Разработка урока "Показательные неравенства" (10 класс)

ДОНЕЦКАЯ  НАРОДНАЯ  РЕСПУБЛИКА

УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ ГОРОДА ДОНЕЦКА

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ШКОЛА № 44 ГОРОДА ДОНЕЦКА»

Открытый урок

по алгебре и началам анализа в 10 классе
по теме «Показательные неравенства»

Учитель математики Сентищева Л.Н.

МОУ «Школа №44 г. Донецка»

                                        Донецк - 2016

10-А класс                                                                                 07.11.2016г.

Тема урока.  Показательные неравенства. (Урок формирования новых знаний.)

Цели урока:

Дидактические

·                     Развивать вычислительные навыки при решении  показательных  неравенств

·                     Сформировать понятие показательного неравенства

·                     Рассмотреть три  способа решения показательных неравенств (уравнивание оснований , вынесение наименьшего множителя за скобки и  приведение к квадратному неравенству введением новой переменной) и научиться их решать,  пользуясь алгоритмом.

·                     Проконтролировать степень усвоения материала по теме.

Развивающие:

·                     способствовать развитию навыков самостоятельного  применения знаний;

·                     развивать навыки самоконтроля;

·                     продолжить работу по развитию логического  мышления и устной  математической  речи при поиске решения поставленной проблемы.

Воспитательные:

·                     приучать к умению общаться и выслушивать других;

·                     воспитывать внимательность и наблюдательность;

·                     стимулировать мотивацию и интерес к изучению математики.

Оборудование: презентация, интерактивная доска.

Ход урока:

1.                  Организационный момент. - 2 мин.

2.                  Актуализация опорных знаний. Повторение. – 12 мин.

3.                  Целеполагание. – 1 мин.

4.                  Восприятие, осмысливание и применение новых знаний. – 23 мин.

5.                  Анализ достижений и коррекция учебной деятельности. – 5 мин.

6.                  Выставление оценок – 1 мин.

7.                  Рефлексия. - 1мин.

8.                  Домашнее задание. – 1 мин.

1. Организационный момент. (слайд 1)

– Мы не раз убеждались в том, что математика – это универсальный  иностранный язык, на котором общаются все страны и все народы. Но для такого международного общения нужно знать математику. И эпиграфом нашего урока будут слова Альберта Эйнштейна: «Мне приходится делить своё время между политикой и решением уравнений и неравенств. Однако решение уравнений и неравенств, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения и неравенства будут существовать вечно». Давайте продолжим изучение этого вечного универсального математического языка.

2. Актуализация опорных знаний. Повторение.

- Начнём с повторения.

1) Блиц-опрос (слайды 2,3) 

2) Самостоятельная работа (на карточках)

1. Какая из функций является показательной?

А)  Б) 

В)  Г) 

2. График какой функции изображен на рисунке?

А)  Б) 

В)  Г) 

3. Решите уравнение 3^х =27

А) 3; Б) 9; В) 4; Г) нет решений

4. Решите уравнение 7^х = 0

А) 0; Б) 1; В) – 7; Г) нет решений

5. Решите уравнение 

А) – 2; Б) 2; В) 3; Г) - 3

6. Решите уравнение 3^х =5^х

А) 2; Б) 0,5; В) 0; Г) нет решений

7. Решите уравнение 

А) 3; Б) 1; В) -3; Г) - 1

8. Решите уравнение 

А)  Б)  В) 1; Г) - 1

9. Решите уравнение 6^(х-1)(х+2) = 1

А) -1; 2 Б) 1; - 2 В) 5; 8 Г) нет решений

Ответы: Г; В; А; Г; Б; В; А; А; Б. – самопроверка.

Критерии оценок: (работы сдаются учителю)    «5»  -  9;  «4»  -  7-8;  «3»  -  5-6.

2) Фронтальный опрос

1) – Как называются уравнения, которые вы решали в тесте? (Показательные)

2) – Какие уравнения называются показательными? (Уравнения, содержащие неизвестную в показателе степени)

3) – Дайте определение показательной функции. (Функция вида y = a^x, где а>0, a≠1 называется показательной)

4) – Как аналитически определить, возрастает или убывает показательная функция? ( Если а>1, то возрастает, если 0<а<1, то убывает)

5) – Приведите примеры, где в жизни и на практике мы встречаемся с показательной функцией. (Уравнения органического роста, радиоактивный распад, ЛСД и т.д.)

3) Задача проблемного характера (слайд 4)

- Давайте рассмотрим ещё один пример процесса, где используются знания о показательной функции.

Рост древесины происходит по закону: y = y₀∙ a^t, где t – время, y₀ – начальное количество древесины, y – изменяющееся со временем количество древесины, а = const ≈ 1,2.

За какое время t количество древесины y не превышает 1000 м³, если её начальное количество y₀25 м³.

- Как решается эта задача?

Отвлечёмся от биологического процесса органического роста и запишем задачу на языке математики.

1000 ≥ 25∙ (1,2)^t

Чтобы вычислить множество значений t надо уметь решать показательные неравенства.

3. Целеполагание ( слайд 5)

Поэтому тема урока:
Показательные неравенства. – запись в тетради темы и даты урока

- Сегодня на уроке мы рассмотрим 3 способа решения показательных неравенств, научимся их решать, пользуясь алгоритмом, чтобы потом применять их на практике.

Решить задачу мы сможем в конце урока.

4. Восприятие, осмысливание и применение новых знаний.

1) Определение показательного неравенства. (слайд 6)

- Попробуйте сами дать определение показательного неравенства. (запись в тетрадь)

Определение: Показательные неравенства – это неравенства, в которых неизвестная находится в показателе степени.

Слово «показательные» объяснили. А переведите на математический язык слово «неравенства»? (Алгебраические выражения, содержащие знаки >, < , ≥ , ≤ ).

 Существуют следующие способы решения показательных неравенств (слайд 7).

Определение:
Неравенство вида а^х > a^b ,где а>0, a≠1 называется простейшим показательным неравенством (слайд 8).

- Что значит решить неравенство? (найти множество его решений или установить, что их нет)

- Как решить простейшее показательное неравенство?

Рассмотрим график функции y=a^xпри a>1 и произвольное значение зтой функции а^b, где b – любое действительное число.

- Каким свойством обладает данная функция? (возрастает).

- Тогда при каких значениях переменной х a^x< a^b (ниже)? (при х < b).

- А при каких a^x> a^b (выше)? (при х > b).

Таким образом, если показательная функция возрастает, то знак неравенства сохраняется.

(Аналогично рассмотреть при 0<а<1).

2) 1 способ: Уравнивание оснований (слайд 9)

- Именно на свойствах возрастания и убывания показательной функции основан первый способ решения показательных неравенств – уравнивание оснований (в тетрадь).

Неравенство а^f(x) > a^g(x), где а>0, a≠1 будет равносильно неравенству:

при а>1 (y = a^x возрастает)                          при 0<а<1 (y = a^x убывает)

f(x)>g(x)                                 f(x)<g(x)

(знак неравенства сохраняется);          (знак неравенства изменяется на противоположный)

В тетрадь : при а>1, y = a^x возрастает,           при 0<а<1, y = a^x убывает,

знак неравенства сохраняется.                     знак неравенства изменяется

Практические задания: (стр.81) – выписать на доске

№ 228(1-4) – устно

1) 3^х > 9; 2) ; 3) ; 4) 4^х < .

№229 (1-3) – письменно у доски

1)  - учитель; 2)  - ученик; 3)  - ученик.

№ 231 (2,3) - письменно у доски

2)  - сильный учащийся; 3)  - дополнительное задание.

3) 2 способ: Вынесение наименьшего множителя за скобки. (слайд 10)

- Данные показательные неравенства решаются по тому же алгоритму, что и показательные уравнения, но не забываем о знаке неравенства в зависимости от основания показательной функции (решение примера с комментарием учителя – слайд 11).

№ 232 (1,3) письменно на доске

1) 3^х+2+ 3^х-1 < 28 – ученик; 3) 2^2х-1 + 2^2х-2 + 2^2х-3 ≥ 448 – ученик.

4) 3 способ: Приведение к квадратным неравенствам введением новой переменной. (слайд  12).

Решение примера с комментариями учителя, запись в тетрадь.

 №233 (3) письменно у доски – сильный учащийся.

5) Решение задачи (слайд 13)

- Теперь мы сможем решить задачу и вычислить время t.

1000 ≤ 25∙ (1,2)^t | :25≠0

40 ≤ (1,2)^t 40≈(1,2)²⁰

(1,2)²⁰ ≤ (1,2)^t.

а = 1,2 > 1, то y = a^t возрастает

20 ≤ t , т.е. время не превышает 20 лет.

Математический более точный ответ можно записать с помощью логарифмов , изучением которых мы займёмся на следующих уроках.

6. Анализ достижений и коррекция деятельности. (слайд 14)

1) самостоятельная работа (тетради собрать на проверку)

Решить неравенства:

1) 3^х+1 > 9

2) ≤ 4

3) 5^х-1 – 5^х + 5^х+1 ≥ 21

2) Вопрос на «засыпку»:  решите неравенства (устно)  2^х-1 ≤ - 3 и 7^2х ≥ 0.

7. Выставление оценок.

8. Рефлексия. (слайд 15)

- Довольны ли вы своей работой на уроке?

- Какой этап урока вам наиболее понравился?

- Где вам пришлось труднее всего?

Математику мы на слух воспринимать не можем, нам нужно обязательно увидеть, как решается задача или пример. А понимаем и усваиваем её только тогда, когда решаем задания сами. Поэтому попробуйте закончить предложение китайской мудрости:

«Я слышу - я забываю, я вижу - я запоминаю, я делаю - …(я усваиваю)».

9. Домашнее задание:  изучить П.13 , № 229 (4), 231 (1,4), 232 (2,4), 233 (1,2) – письменно.