Работа на НОУ по математике "Бесподобное подобие"

XXV юбилейный городской конкурс учебно-исследовательских 
                                          работ учащихся

               Управление образования администрации г. Кунгура

        Научное общество учащихся

                                                                                                          секция

                                                                                                         Геометрия

     

Автор работы:

                             Кустова Екатерина                                                                   МАОУ СОШ № 13

                                                                  8«а» класс

Руководитель:

 Гладких Татьяна Григорьевна

МАОУ СОШ №13

                                                                     учитель математики

                                                                                                     высшей категории

                                                  Кунгур,2017

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение……………………………………………………………………………3

Глава 1. Бесподобное подобие

1.1.  Из истории подобия ………………………………………………………….5

1.2.  Понятие подобия ……………………………………………………………..6

1.3.Способы измерения предметов с применением подобия

      1.3.1. Первый способ измерения высоты предмета………………………….8

      1.3.2. Второй  способ измерения высоты предмета………………………….9

      1.3.3. Третий  способ измерения высоты предмета…………………………..11

Глава 2. Использование подобия треугольников на практике

2.1.  Измерение высоты объекта…………………………………………………..12

      2.1.1.  По длине тени………………………………….. ………………………12

      2.1. 2. С помощью  шеста………………………………………………………13

      2.1.3. С помощью зеркала……………………………………………………...13

      2.1.4. Как поступил сержант…………………………………………………...14

      2.1.5. Не приближаясь к дереву ……………………………………………….16

2.2.Очистка пруда. …………………………………………………........................17

      2.2.1. Способы очистки водоемов……………………………………………..17

      2.2.2. Измерение ширины пруда………………………………………………18

Заключение …………………………………………………………………… … ..22

Список литературы ………………………………………………………………...23

 fe

Подобие красоты

Порой не замечаем мы,

Мы говорим « Подобен Божеству»,

Подразумевая идеал.

fe

 ВВЕДЕНИЕ             

Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Геометрия зародилась в глубокой древности. Строя жилища и храмы, украшая их орнаментами, размечая землю, измеряя расстояния и площади, человек применял свои знания о форме, размерах и взаимном расположении предметов, полученные из наблюдений и опытов. Почти все великие ученые древности и средних веков были выдающимися геометрами. Девиз древней школы был: «Не знающие геометрии не допускаются!»

  В наше время геометрические  знания по-прежнему находят широкое применение в строительстве, архитектуре, искусстве, а также во многих отраслях промышленности. На уроках геометрии мы изучили тему  «Подобие треугольников»,  и  меня заинтересовал вопрос, как данную тему можно применить на практике.

Вспомните произведение Л. Керолла «Алиса в стране чудес». Какие изменения происходили с главной героиней: то она вырастала до нескольких футов, то уменьшалась до нескольких дюймов, всегда оставаясь, впрочем, сама собой. О каком преобразовании с точки зрения геометрии идет речь?  Конечно, о преобразовании подобия.

        Цель работы:                                                                                                                                                                               

Нахождение  области применения подобия треугольников в жизни человека.

Задачи:

1.Изучить научную литературу по данной теме.

2.Показать применение подобия треугольников на примере измерительных работ.

Гипотеза. С помощью подобия треугольников можно выполнять измерения реальных объектов.

Методы исследования:  поиск, анализ, математическое моделирование.

Глава1.Бесподобное подобие

1.1.Из истории подобия

В основе подобия фигур лежит принцип отношения и пропорции.  Идея отношения и пропорции зародилась в глубокой древности. Об этом свидетельствуют древнеегипетские храмы, детали гробницы  Менеса и знаменитых пирамид в Гизе (III тысячелетие до н. э.), вавилонские зиккураты (ступенчатые культовые башни), персидские дворцы и другие памятники древности.  Многие обстоятельства,  в  том числе особенности архитектуры, требования удобства, эстетики, техники и экономичности при возведении зданий и сооружений, вызвали возникновение и развитие понятий отношения и пропорциональности отрезков, площадей и других величин. В «Московском» папирусе при рассмотрении  отношения большего катета к меньшему в одной из задач на прямоугольный треугольник применяется специальный знак для понятия «отношение». В «Началах» Евклида учение об отношениях излагается дважды.  В VII книге содержится арифметическая теория. Она относится только к соизмеримым величинам и к целым числам. Эта теория создана на основе практики действия с дробями. Евклид применяет ее для исследования свойств целых чисел. В V книге излагается общая теория отношений и пропорций, разработанная Евдоксом. Она лежит в основе учения о подобии фигур, изложенного в VI книге «Начал», где находится определение: «Подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны».

Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры встречаются в вавилонских и египетских памятниках. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамсеса II имеется стена, покрытая сетью квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров.

Пропорциональность отрезков, образующихся на прямых, пересеченных несколькими параллельными прямыми, была известна еще вавилонским ученым. Хотя некоторые приписывают это открытие Фалесу Милетскому.  Древнегреческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей  эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался ее тенью. Жрецы и фараон, собравшиеся у подножия пирамиды, озадаченно смотрели на северного пришельца, отгадывавшего по тени высоту огромного сооружения. Фалес, - говорит предание, - избрал день и час, когда длина собственной  его  тени равнялась его росту;  в этот момент высота пирамиды должна также равняться длине отбрасываемой ею тени.

 До наших дней сохранилась клинописная табличка, в которой речь идет о построении пропорциональных отрезков путем проведения в прямоугольном треугольнике параллелей к одному из катетов.

1.2.Понятие подобия.

В жизни мы встречаемся не только с равными фигурами, но и с такими, которые имеют одинаковую форму, но разные размеры. Геометрия называет такие фигуры подобными.

У всех подобных фигур одинаковые формы, но разные размеры.

Определение: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

 Если треугольник ABC подобен треугольнику А₁B₁С₁, то углы А, В и С равны соответственно углам A₁, B₁ и C₁,  . Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.

Замечание 1: Равные треугольники подобны с коэффициентом 1.

Замечание 2: При обозначении подобных треугольников следует упорядочить их вершины таким образом, чтобы углы при них были попарно равны.

Замечание 3: Требования, которые перечислены в определении подобных треугольников, являются избыточными.

Свойства подобных треугольников

Отношение соответственных линейных элементов подобных треугольников равно коэффициенту их подобия. К таким элементам подобных треугольников относятся те, которые измеряются в единицах длины. Это, например, сторона треугольника, периметр, медиана. Угол или площадь к таким элементам не относятся.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.

Признаки подобия треугольников.

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

1.3.Способы измерения предметов с применением признаков подобия

     1.3.1.   Первый   способ    измерения высоты предмета  

В солнечный день не составляет труда измерение высоты предмета, предположим дерева, по его тени. Необходимо только, взять предмет (например, палку) известной длины и установить ее перпендикулярно поверхности. Тогда от предмета будет падать тень. Зная высоту палки, длину тени от палки, длину тени от предмета, высоту которого мы измеряем, можно определить высоту предмета. Для этого нудно рассмотреть подобие двух треугольников. Помните: солнечные лучи падают параллельно друг другу.

Притча

«Усталый чужеземец пришёл в страну Великого Хапи. Солнце уже садилось, когда он подошёл к великолепному дворцу фараона. Он что-то сказал слугам. По мгновению распахнули перед ним двери и провели его в приёмную залу. И вот он стоит в запылённом походном плаще, а перед ним на золоченом троне сидит фараон. Рядом стоят высокомерные жрецы, хранители великих тайн природы.  

Кто ты? –спросил верховный жрец.

Зовут меня Фалес. Родом я из Милета.

Жрец надменно продолжал:

Так это ты похвалялся, что сможешь измерить высоту пирамиды, не взбираясь на неё? – Жрецы согнулись от хохота. – Будет хорошо, - насмешливо продолжал жрец, - если ты ошибёшься не более чем на 100 локтей.

Я могу измерить высоту пирамиды и ошибусь не более чем на пол-локтя. Я сделаю это завтра.

  Лица жрецов потемнели. Какая наглость! Этот чужеземец утверждает, что может вычислить то, чего не могут они – жрецы великого Египта.

Хорошо, - сказал фараон. – Около дворца стоит пирамида, мы знаем её высоту. Завтра проверим твоё искусство».

На следующий день Фалес нашёл длинную палку, воткнул её в землю чуть поодаль пирамиды. Дождался определённого момента. Провёл некоторые измерения, сказал способ определения высоты пирамиды и назвал её высоту. Что сказал Фалес?

Слова Фалеса: Когда тень от палки стала  той же длины, что и сама палка, то длина тени от центра основания пирамиды до её вершины  имеет ту же длину, что и сама пирамида.

1.3.2.Второй  способ    измерения высоты предмета  был предметно описан у Жюля Верна в романе «Таинственный Остров». Этот способ можно применять, когда нет солнца и не видно тени от предметов. Для измерения нужно взять шест, равный по длине вашему росту. Шест этот надо установить на таком расстоянии от предмета, чтобы лежа можно было видеть верхушку предмета на одной прямой линии с верхней точкой шеста. Тогда высоту предмета можно найти, зная длину линии, проведенной от вашей головы до основания предмета.

   

Отрывок из романа.

«-Сегодня нам надо измерить высоту площадки Дальней скалы, - сказал инженер.

Вам понадобится для этого инструмент? – спросил Герберт.

Нет, не понадобится. Мы будем действовать несколько иначе, обратившись к не менее простому и точному способу. Юноша, стараясь научиться, возможно, большему, последовал за инженером, который спустился с гранитной стены до окраины берега.

 Взяв прямой шест, длиной 12 футов, инженер измерил его возможно точнее, сравнивая со своим ростом, который был хорошо ему известен. Герберт нёс за ним отвес, вручённый ему инженером: просто камень, привязанный к концу верёвки. Не доходя футов 500 до гранитной стены, поднимавшейся отвесно, инженер воткнул шест фута на два в песок и, прочно укрепив его, поставил вертикально с помощью отвеса. Затем он отошёл от шеста на такое расстояние, чтобы лёжа на песке, можно было на одной прямой линии видеть и конец шеста, и край гребня. Эту точку он тщательно отметил колышком .Оба расстояния были измерены. Расстояние от колышка до палки равнялось 15 футам, а от палки до скалы 500 футам.

 «-Тебе знакомы зачатки геометрии? – спросил он Герберта, поднимаясь с земли. Помнишь свойства подобных треугольников

-Да.

-Их сходственные стороны пропорциональны.

-Правильно. Так вот: сейчас я построю 2 подобных прямоугольных треугольника. У меньшего одним катетом, будет отвесный шест, другим – расстояние от колышка до основания шеста; гипотенуза же – мой луч зрения. У другого треугольника катетами будут: отвесная стена, высоту которой мы хотим определить, и расстояние от колышка до основания этой стены; гипотенуза же – мой луч зрения, совпадающий с направлением гипотенузы первого треугольника. …Если мы измерим два расстояния: расстояние от колышка до основания шеста и расстояние от колышка до основания стены, то, зная высоту шеста, сможем вычислить четвёртый, неизвестный член пропорции, т. е. высоту стены. Оба горизонтальных расстояния были измерены: меньшее равнялось 15 футам, большее – 500 футам. По окончании измерений инженер составил следующую запись:

15 : 500 = 10 :  х;  500 х 10 = 5000;     5000 : 15 = 333,3.

Значит, высота гранитной стены равнялась 333 футам.

1.3.3.Третий способ   

Определение высоты предмета по зеркалу.

Зеркало кладут горизонтально и отходят от него назад в такую точку, стоя в которой, наблюдатель видит в зеркале верхушку дерева. Луч света FD, отражаясь от зеркала в точке D, попадает в глаз человека. Измеряемый предмет, например дерево, будет во столько раз выше вас, во сколько расстояние от него до зеркала больше, чем расстояние от зеркала до вас. Помните: угол падения равен углу отражения (закон отражения).

D АВD подобен DEFD (по двум углам):

Ð ВАD=ÐFED=90°;

Р    АDВ =ÐEDF, т.к. угол падения равен углу отражения.

В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны:

 

Глава 2.    Использование подобия треугольников на практике

2. 1.  Измерение высоты объекта

В  качестве измеряемого объекта возьмём дерево.

2.1.1. По длине тени

В основе этого метода  лежит видоизмененный способ Фалеса, позволяющий использовать тень любой длины.  Для  измерения высоты дерева  необходимо на некотором отдалении от дерева воткнуть в землю шест.

AB – высота дерева

BC – длина тени дерева

A₁B₁ – высота шеста

B₁C₁ – длина тени шеста

 B = < B₁ т. к. дерево и шест стоят перпендикулярно земле.

< A = < A₁ т. к. лучи солнца, падающие на землю, мы можем считать параллельными, потому что  угол между ними чрезвычайно мал, практически неуловим =>

Треугольник АВС подобен треугольнику  А₁В₁С₁.

Выполнив необходимые измерения, мы можем найти высоту дерева.

  АВ   =  ВС.

А₁В₁       В₁С₁

АВ = А₁В₁ ∙ ВС.

              В₁С₁

2.1.2 С помощью шеста

Шест длиной приблизительно равный росту человека втыкается в землю отвесно. Место для шеста надо выбрать так, чтобы человек, лежащий на земле, видел верхушку дерева на одной прямой с верхней точкой шеста.

Треугольник АВС подобен треугольнику ADE  т. к. < B = < D (соответственные), < A – общий =>

 AD = ED,     ED = AD ∙ BC.

AB     BC                   AB

C1

A1

C

B

A

Определение высоты по тени.

A₁B₁=1,6 м

А₁С₁=2,8 м

АС=17 м                          

2.1.3. С помощью зеркала.

На некотором расстоянии от дерева на ровной земле кладётся зеркало, и отходят от него назад в такую точку, стоя в которой наблюдатель видит верхушку дерева.

АВ – высота дерева

АС – расстояние от дерева до зеркала

CD – расстояние от человека до зеркала

ED – рост человека.

Треугольник АВС подобен треугольнику DEC т. к.

<A = < D (перпендикуляр)

< BCA = < ECD (т. к. по закону отражения света угол падения  равен углу отражения.)

=>

AC = AB,

DC     ED

AB = AC ∙ ED.

               DC 

Определение высоты предмета  с помощью зеркала.

AB=1,5м

DE=12,5м

AD= 2,7м

2.1.4. Как поступил сержант.

Некоторые из только что описанных способов измерения высоты неудобны тем, что вызывают необходимость ложиться на землю. Можно, разумеется, избежать такого неудобства.

Вот как однажды было на одном из фронтов Великой Отечественной войны. Подразделению лейтенанта Иванюк было приказано построить мост через горную реку. На противоположном берегу засели фашисты. Для разведки места постройки моста лейтенант выделил разведывательную группу во главе со старшим сержантом. В ближайшем лесном массиве они измерили диаметр и высоту наиболее типичных деревьев, которые можно было использовать для постройки.

Высоту деревьев определяли при помощи шеста так, как показано на рис.

Этот способ состоит в следующем.

Запасшись шестом выше своего роста, воткните его  в землю отвесно на некотором расстоянии от измеряемого дерева. Отойдите от шеста назад, по продолжению Dd до того места A, с которого,  глядя на вершину дерева, вы увидите на одной линии с ней верхнюю точку b шеста. Затем, не меня положения головы, смотрите по направлению горизонтальной прямой  аС, замечая точки с и С, в которых луч зрения встречает шест и ствол. Попросите помощника сделать в этих местах  пометки, и наблюдение окончено.

<C = <c т. к. дерево и шест находятся перпендикулярно

<B = <b т. к. угол, под которым человек смотрит на дерево  и  на шест одинаковый => треугольник abc подобен треугольнику aBC

=> BC = aC ,    BC = bc ∙ aC .

      Bc     ac                       ac

Расстояние bc, aC и ас легко измерить непосредственно. К полученной величине ВС нужно прибавить расстояние CD (которое также измеряется непосредственно), чтобы узнать искомую высоту дерева.

2.1.5.Не приближаясь к дереву.

 Случается, что почему – либо неудобно подойти вплотную к основанию измеряемого дерева. Можно ли в таком случае определить его высоту?

Вполне возможно. Для этого придуман остроумный прибор, который  легко изготовить самому. Две планки ad и сd  скрепляют под прямым углом так, чтобы ab равнялось bc, а bd составляло половину ad. Вот и весь прибор. Чтобы измерить им высоту, держат его в руках, напротив планку cd вертикально (для чего при ней имеется отвес – шнурок с грузиком), и становится последовательно в двух местах: сначала в точке А, где располагают прибор концом с вверх, а затем в точке А`, подальше, где прибор держат вверх концом d. Точка А избирается так, чтобы, глядя из а на конец с, видеть его на одной прямой с верхушкой дерева. Точку  

же А` отыскивают так, чтобы, глядя из а` на точку d`, видеть её совпадающей с В.

Треугольник ВСа подобен треугольнику bca т. к.

<C = <b (перпендикуляр)

<B = <c (наблюдающий смотрит под одни углом)

Треугольник ВСа` подобен треугольникуb`d`a` т. к.

<C = <b` (перпендикуляр)

<B = <d` (наблюдающий сморит под одним углом)

В отыскивании двух точек А и А` заключается все измерение, потому что искомая часть ВС равна расстоянию АА`. Равенство вытекает  из того, что аС = ВС,  так  как  треугольник abc  равнобедренний (по построению). Следовательно и треугольник  aBC  равнобедренный.   а`C = 2BC  вытекает из соотношений в подобных треугольниках; значит, a`C – aC = BC.

Определение высоты с помощью прямоугольного равнобедренного треугольника.

				С
			В
	A
					D

 

CD=AB+BD                      

AB= 8,9 м

BD=1,2 м

СD=8,9+1,2≈10 м

2.2.Очистка пруда .

На поселке Кирова есть пруд, который очень загрязнен. Мы  решили выяснить, какими способами можно его  очистить.

  2.2.1.Способы очистки водоемов.

Очистка водоемов производится механизированным, гидромеханизированным, взрывным и ручным способами. Самый распространенный из всех способов- механический. При этом способе применяется чистка земснарядом.

Земснаряд НСС – 400/20 – ГР
Производительность (намыв грунта): 800м/куб за смену. Размеры: длина 10 м. , ширина 2, 7 м, высота 3, 0 м. 
Вес: 17 тонн. Пульпопровод: 100м (в том числе – 50 м плавучий, 50 м – береговой). Земснаряд оборудован стрелой. Длина стрелы - 10 м, с гидроразмывом (подача 60 м/куб в час воды при напоре 40 м, мощность насоса 7 кВт). 
Двигатель: Д-260-4. 01 (210 л/с, расход топлива - 14 л/час, частота вращения - 1800 об/мин). Насос: ГРАУ 400/20. Технические характеристики насоса: выход грунта 10-30% в час, напор водяного столба - 20м, мах мощность - 75 кВт, частота вращения - 950 об/мин. Земснаряд данной модификации поднимает грунт с глубины водоема 1-9, 5 м. , проталкивание по пульпопроводу до 200м. Диаметр трубопровода: 160 мм. Энергообеспечение: автономное. Движение при помощи лебёдок - 4 двигателя по 1, 5 кВт. 

  В нашем конкретном случае нас интересует длина стрелы земснаряда – 10м.

     

2.2.2.Измерение ширины пруда.

Свойства подобных треугольников могут быть использованы для проведения различных измерительных работ на местности. Мы рассмотрим одну задачу: определение расстояния до недоступной точки. Для примера мы попробуем измерить ширину пруда с помощью признаков подобия треугольников.

Итак, с помощью некоторых приборов и расчетов, приступаем к работе. Для получения более точных результатов, мы измерили пруд  в двух местах.

Предположим, что нам нужно найти расстояние от точки А на берегу, на котором стоим мы, до точки B, находящейся на противоположном берегу реки. Для этого выбираем точку С на «нашем» берегу, попутно измерив получившийся отрезок АС. Затем с помощью астролябии измеряем углы А и С. На листе бумаги строим треугольник A₁B₁C₁,  так, чтобы соблюдался 1 признак подобия треугольников (по 2 углам). Угол A₁ равен углу А, а угол C₁равен углуC. Измеряем стороны A₁B₁ и A₁C₁ треугольника A₁B₁C₁.Так как треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, то AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁, откуда получаем AB =AC*A₁B₁/A₁C₁ Эта формула позволяет по известным расстояниям AC, A₁C₁ и A₁B₁ найти расстояние AB.

Приборы:

Астролябия, линейка демонстрационная (или, к примеру, веревка длиной примерно 4 м).

   

 Предварительные измерения:

Мы измерили пруд  в двух местах, поэтому по очереди опишем каждое измерение.

1) Возьмем любую точку на противоположном берегу, находящуюся рядом с границей пруда  и земли, скажем, небольшую ямку или, если предварительно подготовиться, вбитый в землю колышек, веха.

 Дальше установим астролябию на точке А и измерим с помощью нее угол А.

 Получилось 88 градусов, первый угол у нас есть. Таким же образом, поставив прибор на точку С, находящуюся на расстоянии, в нашем случае, 4 метра от точки А, измеряем угол С. 70 градусов. И, собственно, на этом измерения закончились.

2) На втором месте, где мы измеряли ширину реки, у нас получились примерно равные с первым случаем углы: А=90, С=70 градусов.

 

Расчеты:

1)         Чертим треугольник A₁B₁C₁, в котором угол A₁=88 , а угол C₁=70 градусов. Отрезок A₁C₁, для простоты измерений берем равный 4 сантиметра. Теперь измеряем отрезок A₁B₁. Получилось примерно 11 см. Переводим результаты в метры и собираем их в пропорцию:

AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁

AB-? ; A₁B₁=0,11 м; AC=4м; A₁C₁ =0,04 м.

Выражаем АВ:

AB =AC*A₁B₁ /A₁C₁;

АВ=4*0,11/0,04;

АВ=0,44/0,04=11м

Итак, в первом случае ширина пруда  равна 11 м.

2)         Следуя тем же способом, находим все стороны и составляем пропорцию. Но результаты, так как  углы примерно равны, получились такие же. Итак, мы  измерили ширину пруда в двух местах и получили один результат – 11 метров.

Раннее я  указывала, что длина стрелы земснаряда равна 10 метров, т.е. её вполне хватает для того, чтобы с одного берега очистить пруд.

  Итак, мое  предположение о том, что геометрия, а данном случае подобие треугольников, помогает решать социальные проблемы верно. Я доказала, что с помощью подобия можно рассчитать высоту  зданий и ширину пруда.

  Ведь иногда так хочется, чтобы твой родной уголок, место в котором мы с вами живем, засияло новыми красками, вызывало гордость. Хочется спуститься в любом месте на речку или пруд и искупаться, не опасаясь за свое здоровьё. Хочется гордиться своей малой Родиной. А для этого мы все должны постараться. Все в наших руках.

Я исследовала различные способы измерения высоты  и ширины объектов на местности с помощью подобия треугольников

 Заключение

Я узнала много нового о применении  подобия треугольников.

Как найти расстояние до недоступной точки? Как путём построения подобных треугольников найти расстояние между двумя недоступными пунктами  А и В? Как найти высоту предмета, к основанию которого можно подойти?

Решение подобных задач способствует развитию логического мышления, умению анализировать ситуацию, а использование метода подобия треугольников в их решении, повышает тем самым математическую культуру,  развивая математические способности. Использовать рассмотренный мною геометрический материал можно как на уроках геометрии и физики, так и при подготовке к  Государственной итоговой аттестации,

Геометрия – это наука, которая обладает всеми свойствами хрустального стекла, такая же прозрачная в рассуждениях, безупречная в доказательствах, ясная в ответах, гармонично сочетающая в себе прозрачность мысли и красоту человеческого разума. Геометрия до конца не изученная наука, и может быть, многие открытия ждут именно вас.

Литература:

1.  Глейзер Г.И. История математики в школе  7-8 кл. - М.: Просвещение, 1982.-240 с.

2. Савин А.П.Я познаю мир - М.:  ООО  «Издательство  АСТ-ЛТД»,1998.-480 с.

3. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. - М.:Педагогика, 1989,-352 с. 

4. Атанасян Л.С. и др.  Геометрия7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - М.: Просвещение, 2005г,-245с.

5. Г.И Баврин. Большой справочник школьника. Математика. М. дрофа. 2006г. 435с

    6.Я. И. Перельман. Занимательная геометрия. Домодедово. 1994г. 11-27с.

 7.http://canegor.urc.ac.ru/zg/59825123.html