Раздаточный материал по высшей математике на тему "Комплексные числа"

Применение комплексных чисел для решения прикладных задач

Если переменная синусоидальная величина может быть представлена вектором, а определенному вектору соответствует определенное комплексное число, то переменная синусоидальная величина может быть представлена комплексным числом. Такие величины как: напряжение и ток, сопротивление и проводимость, мощность выражаются комплексными числами.

Напряжение и ток. Имеется уравнение. В электротехнике за длину вектора берется не максимальное, а действующее значение. Оно обозначается большой буквой U без индекса и вычисляется путем деления максимального значения на . Синусоидальная величина, выраженная комплексным числом, называется комплексом и обозначается прописной буквой с точкой наверху . Комплекс напряжения можно написать в трех формах алгебраической – , тригонометрической – и показательной – . Таким образом, в комплексе напряжения модуль равен действующему значению, аргумент – начальному фазовому углу, активная составляющая – вещественной части комплекса напряжения, реактивная – мнимой части. Аналогично для тока:  , ,, ,  .

Пример. Дано: ток в комплексной форме Написать уравнение тока.

Решение. Для того чтобы написать уравнение, надо знать амплитуду и начальный фазовый угол. Поэтому надо найти модуль – действующее значение и аргумент – начальный фазовый угол заданного комплекса тока: , ,  .

 

Сопротивление и проводимость. Имеется цепь (рис. 1): r – активное сопротивление (лампа накаливания); – индуктивное сопротивление (катушка); z – общее сопротивление цепи, называемое полным.

Угол – угол сдвига фаз. Сопротивления не являются синусоидальными величинами, однако отрезок z может быть выражен комплексным числом, считая, что отрезок r откладывается по оси вещественных чисел, а отрезок – по оси мнимых чисел. Сопротивление в комплексной форме обозначается буквой Z. Для цепи на рис.2 комплекс сопротивления записывается:  – алгебраическая форма; – тригонометрическая форма;  – показательная форма. Модуль ; аргумент . Таким образом, в комплексе сопротивления модуль равен полному сопротивлению, а аргумент – сдвигу фаз.

Мощность. Комплекс мощности получится, если комплекс напряжения умножить на сопряженный комплекс тока:  , где – комплекс мощности,  – сопряженный комплекс тока. После умножения получим комплексное число, у которого вещественная часть равна активной мощности, а мнимая часть – реактивной мощности: , где P – активная мощность, Q – реактивная мощность.

 Пример.  ,6; . Определить активную P и реактивную Q мощность. Решение. Переведем комплексы напряжения и тока в показательную форму, для этого найдем модуль и аргумент тока и напряжения: , ,, .,, . Определим сопряженный комплекс тока:   , Найдем активную и реактивную мощности: P=975Вт, Q=171 вар.

Алгебраическая форма комплексного числа удобна при сложении и вычитании, показательная – при умножении и делении; тригонометрическая служит для перевода показательной формы в алгебраическую.

Тема урока: Применение комплексных чисел при решении задач по видам профессиональной деятельности.

Цель урока: систематизировать знания, полученные по теме комплексные числа  при решении задач по видам профессиональной деятельности.

Систематизировать  теоретический материал по теме комплексные числа.

Повторить   перевод чисел из алгебраической в тригонометрическую форму записи комплексных чисел,   действия с комплексными числами.

Обобщить  знания учащихся по теме  и  рассмотреть вопросы по теме «Функция комплексного переменного» в межпредметной  связи  с темой «Преобразования на плоскости».

Развивать: способности анализировать, планировать, контролировать свою деятельность (взаимо- и самоконтроль).

Формировать  коммуникативные навыки,  оперировать математической терминологией.

Мотивация:

Комплексные числа – один из наиболее подходящих разделов курса математического анализа для реализации профессиональной направленности бакалавров по направлению подготовки Информатика и вычислительная техника. При изучении комплексных чисел необходимо учитывать применение математических знаний в общетехнических и специальных дисциплинах, в частности электротехнике. Применение комплексных чисел дает возможность использовать законы, формулы и методы расчетов, применяющиеся в цепях постоянного тока, для расчета цепей переменного тока, упростить некоторые расчеты, заменив графическое решение с использованием векторов алгебраическим решением, рассчитывать сложные цепи, которые другим путем решить нельзя, упростить расчеты цепей постоянного и переменного токов. При расчетах цепей приходится проводить математические операции с комплексными числами, поэтому студенты должны уметь выполнять следующие операции: 1) находить модуль и аргумент комплексного числа и комплексное число по модулю и аргументу; 2) переводить комплексное число из одной формы в другую; 3) производить сложение и вычитание, умножение и деление комплексных чисел. В электротехнике тема «Переменный ток» занимает значительное место. Это объясняется тем, что большинство электротехнических установок работает на переменном токе, который изменяется синусоидально.

Основные формулы:

Напряжение и ток.   

где u – мгновенное значение напряжения; – максимальное значение (амплитуда) напряжения; w – угловая частота; t – время; – начальный фазовый угол; – электрический угол

ток , э.д.с. и т.д.

Комплекс напряжения в алгебраической – , тригонометрической – и показательной –

, комплекс тока, ,

сопротивления записывается:  – алгебраическая форма; – тригонометрическая форма;  – показательная форма. Модуль ; аргумент

Пример. Дано: ток в комплексной форме Написать уравнение тока.

 Решение. Для того чтобы написать уравнение, надо знать амплитуду и начальный фазовый угол. Поэтому надо найти модуль – действующее значение и аргумент – начальный фазовый угол заданного комплекса тока: , ,  .

 

Мощность. Комплекс мощности получится, если комплекс напряжения умножить на сопряженный комплекс тока:  , где – комплекс мощности,  – сопряженный комплекс тока. После умножения получим комплексное число, у которого вещественная часть равна активной мощности, а мнимая часть – реактивной мощности: , где P – активная мощность, Q – реактивная мощность. Пример.  ,6; . Определить активную P и реактивную Q мощность. Решение. Переведем комплексы напряжения и тока в показательную форму, для этого найдем модуль и аргумент тока и напряжения: , ,, .,, . Определим сопряженный комплекс тока:   , Найдем активную и реактивную мощности: P=975Вт, Q=171 вар. Алгебраическая форма комплексного числа удобна при сложении и вычитании, показательная – при умножении и делении; тригонометрическая служит для перевода показательной формы в алгебраическую.

Дано: а)  ; б)  ; в)  ;г)  ; д)  ; е)  ; ж)  . Перевести алгебраическую форму комплексного числа в показательную и наоборот.

Задачи для закрепления материала:

Дано: а) ; б) ; в) . Написать комплексные числа в показательной и алгебраической формах.

Дано: а)  ; б)  ; в)  ;г)  ; д)  ; е)  ; ж)  . Перевести алгебраическую форму комплексного числа в показательную и наоборот.

Задание на дом: Выполнить сложение, умножение, деление комплексных чисел. Дано: а)  ; б)  ; в)

Приложение

Задача 1

Определить ток  в неразветвленной части, если токи в ветвях:

Дано:

,

,

,

Решение:

Найдем:

1. Комплексные токи в цепях:

 (А)

 (А)

 (А)

2. Комплекс тока в неразветвленной части цепи:

3.Модуль тока:

(А)

4.Аргумент через:

, по таблице Брадиса

Ответ:

Задача 2

Известно, что

Найти результирующую Э.Д.С.

Дано:

,

,

9

Решение:

Найдем:

1. Комплексное Э.Д.С. в цепях:

2. Комплекс Э.Д.С.  в неразветвленной части цепи:

3.Модуль Э.Д.С.:

4.Аргумент через:

, по таблице Брадиса

Ответ:

Задача 3

Пусть в точке разветвления суммарный ток равен сумме двух токов  и (угловая частота при этом не изменяется)

Дано:

,

,

.

Найти:

Решение:

Найдем:

1. Комплексные токи в цепях:

2. Комплекс тока в неразветвленной части цепи:

3.Модуль тока:       

10

4.Аргумент через:

, по таблице Брадиса

Ответ:

Подведение итогов: При решении задач на комплексные числа мы наглядно увидели как  применяются   полученные нами знания мы можем применять, работая на важных электрических  и и при решении прикладных задач, стратегических объектах. Какие компетенции мы сегодня затронули:

Дано: а)  ; б)  ; в)  ;г)  ; д)  ; е)  ; ж)  . Перевести алгебраическую форму комплексного числа в показательную и наоборот.

Задачи для закрепления материала:

Дано: а) ; б) ; в) . Написать комплексные числа в показательной и алгебраической формах.

Дано: а)  ; б)  ; в)  ;г)  ; д)  ; е)  ; ж)  . Перевести алгебраическую форму комплексного числа в показательную и наоборот.

Задание на дом: Выполнить сложение, умножение, деление комплексных чисел. Дано: а)  ; б)  ; в)

Найти Э.Д.С.

Дано:

,

,

Задача 2

Известно, что

Найти результирующую Э.Д.С.

Дано:

,

,

Решение:

1. Комплексное Э.Д.С. в цепях:

2. Комплекс Э.Д.С.  в неразветвленной части цепи:

3.Модуль Э.Д.С.:

4.Аргумент через:

, по таблице Брадиса

Задача 3

Пусть в точке разветвления суммарный ток равен сумме двух токов  и (угловая частота при этом не изменяется)

Дано:

,

,

.

Найти:

Напряжение и ток.   

где u – мгновенное значение напряжения; – максимальное значение (амплитуда) напряжения; w – угловая частота; t – время; – начальный фазовый угол; – электрический угол

ток , э.д.с. и т.д.

Комплекс напряжения в алгебраической – , тригонометрической – и показательной –

, комплекс тока, ,

сопротивления записывается:  – алгебраическая форма; – тригонометрическая форма;  – показательная форма. Модуль ; аргумент

Мощность. Комплекс мощности получится, если комплекс напряжения умножить на сопряженный комплекс тока:  , где – комплекс мощности,  – сопряженный комплекс тока. После умножения получим комплексное число, у которого вещественная часть равна активной мощности, а мнимая часть – реактивной мощности: , где P – активная мощность, Q – реактивная мощность.

Алгебраическая форма комплексного числа удобна при сложении и вычитании, показательная – при умножении и делении; тригонометрическая служит для перевода показательной формы в алгебраическую.