Разноуровневая система задач по теме "Делимость чисел"

Итоговый проект разноуровневой системы задач (РСЗ)

по теме «Делимость чисел»

Цель российского школьного образования – создание условий для самореализации ученика в учебном процессе, формировании у школьника готовности быть субъектом продуктивной, самостоятельной деятельности на всех этапах своего жизненного пути. Новая российская общеобразовательная школа должна стать важнейшим фактором, обеспечивающим социокультурную модернизацию российского общества. Эти тенденции должны найти отражение в организации процесса обучения любого школьного предмета, в том числе и математики.

1.Актуальность темы. Делимость чисел - одна из важнейших тем математики. Изучается она, в основном, в 5—6 классах школы и в дальнейшем к ее изучению практически не возвращаются. В то же время на эту тему существует значительное количество самых разнообразных задач, которые часто встречаются на олимпиадах, при поступлении в физико-математические школы. В ЕГЭ по математике входят задания на признаки делимости. В связи с тем, что в программе 10 и 11 классов нет задач на эту тему, и материал изучался давно, необходимо выделить время на повторение признаков делимости и решение типовых задач, предлагаемых в экзаменационных вариантах.

2. По окончанию школы ученик должен научиться использовать признаки делимости на 2, 5, 10, 3,  9

при выполнении вычислений и решении задач.

3. Планируемые результаты: учащиеся должны выучить и уметь применять

1) выучить признаки

2) уметь применять признаки делимости на 2, на 5 и на 10в вычислениях и в задачах;

3) уметь применять признаки делимости на 3 и на 9 в вычислениях и в задачах.

 Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий):

1. Формулировать признаки делимости на 2, на 5, на 3, на 10, на 9.
2. Приводить примеры чисел, делящихся и не делящихся на какое-либо из указанных чисел, давать развёрнутые пояснения;
3. Конструировать математические утверждения с помощью связки «если…., то…»
4. Объединять два утверждения в одно, используя словосочетание «в том и только том случае»;
5. Применять признаки делимости в учебных ситуациях, в рассуждениях для объяснения, верно или неверно утверждение.

Уровневые задачи с «зашумлениями»

Признаки делимости на 2,на 5  и на 10.

1.      Правило  признака делимости на 2: Если число оканчивается одной из цифр 0,2,4,6,8, то оно делится на два; числа, оканчивающиеся какой-нибудь из цифр 1,3,5,7,9, не делятся на 2.

Другая формулировка: число делится на 2 в том и только том случае, если оно оканчивается чётной цифрой.

2.      Правило  признака делимости на 5: если число оканчивается цифрой 0 или 5, то оно делится на 5; число, оканчивающееся любой другой цифрой, не делится на 5.

Другая формулировка: число делится на 5 в том и только том случае, когда оно оканчивается цифрой 0 или 5.

3.      Правило  признака делимости на 10: если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10; число, оканчивающееся любой другой цифрой, не делится на 10.

Другая формулировка: число делится на 10 в том и только том случае, когда его последняя цифра является 0.

Задание 1-го уровня точно воспроизводит известный признак, содержит стандартную формулировку с прямым указанием применить признак делимости на 2, признак делимости на 5 или признак делимости на 10.

Пример:

1.      Какие из чисел 9376, 881,1050,12345,1112 делятся на 2? Запишите их в порядке возрастания.

2.       Какие из чисел 132, 815,2600,551,1000 делятся  на 5? Запишите в порядке убывания.

3.      Какие из чисел 18, 35, 53, 70, 204, 360:

а)  делятся на 2

б) делятся на 5

в) делятся на 10

От учащегося требуется точное следование известному правилу.

Критерий выполнения задания: Задание считается выполненным, если учащийся выписал все числа, которые требуется выписать по данному признаку.

Задание 2-го уровня – задачи с «зашумлениями».

«Зашумление» − введение дополнительного условия в задание, которое препятствует решению задания с опорой только на известное правило, алгоритм, шаблон. В задании этого уровня требуется видоизменить освоенный общий способ действия в соответствии с новыми условиями. «Зашумления» могут быть различных типов, что позволяет конструировать неаналогичные задания 2-го уровня.

Примеры «зашумлений» 2. Для задания 2-го уровня задач на правило из примера 1 «зашумления» следующих типов:

− формулировка задания не содержит прямого указания учителя воспользоваться известным ученику признаком: какие числа делятся на 2? Какие числа делятся на 5? Какие числа делятся на 10?

− ученик должен применить сразу два признака;

Пример 1:

Какие из чисел 18, 35, 53, 70, 204, 360:

а)  делятся на 2, но не делятся на 5;

б) делятся на 5, но не делятся на 2;

в) делятся на 2 и на 5;

г) не делятся ни на 2, ни на 5?

 Пример 2:

Поставьте вместо знака звёздочка 36*  такую цифру, чтобы получившееся число делилось на 2

Задании 3-го уровня от учащегося требуется видоизменить освоенный общий способ действия в соответствии с новыми условиями. 

Пример 1:.

Укажи трёхзначное число, первая цифра которого — 4, и оно делится и на 2, и на 5.

  Признака делимости на 3 и на 9:

1.      Правило признака делимости на 3: число делится на 3 в том и только том случае, если сумма цифр этого числа делится на 3.

2.      Правило признака делимости на 9: число делится на 9 в том и только том случае, если сумма цифр этого числа делится на 9.

Другая формулировка: Если сумма цифр делится на 9, то и само число делится на 9; если сумма цифр не делится на 9, то и само число не делится на 9.

Задание 1-го уровня точно воспроизводит известный признак, содержит стандартную формулировку с прямым указанием применить признак делимости на 3, признак делимости на 9.

Пример:

1. Какие из чисел 9376, 882,1050,12345,1152 делятся на 3? Запишите их в порядке возрастания.

От учащегося требуется точное следование известному правилу.

Критерий выполнения задания: Задание считается выполненным, если учащийся выписал все числа, которые делятся на три.

Задание 2-го уровня – задачи с «зашумлениями».

«Зашумление» − введение дополнительного условия в задание, которое препятствует решению задания с опорой только на известное правило, алгоритм, шаблон. «Зашумления» могут быть различных типов, что позволяет конструировать неаналогичные задания 2-го уровня.

Примеры «зашумлений» 2. Для задания 2-го уровня задач на правило из примера 1 «зашумления» следующих типов:

− формулировка задания не содержит прямого указания учителя воспользоваться известным ученику признаком: какие числа делятся на 2? Какие числа делятся на 5? Какие числа делятся на 10?

− ученик должен применить сразу два признака;

Пример 1:

Какие из чисел 18, 35, 53, 70, 204, 360:

а)  делятся на 3, но не делятся на 9;

б) не делятся ни на 3, ни на 9?

 Пример 2:

Определи цифру(-ы), которую(-ые) можно подставить вместо ∗, чтобы число 4∗467 делилось на 3.

Задании 3-го уровня от учащегося требуется видоизменить освоенный общий способ действия в соответствии с новыми условиями. 

Пример 1:.

Укажи трёхзначное число, первая цифра которого — 5, и оно делится и на 3, но не делится на 9.  

При решении заданий первого уровня учащиеся, осмысленно применяющие правило, успешно справятся с задачей, в то время как учащиеся, слепо оперирующие правилом – нет. Так, задание первого уровня разделяет учеников слепо и осмысленно пользующихся известным образцом. При решении заданий второго уровня, учащиеся, ориентирующиеся на общий способ действия, успешно смогут решить такое задание, а учащиеся, не овладевшие общим способом или понятием, а ориентирующиеся только на известный им образец, не смогут. В этом случае задание второго уровня позволяет различать учащихся, ориентирующихся на образец и на общий способ действия с предметным содержанием. Успешно справиться с заданием третьего уровня смогут только те учащиеся, которые сумеют перестроить общий принцип действия, в отличие от тех, кто пока еще ориентируется только на общий способ действия с предметным содержанием. 

Банк задач по уровням

1 уровень.

1тип заданий: Верно ли утверждение, требует от учащихся знание признаков делимости.

1. Будет ли верным утверждение: Если число делится на 10, то оно делится на 2.
2. Будет ли верным утверждение: Если число делится на 2, то оно делится на 4.
3. Верно ли утверждение: Если число делится на 5, то оно не делится на 10.
4. Верно ли утверждение: Если число делится на 9, то оно не делится на 3.
5. Верно ли утверждение: Если число делится на 2, то оно делится на 5.
6. Верно ли утверждение: Если число делится на 5, то оно делится на 10.
7. Будет ли верным утверждение:  Если число делится на 10, то оно не делится на 2.
8. Верно ли утверждение: Если число делится на 9, то оно делится на 3.
9. Будет ли верным утверждение:  Если число делится на 10, то оно не делится на 5.
10. Будет ли верным утверждение:  Если число делится на 2, то оно не делится на 5.
11. Верно ли утверждение: Если число делится на 5, то оно делится на 2.
12. Будет ли верным утверждение: Если число делится на 10, то оно делится на 5.
13. Верно ли утверждение: Если число делится на 5, то оно не делится на 2.
14. Верно ли утверждение: Если число делится на 3,  то оно не делится на 9.
15. Верно ли утверждение: Если число делится на 2, то оно не делится на 10.

2 тип задач

1.       Какие из чисел 9376, 881,1050,12345,1112 делятся на 2? Запишите их в порядке возрастания.

2.       Какие из чисел 132, 815,2600,551,1000 делятся  на 5? Запишите в порядке убывания.

3.      Какие из чисел 18, 35, 53, 70, 204, 360  делятся на 2?

4.      Какие из чисел 18, 35, 53, 70, 204, 360 делятся на 5?

5.      Какие из чисел 18, 35, 53, 70, 204, 360 делятся на 10?

6.      Какие из чисел 18, 35, 53, 70, 204, 360 делятся на 3?

7.      Какие из чисел 18, 35, 53, 70, 204, 360: делятся на 9?

2 уровень

1 тип задач

1. Узнай цифру(-ы), которую(-ые) можно подставить вместо ∗, чтобы число 38∗44 делилось на 3.  Ответ: (возможные цифры записывай в порядке возрастания, без промежутков, используя для разделения символ;)

2. Определи цифру(-ы), которую(-ые) можно подставить вместо ∗, чтобы число 47∗62 делилось на 3. Ответ: (возможные цифры записывай в порядке возрастания, без промежутков, используя для разделения символ;)

3. Определи цифру(-ы), которую(-ые) можно подставить вместо ∗, чтобы число 29∗53 делилось на 3. Ответ: (возможные цифры записывай в порядке возрастания, без промежутков, используя для разделения символ;)

4. Определи цифру(-ы), которую(-ые) можно подставить вместо ∗, чтобы число 38∗53 делилось на 3. Ответ: (возможные цифры записывай в порядке возрастания, без промежутков, используя для разделения символ ;)

5. Определи цифру(-ы), которую(-ые) можно подставить вместо ∗, чтобы число 29∗62 делилось на 3. Ответ: (возможные цифры записывай в порядке возрастания, без промежутков, используя для разделения символ ;)

 6. Узнай цифру(-ы), которую(-ые) можно подставить вместо ∗, чтобы число 3∗648 делилось на 3. Ответ: (возможные цифры записывай в порядке возрастания, без промежутков, используя для разделения символ ;)

7. Узнай цифру(-ы), которую(-ые) можно подставить вместо ∗, чтобы число 2∗649 делилось на 3. Ответ: (возможные цифры записывай в порядке возрастания, без промежутков, используя для разделения символ ;)

8. Определи цифру(-ы), которую(-ые) можно подставить вместо ∗, чтобы число 4∗737 делилось на 3. Ответ: (возможные цифры записывай в порядке возрастания, без промежутков, используя для разделения символ ;)

9. Поставьте вместо знака звёздочка 36*  такую цифру, чтобы получившееся число делилось на 2

11. В четырёхзначном числе 273* вместо последней цифры стоит звёздочка. Какой может быть эта цифра, чтобы оно делилось на 5?

12. В четырёхзначном числе 273* вместо последней цифры стоит звёздочка. Какой может быть эта цифра, чтобы оно делилось на 3?

13. В четырёхзначном числе 273* вместо последней цифры стоит звёздочка. Какой может быть эта цифра, чтобы оно делилось на 9?

14. Подставьте вместо знака * такую цифру, чтобы получившееся число делилось на 9: 318*.

15.  Подставьте вместо знака * такую цифру, чтобы получившееся число делилось на 3: 48*25.

2 тип задач

1. Какие из чисел 18, 35, 53, 70, 204, 360 делятся на 2, но не делятся на 5;

2. Какие из чисел 18, 35, 53, 70, 204, 360 делятся на 5, но не делятся на 2;

3. Какие из чисел 18, 35, 53, 70, 204, 360 делятся на 2 и на 5;

3. Какие из чисел 18, 35, 53, 70, 204, 360  не делятся ни на 2, ни на 5?

3 уровень

1. Укажи трёхзначное число, первая цифра которого — 2, и оно делится на 2, на 5 и на 9.

2. Запиши трёхзначное число, первая цифра которого — 3, и оно делится на 2, на 5 и на 9.

3. Укажи трёхзначное число, первая цифра которого — 7, и оно делится на 2, на 5 и на 9.

4. Укажи трёхзначное число, первая цифра которого — 4, и оно делится на 2, на 5 и на 9.

5. Запиши трёхзначное число, первая цифра которого — 6, и оно делится на 2, на 5 и на 9.

6. Запиши трёхзначное число, первая цифра которого — 9, и оно делится на 2, на 5 и на 3.

Инструменты формирующего оценивания в рамках данной темы.

1. «Сигнальные карточки»

Учитель предлагает учащимся показывать сигналы карточкой, обозначающие понимание или непонимание изучаемого материала. Предварительно следует договориться об использовании условных сигналов. Возможные варианты: зелёная карточка – «я понимаю и могу объяснить своим одноклассникам»; жёлтая – «я понимаю, но пока не готов объяснить своим одноклассникам»; красная – «я не уверен, что понял, есть сомнения».

Оцениваемые результаты: предметные и метапредметные

Кто проводит оценивание: учитель, учащиеся (самооценка)

Цель проведения: анализ понимания объясняемого материала, определение темпа урока. По итогам оценивания учитель может продолжить объяснение или объяснить непонятный материал повторно

2. «Недельный отчёт»

Недельные отчёты- листы, которые учащиеся заполняют раз в неделю, отвечая на три вопроса: 1. Чему я научился за эту неделю? 2. Какой изученный материал остался для меня неясным? 3. Если бы я был учителем, какие вопросы я задал бы учащимся для проверки понимания изученной темы?

Оцениваемые результаты: предметные и метапредметные Кто проводит оценивание: учитель, учащиеся (самооценка)

Цель проведения: недельные отчёты дают учащимся возможность провести рефлексию вновь приобретённых знаний и сформировать вопросы о том, что им неясно.

Учитель может: 1) узнать о затруднениях и ошибочных понятиях, сформированных у учеников; 2) получить полезную обратную связь и реорганизовать содержание курса; 3) проникнуть в то, как учащийся осознает собственную учебную деятельность

3. «Закончи предложение»

Сегодня я узнал…

Было трудно….

Я справился с заданием…

Я понял, что….

Теперь я могу…

4. «Лист самооценки»

	В начале урока (+, -, +/-)	В конце урока (+, -, +/-)
Я знаю признаки делимости на 2, на 3, на 5, на 9, на10
Я умею применять признаки делимости  в вычислениях
Я умею применять признаки  в несложных задачах
я умею решать задачи 2 уровня
Я умею решать задачи 3 уровня

          Пример самостоятельной работы

1.      Какие из чисел 212, 216, 8361, 56007, 4125,  111, 110, 132, 815, 70, 204. 315, 1050, 2600 делятся

    а) на 5;   б) на 2;    в) на 3;    г) на 9;   д) на 10

  2. Верно ли утверждение: Если число делится на 5, то оно не делится на 10.

  3.  Какие из чисел 18, 35, 53, 70, 204, 360 делятся на 2, но не делятся на 5;

  4. В четырёхзначном числе 273* вместо последней цифры стоит звёздочка. Какой может быть эта цифра,      чтобы оно делилось на 2?

   5. Даны цифры 4,0 и 5. Используя каждую цифру по одному разу в записи числа, составьте все трёхзначные числа, которые: а) Делятся на 2; б) Не делятся на 5; в)Делятся на 10.

Критерий оценивания работы:

«3»  за первые два задания

«4» за четыре задания

«5» за пять заданий.

Проверочная работа (8б)

1. Будет ли верным утверждение (1 Б):

 Если число делится на 10, то оно делится на 5.

2.      Делится ли на 2 или 5? (1 Б.)  Число 350 кратно числам…..

3.      Определить цифру вместо звёздочки (1 Б.)  Узнай цифру, которую можно подставить вместо ∗, чтобы число 246∗1 делилось на 9. Ответ: (возможные цифры записывай без промежутков, используя для разделения символ ;)

4.      Запиши число, делящееся на 3 и на 5, но не делящееся на 2 и 9 (2 Б.) Запиши трёхзначные числа, первая цифра которых — 9, и они делятся на 3 и на 5, но не делятся ни на 2, ни на 9.

5. Запиши трёхзначное число (3 Б.)  Укажи трёхзначное число, первая цифра которого — 4, и оно делится на 2, на 5 и на 9.

Как высчитывается рекомендуемая отметка в разделе «Проверочные работы»

Отметка	Процент*	Уровни освоения
5	87-100%	высокий
4	66-86%	оптимальный
3	42-65%	удовлетворительный
2	2-41%	неудовлетворительный
1	0-1%	не выполнено

Инструменты педагогической поддержки со стороны учителя

1)               указания типа задач, правила, на которые опирается данное упражнение;

2)               приведения аналогичной задачи, решенной ранее;

3)               объяснение хода выполнения подобного задания;

4)               использование рабочих тетрадей с печатной основой.

Список литературы

1. Математика. Арифметика. Геометрия. 5 класс: учеб.для общеобразовательных учреждений с прил. на электрон.носителе / [Е.А.Бунимович, Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова и др.]; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». – 2-е изд.- М.: Просвещение , 2013.
2. Математика. Арифметика. Геометрия. Задачник. 5 класс: пособие для учащихся общеобразовательных организаций / [Е.А.Бунимович, Л.В.Кузнецова, С.С.Минаева  и др.]; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». – 4-е изд.- М.: Просвещение , 2014.
3. Математика. Арифметика. Геометрия. Тетрадь-тренажёр. 5 класс: пособие для учащихся общеобразовательных организаций / [Е.А.Бунимович, Л.В.Кузнецова, С.С.Минаева  и др.]; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». – 4-е изд.- М.: Просвещение , 2014.
4. Сафонова Н. В. Математика. Арифметика. Геометрия. Поурочные методические рекомендации. 5 класс: пособие для учителей общеобразовательных учреждений / Н.В.Сафонова; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». –  М.: Просвещение , 2012.
5. Образовательный Интернет-ресурс «Якласс».