Проектно- исследовательская работа "Тайны золотого сечения"

• 1 слайд

• 2 слайд

   “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень”. Иоганн Кеплер

• 3 слайд

• 4 слайд

  / пусть Ф2-ф-1=0; ф= «Золотое сечение» – это такое деление целого на две неравные части, при котором отношение всего отрезка к его большей части равно отношению большей к меньшей или деление отрезка на две неравные части (рис.) таким образом, чтобы большая часть (а) была средним пропорциональным между всем отрезком (a+b) и меньшей частью b:

• 5 слайд

• 6 слайд

• 7 слайд

• 8 слайд

• 9 слайд

  Лука Пачоли назвал «божественную суть» золотой пропорции, как выражение божественного триединства: бог-сын, бог-отец и бог-дух святой. Подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога-сына, большой отрезок – бога-отца, а весь отрезок - бога-духа святого. Лука Пачоли Художник Якопо де Барбари. Италия. Около 1510 года

• 10 слайд

  Леонардо да Винчи дал этому делению название «золотое сечение»

• 11 слайд

  Кеплер назвал золотую пропорцию продолжающей саму себя

• 12 слайд

  «Устроена она так, - писал Иоганн Кеплер, - что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причём та же пропорция сохраняется до бесконечности».

• 13 слайд

  Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX века В 1855 году немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив её универсальной для всех явлений природы и искусства.

• 14 слайд

• 15 слайд

  a : b = b : c или с : b = b : а

• 16 слайд

  Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки. Деление отрезка прямой по золотому сечению BC = 1/2 AB; CD = BC

• 17 слайд

• 18 слайд

• 19 слайд

  «Золотой» треугольник

• 20 слайд

  Из «золотых» треугольников состоит «ореол» 5-конечной звезды, которую общество пифагорейцев избрало своим символом. Такая звезда называется «звёздчатым пятиугольником». Отношение М/m равно числу Ф

• 21 слайд

  «Золотой» пятиугольник

• 22 слайд

  В правильной пятиконечной звезде каждый сегмент делится пересекающим его сегментом в золотом сечении Отношение синего отрезка к зелёному, также как красного к синему, также как зелёного к фиолетовому, равно φ.

• 23 слайд

  «Золотой» прямоугольник

• 24 слайд

  Есть и «золотой» кубоид - это прямоугольный параллелепипед с рёбрами Ф(1,618…), 1 и ф(0, 618…)

• 25 слайд

  Спираль Архимеда

• 26 слайд

• 27 слайд

• 28 слайд

  Выпуск научных трактатов Фибоначчи: Книга абака, написанная в 1202 году, но дошедшая до нас во втором своём варианте, который относится к 1228 г. Практики геометрии ( 1220г.) Книга квадратов(1225г.)

• 29 слайд

  Задача. Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается? Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, дабы узнать, сколько пар кроликов родится в течение этого года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов воспроизведёт другую, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения.

• 30 слайд

  Последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известна как ряд Фибоначчи. Если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1,61803398875... При делении любого члена последовательности Фибоначчи на следующий за ним получается просто обратная к 1,618 величина (1:1,618=0,618).

• 31 слайд

  Хронология и периодизация исторического развития с помощью ряда Фибоначчи (1,1,2,3,5,8…) разделена на 18 временных ступеней. I тыс.н.э. – поздний железный век I тыс. до н.э. – начало железного века V-II тыс. до н.э. – сосредоточены культуры энеолита, ранней и поздней бронзы Европы VIII-V тыс. до н.э. – европейский мезолит и неолитические культуры Ближнего Востока …

• 32 слайд

  Ряд чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1 597, 2 584, 4181 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Много интересного в арифметике чисел Фибоначчи. Каждое третье число Фибоначчи чётно, каждое четвёртое делится на три, каждое пятнадцатое оканчивается нулём.

• 33 слайд

• 34 слайд

  Холст, на котором написана "Тайная вечеря" Сальвадора Дали имеет форму золотого прямоугольника. Золотые прямоугольники меньших размеров использованы художником при размещении фигур двенадцати апостолов.

• 35 слайд

  Эскиз гравюры "Избиение младенцев", выполненный Рафаэлем, отличается динамизмом и драматизмом сюжета. На рисунке проведена золотая спираль, по которой располагаются основные фигуры экспозиции. На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребёнка - вдоль фигур ребёнка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесённым мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Неизвестно, строил ли Рафаэль золотую спираль или чувствовал её.

• 36 слайд

  На картине крупного итальянского живописца и математика XV века Пьетро делла Франческа "Бичевание Христа" в мраморной плите пола, украшающей портик, обнаруживается сложный геометрический узор. Представив этот чертёж как вид сверху, получим прямоугольник, построенный с использованием "золотого сечения": перед глазами зрителей предстаёт замечательная восьмиугольная звезда, которая обладает как художественной красотой, так и математическим совершенством.

• 37 слайд

  Рафаэль “Афинская школа” (Фрагмент)

• 38 слайд

  "Святой Себастьян" Антонелло де Мессина Золотая пропорция лежит в основе трактовки тела святого. Плитки пола являются прямоугольниками, стороны которых находятся в золотом соотношении. Рост лежащего воина в соотношении с ростом Себастьяна даёт квадратный корень золотого сечения. Квадрат золотого сечения создаётся отношением диаметра к высоте обломка колонны – символа ранней смерти, лежащего на переднем плане.

• 39 слайд

  Золотое сечение картины Золотое сечение и зрительные центры

• 40 слайд

  Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнёт читать мои труды”. Портрет Моны Лизы (так называемой “Джоконды”, около 1503, Лувр)

• 41 слайд

  И.И.Шишкин "Корабельная роща" Ярко освещённая солнцем сосна на переднем плане делит картину по золотому сечению. Справа от сосны - освещённый солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих её в золотых отношениях, придают ей характер уравновешенности и спокойствия.

• 42 слайд

  Нет живописи более поэтичной, чем живопись Боттичелли Сандро, и нет у великого Сандро картины более знаменитой, чем его “Венера”. Для Боттичелли его Венера – это воплощение идеи универсальной гармонии «золотого сечения», господствующего в природе.

• 43 слайд

  В Древней Греции следует выделить изготовление и роспись всевозможных сосудов. В изящной форме легко угадываются пропорции золотого сечения.

• 44 слайд

  В живописи и скульптуре храмов, на предметах домашнего обихода древние египтяне чаще всего изображали богов и фараонов. Были установлены каноны изображения стоящего, идущего человека и т.д. Художники обязаны были заучивать отдельные формы и схемы изображения по таблицам и образцам. Перед вами канон изображения стоящего человека. Все пропорции человека связаны формулой “золотого сечения”.

• 45 слайд

• 46 слайд

  Пифагору принадлежит математическое объяснение основ гармонии; по его определению наиболее естественно воспринимаются человеком частоты, которые находятся между собой в простых числовых отношениях. Вот откуда и отношение частот в октаве 1 : 2, и благозвучное трезвучие с отношением частот 4 : 5 : 6. Уменьшая последовательно длины струн, мы получим природный звукоряд из 16 звуков. Но почему же древние музыканты приняли звукоряд, состоящий из семи основных звуков, и лишь позже добавили ещё пять дополнительных? (Так появились чёрные клавиши в пианино)

• 47 слайд

  Музыка - вид искусства, который отражает действительность и воздействует на человека посредством осмысленных и особым образом организованных звуковых последовательностей, состоящих из тонов.

• 48 слайд

  Сабанеев изучил 1770 сочинений 42 композиторов. Наблюдалось 3275 золотых сечений; количество произведений, в которых встречалось хотя бы одно золотое сечение, составило 1338.

• 49 слайд

  Сабанеев изучил 1770 сочинений 42 композиторов. Наблюдалось 3275 золотых сечений; количество произведений, в которых встречалось хотя бы одно золотое сечение, составило 1338.

• 50 слайд

  «Музыка в камне» - ставшая штампом метафора. И всё-таки, доказывает исследователь, именно музыка. А ведь зодчие, возводя сооружения, вряд ли обращались к музыкальному строю. Вот, скажем, собор Василия Блаженного в Москве. Если даже не говорить о красках, а только о форме, интуитивно отыщем гармонию. Башенки и купола все разные, двух похожих не встретишь. Каждая сама по себе симметрична, взятые вместе - близки к симметрии, хотя и нарушают её. А вот что говорят расчёты: если вынести на вертикаль особые точки памятника – вершины куполов, крестов, основания и завершения барабанов, окон, карнизы, - соотнести высоты этих точек с общей высотой собора, получатся дроби музыкального строя – характерные числа.

• 51 слайд

• 52 слайд

  Стихотворения А.С. Пушкина по числу строк тяготеют к числам 5, 8, 13, 21, 34… (числа Фибоначчи). Наиболее выдающиеся шедевры, состоящие из 8 строчек, – это “Я вас любил”, “Пора, мой друг, пора! Покоя сердце просит”. 13-14 строчек в стихах “Сонет”, “Мадонна”, “Няне”. По 20 строчек – “Храни меня, мой талисман”, “Во глубине сибирских руд”, “К Чаадаеву”, “Памятник”.

• 53 слайд

  А.С. Пушкин "Сапожник" Картину раз высматривал сапожник И в обуви ошибку указал; Взяв тотчас кисть, исправился художник, Вот, подбочась, сапожник продолжал: «Мне кажется, лицо немного криво ... А эта грудь не слишком ли нага?» Тут Апеллес прервал нетерпеливо: «Суди, дружок, не выше сапога!» Есть у меня приятель на примете: Не ведаю, в каком бы он предмете Был знатоком, хоть строг он на словах, Но чёрт его несёт судить о свете: Попробуй он судить о сапогах! Проведём анализ этой притчи. Стихотворение состоит из 13 строк. В нём выделяются две смысловые части: первая - в 8 строк и вторая (мораль притчи) - в 5 строк (13, 8, 5 - числа Фибоначчи).

• 54 слайд

   Представляет интерес роман А.С. Пушкина "Евгений Онегин". Этот роман состоит из 8 глав, в каждой из них в среднем около 50 стихов. Наиболее совершенной, отточенной и эмоционально насыщенной является 8 глава. Кульминация главы - объяснение Евгения в любви Татьяне - строка "Бледнеть и гаснуть ... вот блаженство!". Эта строка делит всю восьмую главу на две части: в первой - 477 строк, а во второй - 295 строк. Их отношение равно 1,617! Тончайшее соответствие величине золотой пропорции!

• 55 слайд

  Золотое сечение математики можно рассмотреть на примере композиции “Пиковой дамы” Пушкина. В повести 6 глав, 853 строчки. В каждой главе проявляется правило золотого сечения. Кульминацией является сцена в спальне графини, куда проник Германн в надежде узнать тайну 3-х карт. Смерть графини от испуга случается на 535 строке. Эта строка располагается точно в месте золотого сечения, так как 835:535=1,6.

• 56 слайд

  В 1-й главе золотому сечению отвечает 68 строка (всего в главе 110 строк): “Сен-Жермен задумался”. Это переломный момент: откроет ли он свою тайну графине, выручит ли её, избавив от огромного карточного долга, или графиня будет обречена на разорение и позор.

• 57 слайд

  Во 2-й главе 219 строк, золотое сечение приходится на 135 строку. Лиза увидела из окна стоявшего на улице Германна. Отсюда для неё начался новый отсчёт времени, новые события, определившие её дальнейшую судьбу, 219:135=1,6.

• 58 слайд

  Третья глава описывает усилия Германна попасть в дом старой графини, выведать у неё тайну 3-х карт. “Часы пробили второй час утра. Карета подъехала и остановилась”. Начинается новый отсчёт времени для Германна и для графини 212:131=1,6.

• 59 слайд

  В четвёртой главе Лиза понимает, что Германн виноват в смерти её хозяйки-графини, что Германна влечёт не любовь к ней, а жажда денег. 113:70=1,6. В пятой главе Германн, возвратившись домой после похорон графини, видит во сне покойную старуху, которая пришла к нему и назвала 3 заветные карты – тройка, семёрка, туз. 75:46=1,6.

• 60 слайд

  В 6-ой главе Германн видит вместо пиковой дамы графиню и в ужасе восклицает: “Старуха!” 124:77=1,6. Золотое сечение, или золотая пропорция в композиции повести “Пиковая дама” – убедительное подтверждение того, что творчество Пушкина основывалось на интуиции, которая подчиняется точным математическим расчётам.

• 61 слайд

  Стихотворения В.Брюсова отличаются совершенством своих форм. И неудивительно, что в их размерности также проявляются числа Фибоначчи. Было проанализировано 360 стихотворений поэта, которые охватывали период от 1882 до 1912 года.

• 62 слайд

  Среди рассмотренных стихотворений В.Брюсова явно преобладают те, в которых число строчек равно или близко к числам Фибоначчи. Они распределены следующим образом: число строкколичество штук% 8257 7721,5 7019,6 3610

• 63 слайд

  Знаменитое стихотворение Лермонтова "Бородино". Главная часть стихотворения состоит из 13 семистиший, то есть из 91 строки. Разделив её золотым сечением (91:1,618 = 56,238), убеждаемся, что точка деления находится в начале 57-го стиха, где стоит короткая фраза: "Ну ж был денек!". Именно эта фраза представляет собой "кульминационный пункт возбуждённого ожидания", завершающей первую часть стихотворения (ожидание боя) и открывающий вторую его часть (описание боя). Таким образом, золотое сечение играет в поэзии весьма осмысленную роль, выделяя кульминационный пункт стихотворения.

• 64 слайд

  В наше время родился новый вид искусства - кино, вобравший в себя драматургию действия, живопись, музыку. В выдающихся произведениях киноискусства правомерно искать проявления золотого сечения. Первым это сделал создатель шедевра мирового кино "Броненосец Потёмкин" кинорежиссёр Сергей Эйзенштейн. В построении этой картины он сумел воплотить основной принцип гармонии - золотое сечение. Как отмечает сам Эйзенштейн, красный флаг на мачте восставшего броненосца (точка апогея фильма) взвивается в точке золотой пропорции, отсчитываемой от конца фильма.

• 65 слайд

• 66 слайд

  В теории архитектуры хорошо известна книга "Пропорциональность в архитектуре", опубликованная русским архитектором профессором Г. Д. Гримом в 1935 г.

• 67 слайд

  Г.Д. Гримм подтверждает свои теоретические изыскания в области пропорциональной схемы золотого сечения архитектурными примерами из искусства классики (Парфенон, храм Юпитера в Дуге в Тунисе), памятниками Византийского искусства, итальянского Возрождения (Сан Пиетро ин Монторио в Риме, памятник Коллеони, собор Св. Петра в Риме). Сан Пиетро ин Монторио в Риме (Браманте)

• 68 слайд

  Смольный собор в Санкт-Петербурге Проведя гармонический анализ Смольного собора в Санкт-Петербурге, Г. Д. Гримм делает заключение, "что отрыва от общей схемы золотого сечения в его пропорциях не замечается… ".

• 69 слайд

  В лучших памятниках этой эпохи мы встречаем многократное применение отношений, отвечающих золотому сечению. В качестве примера такого архитектурного памятника Г. Д. Гримм приводит колокольню церкви Рождества Христова в Ярославле. Колокольня церкви Рождества Христова в Ярославле.

• 70 слайд

  Сама попытка общей формулировки принципа "золотого сечения" как основы пропорциональности архитектурных стилей, проверенная на материале античной и европейской архитектуры, заслуживает внимания, чтобы быть опубликованной, тем более, что в книге даётся исторический очерк развития теории пропорциональности, а также развёрнутое математическое положение принципа "золотого сечения ".

• 71 слайд

  Одиноко стоит в пойме реки Нерли над зеркалом спокойных вод изящный и легкий белокаменный храм, словно любуется своим изображением в воде. Эта небольшая, скромная по архитектурной композиции церковь считается наиболее совершенным творением владимирских зодчих. Церковь Покрова на Нерли (1165г.)

• 72 слайд

  Храм Василия Блаженного в Москве Гармонический анализ храма Василия Блаженного

• 73 слайд

  Преображенская церковь в Кижах

• 74 слайд

  Известный русский архитектор Казаков Матвей Федорович (1738-1802гг) в своем творчестве широко использовал "золотое сечение". Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществлённых проектах жилых домов и усадеб.

• 75 слайд

  Здание Сената. Кремль. 1776-1778гг. Москва. Голицынская больница. 1794-1801гг. Петровский дворец в Москве. 1776-1796гг.

• 76 слайд

  О своем любимом искусстве Василий Баженов говорил: "Архитектура – главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания… К достижению сего служит руководством знание пропорции, перспективы, механики или вообще физики, а всем им общим вождём является рассудок". В. И. Баженов (1737-1799). Портрет работы неизвестного художника.

• 77 слайд

  Дом Пашкова. В. И. Баженов.

• 78 слайд

  Парфенон Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V век до н. э.). Строительством храма Парфенон руководил архитектор Фидий.

• 79 слайд

• 80 слайд

  Отношение длины здания Парфенона в Афинах к его высоте равно Ф (фи). КВ : АВ = СВ : АС = АВ : ВС = Ф

• 81 слайд

  На плане пола Парфенона также можно заметить «золотые» прямоугольники:

• 82 слайд

  Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр–дам де Пари)

• 83 слайд

  Загадки египетских пирамид Всё на свете страшится времени, А время страшится пирамид. Арабская пословица Пирамида Хеопса

• 84 слайд

  Пирамида Хеопса, Египет

• 85 слайд

  Правильная четырёхгранная пирамида является одной из хорошо изученных геометрических фигур, символизирующих простоту и гармонию формы, олицетворяющую устойчивость, надёжность, устремление вверх.

• 86 слайд

  Не только египетские пирамиды построены в соответствии с совершенными пpопоpциями золотого сечения; то же самое явление обнаружено и у мексиканских пирамид. В первом ярусе - 16 ступеней, во втором - 42 ступени и в третьем - 68 ступеней. Эти числа основаны на соотношении Фибоначчи следующим образом:

• 87 слайд

• 88 слайд

  Нет идеальной красоты без некоторой странности пропорций. Народная поговорка

• 89 слайд

  Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал “золотое сечение” в своих произведениях. Самым знаменитым из них была статуя Зевса Олимпийского (одно из семи чудес света).

• 90 слайд

  Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришёл к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

• 91 слайд

  Греческий скульптор Леохар создал знаменитую статую Аполлона Бельведерского, воплотившую представление древних греков о красоте. Если высоту статуи разделить в отношении золотого сечения и то же самое проделать с каждой частью, то точки деления придутся на талию, коленную чашечку, адамово яблоко. Та же закономерность распространяется в отдельности на лицо, руку, кисть. Аполлон Бельведерский

• 92 слайд

  "Давид" (1430-е гг.) - изящно выполненный из бронзы торжествующий победитель, поставивший ногу на отсечённую голову поверженного Голиафа, - стал первым со времен античности скульптурным изображением свободно стоящей человеческой фигуры в натуральную величину.

• 93 слайд

• 94 слайд

• 95 слайд

  Цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках "упакованы" по логарифмическим ("золотым") спиралям, завивающимся навстречу друг другу, причём числа "правых "и "левых" спиралей всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи (13:8, 21:13, 34:21, 55:34), пределом последовательности которых является золотая пропорция.

• 96 слайд

  Приглядимся внимательно к побегу цикория. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок ещё меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

• 97 слайд

  "Порхающими цветами" называют бабочек - этих удивительных созданий природы.

• 98 слайд

  Неудивительно, что стрекоза выглядит столь совершенной, ведь она создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста. Прозрачные крылья стрекоз - это шедевр "инженерного" мастерства природы.

• 99 слайд

  В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина её хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Можно заметить золотые пропорции, если внимательно посмотреть на яйцо птицы.

• 100 слайд

• 101 слайд

  "Фигура выражает сдержанную мощь и гордое достоинство человека, вполне сознающего, что именно он является мерой всех вещей". А.С.Пушкин

• 102 слайд

  Закон золотого сечения просматривается в количественном членении человеческого тела, соответствующем числам ряда Фибоначчи. Примером может быть число костей туловища, черепа и конечностей. Так, в скелете туловища различают 3 костных системы: позвоночник, рёберный его отдел и грудину. Грудина включает 3 кости (рукоятку, тело и мечевидный отросток). Позвоночник состоит из 33 (34) позвонков; от них отходят 12-13 пар рёбер. Мозговой череп состоит из 8 костей. В верхней и нижней челюстях с каждой стороны имеется по 8 альвеол и соответственно - корни 8 зубов.

• 103 слайд

  Скелет верхней конечности состоит из 3 частей (плечевой, костей предплечья и костей кисти). Кисть включает 8 костей запястья, 5 пястных костей и кости 5 пальцев. Каждый палец, кроме большого, имеет по 3 фаланги. Таким образом, морфогенез кисти, включающей два соседних члена числового ряда Фибоначчи - в частности, 8 костей запястья и 5 костей пясти, - приближается к золотому сечению 1,618, поскольку 8/5=1,6.

• 104 слайд

  Сопоставляя длины фаланг пальцев и кисти руки в целом, а также расстояния между отдельными частями лица, также можно найти "золотые" соотношения:

• 105 слайд

• 106 слайд

  Равномерно бьётся сердце человека – около 60 ударов в минуту в состоянии покоя. Сердце как поршень сжимает, а затем выталкивает кровь и гонит её по телу. Предсердия выполняют роль резервуара, принимающего кровь из вен, а желудочки - насоса, ритмически перекачивающего кровь в артерии. Давление крови изменяется в процессе работы сердца. Наибольшей величины оно достигает в левом желудочке в момент его сжатия (систолы). В артериях во время систолы желудочков кровяное давление достигает максимальной величины, равной 115-125 мм рт.ст. у здорового молодого человека. В момент расслабления сердечной мышцы (диастолы) давление снижается до 70-80 мм рт.ст. Отношение максимального (систолического) к минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем 1,6 , т.е. близко к золотой пропорции.

• 107 слайд

  У человека и у других млекопитающих имеется оптимальная («золотая») частота сердцебиения, при которой длительности систолы, диастолы и полного сердечного цикла соотносятся между собой в пропорции 0,382:0,618:1 , т.е. в полном соответствии с золотой пропорцией. Так, например, для человека эта частота равна 63 ударам в минуту, для собак – 94 , что отвечает реальной частоте сердцебиения в состоянии покоя. Рисунок. Электрокардиограмма человека по В.Д.Цветкову(1984): ts, tp, t- длительности систолы, диастолы и кардиоцикла, соответственно, при частоте сердцебиений; P,Q,R,S,T - зубцы ЭКГ.

• 108 слайд

  Работа сердца в отношении временных циклов, изменения давления крови и объёмов желудочков оптимизировано по одному и тому же принципу – по правилу золотой пропорции.

• 109 слайд

• 110 слайд

  Проводились исследования, в которых испытуемым предлагалось выбирать и копировать прямоугольники различных пропорций. На выбор предлагалось три прямоугольника: квадрат (40:40 мм), прямоугольник "золотого сечения" с отношением сторон 1:1,62 (31:50 мм) и прямоугольник с удлиненными пропорциями 1:2,31 (26:60 мм).

• 111 слайд

• 112 слайд

  Что же представляет собой «золотая пропорция» с позиции философской науки? Это некое отношение между какими-либо противоположными свойствами какого-либо объекта. Или количественное соотношение между двумя противоположностями. Противоположности – две стороны одного и того же предмета или явления, которые находятся постоянно в противоречии друг с другом из-за своей абсолютной полярности.

• 113 слайд

  Пример противоречий. Добрый человек не может быть добрым, если нет злого, иначе кто же узнает, каким должен быть добрый, и не может добрый человек быть добрым по отношению к злу, ведь тогда вся его доброта будет только пособничеством злу. Значит, это заложено в доброте. Это прямо доказывает, что единство противоположностей - такая же реальность существования противоположностей, как и их борьба.

• 114 слайд

   “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень”. Иоганн Кеплер

• 115 слайд

• 116 слайд

• 117 слайд

• 118 слайд

• 119 слайд

• 120 слайд

• 121 слайд

• 122 слайд

• 123 слайд

• 124 слайд

• 125 слайд

• 126 слайд

• 127 слайд

МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

АННИНСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 3

Аннинский муниципальный район

Воронежская область

АННА 2013-2014

У многих учащихся сформировалось мнение, что геометрия – это «сухой» предмет, который развивает только логику, ум, а искусство воздействует лишь на эмоциональную сферу человека, в которой нет места логике, следовательно, геометрия и искусство – это «лед и пламень».

     Цель предлагаемой работы развеять этот миф. Геометрия – это не только школа логического  мышления, это ещё и источник образов. В чём тайна многих великих художников, скульпторов, архитекторов. Почему одни произведения искусства притягивают человека своей гармонией, а другие отталкивают?

     Есть ли точки соприкосновения у геометрии и искусства? Люди, каких профессий (из мира искусства) используют законы геометрии при создании своих произведений?

Ответы на эти вопросы и многие другие дети должны сформулировать при знакомстве с работой «Тайны «золотого сечения»». Она ориентирована на детей, которые увлекаются искусством, но при этом хотели бы понять логику восприятия художественных произведений человеком.

     Для геометрии необычность этой работы в том, что здесь нет привычных сложных геометрических задач и теорем, выходящих за рамки школьной программы. Наряду с этим содержание курса может заинтересовать и ребят, серьезно занимающихся  математикой, т.к. в этом курсе поднимается вопрос о взаимодействии эстетики с точки зрения формальной математической логики и с позиций восприятия гармонии и красоты человеком. На уроках геометрии практически этот вопрос не поднимается, преобладает красота логики доказательства, красота формул, а красота формообразования в природе и искусстве уходят из поля зрения.

На уроках МХК, в отличие от геометрии, мало исследуются вопросы именно строгой логики в создании шедевров искусства. В будущем, при изучении этого предмета, данный работа поможет детям.

      Работа «Тайны «золотого сечения»» даст возможность детям исследовать вопрос о том, должен ли человек, постигающий тайны искусства и окружающего мира, понимать такие принципы, лежащие в основе устройства многих явлений природы и искусства как симметрия, пропорции.

Данная работа адресована учащимся 5 – 10 классов для самостоятельного чтения и по содержанию тесно примыкает к школьной программе. В ней широко привлекаются исторические сведения, занимательные факты.

Мы, авторы данной работы, надеемся, что вы с удовольствием отправитесь разгадывать «Тайны «золотого сечения»».

Конечно, как и всякая книга по математике, наша работа нелегка – лёгких книг по математике вообще не бывает. Читайте её, не торопясь, следуя при этом нашими советами.

1. Читайте работу, как говорят, с карандашом в руках. Все преобразования, доказательства и построения, вычисления и т. д. обязательно проделайте самостоятельно, даже если в работе они описаны очень подробно. Более того, проделать их надо не менее двух раз – сначала как бы «списывая с книги», а потом – самостоятельно, не заглядывая ни в работу, ни в свои записи.

2. Не пропускайте трудных мест. Если такое место встречается, попробуйте разбить его на небольшие части, может быть, даже на отдельные предложения, разберитесь в каждом из них, в необходимых случаях вернитесь назад, к предыдущему абзацу. И только если уж дело никак не идёт – обращайтесь за помощью к авторам этой работы, они находятся в стенах твоей школы, но всё же постарайтесь разобраться во всём самостоятельно.

3. Читая работы по математике, обязательно надо повторять те определения, которые упоминаются в тексте. Не жалейте на это времени – всё равно в конечном итоге вы его сэкономите!

4. Изучать математику надо самостоятельно, но очень полезно читать и особенно обсуждать прочитанное в небольшом коллективе. Мы надеемся, что, прочитав нашу работу, вы попытаетесь рассказать – подробно, с примерами, с доказательствами – то, о чём вы прочитали, вашему другу или подруге. Сумеете объяснить так, что он всё поймёт, - значит, и сами разобрались, не сумели – что–то ещё не доделано, что–то ещё не до конца понято.

Наша работа – не приключенческая повесть. Не читайте сразу слишком много. Лучше всего за один раз одолевать не более 4 – 5 страниц.

Выполнили учащиеся

7 «Б» класса:

Щипанова Ксения, Дементьев Евгений, Губин Илья, Жарков Владислав

8 «Б» класса:

Зайцева Виктория, Дугаева Алина, Потапов Андрей

Научный руководитель

Галина Станиславовна Конюхова,

учитель математики МКОУ АСОШ №3.

396250, Воронежская область,

п.г.т. Анна.

Ул. Горького, 40

тел. школы 8 (246)2-17-22

1. Введение…………………………………………………………………2-4

2. История золотого сечения…………………………………………….5-9

3. Построение золотого сечения………………………………………10,11

4. Второе золотое сечение……………………………………………….12

5. «Золотые» фигуры……………………………………………………13-23

5.1. «Золотой» треугольник…………………………………………13-16

5.2. «Золотой» прямоугольник……………………………………...17,18

5.3. Спираль Архимеда ……………………………………………19-20

5.4. «Золотой» пятиугольник ………………………………………21-23

6. Числа Фибоначчи……………………………………………………...24-28

6.1. Последовательность Фибоначчи и хронология древнейшей

истории……………………………………………………………29,30

6.2. Последовательность Фибоначчи и теханализ рынков………..31

7. Золотое сечение в искусстве………………………………………..32-72

7.1. Золотое сечение в живописи………………………………….32-38

7.2. Золотое сечение в музыке……………………………………..39-45

7.3. Золотое сечение в литературе………………………………..46-54

7.4. Золотое сечение в архитектуре………………………………55-65

7.5. Тайна египетских пирамид…………………………………….66-69

7.6. Золотое сечение в скульптуре………………………………..70-72

8. Золотое сечение в живом мире…………………………………….73-80

8.1. Золотое сечение в природе……………………………………73-75

8.2. Золотое сечение и анатомия………………………………….76,77

8.3. Золотое сечение и деятельность сердца…………………...78-80

9. Золотое сечение в физике, химии и астрономии………………..81-83

10. Золотое сечение и восприятие изображений……………………84,85

11. Понятие «Золотая пропорция» с философской точки зрения…….86

12. Заключение……………………………………………………………..87,88

13. Литература…………………………………………………………………89

 “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень”.

Иоганн Кеплер

Теорему Пифагора знает каждый, а вот что такое “золотое сечение” – далеко не все. Расскажем вам об этом “драгоценном камне”.

Так что же такое «золотое сечение?»

Сегодня мы раскроем тайны “золотого сечения”. Узнаем, что существует такая золотая точка на любом отрезке, которая обеспечивает, присутствие красоты, соразмерности всех частей, рассмотрим примеры, где встречается “золотое сечение” в живой и не живой природе.

Итак, "золотое сечение" – это такое деление целого на две неравные части, при котором отношение всего отрезка к его большей части равно отношению большей к меньшей или деление отрезка на две неравные части (рис) таким образом, чтобы большая часть (а) была средним пропорциональным между всем отрезком (a+b) и меньшей частью b:

; ;/, пусть ; Ф²-ф-1=0; ф= .

Это уравнение имеет положительный корень Ф=(+1)/2=1,618034….

Заметим, что 1/Ф = (-1 )/2, так как (-1)( +1) =5-1=4. За 1/Ф принято считать φ=0,618034….

Обращали ли вы внимание на трёхзначные числа, определяющие дробную часть числа Ф? А ведь они весьма символичны, и за этим стоят некие законы числовых рядов. Опустим "0", стоящий внутри дробной части числа 1,618033988751..., как это обычно делается при "теософическом сокращении", и выделим трехзначные числа. Получаем ряд: 618, 339, 887... Теперь перемножим их на "Божественный множитель" Ф = 1,618. Имеем: 618*Ф = 1000, (что, в общем-то, является следствием выражения: 1/Ф = ф) может быть, поэтому после "618" и стоит "0"?; далее: 339*1,618 = 548,5; 548,5*1,618 = 887,5 , что повторяет следующее после 339 трёхзначное число 887, более того: - с дробной частью "0,5". Округляя дробную часть числа Ф до 11-го знака после запятой, мы получим 8-11-м знаками: 8875, что примерно соответствует 888 (!!!) - священному "числу имени Иисуса Христа". И, кроме того: 339 + 548,5 = 887,5. Таким образом числа 339, 549 и 888 представляют собой "отрезок в золотом делении", а число 549 = 339*1,618 - "золотую точку", которая делит рассматриваемый отрезок "339 - 888" в отношении Божественной пропорции: Ф = 1,618. Число 549 на рассматриваемом участке значения Ф в явном виде отсутствует, но ему равна разница между 888 и 339, что как бы, обозначает длину рассматриваемого числового отрезка.

И этот "Божественный отрезок" - сразу в двух священных смыслах: как золотая пропорция и как число Иисуса, "выделен Демиургом" в дробной части "своего инструмента" - значении самого коэффициента Золотого сечения, посредством его же применения (в качестве множителя). А цифра "0" - "Великое Ничто", является границей - "Великим Пределом", отделяющим значение Божественного коэффициента 1,618 от выделенных трехзначных чисел: 339 и 887 (888).

Однако и это ещё не все "удивительности", касающиеся чисел 339 и 888, а также их взаимодействия между собой!

Т.о. трехзначные числа дробной части коэффициента золотого сечения (первые после "618" - числа, соответствующего самому коэффициенту Ф) 888 и 339, связаны между собой:

1) отношением Золотой пропорции: если "888" принять за единицу, то "339" будет меньшим отрезком золотого деления;

2) пропорция "888/339" является интерпретацией китайской "пи-образующей" пропорции "355/113", откуда: = 11 - 3(888/339) = 11 - 888/1133,14.

Если бы данное свойство продолжилось в отношении трехзначных чисел - дальнейших членов "ряда" дробной части числа Ф, то его можно было бы считать неким алгоритмом образования коэффициента золотого сечения. Однако этого, увы, не наблюдается, и последующие числа - цифры числа Ф непредсказуемы. Но думается, что фраза "в этом что-то есть", имея в виду отношение проявленных свойств чисел 888 и 339 к алгоритму образования всей дробной части числа Ф, здесь уместна. Вряд ли такое, весьма точное и двойное, совпадение является случайным.

Ф и φ - прописная и строчная формы греческой буквы "фи".

Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия (V век до н. э.). Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах. В пропорциях этого храма многократно присутствует число φ .

“Золотое сечение”- пропорция, которой древние маги приписывали особые свойства. Упрощённо такое соотношение можно представить как 2/3 или 3/5. Замечено, что объекты, содержащие в себе "золотое сечение", воспринимаются людьми как наиболее гармоничные.

Итак “золотое сечение” – это иррациональное число, оно приблизительно равно 1,618.

Пирамида Хеопса, самая известная из египетских пирамид, знаменитый греческий храм Парфенон, большинство греческих скульптурных памятников, непревзойденная "Джоконда" Леонардо да Винчи, картины Рафаэля, Шишкина и современного русского художника Константина Васильева, этюды Шопена, музыка Бетховена, Чайковского – вот далеко не полный перечень выдающихся произведений искусства, наполненных чудесной гармонией, основанной на "золотом сечении".

Принято считать, что понятие о золотом делении ввёл в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор своё знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Французский архитектор Ле Корбюзье нашёл, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображённый на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Динамические прямоугольники

Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящён математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

Античный циркуль золотого сечения

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» даётся геометрическое построение золотого деления.

После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвящённым.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди учёных и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и учёный, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и её «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок – бога духа святого).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет: «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».

Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI в. Иоганн Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд)

Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов.

Построение шкалы отрезков золотой пропорции

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив её универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения.

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.

В конце XIX – начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b = c : d.

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

• на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС;

• на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);

• таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

a : b = b : c или с : b = b : а.

Геометрическое изображение золотой пропорции

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB;CD = BC

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Задача 1. Возьмите отрезок длиной 10 см и разделите его приблизительно в золотом отношении.

(6,2 см и 3,8 см) одна часть отрезка больше другой в 1,6 раза. Части “золотого сечения” составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка.

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56.

Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлинённого горизонтального формата.

Построение второго золотого сечения

Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44.

Деление прямоугольника линией второго золотого сечения

На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника. Таким образом было доказано, что разделить отрезок в крайнем и среднем отношении можно не единственным способом.

В геометрии есть также множество фигур, подчиняющихся закону золотой пропорции. Это, прежде всего, правильные многоугольники. Но особое место занимают неправильные многоугольники, имеющие в своем названии соответствующий эпитет "золотой".

Золотой треугольник имеет вид равнобедренного. В нём угол при основании составляет 72^о, а при вершине 36^о. Числу Ф = 1,618 равно отношение большей стороны (a + b) (наклонной, или гипотенузы в прямоугольном треугольнике, составляющем половину от рассматриваемого) к длине основания (2O).

ЗОЛОТОЙ ТРЕУГОЛЬНИК

На базе золотого треугольника строится спираль. Для этого из угла (при основании) проводится биссектриса, разделяющая золотой треугольник на два меньших. Больший треугольник из двух полученных таким образом будет иметь углы: 36^о, 36^о и 108^о, а меньший - золотым. И так далее.

СПИРАЛЬ НА БАЗЕ ЗОЛОТЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Золотой треугольник положен в основу пирамид раннего Египта. Именно из этих треугольников же состоит "ореол" 5-конечной звезды, которую общество пифагорейцев избрало своим символом. Такая звезда называется "звёздчатым пятиугольником". Отношение М/m равно числу Ф.

Пентаграмма и звездчатый пятиугольник

Египетский треугольник - прямоугольный треугольник, в котором стороны (два катета и гипотенуза) имеют соотношение, как 3:4:5, также имеет в себе явное выражение золотой пропорции.

Египетский треугольник - фигура золотой пропорции

Здесь: AC = 3; AB = 4; BC = 5. Угол между меньшим катетом и гипотенузой равен: 53,130^о. Теперь проведем из вершины "С" биссектрису. Тогда угол ACD - половина угла АСВ, равен 26,565^о.

Египетский треугольник содержит в себе не приближённое, а точное значение функции "Ф": половина угла между меньшим катетом и гипотенузой: 53,1301^о/ 2 = 26,565^о = 26^о33'54", имеет косинус (отношение прилежащего катета к гипотенузе), в точности равный числу: 1/1,118 = 1/(1,618 - 0,5) - функции "phi". С другой стороны, 1,118.. = .

Обращаем Ваше внимание, что угол восхождения Полярной звезды в III 1000-летии от Рождества Христова (тогда - Альфа Дракона): 26^о17'17", и в точности равный ему проектный угол подъёма и спуска наклонных коридоров пирамиды Хуфу (Хеопса) [П.Лемезурье], отличаются, всего лишь, на 17 угловых минут от половины угла между меньшим катетом и гипотенузой египетского треугольника.

Аналогичная картина предстает в отношении священного "Вифлеемова угла": 26^о18'10" - угла между направлением на север и курсом от пирамиды на окрестности Иерусалима. Поэтому представляется логичным, что древние египтяне должны были объявить способы выражения и саму величину: 1,118 = , Священными - дважды Священными, потому как это ещё и точная функция коэффициента золотого сечения.

1. Откладываем произвольный горизонтальный отрезок O"O₁.

2. Отрезок такой же длины - O"O, откладываем от точки О" перпендикулярно вниз.

3. Радиусом, равным величине отрезка:

R = O"O1 = OO", проводим две окружности с центрами в точках О и О₁.

Скажем заранее, что окружность с центром в т.О и радиусом R будет в дальнейшем основной в рассматриваемой комбинации фигур.

ПОСТРОЕНИЕ ФИГУРЫ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

Величину R примем равной 1. R = 1

4. Соединяем т.О₁ с нижним концом O' вертикального диаметра O'O"(D). Тогда по теореме Пифагора отрезок О₁О' (гипотенуза треугольника O'O₁O') равен квадратному корню из суммы квадратов катетов O'O₁ и O'O":

O₁O' = = = = 2,236

5. На пересечении окружности с центром в точке О₁ ставим точку С.

6. Из центра в т.O' проводим окружность радиусом R', равным отрезку O'С. На пересечении окружности с центром в точке O' и отрезка OO" выделяем точку F. Отрезок O'F также является радиусом большей окружности: O'F = R' = O'C.

Точка F и делит вертикальный диаметр O'O" в отношении пропорции Золотого сечения. Отрезки O'O" и O'F; O'F и FO" относятся друг к другу в точном значении Золотой пропорции:

O'O" / O' F = 1,618; O' F / FO" = 1,618

Здесь: целый отрезок O'O" относится к большей своей части (O'F) так же, как эта большая часть O'F - к меньшей FO", а именно - с коэффициентом Золотого сечения: Ф = 1,618.

Полученный описанным образом треугольник O'O"O₁ (выделен синим цветом) - и есть классическая фигура золотого сечения. Рассмотренная фигура золотого сечения является базой для дальнейших наших построений и исследований, что определяет отдельную, весьма большую, тему под названием "Ф-треугольник".

Система Ф-треугольника, - вместе с описанной вокруг него окружностью выявляет в себе множество интересных закономерностей.

Сам Ф-треугольник, в то же время, является "геометрической основой" Великой пирамиды, - по сути её вертикальным сечением. Угол наклона граней пирамиды и угол между наклонной и горизонтальной сторонами Ф-треугольника отличаются друг от друга на величину в "три сотых процента". Если угол пирамиды мы считаем равным арктангенсу отношения "4/(22/7)", то соответствующий угол Ф-треугольника - арктангенсу квадратного корня из числа Ф.

Отсюда: Ф-треугольник, определённо, также является фигурой золотой пропорции. И Ф-треугольник - считай, сечение Великой пирамиды, "в несколько движений руки" строится от фигуры золотого сечения.

В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов и архитекторов. Например, в большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении, близком к Ф. А выбирая размеры самой картины, старались, чтобы отношение ширины к высоте тоже равнялось Ф. Такой прямоугольник стали называть "золотым".

Задача. Построим золотой прямоугольник.

Начертим квадрат и разделим его на два равных прямоугольника.

В одном из прямоугольников проведем диагональ АВ.

Циркулем проведем окружность радиуса АВ с центром в точке А.

Продолжим основание квадрата до пересечения с дугой в точке Р и проведем под прямым углом вторую сторону искомого прямоугольника.

Измерьте линейкой длины сторон построенного прямоугольника MNKP и вычислите отношения большей стороны к меньшей. (Отношение сторон должно быть примерно равно 1,6).

В золотом прямоугольнике большая сторона относится к меньшей со значением "Ф". Если от золотого прямоугольника отрезать квадрат, то получится меньший прямоугольник, и снова золотой! И так до бесконечности. При этом центры всех прямоугольников будут находиться в одной и той же точке (О), называемой "полюсом". Её местонахождение определяется на пересечении диагоналей двух любых прямоугольников. Сами прямоугольники же при этом выстраиваются по спирали, которая проявляется во множестве природных образований, будучи по сути также фигурой золотого сечения.

. СПИРАЛЬ АРХИМЕДА

Можно ли считать, что прямоугольник с отношением сторон, равным φ, выглядит изящнее, чем прямоугольники с отношением сторон, скажем, 2:1, 3:2 или 5:7? Чтобы ответить на этот вопрос, были проведены специальные эксперименты. Результаты их не вполне убедительны, но все же свидетельствуют о некотором предпочтении, отдаваемом золотому сечению. Впрочем, может ли прямоугольник сам по себе быть захватывающе прекрасным или отталкивающе безобразным?

Есть и "золотой кубоид" - это прямоугольный параллелепипед с ребрами Ф (1,618...), 1 и ф (0,618...). Площадь его поверхности равна 4Ф, а диагональ 2. Отсюда следует, что описанная вокруг него сфера имеет радиус 1, и, значит, ее площадь равна 4p. Поэтому отношение поверхности этой сферы к поверхности "золотого кубоида" равно p:Ф.

Представление о золотом сечении и "золотых" фигурах будет неполным, если не сказать о спирали.

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал её и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение её шага всегда равномерно. Если посмотреть на раковину улитки, можно заметить, что она закручена по очень красивой спирали, которая близка к так называемой логарифмической спирали. Логарифмическая спираль в полярных координатах описывается уравнением r=aw, где r - расстояние от точки до полюса, w - угол поворота, a - некоторая константа. Графическое приближение "золотой спирали" можно построить, соединив дугами точки квадратов, отсеченных от золотого прямоугольника при построении новых золотых прямоугольников.

Последовательно отсекая от золотых прямоугольников квадраты до бесконечности, каждый раз соединяя противоположные точки четвертью окружности, мы получим довольно изящную кривую. Если её развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике и очень распространены в природе.

СПИРАЛЬ АРХИМЕДА

Здесь: ОБ / ОА = ОВ / ОБ = ОГ / ОВ = 1,618; (ОБ + ОГ) / (ОВ + ОА) = = 1,618.

Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый.

Золотой треугольник положен в основу пирамид раннего Египта. Именно из этих треугольников же состоит "ореол" 5-конечной звезды, которую общество пифагорейцев избрало своим символом. Такая звезда называется "звездчатым пятиугольником". А звездчатый пятиугольник, вписанный в круг - "пентаграммой". Отношение М/m равно числу Ф.

Пентаграмма служит символом Пифагорейского союза – религиозной секты и научной школы по главе с Пифагором, которая проповедовала братскую любовь к друг другу, отречение от внешнего мира, общность имущества и т.д. На подобных устоях основывались очень многие секты. Но Пифагорийский союз отличало от других то, что пифагорейцы считали возможным добиться очищения духа при помощи математики. По их теории, в основу мирового порядка положены числа. Мир, считали они, состоит из противоположностей, а гармония приводит противоположности к единству. Гармония же заключается в числовых отношениях. Пифагорейцы приписывали числам различные свойства. Так, четные числа они называли женскими, нечетные (кроме 1) – мужскими. Число 5 – как сумма первого женского числа (2) и первого мужского (3) – считалось символом любви. Отсюда такое внимание к пентаграмме, имеющей 5 углов.

Благоговейное отношение к пентаграмме было характерно и для средневековых мистиков, которые многое заимствовали у пифагорейцев. В средние века считалось, что пентаграмма служит охранным знаком от сатаны. Вспомним, например, как описывает Гёте проникновение дьявола Мефистофеля в келью доктора Фауста, на которой была начертана пентаграмма. Мефистофель сначала послал черного пуделя отгрызть кончик двери с частью пентаграммы. Только после этого он смог предстать перед Фаустом.

Интересно, что стороны пентаграммы, пресекаясь, образуют правильный пятиугольник, в котором пресечение диагоналей даёт нам новую пентаграмму, а в пересечении её сторон мы снова видим правильный пятиугольник, открывающий возможность построения новой пентаграммы. И так далее до бесконечности.

Пентаграмма представляет собой вместилище золотых пропорций.

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471-1528).

Пусть О - центр окружности, А - точка на окружности и Е - середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восстановленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Внимание людей издавна привлекала совершенство формы пятиконечная звезда.

Золотое сечение в пятиконечной звезде AD:AC = AC:CD = AB:BC = Ф.

В правильной пятиконечной звезде, каждый сегмент делится пересекающим его сегментом в золотом сечении (т. е. отношение синего отрезка к зелёному, также как красного к синему, также как зелёного к фиолетовому, равны φ).

Пятиконечной звезде – около 3000 лет. Её первые изображения донесли до нас вавилонские глиняные таблички.

Сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира. Чем же объясняется такая популярность? Тем, что совершенная форма этой фигуры радует глаз. Звездчатый пятиугольник буквально соткан из пропорций, и, прежде всего золотой пропорции.

Итальянский купец Леонардо из Пизы (1180-1240), более известный под прозвищем Фибоначчи был, безусловно, самым значительным математиком средневековья. Роль его книг в развитии математики и распространении в Европе математических знаний трудно переоценить.

Жизнь и научная карьера Леонардо теснейшим образом связана с развитием европейской культуры и науки.

В век Фибоначчи Возрождение было ещё далеко, однако история даровала Италии краткий промежуток времени, который вполне можно было назвать репетицией надвигающейся эпохи Ренессанса. Этой репетицией руководил Фридрих II, император (с 1220 года) Священной Римской империи.

Воспитанный в традициях южной Италии Фридрих II был внутренне глубоко далёк от европейского христианского рыцарства.

Столь любимые его дедом рыцарские турниры Фридрих II совсем не признавал. Вместо этого он культивировал гораздо менее кровавые математические соревнования, на которых противники обменивались не ударами, а задачами.

На таких турнирах и заблистал талант Леонардо Фибоначчи. Этому способствовало хорошее образование, которое дал сыну купец Боначчи, взявший его с собой на Восток и приставивший к нему арабских учителей.

Покровительство Фридриха и стимулировало выпуск научных трактатов Фибоначчи:

Книга абака, написанная в 1202 году, но дошедшая до нас во втором своем варианте, который относится к 1228 г.

Практики геометрии ( 1220г.)

Книга квадратов(1225г.)

По этим книгам, превосходящим по своему уровню арабские и средневековые европейские сочинения, учили математику чуть ли не до времен Декарта( XVII в.).

Математический труд “Книга об абаке” (счётной доске), содержал в себе все известные на то время задачи. Одна из задач гласила “Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится”. Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, и т.д.

Ряд чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи.

Рассмотрим задачу:

"Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается? Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, дабы узнать, сколько пар кроликов родится в течение этого года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов воспроизведет другую, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения".

Месяцы

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Пары кроликов

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

233

377

Ясно, что если считать первую пару кроликов новорожденными, то на второй месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц- 1+1=2; на 4-й- 2+1=3 пары ( ибо из двух имеющихся пар потомство дает лишь одна пара); на 5-й месяц- 3+2=5 пар (лишь 2 родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на 5-й месяц); на 6-й месяц- 5+3=8 пар (ибо потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и т. д.

Таким образом, если обозначить число пар кроликов, имеющихся на n-м месяце через F_n , то F₁=1, F₂=1, F₃=2, F₄=3, F₅=5, F₆=8, F₇=13, F₈=21 и т. д., причем образование этих чисел регулируется общим законом: F_n = F_n-1+ F_n-2 при всех n>2, ведь число пар кроликов на n-м месяце равно числу F_n-1 пар кроликов на предшествующем месяце плюс число вновь родившихся пар, которое совпадает с числом F_n-2 пар кроликов, родившихся на (n-2)-ом месяце (ибо лишь эти пары кроликов дают потомство).

Перейдем теперь от кроликов к числам и рассмотрим следующую числовую последовательность: u₁, u₂ … u_n,в которой каждый член равен сумме двух предыдущих, т.е. при всяком n>2

u_n=u_n-1+u_n-2. 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д.

Данная последовательность асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.

Если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1,61803398875... и через раз то превосходящая, то не достигающая его.

Асимптотическое поведение последовательности, затухающие колебания ее соотношения около иррационального числа Ф могут стать более понятными, если показать отношения нескольких пеpвых членов последовательности. В этом примере приведены отношения второго члена к первому, третьего ко второму, четвертого к третьему, и так далее:

1:1 = 1.0000, что меньше фи на 0.6180

2:1 = 2.0000, что больше фи на 0.3820

3:2 = 1.5000, что меньше фи на 0.1180

5:3 = 1.6667, что больше фи на 0.0486

8:5 = 1.6000, что меньше фи на 0.0180

По мере продвижения по суммационной последовательности Фибоначчи каждый новый член будет делить следующий со все большим и большим приближением к недостижимому Ф.

Человек подсознательно ищет Божественную пропорцию: она нужна для удовлетворения его потребности в комфорте.

При делении любого члена последовательности Фибоначчи на следующий за ним получается просто обратная к 1.618 величина (1:1,618=0,618). Hо это тоже весьма необычное, даже замечательное явление. Поскольку первоначальное соотношение – бесконечная дробь, у этого соотношения также не должно быть конца.

При делении каждого числа на следующее за ним через одно, получаем число 0.382. 1:0.382=2.618

Подбирая таким образом соотношения, получаем основной набор коэффициентов Фибоначчи: 4,235; 2,618; 1,618; 0,618; 0,382; 0,236. Упомянем также 0.5. Все они играют особую роль в природе и в частности в техническом анализе.

Тут необходимо отметить, что Фибоначчи лишь напомнил свою последовательность человечеству, так как она была известна ещё в древнейшие времена под названием «Золотое сечение».

Золотое сечение, как мы видели, возникает в связи с правильным пятиугольником, поэтому и числа Фибоначчи играют роль во всём, что имеет отношение к правильным пятиугольникам - выпуклым и звездчатым.

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления. Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта (о решении диофантовых уравнений). Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.

Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений. Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд чисел 1, 2, 4, 8, 16...(то есть ряд чисел до n , где любое натуральное число, меньшее n можно представить суммой некоторых чисел этого ряда) на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., во втором – это сумма двух предыдущих чисел 2 =1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи?

Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых членов которого – единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим через S (n), то получим общую формулу S (n) = S (n – 1) + S (n – S – 1).

Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S = 1 –ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фибоначчи.

В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S-сечения x^S+1 – x^S – 1 = 0.

Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 – знакомое классическое золотое сечение.

Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! То есть золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.

Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар?

Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...

Много интересного в арифметике чисел Фибоначчи. Каждое третье число Фибоначчи чётно, каждое четвёртое делится на три, каждое пятнадцатое оканчивается нулём.

В качестве инструмента хронологии впервые была избрана гармоническая система числовых отношений, так называемый ряд Фибоначчи. Приведём её начальную часть:1, 1, 2, 3, 5, 8 и т. д.

Приметы такого ряда очевидны в хронологии эпох I тыс. н. э. - I тыс. до н. э. Числа ряда удачно фиксируют поздний железный век (I тыс. н. э.) и начало железного века(I тыс. до н.э.). В интервале 5 - 2 тыс. до н. э. сосредоточены культуры энеолита, ранней и поздней бронзы Европы, к интервалу 8 - 5 тыс. до н. э. относят европейский мезолит и неолитические культуры Ближнего Востока. Правда, мезолит Ближнего Востока датируют иначе: 10 - 7 тыс. до н.э., а мезолит Восточной Европы - 11 - 6 тыс. до н. э. Особенности в хронологии культур 10 - 5 тыс. до н. э. региональны. Они зависят от неравномерности развития, которая возникла в верхнем палеолите и сохранялась на протяжении всего времени в дальнейшем.

Замеченные расхождения в хронологии археологических эпох имеют региональный масштаб, никак не затрагивают самой числовой последовательности, присущей ряду Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8. Очевидно, что в хронологии археологических культур более раннего времени, развитию которых присущ планетарный характер, следует ожидать более строгого соответствия ряду Фибоначчи. Продолжим ряд, его составляют такие числа: 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1 597, 2 584, 4181 и т.д.

Сначала казалось удивительным: некоторые элементы этой последовательности, действительно, соответствуют хронологическим рубежам в древнейшей истории человечества, особенно если к числам добавить наименование "тыс. лет до н. э.", или "тыс. лет тому назад", или просто "тыс. лет". Так, позицию 233 тыс. лет в приводимой последовательности можно отождествить с датой рисского оледенения в Европе, общепризнанная геологическая дата которого 230 тыс. лет т. н. Позиция, соответствующая 377 тыс. лет, близка дате в 400 тыс. лет т. н. этому времени относят выход человечества из биоценоза.

Около середины II миллионолетия (1 597 тыс. л., согласно ряду) складывается древнейшая археологическая культура олдувай, в середине III миллионолетия (2 584 тыс. лет) появляются австралопитековые формы ископаемого человека, с которым связывают так называемое начало орудийности. На протяжении 720 - 600 тыс. лет складывается трудовая традиция и формируется речь. Дата завершения этих процессов находится почти рядом с позицией ряда в 610 тыс. лет.

Действительно, эти рубежи разграничивают развитие человечества на отдельные этапы, которые иногда называют временными ступенями. Переход с одной временной ступени на другую считают эволюцией системы. Повторим ряд, обозначив курсивом те ступени, хронология которых проверена: 1, 1, 2, 3,5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,377, 610, 987,1 597, 2584 .

Одиннадцать из 18 позиций ряда проверены и подтверждены с достаточной степенью надежности и точности. Иногда говорят, что одно подтверждение - случайность, два - совпадение, три - тенденция. В нашем случае не три, а 60% совпадений проверены и подтверждены. Такое число подтверждений можно считать выражением не столько тенденции, сколько закономерности.

Итак, хронология и периодизация, можно сказать, исторического развития с помощью ряда Фибоначчи разделена на 18 временных ступеней, имеющих планетарный характер. Повторим их 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1 597, 2 584. События, хронология которых оказывается за пределами ряда, имеют региональный характер. Хронологические границы археологических эпох и периодов, найденные с помощью ряда Фибоначчи, жёсткие. В них нет соглашения: они либо приемлемы, либо - нет. В основе такого выбора лежит научное мировоззрение, которое всегда строго и определенно.

Таковы, в первом приближении, возможности использования ряда Фибоначчи в разработке периодизации и общей хронологии развития человечества с древнейших времен и до начала современной эпохи.

Давайте выскажем смелую мысль. Если практически все в нашем мире базируется на коэффициентах Фибоначчи, почему бы не использовать их в техническом анализе движения цен на биржах. Впервые это предложил Ральф Нельсон Эллиотт. Ральф Hельсон Эллиотт был инженеpом. После сеpьезной болезни в начале 1930х гг. он занялся анализом биpжевых цен, особенно индекса Доу-Джонса. После pяда весьма успешных пpедсказаний Эллиотт опубликовал в 1939 году сеpию статей в жуpнале «Financial World Magazine». В них впеpвые была пpедставлена его точка зpения, что движения индекса Доу-Джонса подчиняются опpеделенным pитмам. Согласно Эллиотту, все эти движения следуют тому же закону, что и пpиливы - за пpиливом следует отлив, за действием (акцией) следует пpотиводействие (pеакция). Эта схема не зависит от вpемени, поскольку стpуктуpа pынка, взятого как единое целое, остается неизменной.

Эллиотт писал: "Закон пpиpоды включает в pассмотpение важнейший элемент - pитмичность. Закон пpиpоды - это не некая система, не метод игpы на pынке, а явление, хаpактеpное, видимо, для хода любой человеческой деятельности. Его пpименение в пpогнозиpовании pеволюционно."

Этот шанс пpедсказать движения цен побуждает легионы аналитиков тpудиться денно и нощно. Мы сосpедоточимся на способности делать пpедсказания и попытаемся выяснить, возможно это или нет. Вводя свой подход, Эллиотт был очень конкpетен. Он писал: "Любoй человеческой деятельности пpисущи тpи отличительных особенности: фоpма, вpемя и отношение, и все они подчиняются суммационной последовательности Фибоначчи".

В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников. Например, в большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении, близком к коэффициенту золотого сечения. А, выбирая размеры самой картины, старались, чтобы ее стороны находились в золотом отношении. Такой прямоугольник стали называть "золотым".

Холст, на котором написана "Тайная вечеря" Сальвадора Дали имеет форму золотого прямоугольника. Золотые прямоугольники меньших размеров использованы художником при размещении фигур двенадцати апостолов.

Золотой прямоугольник обладает многими интересными свойствами. Если от него отрезать квадрат, то получится снова золотой прямоугольник. И так можно продолжать до бесконечности. Если соединить вершины квадратов плавной линией, то получим кривую, называемую золотой спиралью.

Если золотой прямоугольник использовался художниками для создания у зрителя ощущения уравновешенности, покоя, то золотая спираль применялась для выражения тревожных, бурно развивающихся событий.

Эскиз гравюры "Избиение младенцев", выполненный Рафаэлем, отличается динамизмом и драматизмом сюжета.

На рисунке проведена золотая спираль, по которой располагаются основные фигуры экспозиции. На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребёнка - вдоль фигур ребёнка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесённым мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Неизвестно, строил ли Рафаэль золотую спираль или чувствовал её.

Золотое сечение, золотой прямоугольник и золотая спираль являются математическими символами идеального соотношения формы и роста. Великий немецкий поэт Гете считал их математическим символом жизни и духовного развития.

Старые мастера любили окутывать свои работы завесой тайны, и нередко замечательная пропорция оказывается путеводной нитью, позволяющей вторгнуться в богатый мир творческих замыслов художника. Однако распознать "Золотое сечение" бывает порой очень непросто.

На картине крупного итальянского живописца и математика XV века Пьетро делла Франческа "Бичевание Христа" в мраморной плите пола, украшающей портик, обнаруживается сложный геометрический узор. Представив этот чертёж как вид сверху, получим прямоугольник, построенный с использованием "золотого сечения": перед глазами зрителей предстаёт замечательная восьмиугольная звезда, которая обладает как художественной красотой, так и математическим совершенством.

Рафаэль “Афинская школа”. (Фрагмент)

Рафаэль не был ученым-математиком, но, подобно многим художникам той эпохи, обладал немалыми познаниями в геометрии. В знаменитой фреске “Афинская школа”, где в храме науки предстоит общество великих философов древности, наше внимание привлекает группа Эвклида - крупнейшего древнегреческого математика, разбирающего сложный чертёж.

Хитроумная комбинация двух треугольников также построена в соответствии с пропорцией золотого сечения: она может быть вписана в прямоугольник с соотношением сторон 5/8. Этот чертеж удивительно легко вставляется в верхний участок архитектуры. Верхний угол треугольника упирается в замковый камень арки на ближнем к зрителю участке, нижний - в точку схода перспектив, а боковой участок обозначает пропорции пространственного разрыва между двумя частями арок.

Перенесёмся в более позднее время, в эпоху Возрождения. Замечательный художник Антонелло де Мессина в знаменитой картине "Святой Себастьян" многократно использует золотое сечение.

Эта пропорция, во-первых, лежит в основе трактовки тела святого. Вычисления, опирающиеся на пропорции человеческой фигуры и теорему Пифагора, а также учитывающие длину копий, обнаруживают, что плитки пола являются прямоугольниками, стороны которых находятся в золотом соотношении. Рост лежащего воина в соотношении с ростом Себастьяна дает квадратный корень золотого сечения. Квадрат золотого сечения создается отношением диаметра к высоте обломка колонны – символа ранней смерти, лежащего на переднем плане.

"Святой Себастьян" Антонелло де Мессина

Ещё в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости. Данное открытие у художников того времени получило название "золотое сечение" картины. Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.

Золотое сечение и зрительные центры

Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнёт читать мои труды”.

Он снискал славу непревзойдённого художника, великого учёного, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в.

Леонардо да Винчи

Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится “обо всём на свете”. Сам термин “золотое сечение” ввёл Леонардо да Винчи. Он говорил о пропорции человеческого тела. “Если мы человеческую фигуру – самое совершенное творение Вселенной – перевяжем поясом и отмерим потом расстояние от пояса до ступней, то эта величина будет относиться к расстоянию от того же пояса до макушки, как весь рост человека к длине от пояса до ступней”.

В наиболее известной картине Леонардо, портрете Моны Лизы (так называемой “Джоконды”, около 1503, Лувр) образ богатой горожанки предстаёт таинственным олицетворением природы как таковой, не теряя при этом чисто женского лукавства; внутреннюю значительность композиции придаёт космически-величавый и в то же время тревожно-отчуждённый пейзаж, тающий в холодной дымке. Её композиция основана на золотых треугольниках, которые являются частями правильного звездчатого пятиугольника.

Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образец зеркального письма.

Портрет Моны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует очень много версий об истории этого портрета. Вот одна из них.

Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо де ле Джокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира, Моны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.

Сказка.

Жил-был один бедный человек, было у него четыре сына: три умных, а один из них и так, и сяк. И вот пришла за отцом смерть. Перед тем, как расстаться с жизнью, он позвал к себе детей и сказал: “Сыны мои, скоро я умру. Как только вы схороните меня, заприте хижину и идите на край света добывать себе счастья. Пусть каждый из вас чему-нибудь научится, чтобы мог кормить сам себя”. Отец умер, а сыновья разошлись по свету, договорившись спустя три года вернуться на поляну родной рощи. Пришёл первый брат, который научился плотничать, срубил дерево и обтесал его, сделал из него женщину, отошёл немного и ждёт. Вернулся второй брат, увидел деревянную женщину и, так как он был портной, в одну минуту одел её: как искусный мастер он сшил для нее красивую шёлковую одежду. Третий сын украсил женщину золотом и драгоценными камнями – ведь он был ювелир. Наконец, пришёл четвертый брат. Он не умел плотничать и шить, он умел только слушать, что говорит земля, деревья, травы, звери и птицы, знал ход небесных тел и ещё умел петь чудесные песни. Он запел песню, от которой заплакали притаившиеся за кустами братья. Песней этой он оживил женщину, она улыбнулась и вздохнула. Братья бросились к ней, и каждый кричал одно и то же: “Ты должна быть моей женой”. Но женщина ответила: “Ты меня создал – будь мне отцом. Ты меня одел, а ты украсил – будьте мне братьями. А ты, что вдохнул в меня душу и научил радоваться жизни, ты один мне нужен на всю жизнь”.

Кончив сказку, Леонардо взглянул на Мону Лизу, её лицо озарилось светом, глаза сияли. Потом, точно пробудившись от сна, она вздохнула, провела по лицу рукой и без слов пошла на свое место, сложила руки и приняла обычную позу. Но дело было сделано – художник пробудил равнодушную статую; улыбка блаженства, медленно исчезая с ее лица, осталась в уголках рта и трепетала, придавая лицу изумительное, загадочное и чуть лукавое выражение, как у человека, который узнал тайну и, бережно её храня, не может сдержать торжество. Леонардо молча работал, боясь упустить этот момент, этот луч солнца, осветивший его скучную модель...

Трудно отметить, что замечали в этом шедевре искусства, но все говорили о том глубоком знании Леонардо строения человеческого тела, благодаря которому ему удалось уловить эту, как бы загадочную, улыбку. Говорили о выразительности отдельных частей картины и о пейзаже, небывалом спутнике портрета. Толковали о естественности выражения, о простоте позы, о красоте рук. Художник сделал ещё небывалое: на картине изображён воздух, он окутывает фигуру прозрачной дымкой.

Мотивы золотого сечения просматриваются на картине И.И.Шишкина "Корабельная роща".

Ярко освещённая солнцем сосна на переднем плане делит картину по золотому сечению. Справа от сосны - освещённый солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих её в золотых отношениях, придают ей характер уравновешенности и спокойствия.

Нет живописи более поэтичней, чем живопись Боттичелли Сандро, и нет у великого Сандро картины более знаменитой, чем его “Венера”. Для Боттичелли его Венера – это воплощение идеи универсальной гармонии “золотого сечения”, господствующего в природе.

Пропорциональный анализ Венеры убеждает нас в этом.

В Древней Греции следует выделить изготовление и роспись всевозможных сосудов. В изящной форме легко угадываются пропорции золотого сечения.

В живописи и скульптуре храмов, на предметах домашнего обихода древние египтяне чаще всего изображали богов и фараонов. Были установлены каноны изображения стоящего человека идущего, сидящего и т.д. Художники обязаны были заучивать отдельные формы и схемы изображения по таблицам и образцам. Художники Древней Греции совершали специальные путешествия в Египет, чтобы поучиться умению пользоваться каноном. Перед вами канон изображения стоящего человека, все пропорции человека связаны формулой “золотого сечения”.

Давно уже ученые задавались вопросом: почему в музыкальной октаве семь основных звуков — столько же, сколько цветов в спектре солнечного света. Еще ничего не зная о природе звуков, человек интуитивно подстраивал струны так, чтобы они создавали благозвучие.

Пифагору принадлежит математическое объяснение основ гармонии; по его определению, наиболее естественно воспринимаются человеком частоты, которые находятся между собой в простых числовых отношениях. Вот откуда и отношение частот в октаве 1 : 2, и благозвучное трезвучие с отношением частот 4 : 5 : 6. Уменьшая последовательно длины струн, мы получим природный звукоряд из 16 звуков, но почему же древние музыканты приняли звукоряд, состоящий из семи основных звуков, и лишь позже добавили ещё пять дополнительных (так появились чёрные клавиши в пианино).

По свидетельству историков, древнейшая греческая лира (Орфея) имела четыре струны.  Первая струна — основа, у второй струны число колебаний относится к числу колебаний первой струны как 4 : 3 (как у катетов, священного, египетского треугольника). Это кварта основного тона. Число колебаний третьей струны по отношению к основному тону равно 3 : 2, это — квинта основного тона. Четвертая струна — октава, число колебаний у нее в два раза больше, чем у основы (как отношение катетов в треугольнике 1 : 2 : 2,24). Значительно позже появилась семиструнная греческая гамма, являющаяся развитием музыкального четырехструнного строя.

Естественно возникает вопрос: не явились ли закономерности в геометрии прямоугольного треугольника со сторонами 1 : 2 : 2,24  основой для разработки музыкальной гаммы? Если же связь сторон треугольника и отношения частот звуков в семиструнной гамме не случайна, то в таком случае построение музыкальной гаммы связано и с золотой пропорцией. Однако трудно допустить, что музыкальная гамма явилась итогом «научной разработки», более вероятно, что она была найдена эмпирическим путем, на основании интуиции музыкантов. Об этом свидетельствует и сообщение, недавно опубликованное в печати.

Описана интересная находка у местечка Рас-Шамра в Сирии. Здесь обнаружена глиняная табличка с музыкальной записью старинной песни. По мнению ученых, эта запись сделана... в XIV столетии до н.э., то есть за девять столетий до Пифагора.

Изучая 20 загадочных отшлифованных базальтовых камней, найденных в восточном индийском штате Орисса, немецкий археолог Пауль Юле пришел к выводу, что это не что иное, как самый древний музыкальный инструмент. По мнению ученого, эти камни являются остатками древнего ударного инструмента, похожего на ксилофон. Эти камни, по-видимому, были уложены горизонтально в деревянном корпусе. Когда звуки, издаваемые камушками при ударе, записали на магнитофон и измерили их частоту, получили «каменный звукоряд». В полном составе звукоряд каменного ксилофона охватывал четыре октавы с семью целыми тонами от до до си и пятью полутонами. Следовательно, изобретатели этого древнейшего музыкального инструмента, созданного не раньше, чем за две тысячи лет до н. э., уже пользовались октавой, состоящей из семи основных звуков... за 15 столетий до Пифагора! Они применяли и звукоряд из семи основных звуков и пяти полутонов, известный как «темперированный звукоряд», который вошел в практику классической музыки со времен И.С. Баха. И когда вы посмотрите на белые и черные клавиши рояля, вспомните о далеких создателях базальтового ксилофона.

Музыка - вид искусства, который отражает действительность и воздействует на человека посредством осмысленных и особым образом организованных звуковых последовательностей, состоящих из тонов. Сохраняя некоторое подобие звуков реальной жизни, музыкальные звучания принципиально отличаются от последних строгой высотной и временной (ритмической) организованностью ("музыкальная гармония"). Начиная с античного периода, выяснение законов "музыкальной гармонии" является одним из важных направлений научных исследований.

Пифагору приписывают установление двух основных законов гармонии в музыке:

1. Если отношение частот колебаний двух звуков описывается малыми числами, то они дают гармоническое звучание.

2. Чтобы получить гармоническое трезвучие, нужно к аккорду из двух консонансных звуков добавить третий звук, частота колебаний которого находится в пропорциональной гармонической связи с двумя первыми.

Значение работ Пифагора по научному объяснению основ музыкальной гармонии трудно переоценить. Это была первая научно обоснованная теория музыкальной гармонии. Познав истинность и красоту своей музыкальной теории, Пифагор пытался распространить ее на космологию; по его представлениям и планеты Солнечной системы располагались в соответствии с музыкальной октавой ("гармония сфер").

Любое музыкальное произведение имеет временное протяжение и делится некоторыми вехами ("эстетическими вехами") на отдельные части, которые обращают на себя внимание и облегчают восприятие целого. Этими вехами могут быть динамические и интонационные кульминационные пункты музыкального произведения.

Существуют ли какие-либо закономерности возникновения "эстетических вех" в музыкальном произведении?

Попытка ответить на этот вопрос была предпринята русским композитором Л.Сабанеевым. В большой статье "Этюды Шопена в освещении золотого сечения" (1925 г.) он показывает, что отдельные временные интервалы музыкального произведения, соединяемые "кульминационным событием", как правило, находятся в соотношении золотого сечения. Сабанеев пишет:

"Все такие события инстинктом автора приурочиваются к таким пунктам длины целого, что они собою делят временные протяжения на отдельные части, находящиеся в отношениях "золотого сечения". Как показывают наблюдения, приурочение подобных эстетических "вех" к пунктам деления общего или частичного протяжения в "золотом" отношении выполняется нередко с огромной точностью, что тем более удивительно, что при отсутствии у поэтов и у авторов музыки всякого знания о подобных вещах, это все является исключительно следствием внутреннего чувства стройности".

Анализ огромного числа музыкальных произведений позволил Сабанееву сделать вывод о том, что организация музыкального произведения построена так, что его кардинальные части, разделенные вехами, образуют ряды золотого сечения. Такая организация произведения соответствует наиболее экономному восприятию массы отношений и поэтому производит впечатление наивысшей "стройности" формы. По мнению Сабанеева, количество и частота использования золотого сечения в музыкальной композиции зависит от "ранга композитора". Наиболее высокий процент совпадений отмечается у гениальных композиторов, то есть "интуиция формы и стройности, как это и следует ожидать, наиболее сильна у гениев первого класса".

По наблюдениям Сабанеева, в музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно золотое сечение, сопряженное с происходящим возле него "эстетическим событием", а целая серия подобных сечений. Каждое такое сечение отражает свое музыкальное событие, качественный скачок в развитии музыкальной темы. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых сечений; количество произведений, в которых наблюдалось хотя бы одно золотое сечение, составило 1338. Наибольшее количество произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%).

Наиболее детально были изучены Сабанеевым все 27 этюдов Шопена. В них обнаружено 154 золотых сечения; всего в трех этюдах золотое сечение отсутствовало. В некоторых случаях строение музыкального произведения сочетало в себе симметричность и золотое сечение одновременно; в этих случаях оно делилось на несколько симметричных частей, в каждой из которых появлялось золотое сечение. У Бетховена также сочинения делятся на две симметричные части, а внутри каждой из них наблюдается проявление золотого сечения.

Большое внимание исследованию законов музыкальной гармонии уделял известный русский искусствовед Э.К. Розенов. Он утверждал, что в музыкальных произведениях и поэзии существуют строгие пропорциональные отношения:

"Явные черты "природного творчества" мы должны признать в тех случаях, когда в сильно одухотворенных созданиях гениальных авторов, порожденных мощным стремлением духа к правде и красоте, мы совершенно неожиданно обнаруживаем какую-то неподдающуюся непосредственному сознанию таинственную закономерность числовых отношений".

Э. Розенов считал, что золотое сечение должно играть в музыке выдающуюся роль как средство для приведения однородных явлений в соответствие, созданное самой природой:

"Золотое деление могло бы:

1. Устанавливать в музыкальном произведении изящное, соразмерное отношение между целым и его частями.

2. Являться специальным местом подготовленного ожидания, совмещаясь с кульминационными пунктами (силы, массы, движения звуков) и с разного рода выдающимися, с точки зрения автора, эффектами.

3. Направлять внимание слушателя на те мысли музыкального произведения, которым автор придает наиболее важное значение, которые желает поставить в связь и соответствие между собой".

Розенов выбирает для анализа ряд типичных произведений выдающихся композиторов: Баха, Бетховена, Шопена, Вагнера. Например, исследуя Хроматическую фантазию и фугу Баха, за единицу меры во времени была принята длительность четверти. В этом произведении содержится 330 таких единиц меры. Золотое деление этого интервала приходится на 204-ю четверть от начала. Этот момент золотого сечения точно совпадает с ферматой (в нотной грамоте знак ферматы увеличивает длительность звука или паузы обычно в 1,5-2 раза), которая отделяет первую часть произведения (прелюдию) от второй. Поразительную соразмерность частей демонстрирует также фуга, следующая за фантазией. При взгляде на схему гармоничного анализа фуги "невольно приходишь в священный трепет перед гениальностью мастера, воплотившего силою художественной чуткости до такой степени точности сокровенные законы природного творчества".

Э. Розеновым подробно были разобраны: финал сонаты cis-moll Бетховена, Fantasia-Impromtu Шопена, вступление к "Тристану и Изольде" Вагнера. Во всех этих произведениях золотое сечение встречается очень часто. Особое внимание автор обращает на фантазию Шопена, которая была создана экспромтом и не подлежала никакой правке, а значит и не было сознательного применения закона золотого сечения, которое присутствует в этом музыкальном произведении вплоть до мелких музыкальных образований.

Итак, можно признать, что золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения.

Когда мы сидим в концертном зале и наслаждаемся музыкой, конечно же, не задумываемся: а как она сделана? Представим себе чудака, вздумавшего подсчитать – сколько тактов, допустим, в знаменитой бетховенской сонате «Аппассионата». В чем только его не обвинят! В глухоте к искусству, в кондовом рационализме, наконец, просто в кощунстве.

А вот Михаил Александрович Марутаев не побоялся – подсчитал.

Уж его-то в бухгалтерском отношении к музыке не обвинят: Марутаев – сам известный композитор, автор фортепьянных и скрипичных пьес, скерцо для симфонического оркестра, струнных квартетов, кантаты, ораторий, музыки к спектаклям и кинофильмам. К тому же он еще и ученый – его работы привлекли внимание физиков и искусствоведов, философов и биологов, математиков и химиков. И вот он-то рискнул применить к непостижимой для разума музыкальной стихии обыкновенную арифметику.

Итак, «Аппассионата» – одно из самых совершенных по форме произведений в мировой музыке. Часть первая: в ней всего 3147 восьмых долей. Из них 1620 приходится на экспозицию и разработку, 1527 – на репризу. Целое состоит из суммы двух дробей:

1620/3147 + 1527/3147 = 0,515 + 0,485 = 1.

Марутаев соотнес эти числа: 0,485: 0,515 = 0,943. Запомним эти дроби – мы еще к ним вернемся.

А теперь, забросив музыку, обратим внимание на другие сферы. Возьмем, демографию. Общеизвестно, что в мирное время мальчиков рождается чуть больше, чем девочек. Точнее, 106 мальчиков на каждые 100 девочек. Это соотношение стабильно для всех рас и народов, во всех районах земли. Проделаем вслед за Марутаевым простую арифметическую операцию – деление: 100:106=0,485:0,515=0,943.

Ту же самую дробь мы встретим в физике элементарных частиц: масса протона относится к массе К-мезона как 0,943.

Хорошо, возразим себе, а если взять не «Аппассионату», но какое-нибудь другое музыкальное произведение? Справедливое возражение. Если взять… Марутаев взял несколько сотен, если не больше тысячи музыкальных пьес – от Баха до Шостаковича. Тысячи числовых отношений. И почти все они – точнее, 80 процентов - дают одни и те же дроби, среди которых 0,943. Всего таких чисел 10. Причем, как заметил композитор, в выдающихся произведениях эти числа совпадают с полученными теоретически до пятого, шестого знака после запятой!

Выходит, это критерий качества музыкального произведения? Написал композитор пьесу, взял калькулятор – и налицо результат: шедевр ты сочинил или так себе, ерундовину. Главное – найти «классические» числа. Неужели так?

Не совсем. Михаил Александрович ведь просчитывал и произведения заведомо бездарные. Представьте, и в них частенько появляются «классические», как вы их назвали, числа. Так что их присутствие в музыкальном произведении, условие необходимое, но не достаточное. Однако нельзя исключить, что развитие этих исследований, в самом деле, позволит отыскать критерий, объективно показывающий, хороша ли музыка. И все же гениальную музыку с помощью расчетов не сочинишь!

Конечно, проанализировать все произведения искусства и, тем более, все природные закономерности нескольким исследователям не под силу. Но замечательно, что в тысячах обсчитанных явлений «числа Марутаева» всплывают с закономерной неизбежностью.

Вернемся к первой части «Аппассионаты». В разработке – центральной структурной единице сонаты, где интенсивно развиваются темы и сменяют друг друга тональности, - два основных раздела. В первом 43,25 такта, во втором – 26,75. Отношение 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 дает золотое сечение.

Золотое сечение – тоже своего рода нарушение точной симметрии. Еще древние зодчие заметили: глаз радуется отрезку, разделенному не строго пополам, а именно в пропорции 0,618:0,382. Может, поэтому так часто находят золотое сечение в памятниках античной архитектуры, в пропорциях идеальных человеческих фигур, вылепленных великими Фидием и Поликлетом, в классических музыкальных произведениях, поэзии, формах скрипок Страдивари, а также в природе – химии, ботанике, зоологии… Находят часто, но не всегда. Почему? Ответ искали пифагорейцы. Ищут его и современные ученые. Загадка золотого сечения.

Композитор доказал: темперированный строй, которым практически пользуется музыка, – частный случай качественной симметрии.

В теории Марутаева есть свои преобразования по определенной формуле. Произведя их, «золотые» числа 0,618 и 0,382 можно выразить другими, характерными для качественной симметрии. По-видимому, как раз их находили древние мудрецы и современные ученые при поисках золотого сечения в произведениях искусства. Находили и недоумевали. Теперь ясно: золотое сечение проявляется не только в двух пифагорейских числах, но и в числах качественной симметрии.

Между прочим, из расчетов следует, что темперированный музыкальный строй выражает золотое сечение. Этого прежде не знали!

Мы, правда, не ведем речь о том, почему именно гармония, именно пропорции качественной симметрии вызывают положительные эстетические эмоции. Почему отрезок, разделенный как 0,618:0,382, радует глаз, и звуковые сочетания строго определенных соотношений ласкают слух. Можно только строить предположения: вероятно, «классические» числа выражают как раз те ритмы, которые резонируют с внутренними биоритмами человека и некими всеобщими ритмами мироздания. Тысячелетия назад люди интуитивно их отыскали и, воплощая их в искусстве, создают то, что считается прекрасным.

«Музыка в камне» - ставшая штампом метафора. И все-таки, доказывает исследователь, именно музыка. А ведь зодчие, возводя сооружения, вряд ли обращались к музыкальному строю. Вот, скажем, собор Василия Блаженного в Москве. Если даже не говорить о красках, только о форме, интуитивно отыщем гармонию. Башенки и купола все разные, двух похожих не встретишь. Каждая сама по себе симметрична, взятые вместе, близки к симметрии, хотя и нарушают её. А вот что говорят расчёты: если вынести на вертикаль особые точки памятника – вершины куполов, крестов, основания и завершения барабанов, окон, карнизы, - соотнести высоты этих точек с общей высотой собора, получатся дроби музыкального строя – характерные числа.

Собор Василия Блаженного в Москве

В архитектонике бывшего дома Пашкова – старого корпуса Российской государственной библиотеки – найдены те же ритмы. И в таблице Менделеева – тоже. Гармония мировая – проблема веков, золотая мечта человечества. Решена ли она? Вряд ли. Всякое обобщение – лишь приближение к закономерностям, ещё более обобщённым.

Многое в структуре произведений поэзии роднит этот вид искусства с музыкой. Каждый стих обладает своей музыкальной формой – своей ритмикой и мелодией. Можно ожидать, что в строении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных композиций, закономерности музыкальной гармонии, а следовательно, и золотая пропорция, и числа Фибоначчи.

Исследования поэтических произведений с этих позиций только начинаются. И начинать нужно с поэзии А.С.Пушкина. Ведь его произведения -  образец наиболее выдающихся творений русской культуры, образец высочайшего уровня гармонии. С поэзии А.С.Пушкина мы и начнем  поиски золотой пропорции – мерила гармонии и красоты.

Для анализа метрики стихотворений А.С.Пушкина рассмотрены его произведения периода 1829-1836 г.г., периода создания наиболее совершенных стихов. Сюда вошло 109 стихов. Число строк в стихотворениях этого периода изменялось от 4 до 116. Однако большие стихотворные формы встречаются редко; число стихотворений с количеством строк более 60 составило всего 9 штук. Средний размер этих стихотворений составил 88 строк.

Казалось бы, величина стихотворения, определяемая числом строк, может изменяться произвольно и непрерывно от самой малой в четыре строки до самых больших. Однако оказалось, что это не так. Размеры стихов распределены совсем не равномерно; выделяются предпочтительные и редко встречающиеся размеры. Стихотворениях А.С. Пушкина по числу строк тяготеют к числам 5, 8, 13, 21, 34 (числа Фибоначчи). Проявляется вполне закономерная тенденция в творческой манере поэта – он явно предпочитает стихотворения, размер которых близок к числам ряда. Наиболее часто в творчестве поэта встречаются стихи с таким количеством строк, которые тяготеют к данной числовой последовательности: 5, 8, 13, 21, 34. Наиболее выдающиеся шедевры, состоящие из 8 строчек, – это “Я вас любил”, “Пора, мой друг, пора! Покоя сердце просит”. 13-14 строчек в стихах “Сонет”, “Мадонна”, “Няне”. По 20 строчек – “Храни меня, мой талисман”, “Во глубине сибирских руд”, “К Чаадаеву”, “Памятник”.

Рассмотрим, например, стихотворение А.С. Пушкина "Сапожник":

Картину раз высматривал сапожник
И в обуви ошибку указал;
Взяв тотчас кисть, исправился художник,
Вот, подбочась, сапожник продолжал:
"Мне кажется, лицо немного криво ...
А эта грудь не слишком ли нага?
Тут Апеллес прервал нетерпеливо:
"Суди, дружок, не выше сапога!"

Есть у меня приятель на примете:
Не ведаю, в каком бы он предмете
Был знатоком, хоть строг он на словах,
Но черт его несет судить о свете:
Попробуй он судить о сапогах!

Проведем анализ этой притчи. Стихотворение состоит из 13 строк. В нем выделяется две смысловые части: первая в 8 строк и вторая (мораль притчи) в 5 строк (13, 8, 5 - числа Фибоначчи).

Одно из последних стихотворений Пушкина "Не дорого ценю я громкие права..." состоит из 21 строки и в нем выделяется две смысловые части: в 13 и 8 строк.

Не дорого ценю я громкие права,
От коих не одна кружится голова.
Я не ропщу о том, что отказали боги
Мне в сладкой участи оспаривать налоги
Или мешать царям друг с другом воевать;
И мало горя мне, свободно ли печать
Морочит олухов, иль чуткая цензура
В журнальных замыслах стесняет балагура.
Все это, видите ль, слова, слова, слова.
Иные, лучшие, мне дороги права:
Иная, лучшая, потребна мне свобода:
Зависеть от царя, зависеть от народа -
Не все ли нам равно? Бог с ними.
Никому
Отчета не давать, себе лишь самому
Служить и угождать; для власти, для ливреи
Не гнуть ни совести, ни помыслов, ни шеи;
По прихоти своей скитаться здесь и там,
Дивясь божественным природы красотам,
И пред созданьями искусств и вдохновенья
Трепеща радостно в восторгах умиленья,
Вот счастье! Вот права ...

Характерно, что и первая часть этого стиха (13 строк) по смысловому содержанию делится на 8 и 5 строк, то есть все стихотворение построено по законам золотой пропорции.

    Обратимся вновь к произведениям А.С.Пушкина. Представляет несомненный интерес анализ романа "Евгений Онегин", сделанный Н. Васютинским. Этот роман состоит из 8 глав, в каждой из них в среднем около 50 стихов. Наиболее совершенной, наиболее отточенной и эмоционально насыщенной является восьмая глава. В ней 51 стих. Вместе с письмом Евгения к Татьяне (60 строк) это точно соответствует числу Фибоначчи 55!

Н. Васютинский констатирует:

"Кульминацией главы является объяснение Евгения в любви к Татьяне - строка "Бледнеть и гаснуть ... вот блаженство!". Эта строка делит всю восьмую главу на две части - в первой 477 строк, а во второй - 295 строк. Их отношение равно 1,617! Тончайшее соответствие величине золотой пропорции! Это великое чудо гармонии, совершенное гением Пушкина!".

То, что количество строк в стихах Пушкина соответствует числам Фибоначчи, – вовсе не случайность и не слепая игра вероятности. Это закономерность творческого восприятия поэта, интуитивное чувство гармонии. Хотя сам поэт признавал, что нельзя “алгеброй гармонию разъять”, но математические законы действуют в его поэзии независимо от автора. Другое высказывание Пушкина сближает две далёкие друг от друга науки: математику и литературу. Оно звучит так: ”Вдохновение нужно в поэзии, как в геометрии”.

Золотое сечение математики можно рассмотреть на примере композиции “Пиковой дамы” Пушкина. В повести 853 строчки. Кульминацией является сцена в спальне графини, куда проник Германн в надежде узнать тайну 3-х карт. Смерть графини от испуга случается на 535 строке. Эта строка располагается точно в месте золотого сечения, так как 835:535=1,6.

В повести “Пиковая дама” 6 глав. И в каждой главе проявляется правило золотого сечения.

В 1-й главе золотому сечению отвечает 68 строка (всего в главе 110 строк): “Сен-Жермен задумался”. Это переломный момент: откроет ли он свою тайну графине, выручит ли её, избавив от огромного карточного долга, или графиня будет обречена на разорение и позор.

Во 2-й главе 219 строк, золотое сечение приходится на 135 строку. Лиза увидела из окна стоявшего на улице Германа. Отсюда для неё начался новый отсчёт времени, новые события, определившие её дальнейшую судьбу, 219:135=1,6.

Третья глава описывает усилия Германна попасть в дом старой графини, выведать у неё тайну 3-х карт. “Часы пробили второй час утра. Карета подъехала и остановилась”. Начинается новый отсчёт времени для Германа и для графини 212:131=1,6.

В четвёртой главе Лиза понимает, что Германн виноват в смерти её хозяйки-графини, что Германа влечёт не любовь к ней, а жажда денег. 113:70=1,6.

В пятой главе Германн, возвратившись домой после похорон графини, видит во сне покойную старуху, которая пришла к нему и назвала 3 заветные карты – тройка, семёрка, туз. 75:46=1,6.

В 6-ой главе Германн видит вместо пиковой дамы графиню и в ужасе восклицает: “Старуха!” 124:77=1,6.

Золотое сечение, или золотая пропорция в композиции повести “Пиковая дама” – убедительное подтверждение того, что творчество Пушкина основывалось на интуиции, которая подчиняется точным математическим расчётам.

1

2

3

4

5

6

110:68=1,6

219:135=1,6

212:131=1,6

113:70=1,6

75:46=1,6

124:77=1,6

Всего: 853 строки; 535 строка – кульминация; 853: 535 = 1,6 – золотое сечение.

Первоначальный вариант композиции сборника “Повести Белкина”. выглядел так: “Гробовщик”, “Станционный смотритель”, “Барышня-крестьянка”, “Выстрел”, ”Метель.” Такой порядок установил сам автор Пушкин, относительно молодой человек, бравший уроки атеизма и не веривший в Бога. Сборник открывается повестью “Гробовщик”, где ставится вопрос о Жизни и Смерти, а последующие повести дают на него ответ. Пушкин считал, что человек должен сопротивляться под ударами судьбы, протестовать, бунтовать, бороться. Поэтому в повести “Станционный смотритель” бедный чиновник Самсон Вырин едет в Петербург, чтобы вернуть свою единственную дочь Дуню, похищенную гусаром Минским. Но вместо негодующего протеста старик Вырин лишь жалко просит вернуть ему “заблудшую овечку”. Обидчик выпроводил старика из дома. И Самсон Вырин смирился: вернулся на свою почтовую станцию, запил с горя и умер. Пушкин показывает, что смирение унижает человека, делает его жизнь бессмысленной, превращает в раба и покорную жертву.

Иной ответ на тот же вопрос дан в “Выстреле”. Сильвио “был первым буяном по армии”, всю жизнь мстил более удачливому сопернику. Это деятельная, активная и беспокойная личность. Он не смиряется перед лицом обидчика. Высокая цель отмщения способствует его духовному обновлению, обогащению личности. Смирение Самсона Вырина погубило его, а бунт и мятеж Сильвио выпрямляли его душу, делали его благородным героем.
Посередине сборника особняком стоит повесть “Барышня – крестьянка”, в которой нет ни бунта, ни смерти, а есть счастливый конец.
Завершает сборник повесть “Метель”, в которой автор начинает задумываться о роке, о судьбе, о Высшей силе.

Окончательно вариант сборника “Повести Белкина” выглядит совсем иначе. Прошло несколько лет. Изменился и возмужал Пушкин, изменились и его взгляды. Теперь все чаще он задумывается над тем, что правит миром: Рок, судьба, Высшие Силы, Бог или сам человек, преодолевающий превратности судьбы? На первом месте – повесть “Выстрел”. Мстительный Сильвио погибает в сражении за свободу греков. Теперь Пушкин уверен, что месть не возвышает человека, а разрушает его. Всю свою недолгую жизнь Сильвио гонялся за обидчиком, так что ему некогда было жениться, завести семью и детей, он погиб, не оплаканный своей семьей, в одиночестве. В судьбу человека часто вмешивается Рок, непредвиденные обстоятельства, непонятные Высшие Силы, которые круто меняют жизнь. Пушкин отходит от атеистических взглядов и задумывается о том, как достойно дожить вторую половину жизни. По-новому видится автору история Самсона Вырина из повести “Станционный смотритель”. Жизнь человека, как дорожный верстовой столб, – полосатая: чёрные полосы сменяются белыми. Теперь смирение бедного чиновника представляется Пушкину по-другому: смирение возвышает личность. Принеся себя в жертву ради счастья дочери, Самсон доживает свой век безропотно. Жизнь, как медаль, имеет две стороны . С одной стороны, одинокая старость горем измученного старика, а с другой стороны, – счастье Дуни, попавшей из бедности в богатство. Завершается сборник самой счастливой повестью “Барышня-крестьянка”, в которой всё заканчивается свадьбой. Любовь правит миром. “Бог есть любовь!”– говорит Библия. Вот так с течением времени менялись взгляды Пушкина: от атеизма к вере в Бога.

Золотая пропорция присутствует и в композиции других произведений Пушкина. В рассказе «Станционный смотритель» 377 строк. Кульминационный момент рассказа – это известие о том, что дочь смотрителя уехала с гусаром. Этот момент отражен во фразе, которая является 214 строкой. Здесь почти точное соответствие золотой пропорции.

            В маленьком рассказе «Гробовщик» всего 229 строк. Со 139 строки начинается описание страшного сна гробовщика. И здесь переломный момент рассказа приходится почти точно на золотую пропорцию (229:1,618=141 строка).

            Совпадение кульминационных моментов в произведениях А.С.Пушкина с золотой пропорцией удивительно близкое, в пределах 1-3 строк. Чувство гармонии у него было развито необыкновенно, что объективно подтверждает гениальность великого поэта и писателя.

Только ли стихотворения А.С. Пушкина тяготеют в своих размерах к числам Фибоначчи?

Конечно, нет. И у других поэтов проявляется тяготение размера стихов к 8,13,21 строчкам, но ни у одного из русских поэтов эта тенденция не выражена так отчетливо, как у А.С.Пушкина.

Стихотворения В.Брюсова отличаются совершенством своих форм. И неудивительно, что в их размерности также проявляются числа Фибоначчи. Было проанализировано 360 стихотворений поэта из его двухтомника; эти стихи охватывали период от 1882 до 1912 года. Только в трёх стихотворениях число строк составило 70, 85, 90 (что в среднем близко к числу Фибоначчи 89). Остальные стихотворения содержали значительно меньше строк – от 8 до 36 и крайне редко несколько больше.

Среди рассмотренных стихотворений В.Брюсова явно преобладают те, в которых число строчек равно или близко к числам Фибоначчи. Они распределены следующим образом:

число строк

количество штук

%

8

25

7

13

77

21,5

21

70

19,6

34

36

10

Общее число этих стихотворений составило 208 шт. или 58%. К остальным относятся стихотворения с числом строчек 10, 14, 16, 18, 24, 26, 28, 31 , 32 и т.д. Поэт явно предпочитал стихотворения с числом строк 8, 131, 211 как наиболее оптимальные для выражения мыслей и чувств.

Знаменитое стихотворение Лермонтова "Бородино" делится на две части: вступление, обращенное к рассказчику и занимающее лишь одну строфу ("Скажите, дядя, ведь недаром..."), и главную часть, представляющее самостоятельное целое, которое распадается на две равносильные части. В первой из них описывается с нарастающим напряжением ожидание боя, во второй - сам с постепенным снижением напряжения к концу стихотворения. Граница между этими частями является кульминационной точкой произведения и приходится как раз на точку деления его золотым сечением.

Главная часть стихотворения состоит из 13 семистиший, то есть из 91 строки. Разделив ее золотым сечением (91:1,618 = 56,238), убеждаемся, что точка деления находится в начале 57-го стиха, где стоит короткая фраза: "Ну ж был денек!". Именно эта фраза представляет собой "кульминационный пункт возбужденного ожидания", завершающей первую часть стихотворения (ожидание боя) и открывающий вторую его часть (описание боя). Таким образом, золотое сечение играет в поэзии весьма осмысленную роль, выделяя кульминационный пункт стихотворения.

Многие исследователи поэмы Шота Руставели "Витязь в тигровой шкуре" отмечают исключительную гармоничность и мелодичность его стиха. Эти свойства поэмы грузинский ученый академик Г.В. Церетели относит за счет сознательного использования поэтом золотого сечения, как в формировании формы поэмы, так и в построении ее стихов.

Поэма Руставели состоит из 1587 строф, каждая их которых состоит из четырех строк. Каждая строка состоит из 16 слогов и делится на две равные части по 8 слогов в каждом полустишии. Все полустишия делятся на два сегмента двух видов: А - полустишие с равными сегментами и четным количеством слогов (4+4); В - полустишие с несимметричным делением на две неравные части (5+3 или 3+5). Таким образом, в полустишии В получаются соотношения 3:5:8, что является приближением к золотой пропорции. Установлено, что в поэме Руставели из 1587 строф больше половины (863) построены по принципу золотого сечения.

Сенсационное открытие сделал петербургский поэт и переводчик “Слова о полку Игореве” Андрей Чернов. Он нашел, что построение стихов загадочного древнерусского памятника подчиняется математическим законом. Исследования позволили сделать Чернову заключение о том, что в основу “Слова о полку Игореве”, состоящего из девяти песен, легла круговая композиция.

А поводом к тому, чтобы проверить гармонию поэму алгеброй, послужила статья о жизни древнегреческого математика Пифагора. Внимание Чернова привлекли рассуждения о “золотом сечении” и о числе , которые восходят к Пифагору. Возникла неожиданная ассоциация: ведь в композиционном построении поэму тоже круг и, следовательно, должны быть “диаметр” и некая математическая закономерность.

Уже первые расчеты стали подтверждать закономерность, да еще какую! Если число стихов во всех трех частях (их 804) разделить на число стихов в первой и последней части (256), получается 3,14, т.е. число с точностью до третьего знака.

Открытие Чернова приводят к естественному вопросу: как древний автор “Слова о полку Игореве”, ничего не зная о числе , ни о других математических формулах, привнес организующее математическое начало в этот текст? Чернов предполагает, что автор использовал это интуитивно, подчиняясь образам древнегреческих архитектурных памятников. В те времена храм являл собой всеобъемлющий, художественный идеал, поэтому влиял на ритмику поэтического самовыражения.

В наше время родился новый вид искусства - кино, вобравший в себя драматургию действия, живопись, музыку. В выдающихся произведениях киноискусства правомерно искать проявления золотого сечения. Первым это сделал создатель шедевра мирового кино "Броненосец Потемкин" кинорежиссер Сергей Эйзенштейн. В построении этой картины он сумел воплотить основной принцип гармонии - золотое сечение. Как отмечает сам Эйзенштейн, красный флаг на мачте восставшего броненосца (точка апогея фильма) взвивается в точке золотой пропорции, отсчитываемой от конца фильма.

Применяйте правила "Золотого сечения" при исследовании журналистского текста.

Многолетний опыт обучения будущих журналистов работе в аналитических жанрах показал, что к самым распространенным ошибкам относятся нарушения логических связей при построении концепции произведения.

Вопрос, на который предполагает ответить автор, нередко ставится "не по теме" (или со значительным отклонением от темы, заявленной в начале текста). Идея не оказывается ответом на поставленный вопрос; связь идеи с проблемой может потеряться просто потому, что автора отвлекла яркая деталь, случайная ассоциация и т.п. При этом самому автору текст представляется вполне логичным, если он строит изложение по этапам сбора материала либо следует рассуждениям людей, от которых получал информацию. Автору бывает трудно выделить в собственном произведении основные элементы содержания - тему, проблему, идею, а формулировка концепции ищется в таком случае в последних абзацах текста. Но конечный вывод не всегда вытекает из того, что журналист написал выше…

Задача заключается в том, чтобы, не пересказывая все произведение, быстро и ясно показать автору, что он на самом деле сказал, - и помочь увидеть это глазами читателя.

Читатель воспринимает журналистское произведение, интуитивно подчиняясь всеобщему закону гармонии, согласно которому наиболее важные смысловые элементы концепции располагаются по правилу золотого сечения. Для этого читателю не требуются никакие измерения, не нужно ничего знать о секретах "прекрасных пропорций" 3:2 или 5:3. Образное выражение "воспринимать сердцем" обретает почти буквальный смысл, если, вытянув текст в одну колонку, представить его длину как рост человека и провести линию через сердце: это и есть линия золотого сечения. На этом месте обычно заканчивается описание ситуации (введение читателя в тему) и обозначается проблема произведения. На таком же расстоянии от конца текста всегда высказывается идея - истинная мысль автора, которая далее может быть развита, аргументирована, а может быть и подменена заранее заданным, "нужным" выводом.

Если даже тема не определилась в первой трети текста или проблему автор сформулировал еще в заголовке, или главную мысль высказал в самом начале, - все равно опорные точки концепции окажутся на "золотых" местах, только главный вопрос и ответ на него прозвучат на этот раз в другой форме.

Чтобы увидеть, как представлена читателю проблема, нужно просто на глаз отмерить треть текста и прочитать 1-2 предшествующих абзаца. Здесь, как правило, оказывается либо слово "но", "однако", "хотя" - проблема может быть обозначена через конфликт, через сопоставление двух противоположных фактов или утверждений. Здесь - место главного вопроса, отсюда видно, как он связан с темой.

На таком же расстоянии от конца текста (1/3, 2/5 плюс-минус абзац) - вторая линия золотого сечения. Здесь автор выразил свою главную мысль, но не обязательно в виде рационального высказывания: возможно, через значимую деталь, реплику из диалога... В заключительных строках текста идея обычно повторяется - либо в более четкой формулировке, либо в образной форме. Именно поэтому при сокращении последних абзацев (что случается очень часто) страдает композиция, но текст не обессмысливается.

Таким образом, при редактировании своего или чужого текста, заглянув предварительно в места золотого сечения, можно сразу "схватить" концепцию произведения, оценить ее логичность и далее, читая весь текст, следить уже за тем, как концепция будет развернута.

В теории архитектуры хорошо известна книга "Пропорциональность в архитектуре", опубликованная русским архитектором проф. Г. Д. Гримом в 1935г.

Цель книги сформулирована во "Введении" следующим образом: "Ввиду исключительного значения золотого сечения в смысле такого пропорционального деления, которое устанавливает постоянную связь между целым и его частями, и дает постоянное между ними соотношение, недостигаемое никаким другим делением, схема, основанная на нем, выдвигается, как нормативная на первое место и принята нами в дальнейшем как при проверки основ пропорциональности исторических памятников, так и современных сооружений… Считаясь с этим общим значением золотого сечения во всех проявлениях архитектурной мысли, теорию пропорциональности, основанную на делении целого на пропорциональные части, отвечающие членам геометрической прогрессии золотого сечения, следует признать основной архитектурной пропорциональности вообще".

Гримм рассматривает золотое сечение отрезка АВ точкой С на две неравные части – большую часть СВ, называемую майором, и меньшую часть АС, называемую минором; при этом при делении большего отрезка АС золотым сечением меньший отрезок становится майором большего отрезка целого.

Вслед за Лукой Пачиоли, который сравнивал свойства золотого сечения со свойствами самого Бога, Г. Д. Гримм после тщательного исследования геометрических свойств золотого сечения подводит следующие "итоги исключительных свойств золотого сечения", которые выделяют его из числа всех других возможных делений отрезка и ставят его в этом отношении на первое место:

"1. Одно золотое сечение решает полностью задачу пропорционального деления целого на неравные части, заключающегося в достижении гармоничного между ними и с целым отношения путем деления целого на такие две неравные части, из которых меньшая часть так относилась бы к большей, как эта последняя к целому, и обратно – целое к большей своей части, как большая к меньшей.

2. Одно золотое сечение из всех возможных делений целого дает постоянное отношение между целым и его частями; только в нем от основной величины, - от целого находятся в полной зависимости оба предыдущих члена, причем отношение их между собою и с целым не случайное, а постоянное отношение, равное при всяком значении целого.

3. При делении целого золотым сечением на майор и минор, этот последний в свою очередь является большим отрезком вновь разделенного по золотому сечению первичного майор.

4. Деление по золотому сечению, один раз проделанное над основным целым, может быть продолжено путем откладывания каждый раз минор на майор и дает при этом непрерывный ряд золотых сечений производного порядка. Отношение же целого к любому члену производного его деления по золотому сечению равно соответствующей степени его майор.

5. Следствием n.4 является дополнительное свойство золотого сечения, по которому постепенное деление целого по золотому сечению (высших порядков) дает геометрически убывающую прогрессию со знаменателем и каждый член этой прогрессии находится в отношении золотого сечения к его предыдущему члену.

6. Майор основного отрезка есть минор нового целого, состоящего из первоначального целого, сложенного с его майор.

7. На основании n.5, прибавляя непрерывно к целому соответствующий ему майор, получаем геометрически возрастающую прогрессию со знаменателем .

8. Сумма двух последовательных членов прогрессии золотого сечения равна предыдущему члену.

9. Разница двух последовательных членов прогрессии золотого сечения равна последующему члену.

10. Все перестановки отдельных членов, которые допускаются для всякой непрерывной геометрической пропорции, допустимы и для деления по золотому сечению.

11. Каждые три непосредственно расположенные друг за другом отрезка относятся между собой как майор и минор.

12. Деление по золотому сечению как первичное, так и высших порядков дает наименьшее возможное число разных отношений между отрезками целого, деленного на неравные части, и дает наилегчайшее восприятие этих отношений.

13. Постоянное отношение деления по золотому сечению 0,618, выраженное со сравнительно незначительной погрешностью в приближенных целых малых числах 8:5, 5:3, 3:2 отвечает численным величинам консонансных интервалов октавы – уменьшенной сексты, сексты и квинты…

14. Производное деление целого по золотому сечению. Золотое сечение высших порядков дает приближенное значение оптимальных консонансных звуков октавы…

В общем итоге приходится признать исключительно выдающееся свойство золотого сечения, которое не достигается ни среднеарифметическими пропорциями, ни тем более другими делениями целого".

Далее Г.Д. Гримм демонстрирует примеры линейной пропорциональности деления по золотому сечению (статуя Дорифора), анализирует пропорциональное согласование площадей прямоугольников, треугольников и кругов по золотому сечению, рассматривает спирали золотого сечения и, наконец, пропорциональное сочетание объемов кубов, параллелепипедов, треугольных призм и четырехгранных пирамид на основе золотого сечения. Эти исследования приводят к следующему заключению:

"Приведенный нами разбор значения золотого сечения и исключительных его свойств в смысле пропорциональности, а так же теоретическое применение пропорциональной схемы золотого сечения для решения задач пропорционального деления, как линейных, так и плоскостных и объемных масс целого, приводит к заключению, что для полной пропорциональной согласованности архитектурного памятника, представляющего собой, во всяком случае, объемное решение, требуется пропорциональное согласование, прежде всего его линейных размеров по высотам и горизонталям, следствием чего и является пропорциональное решение фасадных площадей и далее всего объема".

Г. Д. Гримм подтверждает свои теоретические изыскания в области пропорциональной схемы золотого сечения архитектурными примерами из искусства классики (Парфенон, храм Юпитера в Дуге в Тунисе), памятниками Византийского искусства, итальянского Возрождения (Сан Пиетро ин Монторио в Риме, памятник Коллеони, собор Св. Петра в Риме).

Сан Пиетро ин Монторио в Риме (Браманте)

На первый взгляд архитектура барокко существенно отличается от архитектуры классики и итальянского Возрождения, и можно было бы ожидать отсутствие в этих памятниках золотого сечения. Проведя гармонический анализ Смольного собора в Санкт-Петербурге, который является одним из общепризнанных памятников этого стиля, Г. Д. Гримм делает заключение, "что отрыва от общей схемы золотого сечения в его пропорциях не замечается… Никаких сознательно внесенных диссонансов пропорциональности, помимо известного отхода от норм классики не усматривается и, во всяком случае, неоспоримо наличие золотого сечения в членениях основных масс собора".

Смольный собор в Санкт-Петербурге

Пропорциональные достижения русских зодчих, по мнению Г. Д. Грима, "основаны на их интуиции, на их архитектурно-художественных исканиях". Тем не менее, в лучших памятниках и этой эпохи мы встречаем многократное применение отношений, отвечающих золотому сечению. В качестве примера такого архитектурного памятника Г. Д. Гримм приводит колокольню церкви Рождества Христова в Ярославле, в которой "как и в ряде других древнерусских памятников, усматривается весьма существенное согласование с золотым сечением в главных основных их массах, при целом ряде частичных от него отступлений".

Колокольня церкви Рождества Христова в Ярославле

Хотя по поводу гармонических воззрений профессора Гримма не существует единого мнения, тем не менее, как сказано в предисловии редактора, "сама попытка общей формулировки принципа "золотого сечения" как основы пропорциональности архитектурных стилей, проверенная на материале античной и европейской архитектуры, заслуживает внимания, чтобы быть опубликованной, тем более что в книге дается исторический очерк развития теории пропорциональности, а также развернутое математическое положение принципа "золотого сечения".

Одиноко стоит в пойме реки Нерли над зеркалом спокойных вод изящный и легкий белокаменный храм, словно любуется своим изображением в воде. Эта небольшая, скромная по архитектурной композиции церковь Покрова на Нерли (1165г.) считается наиболее совершенным творением владимирских зодчих. Знакомство с храмом Нерли создает образ гармонии, архитектурной красоты. И невольно возникает вопрос, какими "секретами" владели русские зодчие, творившие восемь веков назад?

Изучая архитектуру церкви Покрова на Нерли, русский архитектуры И. Шевелев пришел к выводу, что в этом шедевре архитектуры проявляется пропорция , которая представляет собой отношение большей стороны к диагонали "двухсмежного квадрата, то есть прямоугольника с отношением сторон 1:2. Таким образом, в основе взаимосвязанных пропорций этого архитектурного сооружения положены пропорции "двухсмежного" квадрата и его производная – золотая пропорция. Наличие этих пропорций и оределило красоту храма. "Поразительная красота и гармоничность архитектуры храма Покрова Богородицы на Нерли, - пишет теоретик архитектуры К. Н. Афанасьев, - оформляется цепью взаимосвязанных отношений "золотого сечения".

Храм Василия Блаженного в Москве

Трудно найти человека, который бы не знал и не видел собора Василия Блаженного на Красной площади Москвы. История создания этого храма такова. 2 октября 1552 года пала Казань, навсегда избавив Россию от татарского нашествия. Для прославления "казанского взятия", вошедшего в историю России наравне с Куликовской битвой, царь Иван Грозный принял решение заложить на Красной площади Москвы собор Покрова; позже этот храм был прозван в народе "Василием Блаженным" в честь юродивого, который был погребен у стен храма в 16-м веке.

Для композиции построек собора характерно гармоническое сочетание симметричных и ассиметричных пропорций. Храм, симметричный в своей основе, содержит много геометрических "неправильностей". Так, центральный объем шатра смещен на 3м к западу от геометрического центра всей композиции. Однако неточность делает композицию более живописной, "живой" и она выигрывает в целом. Для архитектурного убранства собора характерно нарастание декоративных форм ввысь; формы вырастают одна из другой, тянутся вверх, подымаясь то крупными элементами, то, образуя группы, состоящие из более мелких декоративных частей.

Гармонический анализ храма Василия Блаженного

В соответствии с этой композиционной идеей построены и пропорции собора. Исследователи обнаружили в нем пропорцию, основанную на ряде золотого сечения:

где j = 0,618. В членении и заключена основная архитектурная идея создания собора, единая для всех куполов, объединяющая их в одну соразмерную композицию.

При рассмотрении храма Василия Блаженного невольно возникает вопрос: случайно ли число куполов в нем равно 8 (вокруг центрального собора)? Существовали ли какие-либо каноны, определяющие число куполов в храме? Очевидно, существовали. Простейшие православные соборы раннего периода были одноглавые. После реформы патриарха Никона в середине 17-го века было запрещено строить одноглавые церкви как не соответствующие пятиглавому чину православной церкви.

Помимо одно - и двухкупольных православных церквей, многие имели по 5 и 8 куполов. Однако новгородский Софийский собор (10-й век) был 13-главым, а Преображенская церковь в Кижах, вырубленную из дерева 2,5 столетия назад, венчает 21 глава. Случаен ли такой рост числа куполов "по Фибоначчи" (1,2,3,5,8,13,21), отражающий естественный закон роста – от простого к сложному?

Преображенская церковь в Кижах

В книгах о "золотом сечении" можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующие "золотое сечение", то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. "Золотое сечение" дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

Известный русский архитектор Казаков Матвей Федорович (1738-1802гг) в своем творчестве широко использовал "золотое сечение". Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. Например, золотое сечение можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле. По проекту Казакова построена в Москве Голицынская больница, которая в настоящее время называется "Первая клиническая" больница имени Пирогова.

Москва. Голицынская больница. Здание Сената. Кремль.

1794-1801гг. 1776-1778гг.

Петровский дворец в Москве. Построен по проекту М. Ф. Казакова.

Петровский дворец в Москве 1776-1796гг.

Ещё один архитектурный шедевр Москвы – дом Пашкова (1786г.) – является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры Василия Ивановича Баженова.

Дом Пашкова. В. И. Баженов.

В. И. Баженов (1737-1799). Портрет работы неизвестного художника

Многие высказывания зодчего заслуживают внимания и в наши дни. О своем любимом искусстве Василий Баженов говорил: "Архитектура – главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания… К достижению сего служит руководством знание пропорции, перспективы, механики или вообще физики, а всем им общим вождём является рассудок".

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V век до н. э.).

Строительством храма Парфенон руководил архитектор Фидий.

Парфенон – главный храм в древних Афинах, посвященный покровительнице этого города и всей Аттики, богине Афине – Девственнице. Он красовался на самом высоком пункте афинского акрополя, там, где перед тем стоял не вполне достроенный храм той же богини, заложенный ещё до нашествия. По окончании персидских войн, в Правление Перикла, приступили к сооружению, на место прежнего святилища, нового, более обширного и роскошного храма, причём пущено в ход искусство лучших из тогдашних художников и употреблены огромные денежные средства. Строителями П. называют Иктина и Калликрата; первому, по-видимому, принадлежал проект этого здания, а второй заведовал производством строительных работ. Великий скульптор Фидий и сам Перикл наблюдали за постройкой, продолжавшейся около десяти лет, с 448 по 438г до рождения Христа. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры.

На прямоугольной платформе (в 68,4 м длины и в 30,38 м ширины), сложенной из пирейского камня и на которую можно было со всех сторон подниматься по трём ступеням, высился построенный из пентелийского мрамора величественный периптер дорического стиля с восемью колоннами в каждом коротком фасе и с семнадцатью в каждом длинном. Вышиной эти колонны были в 11 м, диаметр их разреза в нижнем конце равнялся 1,8 м. Окруженный этой колоннадой, стоит и посей день.

Отношение длины здания Парфенона в Афинах к его высоте равно Ф (фи).

КВ : АВ = СВ : АС = АВ : ВС = Ф

На рисунках виден целый ряд закономерностей, связанных с золотым сечением. Пропорции здания можно выразить через различные степени числа Ф = 0,618… Отношение высоты здания к её длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по "золотому сечению", то получим те или иные выступы фасада.

На плане пола Парфенона также можно заметить «золотые» прямоугольники:

Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери

(Нотр–дам де Пари)

Выражение "архитектура – это застывшая музыка" стало крылатым. Оно не является результатом строго научного анализа, это, скорее всего итог образного, интуитивного ощущения некой связи гармонической архитектурной формы с музыкальной гармонией. Музыкальная мелодия основана на чередовании звуков различной высоты и продолжительности, в ее основе – временная упорядоченность звуков. В основе архитектурной композиции – пространственная упорядоченность форм. Казалось бы между ними ничего общего. Но чтобы оценить размеры пространственной конструкции геометрической фигуры, мы должны проследить взглядом от начала до конца эту фигуру, и чем больше, например, длина ее, тем длиннее будет восприятие. Очевидно, здесь и заключена органическая связь пространственного и временного восприятия объектов человеком.

Всё на свете страшится времени

А время страшится пирамид.

Арабская пословица

О египетских пирамидах с восхищением писал греческий историк Геродот. Первым европейцем, спустившимся в глубь пирамиды, был римский ученый Плиний Старший. Согласно многим описаниям, эти гигантские монолиты имели совсем иной вид, чем в наше время. Они сияли на солнце белой глазурью отполированных известняковых плит на фоне многоколонных прилегающих храмов. Рядом с царскими пирамидами стояли малые пирамиды жен и членов семьи фараонов.

Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса. Она самая крупная и наиболее хорошо изученная. Чего только не находили в её пропорциях! Число «пи» и золотую пропорцию, число дней в году, расстояние до Солнца, диаметр Земли и т.п. Однако при расчете этих величин получались неточности, возникали недоразумения, в результате чего подвергались сомнению даже простейшие пропорции в размерах пирамиды и все сообщения о скрытых в геометрии пирамиды математических сведениях объявлялись выдумкой. Методической ошибкой многих исследователей является то, что они использовали размеры пирамид, выраженные в метрической системе мер. Но ведь египтяне пользовались другой системой мер! Из этой системы и следует исходить при анализе размерных отношений в пирамидах.

Прежде чем приступить к анализу формы и размеров пирамиды Хеопса, следует учесть уровень знаний тех времен, психологию создателей пирамиды. У египтян было три единицы длины: локоть (466 мм), равнявшийся семи ладоням (66,5 мм), которая, в свою очередь, равнялась четырем пальцам (16,6 мм).

Трудно допустить, что строители пирамиды пользовались исходными размерами, выраженными в долях локтя; более очевидно, что основные исходные размеры были определены в целых единицах длины – локтях. Рассмотрим размеры пирамиды Хеопса. Длина стороны основания пирамиды (L) принята равной 233,16 м. Эта величина отвечает почти точно 500 локтям. Очевидно, размер основания пирамиды при ее строительстве и был определен в 500 локтей.

Высота пирамиды (H) оценивается исследователями различно от 146,6 до 148,2 м. И в зависимости от принятой высоты пирамиды изменяются и все отношения ее геометрических элементов. Поэтому на этой величине следует остановиться особо. Одним из чудес великой пирамиды является очень точная подгонка ее каменных блоков и плит; между ними буквально нигде не просунешь лезвия бритвы (0,1 мм). Но никакого чуда здесь не оказалось. В процессе строительства каменные блоки не могли быть изготовлены столь точно: для этого у древних египтян просто не было средств – ни обрабатывающих, ни измерительных. Но за длительное время под воздействием колоссального давления (достигающего 500 тонн на 1 м² нижней поверхности) произошла «усадка» конструкции, пластическая деформация строительных блоков, вследствие чего они и оказались так тесно подогнанными. В результате усадки высота пирамиды стала меньше, чем она была в период завершения строительства. Какой же она была первоначально? Ее можно воссоздать, если найти основную «геометрическую идею», положенную в основу сооружения.

Правильная четырехгранная пирамида является одной из хорошо изученных геометрических фигур, символизирующих простоту и гармонию формы, олицетворяющую устойчивость, надежность, устремление вверх.

Очевидно, размеры пирамиды: площадь ее основания и высота - не были выбраны случайно, а должны нести какие-то геометрические, математические идеи, информацию об уровне знаний египетских жрецов. Причем следует напомнить, что эти знания составляли тайну и были доступны лишь ограниченному числу лиц, поэтому и в геометрии пирамиды они должны быть воплощены не в явной, а в скрытой форме.

Угол наклона граней пирамиды еще в 1837 году определил английский полковник Г.Вайз: он равен . Указанному значению угла отвечает тангенс, равный 1,272. Эта величина, отвечающая отношению высот пирамиды к половине ее основания, очень близка к корню квадратному из золотой пропорции = 1,27202 и является иррациональной величиной. Поэтому, скорее всего, в основу треугольника OMN пирамиды Хеопса и было заложено отношение OM/MN, равное .

Итак, примем отношение катетов, т.е. высоты пирамиды H к половине ее основания, равным 1,272. При этом высота пирамиды Хеопса будет равна точно 318 локтей, или 148,28м. Такую высоту, очевидно, имела пирамида Хеопса при завершении ее сооружения (или должна была иметь по проекту).

Таким образом, основные элементы конструкции пирамиды имели следующие размеры: сторона основания – 500 локтей, высота – 318 локтей. Отсюда следует, что апофема боковой грани ON равна 404,5 локтя.

А теперь посмотрим, какие интересные соотношения следуют из этих геометрических размеров. Отношения сторон в треугольнике OMN пирамиды равно: OM/MN=ON/OM=1,272=; ON/MN=Ф.

Рассмотрим теперь поверхность пирамиды. Она состоит из четырех треугольников и квадрата основания. Основание треугольника BOC равно 500 локтям, высота его равна 404,5 локтя. По теореме Пифагора можно рассчитать длину боковых ребер OB и OC . Они равны 475,5 локтя.

Площадь основания пирамиды равна 250000 кв. локтей, площадь боковой грани 101125 кв. локтей, а площадь четырех граней пирамиды равна 404500 кв. локтей. Отношение поверхности граней к площади основания также равно золотой пропорции.

Еще Геродот, основываясь на рассказах египетских жрецов, писал, что площадь квадрата, построенного на высоте пирамиды, равна площади каждой из его боковых граней. По нашим расчетам, квадрат высоты равен 318² = 101127 кв. локтей, что почти точно отвечает площади боковой грани (101125 кв. локтей).

Многие исследователи указывают, что отношение удвоенной стороны основания 2L к высоте пирамиды H отвечает числу «пи». Однако в связи с тем, что высота пирамиды принималась равной современной и не всегда однозначной, число «пи» получалось разным: 3,16-3,18. На почве этого возникали сомнения, предпринимались различные подгонки, стали говорить даже о некоем «египетском », равном 3,16. Если принять высоту пирамиды равной 318 локтям, то отношение 2L/H=1000/318 будет равно 3,144. Эта величина очень близка к современному значению числа «пи» (3,14159…). Интересно сравнить два основных отношения, установленных нами при изучении геометрических пропорций пирамиды: 2H/L= и 2L/H=. Отсюда получаем простую и красивую формулу, связывающую число «пи» и золотую пропорцию: 4/=.

Что касается пирамид, не только египетские пирамиды построены в соответствии с совершенными пpопоpциями золотого сечения; то же самое явление обнаружено и у мексиканских пирамид. Hа поперечном сечении пирамиды видна форма, подобная лестнице. В первом ярусе 16 ступеней, во втором 42 ступени и в третьем - 68 ступеней.

Эти числа основаны на соотношении Фибоначчи следующим образом:

16 ^. 1,618 = 26 16 + 26 = 42 26 ^. 1,618 = 42 42 + 26 = 68.

Пирамида Хеопса, Египет

Как была построена Большая Пирамида - это вопрос, на который нельзя ответить. Геродот сказал, что требуется 30 лет и 100 000 рабов, чтобы построить это. Другая теория - это было построено крестьянами, которые не могли работать на земле, в то время как Нил затоплял земли между июлем и ноябрем. Им, возможно, заплатили продовольствием за их рабочую силу. Затопляемые воды также помогли в перемещении камней. Эти камни были принесены из Асуана и Туры, и вода доставила их прямо к пирамиде. Эта пирамида, как думают, была построена между 2589 - 2566 до н.э. Было использовано 2 300 000 блоков камня со средним весом 2.5 тонн каждый. Полный вес 6 000 000 тонн, высота 482футов (140 m). Это наибольшая и наиболее древняя из Пирамид Гизы (Giza).

Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храмов фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, Пропорции Фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Гениальные создатели пирамиды Хеопса стремились поразить далеких потомков глубиной своих знаний, и они достигли этого. Следует лишь удивляться высокому знанию и искусству древних математиков и архитекторов Египта, которые смогли воплотить в пирамиде две иррациональные (т.е. неизмеримые) величины –  и Ф со столь поразительной точностью, оперируя исходными отношениями целых чисел – стороной основания и высотой пирамиды, выраженных в локтях.

Нет идеальной красоты без некоторой странности пропорций.

Народная поговорка

Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния. Известно, что ещё в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения. Пропорции “золотого сечения” создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях. Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении “золотого сечения”. Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям. Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал “золотое сечение” в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенон.

Хорошо известная в эпоху возрождения эта пропорция вплоть до середины прошлого столетия была почти забыта, и уже в нынешнем веке вновь изучена рядом ученых и архитекторов. Особую роль среди них сыграл французский зодчий Ля Корбюзье, создавший так называемый модулятор - систему деления человеческой фигуры на согласованные в золотом сечении отрезки. Рассмотрим применение золотого сечения в скульптурах древней Греции. Скульптор и теоретик искусства Поликлет в своем трактате "Канон" установил законы пропорциональности человеческого тела. Так, пупок делит рост человека в отношении золотого сечения.

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришёл к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Греческий скульптор Леохар создал знаменитую статую Аполлона Бельведерского воплотившую представление древних греков о красоте. Если высоту статуи разделить в отношении золотого сечения и то же самое проделать с каждой частью, то точки деления придутся на талию, каленую чашечку, адамово яблоко. Та же закономерность распространяется в отдельности на лицо, руку, кисть. Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского.

Аполлон Бельведерский

Статуя атлета полна спокойной уверенности, гармония линий, уравновешенность частей олицетворяют могущество физической силы. Широкие плечи почти равны высоте туловища, половина высоты тела приходится на лонное сращение, высота головы 8 раз укладывается в высоте тела, а золотой пропорции отвечает положение пупка на теле атлета.

Дорифор

Гений Микеланджело - в его абсолютном понимании человеческого тела и пропорций его воспроизведения. Примером может служить знаменитая статуя - "Давид".

"Давид" (1430-е гг.) - изящно выполненный из бронзы торжествующий победитель, поставивший ногу на отсеченную голову поверженного Голиафа, - стал первым со времен античности скульптурным изображением свободно стоящей человеческой фигуры в натуральную величину.

История «Золотого сечения» - это история человеческого познания мира. В биологических исследованиях 70-90 гг. показано, что, начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем. Можно отметить два вида проявлений золотого сечения в живой природе: иррациональные отношения по Пифагору – 1,62 и целочисленные, дискретные - по Фибоначчи.

Было установлено, что числовой ряд чисел Фибоначчи характеризует структурную организацию многих живых систем. Например, винтовое листорасположение на ветке составляет дробь (число оборотов на стебле/число листьев в цикле, напр. 2/5; 3/8; 5/13), соответствующую рядам Фибоначчи. Хорошо известна "золотая" пропорция пятилепестковых цветков яблони, груши и многих других растений. Носители генетического кода - молекулы ДНК и РНК - имеют структуру двойной спирали; ее размеры почти полностью соответствуют числам ряда Фибоначчи.

Еще Гёте подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Гёте называл спираль "кривой жизни". Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках "упакованы" по логарифмическим ("золотым") спиралям, завивающимся навстречу друг другу, причём числа "правых "и "левых" спиралей всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи (13:8, 21:13, 34:21, 55:34), пределом последовательности которых является золотая пропорция.

Приглядимся внимательно к побегу цикория. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс.

Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

"Порхающими цветами" называют бабочек-этих удивительных созданий природы. Их  крохотное тело несут  громадные по площади, ярко окрашенные крылья. У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2,3,5,8.

Неудивительно, что стрекоза выглядит столь совершенной, ведь она создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

Прозрачные крылья стрекоз - это шедевр "инженерного" мастерства природы.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина её хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Можно заметить золотые пропорции, если внимательно посмотреть на яйцо птицы.

"Фигура выражает сдержанную мощь и гордое достоинство человека, вполне сознающего, что именно он является мерой всех вещей". А.С.Пушкин

Золотое сечение можно найти и в анатомии. Закон золотого сечения просматривается в количественном членении человеческого тела, соответствующем числам ряда Фибоначчи. Примером может быть число костей туловища, черепа и конечностей. Так, в скелете туловища различают 3 костных системы: позвоночник, рёберный его отдел и грудину. Грудина включает 3 кости (рукоятку, тело и мечевидный отросток). Позвоночник состоит из 33 (34) позвонков; от них отходят 12-13 пар ребер. Мозговой череп состоит из 8 костей. В верхней и нижней челюстях с каждой стороны имеется по 8 альвеол и соответственно - корни 8 зубов.

Скелет верхней конечности состоит из 3 частей (плечевой, костей предплечья и костей кисти). Кисть включает 8 костей запястья, 5 пястных костей и кости 5 пальцев. Каждый палец, кроме большого, имеет по 3 фаланги. Таким образом, морфогенез кисти, включающей два соседних члена числового ряда Фибоначчи - в частности, 8 костей запястья и 5 костей пясти - приближается к золотому сечению 1.618, поскольку 8/5=1.6.

Сопоставляя длины фаланг пальцев и кисти руки в целом, а также расстояния между отдельными частями лица, также можно найти "золотые" соотношения:

Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении золотого сечения. Измерения нескольких тысяч человеческих тел позволили обнаружить, что для взрослых мужчин это отношение равно в среднем примерно 13/8 = 1,625, а для взрослых женщин оно составляет 8/5 = 1,6. Так что пропорции мужчин ближе к "золотому сечению", чем пропорции женщин (однако женщина в обуви на каблуках может оказаться ближе к "золотым" пропорциям). У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году у мужчин равняется 1,625. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Равномерно бьётся сердце человека – около 60 ударов в минуту в состоянии покоя. Сердце как поршень сжимает, а затем выталкивает кровь и гонит её по телу. Предсердия выполняют роль резервуара, принимающего кровь из вен, а желудочки - насоса, ритмически перекачивающего кровь в артерии. Давление крови изменяется в процессе работы сердца. Наибольшей величины оно достигает в левом желудочке в момент его сжатия (систолы). В артериях во время систолы желудочков кровяное давление достигает максимальной величины, равной 115-125 мм рт.ст. у здорового молодого человека. В момент расслабления сердечной мышцы (диастолы) давление снижается до 70-80 мм рт.ст. Отношение максимального (систолического) к минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем 1,6 ,т.е. близко к золотой пропорции.

Сердце бьётся непрерывно – от рождения человека до его смерти. Его работа должна быть оптимальной, обусловленной законами самоорганизации биологических систем. Отклонения от оптимального режима вызывают различные заболевания. А так как золотая пропорция является одним из критериев самоорганизации в живой природе, естественно предположить, что и в работе сердца возможно проявление этого критерия. Нужны были глубокие исследования, и они были проведены советским ученым В.Д.Цветковым.

При работе сердца возникает электрический ток, который можно уловить специальным прибором и получить кривую – электрокардиограмму (ЭКГ) с характерными зубцами, отражающими различные циклы работы сердца. На ЭКГ человека выделяются два участка различной длительности, соответствующие систолической и диастолической деятельности сердца. В.Цветков установил, что у человека и у других млекопитающих имеется оптимальная («золотая») частота сердцебиения, при которой длительности систолы, диастолы и полного сердечного цикла соотносятся между собой в пропорции 0,382:0,618:1 , т.е. в полном соответствии с золотой пропорцией. Так, например, для человека эта частота равна 63 ударам в минуту, для собак – 94 , что отвечает реальной частоте сердцебиения в состоянии покоя.

Далее В.Цветков обнаружил, что систолическое давление крови в аорте равно 0,382  , а диастолическое – 0,618 от среднего давления крови в аорте. Доля объема левого желудочка при ударном выбросе крови по отношению к конечнодиастолическому объему у десяти видов млекопитающих в состоянии покоя составляет 0,37-0,4   , что в среднем также отвечает золотой пропорции.

Таким образом, работа сердца в отношении временных циклов, изменения давления крови и объёмов желудочков оптимизировано по одному и тому же принципу – по правилу золотой пропорции.

Рисунок. Электрокардиограмма человека по В.Д.Цветкову(1984): t_s( ), t_p( ), t( ) - длительности систолы, диастолы и кардиоцикла, соответственно, при частоте сердцебиений  ; P,Q,R,S,T -зубцы ЭКГ.

Мозг человека представляет собой сложнейшую самонастраивающуюся систему, основным назначение которой является регуляция деятельности различных органов человеческого тела, осуществление связи человека с окружающей средой. В составе мозга  различают серое и белое вещества. Серое вещество представляет собой скопление нервных клеток, белое – нервных волокон, отростков этих клеток. Нервная клетка с отростком называется нейроном. Нейроны мозга образуют разнообразные сети, взаимодействующие с помощью электрических сигналов.

Конфигурации нейронных сетей представляют собой колебательные электрические цепи. Различным состояниям мозга соответствуют электрические колебания с разными частотами.

Многочисленные исследования показали, что в мозгу взрослого человека при различных его состояниях преобладают электрические колебания определенных частот. Изменение  активации мозга происходит не непрерывно, а только дискретно, скачками от одного уровня к другому. Каждому состоянию мозга соответствуют свои специфические волны электрических колебаний.

Состоянию спокойного бодрствования отвечает наиболее устойчивый a- ритм с частотами колебаний преимущественно от 8 до 13 герц. Это основной ритм электрических колебаний мозга, он появляется в детском возрасте и постепенно с возрастом увеличивается с 2-3  до 8-13 гц в возрасте 8-16 лет. Наиболее медленные колебания с частотой 0,5 –4 гц у D- ритма, характерно для состояния глубокого сна. Для  D- ритма верхняя граничная частота достаточно стабильна и равна 3-4 гц, а пределы нижней граничной частоты изменяются от 0,2 до 1,5 гц.

При появлении неприятности или опасности в мозгу доминирует q - ритм с частотами от 4-7 до 6-8 (по данным различных авторов). Советские ученые-братья    Я.и А. Соколовы считают, что наиболее устойчивы для    q- ритма граничные частоты колебаний 4 - 7 гц.  Умственной  работе  отвечает  b- ритм  с  граничными  частотами 14-35гц. (по другим данным, диапазон частот этого ритма более широк – от 14 до 100гц). Эмоциональному возбуждению мозга соответствует g- ритм с граничными частотами 35-55 гц. Нетрудно заметить, что граничные частоты ритмов почти точно отвечают числам Фибоначчи. Отклонения граничных частот от чисел Фибоначчи находятся в пределах точности эксперимента. Соколовы считают, что существуют еще не обнаруженные опытами r- ритм и s- ритм. Расчеты показали, что у s- ритма пограничные частоты 118 и 225 гц, а у r- ритма -  55 и 118 гц. И здесь очевидна близость чисел Фибоначчи.  

Нами были также проанализированы ССЦ гемодинамических параметров микроциркуляторного участка коронарного русла (артериолы и капилляры) в условиях покоя и мышечной нагрузки. Было установлено, что в "золотом" режиме кровоснабжения организмов ССЦ рассмотренных параметров (давление, кровоток, объем и проводимость микроциркулярной сети) соответствуют "золотому сечению". В этом режиме транспорт единичного объема кислорода в сердечные клетки имеет минимально возможную энергетическую "цену". В условиях мышечной работы эта "цена" возрастает пропорционально интенсивности физической нагрузки. Интересно отметить при этом, что скорость отдачи кислорода в капиллярах и прекапиллярных артериолах сердца соответствует числам Фибоначчи и в покое и при любой нагрузке.

Анализ особенностей архитектоники кардиомиоцитов и сердечной мышцы в целом, а также сопряжения сердца с аортой и всей сердечно-сосудистой системой организма позволяет заключить, что адекватная механическая деятельность сердца как насоса, перекачивающего кровь из вен в артерии, осуществляется при минимально возможном расходе энергии и мышечного вещества и соответствует пропорции "золотого сечения" и числовому ряду Фибоначчи.

Исследования в этой области только начинаются, впереди -  открытие самых сокровенных тайн организации и работы мозга человека, закономерности его эволюции.

У каждой планеты имеется минимальный радиус орбиты, но есть и максимальный – как у всякого эллипса. М.А. Марутаев соотнёс их между собой. У всех девяти планет Солнечой системы отношения максимального и минимального радиусов орбит – целые степени числа золотого сечения. Погрешности совсем незначительны – доли процента. У Земли же отношение радиусов равно числу золотого сечения в первой степени.

Ещё одно любопытное следствие теории Марутаева: отношение расстояния от Солнца до Земли к расстоянию от Солнца до Плутона – число, выражающее золотое сечение.

В статье В.Дроздова в журнале "Квант" (1990 г., №2) отмечен интересный факт. Ускорение силы тяжести при удалении от земной поверхности описывается следующей формулой:

где h - высота над поверхностью Земли, R - ее радиус. При опускании тела в глубь Земли характер зависимости g от h меняется:

Когда g_h=g_-h? Ясно, что одним из решений будет h=0. Второе решение таково:

Мы видим в решении уже знакомую нам формулу золотого сечения.

Метеорологи D. A. Bradley и др. в 1962 г. попытались найти корреляцию между фазами Луны и дождевыми ливнями (16056 ливней, отмеченные метеостанциями США с 1900 по 1949 гг.). Цикличность частоты возникновения ливней была установлена, но не обнаружилось связи с фазами Луны, и большинство ученых пришли к убеждению, что такой связи вообще не существует. Но автор показал, что они не правы. Оказалось, что дождевые максимумы и минимумы разделены интервалами времени, относящиеся между собой как основное (0,618) и дополнительное (0,382) значения золотого сечения лунного цикла.

Золотое сечение, связанные с ним пятилучевая симметрия и логарифмическая спираль обнаружены в циклах солнечных пятен и солнечном ветре, в геомагнитных бурях, климате и температуре воздуха, в биологической активности животных и профессиональной активности людей (цикл Гоклена), в экономических циклах.

Ньютон триста лет назад описал петлеобразное движение центра масс Солнечной системы вокруг геометрического центра Солнца. Когда планеты-гиганты образуют более или менее точное соединение, центр масс удаляется от центра Солнца более чем на два солнечных радиуса. Экстремальным положениям центра тяжести иногда соответствует 40-кратное изменение углового момента Солнца, что может сильно повлиять на солнечную активность. Зная конфигурации планет, влияющие на орбитальный момент Солнца, можно уверенно прогнозировать солнечно-земные явления. Предсказанные Ландшейдтом мощные вспышки на Солнце и геомагнитные бури оправдывались в 90% случаев, хотя и происходят очень нерегулярно.

Центр Солнечной системы и центр Солнца - не одно и то же! Масса планет составляет примерно 1/750 массы Солнца, и центр массы Солнечной системы (барицентр) может удаляться от поверхности Солнца на расстояние до одного солнечного радиуса!

Массивный Юпитер в сочетании с тремя другими гигантами Сатурном, Ураном и Нептуном могут заставить Солнце двигаться по часовой стрелке по отношению к барицентру, то есть ретроградно к обычному движению. Это редкое явление случалось только 7 раз за последние 3400 лет. Такой период начался 28 апреля 1989 года и продлился до 23 декабря 1990 года.

Последние два раза подобное происходило в 1810-12 и 1632-33 годах. Погода и климат после 1810 года были экстремальными. 1816-й был годом без лета, северо-восток США и Западная Европа испытывали сильный холод в течение каждого месяца. Непрерывная вереница холодных летних сезонов и коротких посевных периодов породили голод в Швейцарии и на Украине. И. Д. Пост в журнале "Междисциплинарная история" (1973) писал: "Годы 1812-1817 принесли три последующих десятилетия экономического застоя, отмеченного повторяющимися кризисами, несчастьями, социальными переворотами, международными миграциями населения, политическими возмущениями и болезнями пандемического характера".

Климат в 1630-40 годах также был экстремальным. Река Темза покрылась льдом, и лондонцы ходили с сосульками в бородах, чего не случалось, по крайней мере, 150 лет. На американском континенте посевные сезоны были также короткими, а зима 1641 года была наихудшей за все столетие. Это был также период наиболее интенсивной за прошедшие 500 лет вулканической деятельности.

Исходя только из этих двух периодов ретроградности Солнца, трудно сказать, повторят ли их предстоящие одно или два десятилетия. Но надо отметить, что политическая нестабильность в Китае, России, Восточной Европе и Южной Африке в течение текущей ретроградности достигла максимума. В Сан-Диего - жесточайшая засуха, какой не было с 1850 года, в 1989 году не выпало ни капли дождя - и это после двух засушливых 1987 и 1988 годов!

В Западной Европе лето 1989 года перекрыло все рекорды жары, а лето 1988 года было самым влажным. Зима 1989-90 годов на среднем Западе и на востоке США была самой холодной, а в Калифорнии три года подряд свирепствовали беспрецедентные засухи.

Сейчас, через 17 лет после публикации этой статьи, можно сказать, что по насыщенности событиями в природе и обществе нынешняя ретроградность Солнца не уступает предыдущим.

О способности зрительного анализатора человека выделять объекты, построенные по алгоритму золотого сечения, как красивые, привлекательные и гармоничные, известно давно. Золотое сечение даёт ощущение наиболее совершенного единого целого. Формат многих книг соответствует золотому сечению. Оно выбирается для окон, живописных полотен и конвертов, марок, визиток. Человек может ничего не знать о числе Ф, но в строении предметов, а также в последовательности событий он подсознательно находит элементы золотой пропорции.

Проводились исследования, в которых испытуемым предлагалось выбирать и копировать прямоугольники различных пропорций. На выбор предлагалось три прямоугольника: квадрат (40:40 мм), прямоугольник "золотого сечения" с отношением сторон 1:1,62 (31:50 мм) и прямоугольник с удлиненными пропорциями 1:2,31 (26:60 мм).

При выборе прямоугольников в обычном состоянии в 1/2 случаев предпочтение отдается квадрату. Правое полушарие предпочитает золотое сечение и отвергает вытянутый прямоугольник. Наоборот, левое полушарие тяготеет к удлиненным пропорциям и отвергает золотое сечение.

При копировании этих прямоугольников наблюдалось следующее. Когда активно правое полушарие, пропорции в копиях выдерживались наиболее точно. При активности левого полушария пропорции всех прямоугольников искажались, прямоугольники вытягивались (квадрат срисовывался как прямоугольник с отношением сторон 1:1,2; пропорции вытянутого прямоугольника резко увеличивались и достигали 1:2,8). Наиболее сильно искажались пропорции "золотого" прямоугольника; его пропорции в копиях становились пропорциями прямоугольника 1:2,08.

При рисовании собственных рисунков преобладают пропорции, близкие к золотому сечению, и вытянутые. В среднем пропорции составляют 1:2, при этом правое полушарие отдает предпочтение пропорциям золотого сечения, левое полушарие отходит от пропорций золотого сечения и вытягивает рисунок.

Если вы хотите проверить какое полушарие у Вас преобладает, то нарисуйте несколько прямоугольников, измерьте их стороны и найдите соотношение сторон.

Что же представляет собой «золотая пропорция» с позиции философской науки?

Это некое отношение между какими-либо противоположными свойствами какого-либо объекта. Или количественное соотношение между двумя противоположностями.

Противоположности – две стороны одного и того же предмета или явления, которые находятся постоянно в противоречии друг с другом из-за своей абсолютной полярности.

Пример противоречий.

Добрый человек не может быть добрым, если нет злого, иначе кто же узнает, каким должен быть добрый, и не может добрый человек быть добрым по отношению к злу, ведь тогда вся его доброта будет только пособничеству злу. Значит это заложено в доброте.

Это прямо доказывает, что единство противоположностей такая же реальность существования противоположностей, как и их борьба.

Окружающий нас мир многообразен…

Вы, наверное, обращали внимание, что мы неодинаково относимся к предметам и явлениям окружающей действительности. Беспорядочность, бесформенность, несоразмерность воспринимаются нами как безобразное и производят отталкивающее впечатление. А предметы и явления, которым свойственна мера, целесообразность и гармония воспринимаются как красивое и вызывают у нас чувство восхищения, радости, поднимают настроение. Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам. Можно ли «проверить алгеброй гармонию?» – как сказал А.С. Пушкин.

Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного.

Мы рассказали вам о таком математическом соотношении, которое позволяет ощутить гармонию и красоту там, где она присутствует.

Необходимо сказать, что золотое сечение имеет большое применение в нашей жизни.

Было доказано, что человеческое тело делится в пропорции золотого сечения линией пояса. Раковина наутилуса закручена подобно золотой спирали. Благодаря золотому сечению был открыт пояс астероидов между Марсом и Юпитером – по пропорции там должна находиться ещё одна планета. Возбуждение струны в точке, делящей её в отношении золотого деления, не вызовет колебаний струны, то есть это точка компенсации. На летательных аппаратах с электромагнитными источниками энергии создаются прямоугольные ячейки с пропорцией золотого сечения. Джоконда построена на золотых треугольниках, золотая спираль присутствует на картине Рафаэля «Избиение младенцев». Известно много памятников архитектуры, построенных с использованием золотой пропорции, в том числе Пантеон и Парфенон в Афинах, здания архитекторов Баженова и Малевича.

Из всего сказанного можно сделать выводы: во-первых, золотое сечение – это один из основных основополагающих принципов природы; во-вторых, человеческое представление о красивом явно сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе.

Человек – венец творения природы… Кроме того, человек сам является творцом, создаёт замечательные произведения искусства, в которых просматривается золотая пропорция.

Рациональные и иррациональные числа являются своеобразными противоположностями. Но природа едина, и её противоположности не только находятся в противодействии, борьбе, но и в единстве. И не удивительно, что многие иррациональные числа выражаются через совокупность целых чисел. Все три числа: , e и Ф – связаны между собой простыми отношениями и могут быть выражены в виде пределов бесконечных дробей. Кроме того, на примере золотой пропорции показано, что целые числа натурального ряда : 1, 2, 3, … могут быть выражены через иррациональное число Ф. Кроме того, число Ф с любой степенью точности может быть выражено через отношение целых чисел. Разве эти примеры не свидетельствуют о единстве рационального и иррационального в природе?!

Мы так часто говорим о единстве и борьбе противоположностей, что это понятие стало тривиальным, само собой разумеющимся и не требующим исследования. Может быть, поэтому этот фундаментальный закон природы так мало исследован и углублен и, что характерно, почти совершенно не математизирован. А между тем он достоин самого пристального изучения и развития – ведь это один из основных, наиболее общих законов мироздания.

1. «Математика - Энциклопедия для детей» М.: Аванта +, 1998

2. «Математика. Я познаю мир». – М.: Аванта +, 1998

3. А.Д. Бендукидзе. Золотое сечение. – М., Квант, 1973 г., № 8.

4. Журнал «Математика в школе», 1994, № 2; № 3.

5. Журнал «Наука и техника», 1985, №3.

6. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Высшая школа, 1989.

7. Н. Мурутаев. «Вопросы философии» 1994г. № 6 стр. 71

(О гармонии мира).

8. Д. Пидоу. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1989.

9. А.И. Прохоров. Золотая спираль. – М., Квант, 1984, № 9.

10. А.П. Стахов. Коды золотой пропорции. М,. 1984.

11. И.Ш. Шевелев. Золотое сечение. – М., Стройиздат, 1990.

12. Ф.В. Ковалев. Золотое сечение в живописи. Учебное пособие.- К., 1986.

13. В. Д. Цветков. Сердце, золотое сечение и симметрия. - Пущино: ПНЦ РАН, 1997.

14. Ц. Цеков-Карандаш. О втором золотом сечении. – София, 1983.

15. В.Дроздов. Золотое сечение в физике. Журнал "Квант", 1990 г., №2.

16. Учебник математики 6 класс под ред. Н.Я. Виленкина.

17. Учебное пособие для 10-11 кл. гуманитарного профиля под ред. И.М. Смирновой.

89

к работе «Тайны золотого сечения».

У многих учащихся сформировалось мнение, что геометрия – это «сухой» предмет, который развивает только логику, ум, а искусство воздействует лишь на эмоциональную сферу человека, в которой нет места логике, следовательно, геометрия и искусство – это «лед и пламень».

     Цель предлагаемой работы развеять этот миф. Геометрия – это не только школа логического  мышления, это ещё и источник образов. В чём тайна многих великих художников, скульпторов, архитекторов. Почему одни произведения искусства притягивают человека своей гармонией, а другие отталкивают?

     Есть ли точки соприкосновения у геометрии и искусства? Люди, каких профессий (из мира искусства) используют законы геометрии при создании своих произведений?

Ответы на эти вопросы и многие другие дети должны сформулировать при знакомстве с работой «Тайны «золотого сечения»». Она ориентирована на детей, которые увлекаются искусством, но при этом хотели бы понять логику восприятия художественных произведений человеком.

     Для геометрии необычность этой работы в том, что здесь нет привычных сложных геометрических задач и теорем, выходящих за рамки школьной программы. Наряду с этим содержание курса может заинтересовать и ребят, серьезно занимающихся  математикой, т.к. в этом курсе поднимается вопрос о взаимодействии эстетики с точки зрения формальной математической логики и с позиций восприятия гармонии и красоты человеком. На уроках геометрии практически этот вопрос не поднимается, преобладает красота логики доказательства, красота формул, а красота формообразования в природе и искусстве уходят из поля зрения.

На уроках МХК, в отличие от геометрии, мало исследуются вопросы именно строгой логики в создании шедевров искусства. В будущем, при изучении этого предмета, данный работа поможет детям.

      Работа «Тайны «золотого сечения»» даст возможность детям исследовать вопрос о том, должен ли человек, постигающий тайны искусства и окружающего мира, понимать такие принципы, лежащие в основе устройства многих явлений природы и искусства как симметрия, пропорции.

Данная работа адресована учащимся 5 – 10 классов для самостоятельного чтения и по содержанию тесно примыкает к школьной программе. В ней широко привлекаются исторические сведения, занимательные факты.

Мы, авторы данной работы, надеемся, что вы с удовольствием отправитесь разгадывать «Тайны «золотого сечения»».

Краткое описание документа:

Проектная работа «Тайны золотого сечения» даст возможность детям исследовать вопрос о том, должен ли человек, постигающий тайны искусства и окружающего мира, понимать такие принципы, лежащие в основе устройства многих явлений природы и искусства как симметрия, пропорции.

У многих учащихся сформировалось мнение, что геометрия – это «сухой» предмет, который развивает только логику, ум, а искусство воздействует лишь на эмоциональную сферу человека, в которой нет места логике, следовательно, геометрия и искусство – это «лед и пламень».

Цель предлагаемой работы развеять этот миф. Геометрия – это не только школа логического мышления, это ещё и источник образов. В чём тайна многих великих художников, скульпторов, архитекторов. Почему одни произведения искусства притягивают человека своей гармонией, а другие отталкивают?

Есть ли точки соприкосновения у геометрии и искусства? Люди, каких профессий (из мира искусства) используют законы геометрии при создании своих произведений?

Ответы на эти вопросы и многие другие дети должны сформулировать при знакомстве с работой «Тайны «золотого сечения»». Она ориентирована на детей, которые увлекаются искусством, но при этом хотели бы понять логику восприятия художественных произведений человеком.