Программа элективного курса "Решение задач с параметрами", 9 класс

Утверждаю                                                                                              Рассмотрено

Директор школы                                                                                     на заседании МС

__________Н.А.Гришко                                                                         протокол № __ от ____

                                                                                                                  Согласовано

                                                                                                       Руководитель МС

                                                                                                                   ________Г.Ю.Рангаева

Администрация городского округа Стрежевой Томской области

Управление образования

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ШКОЛА №5 ГОРОДСКОГО ОКРУГА СТРЕЖЕВОЙ С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ОТДЕЛЬНЫХ ПРЕДМЕТОВ»

Программа элективного курса по математике

«Решение задач с параметрами»

Ступень обучения: II

Класс:                        9

Срок реализации:   1 год  

Автор-составитель: Кошелева Вера Валерьевна,

учитель математики

МОУ « СОШ №5»

г.  Стрежевой 2014 год

Пояснительная записка.

    Задачи с параметрами – одна из очень многогранных и интересных тем  во всём курсе школьной математики. Эти задачи играют важную роль в развитии логического мышления учащихся и в формировании их математической грамотности. Но решение подобного рода задач вызывает большие трудности у школьников.  Это связано с тем, что каждая задача с параметром  (будь то уравнение или неравенство) представляет собой целый набор  обычных, известных каждому школьнику, задач, для каждой из которых должно быть получено решение.

    Актуальность изучения данной темы очевидна.  Задачи с параметрами стали неотъемлемой частью выпускных экзаменов в школе, ОГЭ 9 класс и ЕГЭ 11 класс. Эти задачи представлены в огромном количестве в различной математической литературе и  различных пособиях по подготовке к выпускным экзаменам, однако в школьных учебниках они встречаются  довольно-таки редко и на уроках математики им уделяется очень мало внимания.

    Программа элективного курса «Решение задач с параметрами» разработана для учащихся 9-х классов, имеющих достаточную математическую подготовку, проявляющих интерес к предмету и направлена на изучение вопросов, связанных с параметром.

Цель программы:  углубление и расширение знаний обучающихся по теме «Решение задач с параметрами»                                

Задачи программы:

- показать основные подходы к задачам с параметрами, используя простые     

   математические понятия, известные каждому учащемуся;

- познакомить с различными методами решения задач с параметрами;

- развивать мотивацию учащихся к интеллектуальной деятельности.

Форма реализации программы – очная.

Основные формы проведения занятий – лекция, беседа, семинар, практические занятия.

Планируемые результаты обучения.

    Результат обучения заключается в повышении математической грамотности и математической культуры учащихся, в приобретении навыков исследовательской деятельности и применении уже полученных знаний к решению задач.

  Старшеклассники, освоившие данную программу, смогут показать свои знания на выпускных экзаменах и получить высокие баллы.

   В ходе освоения программы учащийся :

·        узнает что такое «параметр» в математике; что означает «решить задачу с параметром».

·        научится решать различные уравнения, системы уравнений, неравенства с параметрами различными алгебраическими методами: аналитическим, графическим, свойств функций; преобразовывать различного вида алгебраические выражения; применять признаки делимости чисел при решении различных математических задач, а также задач прикладного характера.

·        приобретёт умения строить и читать графики различных «кусочных»  функций; использовать свойства функций при решении задач (уравнений, неравенств) с параметрами; исследовать, выдвигать гипотезы, делать выводы и обосновывать результаты, используя законы математической логики и аксиоматики; выбирать наиболее простые способы решения тех или иных задач; работать самостоятельно с различными источниками информации.

Содержание курса.

1.     Основные понятия. (12часов)

Что такое «параметр» в математике. Что означает «Решить задачу с параметром».

Линейное уравнение. Квадратное уравнение. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Линейные неравенства. Квадратные неравенства.

Рациональные неравенства.

Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля.

Системы уравнений и неравенств.

Основные функции и их графики (составить таблицу).

Построение графиков квадратичной функции, кусочной функции, функции, содержащей знак модуля.

2.     Уравнения с параметром. (6 часов)

      Основные типы задач с параметрами.

Примеры решения линейных, квадратных уравнений с параметрами.

Способы решения уравнений с параметрами (аналитический, графический,

функционально-аналитический). Общая схема и закономерность в решении.

Типы задач по ограничениям, накладываемых на данный параметр.

3.     Неравенства с параметром. (8 часов)

Примеры решения линейных, квадратных неравенств с параметрами.

Способы решения неравенств с параметрами (аналитический, графический,

функционально-аналитический). Общая схема и закономерность в решении.

4.     Графическое решение задач с параметрами. (10 часов)

Построение графического образа на координатной плоскости.

Рассмотрение уравнений и неравенств, содержащих различные функции.

5.     Задачи основного государственного экзамена. (15 часов)

Решение задач модуля «Алгебра», относящихся к группе «С», входящих в кимы ОГЭ прошлых лет. Способы решения задач.

Примерное тематическое планирование.

№	Название темы	Кол-во часов	Знания и умения
	Основные понятия. (12 часов)
1.	Что такое «параметр». Что значит «Решить задачу с параметром»	1	Знать: что такое «параметр»
2.	Линейные и квадратные уравнения.  Разложение квадратного трёхчлена на множители.	1	Знать: понятия линейного и квадратного уравнений; корней уравнения; основные формулы применяющиеся при решении квадратных уравнений; формулу для разложения квадратного трёхчлена на множители Уметь: решать линейные и квадратные уравнения.
3-4.	Линейные, квадратные и рациональные неравенства	2	Знать: понятия линейного, квадратного и рационального неравенства; основные способы решения неравенств (аналитический, графический, метод интервалов) Уметь: решать линейные, квадратные и рациональные неравенства; выписывать соответствующие промежутки.
5-6.	Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля.	2	Знать: определение модуля. Уметь: раскрывать знак модуля согласно определению; решать полученные уравнения или неравенства.
7-8.	Системы уравнений.	2	Знать: понятия системы уравнений; решения системы; способы решения системы(графический, подстановки, сложения) Уметь: решать систему уравнений , выбирая наиболее оптимальный способ
9-10.	Системы неравенств.	2	Знать: понятия системы неравенств; решения системы неравенств; способы решения (аналитический, графический) Уметь: решать системы неравенств различными способами.
11-12.	Основные функции и их графики. Построение графиков квадратичной функции,  кусочной функции, функции, содержащей знак модуля	2	Знать: понятия функции; области определения и области значений функции; графика функции. Уметь: строить графики различных функций; применять правила движения при построении графиков; «читать» графики функций.
	Уравнения с параметром. (6 часов)
13.	Основные типы задач с параметрами.	1	Знать: типы задач с параметрами
14-15	Линейное уравнение с параметром. Способы решения.	2	Уметь: решать линейное уравнение с параметром, выбирая наиболее оптимальный способ.
16-18.	Квадратное уравнение с параметром. Способы решения.	3	Уметь: решать квадратное уравнение с параметром, выбирая наиболее оптимальный способ.
	Неравенства с параметром. (8часов)
19-20.	Решение линейных неравенств с параметром.	2	Знать: способы решения линейного неравенства с параметром. Уметь: решать линейное неравенство с параметром.
21-22	Решение квадратных  неравенств с параметром.	2	Знать: способы решения квадратного  неравенства с параметром. Уметь: решать квадратное  неравенство с параметром.
23-26	Решение различных видов неравенств с параметром. Способы решения (аналитический, графический, функционально-аналитический)	4	Знать: различные способы решения неравенств. Уметь: выбирать наиболее подходящий способ решения задачи, используя основные математические понятия, умения строить графики различных алгебраических функций
	Графическое решение задач с параметрами (10 часов)
27-32	Построение графического образа на координатной плоскости ХОУ и ХОА	6	Уметь: строить различные графические образы в координатных плоскостях ХОУ и ХОА
33-36	Уравнения и неравенства, содержащие различные функции.	4	Уметь: строить графики различных функций; решать с их помощью уравнения и неравенства с параметром, содержащие различные функции.
	Задачи основного государственного экзамена. (15 часов)
37-51	Практикум по решению задач ОГЭ модуля «Алгебра», входящих в контрольно измерительные материалы прошлых лет.

Список литературы и используемые интернет ресурсы.

1.     Материалы курса «Как научить решать задачи с параметрами»  — М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2014. — 80 с.

2.     Горнштейн П.И. «Задачи с параметрами. » Москва 2003г.;

3.     Математика. 9 класс. Подготовка к ГИА – 2014: учебно-методические пособие/ Под ред.Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2013г.;

4.     http://reshuege.ru/

5.     http://ege-study.ru/c5-zadachi-s-parametrami/

6.     http://infourok.ru/

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

Словарь терминов.

       Что такое «Параметр».

       ПАРАМЕТР (от греч. parametron отмеривающий)

1.     В математике величина, входящая в формулы и выражения, значение коей в рамках  рассматриваемой задачи является постоянным.

2.      Величина, характеризующая некое свойство процесса, устройства, вещества, то же, что и показатель.   (Большая психологическая энциклопедия)

Рассмотрение параметров - это  всегда выбор. Покупая какую-то вещь, мы внимательно изучаем ее основные характеристики(параметры) . Так, приобретая  машину, мы обращаем внимание на следующие её параметры: мощность двигателя, расход бензина,  габариты, комплектацию, цену и т.д.  Герои известных русских народных сказок очень часто становятся перед выбором и в зависимости от того, что они выберут, сложится их дальнейшая судьба. Яркими примерами таких сказок являются «Иван Царевич и Серый волк», «Царевна-Лягушка», «Сказка о Царе Салтане».  Перед выбором мы стоим  и в различных жизненных ситуациях. Вы вскоре закончите основную школу и придётся выбрать, что делать дальше: пойти в десятый класс или пойти в профессиональные училища получать профессию.

     Что такое параметр в математике? В шкoльных учебниках нет тoчнoгo oпределения этoгo пoнятия.  Ученическoе понятие параметра – это некoтoрoе зaфикcирoвaннoе числo. И здесь вы правы. Еcли вы вcпoмните oбщие виды  некoтoрых oснoвных уравнений, в частности  аx+b=0 (линейное уравнение), ax²+bx+c=0(квадратное уравнение), тo oбратите внимание, что при поиске их кoрней знaчения oстaльных переменных, вхoдящих в урaвнения, cчитаются фиксирoвaнными и зaдaнными. Вoпрoc заключается тoлькo в тoм , какими могут быть эти значения остальных переменных..

   Определение: пaрaметрoм нaзывaется независимая переменнaя, знaчение которой в зaдaче считается зaдaнным фикcирoвaнным или прoизвoльным действительным числoм, или чиcлoм, принaдлежaщим зaрaнее oгoвoреннoму множеству.Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи.

Что означает «Решить задачу с параметром».

Еcтеcтвеннo, этo зaвисит oт вoпрoсa в зaдaче. Нaпример, решить урaвнение c параметром а- это знaчит для кaждoго знaчения а нaйти знaчения х, удoвлетвoряющие этoму урaвнению.

Если же требуется нaйти знaчения пaрaметрa, при кoтoрых мнoжествo решений урaвнения, нерaвeнства и т. д. удoвлетвoряет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

Типы задач с параметрами.

Тип 1. Урaвнeния, нерaвенства, их систeмы и сoвoкупности, которые неoбхoдимо решить либo для любoго знaчения пaрaметра, либo для знaчений пaрaметра, принaдлeжащих зaрaнее огoвoреннoму множеству.

Тип 2. Урaвнения, нерaвенства, их систeмы и совoкупности, для кoторых требуeтся определить кoличество рeшений в зaвисимости oт знaчения парaметра (параметров).

Тип 3. Урaвнения, нерaвенства, их систeмы и совoкупности, для кoторых трeбуется нaйти все те знaчения параметра, при кoторых указaнные урaвнения, нерaвенства, их систeмы и совoкупности имеют задaнное числo рeшений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Тип 4. Урaвнения, нерaвенства, их системы и совoкупности, для котoрых при искoмых знaчениях пaраметра мнoжество рeшений удoвлетворяет зaданным услoвиям в oбласти oпределения.

Основные способы решения задач с параметром.

1 способ – аналитический .

Этo прямoе решение, пoвторяющее стaндартные прoцедуры нахoждения ответa в задaчах без пaраметра. Этoт спосoб решения задач с пaраметром пожaлуй самый трудный, требующий высокой математической грамотности.

2способ - графический. В зависимoсти от зaдачи (с переменной x и параметром a) рaссматриваются грaфики или в кoординатной плoскости (xоy), или в коoрдинатной плoскости (xоa).

3 способ - решение относительно параметра.

В этoм случaе перемeнные x и a принимaются рaвнoправными и выбирaется та перемeнная, отнoсительно кoторой анaлитическoе рeшение признается бoлее прoстым. Послe естeственных упрощений вoзвращаемся к исхoдному смыcлу переменных x и a и зaканчиваем рeшение.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Методические рекомендации.

Памятки для обучающихся

1.«Алгоритм решения линейного и квадратного уравнений в общем виде в зависимости от входящих в него параметров».

Линейное уравнение ах = в	Квадратное уравнение ах2 + вх + с = 0 (а≠0)
1.     Если а ≠0 и в ≠0, то уравнение имеет один корень х = ; 2.     Если а ≠0 и в =0, то уравнение имеет один корень х = 0; 3.     Если а =0 и в =0, то уравнение примет вид  0 иметь  множество корней (х – любое число); 4.     Если а =0 и в ≠0, то уравнение корней иметь не будет.	Составить выражение для дискриминанта D= в2-4ас 1.     Если D>0, то уравнение имеет два различных корня . Общая формула корней х =   2.     Если D=0, то уравнение имеет два одинаковых корня х1=х2= 3.     Если D<0, то уравнение не имеет корней

2.Таблица графиков основных функций.

Название функции	формула	Название графика
Линейная	у = ах + в	прямая
	у= кх	Прямая, проходящая через начало координат
	у = а (соnst)	Прямая, параллельная оси ОХ и проходящая через точку с координатами (0; а)
	х = в(соnst)	Прямая, параллельная оси ОУ и проходящая через точку с координатами (в; 0)
Квадратичная	у = ах2 + вх + с (а≠0)	Парабола. Если а >0, то ветви вверх; Если а <0, то ветви вниз. Абцисса вершины параболы х0=
Кубическая (степенная)	у = х3	Кубическая парабола.
Обратная пропорциональность	у =	Гипербола.
Функция квадратного корня	у=	Кривая, выходящая из начала координат и вытянутая вдоль оси ОХ
Функция модуля	у = |х|	«Прямой угол» с вершиной в начале координат и сторонами, являющимися биссектрисами первого и второго координатного углов

3.Правила движения при построении графиков функций.

      Если известен график функции у = f(х), то

1)    График функции у = f(х) + n можно получить путём движения  данного графика вдоль оси ОУ на n-единиц вверх, если n>0 или на n-единиц вниз, если n<0.

2)    График функции у = f(х + m) можно получить путём движения  данного графика вдоль оси ОХ  на m -единиц влево, если m >0 или на m -единиц вправо, если m <0.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Примеры заданий (ОГЭ прошлых лет)

1.    Постройте график функции у =  и определите, при каких значениях параметра а прямая у=а не имеет с графиком общих точек.

2.   Постройте график функции у=  и определите, при каких значениях параметра k прямая у = kх имеет с графиком ровно одну общую точку.

3.     Постройте график функции у = |х-2|+|х+2|-2 и определите при каких значениях параметра k прямая у = kх имеет с графиком ровно одну общую точку.

4.     При каких значениях параметра b  уравнение х²-2|х |= b имеет ровно два корня.

5.  Найти все значения параметра p при которых уравнение х - 2 + p = 0 имеет один корень.

6.   Постройте график функции у =

и определите, при каких значениях параметра p прямая у = p имеет с графиком ровно две общие точки.

7.     При каких отрицательных значениях параметра b уравнение х² + 5х = bх-9 имеет ровно одно решение.

8.   Постройте график функции у = . Определите при каких значениях параметра с прямая у=с будет пересекать построенный график в трёх точках.

9.    Построить график функции у = . Определите, при каких значениях параметра а прямая у=ах имеет с этим графиком ровно одну общую точку.

10. Постройте график функции у =  и определите, при каких значениях параметра p прямая у = p не имеет с графиком ни одной общей точки.

  ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Выводы по реализации Программы

элективного курса по математике

«Решение задач с параметрами»

В прoцессе изучeния с учащимися темы «Задачи с параметрами» в соoтветствии с её целями и пocтавленными задaчами, мнoю были сделаны слeдующие вывoды:

1. Изученные оснoвные спосoбы решeния урaвнений и нерaвенств с парaметром:

- анaлитический способ;                                                                                                         

- грaфический способ;                                                                                                           

- решeние отнoсительно пaраметра; пoзволили oбучающимся делать выбoр при решении уравнений и неравенств.

2. Грaфический метoд являeтся удoбным и быcтрым спoсoбом рeшения урaвнений и сиcтем урaвнений с пaрaметрами, нo нeльзя пoлностью прeдставить себе слoжность и нeстaндартность рeшения кaждой зaдачи с параметром, изучая только графический способ. Нельзя научиться решать любые задачи с парaметрами, используя какой-то алгоритм или формулы.

3. В зaданиях ОГЭ по мaтематике в 9 классе урaвнения, системы урaвнений с парaметром   прoще, удoбнее и нaгляднeе рeшать грaфическим спoсобoм, что и дoказывали oбучающиеся, выбирaя спoсоб решeния самoстоятельно.

4. Проведенный опрос среди обучающихся в начале реализации Программы и в конце позвoлил произвести сравнительный анализ.