Проектно-исследовательская работа на тему: «Построение сечений»

Проектно-исследовательская работа

на тему:

«Построение сечений»

Подготовила:

 учитель математики –

Кирилова Н.Ф.

Краснореченская средняя школа.

2015-16 уч.год.

Содержание

w Введение

w Основная часть

1.                       Теоретическая часть

2.                       Практическая часть

w Заключение

w Список используемых источников

Введение

     Задачи на построение являются традиционными задачами в курсе геометрии. Разработкой методов решения этих задач математики занимаются ещё со времён Древней Греции. Уже математики школы Пифагора (VI в. до н. э.) решили довольно сложную задачу построения правильного пятиугольника. В течение многих веков математики проявляли живейший интерес к задачам на построение. Интерес к этим задачам обусловлен не только их красотой и оригинальностью методов решения, но и большой практической ценностью. Проектирование строительства, архитектура, конструирование различной техники основаны на геометрических построениях.

        В работе рассматриваются различные виды задач на построение сечений многогранников(тетраэдра и параллелепипеда) и методы их решения. Задачи на построение сечений очень увлекательны и интересны, являются важным дополнением к тео­ретическому материалу. Решение этих задач формирует пространственные представления учащихся и развивает конструктивное и логическое мышление. Многократ­ное применение в процессе построе­ния аксиом и теорем способствует их усвоению.

Кроме того, простота в постановке задач делает их привлекательными для учащихся. Тем не менее, даже такая не­сложная задача, как построение сечения куба плоскостью, заданной тремя точками на гранях, нередко вызывает определенные трудности.

Цель проекта

w  Исследовать и рассмотреть различные способы построения сечения в стереометрии.

w  Классифицировать задачи с учетом задания точек сечения и методов построения сечения.

В  ходе решения задач мне стало интересно узнать, а можно ли построить семиугольное   сечение в параллелепипеде, ведь всего в параллелепипеде 8 вершин, 12 рёбер, 6 граней.

Гипотеза

w  Можно ли построить семиугольное сечение при решении задач на построение сечений параллелепипеда ?

Задачи проекта

w  Получить более полное представление о различных видах сечений многогранников.

w  Изучить  различные  способы  построения сечений.

w  Применить  изученный  материал  на практике.

w  Проанализировать  научно-популярную  и занимательную  литературу.

w  Решить задачи,  провести оценку полученных результатов.

Основная часть

Теоретическая часть

Построение сечений призмы, параллелепипеда, пирамиды методом следов. Как правило, в школьном курсе стереометрии используются задачи на построение сечений многогранников, решаемые основными методами. Остальные методы, в связи с их более высоким уровнем сложности, даются для рассмотрения на факультативных занятиях или на самостоятельное изучение.

Понятие многогранников. Сечение.

w  Многогранником называется - тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников

w  Построение сечения многогранника

Для построения сечения многогранника плоскостью нужно в плоскости каждой пересекаемой грани многогранника указать две точки, принадлежащие сечению, соединить их прямой и найти точки пересечения этой прямой с ребрами многогранника.

w  Сечением поверхности геометрических тел называется - плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.

Взаимное расположение многогранника и секущей плоскости:

1)    Многогранник и плоскость не имеют общих точек.

2)    Многогранник и плоскость имеют одну общую точку-вершину многогранника.

3)     Многогранник и плоскость имеют общую грань.

4)     Многогранник и плоскость имеют общий отрезок-ребро многогранника.

Виды сечений:

w  сечение параллельное плоскости основания,

w  диагональное сечение,

w  сечение, параллельное плоскости грани,

w  произвольное сечение.

Виды сечений:

w  треугольное

w  четырёхугольное

w  пятиугольное

w  шестиугольное

Методы построения сечений:

w  Метод следа

w  Метод вспомогательных сечений

w  Метод внутреннего проектирования

w  Комбинированный  метод

Метод следа

Рассмотрим метод следов, применяемый при построении сечений многогранников, а именно при построении сечения куба плоскостью.

Что такое  метод следа?  При построении сечений многогранников в каче­стве вспомогательной прямой часто используется след секущей плоскости (в плоскости грани, удобной для рассмотрения). Такой метод построения сечений на­зывается методом следов.

Задача №1.

Построить сечение призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (точки указаны на чертеже (рис.1).

Решение.

Рис. 1

1.     Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА₁В₁В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.

2.     Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S₁, принадлежащую следу.

3.     Аналогично получаем точку S₂ пересечением прямых QR и BC.

4.     Прямая S₁S₂ - след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.

5.     Прямая S₁S₂ пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D. Аналогично получаем TU и RT.

6.     PQRTU – искомое сечение.

 Метод вспомогательных сечений.

Этот метод построения сечений многогранников является универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются „скученными”.  Рассмотрим вспомогательную плоскость BMK. В этой плоскости уже можно построить прямую KM – «след» сечения. Пусть P – точка пересечения прямых KM и EF. Точка P лежит в плоскости ADC и в плоскости сечения. Однако в этой же плоскости лежит и точка L. Проведем прямую LP – «след» сечения в плоскости ADC, получаем точку N и достраиваем сечение.

Рис. 2

    Рассмотрим теперь общий случай, когда все три точки, задающие сечение, лежат на плоскостях граней, но не на ребрах пирамиды.  Проведем вспомогательную плоскость DKM, пересекающую ребра AB и BC в точках E и F. Теперь построим «след» KM плоскости сечения на этой вспомогательной плоскости и найдем точку пересечения прямых KM и EF – точку P. Так как точки P и L лежат в плоскости ABC, то можно провести прямую, по которой плоскость сечения пересекает плоскость ABC. Теперь можно достроить сечение.

Метод внутреннего проектирования.

    Проиллюстрируем еще один метод построения сечений, который называется методом внутреннего проектирования. Его особенность заключается в том, что с его помощью можно строить сечения, «находясь внутри» многогранника.

    Построим вспомогательную плоскость BLC и в ней отрезок LM . Построим еще одну вспомогательную плоскость DCK. BLDK = E. Точка E при этом принадлежит обеим вспомогательным плоскостям. Пусть LMEC = F. Точка F лежит в плоскости сечения и в плоскости DCK. Теперь проведем прямую KF и найдем точку пересечения этой прямой с DC – точку N, которая тоже принадлежит сечению. Тогда четырехугольник KLNM и будет искомым сечением.

    Можно поступить по-другому и начать с конца. Допустим, что искомое сечение KLNM построено.

    Пусть F – точка пересечения диагоналей четырехугольника KLNM. Проведем прямую DF и обозначим через F1 точку пересечения с гранью ABC. Точка F1 одновременно принадлежит плоскостям AMD и DCK и потому совпадает с точкой пересечения прямых AM и CK, эту точку легко построить. Далее строим точку F как точку пересечения DF1 и LM. Затем находим точку N.

Комбинированный метод

   При построении сечений этим методом на каких-то этапах решения применяются приёмы, изложенные в методе следов или методе внутреннего проектирования, а на других этапах применяются теоремы, изученные в разделе "Параллельность прямых и плоскостей".

Задача №3.

На ребрах ВС и АВ1 параллелепипеда АВСDA1B1C1D1 взяты соответственно точки P и Q. Построим сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через прямую CQ параллельно прямой AP

Решение.

Рис. 3

Построим сначала вспомогательное сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через прямую АР и какую-нибудь точку прямой CQ. Очевидно, что точка С прямой CQ будет для этой цели удобной, так как плоскость АВС, уже имеющаяся на чертеже, как раз проходит и через прямую АР, и через точку С.
Далее на плоскости АВС через точку С проводим прямую СК, параллельную прямой АР. Теперь можно построить искомое сечение. Оно определяется прямыми CQ и CK. (Это построение можно выполнить, находя, например, точку пересечения следа СК секущей плоскости QCK с прямой АВ. Полученная точка пересечения и точка Q лежат обе и в секущей плоскости, и в плоскости грани АА1В1В. Дальнейшее построение ясно.) Многоугольник KLQRC - искомое сечение.

Практическая часть

Задача №1(треугольное сечение)

Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящее через точки M,N,P, которые лежат на ребрах А1В1 , А1D 1, А1А соответственно.

l  Треугольное сечение получается, если точки M, N и P лежат на выходящих из одной вершины рёбрах. Чтобы построить плоскость MNP, достаточно соединить указанные точки отрезками.

Задача №2(четырёхугольное сечение)

Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящее через точки M,N,P, которые лежат на ребрах А1А  ,

D 1D, C1C соответственно.

l  Четырехугольное сечение получается, если точки M, N и P лежат на параллельных  рёбрах. Чтобы построить плоскость MNP, необходимо соединить отрезками точки, принадлежащие одной грани.

l  Затем провести параллельные отрезки на противоположных гранях.

l  Получим  MNKP–четырехугольное сечение.

Задача №3(пятиугольное сечение)

Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью,  проходящее через точки M,N,P, которые лежат на ребрах А1В1, В1С 1, D1D соответственно.

l  Точки  M и N лежат в одной плоскости, строим прямую.

l  Находим точки пересечения прямых MN и C₁D₁,  MN и A₁D₁ лежащих в плоскости A₁C₁B₁.

l  Проводим прямую через точку Р, являющуюся «следом» сечения в плоскости DAA₁.

l  Проводим прямую через точку Р, являющуюся «следом» сечения в плоскости DCC_1.

l  Получим  MNKPQ–пятиугольное сечение.

Задача №4(шестиугольное сечение)

Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью,  проходящее через точки M,N,P, которые лежат на ребрах А1А, AD, C1C  соответственно.

l  Рассмотрим следующее расположение точек  M, N и P.

l   M, N расположены в одной плоскости, соединяем их отрезком.

l  Проводим прямую МN – «след» сечения в плоскости АDD₁. Проводим прямую A₁D₁ и находим точку пересечения МN и A₁D₁.

l  Затем находим точку пересечения прямых DD₁ и MN, проводим прямую через данную точку и точку Р.

l  Находим точку пересечения построенной прямой – «следа» сечения в плоскости DD₁C c прямой   D₁C₁.

l  Проводим прямую через точки X и Z, находим точки пересечения с рёбрами и строим сечение.

l  Получим  MNKPQH–шестиугольное сечение.

Заключение

    Методы построения сечений, широко известные своей универсальностью, применяются в некоторых разделах физики, в теоретической механике, гидравлике, в некоторых разделах высшей математики и других естественных науках и технических дисциплинах высшего образования.

   Задачи на построение сечений очень увлекательны и интересны.

У кого  хорошо развито пространственное мышление,

решение задач на построение сечений не будет вызывать

затруднения. Как можно больше нужно уделять внимания  решению задач, потому, что они развивают логику и пространственное мышление.

 Решение задач на построение развивает такие качества личности, как внимание, настойчивость и целеустремленность, инициативу, изобретательность, дисциплинированность, трудолюбие.

Задачи на построения не просты. Не существует единого алгоритма для решения таких задач. Каждая из них по-своему уникальна, и каждая требует индивидуального подхода для решения. Именно поэтому научиться решать задачи на построение чрезвычайно трудно. Но эти задачи дают уникальный материал для индивидуального творческого поиска учащимися путей решения с помощью своей интуиции и подсознания.

В ходе знакомства учащихся с  данным проектом, они смогут:

·       приобрести  навыки проектной, организаторской деятельности;

·       развивать навыки самостоятельного поиска необходимого учебного материала с помощью информационных технологий;

·       развивать коммуникативные, аналитические способности;

·       получить дополнительные знания по математике;

·       научиться находить и использовать на практике межпредметные связи.

В ходе подготовки проекта приобретаются умения: 

·       работа с различными источниками информации, целенаправленный поиск информации в Интернете;

• создание презентаций.

   Изучив теоретический материал и решив,  достаточное,  на мой взгляд, количество задач, можно опровергнуть выдвинутую мной  гипотезу. Вывод: при построении сечений тетраэдра и параллелепипеда семиугольное сечение получиться не может, так как  наибольшее число сторон многоугольника, полученного в сечении многогранника плоскостью, равно числу граней многогранника.

Список используемых источников

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11 класс. Учебное пособие.
2. Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии для 10 класса. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1997.
3. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. Цыпкин А.Г,  Пинский А.И./Под. редакцией В.И.Благодатских . – М.: Наука.
4.  Гусев В.А., Мордкович А.Г. Справочник по математике. - 3-е изд., прераб. - М.: Просвещение.
5.  Колмогоров А.Н. Математика в её историческом развитии / Под ред. В.А. Успенского. - М. Наука.
6.  Математический энциклопедический словарь. А. М. Прохоров и др. - М.: Советская энциклопедия.
7.  Перельман. Я. И.Занимательная арифметика. - М.: Гос. Изд. Дет. Лит. Мин. Просвещ. РСФСР.
8.  Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учеб. пособие / В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; Под ред. М.И. Сканави.
9.   Электронное издание «1С: Школа. Математика, 5-11 кл. Практикум»
10.    http://slovo.and.ru/z-181099.htm   Задачник
11.    http://www.sch57.msk.ru:8101/collect/smogl.htm  История математики