Рабочая программа курса по выбору по математике "Путешествие в страну многочленов"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Иркутского районного муниципального образования

«Смоленская средняя общеобразовательная школа»

Рассмотрено МО __________ Протокол № 1 От «__»_______201_г. Руководитель МО _____________________

Согласовано «__»_______201_г Зам директора по УВР ____________________ С Методическим советом Протокол №___ от «__»____201__г.

Утверждаю Приказ № ________ от «___»_____201_г. Директор МОУ ИРМО       «Смоленская средняя   общеобразовательная школа» _______О.В. Хорошилова

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

КУРСА ПО ВЫБОРУ  ДЛЯ УЧАЩИХСЯ  10-11  КЛАССА ПО ТЕМЕ: «ПУТЕШЕСТВИЕ В СТРАНУ МНОГОЧЛЕНОВ» 

Учитель математики: Бабкина Анастасия Валентиновна

с.Смоленщина

2016

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

       Теория многочленов является одной из самых содержательных теорий современной алгебры. Её методы интересны, не трудоёмки для изложения и приводят к глубоким результатам, имеющим многочисленные приложения. Важность теории многочленов состоит в том, что с помощью многочленов можно получить хорошие приближения различных функций, что позволяет применять теорию многочленов во многих вычислительных методах.

В программе по математике основной школы теме «Многочлены» уделяется большое внимание. Учащиеся овладевают навыками сложения и вычитания, умножения многочленов от одной и нескольких переменных. Значительное место отводится заданиям, связанным с разложением многочленов на множители, решению алгебраических уравнений.

При изучении математики в курсе основной школы основной упор делается на изучение квадратного трёхчлена, а в старшей школе тема «Многочлены» не изучается. И часто учащиеся, встретив в задании многочлены 3-ей, 4-ой степени от одной переменной, затрудняются выполнять какие-либо операции с ними. Сказывается отсутствие необходимых навыков.

За пределами школьного курса базового уровня остаются некоторые методы отыскания корней многочленов, операции деления многочлена на многочлен. Данные темы изучаются лишь в 11 классе в профильной школе.  В связи с этим школьники лишены возможности решить некоторые алгебраические уравнения высших степеней (в том числе возвратные, однородные), приемы, решения которых тесно связаны с отысканием корней многочленов. Между тем, таким заданиям отводится значительное место в экзаменационных заданиях.

Все вышесказанное – есть актуальность создания данной программы.

Настоящая программа предназначена для учащихся 10-11 класса общеобразовательной школы и рассчитана на 52 часа (1 час в неделю) – 3 четверти.

В программе курса заложена возможность дифференцированного обучения, как путём использования задач различного уровня сложности, так и на основе различной степени самостоятельности осваивания нового материала. Следовательно, программа применима для самых разных групп школьников. Основное содержание курса опирается на необходимый минимум знаний, но предназначен он для учащихся, интересующихся математикой.

Первые занятия по этому курсу предполагают повторение уже известных школьнику фактов на новом уровне. Далее сложность излагаемых вопросов постепенно нарастает, однако, она такова, что к изучению рассматриваемых разделов теории можно привлечь сравнительно большое число учащихся, не обязательно ориентированных на математику. В курсе предлагаются задания различной степени сложности, которые должны удовлетворить запросу учащихся с разными учебными возможностями. Каждое положение теории многочленов сопровождается примерами. Материал этого курса интересен, доступен и не требует специальной предшествующей подготовки. Все теоретические обоснования и выводы даются на интуитивном уровне, без строгого доказательства, иллюстрируются доступными для всех учащихся конкретными примерами. Часть предлагаемых к изучению вопросов находит своё место и в обычных учебниках для общеобразовательной школы (в виде дополнительного материала), а также в учебниках профильной школы.

Учителю необходимо позаботиться о создании комфортных условий процесса овладения знаниями. Для этого предполагается, что каждый учащийся получит карточки-опоры, которые разработаны по всем темам. Изложенные в карточке необходимые положения и алгоритмы конкретных операций окажут помощь в выполнении заданий. Для самостоятельной работы предлагаются как задания, выполняемые по алгоритму, так и задания, требующие применения знаний в новых ситуациях.

Данный курс будет способствовать совершенствованию и развитию математических знаний и умений, формированию интереса к предмету, поможет учащимся оценить свои способности.

Овладевая довольно сложными математическими преобразованиями многочленов высших степеней, школьникам придется постоянно анализировать, классифицировать, перебирать различные варианты решений, отыскивать наиболее рациональные способы, выполнять самоанализ и при этом быть предельно внимательными и точными.

Данный курс поможет создать более целостное представление о многочленах от одной переменной, вызовет интерес к способу их преобразований, тем самым обеспечивается мотивация к выбору обучения, связанного с математикой. Готовясь к семинару и выполняя итоговую контрольную работу, учащиеся столкнутся с необходимостью выделять главное, обобщать, систематизировать материал.

Предлагаемый курс более подробно и углубленно рассматривает вопросы, освещенные в курсе математики основной школы, излагает дополнительный материал, не включенный в программу базового школьного курса. Программой курса запланировано освоение учащимися объема знаний, необходимого для овладения ими методами решений уравнений, способами деления многочленов, разложения многочленов на множители и др.

Цель курса:

Изучение основных теоретических положений по теории  многочленов от одной переменной и расширение методов и приемов решения алгебраических уравнений высших степеней. Формирование и систематизация навыков использования соответствующего математического аппарата на практике.

Задачи курса:

-обобщение и систематизация знаний по теории многочленов

-реализация внутри предметных связей, способствующая лучшему усвоению материала.

-овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения при решении задач.

-интеллектуальное развитие учащихся, формирование алгоритмической, логической и эвристической составляющих мышления.

-создания условий успешной сдачи выпускных  экзаменов, а также формирование базы для продолжения математического образования в вузах

Изучение теории многочленов поможет ученику с единых позиций взглянуть на многие задачи математики, успешно решать сложные уравнения и неравенства (в том числе и в заданиях ЕГЭ), почувствовать связь между чистой и прикладной математикой. Школьники, изучившие данный материал, смогут применять его при решении олимпиадных, конкурсных и прикладных задач.

Требования к уровню подготовки учащихся

 Должны знать:

-  общее определение многочлена

- формулы сокращенного умножения

-действия с многочленами

-метод неопределенных коэффициентов

-способы разложения многочлена на множители

-способы решения уравнений высших степеней

-алгоритм деления многочленов

 Должны уметь:

- производить  основные операции над многочленам

-возводить многочлен в степень

- раскладывать многочлен на множители

-находить перебором целые и рациональные корни многочлена

-применять теорему Виета для нахождения неизвестных коэффициентов многочлена

- выделять  полный квадрат

-делить многочлен на многочлен «столбиком»

- применять теорему Виета

-уметь подбирать корни многочлена и выполнять разложение его не множители;

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности

- при решении практических расчетных задач

-для устной прикидки и оценки результатов  вычислений

-при записи математических утверждений.

Предусматривается организация учебного процесса в двух взаимосвязанных и взаимодополняющих формах:

- урочной форме, в которой учитель объясняет новый материал и консуль­тирует учащихся в процессе выполнения ими практических заданий;

- внеурочной форме, в которой учащиеся после занятий самостоятельно выполняют практические задания.

Формы организации занятий: лекция, практикум по решению задач, дискуссия, семинар. На всех типах занятий предполагается активный диалог с учащимися

Виды организации работы: фронтальная и групповая работа.

Вид курса: расширяющий и углубляющий базовый курс.

Формы контроля знаний и умений: текущий контроль уровня усвоения материала осуществляется на каждом уроке по результатам выполнения практических заданий, выполняя которые учащиеся должны убедиться, что основной материал ими понят и усвоен, контроль по разделу (самостоятельная работа)

Форма итогового контроля:

1.        Итоговая контрольная  работа

2.        Выступление с докладом на семинаре по одной из тем:

1)      Возвратные уравнения. Решение возвратных уравнений четной и нечетной степени.

2)      История открытия формулы Кардано.

3)      Метод Феррари для решений уравнений четвертой степени.

4)      Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида.

5)      Основная теорема алгебры многочленов.

6)      Симметрические многочлены. Метод неопределенных коэффициентов. Решение симметрических уравнений.

7)      Теорема Безу. Корни многочлена.

8)      Теоремы о границах корней многочленов.

9)      Теоремы о числе действительных корней многочлена (Штурма, Бюдана-Фурье, Декарта)

10)  Франсуа Виет, его жизнь и творчество (развитие теории уравнений).

По окончании курса  учащимся выдается свидетельство, подтверждающее освоение курса. 

В результате изучения программы учащиеся будут:

  ЗНАТЬ:

ü  основные понятия теории многочленов, виды многочленов и основные свойства степеней и коэффициентов многочлена

ü  опера­ции сложения многочленов, умножения и деления многочленов   и основные свойства данных действий

ü  свойства делимости многочленов, делимость многочленов нацело и с остатком.

ü  теорему Безу, ее доказательство и следствия

ü  понятие комплексного числа и геометрическую интерпретацию комплексных чисел

ü  понятие комплексной плоскости, определение модуля и аргумента комплексного числа

ü  способы разложения многочлена на множители.

ü  понятия возвратных и однородных уравнений

ü  теорему о корнях уравнения  с целыми коэффициентами и следствие их неё

ü  связь теории многочленов с реальной математикой

  УМЕТЬ:

ü  приводить многочлен к стандартному виду

ü  подбирать корни многочлена и выполнять разложение его не множители;

ü  применять способ умножения многочленов с одной переменной в «столбик»

ü  применять теорему Безу

ü  делить многочлены «уголком»

ü  применять Алгоритм Евклида

ü  находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное многочленов

ü  выделять действительную и мнимую часть, находить модуль и аргумент комплексного числа

ü  находить алгебраическую и тригонометрическую форму записи комплексных чисел

ü  возводить  комплексное число в натуральную степень, применять формулу Муавра

ü  выполнять операции над комплексными числами: сложение комплексных чисел, нахождение обратного числа, комплексно-сопряженного, извлечение квадратного корня из комплексного числа

ü  применять способы разложения многочлена на множители

ü  находить значение многочлена по схеме Горнера

ü  применять алгоритмический подход к нахож­дению частного и остатка при делении многочленов

ü  находить кратность корня многочлена по схеме Горнера

ü  отыскивать корни в зависимости от принадлежности к определенному множеству

ü  отыскивать корень среди делителей сводного члена

ü  применять метод подстановки

ü  применять общий способ решения уравнений с помощью выделения полного квадрата, метод неопределенных коэффициентов и метод подстановки

ü  решать уравнения высших степеней методом замены переменных, подбором корней среди делителей свободного члена;

ü  применять теорию многочленов в решений заданий ЕГЭ 

СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ

I . Основные понятия теории многочленов. Операции над многочленами от одной переменной

Многочлен. Виды многочленов. Многочлен от одной переменной. Стандартный вид многочлена. Коэффициенты многочлена. Степень многочлена. Свойства степеней и коэффициентов многочлена. Приведенный и неприведенный многочлены. Равен­ство многочленов в алгебраическом смысле. Сложение и вычитание многочленов и их свойства. Умножение многочлена на многочлен. Позиционное число многочлена. Умно­жение многочленов в столбиковой форме.

Лекции, в которых приводятся основные понятия теории многочленов. Разобраны основные свойства степеней и коэффициентов многочлена. Приведены примеры заданий и разобраны их решения.

Лекции, в которых определены опера­ции сложения многочленов и умножения многочлена на многочлен и рассмотрены основные свойства данных действий

Практикум по теме «Приведение многочленов к стандартному виду»

Практикум по решению задач. Основа практикума — известный каждому школьнику способ умножения многозначных чисел в столбик, перенесенный на умножение многочленов с одной переменной.

II.  Делимость многочленов от одной переменной. Свойства делимости многочленов

Деление многочлена на многочлен. Свойства делимости многочленов. Деление многочленов нацело. Деление  многочленов с остатком. Теорема Безу. Формулировка и доказательство теоремы Безу. Следствия из теоремы Безу. Делимость многочленов «уголком». Алгоритм Евклида. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное многочленов.

Лекция с разбором примеров. Историческая справка о математике Э. Безу. Формулируется теорема Безу,  рассматриваются примеры ее применения.

Лекция по теории алгоритма Евклида. Историческая справка о математике Евклиде.

Практикумы по решению задач. Рассматриваются примеры записи деления многочлена на многочлен «уголком», аналогичный записи при делении много­значных чисел, применение теоремы Безу и Алгоритм Евклида.

III. Комплексные числа

Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры.

Лекции с разбором примеров. Вводится понятие «Комплексные числа»  как расширение множества вещественных чисел. Вводится понятие комплексной плоскости; определение модуля и аргумента комплексного числа; тригонометрическая форма записи комплексного числа, умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме; формула Муавра; равенство комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме; кубический корень из единицы.

Практикумы по решению задач. Рассматривается геометрическая интерпретация комплексных чисел. Задания на нахождение действительной и мнимой части, модуля и аргумента комплексного числа. Рассматриваются следующие операции над комплексными числами: сложение комплексных чисел, нахождение обратного числа, комплексно-сопряженного, извлечение квадратного корня из комплексного числа.

Применение формулы Муавра.

IV. Значения и корни многочленов. Разложение на множители. Схема Горнера.

Способы разложения многочлена на множители. Нахождение значений многочлена по схеме Горнера. Алгоритмический подход к нахож­дению частного и остатка при делении многочленов. Многочлены над полем действительных чисел. Многочлены над полем рациональных чисел. Многочлены над полем комплексных чисел С

Лекция с разбором примеров. Приводится алгоритм схемы Горнера в общем случае и рассматриваются примеры решения задач с использованием этого метода.

Нахождение кратности корня многочлена по схеме Горнера. Рассматриваются другие способы разложения многочлена на множители. Рассматриваются многочлены, а в частности их корни, в различных полях.

Практикумы по решению задач по схеме Горнера и отыскание корней в зависимости от принадлежности к определенному множеству.

V. Решение алгебраических уравнений высших степеней

Отыскание корня среди делителей сводного члена. Метод подстановки. Общий способ решения уравнений с помощью выделения полного квадрата. Возвратные уравнения. Однородные уравнения. Метод неопределенных коэффициентов. Теорема о корнях уравнения вида с целыми коэффициентами. Следствие их неё. Замена переменных (метод подстановки). Возвратные (симметрические), однородные алгебраические уравнения. Метод неопределённых коэффициентов.

Лекция с разбором примеров. Рассмотрены основные теоретические аспекты темы: «Решение алгебраических уравнений высших степеней»

Практикумы по решению уравнений высших степеней. Рассмотрены способы решения и методы, применяемые в решении таких уравнений.

VI. Применение теории многочленов в решений заданий ЕГЭ. Связь теории многочленов с реальной математикой.

Практикумы по решению задач из ЕГЭ на применение темы и пройденного материала. Подборка заданий из ЕГЭ и задачи из раздела «Реальная математика»

Учебно-тематический план

№ п/п	Наименование темы	Количество часов	Форма занятия
I . Основные понятия теории многочленов. Операции над многочленами от одной переменной (8 часов)
1	Многочлен. Виды многочленов. Многочлен от одной переменной. Стандартный вид многочлена. Приведение к стандартному виду многочлена. Коэффициенты многочлена. Степень многочлена. Свойства степеней и коэффициентов многочлена. Приведенный и неприведенный многочлены.	2	Лекция + Практикум
2	Сложение и вычитание многочленов и их свойства. Умножение многочлена на многочлен	2	Лекция + Практикум
3	Самостоятельная работа №1 по теме: «Многочлены. Приведение к стандартному виду многочлена»	1	Самостоятельная работа
4	Позиционное число многочлена. Умно­жение многочленов в столбиковой форме.	2	Практикум
5	Самостоятельная работа №2 по теме: «Сложение, вычитание и  умножение многочленов»	1	Самостоятельная работа
II.  Делимость многочленов от одной переменной.  Свойства делимости многочленов   (7 часов)
1	Деление многочлена на многочлен. Свойства делимости многочленов. Деление многочленов нацело. Деление  многочленов с остатком. Теорема Безу. Следствия из теоремы Безу.	3	Лекция(1) + Практикум (2)
2	Делимость многочленов «уголком». Алгоритм Евклида. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное многочленов.	3	Лекция(1) + Практикум (2)
3	Самостоятельная работа №3 по теме: «Делимость многочленов от одной переменной»	1	Самостоятельная работа
III. Комплексные числа (8 часов)
1	Поле комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи.	3	Лекция(1) + Практикум (2)
2	Сопряжённые числа.	1	Практикум
3	Возведение в степень и извлечение корней	3	Лекция(1) + Практикум (2)
4	Самостоятельная работа №4 по теме: «Комплексные числа»	1	Самостоятельная работа
IV. Значения и корни многочленов. Разложение на множители. Схема Горнера (15 часов)
1	Способы разложения многочлена на множители.	1	Практикум
2	Нахождение значений многочлена по схеме Горнера.	3	Лекция(1) + Практикум (2)
3	Самостоятельная работа №5 по теме: «Схема  Горнера»	1	Самостоятельная работа
4	Многочлены над полем действительных чисел	3	Лекция(1) + Практикум (2)
5	Многочлены над полем рациональных чисел	3	Лекция(1) + Практикум (2)
6	Многочлены над полем комплексных чисел С	3	Лекция(1) + Практикум (2)
7	Самостоятельная работа №6 по теме: «Корни многочленов. Разложение на множители»	1	Самостоятельная работа
V. Решение алгебраических уравнений высших степеней (8 часов)
1	Отыскание корня среди делителей сводного члена. Метод подстановки.	2	Практикум
2	Общий способ решения уравнений с помощью выделения полного квадрата	1	Практикум
3	Возвратные уравнения	1	Лекция + Практикум
4	Однородные уравнения	1	Лекция + Практикум
5	Метод неопределенных коэффициентов	2	Практикум
6	Самостоятельная работа №7 по теме: «Решение алгебраических уравнений высших степеней»	1	Самостоятельная работа
VI	Применение теории многочленов в решений заданий ЕГЭ. Связь теории многочленов с реальной математикой.	3	Лекция(1) + Практикум (2)
VII	Итоговая контрольная работа	1	Самостоятельная работа
VII	Итоговое занятие. Защита докладов и самостоятельных работ	2	Семинар
Итого:		52

Литература

1.      Виленкин, Н. Я. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики /Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – Москва: Просвещение, 1996. – 335 с.

2.      Виленкин, Н. Я. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики /Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – Москва: Просвещение, 1996. – 288 с.

3.      Галицкий, М. Л. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. - Москва: Просвещение, 1997. – 271 с.

4.      Болдырева, М. Х. Факультативный курс по математике, 8 класс. Материалы для учащихся и учителей математики / М. Х. Болдырева, Ю. П. Карпухин,  Г. А. Клековкин, Л. М. Рудман. -  Самара: СИПКРО, 1997. – 142 с.

5.      Лысенко, Ф. Ф. Математика ЕГЭ – 2007. Вступительные экзамены. Пособие для самостоятельной подготовки / Ф. Ф. Лысенко, В. Ю. Калашников, А. Б. Неймарк, О. Е. Кудрявцев, Д. А. Мальцев. -  Ростов – на – Дону: Легион, 2006. – 416 с.

6.      Максютин, А. А. Математика – 10. Учебное пособие для 10-х математических классов, лицеев и гимназий / А. А. Максютин. -   Самара, 2002. – 588 с.

7.      Максютин, А. А. Дидактические материалы для подготовки к Единому государственному экзамену по математике: В помощь выпускнику и абитуриенту / А. А. Максютин. – Самара: Корпорация «Федоров», Изд. «Учебная литература», 2002. – 64 с.

8.      Шарыгин, И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 10 класса средней школы /И. Ф. Шарыгин. - Москва: Просвещение, 1989. – 252 с.

9.      Шарыгин И. Ф. Математика для школьников старших классов /И. Ф. Шарыгин. -  Москва: Дрофа, 1995. – 491 с.

10.  ДорофееваГ.В. Многочлены с одной переменной. М.: Просвещение, 2005.

11.  Волков Д. О некоторых нетрадиционных способах умножения много­членов одной переменной // Учебно-методическая газета «Математика». 2006. № 17.

12.  Абрамов А.М., Виленкин Н.Я., Дорофеев Г.В. Избранные вопросы математики. Факультативный курс. – М., Просвещение, 1980. – 191 с.

13.  Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. – М.: Просвещение, 1980.

14.  Гриншпон С.Я., Гриншпон И.Э. Элементы теории многочленов. – ТОИПКРО, 1995.

15.  Дорофеев Г.В., Пчелинцев С.В. Многочлены с одной переменной: Книга для учащихся. – М., Просвещение, 2001. – 143 с.

16.  Дорофеев Г.В. Значимость в школьном курсе темы «Многочлены с одной переменной» // Математика в школе. – 1995. – № 4. – С. 42- 45.

17.  Писаревский Б.М. Корни многочлена // Математика в школе. – 2005. – № 8. – С. 41- 43.

18.  Сборник программ курсов по выбору по математике и информатике для предпрофильной подготовки учащихся. –М.: Глобус, 2007.