Обобщающий урок алгебры и начала анализа в 11 классе
по теме: «Решение тригонометрических уравнений»
Цель урока:
·
обобщить теоретические
знания по теме «Тригонометрические уравнения»,
·
повторить основные приёмы
решения тригонометрических уравнений,
·
рассмотреть решение данных
уравнений базового и повышенного уровней сложности,
·
организовать работу
учащихся на уровне, соответствующем уровню сформированных у них знаний.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.
Продолжительность
урока – 45 минут.
Ход урока:
I этап урока – организационный (1 минута)
Учитель сообщает тему
и цель урока.
II этап урока (19 минут). Повторение теоретического материала по теме «Формулы
корней простейших тригонометрических уравнений. Основные приёмы решения
тригонометрических уравнений»
1)
Учитель задаёт вопросы. Правильность
ответов проверяется с помощью мультимедийного проектора (на доске демонстрируются
заранее заготовленные слайды. Если учащиеся затрудняются ответить, учитель
демонстрирует слайд с готовым ответом и предлагает сделать запись в тетради).
а) Какие уравнения называются тригонометрическими?
Ответ: Тригонометрическими уравнениями называются
уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрической
функции.
б) Перечислите простейшие тригонометрические уравнения и формулы их
корней.
Ответ: 1.
cos x=a, , х=n, nZ;
2. sin x=a, , х=n, nZ;
3. tg x=a, x=arctg a+n, nZ;
4. ctg x=a, x=arcctg a+n, nZ.
в) Перечислите частные случаи решения простейших тригонометрических
уравнений.
Ответ: 1.
sin x=0, x=n; sin x=1, x=n;
sin x= -1, x=n; nZ.
2. cos x=0, x=n; cos x=1, x=2n; cos x= - 1, x=n; nZ.
г) Что нужно сказать об уравнениях вида cos x=a и sin x=a, где ?
Ответ: В этом случае уравнение не имеет корней.
д) Назовите формулы, по которым решаются простейшие тригонометрические
уравнения с модулями.
Ответ: 1. 0≤a≤1,
x=n,
nZ;
2. , 0≤a≤1, x=n, nZ;
3. , x=n, nZ;
4. , x=n, nZ.
е) Перечислите основные методы решения тригонометрических уравнений.
Ответ: 1. Метод введения новой переменной. Этим
методом решаются тригонометрические уравнения, содержащие одну и ту же
функцию одного и того же аргумента (3tg2x+tgx
– 1=0).
2. Метод разложения на множители. При
применении этого метода
необходимо пользоваться правилом: произведение
нескольких
множителей равно нулю тогда и только тогда, когда
хотя бы один из них равен нулю (sinxcosx+cos2x=0; sin2x=sinx).
3. Метод
решения однородных уравнений. Однородное
тригонометрическое
уравнение первой степени: asinx+bcosx=0,
решается
делением обеих частей уравнения на cosx≠0 или sinx≠0.
Однородное
тригонометрическое уравнение второй степени:
asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0, решается делением
обеих частей
уравнения
на cos2х≠0 или sin2x≠0.
4. Функционально-графический метод (основан на
применении свойств тригонометрических функций).
5. Методом введения вспомогательного угла решаются
уравнения вида asinx+bcosx=c, авс≠0.
6. Метод оценки значений левой и правой частей
уравнения.
7.
Решение уравнений, являющимися равенством двух одноимённых
функций.
а) sinf(x)=sing(x)
б) cosf(x)=cosg(x)
в) tgf(x)=tgg(x)
2) Устные упражнения (на экран выводится
тренажёр для устного счёта, учащиеся работают по цепочке, ошибающийся считает
повторно).
1. Вычислить устно
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
2. Решить уравнение:
1.
2.
3.
4.
5.
6. sin2xcosx+cos2xsinx=-1
III этап урока (18 минут). Практическая разноуровневая
работа по решению заданий на тему «Решение тригонометрических уравнений».
Учитель продолжает коллективную работу с
учащимися 1-ой и 2-ой групп, а учащиеся 3-ей группы начинают выполнять задания
на карточках самостоятельно.
Для учащихся 3-й группы учителем составлены
карточки в 2-х вариантах с заданиями базового уровня сложности. Учащиеся 3-й
группы - это учащиеся со слабой математической подготовкой, при выполнении
заданий учитель оказывает им помощь.
Вместе с заданиями учащиеся получают бланки
для выполнения заданий.
Двое учеников из 1-ой группы и один из второй
группы у доски решают уравнения.
1-ая группа
1.Решите уравнение ;
2. Найдите все значения х, при каждом из которых графики
функций и пересекаются.
2-ая группа
3. Решите уравнение cos3x+sin2x
– sin4x=0.
1. Решение:
1) Учитывая, что , т.е. преобразуем
уравнение к виду: , , .
2)
Решим полученное уравнение:
а) , что не удовлетворяет условию ;
б) , отсюда ,
Ответ: ,
2. Решение:
1) Из
условия задачи имеем:
Учитывая, что , преобразуем уравнение к виду:
; .
2)
Решим полученное уравнение при условии :
а) ;
б).
Ответ: , .
3. Решение:
cos3x+(sin2x – sin4x)=0;
применив формулу
разности синусов, получим уравнение:
cos3x+( -2sinxcosx)=0;
cos3x(1 – 2sinx)=0;
cos3x=0, sinx=0,5;
x=,
x=, n, kZ.
После решения этих уравнений у доски учащиеся
1-ой и 2-ой групп приступают к выполнению самостоятельной работы. Для
них составлены карточки в двух вариантах: для 1-oй группы- задания
повышенного уровня сложности, для второй – базового уровня.
Вариант № 1. (первый уровень)
1 . Решите уравнение .
2.
Найдите
значение выражения , если ,
.
3.
Решите
уравнение (2cosx
– 1)
4.
Решите
уравнение .
5. Найдите все значения х, при каждом из которых
выражения
и принимают равные значения.
Вариант № 2. (первый уровень)
1. Решите уравнение .
2. Найдите значение выражения , если , .
3. Решите уравнение (2cosx-1)=0.
4. Решите уравнение .
5. Найдите все значения х, при каждом из которых
графики функций
и пересекаются.
Вариант № 1. (второй уровень)
1. Решите уравнение .
2. Решите уравнение
3.Вычислить: 1+tg2x
– sin2x, если sin2=0,5.
4.
Решите
уравнение: sin(x+)=sin(2x+).
5.
Решите
уравнение: 2cosx - 3sinx=0.
6.
Найдите корень
уравнения , принадлежащий промежутку . Ответ укажите в градусах.
Вариант №2. (второй уровень)
1. Решите уравнение .
2. Решите уравнение
3.Вычислите: cos, если cos.
4. Решите уравнение: cos(3x+)=cos6x..
5. Решите уравнение: sin2x – 5sinxcosx+4cos2[=0/
6.Найдите корень уравнения , принадлежащий промежутку . Ответ укажите в градусах.
Вариант № 1. (третий уровень)
1. Решите уравнение .
2. Решите уравнение .
3. Решите уравнение .
4. Решите уравнение: .
5. Упростите: .
1)
|
1
|
3)
|
0
|
2)
|
|
4)
|
|
6. Найдите значение выражения , если
1)
1,5 2) 0,5 3)
-0,5 4) -1,5
Вариант № 2. (третий уровень)
1. Решите уравнение .
2. Решите уравнение .
3. Решите уравнение .
4. Решите уравнение: .
5. Упростите выражение .
6. Найдите значение выражения , если .
1)
-2 2) -1 3)
2 4) 1
По окончании
отведённого времени учащиеся сдают работы.
IV
этап урока (7 минут)
Подведение итогов урока, комментарии по
домашнему заданию
Учитель отвечает на вопросы, возникшие в ходе
самостоятельной работы (можно заранее приготовить решение наиболее трудны
заданий, и продемонстрировать их на экране), еще раз обращает внимание, на те
теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости
выучить их. Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, при
необходимости выставляет отметки.
В качестве домашнего задания учащиеся получают
по варианту из КИМов.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.