;х<0;при любых значениях

Задания:

Задание 1. В чём сходство графиков y=1/3x, y=1/3(x+2) , y=1/3x+3, y=-1/3x?

Задание 2. Выполняя моделирование, заполните таблицу:

Данная функция    Новая функция     Описание преобразования

   y=x²                           Перенос на 2 единицы вверх

   y= x²     y=x-4  

   y=x²2     y=-2x

               y=(x+2) Перенос на 2 единицы влево

   y=x²                           Перенос на 2 единицы вправо

   y=x²                           Сжатие в 3 раза по оси ох

Задание 3. В каких координатных четвертях расположен график функций?

1. У=10х²+5;

2. У=-7х²2 - 3;

3. У=(х-4)²2;

4. У=-(х-8)²2;

5. У=-6х²+8

                                           Приложение 7

Вариант 1

А1    Какая из функций является квадратичной?

1) у = х+2х² – 3;    2) у = х² – х³;       3) у = 5х – 1;       4) у =  - х².

А2     Найдите нули функции у = 3х² – 5х + 2.

1) -1 и 0;     2) 1 и ;       3) -1 и ;       4)3              

А3      Координаты вершины параболы, заданной уравнением у = - х² +6х, равны

1) (6;0)     2) (-3;-9)       3) (3;9)      4) (0;0)

А4    Найдите наименьшее значение функции у = х² – 4х +5.

1) 1;      2)-1;      3) 5;       4) – 4. 

А5   Какое неравенство не является квадратным?

   1) х² + х °;     2) 3х² – 5х + 2 < 0;       3) х² – х3  0;          4) х² – 13х + 40 > 0. 

А 6  Какое из чисел не является решением неравенства  3х² – х  - 2 < 0?

1)  0,2;      2) 0;      3)-0,5;      4) -1.

А 7  Найдите решения неравенства 3х –х² <0

1)  х >3                                2)  х<0; х>3                 3)   х<0               4)  0<х<3

А 8  Принадлежит ли графику функции у = х² – 13х + 40

 точка А (4;4)? 

 А 9   При каких значениях х значения функции

 у = х² - 4  отрицательны? 

В 1. Построить график функции у = х² – 4х + 3.

В 2. Решить неравенство х² – 4х + 30.

                               Вариант 2

А1   Какая из функций не является квадратичной?

1) у = х + 2х²;    2) у = х² – х - 5;       3) у = х² – 1;       4) у =  - х².

 А2  Найдите нули функции у = -3х2 – 5х - 2.

1) -1 и  - ;     2) 1 и ;       3)  1 и 0;      4) -3 и -2.

А3  Координаты вершины параболы, заданной уравнением у = - х² - 4х +1, равны

1) (-2;5)     2) (2;-3)       3) (4;1)      4) (0;1)

А 4  Найдите наибольшее значение функции у = -х² + 4х - 5.

1) 1;      2)-5;      3) -1;       4)  4. 

А 5Какое неравенство является квадратным?

1) х² +  0;     2) 3х² – 5+ 2 < 0;       3) х² – х3  0;          4) х² – 13х + 40 > 0. 

А 6  Какое из чисел является решением неравенства -3х² – х  + 2 > 0?

1)  2;      2) 0;      3)25;      4) -1.

А 7  Принадлежит ли графику функции

у = х² – 11х + 24  точка А (2;6)?

А 8  При каких значениях х значения функции

у = -х² + 4  положительны

А 9  Найдите b в уравнении x²+bx-12=0,если оно имеет корень 4. 

1) 1;              2) -1;             3) 7;              4) -7.                                                               

B1.  Построить график функции у=  х²+5х-24=0.

B2. Решить неравенство х²+5х-24<0

                                  Приложение 8

Приложение 9

Приложение 9

Лабораторная работа   "Построение параболы"

                                                                     

Параболой называется множество точек плоскости, расстояние каждой из которых до данной точки F, равно расстоянию до данной прямой d, не проходящей через точку F. Точка F называется фокусом параболы, а прямая d - директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным парметром параболы и обозначается через р.

Для того чтобы нарисовать параболу, потребуется линейка, угольник, нить длиной, равной большему катету угольника, и кнопки. Прикрепим один конец нити к фокусу, а другой - к вершине меньшего угла угольника. Приложим линейку к директрисе и поставим на нее угольник меньшим катетом. Карандашом натянем нить так, чтобы его острие касалось бумаги и прижималось к большему катету. Будем перемещать угольник и прижимать к его катету карандаш так, чтобы нить оставалась натянутой. При этом карандаш будет вычерчивать на бумаге параболу.

Касательной к параболе называется прямая, имеющая с параболой одну общую точку и не перпендикулярная ее директрисе. Прямая, проходящая через фокус и перпендикулярная директрисе, называется осью параболы.

Если изготовить зеркальную поверхность в форме параболоида и поместить в ее фокус источник света, то лучи света, отразившись от зеркальной поверхности, пойдут в одном направлении, перпендикулярном директрисе параболы. Поэтому отражающие поверхности прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, телескопов, параболических антенн и т.д. изготавливают в форме параболоида.

Задания

1.    Изготовить прибор для построения параболы.

2.      Нарисовать с помощью изготовленного прибора параболу. Ввести систему координат следующим образом:  точка О - середина перпендикуляра, опущенного из точки F на прямую d, ось Ох параллельна прямой d, а ось Оу совпадает с опущенным перпендикуляром и положительно направлена в сторону фокуса. Записать в этой системе координат все параметры параболы - р, координаты точки F и уравнение прямой d.

3.      Нарисовать параболу с заданными фокусом F и директрисой d. Сколько таких парабол?

4.      Найти геометрическое место точек, для которых расстояние от которых до заданной точки F, не лежащей на прямой d

а) меньше расстояния до прямой d

б) больше расстояния до прямой d

       Нарисуйте параболу с заданными фокусом F, директрисой d,

       расстоянием до нее p и проведите касательную перпендикулярную оси параболы.

5.      Возьмите лист бумаги прямоугольной формы и отметьте около его большой стороны точку. Сложите лист так, чтобы точка совместилась с какой-нибудь точкой на большой стороне. Разогните лист и снова согните его, совместив точку с другой точкой большой стороны. Сделайте так несколько раз, пока вся бумага не покроется линиями сгибов. Участок внутри этих сгибов будет иметь форму параболы. Докажите, что в итоге получается парабола.