Работа учащейся 6 класса"Сумма углов выпуклого многоугольника"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Лицей»

Реферативная работа с элементами исследования  по математике

Сумма углов выпуклого многоугольника

Выполнила:

ученца 6 "Б" класса Ежкова Виктория

Руководитель: учитель математики

Путанова Светлана Владимировна

Адрес: 607220, Нижегородская  область,  город Арзамас,  улица Пушкина, дом 138/1 тел. 7-40-50 

E-mail: [e-mail]

Арзамас

 2021 г.

Содержание:

Введение Глава I 

1.1. Определение и виды многоугольников

1.2. Четырёхугольник и его виды Глава II 

2.1. Сумма углов выпуклого четырёхугольника

2.2. Сумма углов выпуклого многоугольника

Глава III

3.1. Задачи на нахождение углов многоугольника   Заключение

Введение

Однажды на уроке математики нам задали решить задачу. В ней было нужно найти угол треугольника, когда два других были известны. Из начальной школы мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусов. И тогда мне стало интересно: «А чему равна сумма углов четырех, пяти, шестиугольника? Зависит ли сумма углов многоугольника от их количества?»

Цель исследования – узнать, чему равна сумма углов выпуклого многоугольника.

Задачи исследования:

1) Как можно больше узнать о многоугольниках. 2) Экспериментально определить, чему равна сумма углов четырёхугольника на примере пятнадцати разных четырехугольников.

3)  Теоретически определить, чему равна сумма углов выпуклого четырёхугольника.

4)  Вывести формулу для расчета суммы углов многоугольника.

5)  Доказать или опровергнуть гипотезы.

6)  Придумать свои задачи про многоугольники и решить их.

Гипотезы:

1)    Предположим, что сумма углов каждого выпуклого многоугольника зависит от его формы и имеет свое значение.

2)    Предположим, что сумма углов выпуклого многоугольника не зависит от его формы, а зависит только от количества углов.

Глава I  1.1. Определение и виды многоугольников

Изучив литературу и интернет источники я узнала, что многоугольником (на плоскости) называют геометрическую фигуру, ограниченную замкнутой ломаной линией. Звенья ломаной линии называются сторонами многоугольника, а их концы - вершинами многоугольника. По числу вершин различают треугольники, четырехугольники, пятиугольники  и т. д.

Все многоугольники делятся на выпуклые и невыпуклые. 

Многоугольник называют выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой из своих сторон (т.е. продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон).

 

Выпуклый                      невыпуклый

Многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы (см. рис.).

 

Я решила сначала подробно исследовать четырёхугольники.

1.2. Четырёхугольник и его виды

Из всех четырёхугольников, в зависимости от их формы, особенно выделяют следующие:

 

Глава II

2.1. Сумма углов выпуклого четырёхугольника

Для того чтобы определить зависит ли сумма углов четырехугольника от его формы, я решила провести эксперимент: нарисовала 15 различных четырёхугольников, для каждого измерила все его четыре угла и нашла их сумму (см. приложение 1)

В результате своего эксперимента, я заметила, что сумма углов любого четырехугольника либо равна 360°, либо чуть меньше, либо чуть больше. Значит, сумма углов выпуклого четырехугольника постоянна и не зависит от его формы. Почему же в некоторых случаях не получилось 360°? Вероятно, это погрешность транспортира. Как же можно было проверить мою гипотезу? 

Попробуем доказать, что сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна 360°. Нарисуем произвольный четырехугольник, проведём диагональ, она разделит четырехугольник на два треугольника. 

 

Известно, что сумма углов любого треугольника равна 180°, значит:

<1+<2+<3=180°,   <4+<5+<6=180°.

Сложим эти два равенства:

<1+(<2+<4)+<5+(<3+<6)=360°, но <1= <A , <5= <C , <2+<4=<B, а <3+<6=<D.

Получаем, что <A+<B+<C+<D=360°  

Эти рассуждения можно провести для любого выпуклого четырехугольника, следовательно, сумма углов выпуклого четырехугольника не зависит от его формы и равна 360°.

2.2. Сумма углов выпуклого многоугольника

Далее я решила узнать, чему равна сумма углов выпуклого многоугольника. Сначала нарисовала четырёхугольник, потом пятиугольник, потом шестиугольник. Из одной вершины я провела диагонали, которые разделили многоугольники на несколько треугольников. В первом случае получилось два треугольника, во втором – три, в третьем – четыре. С прибавлением каждого следующего угла многоугольника количество треугольников становится на один больше. И если углов в многоугольнике n, то треугольников будет на два меньше: (n–2). Почему треугольников получается на 2 меньше? Потому, что при соединении выбранной вершины  с двумя соседними, треугольников не получается.

 

Заметим, что сумма углов многоугольника складывается из суммы углов всех треугольников. А так как сумма углов каждого треугольника равна 180°, то сумму углов выпуклого многоугольника можно найти, умножив число треугольников на 180◦:

(n-2)·180°

Таким образом, я доказала, что сумма углов любого выпуклого многоугольника не зависит от его формы, а зависит только от количества углов. Следовательно, подтвердилась вторая гипотеза.

Глава III

    3.1. Задачи на нахождение углов многоугольника (составлены автором) Задача № 1.

В выпуклом четырехугольнике ABCD известны три угла: <B=48°, <C=150°, <D=98°. Найдите значение угла A.

Решение

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360◦, значит,  <A = 360◦ – (<B +<C +<D) = 360◦ – (48◦ + 150◦ + 98◦) = 64°.

Задача № 2.

В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ АС делит каждый из углов A и С на две равные части. Докажите, что углы B и D в четырехугольнике равны. 

Решение

 

Сумма углов в любом треугольнике равна 180°, поэтому  <D + <1 + <5 = 180◦    и    <2 + <B + <6 = 180◦.

Откуда <D =  180◦ – (<1 + <5)  ,  <B = 180◦ – (<2 + <6).

Так как <1 = <2 и <5 = <6, то (<1 + <5) = (<2 + <6) и <B = <D, что и требовалось доказать.

Задача № 3.

В выпуклом пятиугольнике ABCDE известны три угла: <C=64°, <D=120°,< E=106°. Найдите значение углов A и В, если известно, что они равны.

Решение

Сумма углов выпуклого пятиугольника:

(n–2)*180◦ = 3*180◦ = 540°

<A +<B = 540◦ – (<C + <D + <E) = 540◦ – (64◦ + 120◦ + 106◦) = 250°

По условию  <A = <B, следовательно, <A = <B = 250◦:2 = 125°

Задача № 4.

Найдите угол правильного шестиугольника.

Решение

Сумма углов выпуклого шестиугольника:

(n–2)*180◦ = 4*180◦ = 720°

В правильном пятиугольнике все углы равны, поэтому один угол равен

720◦:6 = 120°.

Заключение

В ходе исследования я: 

1)    Узнала, какие бывают виды многоугольников.

2)    Подробно изучила виды четырехугольников.

3)    Определила, чему равна сумма углов выпуклого четырехугольника.

4)    Вывела формулу для расчета суммы углов любого выпуклого многоугольника.

5)    Подтвердила гипотезу.

6)    Сама составила задачи и решила их.

Приложение 1

1)            360◦

 

2)            360◦

 

3)            362◦

 

4)            359◦

 

5)            361◦

 

6)            358◦

 

7)            361◦

 

8)            360◦

 

9)            360◦

10)       361◦

 

11)       360◦

 

12)       360◦

 

13)       359◦

 

14)       357◦

 

15)       361◦

 

Краткое описание документа:

Тема "Сумма углов четырёхугольника и выпуклого многоугольника" изучается в курсе геометрии 7-9 класса, но решая на уроке математики в 6 классе задачу о нахождении угла треугольника, у одной из учениц возник вопрос о сумме углов четырёхугольника и выпуклого многоугольника. Так и возникла идея о том, как выяснить это экспериментальным путём, а потом доказать или опровергнуть свою гипотезу в процессе написания работы. Ранее ученица также опытным путём доказала, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.