«Различные методы решения квадратных уравнений» конкурсный урок

Конспект открытого урока алгебры в 8 классе

Тема: «Различные методы решения квадратных уравнений»

Здравствуйте, ребята.

         Сегодня я приглашаю вас на необычный урок. Очень приятно на какое-нибудь мероприятие получить пригласительные, правда? У вас на столах лежат пригласительные, которые вы сейчас заполните. (На партах у каждого ученика лежит бланк, который нужно заполнить, в классе 16 человек. Затем на слайде появляются правильные ответы по цветам и ученики, таким образом, делятся на команды). (Приложение 1) Проверить все ли дети правильно выполнили задание, если нет разобрать ошибки. Заполнив пригласительные, вы узнали тему сегодняшнего урока. Скажите, что это за тема?

«Для разыскания истины вещей – необходим метод». Это цитата известного французского математика, а для того чтобы вам узнать автора этих строк, я попрошу вас воспользоваться шифром: первая цифра — это номер слова, а вторая это номер буквы в этом слове.

11 42 26 22 21 63.

Вы уже достаточно знаете и умеете по этой теме, поэтому наша с вами задача: обобщить и сложить в систему все те знания и умения, которыми вы владеете.
Вы когда-нибудь собирали пазлы? На уроке бы будем не просто решать уравнения, а соберем мозаику из пазл.

Ну что ж, приступим к практической части нашего урока. Откройте тетради, запишите число и тему урока «Различные методы решения квадратных уравнений». Чтобы решить уравнение,

Корни его отыскать.
Нужно немного терпения,
Ручку, перо и тетрадь.
         Скажите, а на чем обычно пишет учитель во время урока? Так вот мы с вами сегодня соберем из пазл школьную доску. Правильно решив уравнение в своей группе вам нужно будет найти конверт с верным ответом и приклеить его на стекло. Я попрошу выйти по одному человеку от каждой команды и решить на доске по одному уравнению. (Уравнения показываются на слайде для всех, а каждому ученику дается отдельный листочек с уравнением.  Приложение 2).  Остальные ребята решают в тетрадях.

 (-2,5;-2)

 (-3)

  (нет решений)

 

Если вы правильно соберете этот фрагмент мозаики, мы узнаем основной метод решения квадратного уравнения. Итак, первый метод, который мы с вами сегодня вспомнили это – решение квадратных уравнений по общей формуле. Или как мы иногда называем коротко через дискриминант. А кто скажет, что такое дискриминант, и от какого слова он произошел? (Слово дискриминант и дискриминация произошли от одного и того же латинского слова discriminans – что переводится как «различающий». Дискриминант определяет квадратные уравнения по числу корней.)

А как вы думаете, можно ли решать квадратные уравнения устно? Оказывается, можно, только если соблюдается особое правило. Итак, какое уравнение называется квадратным?

1.

Решение: так как  а + в + с = 0 (2 – 7 + 5 =0), то 

Ответ: 1; 2,5.

  Решение: так как  а – в + с = 0 (5 – 7 + 2 = 0), то

Ответ:

Попробуйте решить таким методом следующие уравнения устно:

 (1; 5)

 (1; -12/7)

 (-1; -3/14)

 (1; 1/2012)

         Найти конверты с правильными ответами и приклеить очередной фрагмент мозаики. Мы с вами познакомились с методом коэффициентов.

Давайте вспомним с вами, что является графиком квадратичной функции? Корнями квадратного уравнения служат абсциссы точек пересечения параболы с осью Ох.

Если в уравнении  перенести второй и третий члены в правую часть, то получим 

Построим графики зависимостей   и 

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая

.

  Возможны следующие случаи взаимного расположения параболы и прямой: (пусть скажут дети)

- прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы этих точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

- прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка ), т.е. уравнение имеет

одно решение;

- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Примеры:

(3х²+2х-1=0.

В уравнении второй и третий член перенесем

в правую часть, то получим  3х² =-2х+1.

Построим графики зависимостей

у=3х² и у=-2х+1. График первой зависимости –парабола.

График второй зависимости - прямая.

Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В.

С абсциссами х₁=-1 и х₂=.)

Так как цель нашего урока обобщить и систематизировать полученные знания я раздам вам готовые графики, а вы найдите с помощью них правильные ответы и соберите следующий фрагмент мозаики.

 Раздать графики (Приложение 3)

Итак, еще один из рассмотренных нами методов – это графический метод.

Всегда ли удобен графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы?

Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Поэтому хочу показать вам следующий способ нахождения корней квадратного уравнения

 с помощью циркуля и линейки. В начале урока мы с вами вспомнили великого математика Рене Декарта, именно он ввел прямоугольную систему координат или как ее еще называют Декартова система координат.

Алгоритм решения квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки:

1) построим точки  S (центр окружности) и А(0;1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

Постройте прямоугольную систему координат. Решим данным способом следующее уравнение:

3х²+6х-9=0

а=3     b=6   c=-9

X=-b/2a       x=-6/2*3=-1

Y=a+c/2a    y=3-9/2*3=-1

S(-1;-1), А(0;1)

(1;0), (-3;0)

Х₁ =1  х₂ =-3

Ответ:1;-3.

Постройте в своей тетради систему координат, и решите этим способом уравнение (каждой команде дается разное уравнение, после чего они приклеивают следующий фрагмент).

1.

где А (0; 1), S(1; -1).

Ответ: -1; 3.

2.

А (0;1), S(2,5; 2,5).

Ответ: 1; 4.

3.

 А (0; 1), S(-2; 2,5).

Ответ: -2.

4.  

А(0;1), S(1;2).

Ответ: нет решений.

Еще один метод решения квадратного уравнения - это с помощью циркуля и линейки.

Посмотрите, какая мозаика у нас получилась, но здесь записаны далеко не все методы решения квадратных уравнений. Если мы с вами перевернем нашу мозаику, то на обратной стороне увидим портрет великого математика, который открыл еще один метод решения квадратных уравнений – это Франсуа Виет, французский математик, живший во времена инквизиции. В начале урока мы с помощью шифра отгадали автора цитаты. Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись (шифр), которая все время изменялась и дополнялась. Благодаря этому шифру воинствующая и сильная в то время Испания могла свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта переписка оставалась неразгаданной. После бесплодных попыток найти ключ к шифру король обратился к Виету. Известно, что Виет, две недели подряд дни и ночи просидев за работой, все же нашел ключ к испанскому шифру. После этого неожиданно для испанцев Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Испанцы долго недоумевали. Наконец им стало известно, что шифр для французов уже не секрет и что виновник его расшифровки – Виет. Будучи уверенными, в невозможности разгадать способ тайнописи людьми, они обвинили Францию перед Папой Римским и инквизицией в кознях дьявола, а Виета обвинили, что он был в союзе с дьяволом и приговорили его к сожжению на костре. К счастью для науки, он не был выдан инквизиции.

На следующих уроках вы познакомитесь с теоремой Виета: по праву в стихах должна быть воспета о свойствах корней теорема Виета…

Итак, ребята, сегодня мы познакомились с ещё двумя способами решения квадратных уравнений, и теперь право за выбором решения остаётся за вами.

Преимущество данных методов перед другими заключается в том, что они позволяют быстро находить корни квадратного уравнения.

Этот урок был полезным для вас?

Был ли он интересным?

Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Спасибо вам за отличную работу, и мне хотелось бы подарить вам буклеты с основными методами решения квадратных уравнений, которые вам пригодятся и помогут на дальнейших уроках алгебры.