Разработка урока алгебры "Решение уравнений и неравенств" в целых числах

1. Введение.

Решение уравнений и неравенств с целыми коэффициентами в целых числах является одной из самых трудных проблем теории чисел. Однако задачи этой тематики достаточно часто встречаются на вступительных экзаменах в МГУ и других вузах. Несмотря на то, что этими задачами занимались многие выдающиеся математики древности (Пифагор, Диофант, П. Ферма, Л. Эйлер, Ж. Л. Лагранж и др.), универсальные методы в этой области, позволяющие решить в целых числах любое уравнение или неравенство, отсутствуют. Проблема решена только для уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными. Однако и для этих уравнений использование полученных методов часто оказывается не самым эффективным и достаточно трудоёмким. Рассмотрим на примерах задач основные, наиболее часто используемые приёмы решения уравнений и неравенств в целых числах второго и высших порядков, которые не являются универсальными, но в большинстве случаев оказываются более экономичными и удобными.

2. Соображения делимости и основная теорема арифметики.

Основная теорема арифметики. Каждое натуральное число n > 1 представляется в виде n = …, где , …,  - суть простые числа, причём представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Следствие. Каждое натуральное число n единственным образом представимо в виде n = …, где  < …<  - простые и , …  - некоторые натуральные числа.

Задача1. Решить в целых числах уравнение x² – 7y² = 5.

Решение. Перепишем исходное уравнение в следующем виде:

x² – 5 = 7y². Правая часть этого уравнения делится на 7, следовательно, и левая часть уравнения должна делиться на 7. Рассмотрим всевозможные остатки от деления x на 7:

1) x = 7k,

x² – 5 = (49k² – 5) не делится на 7;

2) x = 7k  1,

x² – 5 = (49k²  14k – 4)  не делится на 7;

3) x = 7k  2,

x² – 5 = (49k²  28k – 1) не делится на 7;

4) x = 7k  3,

x² – 5 = (49k²  42k + 4) не делится на 7.

Таким образом, получаем, что ни при каких x левая часть уравнения не кратна 7, следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

Задача2. Найти целые положительные решения уравнения

2x² + 2xy – x + y = 112.

Решение. Данное уравнение линейно относительно y:

y(2x + 1) = 112 + x – 2x²; так как x, y N, то 2x + 10, поэтому имеем:

y =,

y =,

y=,

y=,

y= 

                                                                 x = 0,

                                                                 y = 112,

                                 2x + 1 = 1,               x = 1,

 111  (2x + 1)     2x + 1 = 3,           y = 37,

                                 2x + 1 = 37,             x = 18,

                                 2x + 1 = 111;           y = -14,

                                                                 x = 55,

                                                                 y = -53.

После проверки получаем, что уравнение имеет одно целое положительное решение

x = 1, y = 37.

Ответ: (1; 37).

Задача3. Найти все целочисленные решения системы

7889x³ = 2875y³,

                                                      8.

Решение. Разложим 7889 и 2875 на простые множители:

7889 = 23  7³, 2875 = 23  5³. Тогда первое уравнение системы равносильно следующему: 7x = 5y. Отсюда следует, что y  7. Так как   8, то

y₁ = -7, y₂ = 0, y₃ = 7.

Далее ищем соответствующие x₁, x₂ и x_3, подставляя найденные y_1,  y_2,  y₃ в первое уравнение системы.

y = -7,             y = 0,           y = 7,

x = ,       x = ,       x = ,

y = -7,             y = 0,           y = 7,

x = -5;             x = 0;           x = 5.

Ответ: (-5; -7), (0; 0), (5; 7).

3. Метод разложения на множители.

Задача4. Найти все целые решения уравнения

2x²y² + y² – 6x² – 12 = 0.

Решение. Уравнение

2x²y² + y² – 6x² – 12 = 0,

y²(2x² + 1) – 3(2x² + 1) – 9 = 0,

(2x² + 1)(y² – 3) = 9 = 19 = 33 = 91.

Поскольку x и y – целые, то выражение 2x² + 1 является натуральным числом, а y² – 3 – целым.

                                                                             2x² + 1 = 9,

                                                                             y² – 3 = 1;

Итак, имеем совокупность трёх систем:         2x² + 1 = 3,

                                                                             y² – 3 = 3;

                                                                             2x² + 1 = 1,

                                                                             y² – 3 = 9.

Решим первую систему совокупности:

                                           x = 2,                                    

                                           y = 2;

                                           x = 2,

x² = 4,    x = 2,        y = - 2;

y² = 4;        y = 2;            x = - 2,

                                           y = 2;

                                           x = - 2,

                                           y = - 2.

Решим вторую систему совокупности:

x² = 1,    x = 1,         - система не имеет целых решений.

y² = 6;        y =

Решим третью систему совокупности:

x² = 0,      x = 0,          - система не имеет целых решений.

y² = 12;        y =

Получаем, что последние две системы совокупности не имеют целых решений. Ответом будут решения первой системы.

Ответ: (2; 2), (2; -2), (-2; 2), (-2; -2).

Задача5. Найти все целые числа m и n такие, что 2mn + 3m = 10 и

m + n  5.

Решение. Из первого условия следует, что

m(2n + 3) = 10,

причём m – целое, а 2n + 3 – целое и нечётное. Следовательно, возможны следующие варианты:

1)  m = 2,          m = 2,  m + n = 3 < 5 – не удовлетворяет второму условию;

     2n + 3 = 5;   n = 1;

2)  m = -2,         m = -2,  m + n = -6 < 5  – не удовлетворяет второму

     2n + 3 = -5;  n = -4;

условию;

3)  m = 10,        m = 10,  m + n = 9 > 5 – верно;

     2n + 3 = 1;   n = -1;

4)  m = -10,       m = -10,  m + n = -12 < 5 – не удовлетворяет второму

     2n + 3 = -1;  n = -2;

условию.

Ответ: m = 10, n = -1.

4. Графический метод решения.

Задача6. Найти все целочисленные пары (x; y), удовлетворяющие уравнению

 +  = 2.

Решение. Найдём сначала все целые допустимые пары:

   2x – y – 3  0,       y  2x – 3,

   2y – x + 3  0,       y  ,

   3 – x – y  0;         y  3 – x.

Изобразим множество решений последней системы на координатной плоскости:                                        

y = 2x - 3

   

1

	y

3

1

0

x

y =

y = 3 - x

-3

Итак, множеством всех решений системы является заштрихованная область с границей. Выберем только интересующие нас целые решения. Имеем: (x; y) = (1; -1), (2; 1), (3; 0), (2; 0). Проверим эти решения, подставляя их в исходное уравнение:

1)  +  = 2,

0 = 2  – не верно;

2)  +  = 2,

 = 0 – не верно;

3)  +  = 2,

 = 0 – не верно;

4)  +  = 2,

1 +1 = 2 – верно.

Таким образом, из этих пар исходному уравнению удовлетворяет только пара (2; 0).

Ответ: (2; 0).

Задача7. Найти все целочисленные пары (x; y), удовлетворяющие уравнению

 +  = 2.

Решение. Сначала найдём все допустимые пары:

  2x + y – 4  0,      y  4 – 2x,

  5 – x – 2y  0,      y  ,

  2 – x + y  0;       y  x – 2.

Изобразим множество решений этой системы на координатной плоскости:

3

2

1

1

2

-2

0

y

x

  

y =

y = x - 2

y = 4 – 2x

Множеством решений системы является заштрихованная область с границей. Выберем только интересующие нас целые решения. Имеем: (x; y)= (2; 0),

(3; 1), (2; 1), (1; 2). Проверим эти пары, подставляя их в исходное уравнение:

1)  +  = 2,

 = 0 – не верно;

2)  +  = 2,

 = 0 – не верно;

3)  +  = 2,

1 + 1 = 2 – верно;

4)  +  = 2,

0 = 2 – не верно.

Из этих решений исходному уравнению удовлетворяет пара (2; 1).

Ответ: (2; 1).

Задача8. Найти все целочисленные решения системы

                         (x – 2)² + (y – 3)² < 5,

                          4y  x + 8.

Решение. Первое неравенство задаёт внутренность круга радиусом  с центром в точке (2; 3). Найдем все целые допустимые пары:

  (x – 2)² + (y – 3)² < 5,

   y  .

y

Теперь изобразим множество решений системы на координатной плоскости:

(x – 2)2 + (y – 3)2 = 5

 

y =

-1

0

1

x

Множеством всех решений системы является область, отмеченная двойной штриховкой, причём точки, лежащие на прямой, включены, а точки, лежащие на окружности, не включены в эту область. Выберем только интересующие нас целые решения: (1; 1), (2; 1),

(3; 1), (0; 2), (1; 2), (2; 2), (3; 2), (4; 2), (4; 3). Точки (0; 2), (1; 1), (3; 1), (4; 2) не удовлетворяют первому неравенству системы, так как лежат на окружности.

Проверим пары (1; 2), (2; 1), (2; 2), (3; 2), (4; 3), подставляя их в систему:

1)  (1 – 2)² + (2 – 3)² < 5,      2 < 5,      - верно;

      2  ;                          2  2;

2)  (2 – 2)² + (1 – 3)² < 5,     4 < 5,      - верно;

     1  ;                         1  2;

3)  (2 – 2)² + (2 – 3)² < 5,     1 < 5,       - верно;

      2  ;                        2  2;

4)  (3 – 2)² + (2 – 3)² < 5,     2 < 5,       - верно;

      2  ;                        2  2;

5)  (4 – 2)² + (3 – 3)² < 5,     4 < 5,        - верно.

      3  ;                        3  3;

Таким образом, все эти пары удовлетворяют системе.

Ответ: (1; 2), (2; 1), (2; 2), (3; 2), (4; 3).

5. Метод решения уравнения относительно одного из неизвестных.

Задача9. Найти все пары целых x и y, удовлетворяющих равенству

4x² – 2xy + 2y² + y – 2x – 1 = 0.

Решение. Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно x:

4x² – 2(y + 1)x + 2y² + y – 1 =0;

 = -7y² – 2y + 5  0;

-7(y + 1)(y – )  0;

-1  y  .

То есть y = -1 или y = 0. При y = 0 исходное уравнение имеет вид

4x² – 2x – 1 = 0 и не имеет целых корней. При  y = -1 уравнение имеет вид

4x² = 0;

x = 0.

Ответ: (0; -1).

Задача10. Найти все целочисленные решения уравнения

2x² – xy – 3y² = 7.

Решение. Рассмотрим уравнение как квадратное относительно x, тогда его дискриминант D = 25y² + 56. Так как нас интересуют целочисленные решения, дискриминант должен быть квадратом целого числа, то есть

25y² + 56 = K²;

(K – 5y)(K + 5y) = 56.

Рассмотрим все варианты разложения числа 56 на целые множители:

56 = 2  28;

56 = -2  (-28);

56 = 7  8;

56 = -7  (-8);

56 = 4  14;

56 = -4  (-14).

В итоге получим, что целые решения имеют две системы:

1)  K – 5y = 4,        y = 1;

     K + 5y = 14;

2)  K – 5y = -4,       y = -1.

     K + 5y = -14;

Подставляя эти значения в исходное уравнение, имеем:

  x₁ = -2,         x₂ = 2,

  y₁ = 1;          y₂ = -1.

Ответ: (-2; 1), (2; -1).

6. Метод перебора.

Задача11. Найти все целочисленные решения системы

(x – 3)² + (y – 4)² < 5,

4y  x + 11.                                       (1)

Решение. Первое неравенство задаёт внутренность круга радиуса  с центром в точке (3; 4) и

  (x – 3)² < 5,         < ,

  (y – 4)² < 5;             < .

С учётом целочисленности x и y имеем: 1  x  5 и 2  y  6. Разрешим второе неравенство системы сначала относительно y:

y  ;       y   = 4,                                                        (2)

то есть 2  y  4. Затем относительно x:

x  4y – 11.                                                                               (3)

Теперь целочисленные решения неравенств (1) и (3) можно найти перебором.

1. Пусть y = 2, тогда из (1) следует, что (x – 3)² < 1   < 1;

-1 <  x – 3 < 1;       2 < x < 4.

Следовательно, целочисленное решение есть: x = 3. Оно удовлетворяет и (3).

2. Если y = 3, тогда из (1) следует, что (x – 3)² < 4   < 2;

-2 < x – 3 < 2;        1 < x < 5.

Таким образом, получаем решения x , и все они удовлетворяют (3).

3. И наконец, при y = 4 из (1) следует, что  < , то есть 1  x  5. Неравенство (3) приводит при этом к ограничению x  5. Таким образом, имеем одно решение x = 5.

Ответ: (3; 2), (2; 3), (3; 3), (4; 3), (5; 4).

Задача12. Найти все пары чисел (x; y), для которых выполняются одновременно следующие условия:

а) 2x² – xy + 9 = 0; б) 2x² + y²  81; в) x – целое.

Решение. Из первого условия следует, что дискриминант квадратного уравнения больше либо равен нулю, то есть имеем:

D = y² – 72  0;    y²  72, x  0.

Второе условие:

2x² + y²  81;       2x²  81 – y².

С учётом следствия из первого условия получаем:

2x²  81 – 72 = 9.

Отсюда следует, с учётом последнего условия, что x = 1, 2. Теперь с помощью перебора определим все пары (x; y), удовлетворяющие заданным трём условиям.

1) При x = 1 из первого условия получаем y = 11. Проверим выполнение второго условия:

2x² + y² = 2 + 121 > 81.

Таким образом, второе условие не выполняется.

2) При x = -1 из первого условия получаем y = -11, а 2x² + y² = 2 + 121 > 81, то есть второе условие не выполняется.

3) При x = 2 из первого условия получаем y = 8, а

2x² + y² = 8 +  > 80 < 81.

Таким образом, пара (2; 8) удовлетворяет всем трём заданным условиям.

4) При x = -2 из первого условия получаем y = -8, а

2x² + y² = 8 +  > 80 < 81.

То есть пара (-2; -8) также удовлетворяет всем заданным условиям.

Ответ: (2; 8), (-2; -8).

• 1 слайд

  Соображения делимости
  Найти целые положительные решения уравнения
  2x2 + 2xy – x + y = 112.
  Решение.
  Данное уравнение линейно относительно y:
  y(2x + 1) = 112 + x – 2x2.
  Так как x, y N, то 2x + 1 0, поэтому:
  2x + 1 = 1,
  2x + 1 = 3,
  2x + 1 = 37,
  2x + 1 = 111;
  x = 0,
  y = 112,
  x = 1,
  y = 37,
  x = 18,
  y = -14,
  x = 55,
  y = -53.
  После проверки получаем одно целое положительное решение x = 1, y = 37.
  Ответ: (1; 37).
  

• 2 слайд

  Метод разложения на множители
  Решение.
  Из первого условия следует, что m(2n + 3) = 10, причём
  m – целое, а 2n + 3 – целое и нечётное. Следовательно, возможны следующие варианты:
  1. m = 2,
  2n + 3 = 5;
  m = 2,
  n = 1;
  m + n = 3 < 5 – не удовлетворяет второму условию;
  2. m = -2,
  2n + 3 = -5;
  m = -2,
  n = -4;
  Найти все целые числа m и n такие, что
  2mn + 3m = 10 и
  m + n 5.
  m + n = -6 < 5 – не удовлетворяет второму условию;
  3. m = 10,
  2n + 3 = 1;
  m = 10,
  n = -1;
  m + n = 9 > 5 – верно;
  4. m = -10,
  2n + 3 = -1;
  m = -10,
  n = -2;
  m + n = -12 < 5 – не удовлетворяет второму условию.
  Ответ: m = 10, n = -1.
  

• 3 слайд

  Графический метод решения
  Найти все целочисленные пары (x; y), удовлетворяющие уравнению
  Решение.
  Найдём сначала все целые допустимые пары:
  2x – y – 3 0,
  2y – x + 3 0,
  3 – x – y 0;
  y 2x – 3,
  y
  y 3 – x.
  Изобразим множество решений последней системы на координатной плоскости:
  y = 2x - 3
  y = 3 - x
  y
  x
  1
  1
  0
  -3
  3
  Целые решения:(1; -1), (2; 1), (3; 0), (2; 0).
  Проверим эти решения, подставляя их в исходное уравнение:
  1.
  - не верно;
  2.
  - не верно;
  3.
  - не верно;
  4.
  - верно.
  Ответ: (2; 0).
  

• 4 слайд

  Графический метод решения
  (x – 2)2 + (y – 3)2 < 5,
  4y x + 8.
  Найти все целочисленные решения системы
  Решение.
  Найдем все целые допустимые пары:
  (x – 2)2 + (y – 3)2 < 5,
  Изобразим множество решений системы на координатной плоскости:
  y
  x
  0
  1
  -1
  (x – 2)2 + (y – 3)2 < 5
  Целые решения: (1; 1), (2; 1), (3; 1), (0; 2), (1; 2), (2; 2), (3; 2), (4; 2), (4; 3).
  Точки (0; 2), (1; 1), (3; 1), (4; 2) не удовлетворяют первому неравенству системы, так как лежат на окружности.
  Ответ: (1; 2), (2; 1), (2; 2), (3; 2), (4; 3).
  

• 5 слайд

  Метод решения уравнения относительно одного из неизвестных
  Найти все целочисленные решения уравнения
  2x2 – xy – 3y2 = 7.
  Рассмотрим уравнение как квадратное относительно x, тогда D = 25y2 + 56. Так как нас интересуют целочисленные решения, то
  25y2 + 56 = K2;
  (K – 5y)(K + 5y) = 56.
  Рассмотрим все варианты разложения числа 56 на целые множители:
  В итоге получим, что целые решения имеют две системы:
  1) K – 5y = 4,
  K + 5y = 14;
  y = 1;
  2) K – 5y = -4,
  K + 5y = -14;
  y = -1.
  Подставляя эти значения в исходное уравнение, имеем:
  x1 = -2,
  y1 = 1;
  x2 = 2,
  y2 = -1.
  Решение.
  Ответ: (-2; 1), (2; -1).
  

• 6 слайд

  Метод перебора
  Найти все целочисленные решения системы
  (x – 3)2 + (y – 4)2 < 5,
  4y x + 11.
  (1)
  Решение.
  (x – 3)2 < 5,
  (y – 4)2 < 5;
  <
  <
  ,
  .
  Первое неравенство задаёт внутренность круга радиуса с центром в точке (3; 4) и
  С учётом целочисленности x и y имеем:
  и
  Разрешим второе неравенство системы сначала относительно y:
  (2)
  то есть
  Затем относительно x:
  (3)
  Пусть y = 2, тогда из (1) следует, что (x – 3)2 < 1
  1.
  < 1;
  -1 < x – 3 < 1; 2 < x < 4.
  Целочисленное решение есть: x = 3. Оно удовлетворяет и (3).
  2.
  Если y = 3, тогда из (1) следует, что (x – 3)2 < 4
  < 2;
  -2 < x – 3 < 2; 1 < x < 5.
  Таким образом, получаем решения
  и все они удовлетворяют (3).
  Ответ: (3; 2), (2; 3), (3; 3), (4; 3), (5; 4).
  3.
  При y = 4 из (1) следует, что
  <
  то есть
  Неравенство (3) приводит при этом к ограничению x 5. Таким образом, имеем одно решение x = 5.
  

• 7 слайд

  Универсальных методов для
  решения
  уравнений и неравенств в
  целых числах не существует.
  Чтобы решить в целых числах неравенство или уравнение, необходимо применить метод, подходящий для данного конкретного случая.