Разработка урока по алгебре на тему " Перестановки и размещения№ ( 9класс)

Урок 4.

Перестановки и размещения

Цель: дальнейшая отработка решения задач на перемещение и размещение, проверка степени усвоения решения задач.

I. Организационный момент.

II. Устный счёт.

Определите на какое понятие задача: перестановка – размещение?

Вопросы:

1.Даны цифры 1,2,3,4. Сколько любых чисел можно составить, используя эти цифры?

2. Даны цифры 1,2,3,4. Сколько любых 3-х значных чисел можно составить, используя эти цифры?

3. Даны цифры 1,2,3,4. Сколько любых трёхзначных чисел можно составить, используя эти цифры не более одного раза?

III. Решение задач.

Все вместе: №№734,754   (1 уровень сложности)

№734   Сколькими способами 9 человек могут, встать в очередь в те­атральную кассу?

Решение:

  Присвоим каждому человеку номер 9 (от 1 до 9). Тогда каждый способ расположения этих людей в очереди будет представлять собой последовательность из 9 цифр, порядок которых может меняться.

Количество способов, которыми 9 человек могут встать в очередь, равно Р= 9!=362 880.

Ответ: 362 880 способов.      

№754   Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

Решение.

   Пронумеруем места в купе (с № I по № 4) и будем «выдавать» каждому из трех членов семьи номер места. Из 4 элементов (номеров мест) будут делаться выборки по 3 элемента, при этом важен не только состав выборки, но и порядок расположения в ней элементов (кто именно и на каком месте поедет). Число способов равно числу размещений из 4 по 3:

способа.

  Можно рассуждать, непосредственно применяя правило произведения: для первого члена семьи можно выбрать любое из 4 мест, для второго - любое из 3 оставшихся, для третьего - любое из двух оставшихся, всего  способа рассадить семью в купе.

Ответ: 24 способа.

 №743,764б (2 уровень сложности)

№743   Сколько существует перестановок букв слова «конус», в кото­рых буквы «к», «о», «н» стоят рядом в указанном порядке?

Решение:

    Буквы «к», «о», «н» стоят рядом в указанном порядке, поэтому конструкцию «кон» можно считать одной буквой. Значит нужно найти количество перестановок из трех элементов:

Р= 3! = 6

Ответ: 6 перестановок.

№764(б)  Сколько можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (без их по­вторения) различных трехзначных чисел, кото­рые являются:

а) четными; б) кратными 5?

Решение.

Выбираем 3 цифры из 5 данных, причем:

а) последней цифрой должна быть 2 или 4; количество вариантов

  (фиксирована 2) + (фиксирована 4) = 2*4*3= 24 числа;

б) последней цифрой должна быть 5; количество вариантов рав­но

  (фиксирована 5) = 4 * 3 = 12 чисел.

Ответ: а) 24 числа; б) 12 чисел.

№744, 764а (3 уровень сложности)

№744   Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг — это сборники стихов, так, чтобы сборники стихов стояли рядом в произвольном порядке?

Решение:

    Из 12 элементов 5 элементов можно «склеить» Р= 5!= 120 различными способами.

    Число различных перестановок из 8 элементов (7 элементов + «склейка») равно Р=8!=40 320.

Общее число способов расставить12 книг, из которых 5 книг должны стоять рядом, равно 120•40 320=4 838 400.

Ответ: 4 838 400 способов.

№764(а)  Сколько можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (без их по­вторения) различных трехзначных чисел, кото­рые являются:

а) четными; б) кратными 5?

Решение.

Выбираем 3 цифры из 5 данных, причем:

а) последней цифрой должна быть 2 или 4; количество вариантов

  (фиксирована 2) + (фиксирована 4) = 2*4*3= 24 числа;

б) последней цифрой должна быть 5; количество вариантов рав­но

  (фиксирована 5) = 4 * 3 = 12 чисел.

Ответ: а) 24 числа; б) 12 чисел.

IV. Самостоятельная работа

I вариант	II вариант
1) В танцевальном кружке лучше всех танцуют 4 девочки: Аня, Ира, Оля, Яна и 3 мальчика: Боря, Юра, Гриша. На конкурс отправляют одну танцевальную пару. Сколько существует вариантов? ( решить задачу двумя способами: графически и с помощью формулы)	1) У Лены есть 3 нарядных платья: белое, чёрное, красное. И 4 банта: белый, чёрный, красный и жёлтый. Сколько вариантов наряда существует? ( решить задачу двумя способами: графически и с помощью формулы)
2) Сколькими способами 5 человек могут встать в очередь в билетной кассе?	2) Сколькими способами можно поставить на полке 6 различных книг?
3) В чемпионате по футболу участвуют 16 команд. Сколькими способами могут распределяться 3 призовых места?	3) Сколькими способами тренер может определить очерёдность: кто из 7-ми спортсменок побежит по 4 этапам?

V. Д/з №№733, 761 (1 уровень); 745, 844 (2,3 уровень)

№733  Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?

Решение:  Под маршрутом следует понимать порядок посещения курьером учреждений. Пронумеруем учреждения номерами от 1 до 7, тогда маршрут будет представляться последовательностью из 7 цифр, порядок которых может меняться.

   Количество маршрутов равно числу перестановок  из 7 элементов: Р=7!=5 040.

Ответ: 5040 маршрутов

№761 (1 уровень) ). На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозна­чить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сде­лать (в латинском алфавите 26 букв)?

Решение.Выбираем 5 букв для обозначения точек из 26 букв в алфавите; порядок выбора имеет значение (какую точку какой буквой обо­значим):

 способов.

Ответ: 7 893 600 способов

 745   Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1-го по 10-е? Сколькими спосо­бами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки — на четных?

Решение а) 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с первого по десятое Р=10!=3 628 800 различными способами.

б) Если мальчики могут сидеть только на нечётных местах, а девочки- только на чётных, то мы можем менять местами только мальчиков с мальчиками( Р= 5!= 120 вариантов для мальчиков), а девочек с девочками(Р= 5!= 120 вариантов для девочек).

   Каждый вариант расположения мальчиков может сочетаться с каждым из вариантов расположения девочек, поэтому по правилу произведения общее число способов рассадить детей в этом случае 120•120=14 400.

Ответ: а) 3 628 800 способов; б) 14 400 способов.

№ 844 (2,3 уровень)

Сколькими способами четыре пассажира: Алексеев, Смирнов, Федоров и Харитонов – могут разместиться в девяти вагонах поезда, если:

А) все они хотят ехать в разных вагонах;

Б) Алексеев и Смирнов хотят ехать в одном вагоне, а Федоров и Харитонов – в других вагонах, причем различных?

Решение:  а) Четыре пассажира могут разместиться в 9 вагонах, если они хотят ехать каждый в разных вагонах, способами. Значит, всего способов  9876 = 3024.

б) Алексеев и Смирнов могут выбрать один из 9 вагонов 9 способами. После этого Федоров и Харитонов могут выбрать по одному из 8 вагонов способами. Так как каждому выбору Алексеева и Смирнова соответствует  выборов Федорова и Харитонова, то всего способов окажется 9, т.е 504.

6. Итог.