Инфоурок Математика Другие методич. материалыРазработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов

Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов

Скачать материал

Выберите документ из архива для просмотра:

Агрономы.Зачет.docx Домашнее задание.docx ЕН.01 МАТЕМАТИКА. Агрономы.Программа.doc Лекция 6. агрономы. 2 курс.docx Лекция 7. агрономы. 2 курс.docx Лекция 8. агрономы. 2 курс.docx ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.docx Практическое занятие 7. Агрономы.2 курс.doc Практическое занятие 8. Агрономы.2 курс.doc Практическое занятие 9. Агрономы.2 курс.doc агрономы. 2 курс. лекция 4.doc агрономы. 2 курс. лекция 5.doc лекция 2. агрономы. матрицы.doc лекция 3. агрономы. 2 курс.docx множества.pptx практика 1. финансы. матрицы.docx практика 2. агрономы. матрицы.docx практика 3. агрономы. матрицы.docx практика 4. агрономы. матрицы.docx практика 5. агрономы. ДУ.docx практика 6. агрономы. ДУ.docx технол. карта. лекция 2.агрономы. 2 курс .docx технол. карта. лекция 3.агрономы. 2 курс .docx технол. карта. лекция 4.агрономы. 2 курс .docx технол. карта. лекция 5.агрономы. 2 курс .docx технол. карта. лекция 6.агрономы. 2 курс .docx технол. карта. лекция 7.агрономы. 2 курс .docx технол. карта. лекция 8.агрономы. 2 курс .docx технол. карта. практика 2.агрономы. 2 курс .docx технол. карта. практика 3.агрономы. 2 курс .docx технол. карта. практика 4.агрономы. 2 курс .docx технол. карта. практика 5.агрономы. 2 курс .docx технол. карта. практика 6.агрономы. 2 курс .docx технол. карта. практика 7.агрономы. 2 курс .docx технол. карта. практика 8.агрономы. 2 курс .docx технол. карта. практика 9.агрономы. 2 курс .docx

Выбранный для просмотра документ Агрономы.Зачет.docx

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»



Утверждаю:

Заместитель директора

по учебной работе

___________Н.В.Нерух

«___»_______2016г.




ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.02 МАТЕМАТИКА

ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫЙ ЗАЧЕТ


Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)








Маленькое.

2016 г.

Рекомендуемое количество часов на освоение программы дисциплины:

максимальной учебной нагрузки обучающегося 54 часа, в том числе:

  • обязательной аудиторной учебной нагрузки обучающегося 36 часа;

  • самостоятельной работы обучающегося 18 часа.

СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Объем учебной дисциплины и виды учебной работы


практические занятия

20

контрольные работы


Самостоятельная работа обучающегося (всего)

18

в том числе:


домашняя работа

18

Промежуточная аттестация в форме: дифференцированного зачета



В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:

  1. Решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

  2. Решать системы линейных уравнений с использованием методов Крамера и Гаусса;

  3. Решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального исчисления;

  4. Решать простейшие дифференциальные уравнения в частных производных;

  5. Решать простейшие задачи, используя элементы теории вероятности;

  6. Находить функцию распределения случайной величины;

  7. Находить аналитическое выражение производной по табличным данным;

  8. Решать обыкновенные дифференциальные уравнения.


В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:

  1. Значение математики в профессиональной деятельности и при освоении основной профессиональной образовательной программы;

  2. Основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

  3. Основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории вероятностей и математической статистики;

  4. Основы интегрального и дифференциального исчисления.

В результате освоения дисциплины у обучающегося должны формироваться следующие компетенции:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

На втором курсе изучение следующих тем:

1. Основы линейной алгебры;

2. Дифференциальное и интегральное исчисление;

3. Дифференциальные уравнения;

4. Ряды;

5. Дискретная математика;

7. Основы теории вероятностей и математической статистики

Таблица 1

Объекты оценивания.

( результаты обучения)

Показатели

Критерии

Формы и методы контроля и оценки результатов обучения

У.1. Решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности

-рациональность

планирования и

организация деятельности по решению задач,

-своевременность сдачи заданий,

-обоснованность применения методов и способов решения задачи,

- аргументированность выбора ответа

Соответствие выбранных методов их целям и задачам.

Критерии оценивания дифференцированного зачета в пояснительной записке

Практические работы, Внеаудиторная работа,

Дифференцированный зачет

З.1. Значение математики в профессиональной деятельности и при освоении основной профессиональной образовательной программы

З.2.Основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности

З.3. Основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики

З.4. Основы интегрального и дифференциального исчисления

Критерии выставления оценок за письменные работы

Оценка «отлично» (5) выставляется, если обучающийся выполнил работу без ошибок и недочетов, либо допустил не более одного недочета.

Оценка «хорошо» (4) выставляется, если обучающийся выполнил работу полностью, но допустил в ней не более одной негрубой ошибки и одного недочета, либо не более двух недочетов.

Оценка «удовлетворительно» (3) выставляется, если обучающийся выполнил не менее половины работы, допустив при этом:

не более двух грубых ошибок;

либо не более одной грубой и одной негрубой ошибки и один недочет; либо три негрубые ошибки;

либо одну негрубую ошибку и три недочета;

либо четыре-пять недочетов.

Оценка «неудовлетворительно» (2 балла) выставляется, если обучающийся:

выполнил менее половины работы;

либо допустил большее количество ошибок и недочетов, чем это допускается для оценки «удовлетворительно».

Оценка «плохо» (1) выставляется, если обучающийся не приступал к выполнению работы, либо выполнил менее 10 % объема работы. Примечание: За оригинальное выполнение работы преподаватель вправе повысить обучающемуся оценку на один балл.






МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 1


  1. Понятие сложной функции. Производная сложной функции.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Производная сложной функции


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

В барабане лежат одинаковые на ощупь шары лотереи с номерами от 1 до 36. Какова вероятность того, что номер вытянутого наудачу шара делится на 3?










Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 2


  1. Матрицы, их свойства, операции над матрицами.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Найти частное решение дифференциального уравнения.


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

В ящике 15 белых и 5 красных шаров. Наугад достали один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар белый?











Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 3


  1. Что называется случайным событием в теории вероятностей?

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Производная сложной функции


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

В тире 10 винтовок, из них 4 с оптическим прицелом. Какова вероятность того, что стрелок выбрал винтовку без оптического прицела?












Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 4


  1. Какие операции над множествами Вы знаете? Дайте определение одной из операций.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Найти частное решение дифференциального уравнения.


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

На полке стоят 5-томное собрание сочинений, которые разместили в случайном порядке. Какова вероятность того, что тома стоят в порядке убывания номеров?









Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 5


  1.  Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Производная сложной функции


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

Студент знает 23 вопроса из 25. какова вероятность того, что ему достался вопрос, которого он не знает?











Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.



МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 6


  1. Теорема Коши.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Найти частное решение дифференциального уравнения.


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

В урне 12 одинаковых шаров: 4 белых, 7 красных и 1 черный. Какова вероятность того, что выбранный шар не черный?










Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 7


  1. Что такое дисперсия дискретной случайной величины?

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Производная сложной функции


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

Для лотереи отпечатаны 1000 билетов, из которых 150 выигрышные. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?












Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 8


  1. Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Найти частное решение дифференциального уравнения.


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

Билеты пронумерованы двухзначными числами. Какова вероятность того, что наудачу взятый билет оканчивается на «0»?










Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 9


  1. Определение обыкновенных дифференциальных уравнений.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Производная сложной функции


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

Найти вероятность того, что при одном бросании игральной кости выпадет число очков, кратное 3?










Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 10


  1. Определители, их свойства. Ранг матрицы. Обратна матрица.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Найти частное решение дифференциального уравнения.


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

В лотерее пронумерованы билеты от 1 до 50. Какова вероятность того, что наудачу взятый билет содержит цифру 1.











Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 11


  1. Дифференциал и его применение к приближенным вычислениям.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Производная сложной функции

  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

В урне лежат 12 одинаковых шаров: 3 белых, 7 черных, остальные красные. Какова вероятность, что наугад выбранный шар окажется не белым?










Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 12


  1. Какие Вы знаете способы задания множеств?

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Найти частное решение дифференциального уравнения.


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

В лотерее пронумерованы билеты от 1 до 100. Какова вероятность, что взятый наудачу билет содержит цифру 2?











Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 13


  1. Вторая производная. Физический смысл второй производной.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Производная сложной функции


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

Забыта последняя цифра номера телефона и набрана наугад. Какова вероятность, что номер набран верно?











Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 14


  1. Дифференциальные уравнения 2-го порядка.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Найти частное решение дифференциального уравнения.


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

Талоны пронумерованы всеми двузначными числами. Какова вероятность, что взятый талон состоит из номера с одинаковыми цифрами?











Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 15


  1. Достаточные признаки сходимости функциональных рядов. Нахождение области сходимости.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Производная сложной функции


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

Заготовлено 35 экзаменационных билетов. Какова вероятность, что взятый билет оканчивается цифрой «5»?









Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 16


  1. Числовые последовательности.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Найти частное решение дифференциального уравнения.


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

Какова вероятность, что наудачу взятое число от 1 до 30 является делителем числа 30?










Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 17


  1. Определение производной функции. Производные основных элементарных функций.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Производная сложной функции


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

Какова вероятность, что наудачу взятое число от 1 до 30 кратно 3?










Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 18


  1. Как можно найти математическое ожидание дискретной случайной величины? Что оно характеризует?

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Найти частное решение дифференциального уравнения.


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

Номер лотерейного билета от 1 до 200. Какова вероятность, что номер, наудачу взятого билета кратен 7 или 5?










Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 19


  1. Неопределенный интеграл и его свойства.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Производная сложной функции


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

Номер лотерейного билета от 1 до 100. Какова вероятность, что номер, наудачу взятого билета кратен 11?











Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.



МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 20


  1. Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Найти частное решение дифференциального уравнения.


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

В денежно-вещевой лотерее на 100000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность какого-либо выигрыша?










Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 21


  1. Ряды Тейлора и Маклорена.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Производная сложной функции


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

В барабане лежат одинаковые на ощупь шары лотереи с номерами от 1 до 36. Какова вероятность того, что номер вытянутого наудачу шара делится на 3?











Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 22


  1. Что такое множество? Приведите примеры.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Найти частное решение дифференциального уравнения.


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

В ящике 15 белых и 5 красных шаров. Наугад достали один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар белый?










Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 23


  1.  Какие теоремы теории вероятностей Вы знаете?

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Производная сложной функции


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

В тире 10 винтовок, из них 4 с оптическим прицелом. Какова вероятность того, что стрелок выбрал винтовку без оптического прицела?











Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 24


  1. Минор. Алгебраическое дополнение. Транспонированная и обратная матрицы.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Найти частное решение дифференциального уравнения.


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

На полке стоят 5-томное собрание сочинений, которые разместили в случайном порядке. Какова вероятность того, что тома стоят в порядке убывания номеров?







Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.


Ответы к билетам


(2; 3; 1)






(2; -1; 3)



0,75



(28; -14; -5)



0,6




(2; 2; -1)






(1; -2; 0)



0,08



(3; -4; 1)






(2; 3; 4)



0,15



(1; 1; 1)



0,1



(1; 1; -3)






(0; 1; -2)



0,28



(-1; 0; 2)


0,75



(3; 0; -2)


0,19



(3; -2; 0)


0,1



(2; -2; 0)


0,1



(-2; 5; 4)





(1; 0; 2)





(2; -1; -3)





(-3; 1; 2)


0,34



(-3; 4;2)



0,09



(1; 2; 3)



0,02



(2; 3; 1)






(2; -1; 3)


0,75




(28; -14; -5)


0,6



(2; 2; -1)





Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Руководитель образовательной организации

Получите профессию

Менеджер по туризму

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Домашнее задание.docx

Домашнее задание.

Решить одну систему методом Крамера, вторую – Гаусса, третью – матричным методом. Выбираете любые три, но чтобы они у вас не повторялись

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Няня

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ ЕН.01 МАТЕМАТИКА. Агрономы.Программа.doc


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное

учреждение высшего образования

«Крымский федеральный Университет им. В.И.

Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)


Ордена Трудового Красного Знамени

агропромышленный колледж

(филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»


УТВЕРЖДАЮ

Заместитель директора

по учебной работе


______________Н.В. Нерух

«__»_____________2016 г.







ПРОГРАММа УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ


ЕН.02 МАТЕМАТИКА


Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений);

35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод)

(Базовая подготовка)














2016 г.

Программа учебной дисциплины ЕН.02 математика разработана на основе программы подготовки специалиста среднего звена (ППССЗ), согласно распределения вариативной части, предусмотренной Федеральным государственным образовательным стандартом программы подготовки специалиста среднего звена (ППССЗ) по направлению подготовки 35.02.05 Агрономия (Базовая подготовка)

специальности 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Аг рономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

и отображаемой в учебном плане специальности 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Аг рономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)




Организация – разработчик: Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал) ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»





Разработчик:

Кублик Галина Евгеньевна,


Преподаватель математики ____________ Г.Е.Кублик




Программа учебной дисциплины рассмотрена на заседании Методического совета Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал) ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского» (Протокол № ___ от «___»___________2016 г.)


Председатель _____________Н.В. Нерух






Программа учебной дисциплины рекомендована Предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин (Протокол № ___ от «___»___________2016 г.)


Председатель _____________М.А. Шенгелай

СОДЕРЖАНИЕ


стр.


  1. ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.02 математика


4

  1. СТРУКТУРА и содержание УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.02 математика

7

  1. условия реализации рабочей учебной дисциплины ЕН.02 математика

12

  1. Контроль и оценка результатов Освоения учебной дисциплины ЕН.02 математика

14



  1. паспорт ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

ЕН.02 МАТЕМАТИКА


1.1. Область применения программы

Программа учебной дисциплины ЕН.02. «Математика» является частью основной ППССЗ в соответствии с ФГОС СПО для реализации государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальности Агрономия (базовая подготовка).

Программа учебной дисциплины может быть использована в дополнительном профессиональном образовании в рамках реализации программ переподготовки кадров в учреждениях СПО.


1.2. Место дисциплины в структуре основной профессиональной образовательной программы:

Учебная дисциплина «Математика» относится к математическому и общему естественнонаучному циклу программы.


1.3. Цели и задачи дисциплины – требования к результатам освоения дисциплины:

Дисциплина «Математика» должна вооружить обучающегося математическими знаниями, необходимыми для изучения ряда общенаучных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, создать фундамент математического образования, необходимый для получения профессиональных компетенций, воспитать математическую культуру и понимание роли математики в различных сферах профессиональной деятельности.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:

  1. Решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

  2. Решать системы линейных уравнений с использованием методов Крамера и Гаусса;

  3. Решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального исчисления;

  4. Решать простейшие дифференциальные уравнения в частных производных;

  5. Решать простейшие задачи, используя элементы теории вероятности;

  6. Находить функцию распределения случайной величины;

  7. Находить аналитическое выражение производной по табличным данным;

  8. Решать обыкновенные дифференциальные уравнения.


В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:

  1. Значение математики в профессиональной деятельности и при освоении основной профессиональной образовательной программы;

  2. Основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

  3. Основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории вероятностей и математической статистики;

  4. Основы интегрального и дифференциального исчисления.

В результате освоения дисциплины у обучающегося должны формироваться следующие компетенции:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.


1.4. Рекомендуемое количество часов на освоение программы дисциплины:

максимальной учебной нагрузки обучающегося 54 часа, в том числе:

  • обязательной аудиторной учебной нагрузки обучающегося 36 часа;

  • самостоятельной работы обучающегося 18 часа.
















2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ


2.1. Объем учебной дисциплины и виды учебной работы



домашняя работа

18

Промежуточная аттестация в форме: дифференцированного зачета




2.2. Тематический план и содержание учебной дисциплины ЕН.01 математика


Содержание учебного материала, практические работы, самостоятельная работа обучающихся

Объем часов

Уровень освоения

1

2

3

4

Раздел 1. Основы линейной алгебры


14


Тема 1.1. Матрицы и операции над матрицами. Определители и их свойства

Содержание учебного материала

2

1


Понятие матрицы. Сложение, вычитание матриц. Умножение матрицы на число. Умножение матриц. Определители второго, третьего, n-го порядка. Свойства.

Минор. Алгебраическое дополнение. Обратная матрица

2

Практическое занятие № 1:

Действия над матрицами, вычисление определителей.

Практическое занятие № 2:

Вычисление минора, алгебраических дополнений, обратной матрицы

4


Тема 1.2. Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными


Содержание учебного материала

2

1


Системы трех линейных уравнений с тремя переменными и их решение с помощью определителей, методом Гаусса, матричным методом

2

Практическое занятие № 3: Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными при помощи определителей третьего порядка.

Практическое занятие № 4: Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными методом Гаусса.


4


Самостоятельная работа обучающихся: выполнение домашних заданий по разделу 1.

Решение задач по теме «Операции над матрицами. Выполнение расчетных заданий». Решение задач по теме «Системы линейных уравнений с n неизвестными»


2




Раздел 2. Математический анализ


16

Тема 2.1. Дифференциальное и интегральное исчисление

Содержание учебного материала


1

Функции одной независимой переменной. Пределы. Непрерывность функций. Производная, геометрический смысл. Исследование функций. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование. Замена переменной. Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Функции нескольких переменных. Приложение интеграла к решению прикладных задач. Частные производные.

2

1

Самостоятельная работа обучающихся: выполнение домашних заданий по первой теме.

Производная, ее геометрический смысл. Непрерывность функций. Асимптоты. Неопределенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла.


2


Тема 2.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения в частных производных


Содержание учебного материала

2

1



Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общие и частные решения. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Простейшие дифференциальные уравнения в частных производных. Дифференциальные уравнения линейные относительно частных производных.

2

Практическое занятие № 5: Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Решение прикладных задач.

2

2

Самостоятельная работа обучающихся: выполнение домашних заданий по второй теме.

Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка. Решение линейных однородных уравнений второго порядка. Решение простейших дифференциальных уравнений линейных относительно частных производных.

2


Тема 2.3.

Ряды.


Содержание учебного материала

2


1

Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов. Признак сходимости Даламбера. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Функциональные ряды. Степенные ряды. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

2

Практическое занятие № 6: Определение сходимости рядов по признаку Даламбера. Определение сходимости знакопеременных рядов.

2


Самостоятельная работа обучающихся: выполнение домашних заданий по разделу 2.

Признак сходимости Даламбера. Разложение функций в ряд Маклорена.

2

Раздел 3.

Основы дискретной математики


8

Тема 3.1. Множества и отношения. Свойства отношений. Операции над множествами. Основные понятия теории графов.


Содержание учебного материала




2

1

Элементы и множества. Задание множеств. Операции над множествами. Свойства операций над множествами. Отношения. Свойства отношений. Графы. Основные определения. Элементы графов. Виды графов и операции над ними.

2

Самостоятельная работа обучающихся: выполнение домашних заданий по теме.

Виды графов и операции над ними.

2


Практическое занятие № 7: Операции над множествами.

2

2

Самостоятельная работа обучающихся: выполнение домашних заданий по третьему разделу.

Отношения; свойства отношений.


2



Раздел 4. Основы теории вероятностей

и математической статистики


16

Тема 4.1. Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей


Содержание учебного материала

2



1

1

Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей.

Практическое занятие № 8: Решение простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей.


2


Самостоятельная работа обучающихся: выполнение домашних заданий по теме.

Теорема умножения вероятностей.


2

Тема 4.2. Случайная величина, ее функция распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.


Содержание учебного материала

2

1

Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения случайной величины. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Дисперсия случайной величины. Среднее квадратичное отклонение случайной величины.

2

Самостоятельная работа обучающихся: выполнение домашних заданий по теме.

По заданному условию построить закон распределения дискретной случайной величины.


2



Практическое занятие № 9: Нахождение математического ожидания случайной величины.

2


Самостоятельная работа обучающихся: выполнение домашних заданий по разделу 4.

Среднее квадратичное отклонение случайной величины.


2



Дифференцированный зачет


2

Всего:


54


Для характеристики уровня освоения учебного материала используются следующие обозначения:

1. – ознакомительный (узнавание ранее изученных объектов, свойств);

2. – репродуктивный (выполнение деятельности по образцу, инструкции или под руководством)

3. – продуктивный (планирование и самостоятельное выполнение деятельности, решение проблемных задач)

3. условия реализации программы дисциплины


3.1. Требования к минимальному материально-техническому обеспечению

Реализация программы дисциплины требует наличия учебного кабинета математики.


Оборудование учебного кабинета:

  • посадочные места по количеству обучающихся;

  • рабочее место преподавателя;

  • комплект учебно-наглядных пособий по математике;

  • комплект мультимедийных презентаций по математике;

  • набор чертежных принадлежностей;

  • программное обеспечение общего назначения.

Технические средства обучения:

  • интерактивная доска с лицензионным программным обеспечением;

  • ноутбук;

  • мультимедиапроектор;

  • экран.


3.2. Информационное обеспечение обучения

Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы


Основные источники:

  1. Богомолов Н.В. Самойленко П.И. Математика: Учебник. - М.: Дрофа, 2009.

  2. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике: Учебное пособие. - М.: Дрофа, 2009.

  3. Омельченко В. П., Курбатова Э. В. Математика: Учебное пособие. – М.: Феникс, 2009.

  4. Щипачев В.С. Основы высшей математики. – М: Высшая школа. 2008.


Дополнительные источники:

  1. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: для общеобраз. Учреждений: базовый и проф. Уровни/ С.М. Никольский. – М.: Просвещение, 2009 г., Гриф. Минобр.

  2. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: для общеобраз. Учреждений: базовый и проф. Уровни/ С.М. Никольский. – М.: Просвещение, 2009 г., Гриф. Минобр.

  3. Колягин Ю.М. и др. Математика (Книга 1). – М., 2003.

  4. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А., Герасимова И.А., Житников И.В. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач. – Ростов н/Д: Феникс, 2001.

  5. Пакет прикладных программ по курсу математики: OC Windows 7 – сервисная программа, MS Office – сервисная программа.

Интернет – ресурсы:

  1. http://www.edu.ru

  2. http://www.mat.ru

  3. Газета «Математика» «издательского дома» «Первое сентября» http://www.1september.ru

  4. Математика в Открытом колледже http://www.mathematics.ru

  5. Общероссийский математический портал Math-Net.Ru http://www.mathnet.ru

  6. Вся элементарная математика: Средняя математическая интернет – школа www.bymath.ru

































4. Контроль и оценка результатов освоения Дисциплины

Контроль и оценка результатов освоения учебной дисциплины осуществляется преподавателем в процессе проведения практических занятий, тестирования, а также выполнения обучающимися индивидуальных заданий, исследований.

Результаты обучения

(освоенные умения, усвоенные знания)

Основные показатели оценки результатов

Освоенные умения:

  • решение прикладных задач в области профессиональной деятельности;

  • исследование (моделирование) несложных практических ситуаций на основе изученного материала;

  • применение производной для проведения приближенных вычислений.


Усвоенные знания:

  • значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

  • основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

  • основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, теории вероятностей и математической статистики;

  • основы интегрального и дифференциального исчисления.


- Выполнение действий над матрицами

- Вычисление определителей

- Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

- Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

- Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

- Вычисление предела функции в точке и в бесконечности

- Исследование функции на непрерывность в точке

- Нахождение производной функции

- Нахождение производных высших порядков

- Исследование функции и построение графика

- Нахождение неопределенных интегралов

- Вычисление определенных интегралов

- Нахождение частных производных







В результате аттестации по учебной дисциплине осуществляется комплексная проверка следующих знаний и умений, а также динамика формирования компетенций:



В результате учебной дисциплины, подлежащие оценке

З1-4,

У1-8


ОК 1

ОК 2

ОК 3

ОК 4

ОК 5

ОК 6

ОК 7

ОК 8

ОК 9


Соответствие выполнения практических и самостоятельных работ эталону.

Применение освоенных алгоритмов в знакомой ситуации;

Применение методов, адекватных учебной задаче;

Обоснованный выбор таблиц, графиков и формул.

Экспертная оценка выполнения практических и самостоятельных индивидуальных работ на соответствие эталону


Технологии формирования ОК


Название ОК

Технологии формирования ОК

(на учебных занятиях)

ОК 1 - Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.


  • задания на подготовку сообщений, докладов, рефератов;

  • задания на составление планов к тексту;

  • задания на подготовку вопросов к тексту;

  • выступление на защитах самостоятельной работы, подготовленной товарищами, в качестве оппонентов;

  • задачи с избытком информации;

  • задачи с недостатком информации;

  • задания на поиск информации в справочной литературе, сети Интернет;

  • задания на подготовку презентаций MS Power Point к учебному материалу;

  • задания на составление диаграмм, схем, графиков, таблиц и других форм наглядности к тексту;

  • выступления на защитах самостоятельной работы, подготовленной товарищами, в качестве оппонентов;

  • практические работы, проводимые в парах и группах;

  • использование методов и приемов проблемного обучения: проблемный вопрос, проблемная задача, проблемная ситуация, проблемная лекция;

  • использование метода проб и ошибок, предполагающего возможность обучающегося сомневаться в своих решениях, возвращаться к началу, исправлять свои ошибки;

  • решение одной и той же задачи несколькими альтернативными способами, выбор наиболее оптимального из них на основе аргументированного обсуждения.

ОК 2 – Организовывать собственную деятельность, определять методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество

ОК 3 - Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.



ОК 4 – Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития

ОК 5 Владеть информационной культурой, анализировать и оценивать информацию с использованием информационно-коммуникационных технологий

ОК 6 - Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.


ОК 7 - Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.


ОК 8 - Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.


ОК 9 - Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.




Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Технолог-калькулятор общественного питания

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Лекция 6. агрономы. 2 курс.docx

Агрономы Лекционное занятие № 6

Тема: Множества и их отношения. Свойства отношений. Операции над множествами. Основные понятия теории графов.


Тип урока: изучение нового материала.

Вид урока: комбинированный урок, включающий в себя изучение и систематизацию изученного материалом, применение знаний и умений на практике, закрепление изученного.

Цели занятия:

Образовательные:

  • ввести понятие множества, операций над множествами, рассмотреть способы задания множеств;

  • способствовать формированию умений применять графический метод при выполнении операций с множествами;

  • ввести понятие графа, элементы графов, операции над ними, рассмотреть основные виды графов;

  • способствовать формированию умений применять графический метод при выполнении операций над графами.

Воспитательные:

  • повышать мотивацию студентов путем использования нестандартных задач и игрового изложения материала;

  • побуждать студентов к само-, взаимоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний;

Развивающие:

  • развить навыки формализации при решении задач с помощью кругов Эйлера;

  • развивать познавательный интерес к предмету и самостоятельность студентов;

  • развитие логического мышления, речи и внимания;

  • формирование информационной культуры, потребности в приобретении знаний;

  • побуждать студентов к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.


Интеграционные связи:

    • Внутренние: Последовательности, пределы и ряды. Основные понятия теории графов.

    • Внешние: дискретная математика, комбинаторика, философия, русский язык, менеджмент.

Оборудование занятия:

  • Проектор, ноутбук.

  • Раздаточный материал.

  • Презентация к занятию.

  • Круги Эйлера к заданию №4

  • Готовые карточки с домашним заданием.


Ход урока.

  1. Организационный момент:

Поприветствовать студентов, отметить отсутствующих.

Объявить тему урока и его цель.


  1. Актуализация знаний и умений обучающихся.

        1. Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных задач

        2. Выполнить устно упражнения:

Вопросы:

  1. Какие из перечисленных чисел принадлежат множеству натуральных чисел N: ?

  2. Решите неравенство .

  3. Решите уравнение

  4. Какие из перечисленных чисел принадлежат множеству целых чисел Z: ?

  5. Решите уравнение

  6. Решите уравнение

  7. Какие числа принадлежат отрезку

  8. Какие числа принадлежат полуинтервалу ?

- Как вы думаете, ребята, о чем пойдет речь сегодня на нашем занятии? Студенты высказывают предположения. Преподаватель обобщает сказанное ими: «Оказывается так сказал 140 лет назад немецкий математик и философ Георг Кантор о множествах, которые он использовал, чтобы ответить на вопрос: «Каких чисел больше: натуральных или действительных»?

- А как вы понимаете понятие Множество? (Студенты высказывают предположения).

  1. Мотивация целей.

- Хорошо, ребята. Теперь, когда мы выяснили, что речь на сегодняшнем занятии пойдет о множествах, а точнее о большом разделе «ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ», давайте попытаемся ответить на вопрос «Какова же цель нашего занятия? Что мы должны рассмотреть за данную лекцию»? (Студенты высказывают предположения).


- Итак, тема нашего занятия «Теория множеств», «Теория Графов» (Презентация)

  1. Изучение нового материала.

Запишем определение. Множество – это совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое.

- Приведите, пожалуйста, примеры множеств.

- В математике часто используют числовые множества: .

- Предметы, образующие множество, называются его элементами. Множества обычно обозначаются большими латинскими буквами A, B, C, D,…,а элементы множества – малыми латинскими буквами a, b, c, d,…

Существует два способа задания множеств:

  1. Перечислением элементов . При этом мы наглядно видим, из каких элементов состоит множество. Но эта запись неудобна при описании множеств с большим числом элементов или множеств, число элементов которых невозможно перечислить полностью, то есть – бесконечных множеств. Например, невозможно записать все элементы множества чисел, которые делятся на 10.

  2. Описанием характеристических свойств, которыми обладают все элементы этого множества и не обладает ни один предмет, не являющийся его элементом.


Акцентируется внимание на правильное прочтение такой записи и на то, какие элементы входят в данное множество.

- Как описанием характеристических свойств задать множество четных чисел? Множество нечетных чисел? (Ответы студенты записывают на доске).

- Давайте еще раз потренируемся правильно читать записанные множества.


Вы сейчас сидите отдельными группами, маленькими множествами, но в пределах данного занятия вы образуете одно единое большое множество, с которым я сейчас работаю.

Самое большое множество, содержащее в себе все множества, рассматриваемые в задаче, называется универсальным. Обозначается U.



Но есть в каждой задаче и самое маленькое множество. Оглядитесь, где оно (стол без студентов)? Как оно называется? Как обозначается?

Если во множестве нет ни одного элемента, то оно называется пустым множеством.

Каждая небольшая группа, на которую вы разбились, является подгруппой большой группы, а, следовательно, является подмножеством множества всей группы. Попробуйте сформулировать определение подмножества.

(Студенты высказывают предположения).

Множество A является подмножеством В, если каждый элемент А является также элементом В, и в В есть хотя бы один элемент, не принадлежащий А.

Замечание. Пустое множество и само множество всегда являются подмножествами рассматриваемого множества.

Рассмотрим пример: найдите все элементы множества и запишите его подмножества:

Множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

С помощью нескольких множеств можно строить новые множества или, как говорят, производить операции над множествами. Как вы считаете, какие операции можно проводить над множествами? (Студенты высказывают предположения).

Один из величайших математиков петербургской академии Леонард Эйлер (1707–1783) за свою долгую жизнь написал более 850 научных работ. В одной из них появились круги, которые “очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления”. Эти круги и назвали кругами Эйлера. С помощью этих кругов удобно геометрически иллюстрировать операции над множествами.

Объединение множеств

Объединением Аhello_html_m45404c21.pngВ множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.

Символическая запись этого определения: А hello_html_m45404c21.pngВ={х | хhello_html_4f0f4af9.pngА или хhello_html_4f0f4af9.pngВ}.

Поясним определение объединения множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

hello_html_7ef3b2c5.jpg

На диаграмме объединение множеств А и В выделено штриховкой.

Если множество А определяется характеристическим свойством Р (х), а множество В - характеристическим свойством Q(х), то А hello_html_m45404c21.png В состоит из всех элементов, обладающих, по крайней мере, одним из этих свойств.

Примеры объединений двух множеств:

1) Пусть А={2; 5; 7}, В={3; 5; 6}. Тогда А hello_html_m45404c21.png В ={2; 3; 5; 6; 7}.

Пересечение множеств

Пересечением А ∩ В множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно каждому из множеств А и В.

Символическая запись этого определения: А ∩ В={х | хhello_html_4f0f4af9.png А и х hello_html_4f0f4af9.pngВ}.

Поясним определение пересечения множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

hello_html_m52350053.jpg

А ∩ В

На диаграмме пересечение множеств А и В выделено штриховкой.

Примеры пересечений двух множеств:

1)  Пусть А={2; 5; 7; 8}, В={3; 5; 6; 7} .Тогда А ∩ В={5; 7}.

2)  Пусть А- множество всех прямоугольников, В-множество всех ромбов. Тогда А ∩ В -множество фигур, одновременно являющихся и прямоугольниками, и ромбами, т.е. множество всех квадратов.

Разность множеств

Разностью А\В множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е.

А\В={х | х hello_html_4f0f4af9.pngА и хhello_html_7bdc03d3.pngВ},

что можно пояснить на диаграмме Эйлера-Венна следующим образом:

hello_html_4a976059.jpg

На диаграмме разность А\В выделена штриховкой.

Примеры разностей множеств:

1.  Пусть А={1; 2; 5; 7}, В={1; 3; 5; 6}. Тогда А\В ={2;7}, а В\А={3; 6}.

Дополнение множества

Пусть множество А и В таковы, что Аhello_html_m528b3d88.pngВ. Тогда дополнением множества А до множества В называется разность В\А. В этом случае применяется обозначение СBА=В\А. Если в качестве множества В берётся универсальное множество U, то применяется обозначение СА=СUА=U\А и такое множество просто называют дополнением множества А. Таким образом, символическая запись определения дополнения множества будет следующей: hello_html_685012f7.png СА={x | x hello_html_7bdc03d3.pngA}.

На диаграммах Эйлера-Венна можно так пояснить определения СВА и СА:

hello_html_m4ba19823.jpghello_html_202aedb.jpg

Рассмотрим пример:

  1. Найдите если , .

  2. Установите соответствие

hello_html_m576666b0.png

  1. b) c) d) B\A

Ответ: 1 – b, 2 – а, 3 – d, 4 – с.

Задание №3 (выполняет каждая подгруппа совместно).

Заполните таблицу.






1 группа







2 группа







3 группа







4 группа


Задание №4 (выполняет каждая подгруппа совместно).

Заштрихуйте ту часть диаграммы, которая соответствует следующему множеству:

Представители каждой группы отмечают результат на доске.

Теория графов.

Графические представления в широком смысле – любые наглядные отображения исследуемой системы, процесса, явления на плоскости. К ним могут быть отнесены рисунки, чертежи, графики зависимостей характеристик, планы-карты местности, блок-схемы процессов, диаграммы и т. д. Такие изображения наглядно представляют различные взаимосвязи, взаимообусловленности: топологическое (пространственное) расположение объектов, хронологические (временные) зависимости процессов и явлений, логические, структурные, причинно-следственные и другие взаимосвязи.

Графические представления – удобный способ иллюстрации содержания различных понятий, относящихся к другим способам формализованных представлений (например, диаграммы Венна и другие графические иллюстрации основных теоретико-множественных и логических представлений).

Всё более распространенными становятся представления количественных характеристик, взаимосвязей между объектами в виде разного рода одно-, двух- и более мерных гистограмм, круговых диаграмм, других аналогичных способов представления в виде тех или иных геометрических фигур, по наглядным характеристикам которых (высоте, ширине, площади, радиусу и пр.) можно судить о количественных соотношениях сравниваемых объектов, значительно упрощая их анализ.

Мощным и наиболее исследованным классом объектов, относящихся к графическим представлениям, являются так называемые графы, изучаемые в теории графов.

Теория графов – это раздел дискретной математики, исследующий свойства конечных множеств с заданными отношениями между их элементами. Как прикладная дисциплина теория графов позволяет описывать и исследовать многие технические, экономические, биологические и социальные системы.

hello_html_m4ccaea06.jpg

  1. Основные понятия теории графов

Граф – это система, которая интуитивно может быть рассмотрена как множество кружков и множество соединяющих их линий (геометрический способ задания графа – см. рисунок 1). Кружки называются вершинами графа, линии со стрелками – дугами, без стрелок – рёбрами.

Граф, в котором направление линий не выделяется (все линии являются ребрами), называется неориентированным; граф, в котором направление линий принципиально (линии являются дугами) называется ориентированным.

Теория графов может рассматриваться как раздел дискретной математики (точнее – теории множеств), и тогда определение графа таково:

Граф – это конечное множество Х, состоящее из n элементов называемых вершинами графа, и подмножество V декартова произведения называемое множеством дуг.

Ориентированным графом G (орграфом) называется совокупность (Х, V).

Неориентированным графом называется совокупность множеств Х и множества неупорядоченных пар элементов, каждый из которых принадлежит множеству Х.

Дугу между вершинами i и j, будем обозначать (i, j). Число дуг графа будем обозначать

Подграфом называется часть графа, образованная подмножеством вершин вместе со всеми рёбрами (дугами), соединяющими вершины из этого множества. Если в графе удалить часть рёбер (дуг), то получим частичный граф.

Две вершины называются смежными, если они соединены ребром (дугой). Смежные вершины называются граничными вершинами соответствующего ребра (дуги), а это ребро (дуга) - инцидентным соответствующим вершинам.

Граф называется полным, если каждые две вершины его соединены одним и только одним ребром.

Граф, для которого из следует называется симметричным. Если из следует , то соответствующий граф называется антисимметричным.

Язык графов оказывается удобным для описания многих физических, технических, экономических, биологических, социальных и других систем.

Приведем ряд примеров приложений теории графов.

1. «Транспортные» задачи, в которых вершинами графа являются пункты, а ребра – дороги (автомобильные, железные и др.) или другие транспортные (например, авиационные) маршруты. Другой пример – сети снабжения (энергоснабжения, газоснабжения, снабжения товарами и т. д.), в которых вершинами являются пункты производства и потребления, а ребрами – возможные маршруты перемещения (линии электропередач, газопроводы, дороги и т. д.) Соответствующий класс задач оптимизации потоков грузов, размещения пунктов производства и потребления и т. д. иногда называется задачами обеспечения или задачами о размещении. Их подклассом являются задачи о грузоперевозках.

2. «Технологические задачи», в которых вершины отражают производственные элементы (заводы, цеха, станки и т. д.), а дуги – потоки сырья, материалов и продукции между ними, заключаются в определении оптимальной загрузки производственных элементов и обеспечивающих эту загрузку потоков.

3. Обменные схемы, являющиеся моделями таких явлений как бартер, взаимозачёты и т. д. Вершины графа при этом описывают участников обменной схемы (цепочки), а дуги – потоки материальных и финансовых ресурсов между ними. Задача заключается в определении цепочки обменов, оптимальной с точки зрения, например, организатора обмена и согласованной с интересами участников цепочки и существующими ограничениями.

4. Управление проектами. С точки зрения теории графов – совокупность операций и зависимостей между ними (сетевой график). Примером является проект строительства некоторого объекта. Совокупность моделей и методов, использующих язык и результаты теории графов и ориентированных на решение задач управления проектами, получила название календарно-сетевого планирования и управления (КСПУ). В рамка КСПУ решаются задачи определения последовательности выполнения операций и распределения ресурсов между ними, оптимальных с точки зрения тех или иных критериев (времени выполнения проекта, затрат риска и др.).

5. Модели коллектива и групп, используемые в социологии, основываются на представлении людей или их групп в виде вершин, а отношений между ними (например, отношений знакомства, доверия, симпатии и т. д.) – в виде рёбер или дуг. Тем самым решаются задачи исследования структуры социальных групп, их сравнения и т. д.

6. Модели организационных структур, в которых вершинами являются элементы организационной системы, а рёбрами или дугами – связи (информационные, управляющие, технологические и др.) между ними.

  1. Степень вершины

Вершины в графе могут отличаться друг от друга тем, скольким рёбрам они принадлежат.

Степень вершины называется число рёбер графа, которым принадлежит эта вершина. Степень графа ещё называют его валентностью и обозначают . Вершина графа, для которой является изолированной, для которой висячей.

Вершина называется нечётной, если нечётное число. Вершина называется чётной, если чётное число. Степень каждой вершины полного графа на единицу меньше числа его вершин.

В графе сумма степеней всех его вершин – число чётное, равное удвоенному числу рёбер графа. Число нечётных вершин любого графа чётно. Во всяком графе с n вершинами, где всегда найдутся, по меньшей мере, две вершины с одинаковыми степенями.

Если в графе с n вершинами в точности две вершины имеют одинаковую степень, то в этом графе всегда найдётся либо в точности одна вершина степени 0, либо в точности одна вершина степени

  1. Маршруты, цепи, циклы

Маршрутом в графе называется чередующаяся последовательность вершин и рёбер, в которой любые два соседних элемента инцидентны:

Если то маршрут замкнут, в противном случае открыт.

Путём называется последовательность дуг (в ориентированном графе), такая, что конец одной дуги является началом другой дуги.

Простой путь – путь, в котором ни одна дуга не встречается дважды.

Контур – путь, у которого конечная вершина совпадает с начальной вершиной.

Длиной пути (контура) называется число дуг пути (или сумма длин его дуг, если последние заданы).

Цепью называется множество рёбер (в неориентированном графе), которые можно расположить так, что конец (в этом расположении) одного ребра является началом другого. Другое определение: цепь – последовательность смежных вершин. Замкнутая цепь называется циклом. Можно определить простые и элементарные цепи.

Элементарная цепь (цикл, путь, контур), проходящая через все вершины графа называется гамильтоновой цепью.

Простая цепь (цикл, путь, контур), содержащая все рёбра (дуги) графа называется эйлеровой цепью.

Если любые две вершины графа можно соединить цепью, то граф называется связным. Если граф не является связным, то его можно разбить на связные подграфы, называемые компонентами.

Связностью графа называется минимальное число рёбер, после удаления которых граф становится несвязным.

  1. Ориентированные графы

Если элементы множества Е графа упорядоченные пары, то граф называется ориентированным или орграфом.

Ребро графа G называется ориентированным, если одну вершину считают началом ребра, а другую – концом, на рисунке его изображают стрелкой между вершинами. Таким образом, граф, все рёбра которого ориентированы, называется ориентированным графом.

Одна и та же вершина ориентированного графа может служить началом для одних рёбер и концом для других, поэтому различают две степени вершины: степень выхода и степень входа.

Степенью выхода вершины орграфа называется число выходящих из вершины рёбер.

Степенью входа вершины орграфа называется число входящих в вершину рёбер.

В орграфах в зависимости от сочетаний степеней входа и выхода для данной вершины рассматривается три случая.

Изолированной вершиной называется вершина, у которой и степень входа и степень выхода равна 0.

Источником называется вершина, степень выхода которой положительна, а степень входа равна 0.

Стоком называется вершина, степень входа которой положительна, а степень выхода равна 0.

Путём в ориентированном графе называется последовательность ориентированных рёбер, т. е. для орграфов цепь называется путём.

Простым путём в ориентированном графе называется путь, в котором ни одна вершина не содержится более одного раза.

Замкнутый путь в ориентированном графе называется ориентированным циклом или контуром.

Длиной пути называется число рёбер в этом пути.

Полным ориентированным графом называется граф, каждая пара вершин которого соединена в точности одним ориентированным ребром.

Всякий полный ориентированный граф с n вершинами имеет простой ориентированный путь, проходящий через все вершины графа.

Петлёй называется ребро, у которого начальная и конечная вершины совпадают. Петля обычно считается неориентированной.

Мультиграфом называется граф, в котором пара вершин соединяется несколькими различными рёбрами. Для ориентированного мультиграфа вершины и могут соединяться несколькими рёбрами в каждом из направлений.

  1. Изоморфизм графов

Два графа и называются изоморфными, если между множествами их вершин существует биективное (взаимнооднозначное) соответствие, такое, что вершины соединены рёбрами в одном из графов в том и только в том случае, когда соответствующие им вершины соединены в другом графе. Если рёбра ориентированы, то их направление в изоморфных графах должно совпадать. Изоморфизм графов есть отношение эквивалентности, так как обладает свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Для того чтобы граф был изоморфен графу необходимо и достаточно существования такой подстановки, которая бы установила взаимнооднозначное соответствие между вершинами графа, а также между их рёбрами.

При замене графа любым ему изоморфным все свойства графа сохраняются. Строго говоря, графы отличающиеся только нумерацией вершин, являются изоморфными.

Алгоритм распознания изоморфизма двух графов и

1. Подсчитаем число вершин каждого графа (число вершин должно совпадать, в противном случае графы неизоморфные).

2. Выписываем все элементы обоих графов в естественной упорядоченности и определяем пары и для каждого элемента, где число исходов для каждой вершины графов и , а число заходов для соответствующих графов.

3. Для каждого элемента х графа ищем такой элемент у графа что выполняется условие: число исходов х совпадает с числом исходов у, и число заходов х совпадает с числом заходов у. Найденные элементы х и у соединяем ребром, т. е. строим граф соответствия (если соответствия нет, то графы не изоморфны).

4. Выписываем подстановку, которая переводит граф в граф .

  1. Плоские графы

Граф называется плоским, если на плоскости его можно изобразить так, что все пересечения его рёбер являются вершинами графа .

В качестве характеристики плоского представления графа вводится понятие грани.

Гранью в плоском представлении графа называется часть плоскости, ограниченная простым циклом и не содержащая внутри других циклов.

  1. Операции над графами

Рассмотрим графы и

а) Дополнением графа называется граф множеством вершин которого является множество а множеством его рёбер является множество

б) Объединением графов и при условии, что называется граф множеством вершин которого является множество а множеством его рёбер является множество

в) Пересечением графов и называется граф множеством вершин которого является множество а множеством его рёбер является множество

г) Суммой по модулю два графов и при условии, что называется граф множеством вершин которого является множество а множеством его рёбер – множество Т. е. этот граф не имеет изолированных вершин и состоит только из рёбер, присутствующих либо в первом графе, либо во втором графе, но не в обоих графах одновременно.

hello_html_b462b80.jpg


hello_html_62517619.jpg

  1. Способы задания графов

Существуют три эквивалентных способа задания графов: аналитический, геометрический и матричный. Рассмотрим каждый из них.

Аналитический способ задания графов

Граф задан, если задано множество элементов V и отображение E множеств V в V. Отображение Е может быть как однозначным, так и многозначным.

Пусть дано множество которое имеет мощность

Для того чтобы задать отображение Е на V , необходимо каждому элементу поставить в соответствие некоторое подмножество множества V, которому соответствует отображение Е. Это подмножество обозначают через Поэтому Совокупность двух объектов: множества V и отображение Е на V задаёт некоторый граф.

Другой формой аналитического способа задания является задание графа как совокупности множества элементов V и подмножества множества упорядоченных пар

Геометрический способ задания графов

Множество элементов V графа G изображают кружками, это множество вершин. Каждую вершину соединяют линиями с теми вершинами , для которых выполняется условие Множество линий, которое соответствует множеству упорядоченных пар есть множество рёбер.

Матричный способ задания графов

Квадратная матрица элементами которой являются нули и единицы, а также некоторое число m, называется матрицей смежности графа тогда и только тогда, когда её элементы образуются по следующему правилу: элемент стоящий на пересечении й строки и го столбца, равен единице, если имеется ребро, идущее из вершины в вершину и равен нулю в противном случае. Элемент равен единице, если при вершине имеется петля, и равен нулю в противном случае. Элемент равен некоторому числу m, где m – число рёбер графа, идущее из вершины в вершину

Таким образом, если граф задан одним из указанных способов: аналитическим, геометрическим или матричным, всегда можно перейти к любому другому способу задания. Наиболее часто для задания графа используется аналитический и матричный способы, а геометрический способ служит для иллюстрации полученных результатов.

  1. Некоторые типы графов

Эйлеровы графы

К задачам на Эйлеровы графы относятся головоломки, в которых требуется вычертить на плоскости одним росчерком замкнутые кривые, обводя каждый участок в точности один раз. Введём следующие понятия.

Эйлеровым путём в графе называется путь, содержащий все рёбра графа.

Эйлеровым циклом или эйлеровой цепью называется цикл, содержащий все рёбра графа и притом по одному разу.

Граф, обладающий эйлеровым циклом, называется эйлеровым графом.

Замкнутую линию, если её можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги, проходя при этом каждый участок в точности один раз, принято называть уникурсальной.

Рисунок графа, обладающий эйлеровым путём или эйлеровым циклом, является уникурсальной линией.

Докажем следующие две теоремы

Теорема 1. Если граф обладает эйлеровым циклом, то он связный и все его вершины четные.

Доказательство. Связность графа следует из определения эйлерова цикла. Эйлеров цикл содержит каждое ребро и притом только один раз, поэтому, сколько раз эйлеров путь приведет конец карандаша в вершину, столько и выведет, причём уже по одному ребру. Следовательно, степень каждой вершины графа должна состоять из двух одинаковых слагаемых: одно – результат подсчета входов в вершину, другое – выходов.

Теорема 2. Если граф связный и все его вершины четные, то он обладает эйлеровым циклом.

Доказательство. Если начать путь из произвольной вершины графа , то найдётся цикл, содержащий все рёбра графа. Пусть - произвольная вершина. Из начнём путь по l по одному из рёбер и продолжим его, проходя каждый раз по новому ребру. Все вершины графа имеют чётные степени, поэтому если l есть «выход» из , то должен быть и «вход» в , также как и для любой вершины другой вершины. И если есть «вход» в вершину, то должен быть и «выход». Так как число ребер конечно, то это путь должен окончиться, причём в вершине . Если путь, замкнувшийся в , проходит через все рёбра графа, то мы получим искомый эйлеров цикл.

Для построения эйлерова цикла в связном графе со всеми вершинами чётной степени применяется следующий алгоритм:

1. Выйти из произвольной вершины . Каждое пройденное ребро зачеркнуть. Если путь замыкается в и проходит через все рёбра графа, то получим искомый эйлеров цикл.

2. Если остались непройденные рёбра, то должна существовать вершина принадлежащая и ребру, не вошедшему в

3. Так как чётная, то число рёбер, которым принадлежит и которые не вошли в путь тоже чётно. Начнём новый путь из и используем только рёбра, не принадлежащие Этот путь кончится в

4. Объединим теперь оба цикла: из пройдём по пути к затем по и, вернувшись в пройдём по оставшейся части обратно в .

5. Если снова найдутся рёбра, которые не вошли в путь, то найдём новые циклы. Так как число рёбер и вершин конечно, то процесс закончится.

Таким образом, замкнутую фигуру, в которой все вершины чётные, можно начертить одним росчерком без повторений и начиная с любой точки.

На практике эйлеровым графом может быть план выставки; это позволяет расставить указатели маршрута, чтобы посетитель смог пройти по каждому залу в точности по одному разу.

Гамильтоновы графы

Граф, обладающий гамильтоновым циклом, называется гамильтоновым графом.

Гамильтоновым циклом, или путём в графе, называется цикл, или путь, проходящий через каждую вершину графа в точности по одному разу.

Эйлеровы и гамильтоновы пути сходны по способу задания. Первые содержат все рёбра, и притом по одному разу, вторые – все вершины по одному разу. Но, несмотря на внешнее сходство, задачи их отыскания резко отличаются по степени трудности. Для решения вопроса о существовании эйлерова цикла в графе достаточно выяснить, все ли его вершины чётные.

Критерий же существования гамильтонова цикла на произвольном графе ещё не найден.

Однако есть несколько достаточных условий существования гамильтоновых циклов в графе:

1. Всякий полный граф является гамильтоновым, так как он содержит простой цикл, которому принадлежат все вершины данного графа.

2. Если граф, помимо простого цикла, проходящего через все его вершины, содержит и другие рёбра, то он также является гамильтоновым.

3. Если граф имеет один гамильтонов цикл, то он может иметь и другие гамильтоновы циклы.


  1. Формирование умений и навыков обучающихся.

Решение текстовых задач

- Рассмотрим другую сторону применения теории множеств – решение текстовых задач.

Задача 1. Иван не Иванов, Петр не Петров, Сергей не Сергеев. Сергей живет в одном доме с Петровым. Кто есть кто? (ответ: Сергей Иванов, Петр Сергеев, Иван Петров).

Задача 2. В НИИ работает 5 агрономов. Нужно составить график дежурств по 2 человека на смену, причем каждый агроном должен отдежурить с каждым из остальных. На сколько смен будет составлен график? (ответ: 10, обращаем внимание, что эту задачу можно решить как при помощи теории множеств, так и при помощи комбинаторики, используя размещения без повторений).

Решение задач с помощью графов:

Задача 1. 

hello_html_22dde0ea.jpg

Решение: Обозначим ученых вершинами графа и проведем от каждой вершины линии к четырем другим вершинам. Получаем 10 линий, которые и будут считаться рукопожатиями.

Задача 2. 

На пришкольном участке растут 8 деревьев: яблоня, тополь, береза, рябина, дуб, клен, лиственница и сосна. Рябина выше лиственницы, яблоня выше клена, дуб ниже березы, но выше сосны, сосна выше рябины, береза ниже тополя, а лиственница выше яблони. Расположите деревья от самого низкого к самому высокому. 

Решение: 

Вершины графа - это деревья, обозначенный первой буквой названия дерева.  В данной задача  два отношения: “быть ниже” и “быть выше”. Рассмотрим отношение “быть ниже” и проведем стрелки от более низкого дерева к более высокому. Если в задаче сказано, что рябина выше лиственницы, то стрелку ставим от лиственницы к рябине и т.д. Получаем граф, на котором видно, что самое низкое дерево – клен, затем идут яблоня, лиственница, рябина, сосна, дуб, береза и тополь.


hello_html_m1f7a5a9b.jpg

Задача 3.

У Наташи есть 2 конверта: обычный и авиа, и 3 марки: прямоугольная, квадратная и треугольная. Сколькими способами Наташа может выбрать конверт и марку, чтобы отправить письмо?

Решение: 


hello_html_m1d56700b.jpg

Ниже представлен разбор задач.

hello_html_4d8d0fe4.png 

   hello_html_m7de38714.jpg

  1. Подведение итогов занятия.

Подводится итог работы и выставляются оценки.


  1. Домашнее задание.

Решить задачи:

  1. В группе учатся 40 студентов. Из них по русскому языку имеют «пятерки» 19 человек, по математике – 17 человек и по информатике – 22 человека. Только по одному предмету имеют «пятерки»: по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека, по информатике – 11 человек. Семь студентов имеют «пятерки» и по математике и по информатике, а 5 студентов – «пятерки» по всем предметам. Сколько человек учится без «пяте-рок»? Сколько человек имеют «пятерки» по двум из трех предметов?

  2. Из пункта А в пункт В выехали пять машин одной марки разного цвета: белая, черная, красная, синяя, зеленая. Черная едет впереди синей, зеле-ная — впереди белой, но позади синей, красная — впереди черной. Каков порядок их движения?

  3. Между девятью планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий, Плутон – Венера, Земля – Плутон, Плутон – Меркурий, Меркурий – Венера, Уран – Нептун, Нептун – Сатурн, Сатурн – Юпитер, Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса?


Решение

Нарисуем схему: планетами будут соответствовать точки, а соединяющим их маршрутам – не пересекающиеся между собой линии.

hello_html_12317e89.gif

Теперь видно, что долететь от Земли до Марса нельзя.

Ответ

Нельзя.



  1. Самостоятельная работа.


Виды графов и операции над ними. Отношения; свойства отношений.



Что такое декартово произведение и отношения на множестве

Декартово произведение A x B множеств A и B - множество всевозможных пар вида (a, b), где a - элемент множества Ab - элемент множества B. В отличие от обычного произведения, перестановка "множителей" меняет результат. Заметим, что декартово произведение множества самого на себя - допустимая операция. 

Пример декартова произведения. 
A = {-1, 1}, B = {0, 2}. A x B = {(-1, 0), (-1, 2), (1, 0), (1, 2)}. 

Пусть |
X| - количество элементов множества X. Тогда |A x B| = |A|*|B|. 

Любое подмножество R декартова произведения A x A называется отношением на множестве A. Если некоторые элементы y, z из Aнаходятся в отношении R, это обозначают как yRz. Небольшой пример. Пусть есть молодёжная компания K = {Вася, Маша, Катя, Лиза, Петя}. Допустим, R - отношение "живущие по одной улице". Маша и Катя живут по улице Дубовой, Лиза и Петя - по улице Липовой, Вася - по улице Кустарной. Тогда R = {(Маша, Катя), (Катя, Маша), (Лиза, Петя), (Петя, Лиза)}.

Простейшие виды отношений

Отношение R на множестве A рефлексивно, если любой элемент этого множества находится в отношении R с самим собой. Пример:A - числовое множество, R - отношение равенства. Ведь никто же не усомнится, что 1=1))) 

Отношение антирефлексивно, если никакой элемент множества A не находится в этом отношении сам с собой. Яркий пример - неравенства < и > (то есть строгие неравенства). Другой пример: A - множество команд футбольной лиги, R - отношение "играть в одном матче в 1-ом туре". Ну не будет же никакая команда играть сама с собой? Как это - "команда играет с собой же"? Это типа её основной состав против дубля что ли? 

Отношение симметрично, если всегда верно yRz => zRy, где y, z - элементы множества A. Пример про футбол из предыдущего абзаца подойдёт))) Ведь если ЦСКА играет матч с "Динамо", то "Динамо" же играет с ЦСКА))) 

Если yRz и zRy возможно одновременно только при y=z, то отношение антисимметрично. Яркий пример - нестрогие неравенства для чисел ("больше или равно", "меньше или равно"). 

Отношение R асимметрично, если yRz и zRy вообще не может быть одновременно. Пример: A - множество граждан России, xRy - если y - жена x. Адекватный человек вряд ли здесь найдёт случаи симметрии))) 

Если при yRz и zRt всегда верно, что yRt, то отношение транзитивно. Пример - всё те же числовые неравенства. Скажем, если y > z, z > t, то по-любому y > t. Другой яркий пример - параллельность прямых: если первая прямая параллельна второй, а вторая - третьей, то первая прямая параллельна третьей. 

Отношение называется связным, если для любых несовпадающих элементов y, z yRz или zRy (допускается выполнение как одного, так и двух условий сразу). То есть любая пара элементов множества A содержит сравнимые элементы. Пример связного отношения следующий. A - множество команд футбольной лиги. Окончился очередной чемпионат, команды выстроились в итоговой турнирной таблице. Отношение yRz: команда y набрала не меньше очков, чем команда z. Если две команды набрали разное число очков, то отношение между ними выполняется в одну сторону, если одинаковое - и вовсе в обе (в последнем случае места в таблице определяются по дополнительным правилам). А теперь коварный второй пример, на этот раз отношение будет не связным. yRz: команда y набрала больше очков, чем команда z. Если две команды набрали очков одинаково, то отношения между ними нет.

Отношения эквивалентности и отношения порядка

Если отношение R на множестве A рефлексивно, симметрично и транзитивно одновременно, то это отношение эквивалентности. Пример отношения эквивалентности. A = {15, 319, 25, 29, 935, 939}. R - отношение "оканчиваться на одну цифру". 

Ключевое свойство отношения эквивалентности: множество A разбивается на непересекающиеся классы эквивалентности, элементы внутри такого класса эквивалентны друг друга с точки зрения рассматриваемого отношения. Для примера выше - множество делится на классы {15, 25, 935} и {319, 29, 939}. Как видим, никакой элемент A не попадает одновременно в несколько классов. 

Если отношение одновременно рефлексивно, антисимметрично, транзитивно, то оно является отношением нестрогого порядка. Пример - опять те же нестрогие неравенства, например, "больше или равно". 

Если отношение антирефлексивно, асимметрично, транзитивно, то это отношение строгого порядка. Как пример - строгие неравенства. Заметим, что хотя в определении отношения строгого порядка обычно дают три свойства, можно давать определение без антирефлексивности - она тут выполняется автоматически. 

Заметим, что 
отдельно взятая пара элементов множества A, где введено отношение порядка R, может и не находиться в отношении порядка. Скажем, на множестве сотрудников организации введено отношение "быть начальником", причём управление устроено иерархически.

hello_html_453c2d0e.png

Пример по рисунку: t - начальник для z, а вот y и z вообще не состоят в отношении "начальник-подчинённый": может, статус y выше, но он в другом подразделении. 

Если на множестве введено отношение порядка, это множество является упорядоченным. Если при этом нет пар элементов, не состоящих в отношении порядка, множество называется вполне упорядоченным, иначе частично упорядоченным.


3

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Интернет-маркетолог

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Лекция 7. агрономы. 2 курс.docx

Агрономы Лекционное занятие № 7

Тема: Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей.


Тип урока: изучение нового материала.

Вид урока: комбинированный урок, включающий в себя изучение и систематизацию изученного материалом, применение знаний и умений на практике, закрепление изученного.

Цели занятия:

Образовательные:

  • дать понятие о случайном событии, вероятности события;

  • научить вычислять вероятности события; вероятности случайных событий по классическому определению;

  • научить применять теоремы сложения и умножения вероятностей для решения задач;

  • продолжать формировать интерес к математике посредством решения задач  с применением классического определения вероятности для непосредственного подсчета вероятностей явлений;

  • прививать интерес к математике, используя исторический материал;

  • воспитывать осознанное отношение к процессу обучения, прививать чувство ответственности за качество знаний, осуществлять самоконтроль за процессом решения и оформления упражнений.

Воспитательные:

  • повышать мотивацию студентов путем использования нестандартных задач и игрового изложения материала;

  • побуждать студентов к само-, взаимоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний;

Развивающие:

  • развить навыки формализации при решении задач с помощью кругов Эйлера;

  • развивать познавательный интерес к предмету и самостоятельность студентов;

  • развитие логического мышления, речи и внимания;

  • формирование информационной культуры, потребности в приобретении знаний;

  • побуждать студентов к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.

Студент должен знать: 
- определения и формулы числа перестановок, размещений и сочетаний ;
- классическое определение вероятности;
- определения суммы событий, произведения событий ; формулировки и формулы теорем сложения и умножения вероятностей.

Студент должен уметь :
- вычислять перестановки, размещения и сочетания;
- вычислять вероятность события используя классическое определение и формулы комбинаторики;
- решать задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей.

Оборудование занятия:

  • Проектор, ноутбук.

  • Раздаточный материал.

  • Презентация к занятию.

  • Готовые карточки с домашним заданием.


Ход урока.

  1. Организационный момент:

Поприветствовать студентов, отметить отсутствующих.

Объявить тему урока и его цель.

  1. Актуализация знаний и умений обучающихся.

        1. Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных задач.

        2. Проверка теоретических сведений по теме «Теория вероятностей и комбинаторика».

  1. Что такое комбинаторика?

  2. Какие задачи называются комбинаторными?

  3. Назовите основные понятия комбинаторики.

  4. Что такое размещения, перестановки, сочетания?

  5. Что называется выборкой объема k? Какие выборки считают различными?

  6. Дайте определение символа n!.

  7. Какие формулы существуют для нахождения числа размещений, числа перестановок, числа сочетаний?

  8. Какими свойствами обладают числа hello_html_17586d64.gif?


        1. Проверить решение упражнений:

  1. Вычислить:  hello_html_m4a262f61.gif

  2. Найти число размещений из 10 элементов по 4.

  3. Решить уравнение: hello_html_m4223ed8.gif

  4. Решить задачу:

    • Сколькими способами можно составить список из 10 человек?

    • Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?

    • 30 учащихся обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?


4.Мотивация целей.

Преподаватель сообщает, что возникновение теории вероятностей относится к середине XVII в. и связанно с исследованием Б. Паскаля, П. Ферма и Х.Гюйгенса (1629-1695) . Крупный шаг в развитии теории вероятности связан с работами  Я.Бернулли (1654-1705). Ему принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей - законом больших чисел . Следующий этап в развитии теории связан с именами А.Муавра (1667-1754) , К. Гаусса , П. Лапласа (1749-1827) , С.Пуассона (1781-1840). Среди ученых Петербургской школой следует назвать имена А.М. Ляпунова (1857-1918) и А.А Маркова (1856-1922) . После работ этих математиков во всем мире теорию вероятностей стали называть “Русской наукой”. В средине 20-х годов А.Я. Хинчин (1894-1959) и А.Н. Колмогорова создали Московскую школу теории вероятностей. Вклад акад. А.Н.Колмогоров – лауреата Ленинской премии , международной премии им . Б. Больцано, члена ряда зарубежных академиков – в современную математику огромен. Заслуга А.Н.Колмогорова состоит не только в разработке новых научных теорий, но и еще в большей степени в том, что он воспитал целую плеяду талантливых ученых (акад. АН УССР Б.В. Гнеденко , акад. Ю.В. Прохоров , Б.А. Севастьянов и др.).
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных величин,- за последнее десятилетие превратилась в один из основных методов современных науки и техники. Бурное развитие теории автоматического регулирования привело к необходимости решать многочисленные вопросы, связанные с выяснением возможного хода процессов, на которые влияют случайные факторы. Теория вероятностей необходима широкому кругу специалистов – физикам, биологам, врача, экономистам, инженерам, военным, организаторам производства и т.д.

- Итак, тема нашего занятия «Вероятность. Теорема сложения и умножения вероятностей» (Презентация)


  1. Изучение нового материала.

В толковом словаре С.И. Ожегова и Н.Ю. Шведовой читаем: «Вероятность – возможность исполнения, осуществимости чего-нибудь». Мы часто употребляем в повседневной жизни «вероятно», «вероятнее», «невероятно», вовсе не имея в виду конкретные количественные оценки этой возможности исполнения.
Основатель современной теории вероятностей А.Н. Колмогоров писал о вероятности так: «Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях».
Итак, в математике вероятность измеряется числом. Совсем скоро мы выясним, как именно это можно сделать. Но начнем мы с обсуждения того, у каких событий бывает «математическая вероятность» и что представляют собой эти «определенные, могущие повторяться неограниченное число раз условия». Именно поэтому рассмотрим случайные события и случайные эксперименты.
Нужно сказать, что теория вероятностей, как никакая другая область математики, полна противоречий и парадоксов. Объяснение этому очень простое – она слишком тесно связана с реальной, окружающей нас действительностью. Долгое время ее вместе с математической статистикой даже не хотели причислять к математическим дисциплинам, считая их сугубо прикладными науками.
Только в первой половине прошлого века, в основном благодаря трудам нашего великого соотечественника А.Н. Колмогорова, имя которого уже упоминалось выше, были построены математические основания теории вероятностей, которые позволили отделить собственно науку от ее приложений. Подход, предложенный Колмогоровым, теперь принято называть аксиоматическим, поскольку вероятность в нем (а точнее, вероятностное пространство) определяется как некая математическая структура, удовлетворяющая определенной системе аксиом.
Именно на этом подходе построен современный вузовский курс теории вероятностей, через который прошли в свое время все нынешние учителя математики. Однако в школе такой подход к изучению вероятности (да и математики в целом) вряд ли разумен. Если в вузе основной акцент делается на изучении математического аппарата для исследования вероятностных моделей, то в школе 
ученик должен научиться эти модели строить, анализировать, проверять их адекватность реальным ситуациям. Такую точку зрения разделяют сегодня большинство ученых, занимающихся проблемами школьного математического образования.
В современных школьных учебниках можно найти следующее определение: событие называется
случайным, если при одних и тех же условиях оно может как произойти, так и не произойти. Случайным будет, например, событие «При подбрасывании игрального кубика выпадет 6 очков».
В приведенном определении неявно подразумевается одно важное требование, которое необходимо подчеркнуть: мы должны иметь возможность 
неоднократно воспроизводить одни и те же условия, в которых наблюдается данное событие (например, подбрасывать кубик),- иначе невозможно судить о его случайности.
Стало быть, говоря о любом случайном событии, мы всегда имеем в виду наличие определенных условий, без которых об этом событии вообще не имеет смысла говорить. Этот комплекс условий называют
случайным опытом или случайным экспериментом.
В дальнейшем 
мы будем называть случайным любое событие, связанное со случайным экспериментом. До эксперимента, как правило, невозможно точно сказать, произойдет данное событие, или не произойдет – это выясняется лишь после его завершения. Но неспроста мы сделали оговорку «как правило»: в теории вероятностей принято считать случайными все события, связанные со случайным экспериментом, в том числе:

  • невозможные, которые никогда не могут произойти;

  • достоверные, которые происходят при каждом таком эксперименте.

            Например, событие «На игральном кубике выпадет 7 очков» - невозможное, а «На игральном кубике выпадет меньше семи очков» - достоверное. Разумеется, если речь идет о кубике, на гранях которого написаны числа от 1 до 6.
События называются 
несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании (В урне два шара – белый и черный, появление черного шара не исключает появление белого при том же испытании). События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны. Вероятность события рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.

Обозначения: 
Случайные события (большими буквами латинского алфавита): A,B,C,D,.. (или 
hello_html_6b8f371f.gif). “Случайные” опускают и говорят просто “события”. 
Число исходов, благоприятствующих наступлению данного события – m;
Число всех исходов (опытов) – n.
Классическое определение вероятности.
Вероятностью события A называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события hello_html_m3d7138e8.gifк числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е.
hello_html_m4af1ed3.gif – вероятность случайного события
Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы, т.е.   0≤P(A)≤1
Невозможному событию соответствует вероятность P(A)=0, а достоверному – вероятность P(A)=1

Теоремы сложения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий,  безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+P(B);
P(
hello_html_m3d7138e8.gifhello_html_bc13893.gif+…+hello_html_187ffce3.gif=P(hello_html_3f7b08ce.gif+Phello_html_m37f45177.gif+…+P(hello_html_597ca955.gif).

Теорема сложения вероятностей совместных событий. 
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Для трех совместных событий имеет место формула:
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

Событие, противоположное событию A (т.е. ненаступление события A), обозначают hello_html_111dc2e9.gif. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице: P(A)+P(hello_html_111dc2e9.gif)=1

Вероятность наступления события A, вычисленная в предположении, что событие B уже произошло, называется условной вероятностью события A при условии B и обозначается hello_html_m1b43a460.gif(A) или P(A/B).
Если A и B – независимые события, то 
P(B)-
hello_html_m62a3c869.gif(B)=hello_html_m4e842a91.gif(B).

События A,B,C,… называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или ненаступлением других событий по отдельности или в любой их комбинации.


Теоремы умножения вероятностей.

Теорема умножения вероятностей независимых событий. 
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
P(AB)=P(A)•P(B)

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле:
P(
hello_html_1bf9a579.gif)=P(hello_html_m3d7138e8.gif)•P(hello_html_bc13893.gif)… P(hello_html_597ca955.gif).

Теорема умножения вероятностей зависимых событий. 
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:
P(AB)=P(A)• 
hello_html_m62a3c869.gif(B)=P(B)•hello_html_m4c5179d2.gif(A)

Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей.

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте; в противном случае события называются совместными.

Пример 1. При бросании игральной кости выпадение 3 очков и 6 очков события несовместные, так как они одновременно не могут произойти в одном и том же опыте.

Пример 2. А - появление четырех очков при бросании игральной кости; В-появление четного числа очков. События А и В совместные, так появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не влияет на вероятность появления другого события, в противном случае события зависимы.

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А – деталь годная, В – деталь окрашенная, то АВ – деталь годна и окрашена. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если А, В, С – появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то АВС – выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

Условной вероятностью hello_html_m101c3f8.gif называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна : hello_html_5be615ea.gif где (Р(А)>0).

Пример 3. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность hello_html_3322ba8d.gif

Этот же результат можно получить по формуле hello_html_5c094c9e.gif

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании hello_html_d569885.gif

Найдем вероятность Р (АВ) того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором—белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений hello_html_1d720936.gif. Из этого числа исходов событию AВ благоприятствуют hello_html_m667c4004.gif исходов. Следовательно, hello_html_1cae54b.gif. Искомая условная вероятность hello_html_5ff7d721.gif. Как видим, получен прежний результат.

Теорема умножения вероятностей (для зависимых событий). Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: hello_html_5b05d49e.gif

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

hello_html_m35d5579b.gif,

где hello_html_6ea5740e.gif — вероятность события hello_html_m6ac0a1aa.gif, вычисленная в предположении, что события hello_html_m40364df0.gif наступили.

В частности, для трех событий hello_html_m2db2b97b.gif.

Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т.д.

Пример 4. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков — конусный, а второй — эллиптический.

Решение. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие А), hello_html_14ccefcb.gif.

Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик— конусный, т. е. условная вероятность hello_html_m2bd4fd7.gif.

По теореме умножения, искомая вероятность hello_html_m2595b066.gif

Пример 5. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором — черный (событие В) и при третьем—синий (событие С).

Решение. Вероятность появления белого шара в первом испытании hello_html_44cb14b0.gif

Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность hello_html_m1d254f96.gif

Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором — черный, т. е. условная вероятность hello_html_3ed83c86.gif

Искомая вероятность hello_html_m20db341e.gif

Теорема умножения вероятностей (для независимых событий). Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: hello_html_7bb0eb91.gif.

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то А+В – попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах. В частности, если два события А и В – несовместные, то А+В – событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Теорема сложения вероятностей (для несовместных событий). Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:hello_html_1e2c62c4.gif.

Пример 6.  В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появления красного шара (событие A) P(A) = 10/30 = 1/3. Вероятность появления синего шара (событие B) P(B) = 5/30 = 1/6. События A и B несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность P(A + B) = P(A) + P(B) = 1/3 + 1/6 = 0,5.

Пример 7. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую – 0,35.Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Решение. Событие A – «стрелок попал в первую область» и B – «стрелок попал во вторую область» - несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,45 + 0,35 = 0,80.

Теорема сложения вероятностей (для совместных событий). Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: hello_html_612eb4f0.gif.

Для трех событий A, B, C имеем:  hello_html_m24d5150a.gif

Замечание 1. При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми.

Для независимых событийhello_html_m26c1e1f9.gif;

Пример 8. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: p1 = 0,7; p2 = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы. Вероятность события АВ (оба орудия дали попадание) Р (АВ)=Р (А)*Р(В) = 0,7*0,8 = 0,56. Искомая вероятность Р(А+В)=Р(А) + Р(В)—Р(АВ) = 0,7 + 0,8 — 0,56=0,94.

Замечание. Так как в настоящем примере события А и В независимые, то можно было воспользоваться формулой hello_html_482c8b84.gif. В самом деле, вероятности событий, противоположных событиям А и В, т. е. вероятности промахов, таковы: hello_html_m4f72f728.gif.

Искомая вероятность того, что при одном залпе хотя бы одно орудие даст попадание, равна hello_html_5593a4e7.gif. Как и следовало ожидать, получен тот же результат.

Для зависимых событийhello_html_43e6e704.gif.

Вероятность появления хотя бы одного события.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий hello_html_m6b0218d8.gif, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий hello_html_m49ff047d.gifhello_html_4804fcd1.gif.

Частный случай. Если события hello_html_m6b0218d8.gif имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий: hello_html_1b848993.gif.


  1. Формирование умений и навыков обучающихся.

Задача 1.
В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?
Решение: Событие A-билет выигрышный. Общее число различных исходов есть n=1000 
Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле P(A)=
hello_html_20a3eda.gif, получим P(A)=hello_html_69c3e9aa.gifhello_html_42f31b4e.gif = 0,2

Задача 2.
Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.
Решение: Событие A-появление черного шара. Общее число случаев n=5+3=8
Число случаев m, благоприятствующих появлению события A, равно 3
P(A)= 
hello_html_20a3eda.gif = hello_html_36ba1017.gif = 0,375

Задача 3.
Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

Решение: Событие A- появление двух черных шаров. Общее число   возможных случаев n равно числу сочетаний из 20 элементов (12+8) по 2 
n=
hello_html_4f636c50.gifhello_html_m7fd05f38.gif = 190
Число случаев m, благоприятствующих событию A, составляет
n=
hello_html_3e08750e.gifhello_html_2897fd87.gif = 28

P(A)= hello_html_20a3eda.gif = hello_html_67f3b187.gif = hello_html_m1ac8d99e.gif = 0,147

Задача 4.
В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем 5 из них стандартные. Рабочий берет наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной.

Задача 5.
Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно

Задача 6. 
В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
Решение: Пусть A - появление белого шара из первой урны, а B – появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события A и B независимы. Найдем P(A)=4/12=1/3, P(B)=3/12=1/4, получим 
P(AB)=P(A)•P(B)=(1/3)•(1/4)=1/12=0,083

Задача 7.
В ящике находится 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берет наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.
Решение: Введем следующие обозначения: A – первая взятая деталь стандартная; B – вторая взятая деталь стандартная. Вероятность того, что первая деталь стандартная, составляет P(A)=8/12=2/3. Вероятность того, что вторая взятая деталь окажется стандартной при условии, что была стандартной первая деталь, т.е. условная вероятность события B, равна hello_html_m62a3c869.gif(B)=7/11.
Вероятность того, что обе детали окажутся стандартными, находим по теореме умножения вероятностей зависимых событий:
P(AB)=P(A)•
hello_html_m62a3c869.gif(B)=(2/3)•(7/11)=14/33=0,424


Решение задач

1. В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые. Рассмотреть выборки: а) без возвращения; б) с возвращением.

2. Вероятность наступления некоторого случайного события в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты проводятся последовательно до наступления этого события. Определить вероятность того, что: а) придется проводить четвертый опыт; б) будет проведено четыре опыта.

Ответ: а) P(A)=0,8; б) P(B)=0,83·0,2

3. Три стрелка одновременно стреляют по одной мишени. Вероятности попадания при одном выстреле соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятности того, что при одновременном залпе этих стрелков в мишени будет: а) только одно попадание; б) хотя бы одно попадание.

Ответ: а) 0,092; б) 0,994

4. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8. (Указание: Задача обратная примеру 8).

Ответ: 0,7

5. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

Ответ: 0,18

6. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.

Ответ: 0,432


  1. Подведение итогов занятия.

Подводится итог работы и выставляются оценки.


  1. Домашнее задание.

Решить задачи:

Вариант 1.

  1. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 40 до 70 является кратным 6?

  2. Какова вероятность того, что при пяти бросаниях монеты она три раза упадет гербом к верху?

Вариант 2.

  1. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 1 до 30 (включительно)  является делителем числа 30?

  2. В НИИ работает 120 человек, из них 70 знают английский язык, 60 – немецкий, а 50 – знают оба. Какова вероятность того, что выбранный наудачу сотрудник не знает ни одного иностранного языка?


  1. Самостоятельная работа.

Теорема умножения вероятностей.




17

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Менеджер по туризму

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Лекция 8. агрономы. 2 курс.docx

Агрономы Лекционное занятие № 9

Тема: Случайная величина, ее функция распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

Тип урока: изучение нового материала.

Вид урока: комбинированный урок, включающий в себя изучение и систематизацию изученного материалом, применение знаний и умений на практике, закрепление изученного.

Цели занятия:

Образовательные:

  • дать понятие о случайной величине, дискретные и непрерывные случайные величины;

  • рассмотреть закон распределения случайной величины;

  • научить вычислять математическое ожидание дискретной случайной величины, дисперсию случайной величины, среднее квадратичное отклонение случайной величины;

  • научить применять основные понятия и теоремы для решения задач;

  • продолжать формировать интерес к математике посредством решения задач  с применением классического определения вероятности для непосредственного подсчета вероятностей явлений;

  • прививать интерес к математике, используя исторический материал;

  • воспитывать осознанное отношение к процессу обучения, прививать чувство ответственности за качество знаний, осуществлять самоконтроль за процессом решения и оформления упражнений.

Воспитательные:

  • повышать мотивацию студентов путем использования нестандартных задач и игрового изложения материала;

  • побуждать студентов к само-, взаимоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний;

Развивающие:

  • развивать познавательный интерес к предмету и самостоятельность студентов;

  • развитие логического мышления, речи и внимания;

  • формирование информационной культуры, потребности в приобретении знаний;

  • побуждать студентов к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.

Студент должен знать:

- знать определение математического ожидания;

- понимать, что математическое ожидание является обобщением среднего арифметического значений дискретной случайной величины;

- знать свойства математического ожидания и уметь использовать их при решении простых задач;

- знать, что важным свойством распределения случайной величины является рассеивание;

- знать определение дисперсии;

- уметь вычислять дисперсию;

- знать свойства дисперсии и уметь их использовать при решении простых задач;

- знать определение среднего квадратичного отклонения.

Студент должен уметь :
- вычислять математическое ожидание дискретной случайной величины, дисперсию случайной величины, среднее квадратичное отклонение случайной величины;
- решать задачи на применение основных понятий и теорем по теме.

Оборудование занятия:

  • Проектор, ноутбук.

  • Раздаточный материал.

  • Презентация к занятию.

  • Готовые карточки с домашним заданием.

Ход урока.

  1. Организационный момент:

Поприветствовать студентов, отметить отсутствующих.

Объявить тему урока и его цель.


  1. Актуализация знаний и умений обучающихся.

        1. Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных задач.

        2. Проверка теоретических сведений по теме «Теория вероятностей и комбинаторика».

  1. Что такое комбинаторика?

  2. Какие задачи называются комбинаторными?

  3. Назовите основные понятия комбинаторики.

  4. Что такое размещения, перестановки, сочетания?

  5. Что называется выборкой объема k? Какие выборки считают различными?

  6. Дайте определение символа n!.

  7. Какие формулы существуют для нахождения числа размещений, числа перестановок, числа сочетаний?

  8. Какими свойствами обладают числа hello_html_17586d64.gif?

        1. Проверить решение упражнений:

  1. Вычислить:  hello_html_m4a262f61.gif

  2. Найти число размещений из 10 элементов по 4.

  3. Решить уравнение: hello_html_m4223ed8.gif

  4. Решить задачу:

    • Сколькими способами можно составить список из 10 человек?

    • Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?

    • 30 учащихся обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?


  1. Изучение нового материала.

Закон распределения полностью определяет случайную величину, однако, не всегда его возможно привести в полном объеме.
Для решения многих проблем достаточно знания отдельных числовых параметров, характеризующих наиболее существенные черты случайной величины.
С помощью таких характеристик во многих случаях удается исследовать поведение случайных величин.
Основными числовыми характеристиками случайной величины являются:

  • математическое ожидание;

  • мода;

  • медиана;

  • дисперсия;

  • среднее квадратичное отклонение.

Рассмотрим эти характеристики для дискретной случайной величины.

Математическое ожидание

Математическим ожиданием (ожидаемым значением или средним значением) дискретной случайной величины называют число M(X) = x1p1 + x2p2 + ...+ xnpn – сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Математическое ожидание измеряется в тех же единицах, что и сама величина.
Если все значения случайной величины равновероятны, то математическое ожидание совпадает со средним арифметическим значением.

Пример 1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины дан в виде таблицы. Найти математическое ожидание этой величины.

Рис.1 (ПК, проектор)

hello_html_m4e5376fc.gif

Пример 2. На рынке куплены одинаковые по размеру лимоны:

3 лимона – по 20 руб за штуку,
12 лимонов – по 10 руб за штуку. Найти математическое ожидание стоимости одного лимона.

hello_html_3d50e7ed.gif руб.

Пример 3. Для проведения лотереи изготовили 100 билетов. Из них 1 билет с выигрышем 500 рублей, 10 билетов по 100 руб и остальные по 5 рублей (беспроигрышная лотерея). Наудачу выбирают билет. Найти математическое ожидание выигрыша.

Для того, чтобы лотерея приносила доход, цена билета должна быть больше, чем средний выигрыш, например 30 руб (Доход 3000 – 1945 = 1055 руб).
Отдельный игрок может и выиграть, но в конечном итоге доход будет у организатора лотереи.

Механическая интерпретация математического ожидания дискретной случайной величины – если на оси абсцисс расположить точки x1x2, ..., xn, в которых сосредоточены массы p1, p2, ..., pn, причем hello_html_f394e4.gifтоМ(Х) – абсцисса центра тяжести.
Математическое ожидание находят для однородных величин.
Например, нет смысла искать среднюю урожайность зерновых и бахчевых культур в фермерском хозяйстве. Причем, и для однородных величин нахождение математического ожидания бывает иногда лишено смысла. Например, средняя температура больных в больнице.

Свойства математического ожидания

  • Математическое ожидание постоянной величины равно самой этой величине M(C) = C

  • Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания M(CX) = CM(X)

  • Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий M(XY) = M(X. M(Y)

  • Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий M(X + Y) = M(X+ M(Y)

Доказательство 2-го свойства

X        x1x2, ..., xn
P        p1, p2, ..., pn
M(X) = x1p1 + x2p2 + ...+ xnpn
CX        cx1cx2, ..., cxn
P        p1, p2, ..., pn
M(CX) = cx1p1 + cx2p2 + ...+ cxnpn = C . M(X)

Пример.

Производится 3 выстрела с вероятностями p1 = 0,4; p2 = 0,3; p3 = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если:

Пример. Найти математическое ожидание случайной величины (4Х + 5) если М(Х) = 2.

М(4Х + 5) = М(4Х+ М(5) = 4М(Х) + 5 = . 2 + 5 = 13

Дисперсия

Случайные величины могут иметь одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения.

Например

Математические ожидания равны.

Возможные значения Y близки к M(Y) возможные значения Х далеки от своего M(X) то есть для характеристики случайной величины математического ожидания недостаточно, нужна характеристика рассеивания, т.е. разброса значений случайной величины, например в артиллерии важно насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

Наиболее полной характеристикой разброса чисел является набор их отклонений от математического ожидания. Но когда набор чисел велик, рассматривать набор отклонений практически неудобно. Нужно описать разнообразие чисел в наборе одной характеристикой, одним числом.

Размах – слишком грубая мера разброса чисел в наборе, поскольку учитывает только два из них – наименьшее и наибольшее. Можно попробовать взять «среднее отклонение».

Для любого набора, если только не все числа в нем равны, часть отклонений будет положительна, а часть отрицательна. При этом сумма отклонений равна 0.

В этом состоит основное свойство отклонений: сумма отклонений чисел от математического ожидания этих чисел равна нулю.

Сумма отклонений всегда равна нулю, поэтому среднее арифметическое отклонений тоже равна нулю и его нельзя использовать как меру разброса.

Чтобы судит о разбросе, принято складывать не сами отклонения, а их квадраты. Квадраты отклонений неотрицательны, поэтому сумма квадратов отклонений зависит только от абсолютных величин отклонений, а на от их знаков. Чем больше отклонения чисел от математического ожидания, тем больше будет сумма квадратов отклонений. Для того, чтобы мера разброса чисел не зависела от их количества в наборе, в качестве такой меры берут среднее арифметическое квадратов отклонений. Эту величину называют дисперсией (то есть разброс данных). Обозначим значения случайной величины x1x2, ..., xn, а математическое ожидание этих значений – буквой М.

Дисперсия – это среднее арифметическое квадратов разностей между значениями случайной величины и ее средним значением. В наших обозначениях:

hello_html_3dc2f8d8.gif

Или в общем виде дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения.

Метод сравнения средних значений и дисперсий используется в самых разных отраслях человеческой деятельности. В медицине – для установления диагноза, в литературоведении – для определения автора произведения (когда авторство является спорным), в криминалистике – для розыска преступников.

Пример. Органами милиции задержан грузовик с помидорами, похищенными на овощной базе. В городе всего четыре базы, каждая из них получает помидоры из своего сельскохозяйственного района. Определите, с какой базы были вывезены помидоры. Расследование осложняется тем, что помидоры на всех базах одного сорта.

Решение.

Воспользуемся методом сравнения средних значений и дисперсий. В каждом сельскохозяйственном районе свои условия произрастания помидоров, поэтому помидоры разных районов отличаются, скажем, удельным весом (диаметром, весом и др.). Выберем по 20 – 25 помидоров (реально, конечно, больше) на каждой овощной базе и из грузовика. У нас получатся 4 последовательности – по одной для каждой базы, и еще одна – для грузовика, с которого мы и будем сравнивать первые четыре. Это наши исходные данные. Результатом является номер овощной базы, где совершено хищение.

Чтобы добиться этого результата, нужно, как рассказано выше, вычислить средние значения и дисперсии всех пяти последовательностей и провести сравнение.

Пусть вес 1 помидора на соответствующих базах и в грузовике изменяется в пределах (в г):

1-я (70, 100)
2-я (80, 90)
3-я (75, 95)
4-я (90, 120
Грузовик (80, 90).

Сравнивая, замечаем, что дисперсии и средние одновременно близки у грузовика и второй базы. Значит, помидоры украдены со второй базы.

Пример. Найти дисперсию случайной величины Х

M(X) = 1 . 0,3 + 2 . 0,5 + 5 . 0,2 = 0,3 + 1,0 + 1,0 = 2,3
(
x1 – M(X))2 = (1 – 2,3)2 = ( – 1,3)2 = 1,69
(
x2 – M(X))2 = (2 – 2,3)2 = 0,09
(
x3 – M(X))2 = (5 – 2,3)2 = 7,29

Напишем закон распределения квадрата отклонения:

D(X) = 1,69 . 0,3 + 0,09 . 0,5 + 7,29 . 0,2 = 2,01

Вычисления громоздки, есть формула, позволяющая быстрее вычислить значение дисперсии.

Формула для вычисления дисперсии

D(X) = M(X)2 – [M(X)]2

Пример.

M(X) = 2 . 0,1 + 3 . 0,6 + 5 . 0,3 = 0,3 + 1,0 + 1,0 = 3,5. M(X2) = 4 . 0,1 + 9 . 0,6 + 25 . 0,3 = 0,3 + 1,0 + 1,0 = 13,3

D(X) = M(X)2 – [M(X)]2   = 13,3 – (3,5)2 = 10,5

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю D(C) = 0

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат D(CX) = C2D(X)

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин D(X + Y) =D(X) + D(Y)

4. Дисперсия разности двух независимых величин равна сумме их дисперсий D(X – Y) = D(X) + D(Y)

Следствия

5. D(C + X) = D(X) где С – const.

6. D(X + Y + Z) = D(X) + D(Y) + D(Z)

Пример. D(X) = 2 D(4X + 5) = D(4X) + D(5) = 16D(X) + 0 = 16 . 2 = 32

Дисперсия числа появления события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых р – вероятность появления постоянна: D(X) = n . p . q.

Пример. Производится 10 независимых испытаний р = 0,6.

D(X) = n . p . q = 10 . 0,6 . 0,4 = 2,4

Среднее квадратичное отклонение

Дисперсия имеет размерность равную квадрату размерности случайной величины. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют не дисперсию, а среднее квадратичное отклонение: hello_html_m30916334.gif

Среднее квадратичное отклонение равно корню квадратному из дисперсии, поэтому его размерность равна размерности случайной величины. Например, если Х выражается в линейных метрах, то hello_html_m31bb41fe.gifтоже выражается в линейных метрах, а D(X) – в квадратных метрах.

Случайные величины

Случайные величина – это величина, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно – заранее неизвестно).

Дискретная случайная величина – это случайная величина, которая принимает отдельное изолированное, счетное множество значений.

Непрерывная случайная величина – это случайная величина, принимающая любые значения из некоторого интервала конечного или бесконечного. Понятие непрерывной случайной величины возникает при измерениях.

Случайные величины обозначаются конечными заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z, а их значения – соответствующими строчными буквами x, y, z.

Закон распределения случайной величины

Это всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

Таблица – это простейшая форма задания закона распределения. В ней перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины X и соответствующие вероятности.

Ряд распределения может быть изображен графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат – соответствующие им вероятности. Соединение образуют ломаную линию. Это многоугольник или полигон распределения вероятностей.

hello_html_m2e255d0f.gif

Рис. 5.1. Полигон распределения вероятностей

Задача 1

Задают ли законы распределения дискретной случайной величины следующие таблицы?

А

Б





А. Да, так как выполняется условие ∑ p = 1 : 0,1+0,4+0,3+0,2=1

Б. Нет: 0,1+0,2+0,3+0.5≠1


Задача 2

Вероятность того, что студент сдаст экзамен по физике, равна 0,7, а по химии – 0,9. Составить закон распределения числа семестровых экзаменов, которые сдаст студент. Построить многоугольник распределения вероятностей.

Решение

Возможные значения X- число сданных экзаменов: 0, 1, 2.

Считаем вероятности:

P(X=0) = Р( Ā1 ) · Р( Ā2 ) = (1 - 0,7) · (1 – 0,9) = 0.3 ·0,1 = 0,03;

Р(X=1) = Р( А1 Ā21 А2 ) = Р( А1 ) Р( Ā2 )+Р( Ā1 ) Р( А2 ) = 0,7·0.1+0,3·0,9 = 0,34.

Р(X=2) = Р( А1 А2) = Р(А1) · Р(А2) = 0,7·0,9 = 0,63.

Ряд распределения имеет вид:





Контроль: 0,03+0,34+0,63 = 1.

Функция распределения случайных величин

Функция F(х), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше некоторого фиксированного х, называется функцией распределения случайной величины X: F(х)= P(X<х). Ее также называют интегральной функцией распределения дискретных и непрерывных случайных величин.

Задача 3

Дан ряд распределения случайной величины:

Найти и изобразить график ее функции распределения.

Решение

1. Если х1 <1 , F(х)=0.

2. Пусть 1<х≤4, (например х = 2), F(х)=P(х=1)=0,4.

3.Пусть 4<х≤5, (например х=4,25),

F(х)=P(X<х)=P(х=4)=0,4+0,2=0,6.

4. Пусть 5<х≤7, F(х)=(P(х=1)+P(х=4)+P(х=5)=0,6+0,2=0,8.

5. Пусть х>7, F(х)=(P(х=1)+P(х=4)+P(х=5) +Р(х=7)=0,8+0,2=1.

hello_html_m96628e6.jpg

Рис. 5.2. Функция распределения дискретной случайной величины

Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений.

Числовые характеристики дискретной случайной величины

1. Математическим ожиданием М(X) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

Задача 4

Известны значения распределения случайных величин X и Y – число очков, выбиваемых первым и вторым стрелками.

Необходимо выявить, какой из двух стрелков стреляет лучше. Построить многоугольники распределения.

Решение

Очевидно, что из двух стрелкой лучше стреляет тот, кто в среднем выбивает большее количество очков.

М(Х) = 0 • 0,15 + 1 • 0,10 + 2 • 0,04 +….

....+ 9 • 0,12 + 10 • 0,2 = 5,36.

М(Y) = 0 • 0,01 + 1 • 0,03 • 0,05 +....

....+ 9 • 0,04 + 10 • 0,02 = 5,36.

То есть среднее число выбиваемых очков у двух стрелков одинаково.

2. Дисперсия дискретной случайной величины.

Слово «дисперсия» означает «рассеяние»:

D(X) = M(X - M(X))².

Дисперсией D(Х) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания.


3. Среднее квадратичное отклонение σ ( стандартное отклонение или стандарт) случайной величины Х – это арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

σ =√ D(X)

Плотность вероятности непрерывных случайных величин

Плотностью вероятности, или плотностью распределения ƒ(x) непрерывной случайной величины Х, называется производная ее функции распределения:

ƒ(x) = F'(x).

Ее также называют дифференциальной функцией распределения.

hello_html_3d28daf9.jpg

Рис. 5.3. Плотность распределения

Свойство плотности вероятности:

1. Неотрицательная функция ƒ(x)≥0.

2. Площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна 1.

3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [a, b] равна определенному интервалу от ее плотности в пределах от a до b.

b

P(a≤x≤b) = ∫ ƒ(x) dx.

a

Геометрическая интерпретация: полученная вероятность равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и опирающейся на отрезок [a, b].

Непрерывная случайная величина описывается следующими характеристиками:

  1. Математическое ожидание:

M(x) = ∫ x ∙ ƒ(x) dx .

−∞

2. Дисперсия: D(x) = ∫ ( x−M(Х))² ∙ ƒ(x) dx.

−∞

Или D(x) = ∫ x²ƒ(x) dx − ( M(Х))².

−∞

Задача 6

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Χ, если плотность распределения:

0, при х≤0

ƒ(x) = 1, при 0 <х<1

0, при x>1

Решение

x² 1

M(Х) = ∫ 1xdx = — │ = 0,5

2 0

1 x³ 1 1

D(Х) = ∫ x²1dx − ( 0,5 )² = — │ − — = 1/12.
0 3 0 4

Нормальный закон распределения

Этот закон наиболее часто встречается на практике. Он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения. Нормальное распределение является одним из самых важных распределений в статистике. Обычно все сравнивают с нормальным законом распределения.

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и σ ², если ее плотность вероятности имеет вид:

hello_html_m40151194.jpg

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина x со средним μ и средним квадратичнымм отклонением σ (стандартное отклонение) находится между (а–σ) и (а+σ), равна 0, 68, т.е. 68% случайной величины x отличается от среднего не более чем на одно стандартное отклонение ±σ.

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина x со средним а и средним квадратичнымм отклонением σ (стандартное отклонение) находится между (а–2 σ) и (а+ 2 σ) равна 0,95,т.е. 95% случайной величины x отличается от среднего не более чем на одно стандартное отклонение ± 2 σ.

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина x со средним а и средним квадратичным отклонением σ (стандартное отклонение) находится между (а–3 σ) и (а+ σ 3), равна 0, 99, т.е. 99% (практически достоверно). Это свойство носит название правило трех сигм (рис. 5.4 ).

hello_html_2a1e9a76.jpg

5.4. Правило трех сигм.

Для случайной величины X, распределенной по нормальному закону, вероятность попадания ее значений в интервал (, ) вычисляется по формуле:


P(<X<) = Ф - Ф ,где Ф(x) – функция Лапласа.

Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания менее чем на  равна:


P( Xa < ) = 2Ф

Задача 6

Вероятность того, что подготовка почвы к посеву выполнена с соблюдением требований агротехники, 0,75. Найти вероятность того, что из 100 делянок почва подготовлена к посеву не меньше чем на 70 и не больше чем на 80.

Решение

По условию, p = 0,75; q = 1 – 0,75 = 0,25; n = 100; K1 = 70, K2 =80.

P100(70,80) = Ф(x2) – Ф(x2)

x1 = = - 1,15;


x2 = = 1,15.

Таким образом, имеем P100(70,80) = Ф(+1,15) – Ф(-1,15) = Ф(1,15) + Ф(1,15) = 2Ф(1,15).

По таблице находим Ф(1,15) = 0б3749.

Искомая вероятность P100(70,80) = 2 0,3749 = 0,7498.


  1. Формирование умений и навыков обучающихся.

Задачи для самостоятельного решения

1. Случайная величина Х задана законом распределения:

Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение σ(X). Построить многоугольник распределения.

2. Найти дисперсию случайной величины Х, зная закон ее распределения. Построить многоугольник распределения.

3. Найти дисперсию случайной величины Х, зная закон ее распределения. Построить многоугольник распределения.


4. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения. Чему равна вероятность р (X=0,8)? Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.

5. Составить дифференциальную функцию для нормально распределенной случайной величины и построить её график, если даны её параметры:

1) М(Х)=4, σ=0,2; 2) М(Х)=-0,5, σ=2; 3) М(Х)=3, σ=0,25; 4) М(Х)=0, σ=1.

6. Заданы математическое ожидание m и среднее квадратичное σ нормально распределённой случайной величины x. Найти: 1) вероятность того, что х примет значение, принадлежащее интервалу (α,β); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения ׀х-а׀ окажется меньше δ.

1) а=15, σ=2, α=16, β=25, δ=4;

2) а=14, σ=4, α=18, β=34, δ=8;

3) а=13, σ=4, α=15, β=17, δ=6.


  1. Подведение итогов занятия.

Подводится итог работы и выставляются оценки.

На занятии мы рассмотрели числовые характеристики случайных величин, способы их вычисления, свойства.


  1. Домашнее задание.

  • Выучить все определения, методы вычисления, свойства числовых характеристик.

  • Доказать свойства математического ожидания.

  • Доказать свойства 2 и 3 дисперсии.

Задача 1. Дано распределение случайной величины Z

Вычислить дисперсию этой случайной величины.

Задача 2. Дисперсия случайной величины Х равна 3. Найдите D(Y), где

а) Y = 3X: 
б) Y = X + 5;
 
в) y – 4X;
 
г) Y = 2X – 1;
 
д) Y = 5 – 3X;
 
е) Y = – 5X – 7.


  1. Самостоятельная работа.

По заданному условию построить закон распределения дискретной случайной величины.



22

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.docx

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Решение задачи, представленной в математических терминах, например, в виде комбинации различных функций, их производных и интегралов, нужно уметь “довести до числа”, которое чаще всего и служит окончательным ответом. Для этого в различных разделах математики выработаны различные методы.

Раздел математики, позволяющий решить любую корректно поставленную задачу с достаточной для практического использования точностью, называется теорией рядов.

Даже если некоторые тонкие понятия математического анализа появились вне связи с теорией рядов, они немедленно применялись к рядам, которые служили как бы инструментом для испытания значимости этих понятий. Такое положение сохраняется и сейчас.

Выражение вида

hello_html_m6c425d8f.gif,

где hello_html_57d009df.gif;hello_html_m6b49cd49.gif;hello_html_17fba860.gif;…;hello_html_m1864904b.gif;… - члены ряда; hello_html_1369a64b.gifn-ый или общий член ряда, называется бесконечным рядом (рядом).

Если члены ряда :

  • числа, то ряд называется числовым;

  • числа одного знака, то ряд называется знакопостоянным;

  • числа разных знаков, то ряд называется знакопеременным;

  • положительные числа, то ряд называется знакоположительным;

  • числа, знаки которых строго чередуются, то ряд называется знакочередующимся;

  • функции, то ряд называется функциональным;

  • степениhello_html_70a38f40.gif, то ряд называется степенным;

  • тригонометрические функции, то ряд называется тригонометрическим.

I. Числовой ряд

1.1. Основные понятия числового ряда.

Числовым рядом называется сумма вида

hello_html_7e5dd263.gif, (1.1)

где hello_html_57d009df.gif,hello_html_m6b49cd49.gif,hello_html_17fba860.gif,…,hello_html_1369a64b.gif,…, называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; членhello_html_1369a64b.gifназывается общим членом ряда.

Суммы

hello_html_m57d2c1d0.gif

…………..

hello_html_m60352765.gif,

составленные из первых членов ряда (1.1), называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм hello_html_54f83ae7.gif.

Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда hello_html_m7c053099.gif стремится к пределуhello_html_550f537d.gif, то ряд называется сходящимся, а число hello_html_550f537d.gif- суммой сходящегося ряда, т.е.

hello_html_m573142ee.gif и hello_html_m32274b99.gif.

Эта запись равносильна записи

hello_html_1ce6b7d7.gif.

Если частичная сумма hello_html_m7c053099.gif ряда (1.1) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (стремится к hello_html_m5fa47e4e.gif или hello_html_2b245904.gif), то такой ряд называется расходящимся.

Если ряд сходящийся, то значение hello_html_m7c053099.gif при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S.

Разность hello_html_mdaa6c.gif называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е.hello_html_1ed70c2e.gif, и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

1.2. Примеры числовых рядов.

Пример 1. Ряд вида

hello_html_m695e50e2.gif (1.2)

называется геометрическим hello_html_m1673dd90.gif.

Геометрический ряд образован из членов геометрической прогрессии.

Известно, что сумма её первых n членов hello_html_m199481e7.gif. Очевидно: это n-ая частичная сумма ряда (1.2).

Возможны случаи:

hello_html_59d4dd64.gif:

hello_html_m4dd7ae4a.gif.

Ряд (1.2) принимает вид:

hello_html_m35b44d52.gif,

hello_html_mc450eec.gif, ряд расходится;

hello_html_m6b8aa1cc.gif

Ряд (1.2) принимает вид:

hello_html_2c31ab78.gif,

hello_html_m41999576.gif

hello_html_m7c053099.gif не имеет предела, ряд расходится.

hello_html_m5f9f3c21.gif,

hello_html_m30259ffc.gif - конечное число, ряд сходится.

hello_html_m4cda42b7.gif,

hello_html_m210ac45f.gif - ряд расходится.

Итак, данный ряд сходится при hello_html_m5f9f3c21.gifи расходится при hello_html_m4a0d4847.gif.

Пример 2. Ряд вида

hello_html_253d7439.gif (1.3)

называется гармоническим.

Запишем частичную сумму этого ряда:

hello_html_ma6c987.gif.

Сумма hello_html_m6e57d659.gif больше суммы, представленной следующим образом:

hello_html_4df4b423.gif

или hello_html_m4400217.gif.

Если hello_html_m7d704195.gif, то hello_html_m3e7b5f49.gif, или hello_html_62acf98a.gif.

Следовательно, если hello_html_m7d704195.gif, то hello_html_m7e7c66e3.gif, т.е. гармонический ряд расходится.

Пример 3. Ряд вида

hello_html_m6b9a21bc.gif (1.4)

называется обобщенным гармоническим.

Если hello_html_26c5aa5b.gif, то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.

Если hello_html_m7a23fa5e.gif, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При hello_html_m1a25781b.gif имеем геометрический ряд, в котором hello_html_m5f9f3c21.gif; он является сходящимся.

Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при hello_html_m1a25781b.gif и расходится при hello_html_4ba4194b.gif.

1.3. Необходимый и достаточные признаки сходимости.

Необходимый признак сходимости ряда.

Ряд hello_html_2a0bcf37.gif может сходиться только при условии, что его общий член hello_html_1369a64b.gif при неограниченном увеличении номера hello_html_m6a246b44.gif стремится к нулю: hello_html_5e35b0de.gif.

Если hello_html_m290f5cd.gif, то ряд hello_html_2a0bcf37.gif расходится – это достаточный признак расходимости ряда.

Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.

Признак сравнения рядов с положительными членами.

Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого, заведомо расходящегося ряда.

Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами

hello_html_4e8ce047.gifhello_html_27e8ef0f.gif

выполняется условие hello_html_2609a354.gif, то ряд сходится при hello_html_1dd0dd95.gif и расходится при hello_html_m73e48f37.gif.

Признак Даламбера не дает ответа, если hello_html_519f05ee.gif. В этом случае для исследования ряда применяются другие приемы.

Упражнения.

Записать ряд по его заданному общему члену:

hello_html_m2516c8c7.gif;

hello_html_585abb94.gif;

hello_html_4de07d0a.gif.

Решение.

Полагая hello_html_7e0cf26a.gif,hello_html_37d00ff8.gif,hello_html_m526a4653.gif,…, имеем бесконечную последовательность чисел:

hello_html_2395157b.gif,hello_html_m38f01173.gif,hello_html_m8d2953d.gif. Сложив его члены, получим ряд

hello_html_m5e560e9d.gif.

Поступая так же, получим ряд

hello_html_m64eff734.gif.

Придаваяhello_html_m6a246b44.gifзначения 1,2,3,… и учитывая, чтоhello_html_610c5a98.gif,hello_html_m48a205af.gif,hello_html_7b1ea8a1.gif,…, получим ряд

hello_html_m7cd89f10.gif.

Найти n-ый член ряда по его данным первым членам:

hello_html_m72310a1d.gif;

hello_html_m788487f.gif .

Решение.

Знаменатели членов ряда, начиная с первого, являются четными числами; следовательно, n-ый член ряда имеет вид hello_html_m3316aef6.gif.

Числители членов ряда образуют натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели – натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели – натуральный ряд чисел, начиная с 3. Знаки чередуются по закону hello_html_m839a332.gif или по закону hello_html_5bc3889e.gif. Значит, n-й член ряда имеет вид hello_html_m839a332.gif.hello_html_33305ea.gif или hello_html_m7d250f1a.gif.

Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости и признак сравнения:

hello_html_m5c50b2e3.gif;

hello_html_m58948ef4.gif;

hello_html_5bd7fc40.gif.

Решение.

Находим hello_html_m610fd611.gif.

Необходимый признак сходимости ряда выполняется, но для решения вопроса о сходимости нужно применить один из достаточных признаков сходимости. Сравним данный ряд с геометрическим рядом

hello_html_2140e9f6.gif,

который сходится, так какhello_html_m6c99c052.gif.

Сравнивая члены данного ряда, начиная со второго, с соответствующими членами геометрического ряда, получим неравенства

hello_html_27a77f.gif

т.е. члены данного ряда, начиная со второго, соответственно меньше членов геометрического ряда, откуда следует, что данный ряд сходится.

Имеем

hello_html_m69c64615.gif.

Здесь выполняется достаточный признак расходимости ряда; следовательно, ряд расходится.

Находим hello_html_m451a73.gif.

Необходимый признак сходимости ряда выполняется. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом

hello_html_3dfbf2c.gif,

который сходится, посколькуhello_html_79733043.gif, следовательно, сходится и данный ряд.

Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

hello_html_7a02daa1.gif;

hello_html_m39b0313e.gif

hello_html_m6153c880.gif.

Решение.

Подставив в общий член ряда hello_html_37042de.gif вместо n число n+1, получим hello_html_m4b3a64e2.gif. Найдем предел отношения hello_html_m7b450b92.gif-го члена к n-му члену при hello_html_m7d704195.gif:

hello_html_m2c94d635.gif.

Следовательно, данный ряд сходится.

Имеем

hello_html_60b46a9e.gif

Значит, данный ряд расходится.

hello_html_1ef2cb0b.gif, т.е. ряд расходится.

II. Знакопеременный ряд

2.1 Понятие знакопеременного ряда.

Числовой ряд

hello_html_mf11cb0b.gif

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки.

hello_html_m4759fd7.gif,

где hello_html_m5f727e6e.gifдля всех hello_html_m5006b812.gif(т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно). Например,

hello_html_3795a88f.gif;

hello_html_3978e7e6.gif;

hello_html_m3f1f9256.gif.

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный в 1714г. Лейбницем в письме к И.Бернулли).

2.2 Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда.

Теорема (Признак Лейбница).

Знакочередующийся ряд сходится, если:

Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. hello_html_16636f2b.gif;

Общий член ряда стремится к нулю:hello_html_5e35b0de.gif.

При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам

hello_html_m6116bcf3.gif.

Замечания.

Исследование знакочередующегося ряда вида

hello_html_m6beaa206.gif

(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на hello_html_m48df3d98.gifк исследованию ряда hello_html_6067893c.gif.

Ряды, для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница).

Соотношение hello_html_m6116bcf3.gif позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного ряда его частичной суммой hello_html_m6e57d659.gif.

Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд hello_html_m839a332.gifhello_html_m4892e95c.gif, сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е.hello_html_50e3916b.gif. Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.

Пример. Вычислить приблизительно сумму ряда hello_html_m9f957ca.gif.

Решение: данный ряд Лейбницевского типа. Он сходится. Можно записать:

hello_html_6ffa74f8.gif.

Взяв пять членов, т.е. заменивhello_html_550f537d.gifна

hello_html_1074495d.gif, сделаем ошибку, меньшую,

чемhello_html_m76d89da0.gif. Итак,hello_html_7e750a17.gif.

Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд

hello_html_mf11cb0b.gif.

Если сходится ряд

hello_html_13d521a3.gif,

составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.

Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов служит достаточным признаком сходимости знакочередующихся рядов.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т.е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Если знакопеременный ряд сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд расходится, то данный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

2.3. Упражнения.

Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

hello_html_m6c0e8bfc.gif;

Решение.

Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:

hello_html_e9a1281.gifи

hello_html_m68e7c1c0.gif

Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно.

Ряд hello_html_m2f813c8c.gif, составленный из абсолютных величин данного ряда, является гармоническим рядом, который, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

hello_html_m12a51db1.gif

 

Решение.

Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:

hello_html_m5a3bfff4.gif, но

hello_html_51d27b4c.gif.

Ряд расходится, так как признак Лейбница не выполняется.

hello_html_4b071f3b.gif;

Решение.

Используя признак Лейбница, получим

hello_html_m4768092d.gif;hello_html_753e6678.gif,

т.е. ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

hello_html_1491bd40.gif.

Это геометрический ряд видаhello_html_31901b61.gif, гдеhello_html_3de5da75.gif, который сходится. Поэтому данный ряд сходится абсолютно.

hello_html_m12795e27.gif;

Решение.

Используя признак Лейбница, имеем

hello_html_46a2ca34.gif;

hello_html_m7cef7032.gif, т.е. ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

hello_html_43cebaa8.gif, или

hello_html_m553d30ba.gif.

Это обобщенный гармонический ряд, который расходится, так какhello_html_1378dc30.gif. Следовательно, данный ряд сходится условно.

III. Функциональный ряд

3.1. Понятие функционального ряда.

Ряд, членами которого являются функции от hello_html_2e27db9e.gif, называется функциональным:

hello_html_654c9407.gif.

Придавая hello_html_2e27db9e.gif определенное значение hello_html_7c32803a.gif, получим числовой ряд

hello_html_m451c1bed.gif,

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Если полученный числовой ряд сходится, то точка hello_html_7c32803a.gif называется точкой сходимости функционального ряда; если же ряд расходится – точкой расходимости функционального ряда.

Совокупность числовых значений аргумента hello_html_2e27db9e.gif, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от hello_html_2e27db9e.gif:hello_html_m21e8198a.gif.

Определяется она в области сходимости равенством

hello_html_m1aec60b7.gif, где

hello_html_2ec2714f.gif- частичная сумма ряда.

Пример. Найти область сходимости ряда hello_html_m776cb8ee.gif.

Решение. Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем hello_html_515afcc2.gif. Следовательно, этот ряд сходится при hello_html_m16d27b87.gif, т.е. при всех hello_html_m47150345.gif; сумма ряда равна hello_html_m18ca4244.gif;

hello_html_204aabc2.gif, при hello_html_m16d27b87.gif.

3.2. Степенные ряды.

Степенным рядом называется ряд вида

hello_html_13152bac.gif,

где числа hello_html_6c851778.gif называются коэффициентами ряда, а член hello_html_3c8028a3.gif- общим членом ряда.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений hello_html_2e27db9e.gif, при которых данный ряд сходится.

Числоhello_html_m5964727f.gif называется радиусом сходимости степенного ряда, если при hello_html_m939e4d7.gif ряд сходится и притом абсолютно, а при hello_html_3ca66ad0.gif ряд расходится.

Радиус сходимости hello_html_m5964727f.gif найдем, используя признак Даламбера:

hello_html_m16a8f554.gif (hello_html_2e27db9e.gifне зависит отhello_html_m6a246b44.gif),

hello_html_m7c4a6343.gif,

т.е. если степенной ряд сходится при любых hello_html_2e27db9e.gif, удовлетворяющих данному условию и расходится при hello_html_m2c5cc535.gif.

Отсюда следует, что если существует предел

hello_html_m446562e9.gifhello_html_1afba628.gif,

то радиус сходимости рядаhello_html_m17cdef3.gifравен этому пределу и степенной ряд сходится при hello_html_m939e4d7.gif, т.е. в промежуткеhello_html_m4cf6ad90.gif, который называется промежутком (интервалом) сходимости.

Если hello_html_665e1d3d.gif, то степенной ряд сходится в единственной точке hello_html_m2fd4c9fa.gif.

На концах промежутка ряд может сходиться (абсолютно или условно), но может и расходиться.

Сходимость степенного ряда при hello_html_m2b0beaad.gif и hello_html_m42e5ccbe.gif исследуется с помощью какого-либо из признаков сходимости.

3.3. Упражнения.

Найти область сходимости ряда:

hello_html_f1fc823.gif;

Решение. Найдем радиус сходимости данного ряда:

hello_html_m611618da.gif.

Следовательно, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.

hello_html_m6219c2a6.gif

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. Для данного ряда имеем:

hello_html_m6e0644d0.gif,hello_html_m743358fa.gif,

hello_html_10efb5c6.gif.

Ряд абсолютно сходится, если hello_html_m42af1f9.gif или hello_html_25d919d6.gif. Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

При hello_html_m573cc30c.gifимеем ряд hello_html_a398343.gif, который сходится по признаку Лейбница.

При hello_html_m2dd3aafd.gif имеем рядhello_html_29799ddc.gif- это тоже сходящийся Лейбницевский ряд. Следовательно, областью сходимости исходного ряда является отрезокhello_html_3bff9d4.gif.

hello_html_m145edfba.gif.

Решение. Найдем радиус сходимости ряда:

hello_html_ma5548e9.gif.

Следовательно, ряд сходится приhello_html_m4d661078.gif, т.е. приhello_html_6ac95c39.gif.

Приhello_html_1749955b.gifимеем рядhello_html_m279c8ec7.gif, который сходится по признаку Лейбница.

Приhello_html_m2fd4c9fa.gifимеем расходящийся ряд

hello_html_5c69bafc.gif.

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является промежутокhello_html_28a21e11.gif.

IV. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

Для приложений важно уметь данную функциюhello_html_7eb9f332.gif разлагать в степенной ряд, т.е. функцию hello_html_7eb9f332.gifпредставлять в виде суммы степенного ряда.

Рядом Тейлора для функции hello_html_7eb9f332.gif называется степенной ряд вида

hello_html_m133263e8.gif.

Если hello_html_m533f01ce.gif, то получим частный случай ряда Тейлора

hello_html_71e264c.gif,

который называется рядом Маклорена.

Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причем полученные ряды имеют тот же промежуток сходимости, что и исходный ряд.

Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать по правилам сложения и умножения многочленов. При этом промежуток сходимости полученного нового ряда совпадает с общей частью промежутков сходимости исходных рядов.

Для разложения функции hello_html_7eb9f332.gif в ряд Маклорена необходимо:

Вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке hello_html_m2fd4c9fa.gif, т.е.hello_html_3daeb02d.gif,hello_html_m7b956977.gif,hello_html_5c353b02.gif,…,hello_html_m1da8f4ca.gif;

Составить ряд Маклорена, подставив значения функции и ее последовательных производных в формулу ряда Маклорена;

Найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле

hello_html_m446562e9.gifhello_html_1afba628.gif.

Таблица, содержащая разложения в ряд Маклорена некоторых элементных функций:

hello_html_1b114145.gif.

hello_html_48679c90.gif.

hello_html_m25a74026.gif.

hello_html_m21f01a6b.gif.

hello_html_maef277c.gif.

hello_html_m2b87da39.gif.

hello_html_m6927d4d0.gif

Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функциюhello_html_m4499ec9.gif.

Решение. Так как hello_html_1255f9a3.gif, то, заменяяhello_html_2e27db9e.gif на hello_html_1876593.gif в разложении hello_html_6fc75e04.gif, получим:

hello_html_1299d7f6.gifhello_html_37b498fd.gif.

Пример 2. Выписать ряд Маклорена функции hello_html_3377255a.gif.

Решение. Так как hello_html_1d94b067.gif, то воспользовавшись формулой hello_html_8e7b121.gif, в которой заменим hello_html_2e27db9e.gif на hello_html_m1ff47af9.gif, получим:

hello_html_5a9f97bd.gif,

или

hello_html_6eca367c.gif,

если

hello_html_3780d039.gif, т.е.hello_html_m3d7460eb.gif.

Пример 3. Разложить в ряд Маклорена функцию hello_html_m40935251.gif.

Решение. Воспользуемся формулой hello_html_m7e584db8.gif. Так как

hello_html_45645536.gif, то заменивhello_html_2e27db9e.gifнаhello_html_m36371313.gifполучим:

hello_html_m75cd9920.gif, или

hello_html_m3b059950.gif,

где hello_html_m2bcbfc3.gif, т.е. hello_html_m76674a38.gif.

V. Практические задания для самоконтроля студентов.

При помощи признака сравнения рядов установить сходимость

или расходимость рядов:

hello_html_m24354e8.gifhello_html_431703dd.gif.

hello_html_m4420f090.gif.

hello_html_5eae8c09.gif.

hello_html_m139e502d.gif.

hello_html_6d909ab.gif.

Исследовать по признаку Даламбера сходимость рядов:

hello_html_55d73bc6.gif.

hello_html_m53537770.gif.

hello_html_m780366a8.gif.

hello_html_4858b634.gif.

hello_html_m7740ad6d.gif.

Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

hello_html_31a0f2.gif.;

hello_html_23bd4efc.gif.;

hello_html_m3ff37bcd.gif.;

hello_html_m57d203fb.gif.;

hello_html_7f3652ee.gif.

Найти промежутки сходимости нижеследующих рядов и выяснить вопрос об их сходимости на концах промежутков сходимости:

hello_html_m1b042d12.gif;

hello_html_m60324749.gif;

hello_html_m63f115e7.gif;

hello_html_f413100.gif;

hello_html_m1d0203b4.gif.

Используя разложения в ряд Маклорена функцииhello_html_6fc75e04.gif,hello_html_m5832e883.gif,hello_html_m583fea81.gif,hello_html_m5ee01a4b.gif, разложить степенные ряды функции:

hello_html_72dc087.gif.

hello_html_15679e4e.gif.

hello_html_m6f7f20b8.gif.

hello_html_m124628eb.gif.

hello_html_m31143d0f.gif.

VI. Ответы

I.

  1. сходится;

  2. расходится;

  3. сходится;

  4. сходится;

  5. расходится;

  6. сходится;

  7. сходится;

  8. расходится;

  9. сходится;

  10. сходится.

II.

  1. cходится абсолютно;

  2. cходится абсолютно;

  3. cходится условно;

  4. cходится условно;

  5. cходится абсолютно.

III.

  1. hello_html_10943e8e.gif;

  2. hello_html_566a5b72.gif;

  3. hello_html_7d6932ca.gif;

  4. hello_html_52bc161b.gif;

  5. hello_html_m3bd1d40.gif.

IV.

hello_html_60f27dfb.gif;

hello_html_m30674e4e.gif;

hello_html_df3caa8.gif;

hello_html_m3b4e70b4.gif;

hello_html_m6c1dffc6.gif

VII. Историческая справка.

Решение многих задач сводится к вычислению значений функций и интегралов или к решению дифференциальных уравнений, содержащих производные или дифференциалы неизвестных функций.

Однако точное выполнение указанных математических операций во многих случаях оказывается весьма затруднительным или невозможным. В этих случаях можно получить приближенное решение многих задач с любой желаемой точностью при помощи рядов.

Ряды представляют собой простой и совершенный инструмент математического анализа для приближенного вычисления функций, интегралов и решений дифференциальных уравнений.

Теория рядов создавалась в тесной связи с теорией приближенного представления функций в виде многочленов. Впервые это сделал И. Ньютон (1642 – 1727). в 1676г. В его письме к секретарю Лондонского Королевского Общества появилась формула:

hello_html_595b91cd.gif,

которую мы знаем как формулу бинома Ньютона.

Здесь мы видим функцию hello_html_5a5040da.gif, представленную в виде многочлена. Но если числоhello_html_1f717f6a.gif не является натуральным, в правой части равенства получается не полином, а бесконечная сумма слагаемых, то есть ряд.

Развивая идею Ньютона, английский математик Брук Тейлор (1685 – 1731) в 1715г. доказал, что любой функции, имеющей в точке hello_html_maaae2d5.gif производные всех порядков, можно сопоставить ряд:

hello_html_m33ad9f24.gif.

Мы не можем пока поставить знак равенства между функцией hello_html_7eb9f332.gif, принимающей конечное значение для любого значения hello_html_7c32803a.gif, и стоящим справа функциональным рядом.

Для того, чтобы вместо знака “hello_html_7ac320a6.gif” можно было поставить знак равенства, необходимо провести некоторые дополнительные рассуждения, связанные именно с бесконечностью числа слагаемых в правой части равенства и касающиеся области сходимости ряда.

При hello_html_m240b6e8.gif формула Тейлора принимает вид, в котором называется формулой Маклорена:

hello_html_m35ee97b9.gif.

Колин Маклорен (1698 – 1746), ученик Ньютона, в работе “Трактат о флюксиях” (1742) установил, что степенной ряд, выражающий аналитическую функцию, - единственный, и это будет ряд Тейлора, порожденный такой функцией. В формуле бинома Ньютона коэффициенты при степенях hello_html_2e27db9e.gif представляют собой значения hello_html_7fe6a129.gif, где hello_html_45aa58ef.gif.

Итак, ряды возникли в XVIII в. как способ представления функций, допускающих бесконечное дифференцирование. Однако функция, представляемая рядом, не называлась его суммой, и вообще в то время не было еще определено, что такое сумма числового или функционального ряда, были только попытки ввести это понятие.

Например, Л. Эйлер (1707-1783), выписав для функции соответствующий ей степенной ряд, придавал переменной hello_html_2e27db9e.gif конкретное значение hello_html_7c32803a.gif. Получался числовой ряд. Суммой этого ряда Эйлер cчитал значение исходной функции в точке hello_html_7c32803a.gif. Но это не всегда верно.

О том, что расходящийся ряд не имеет суммы, ученые стали догадываться только в XIX в., хотя в XVIII в. многие, и прежде всего Л. Эйлер, много работали над понятиями сходимости и расходимости. Эйлер называл ряд hello_html_2a0bcf37.gif сходящимся, если его общий член hello_html_1369a64b.gif стремится к нулю при возрастании hello_html_m6a246b44.gif.

В теории расходящихся рядов Эйлер получил немало существенных результатов, однако результаты эти долго не находили применения. Еще в 1826г. Н.Г. Абель (1802 – 1829) называл расходящиеся ряды “дьявольским измышлением”. Результаты Эйлера нашли обоснование лишь в конце XIX в.

В формировании понятия суммы сходящегося ряда большую роль сыграл французский ученый О.Л. Коши (1789 – 1857); он сделал чрезвычайно много не только в теории рядов, но и теории пределов, в разработке самого понятия предела. В 1826г. Коши заявил, что расходящийся ряд не имеет суммы.

В 1768г. французский математик и философ Ж.Л. Д’Аламбер исследовал отношение последующего члена к предыдущему в биномиальном ряде и показал, что если это отношение по модулю меньше единицы, то ряд сходится. Коши в 1821г. доказал теорему, излагающую в общем виде признак сходимости знакоположительных рядов, называемых теперь признаком Д’Аламбера.

Для исследования сходимости знакочередующихся рядов используется признак Лейбница.

Г.В. Лейбниц (1646 – 1716), великий немецкий математик и философ, наряду с И. Ньютоном является основоположником дифференциального и интегрального исчисления.

Список литературы:

Основная:

  1. Богомолов Н.В., Практические занятия по математике. М., “Высшая школа”, 1990 – 495 с.;

  2. Тарасов Н.П., Курс высшей математики для техникумов. М., “Наука”, 1971 – 448 с.;

  3. Зайцев И.Л., Курс высшей математики для техникумов. М., государственное издательство техникумов – теоретической литературы, 1957 - 339 с.;

  4. Письменный Д.Т., Курс лекций по высшей математике. М., “Айрис Пресс”, 2005, часть 2 – 256 с.;

  5. Выгодский М.Я., Справочник по высшей математике. М., “Наука”, 1975 – 872 с.;

Дополнительная:

  1. Гусак А.А., Высшая математика. В 2-х т., Т.2: Учебное пособие для студентов вузов. Мос., “ТетраСистемс”, 1988 – 448 с.;

  2. Григулецкий В.Г., Лукьянова И.В., Петунина И.А., Математика для студентов экономических специальностей. Часть 2. Краснодар, 2002 – 348 с.;

  3. Григулецкий В.Г. и др. Задачник-практикум по математике. Краснодар. КГАУ, 2003 – 170 с.;

  4. Григулецкий В.Г., Степанцова К.Г., Гетман В.Н., Задачи и упражнения для студентов учетно-финансового факультета. Краснодар. 2001 – 173 с.;

  5. Григулецкий В.Г., Ященко З.В., Высшая математика. Краснодар, 1998 – 186 с.;

  6. Малыхин В.И., Математика в экономике. М., “Инфра-М”, 1999 – 356с.


Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Экскурсовод (гид)

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Практическое занятие 7. Агрономы.2 курс.doc

Агрономы Практическое занятие № 7

Практическое занятие №7

Тема: Операции над множествами.

Тип урока: урок формирования знаний, умений, навыков и контроля

Вид проведения занятия: практическое занятие

Форма проведения занятия: сочетание групповой, индивидуальной и коллективной форм работы студентов на занятии.

Метод обучения: репродуктивно-развивающий, проблемный, активный.

Метод учения: частично-поисковый

Цели и задачи урока:

Образовательная цель:

Формирование умений и навыков при выполнении операций над множествами и построении графов, контроль и коррекция этих умений и навыков.

После изучения темы студент должен:

Знать:

  • Определение множества и его элементов;

  • Виды множеств и способы задания множеств;

  • Операции над множествами;

  • Отношения на множествах;

  • Графы

Уметь:

  • Выполнять необходимые операции над множествами;

  • Строить графы.

Задачи занятия:

Задачи преподавателя:

  • Формировать практические умения и навыки у студентов по теме «Множества, отношения и графы»;

  • Оценить уровень сформированности умений и навыков студентов при решении задач по теории множеств;

  • Создать условия для формирования умений логически мыслить;

  • Создать условия для формирования информационной, коммуникативной компетенций студентов.

Задачи студентов:

  • Показать знания таких понятий как: определение множества, виды множеств;

  • Показать знания способов задания множеств;

  • Показать умения и навыки при решении задач на выполнение операций над множествами;

  • Показать умения и навыки при построении графов;

  • Показать умение логически рассуждать, анализировать, высказывать и обосновывать свою точку зрения.

Воспитательная и развивающая цели урока:

      • развивать продуктивное и логическое мышление;

      • развивать монологическую и диалогическую речь;

      • формировать умение правильно обозначать события и их вероятности, вычислять эти вероятности и пользоваться математическими записями;

      • воспитывать ответственность и навыки самостоятельности;

      • формировать личность студента через положительные эмоции, связанные с ощущением успеха, через самооценку, взаимооценку и оценку преподавателем.

Межпредметные и внутрипредметные связи:

межпредметные связи:

  • Математика 2 курс (Комбинаторика)

  • Статистика 2 курс (Случайна величина, выборка, вариационный ряд)

  • Информатика, 1 курс (Разветвляющиеся алгоритмы)

  • Логика, факультативный курс средней школы (решение задач на логику)

внутрипредметные связи:

  • Основы теории вероятности;

  • Основы статистики;

  • Комбинаторика: размещения, сочетания, перестановки.

Оборудование занятия:

Графические средства

  • памятки для студентов

  • карточки для самостоятельной работы студентов

Метод контроля знаний: письменный опрос, фронтальный опрос.

Продолжительность занятия: 90 минут.


План практического занятия.

  1. Организационные моменты.

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.


  1. Актуализация опорных знаний.

  1. Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных примеров).

Решить задачи:

  1. В группе учатся 40 студентов. Из них по русскому языку имеют «пятерки» 19 человек, по математике – 17 человек и по информатике – 22 человека. Только по одному предмету имеют «пятерки»: по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека, по информатике – 11 человек. Семь студентов имеют «пятерки» и по математике и по информатике, а 5 студентов – «пятерки» по всем предметам. Сколько человек учится без «пяте-рок»? Сколько человек имеют «пятерки» по двум из трех предметов?

  2. Из пункта А в пункт В выехали пять машин одной марки разного цвета: белая, черная, красная, синяя, зеленая. Черная едет впереди синей, зеле-ная — впереди белой, но позади синей, красная — впереди черной. Каков порядок их движения?

  3. Между девятью планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий, Плутон – Венера, Земля – Плутон, Плутон – Меркурий, Меркурий – Венера, Уран – Нептун, Нептун – Сатурн, Сатурн – Юпитер, Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса?


Решение

Нарисуем схему: планетами будут соответствовать точки, а соединяющим их маршрутам – не пересекающиеся между собой линии.

hello_html_12317e89.png

Теперь видно, что долететь от Земли до Марса нельзя.

Ответ

Нельзя.


  1. Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Перечислите элементы множеств:

а) арабских цифр; (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9)

б) натуральных чисел; (1; 2; 3; 4;…)

в) целых чисел (…-2; -1; 0; 1; 2;…).

2. Как называется множество цветов, стоящих в вазе? (букет).

3. Перечислите элементы множества планет солнечной системы. (Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун).

4.Как называется множество фруктовых деревьев и кустарников растущих у дома? (сад).

5. Приведите примеры множеств, элементами которого являются геометрические фигуры.

6. Какие названия применяют для обозначения множеств животных? (млекопитающие, земноводные, хладнокровные и т.п.).

7. Перечислите элементы множества видов спорта (футбол, теннис, волейбол и т. п.).

8. Какие названия применяют для обозначения множеств кораблей? (флотилия, эскадра).

Задайте сами множество описанием.


  1. Практический этап.

Требования к выполнению практической работы:

  1. Оформить задания в тетради для практических работ.

  2. Выполнить индивидуальную работу по варианту.

  3. Ответить на один контрольный теоретический вопрос по варианту.


Содержание практической работы.

Студенты выполняют практическую работу в соответствии с методическими указаниями и рекомендациями, данными преподавателем. Преподаватель в процессе выполнения работы консультирует студентов, направляет их при возникновении затруднений.

Задание 1.

1) Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число:

а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) 555555.

2) Задайте множество А описанием:

а) А = {1, 3, 5, 7, 9}; б) А = {- 2, - 1, 0, 1, 2}; в) А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99};

г) А = {0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; …}; д) А = {1/2, 2/3, 3/4, 4/5, … }.

3) Задание с выбором ответа. Даны множества: М = {5,4,6}, Р = {4,5,6}, Т = {5,6,7},

S = {4, 6}. Какое из утверждений неверно?

а) М = Р. б) Р ≠ S. в) М ≠ Т. г) Р = Т.

Словесные обороты, как «элемент х принадлежит множеству А» или «х – элемент

множества А», достаточно длинны и не всегда удобны в записи решений конкретных задач.

В математике эти выражения кратко записывают так: х hello_html_663c0224.png А, где hello_html_663c0224.png – знак принадлежности.

Например, 5hello_html_663c0224.pngN, лучше читать не буквально, а в «литературном переводе», «5 – число

натуральное». Наряду со знаком принадлежит используют и его «отрицание» - знак hello_html_7e5f86c8.png

(знак не принадлежит). Запись 0 hello_html_7e5f86c8.pngN означает, что нуль не натуральное число.

Задание 2.

1. Запишите на символическом языке следующее утверждение:

а) число 10 – натуральное;

б) число – 7 не является натуральным;

в) число – 100 является целым;

г) число 2,5 – не целое.

2. Верно ли, что:

а) – 5 hello_html_663c0224.pngN; б) -5 hello_html_663c0224.pngZ; в) 2,(45) hello_html_663c0224.pngQ?

3. Верно ли, что:

а) 0,7 hello_html_663c0224.png {х | х2 – 1 < 0}; б) – 7 hello_html_663c0224.png {х | х2 + 16х ≤ - 64}?

Задание 3.

1. Даны множества: А = {10}, В = {10, 15}, С = {5, 10, 15}, D = {5, 10, 15, 20}.

Поставьте вместо … знак включения (hello_html_m66fa44d0.png или hello_html_m66fa44d0.png) так, чтобы получилось верное утверждение: а) А… D; б) А…В; в) С…А; г) С…В.

2. Даны три множества А = {1, 2, 3,…, 37}, В = {2, 4, 6, 8, …}, С = {4, 8, 12, 16,…,36}.

Верно ли, что: а) А hello_html_m66fa44d0.png В; б) В hello_html_m66fa44d0.pngС; в) Сhello_html_m66fa44d0.png А; г) С hello_html_m66fa44d0.pngВ?

Задание 4.

1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.

Найдите: а) А∩В; б) А∩С; в) С∩В.


2. Даны множества: А – множества всех натуральных чисел, кратных 10, В = {1; 2; 3;…, 41}.

Найдите А∩В.

3. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}.

Найдите (А∩В)∩С.

Задание 5.

1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.

Найдите: а) АUВ; б) АUС; в) СUВ.

2. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}.

Найдите (АUВ)UС.

3. Даны три числовых промежутка: А = (7,7; 11), В = [hello_html_m4446ff28.gif; hello_html_20fc0ddf.gif], С = (hello_html_m48e836d8.gif; 13].

Найдите (АUВ)UС.

Ответы:

Задание 1.

1. а) {2; 3; 4; 5}; б) {7; 8; 9}; в) {0; 1}; г) {5}. 3. г).

Задание 2.

1. а) 10hello_html_663c0224.pngN; б) -7 hello_html_7e5f86c8.pngN; в) -10hello_html_663c0224.pngZ; г) 2,5 hello_html_7e5f86c8.pngZ . 2. а) нет; б) да; в) да; 3. а) да; б) нет.

Задание 3.

1. а) А hello_html_m66fa44d0.pngD; б)Аhello_html_m66fa44d0.png В; в)Сhello_html_m66fa44d0.png А; г)Сhello_html_m66fa44d0.png В. 2. а) нет; б) нет; в) да; г) да.

Задание 4.

1. а) А∩В = {2; 3; 8}; б) А∩С = Ø; в) С∩В ={11}. 2. А∩В = {10;20;30;40}. 3. (А∩В)∩С={с}.

Задание 5.

1. а) АUВ = {2; 3; 8; 11}; б) АUС = {2; 3; 5; 8; 11}; в) СUВ = {2; 3; 5; 8; 11}.

2. (АUВ)UС = {a, b, c, d, e, f, g, k}. 3. (АUВ)UС = (7,7; 13].


Решение задач с помощью кругов (диаграмм) Эйлера.

Задача 1.

Расположите 4 элемента в двух множествах так, чтобы в каждом из них было по 3 элемента.

hello_html_877348d.png

Задача 2.

Множества А и В содержат соответственно 5 и 6 элементов, а множество А ∩ В – 2 элемента. Сколько элементов в множестве А U В?

hello_html_a8f20bc.png




Задача 3.

Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?

hello_html_cde768d.png

Задача 4.

На школьной спартакиаде каждый из 25 учеников 9 –го класса выполнил норматив или по бегу, или по прыжкам в высоту. Оба норматива выполнили 7 человек, а 11 учеников выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Сколько учеников выполнили норматив: а) по бегу; б) по прыжкам в высоту; в) по прыжкам при условии, что не выполнен норматив по бегу?

hello_html_m18088a25.png






Задача 5.

Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекаются коллекционированием?

hello_html_767d1d09.png

Задача 6.

Каждый из учеников 9-го класса в зимние каникулы ровно два раза был в театре, посмотрев спектакли А, В или С. При этом спектакли А, В, С видели соответственно 25, 12 и 23 ученика. Сколько учеников в классе?

hello_html_3616d557.png



Задача 7.

В воскресенье 19 учеников нашего класса побывали в планетарии, 10 – в цирке и 6 – на стадионе. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и стадион-3; цирк и стадион -1. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а три ученика не посетили ни одного места?

hello_html_491fa69a.png

Задача 8.

В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 – черешню. Двое любят груши и черешню; 6 – груши и яблоки; 5 – яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят всё и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?

hello_html_m59febe8.png



Задача 9.

На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников 9 –го класса читал книги А, В, С. Результаты опроса выглядели так: книгу А прочитали 25 учеников, книгу В – 22 ученика, книгу С – 22 ученика; одну из книг А или В прочитали 33 ученика, одну из книг А или С прочитали 32 ученика, одну из книг В или С – 31 ученик. Все три книги прочитали 10 учеников. Сколько учеников: а) прочитали только по одной книге; б) прочитали ровно две

книги; в) не прочили ни одной из указанных книг?


hello_html_589597eb.png

Задача 10.

На зимних каникулах из 36 учащихся класса только двое просидели дома, а 25 ребят ходили в кино, 15 – в театр, 17 – в цирк. Кино и театр посетили 11 человек, кино и цирк – 10, театр и цирк – 4. Сколько ребят побывало и в кино, и в театре, и в цирке?

hello_html_5e5eee87.png

Ответы:

Задача 2. 9 элементов.

Задача 3. 89 семей.

Задача 4. а) 18 учеников; б) 14 учеников; в) 7 учеников.

Задача 5. 10 школьников.

Задача 6. 30 учеников.

Задача 7. 29 учеников.

Задача 8. 14 учеников.

Задача 9. а) 15 учеников; б) 12 учеников; в) 3 ученика.

Задача 10. 2 ученика.


Примеры решения задач с помощью графов

  1. Из города А в город В ведут три дороги, а из города В в город С - четыре дороги. Сколькими способами можно проехать из А в С через В?

hello_html_6dd9a2c8.gif


Возьмем одну дорогу, ведущую из А в В. Ее можно продолжить до С четырьмя различными способами. То же самое можно сделать с каждой из двух других дорог, ведущих из А в В. Всего из А в С через В можно проехать 3 · 4 = 12 способами.


  1. Сегодня учитель объявил отметки за контрольную работу. Члены математического кружка Витя, Коля, Петя, Наташа, Ира, Марина и др. решили наглядно показать, какую отметку кто получил. Как это сделать?

В данной задаче есть два множества. Нам следует установить зависимость между элементами этих множеств.

{В, К, П, Н, И, М} – множество учеников,

{1, 2, 3, 4, 5} – множество отметок.

Такой чертеж называют графом:

hello_html_6f5acaae.gif


Решение задачи можно показать и в виде таблицы.


В

К

П

Н

И

М

1







2







3

+






4


+

+


+


5




+


+


  1. Беседуют трое друзей: Белокуров, Чернов и Рыжов. Брюнет сказал Белокурову: «Любопытно, что один из нас блондин, другой брюнет, а третий рыжий, но ни у одного цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос имеет каждый из друзей?


Задачу можно решать с помощью рассуждений: а) так как Белокуров разговаривает с брюнетом, значит, Белокуров не брюнет. б) кроме того, Белокуров не блондин, так как цвет его волос не совпадает с фамилией, остается Белокуров - рыжий. в) Чернов и Рыжов не рыжие. г) так как Чернов не рыжий и не брюнет, значит, он блондин. д) Рыжов – брюнет.

Можно эту задачу решить с помощью графов. Будем пунктиром обозначать несуществующие отношения между элементами двух множеств (в данном случае множеством друзей и множеством цветов их волос), а сплошной линией – существующие отношения. Из условия задачи следует:

hello_html_m5fe02770.gif

а) б)


Каждому из друзей должен соответствовать только один цвет волос. Во втором множестве рисунка, а – есть один элемент (брюнет), из которого идут две пунктирные линии, значит, из этой точки должна идти одна сплошная линия и провести ее можно только к Рыжову. От Белокурова идут две пунктирные линии, значит, от него надо провести сплошную линию, и провести ее можно только к «рыжему». Остается Чернов – блондин.


  1. Три подруги вышли погулять, одна из них была в белом, другая зеленом, а третья в синем платье. Их туфли из тех же трех цветов. Известно, что у Ани цвет платья и туфель совпадают. Ни платье, ни туфли Вали не были белыми, Наташа была в зеленых туфлях. Определить цвет платья и туфель каждой девочки.

Решение. 1-й способ: так как у Наташи туфли зеленые, а Вали не белые, а значит, и не зеленые, то у Вали туфли синие, поэтому у Ани туфли белые, но у нее и платье того же цвета, т.е. белое. У Наташи туфли зеленые, а платье другого цвета и не белое, значит, у наташи платье синее, поэтому у Вали платье зеленое. 2-й способ: пользуясь графами, получим рис.:

hello_html_2562a0fd.gif


  1. Кто играет Ляпкина-Тяпкина? В школьном драмкружке решили ставить гоголевского «Ревизора». И тут разгорелся жаркий спор. Все началось с Ляпкина-Тяпкина.

- Ляпкиным-Тяпкиным буду я! – решительно заявил Гена.

- Нет, я буду Ляпкиным-Тяпкиным, - возразил Дима. – С раннего детства мечтал воплотить этот образ на сцене.

- Ну, хорошо, согласен уступить эту роль, если мне дадут сыграть Хлестакова, - проявил добродушие Гена.

- А мне – Осипа, - не уступил ему в великодушии Дима.

- Хочу быть Земляникой или Городничим, - сказал Вова.

- Нет. Городничим буду я, хором закричали Алик и Боря. – Или Хлестаковым, - добавили они одновременно.

Удастся ли распределить роли так, чтобы исполнители были довольны?

Решение. Построим граф:


hello_html_2c88ba13.gif




Изобразим актеров кружками верхнего ряда: А – Алик, Б – Боря, В – Вова, Г – Гена, Д – Дима и роли, которые они собираются сыграть – кружками второго ряда. 1 - Ляпкин-Тяпкин, 2 – Хлестаков, 3 – Осип, 4 - Земляника, 5 – Городничий. От каждого участника проведены отрезки, т.е. ребра, к ролям, которые он хотел бы сыграть. У нас получается граф с десятью вершинами и десятью ребрами.

Нужно из десяти выбрать пять ребер, не имеющих общих вершин.

В вершины 3 и 4 ведет по одному ребру, это значит, что Осипа (вершина 3) должен играть Дима, Землянику – Вова. Вершина 1 – соединена с ребрами Г и Д. Ребро 1 – Д отпадает так как Дима уже занят, остается ребро 1 – Г, Ляпкина-Тяпкина долен играть Гена. Соединим вершины А и Б с вершинами 2 и 5. Это можно сделать двумя способами: А – 5, и Б – 2, либо А – 2 и Б – 5. В первом случае Алик будет играть Городничего, а Боря – Хлестакова, либо наоборот.


6. Один из ребят сказал: «А у нас в классе 25 человек, и каждый дружит ровно с семью одноклассниками!»

«Не может быть этого», - ответил приятелю Витя Иванов, победитель олимпиады. Почему он так ответил?


Решение. Представим всех ребят в классе в виде вершин графа. Получим 25 вершин. Соединим вершины, обозначающие друзей, ребрами. Тогда из каждой вершины будет выходить по семь ребер. Сумма степеней вершин графа будет равна 25x7=175. Это нечетное число. А нам известно, что сумма степеней вершин графа должна быть четна. Получили противоречие.


7. В стране 15 городов, каждый соединен дорогами не менее чем с 7-ю другими. Докажите, что из любого города можно проехать в любой другой либо напрямую, либо через один промежуточный город.


Решение. Рассмотрим город А. Он соединен дорогами с не менее чем семью городами В1, В2, …, В7, … Всего получилось не меньше 8 городов. Предположим, что есть город С, не связанный ни с А ни с В1, В2, …, В7, … Значит он связан только с теми городами, которые остались вне этого списка. Но таких городов меньше 7, что противоречит условию.


8. В классе 28 человек. Каждая девочка дружит с 4 мальчиками, а каждый мальчик – с 3 девочками. Сколько в классе мальчиков и девочек?

Решение. В графе, для этой задачи вершины, соответствующие мальчикам, выкрасим синим цветом, а вершины, соответствующие девочкам – красным. Каждое ребро графа соединяет ровно две вершины: одну синюю и одну красную. Пусть всего x красных и y синих вершин (x+y=28 – уравнение №1). Выразим количество ребер в графе. С одной стороны, оно равно 3x, с другой – 4y. Получим уравнение №2: 3x=4y. Решая систему из двух уравнений, легко найти, что x=16 а y=12.


  1. Индивидуальная работа по вариантам.

Выполнить индивидуальную работу по теме «Теория графов»

Вариант 1

Задача о 15 мостах.

В некоторой местности через протоки переброшено 15 мостов.

hello_html_53f6efef.png

У вас на листочках есть этот рисунок. Можно ли обойти все мосты, проходя по каждому из них только один раз?


Вариант 2

Задача: Три соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу. Дорожки не могут проходить через колодцы и домики (рис.1).


Эталон ответов

Вариант 1

РЕШЕНИЕ:

Построим граф, где вершины - острова и берега, а ребра - мосты.

(Презентация, сл.12)

hello_html_m6ef725bb.png

Нечетные вершины: D, E.

ВЫВОД: Так как количество нечетных вершин = 2, то обход возможен.

Его Начало может быть в местности D, а Конец в местности E.


Вариант 1


hello_html_m1cea5ec3.png

Рис. 1. К задаче о домиках и колодцах.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой, доказанной Эйлером в 1752 году, которая является одной из основных в теории графов.

 После проведения восьми тропинок можно убедиться, что провести девятую, не пересекающуюся ни с какой из ранее проведенных тропинок, не удается.

Построим граф, вершины которого
А, Б, В, 1, 2, 3
соответствуют домам и колодцам условия задачи, и попробуем доказать, что девятую тропинку — ребро графа, не пересекающее остальные ребра, провести нельзя.

hello_html_m5ec4475e.png

Проведенные в графе на рисунке ребра А1, А2, A3 и В1,В2, ВЗ (соответствующие тропинкам от домов А и В ко всем колодцам). Построенный граф разбил плоскость на три области: X, У, Z. Вершина Б, в зависимости от ее расположения на плоскости, попадает в одну из этих трех областей. Если вы рассмотрите каждый из трех случаев «попадания» вершины Б в одну из областей X, Y или Z, то убедитесь, что всякий раз одна из вершин графа 1, 2 или 3 (один из колодцев) будет «недоступной» для вершины Б (т. е. нельзя будет провести одно из ребер Б1, Б2 или Б3. которое не пересекло бы уже имеющихся в графе ребер).
Таким образом, ответ на вопрос задачи будет таким: «Нельзя!»




  1. Подведение итогов занятия.

Преподаватель обобщает результаты работы, достижение целей занятия, комментирует работу на занятии отдельных студентов и всей группы в целом. Выставление итоговых оценок интегративно с учётом вводного контроля, проделанной самостоятельной работы, заключительного контроля.


  1. Домашнее задание.

Нарисовать свое граф – дерево.

Самостоятельная работа.

Реферат, доклад, презентация, научная статья по темам:

Виды графов и операции над ними. Отношения; свойства отношений.


  1. Рефлексия.

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…

Литература.

  1. Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

  2. Богомолов Н.В. Самойленко П.И. «Математика»,- М.: Дрофа, 2010.

  3. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике»,- М.: Дрофа, 2010.

  4. Высшая математика для экономистов: Практикум / Под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. -484 с

  5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.:Высш. Школа, 2008г.


17


Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Интернет-маркетолог

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Практическое занятие 8. Агрономы.2 курс.doc

Агрономы Практическое занятие № 8

Практическое занятие №8

Тема: Решение простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей.

Тип урока: урок формирования знаний, умений, навыков и контроля

Вид проведения занятия: практическое занятие

Форма проведения занятия: сочетание групповой, индивидуальной и коллективной форм работы студентов на занятии.

Метод обучения: репродуктивно-развивающий, проблемный, активный.

Метод учения: частично-поисковый

Цели и задачи урока:

Образовательная цель:

Формирование умений и навыков при выполнении задач по основам теории вероятностей, контроль и коррекция этих умений и навыков.

После изучения темы:

Студент должен знать: 
- определения и формулы числа перестановок, размещений и сочетаний ;
- классическое определение вероятности;
- определения суммы событий, произведения событий ; формулировки и формулы теорем сложения и умножения вероятностей.

Студент должен уметь :
- вычислять перестановки, размещения и сочетания;
- вычислять вероятность события используя классическое определение и формулы комбинаторики;
- решать задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей.

Задачи занятия:

Задачи преподавателя:

  • Формировать практические умения и навыки у студентов по теме «Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей»;

  • Оценить уровень сформированности умений и навыков студентов при решении задач по теории вероятности;

  • Создать условия для формирования умений логически мыслить;

  • Создать условия для формирования информационной, коммуникативной компетенций студентов.

Задачи студентов:

  • Показать знания таких понятий как: случайное событие, вероятность события;

  • Показать знания по применению теоремы сложения и умножения вероятностей для решения задач;

  • Показать умения и навыки при решении задач на вычисление вероятности события; вероятности случайных событий по классическому определению;

  • Показать умение логически рассуждать, анализировать, высказывать и обосновывать свою точку зрения.

Воспитательная и развивающая цели урока:

      • развивать продуктивное и логическое мышление;

      • развивать монологическую и диалогическую речь;

      • формировать умение правильно обозначать события и их вероятности, вычислять эти вероятности и пользоваться математическими записями;

      • воспитывать ответственность и навыки самостоятельности;

      • формировать личность студента через положительные эмоции, связанные с ощущением успеха, через самооценку, взаимооценку и оценку преподавателем.

Межпредметные и внутрипредметные связи:

межпредметные связи:

  • Математика 2 курс (Комбинаторика)

  • Статистика 2 курс (Случайна величина, выборка, вариационный ряд)

  • Логика, факультативный курс средней школы (решение задач на логику)

внутрипредметные связи:

  • Основы теории вероятности;

  • Основы статистики;

  • Комбинаторика: размещения, сочетания, перестановки.

Оборудование занятия:

Графические средства

  • памятки для студентов

  • карточки для самостоятельной работы студентов

Метод контроля знаний: письменный опрос, фронтальный опрос.

Продолжительность занятия: 90 минут.


План практического занятия.

  1. Организационные моменты.

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.


  1. Актуализация опорных знаний.

  1. Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных примеров).

Решить задачи:

Вариант 1.

  1. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 40 до 70 является кратным 6?

  2. Какова вероятность того, что при пяти бросаниях монеты она три раза упадет гербом к верху?

Вариант 2.

  1. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 1 до 30 (включительно)  является делителем числа 30?

  2. В НИИ работает 120 человек, из них 70 знают английский язык, 60 – немецкий, а 50 – знают оба. Какова вероятность того, что выбранный наудачу сотрудник не знает ни одного иностранного языка?


  1. Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

  1. Какое событие называют достоверным?

  2. Какое событие называют невозможным?

  3. Дайте определение противоположных событий.

  4. Сформулируйте классическое определение вероятности.

  5. Чему равна вероятность достоверного события?

  6. Чему равна вероятность невозможного события?

  7. Каким неравенствам удовлетворяет вероятность любого события?

  8. Что называется относительной частотой события?

  9. Что называют полной группой события?

  10. Дайте определение независимого события.

  11. Дайте определение условной вероятности.

  12. Дайте определение совместных событий.

  13. Дайте определение несовместных событий.

  14. Сформулируйте правило сложения вероятностей.

  15. Сформулируйте правило умножения вероятностей.

3. Для каждого из событий определите, каким оно является – невозможным, достоверным или случайным:

а) из 25 учащихся двое справляют день рождения 30 января (с);

б) из 25 учащихся двое справляют день рождения 30 февраля (н);

в) из списка 9 класса выбрали одного ученика и это – мальчик (с);

г) из списка 9 класса выбрали одного ученика и это – девочка (с);

д) из списка 9 класса выбрали одного ученика и ему – 14 месяцев (н);

е) из списка 9 класса выбрали одного ученика и ему больше двух лет (д);

ж) измерили стороны треугольника и сумма двух из них оказалась меньше длины третьей стороны (н).


  1. Практический этап.

Требования к выполнению практической работы:

  1. Оформить задания в тетради для практических работ.

  2. Выполнить индивидуальную работу по варианту.

  3. Ответить на один контрольный теоретический вопрос по варианту.


Содержание практической работы.

Комбинаторными задачами называются задачи, в которых необходимо подсчитать, сколькими способами можно сделать тот или иной выбор, выполнить какое-либо условие.

Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_5738.gif, где n!=1*2*3*…*n

Пример. Группа учащихся изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день недели должно быть 4 различных урока?

Решение. Число способов равно числу размещений из 7 элементов по 4, т.е. равно hello_html_m5df1bb84.gif. Получаем hello_html_m5df1bb84.gif=hello_html_55cb9e4c.gif.


Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_311090f3.gif.

Пример. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?

Решение. Цифра 5 обязана стоять на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов, т.е. 5!=5*4*3*2*1=120.


Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов:

hello_html_5c265852.gif

Пример. Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между собой один раз?

Решение. Матчей состоится столько, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, состоящего из 16 элементов, т.е. их число равно hello_html_3be662e9.gif.

Свойства сочетаний:

hello_html_3069eb84.gifhello_html_f2293e2.gif



Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Теория вероятностей изучает случайные события и случайные величины.

Случайное событие

Случайное событие – это любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти. Случайное событие – это результат испытания.

Испытание (опыт, эксперимент) – в этом определении понимается выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат. Испытание может проводиться человеком, но может осуществляться и независимо от человека. Человек в этом случае выступает в роли наблюдателя.

События обозначаются начальными прописными (заглавными) буквами латинского алфавита А, В, С.

  1. Достоверное событие – это событие, которое в результате испытания обязательно должно произойти.

  2. Невозможное событие – это событие, которое в результате испытания вообще не может произойти.

События называются равновозможными, если по условиям испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое.

События называются несовместными, если наступление одного из них исключает появление другого. В противном случае события – совместные.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них.

События образующие полную группу событий и являющиеся несовместными и равновозможными, называются случаями.

Под противоположным событием hello_html_5b8c2d54.gifпонимают событие, которое обязательно должно произойти, если не наступило некоторое событие А (hello_html_5b8c2d54.gifчитается «не А»).

Вероятность случайного события

Численная мера степени объективности возможности наступления события называется вероятностью случайного события.

Классическое определение вероятности события А:

Р(А) = hello_html_35730b12.gif

Вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих событию А(m), к общему числу случаев (n).


Свойства вероятности события:

1. 0hello_html_3813d461.gif Р(А)hello_html_3813d461.gif1 для любого события А.

2. Если А - событие невозможное, то Р(А)=0.

3. Если А - событие достоверное, то Р(А)=1.

Задача 1

Лабораторная крыса, помещенная в лабиринт, должна избрать один из пяти возможных путей. Лишь один из них ведет к поощрению в виде пищи. В предположении, что крыса с одинаковой вероятностью изберет любой путь, какова вероятность выбранного пути, ведущего к пище?

Решение: hello_html_3fa8b9e0.gif.

Задача 2

При бросании игральной кости возможно шесть исходов: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Какова вероятность появления четного числа очков?

Решение: Р(А) =hello_html_m2b3479c3.gif=hello_html_3861a23a.gif.

Событию А – «появление четного числа очков» благоприятствуют 3 исхода (2, 4 и 6 очков).

Задача 3

Подбрасываются 2 монеты. Какова вероятность, что обе упадут «гербом» кверху?

Решение

Четыре исхода бросания двух монет: ГГ, ГР, РГ, РР.

Пусть событие А – «выпали два герба» - этому событию благоприятствует один исход.

Р(А) =hello_html_35730b12.gif =hello_html_m6b728d0f.gif= 0,25.

Задача 4

Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее – получить в сумме 7 или 8?

Решение

Обозначим события: А – «выпало 7очков», В – «выпало 8 очков».

Событию А благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1).

Событию В благоприятствуют 5 элементарных исходов: (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2).

Всех равновозможных исходов n =6hello_html_22eaeb15.gif= 36.

Р(А) =hello_html_m6e0db4b2.gif,

Р(В) =hello_html_4f28461e.gif.

Итак, Р(А) > Р(В) получить в сумме 7 очков более вероятное событие, чем получить в сумме 8 очков.

Статистическое определение вероятности

Относительная частота события – это доля тех фактически проведенных испытаний, в которых событие А появилось W = P*(A)= hello_html_35730b12.gif. Это опытная экспериментальная характеристика, где m – число опытов, в которых появилось событие А; n – число всех проведенных опытов.

Вероятностью события называется число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний Р(А) = hello_html_5fb98847.gifhello_html_35730b12.gif.

Задача 5

Из 982 больных, поступивших в хирургическую больницу за месяц, 275 человек имели травмы. Какова относительная частота поступления больных с этим видом заболевания?

Решение: P*(A) = hello_html_4d3e858a.gif.

Задача 6

При стрельбе по мишени частота попадания w = 0,75. Найти число попаданий при 40 выстрелах.

Решение: W = hello_html_35730b12.gifhello_html_m4855e294.gifm=0,75·40=30.

Ответ: было получено 30 попаданий.

Закон сложения вероятностей

Сумма двух событий – это такое событие, при котором появляется хотя бы одно из этих событий (А или В).

Если А и В совместные события, то их сумма А + В обозначает наступление события А или события В, или обоих событий вместе.

Если А и В несовместные события, то их сумма А + В обозначает наступление или события А или события В.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + (В)

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)

Несколько событий образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них.

Сумма вероятностей дискретных событий, образующих полную группу, равна единице

Р(Аhello_html_m59218672.gif) + Р(Аhello_html_m2698bc4f.gif) + …+ Р(Аhello_html_m64b795fe.gif) = 1

или

hello_html_m5abf8436.gifР(Аhello_html_35cf2165.gif) = 1

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р(hello_html_1f41ce1c.gif) + Р(hello_html_5b8c2d54.gif) = 1

Задача 7

Победитель соревнования награждается призом (событие А), денежной премией (событие В), медалью (событие С). Что представляют собой события А + В?

Решение

Событие А + В состоит в награждении победителя или призом или денежной премией, или тем и другим.

Задача 8

Турист имеет возможность посетить 3 города: А, В и С. Обозначаем события: А – турист посетит город А;

В – турист посетит город В;

С – турист посетит город С.

В чем заключается событие А + С?

Решение

Турист посетил только один из городов А или С, или он посетил их оба.

Задача 9

Вероятность того, что у взрослого пациента все зубы сохранились, равна 0,67. Вероятность того, что некоторые зубы отсутствуют, равна 0,24. Вероятность того, что он беззубый, равна 0,09. Вычислить вероятность того, что у пациента несколько зубов.

Решение: Р(А + В) = Р(А) +Р(В) = 0,67 + 0,24 = 0,91.

Задача 10

В большой популяции плодовой мушки 25% мух имеют мутацию глаз, 50% - мутацию крыльев, а 40% мух с мутацией глаз имеют мутацию крыльев. Какова вероятность того, что у мухи, неудачу выбранной из этой популяции, окажется хотя бы одна из этих мутаций?

Решение

А – событие, состоящее в том, что случайно выбранная муха имеет мутации глаз. В есть событие, состоящее в том, что случайно выбранная муха имеет мутацию крыльев. Вероятность того, что муха имеет одну или обе мутации:

Р(А + В) = Р(А) +Р(В) – Р(АВ)

Тогда Р(А + В) = 0,25 + 0,5 – 0,4 · 0,25 = 0,65

Условная вероятность

Условная вероятность события B – вероятность события B, найденная при условии, что событие A произошло. Обозначается P(B/A).

Задача 11

В коробке содержится 3 белых и 3 жёлтых таблетки. Из коробки дважды вынимают наугад по одной таблетке, не возвращая их в коробку. Найти вероятность появления белой таблетки при втором испытании (событие B), если при первом испытании была извлечена жёлтая таблетка (событие A).

Решение

После первого испытания в коробке осталось 5 таблеток, из них 3 белых.

Искомая условная вероятность: hello_html_m5a5c32d6.gif

Задача 12

В коробке находится 8 красных и 6 белых таблеток. Из коробки последовательно без возвращения извлекают 3 таблетки. Найти вероятность того, что все 3 таблетки белые.

Решение

Обозначим: hello_html_m53d4ecad.gifAhello_html_m59218672.gif - первая таблетка белая, Ahello_html_m2698bc4f.gif - вторая таблетка белая, Ahello_html_346b136b.gif - третья таблетка белая.

hello_html_2a49fbb1.gif


Закон умножения вероятностей

Произведение двух событий – это событие, состоящее в совместном появлении этих событий (A и B).

Событие B называется независимым от события A, если появление события A не изменяет вероятности появления события B.

Вероятность появления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

hello_html_m1b3271c5.gif

Для зависимых событий:

hello_html_6ec6f8f7.gif

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло.

Задача 13

Пусть имеются следующие события: A – «из колоды карт вынута дама»; B – «из колоды карт вынута карта пиковой масти». Что представляет собой событие AB?

Решение: AB есть событие «вынута дама пик».

Задача 14

Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.

Решение: hello_html_5210a01c.gif

Задача 15

Вероятность того, что у взрослого пациента все зубы сохранились, равна 0,67. Какова вероятность того, что у двух не имеющих отношения друг к другу больных, ожидающих приёма в кабинете стоматолога, есть все зубы?

Решение: hello_html_m6e140100.gif


Задача 16

Найти вероятность того, что в семьях из двух детей:

  1. оба ребёнка – мальчики; 2) оба ребёнка – девочки; 3) старший ребёнок мальчик, а младший – девочка. Вероятность рождения мальчика – 0,515.

Решение

hello_html_9cf39ca.gif

Задача 17

Вероятность того, что студент в летнюю сессию сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй – 0,9, третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: 1) только второй экзамен; 2) все три экзамена.

Решение

1) hello_html_m248c2365.gif

2) hello_html_m58c2b4b8.gif

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий hello_html_13171842.gif, hello_html_58f13efe.gif, …, hello_html_3a03bed7.gif, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий hello_html_70305e05.gif,

hello_html_m6ea92228.gif, …, hello_html_mc5ba20f.gif.


Задача 18

Вероятность попадания в цель при стрельбе из трёх орудий такова: hello_html_2c9638b9.gif Какова вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех этих орудий?

Решение

hello_html_m3a48f857.gif

Задача 19

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадёт только один стрелок.

Решение

Вероятность того, что в мишень попадёт первый стрелок и не попадёт второй, равна:

hello_html_6179ceb5.gif

Вероятность того, что в мишень попадёт второй стрелок и не попадёт первый, равна:

hello_html_316409c3.gif

Вероятность того, что в мишень попадёт только один стрелок, равна сумме этих вероятностей:

hello_html_m70071f4b.gif

Задача 20

Сколько должна планировать пара иметь детей, чтобы вероятность хотя бы одного мальчика была выше 90% (вероятность рождения мальчика и девочки – 0,5).

Решение

Пусть вероятность того, что все девочки:

hello_html_m1c11ac3e.gif

Вероятность того, что не все девочки:

hello_html_44ddcb75.gif

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Вероятность события А, которое может произойти при условии осуществления одного из несовместных событий hello_html_523f56b3.gif, образующих полную группу, определяется формулой полной вероятности

Р(А)= Р(Н1)Р(А/Н1)+ Р(Н2)Р (А/Н2)+ … +Р(Нn)Р(А/Нn).

Так как изначально неизвестно, какое из событий hello_html_523f56b3.gif произойдет, то эти события стали называть гипотезами.

Формула Байеса применяется, когда событие А, которое может появиться только с одной из гипотез hello_html_523f56b3.gif, произошло и необходимо произвести количественную переоценку априорных вероятностей этих гипотез hello_html_18821760.gifизвестных до испытания, т.е. найти апостериорные (получаемые после проведения испытания) условные вероятности гипотез hello_html_454b4751.gif:

hello_html_6041a488.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Или вместо Р(А) используем её значение, вычисленное по формуле полной вероятности:

hello_html_7b18e03f.gif

Итак, пусть до опыта имеются гипотезы hello_html_523f56b3.gif. После опыта становится известной информация о результатах опыта, но не полная, а именно: результаты наблюдений показывают, что наступило некоторое событие А.

Считается, что до опыта были известны (априорные) вероятности гипотез hello_html_7ffdc035.gifи условные вероятности hello_html_m73899e16.gif Необходимо определить апостериорные вероятности гипотез hello_html_454b4751.gif.

Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события А, т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы. Такой подход называется байесовским.

Задача 21

Два охотника одновременно стреляют одинаковыми пулями в медведя. В результате медведь был убит одной пулей (событие А). Как охотники должны поделить шкуру убитого медведя, если известно, что вероятность попадания у первого охотника 0,3, а у второго 0,6?

Решение

Воспользуемся формулой Байеса. Определим предварительно гипотезы.

Гипотеза hello_html_22430624.gif: попал первый охотник, второй промахнулся.

Гипотеза hello_html_2ad0302c.gif: попал второй, первый промахнулся.

Гипотеза hello_html_233adef5.gif: попали оба охотника.

Гипотеза hello_html_m60abdfe3.gif: оба промахнулись.

Событие А может произойти только тогда, когда произошла либо гипотеза hello_html_22430624.gif, либо гипотеза hello_html_2ad0302c.gif, т.е.:

hello_html_48f3eed9.gif

Предполагаем, что попадания охотников в медведя не зависят друг от друга. И получаем:

hello_html_6bc8114a.gif

Применяем формулу полной вероятности:


Р(А)= Р(Н1)Р(А/Н1)+ Р(Н2)Р (А/Н2)+ Р(Н3)Р(А/Н3) .


Затем применяем формулу Байеса:

hello_html_24fc8af9.gif

Таким образом, при справедливом делении первый охотник должен получить hello_html_5e04445e.gif шкуры, т.е. меньше четвёртой части шкуры, в то время как на первый взгляд казалось, что ему причитается hello_html_m10e629a5.gif шкуры (0,3).


Схема Бернулли

Схемой Бернулли или схемой повторных независимых испытаний с двумя исходами "успех" или "неуспех", называется последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых "успех" наступает с одной и той же вероятностью p ≠0 и 1.

Вероятность того, что при n испытаниях "успех" наступит ровно k раз,

вычисляется по формуле Бернулли:

Рn(k) = Сnk pk qn-k ,

где

n - число испытаний;

k - число "успехов";

р - вероятность "успеха" в одном испытании;

q = 1 - р - вероятность "неуспеха";

hello_html_5c67c00e.gif

Cnk = - число сочетаний из n элементов по k.


Задача 22

Вероятность заболевания животного во время эпидемии 0,2. Найти вероятность, что из 6 животных 2 заболеют.

Решение

Число животных n = 6, число "успехов" k = 2, p = 0,2, q = 1 – 0,2 = 0,8.

hello_html_396d24d1.gifhello_html_584cc275.gif

P6(2) = C62 0,22 0,84 = 0,22 0,84 = 0,04 0,84 =


hello_html_mc87bb58.gif

= 0,04 0,4 = 0,25.


При больших n использование формулы Бернулли затруднительно, поэтому в этих случаях применяют приближенные формулы, которые следуют из локальной теоремы Лапласа и из теоремы Пуассона.

Выбор формулы для решения задачи на схему Бернулли поможет сделать

следующая таблица:


Название формулы


Формула

Когда даст хорошее решение

Формула Бернулли

Pn(k) = Cnk pk qn-k


Для всех n и p

hello_html_4ebd40c8.gifhello_html_7cfa46c0.gifФормула, следующая из локальной теоремы Лапласа





Pn(k) (x)




x = ;(x) =hello_html_m39058fbb.gif


При p>0,1 или np>9

hello_html_m42c5dd2d.gifФормула, следующая из теоремы Пуассона



Pn(k) ; = np


P 0,1; np9, n>10

hello_html_m53d4ecad.gif

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции (x) =hello_html_m39058fbb.gif

Свойства функции (х):

1) (-x) = (x);

2) при х > 4 (x) 0.


Задача 23

Допустим, укореняют 15 черенков роз. Приживаемость 80%. Найти вероятность того, что из 15 черенков укоренится ровно 12.

Решение.

n = 15; k = 12; p = 0,8; q = 1 – 0,8 = 0,2.


Имеем npq = 15 0,8 0,4 = 2,4.

hello_html_m3e422267.gif

x = ;


hello_html_3180449d.gif

(0) = 0,3989; P12(15) = 0,3989 = 0,2581.



  1. Индивидуальная работа по вариантам.

Выполнить индивидуальную работу по теме «Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей»

Вариант 1

Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры. Какова вероятность того, что он с первого раза наберёт эти цифры правильно, если он помнит, что они различны?

Решение. Обозначим А – событие, состоящее в том, что абонент, набрав произвольно две цифры, угадал их правильно. М – число правильных вариантов, очевидно, что М=1; N – число различных цифр, hello_html_5dfb092.gif. Таким образом, Р(А)=M/N=1/90.

Пример 2. Литьё в болванках поступает из 2-х цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом продукция первого цеха имеет 10% брака, а второго 20%. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка имеет дефект.

Решение. p(H1)=0,7; p(H2)=0,3; p(A|H1)=0,1; p(A|H2)=0,2; Р=0,7*0,1+0,3*0,2=0,13 (13% болванок в цехе дефектны).

Пример 3. Завод производит 85% продукции первого сорта и 10% - второго. Остальные изделия считаются браком. Какова вероятность, что взяв наудачу изделие, мы получим брак?

Решение. Р=1-(0,85+0,1)=0,05.


Вариант 2

Пример 1. Шесть шариков случайным образом располагаются в шести ящиках так, что для каждого шарика равновероятно попадание в любой ящик и в одном ящике может находиться несколько шариков. Какова вероятность того, что в каждом ящике окажется по одному шарику?

Решение. Событие А – в каждом ящике по одному шарику. М – число вариантов распределения шариков, при которых в каждый ящик попадает по одному шарику, М=6! (число способов переставить между собой 6 элементов). N – общее число вариантов N=66 (так как каждый шарик может попасть в каждый из ящиков). В результате получаем hello_html_4ecd5d69.gif.


Пример 2. В урне лежит N шаров, из которых n белых. Достаём из неё (без возвращения) два шара. Какова вероятность, что второй шар белый?

Решение. H1 первый шар белый; р (H1)=n/N;

H2 первый шар чёрный; p(H2)=(N-n)/N;

Aвторой шар чёрный; p(A|H1)=(n-1)/(N-1); p(A|H2)=n/(N-1)

Р(A)=p(H1)*p(A|H1)+p(H2)*p(A|H2)=hello_html_m3eac4e42.gif

Пример 3. Из 30 экзаменационных билетов студент подготовил только 25. Если он отказывается отвечать по первому взятому билету (которого он не знает), то ему разрешается взять второй. Определить вероятность того, что второй билет окажется счастливым.

Решение. Пусть событие А заключается в том, что первый вытащенный билет оказался для студента «плохим», а В – второй – «хорошим». Поскольку после наступления события А один из «плохих» уже извлечён, то остаётся всего 29 билетов, из которых 25 студент знает. Отсюда искомая вероятность равна Р(В/А)=25/29.


Вариант 3

Пример 1. В урне 3 белых и 4 чёрных шара. Из урны вынимаются два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Решение. Обозначим: А – событие, состоящее в появлении белых шаров; N – число способов вытащить 2 шара из 7; hello_html_b3457f7.gif; M – число способов вытащить 2 белых шара из имеющихся 3 белых шаров; hello_html_m70ed8a18.gif.

hello_html_m54da0e2e.gif

Пример 2. 30% пациентов, поступивших в больницу, принадлежат первой социальной группе, 20% - второй и 50% - третьей. Вероятность заболевания туберкулёзом для представителя каждой социальной группы соответственно равна 0,02, 0,03 и 0,01. Проведённые анализы для случайно выбранного пациента показали наличие туберкулёза. Найти вероятность того, что это представитель третьей группы.

Решение. Пусть H1, H2, H3 – гипотезы, заключающиеся в том, что пациент принадлежит соответственно первой, второй и третьей группам. Очевидно, что они образуют полную группу событий, причём p(H1)=0,3; p(H2)=0,2; p(H3)=0,5. По условию событие А, обнаружение туберкулёза у больного, произошло, причём условные вероятности по данным условия равны p(А/H1)=0,02; p(А/H2)=0,03; и p(А/H3)=0,01. Апостериорную вероятность p(H3/А) вычисляем по формуле Байеса:

hello_html_2d493d65.gif.

Пример 3. Из 20 студентов 5 человек сдали на двойку экзамен по истории, 4 – по английскому языку, причём 3 студента получили двойки по обоим предметам. Каков процент студентов в группе, не имеющих двоек по этим предметам?

Решение. Р = 1 - (5/20 + 4/20 - 3/20) = 0,7 (70%)


  1. Подведение итогов занятия.

Преподаватель обобщает результаты работы, достижение целей занятия, комментирует работу на занятии отдельных студентов и всей группы в целом. Выставление итоговых оценок интегративно с учётом вводного контроля, проделанной самостоятельной работы, заключительного контроля.


  1. Домашнее задание.

Решить задачи.

1. Брошены 3 игральные кубика. Какова вероятность того, что сумма очков на всех кубиках равна 5?

2. Ребенок, не умеющий читать, поставил в ряд буквы а, к, р, у. С какой вероятностью он получит слово рука?

3. Набирая номер телефона, человек не смог вспомнить две последние цифры и набрал номер наудачу. С какой вероятностью он набрал номер правильно?

4. В группе из 6 женщин и 10 мужчин выбирают делегатов. Найти вероятность того, что выберут 2 женщин и 2 мужчин?

5. На полке стоят 10 книг, среди которых 3 книги по теории вероятностей. Наудачу берутся три книги. Какова вероятность, что среди отобранных хотя бы одна книга по теории вероятностей?

6. В барабане находится 10 лотерейных билетов, из них 2 выигрышных. Из барабана 2 раза вынимают по одному билету, не возвращая их обратно. Какова вероятность того, что:

а) второй раз был извлечен билет без выигрыша, при условии, что в первым оказался выигрышный билет;

б) первый раз был вынут выигрышный билет, а во второй раз - билет без выигрыша?

Самостоятельная работа.

Реферат, доклад, презентация, научная статья по темам:

Теорема умножения вероятностей.


  1. Рефлексия.

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…



Литература.

  1. Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

  2. Богомолов Н.В. Самойленко П.И. «Математика»,- М.: Дрофа, 2010.

  3. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике»,- М.: Дрофа, 2010.

  4. Высшая математика для экономистов: Практикум / Под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. -484 с

  5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.:Высш. Школа, 2008г.


17


Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Методист-разработчик онлайн-курсов

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Практическое занятие 9. Агрономы.2 курс.doc

Агрономы Практическое занятие № 9

Практическое занятие №9

Тема: Нахождение математического ожидания случайной величины.

Тип урока: урок формирования знаний, умений, навыков и контроля

Вид проведения занятия: практическое занятие

Форма проведения занятия: сочетание групповой, индивидуальной и коллективной форм работы студентов на занятии.

Метод обучения: репродуктивно-развивающий, проблемный, активный.

Метод учения: частично-поисковый

Цели и задачи урока:

Образовательная цель:

Выявить уровень знаний и умений по теме: Случайная величина, ее математическое ожидание и дисперсия. Основы математической статистики.

Отработать умения применять полученные знания при решении задач.

Добиться осознанности при выполнение заданий

После изучения темы:

Студент должен знать: 
- знать определение математического ожидания;

- понимать, что математическое ожидание является обобщением среднего арифметического значений дискретной случайной величины;

- знать свойства математического ожидания и уметь использовать их при решении простых задач;

- знать, что важным свойством распределения случайной величины является рассеивание;

- знать определение дисперсии;

- уметь вычислять дисперсию;

- знать свойства дисперсии и уметь их использовать при решении простых задач;

- знать определение среднего квадратичного отклонения.

Студент должен уметь :
- вычислять математическое ожидание дискретной случайной величины, дисперсию случайной величины, среднее квадратичное отклонение случайной величины;
- решать задачи на применение основных понятий и теорем по теме.
Задачи занятия:

Задачи преподавателя:

  • Формировать практические умения и навыки у студентов по теме «. Случайная величина, ее функция распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины»;

  • Оценить уровень сформированности умений и навыков студентов при решении задач по теории вероятности;

  • Создать условия для формирования умений логически мыслить;

  • Создать условия для формирования информационной, коммуникативной компетенций студентов.

Воспитательная и развивающая цели урока:

      • развивать продуктивное и логическое мышление;

      • развивать монологическую и диалогическую речь;

      • формировать умение правильно обозначать дискретные величины, вычислять эти величины и пользоваться математическими записями;

      • воспитывать ответственность и навыки самостоятельности;

      • формировать личность студента через положительные эмоции, связанные с ощущением успеха, через самооценку, взаимооценку и оценку преподавателем.

Оборудование занятия:

Графические средства

  • памятки для студентов

  • карточки для самостоятельной работы студентов

Метод контроля знаний: письменный опрос, фронтальный опрос.

Продолжительность занятия: 90 минут.


План практического занятия.

  1. Организационные моменты.

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.


  1. Актуализация опорных знаний.

  1. Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных примеров).

  2. Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

  1. Какое событие называют достоверным?

  2. Какое событие называют невозможным?

  3. Дайте определение противоположных событий.

  4. Сформулируйте классическое определение вероятности.

  5. Чему равна вероятность достоверного события?

  6. Чему равна вероятность невозможного события?

  7. Каким неравенствам удовлетворяет вероятность любого события?

  8. Что называется относительной частотой события?

  9. Что называют полной группой события?

  10. Дайте определение независимого события.

  11. Дайте определение условной вероятности.

  12. Дайте определение совместных событий.

  13. Дайте определение несовместных событий.

  14. Сформулируйте правило сложения вероятностей.

  15. Сформулируйте правило умножения вероятностей.

3. Для каждого из событий определите, каким оно является – невозможным, достоверным или случайным:

а) из 25 учащихся двое справляют день рождения 30 января (с);

б) из 25 учащихся двое справляют день рождения 30 февраля (н);

в) из списка 9 класса выбрали одного ученика и это – мальчик (с);

г) из списка 9 класса выбрали одного ученика и это – девочка (с);

д) из списка 9 класса выбрали одного ученика и ему – 14 месяцев (н);

е) из списка 9 класса выбрали одного ученика и ему больше двух лет (д);

ж) измерили стороны треугольника и сумма двух из них оказалась меньше длины третьей стороны (н).


  1. Практический этап.

Требования к выполнению практической работы:

  1. Оформить задания в тетради для практических работ.

  2. Выполнить индивидуальную работу по варианту.

  3. Ответить на один контрольный теоретический вопрос по варианту.


Содержание практической работы.

Задача 1.

Дан закон распределения случайной величины

Х

2

5

7

10

р

0,4

0,2

0,1

р

Найдите ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение σ(X).

  1. Сумма вероятностей в законе распределения случайной величины равняется 1.

Тогда Р=1 – 0,1 – 0,2 – 0,4 =0,3 . Закон распределения примет вид:


Х

2

5

7

10

р

0,4

0,2

0,1

0,3

  1. Найдем математическое ожидание данной величины:

M(X)=p1x1+p2x2+p3x3+…+pnxn

М(Х) = 2·0,4 + 5·0,2 + 7·0,1 + 10·0,3 =0,8 + 1 +0,7 +3 = 5,5

  1. Найдем дисперсию по одной из формул:


D(x) = M((x-M(x))2) или D(x)=M(x2) – M(x)2


По второй формуле, составим закон распределения величины Х2

Х2

22

52

72

102

р

0,4

0,2

0,1

0,3

Получим:

Х2

4

25

49

100

р

0,4

0,2

0,1

0,3

Найдем математическое ожидание величины Х2

М(Х2) = p1x12+p2x22+p3x32+…+pnxn2

М(Х2) = 0,4·4 + 0,2·25 + 0,1·49 +0,3·100 =1,6 +5 + 4,9 + 30 = 41,5

D(x)=M(x2) – M(x)2 = 41,5 – 5,52 = 41,5 – 30,25 = 11,25

  1. Вычислим среднее квадратичное отклонение σ(X) = hello_html_m2bc29c11.gif

σ(X)=hello_html_m21b29d96.gif=3,35.

  1. Проверим верно ли мы вычислили дисперсию. Вычислим ее по другой формуле. D(x) = M((x-M(x))2)

Найдем закон распределения величины Х – М(Х)

Х – М(Х)

2 – 5,5

5 – 5,5

7 – 5,5

10 – 5,5

р

0,4

0,2

0,1

0,3


Х – М(Х)

-3,5

- 0,5

1,5

4,5

р

0,4

0,2

0,1

0,3

Найдем закон распределения величины (Х – М(Х))2

(Х – М(Х))2

(-3,5)2

(- 0,5)2

1,52

4,52

р

0,4

0,2

0,1

0,3


(Х – М(Х))2

12,25

0,25

2,25

20,25

р

0,4

0,2

0,1

0,3

Найдем математическое ожидание величины: (Х – М(Х))2

D(x) = M((x-M(x))2) = 12,25·0,4 + 0,25·0,2 + 2,25·0,1 + 20,25·0,3=

= 4,9 + 0,05 + 0,225 + 6,075=11,25.

Вычислив дисперсию по той и другой формуле, получили одинаковые значения

Задача 2.

Для определения норм выработки хронометрировали время ( в секундах) изготовления валов.

100, 115, 100, 100, 100, 115, 135, 140, 125, 115

115, 130, 125, 130, 150, 145, 125, 115,110, 120,

115, 120, 125, 135, 145, 130, 125,115, 100, 105.

Найдите статистическое распределение данной величины, постройте полигон частот, и гистограмму, при m =5.

  1. Составим сначала статистическое распределение:

Х

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

N

5

1

1

7

2

5

3

2

1

2

1


Построим полигон частот:


Полотно 160


Построим гистограмму: Найдем размах выборки:

R= «наибольшее значение» - «наименьшее значение»,

R=150 – 100 = 50.

Найдем шаг разбиения Δ = hello_html_m419288ac.gif. Δ = 50:5 = 10.

Разобьем нашу выборку на промежутки длина каждого из которых будет равняться 10.

промежуток

[100,110]

(110,120]

(120,130]

(130,140]

(140,150]

Число выпвдений

7

9

8

3

3


Полотно 132


  1. Индивидуальная работа по вариантам.

Выполнить индивидуальную работу по теме «Нахождение математического ожидания случайной величины»

Вариант 1

Задание 1.

Дан закон распределения случайной величины

Х

1

2

4

р

0,4

р

0,1

Найдите ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение σ(X).

Задание 2.

Через каждый час измерялось напряжение тока в электросети. При этом получены следующие значения:

215, 215, 218, 223, 230, 230, 218, 215, 223, 230,

226, 215, 215, 223, 230, 215, 224, 218, 224, 226,

230, 215, 220, 220, 223, 220, 220, 220, 223, 220

Запишите статистическое распределение, постройте полигон и гистограмму частот при m = 5.

Вариант 2

Задание 1.

Дан закон распределения случайной величины

Х

2

4

6

р

0,5

0,2

р

Найдите ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение σ(X).

Задание 2.

Проведя сбор информации с потребителей, завод, изготавливающий станки получил следующую информацию. В среднем первый ремонт станка приходится на :

5, 7, 5, 4, 10, 6, 7, 7, 11, 10,

6, 8, 8, 9, 2, 10, 1, 2, 11, 10,

1, 4, 5, 7, 10, 11, 10, 8, 8, 7

год после изготовления. Запишите статистическое распределение, постройте полигон и гистограмму частот при m = 5.


Задание 3.

По учебнику ответьте на следующие вопросы:

  1. Чем математическая статистика отличается от теории вероятностей,

  2. Когда и где приходится применять методы математической статистики (Приведите примеры).

  3. Что такое генеральная совокупность и выборка, в чем их основное отличие.

  4. Назовите основные характеристики числовой выборки.

  5. Проиллюстрируйте пример полигона и гистограммы.

  6. Придумайте задачу, при решении которой можно применить методы математической статистики.


Ответы:

1Line 196 вариант.

Х

1

2

4

Р

0,4

р

0,1

Р = 1 – 0,4 – 0,1 = 0,5

х

1

2

4

р

0,4

0,5

0,1

М(Х)= 1*0,4+2*0,5+4*0,1=1,8

Х2

1

4

16

р

0,4

0,5

0,1

M(X) = 1*0,4+4*0,5+16*0,1=4

D(X)=4 – 1,82 = 0,76

hello_html_4c614729.gif

2 вариант

Х

2

4

6

р

0,5

0,2

р

Р=1-0,5-0,2=0,3

Х

2

4

6

р

0,5

0,2

0,3

М(Х)=2*0,5+4*0,2+6*0,3=3,6

Х2

4

16

36

р

0,5

0,2

0,3

М(Х2) = 4*0,5+16*0,2+36*0,3=16

D(X) = 16 – 3,62=3,04

hello_html_7c6d3078.gif


  1. Подведение итогов занятия.

Преподаватель обобщает результаты работы, достижение целей занятия, комментирует работу на занятии отдельных студентов и всей группы в целом. Выставление итоговых оценок интегративно с учётом вводного контроля, проделанной самостоятельной работы, заключительного контроля.


  1. Домашнее задание.

Подготовка к дифференцированному зачету.

Самостоятельная работа.

Реферат, доклад, презентация, научная статья по темам:

Среднее квадратичное отклонение случайной величины.


  1. Рефлексия.

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…



Литература.

  1. Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

  2. Богомолов Н.В. Самойленко П.И. «Математика»,- М.: Дрофа, 2010.

  3. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике»,- М.: Дрофа, 2010.

  4. Высшая математика для экономистов: Практикум / Под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. -484 с

  5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.:Высш. Школа, 2008г.


9


Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ агрономы. 2 курс. лекция 4.doc

Агрономы Лекция № 4

Тема: «Обыкновенные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения в частных производных».

Тип урока: изучение нового материала.

Вид урока: комбинированный урок, включающий в себя обобщение и систематизацию изученного материалом, применение знаний и умений на практике, закрепление изученного.

Цели урока:

Образовательные:

- систематизировать и обобщить понятие дифференциальное уравнение;

- помочь овладеть методами решения ДУ;

- отработать навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка различных видов;

Развивающие:

- способствовать развитию умений анализировать, устанавливать связи, причины и следствия;

- предвидеть возможные ошибки и способы их устранения;

- способствовать повышению концентрации внимания, развитию памяти и речи.

Воспитательные:

- способствовать развитию интереса к предмету «Математика»;

- способствовать развитию самостоятельности мышления;

- в целях решения задач эстетического воспитания содействовать в ходе урока опрятному и грамотному построению графиков функций.

Задачи урока

Воспитательные: развитие познавательного интереса к предмету, воспитание патриотизма, стимулирование потребности умственного труда.

Дидактические: познакомиться с понятием дифференциального уравнения; научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; научиться находить частные решения дифференциальных уравнений.

Развивающиеся: развитие памяти, внимания, умение выдвигать гипотезы, отстаивать свою точку зрения.

Средства обучения:

  1. дидактический материал;

  2. проектор;

  3. презентация;

  4. видеоурок «Решение дифференциальных уравнений»

План урока:

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация знаний.

  3. Объяснение нового материала.

  4. Закрепление изученного материала.

  5. Информация о домашнем задании.

  6. Подведение итогов.

Ход урока.

  1. Организационный момент:

Поприветствовать студентов, отметить отсутствующих.

Объявить тему урока и его цель.


  1. Актуализация знаний и умений обучающихся.

        1. Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных задач

        2. Выполнить устно упражнения:

а) найти производную:

(3х)'=… (х3)'=… (6х2)'=… (х+5)'=… (5х-4)'=… (2sinx)'=…

)'=…

б) Указать угловой коэффициент прямой:

У=3х+4

У=6-7х

в) Чему равен угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке х0? ( ответ: производной функции при х0)

г) Как обозначается дифференциал функции? Назовите формулу дифференциала функции. ( ответ: dF=F'dx).

д) Назовите процесс обратный дифференцированию? (интегрирование)

е) в чем заключается смысл неопределенного интеграла? (Неопределенный интеграл – это семейство интегральных кривых, каждая из которых получается из одной путем параллельного переноса вдоль оси ОУ)

2. Работа по карточкам у доски:

а) hello_html_m728c1c84.gif ( ответ: I=2x+lnx+С); б) hello_html_697d0b3d.gif; (I=ln(x+2)+C);

в) hello_html_m77004df8.gif (hello_html_m4419fa7f.gif).

  1. Изучение нового материала.

Немного истории: Теория ДУ возникла в конце XVII века под влиянием потребностей механики и других естественных наук. В самостоятельный раздел математики её выделил прежде всего Леонард Эйлер (1707-1783)- гениальный математик, механик, физик.

Долгие годы Эйлер работал в Петербургской Академии наук. Он оказал решающее влияние на развитие математики в Европе и во всем мире. Французский математик Пьер Лаплас считал Эйлера учителем математиков второй половины XVIII века. Но оценка Лапласа оказалась излишне скромной. История поставила Эйлера во главу математиков всех времен и народов.

В Швейцарии, на родине Эйлера, полное собрание его научных трудов начали издавать в 1909 году, а завершили издание лишь в 1975 году. Список трудов Эйлера содержит 860 наименований.

Леонард Павлович ( так его называли в России) был непревзойденным нескучным вычислителем. Неутолимо вычисляя при свечах, он потерял зрение сначала на правый, а затем и на левый глаз. Последние годы он не менее плодотворно работал слепым. На сегодня так и не издана большая часть из его 3000 писем.

В 1971 году Швейцария украсила 10-франковые ассигнации портретом Л. Эйлера.


hello_html_447ca7.jpg



Ученый кот, услышав шорох,

Надел очки и на ходу,

Учел реакцию в опорах,

Уклон и скорость для ОДУ,

Путем изящных вычислений

Решил систему уравнений,

Пересчитав все P и Q,

И приготовился к прыжку.

Мышь убежала. Но, однако,

Кот съел в теории собаку.

Теперь мы плавно переходим к теории.

Дифференциальное уравнение – основной математический аппарат в естествознании. Они применяются в физике, астрономии, аэродинамике и теории упругости, химии, экономике, биологии и медицине. Такой подход к изучению явлений природы впервые был предложен итальянским ученным Г. Галилеем. Впервые его блестяще применил один из создателей математического анализа И. Ньютон.

Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям

Решение задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего независимую переменную, искомую функцию и производные этой функции.

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные или дифференциалы.


Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая обращает данное уравнение в тождество.

Существуют задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Рассмотрим одну из них.

    1. Размножение бактерий. На опытах с бактериями установлено, что скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству, если, конечно, для них имеется достаточный запас пищи.

Так как сами бактерии очень малы, а их количество велико, то можно считать, что масса бактерий с течением времени меняется непрерывно. Тогда скорость прироста массы бактерий называется скоростью размножения.

Если через число x(t) обозначить массу всех бактерий в момент времени t, то hello_html_1c20d917.gif будет скоростью размножения этих бактерий. Так как скорость размножения hello_html_1c20d917.gif пропорциональна количеству бактерий, то существует постоянная k такая, что

hello_html_1c20d917.gif = kx. (1)

По условию x(t) и x/(t) неотрицательные, поэтому коэффициент k тоже неотрицательный.

Уравнение (1) является простейшим примером дифференциального уравнения. Оно называется дифференциальным уравнением размножения. Искомым неизвестным уравнения (1) является функция x = x(t), которая в уравнение входит вместе со своей производной.

Решением данного уравнения является функция вида

x = Cekt, где С – const.

Действительно,

hello_html_1c20d917.gif= (Cekt)hello_html_m57cb85f9.gif = С∙ ektk = k(Cekt) = kx.

    1. Задача 1. Найти закон движения тела по оси Ox, если оно начало двигаться из точки М(4;0) со скоростью v = 2t + 3t2.

При прямолинейном движении скорость есть производная от пути по времени. Обозначим путь через x, имеем v = hello_html_1c20d917.gif; тогда hello_html_1c20d917.gif = 2t + 3t2. Получили дифференциальное уравнение.

    1. Радиоактивный распад. Опытом установлено, что скорость распада радия в каждый момент времени пропорциональна начальному количеству радия.

Таким образом, если через x(t) обозначить массу вещества, еще не распавшегося к моменту времени t, то скорость распада hello_html_1c20d917.gif удовлетворяет уравнению: hello_html_1c20d917.gif = - kx(t), где k – некоторая положительная постоянная. . Знак минус показывает, что x(t) – убывающая функция, следовательно hello_html_1c20d917.gif< 0.

Уравнение hello_html_1c20d917.gif = - kx(t) называется дифференциальным уравнением радиоактивного распада.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором неизвестной является функция одной или нескольких переменных, причем в уравнение входят производные этой функции.

Если неизвестная функция hello_html_m74888c0a.gif зависит от одной переменной x, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным. Если неизвестная функция hello_html_m621e5380.gif зависит от нескольких переменных hello_html_m9461c63.gif, то уравнение называют уравнением в частных производных.

Замечание Ошибка! Текст указанного стиля в документе отсутствует..1. Уравнения, в которые не входят производные неизвестной функции, называют конечными.

Далее мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения. Такие уравнения можно записать в виде:

hello_html_m48d112e.gif.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок входящей в уравнение высшей производной. Степенью дифференциального уравнения называют степень высшей производной. Например

hello_html_660bf47c.gif

есть уравнение второго порядка первой степени; уравнение

hello_html_m97e2d9f.gif

есть уравнение первого порядка третьей степени; уравнение

hello_html_m7e8b7ee8.gif

является уравнением в частных производных.

Решением дифференциального уравнения называется функция hello_html_m74888c0a.gif, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Например, одним из решений уравнения

hello_html_m22889757.gif

является функция hello_html_m3ec5178.gif. Интегральной кривой дифференциального уравнения называется график его решения. Нахождение решений называют интегрированием дифференциального уравнения.

Уравнение считают проинтегрированным, если его решение найдено в явном виде или же определяется из конечного уравнения. В последнем случае это конечное уравнение называют интегралом дифференциального уравнения.

Уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

hello_html_3f0ca45a.gif.

Мы будем рассматривать только уравнения, разрешимые относительно производной:

(1)

Здесь функция hello_html_me5c9341.gif устанавливает для точки hello_html_md36060c.gif плоскости xOy значение производной hello_html_e56d992.gif – значение соответствующего углового коэффициента касательной к интегральной кривой. Говорят, что уравнение hello_html_m340acf97.gif на плоскости xOy определяет поле направлений. Геометрически задача интегрирования уравнения (1) заключается в нахождении интегральных кривых, направления касательных к которым в каждой точке совпадают с направлением поля. Например, уравнение

hello_html_350b3f81.gif

в каждой (отличной от начала координат) точке hello_html_md36060c.gif определяет угловой коэффициент касательной hello_html_m3e93005e.gif, который совпадает с угловым коэффициентом прямой, проходящей через начало координат и точку hello_html_md36060c.gif. Поэтому интегральными кривыми уравнения будут всевозможные прямые, проходящие через начало координат.

Справедлива теорема существования и единственности (теорема Коши).1. если в уравнении (1) функция hello_html_me5c9341.gifи ее частная производная hello_html_343c53f0.gifнепрерывны в некоторой окрестности точки hello_html_7facb8a9.gif, то в этой окрестности существует единственное решение hello_html_m17697358.gifуравнения (1), удовлетворяющее начальному условию

(2)

Если для точки hello_html_53418ba7.gif выполнены условия теоремы, то через эту точку проходит единственная интегральная кривая hello_html_m17697358.gif. Если для точки hello_html_53418ba7.gif условия теоремы нарушены, то эту точку называют особой. В такой точке может нарушаться единственность решения или же решения может не быть вовсе; в первом случае через точку проходит несколько различных интегральных кривых, во втором – не проходит ни одна. Особые точки могут быть изолированы или же могут заполнять особые линии. Например, для дифференциального уравнения

hello_html_m7281b854.gif

ось ординат является особой линией (через точки этой линии не проходит ни одна интегральная кривая).

Задачу отыскания решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию (2), называют задачей Коши.

Дифференциальное уравнение (в предположении о выполнении условий теоремы существования и единственности) имеет бесконечное множество решений, которые удовлетворяют различным начальным условиям (существует бесконечно много интегральных кривых, которые проходят через различные точки).

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называют функциюhello_html_5683db17.gif, которая зависит от одной произвольной постоянной C и удовлетворяет двум условиям:

– является решением уравнения (1) при любом значении постоянной C;

– каково бы ни было начальное условие (2), можно найти такое значение постоянной hello_html_m325e488d.gif, что решение hello_html_46d8b86a.gif удовлетворяет уравнению (1).

Если общее решение

hello_html_m48d09b95.gif

получено в неявной форме, то его называют общим интегралом уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение

hello_html_46d8b86a.gif,

удовлетворяющее заданному начальному условию. Частное решение может быть получено из общего выбором соответствующего значения C0 постоянной C.

Частное решение, полученное в неявной форме hello_html_m18182bd6.gif, называют частным интегралом.

Может оказаться, что функция hello_html_508ad989.gif является частным решением уравнения, однако не может быть получена из общего решения ни при каком выборе постоянной C. В этом случае функцию hello_html_508ad989.gif называют особым решением.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Если для нахождения решения (или интеграла) дифференциального уравнения достаточно найти первообразные, то говорят, что дифференциальное уравнение приведено к квадратуре. Приведение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка к квадратуре называют разделением переменных.

Примером уравнения, приведенного к квадратуре, является уравнение


Его частное решение, удовлетворяющее начальному условию hello_html_m75f48c4.gif, имеет вид

hello_html_74a636d1.gif,

или

hello_html_m40625eaf.gif,

где hello_html_2db1fa63.gif – какая-либо первообразная функции hello_html_ca6c0db.gif. В справедливости последних соотношений можно убедиться, дифференцируя обе части по переменной x.

Если уравнение первого порядка имеет вид

(3)

то говорят, что переменные в уравнении разделены; уравнение (3) называют с разделенными переменными. Это уравнение можно рассматривать как равенство двух дифференциалов. Неопределенные интегралы от них будут отличаться только постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть по переменной x, а правую – по переменной y, получим:

(4)

Последнее соотношение является конечным уравнением, связывающим независимую переменную, искомую функцию и произвольную постоянную. Поэтому (4) является общим интегралом уравнения (3).

Например, для разделения переменных в уравнении

hello_html_40dec4f7.gif

достаточно умножить обе части на dx:

hello_html_3acd9833.gif.

Поэтому общее решение имеет вид

hello_html_795fe9ed.gif.

Нетрудно получить частное решение, удовлетворяющее условию hello_html_m75f48c4.gif:

hello_html_m4a6f3cd7.gif,

откуда

hello_html_740f5183.gif,

hello_html_m40625eaf.gif,

что совпадает с результатом, полученным выше по формуле Ньютона-Лейбница.

Если уравнение имеет вид

hello_html_5b94cd93.gif,

причем hello_html_m7a428200.gif, то его называют уравнением с разделяющимися переменными. Это уравнение можно привести к виду

hello_html_6d2476e3.gif.

Например, в уравнении

hello_html_350b3f81.gif

для разделения переменных достаточно умножить обе части на hello_html_m1ccf54b9.gif:

hello_html_1c38ec0e.gif,

откуда

hello_html_m239a412b.gif, hello_html_28496f7d.gif,

hello_html_m7022cdc2.gif;

функция hello_html_m7022cdc2.gif является общим решением.

Одним из важнейших вопросов теории дифференциальных уравнений является вопрос о классах уравнений, приводящихся к квадратурам. Среди уравнений первого порядка к квадратурам приводятся, в частности, однородные уравнения, уравнения в полных дифференциалах и линейные уравнения.

Однородные уравнения

Уравнение

hello_html_69d79e4e.gif

называется однородным, если его правая часть является однородной функцией нулевой степени:

hello_html_6bbb8ce2.gif.

Однородные уравнения интегрируются заменой

hello_html_1130fc0.gif, hello_html_672946d6.gif, hello_html_15e14cc.gif.

Пример. hello_html_m77bbd82f.gif. Это уравнение – однородное; в этом можно убедиться, разрешая его относительно производной:

hello_html_680e7ad1.gif,

hello_html_m2cb5053c.gif.

Полагая hello_html_m1ae52158.gif, получим

hello_html_331aec70.gif, hello_html_1a1843ff.gif, hello_html_m30d30d39.gif;

hello_html_2e3f9635.gif, hello_html_5bb2516.gif,

hello_html_m4684b6d4.gif, hello_html_m7e656050.gif.

Пусть требуется проинтегрировать уравнение

(5)

Если hello_html_m843db72.gif, то уравнение (5) – однородное. Пусть c и c1 одновременно не равны нулю. Выполним линейную замену

hello_html_40715f1e.gif, hello_html_m64287a5b.gif,

так, чтобы в новых переменных уравнение стало однородным. Имеем:

hello_html_m3f03e9bd.gif,

hello_html_m1876f4d2.gif,

hello_html_6bd1ae49.gif.

Достаточно выбрать и так, чтобы суммы в скобках обратились в ноль:

hello_html_788d5207.gif.

Если основной определитель последней системы отличен от нуля, то и определяются единственным образом. Если он равен нулю, то

hello_html_37c7e832.gif, hello_html_m2f6a4ca2.gif, hello_html_m173fd7c.gif,

поэтому уравнение (5) имеет вид

hello_html_m1ddd1845.gif.

Для разделения переменных следует выполнить замену hello_html_73b6f14b.gif.

Уравнение в полных дифференциалах.

Пусть требуется проинтегрировать уравнение

(6)

причем для функций hello_html_m6292ea5f.gif и hello_html_3e84ce5e.gif выполнено

hello_html_m522082f0.gif.

В этом случае правая часть (6) является полным дифференциалом некоторой функции hello_html_3796c346.gif; уравнение (6) называют уравнением в полных дифференциалах.

Пусть функция hello_html_m2548b30b.gif обращает конечное уравнение

(7)

в тождество. Вычисляя дифференциалы обеих частей (7), получим

hello_html_1a54f800.gif.

Следовательно, (7) является общим интегралом уравнения (6). Интегральными кривыми уравнения являются линии

hello_html_m1b4b5ad6.gif,

на которых функция hello_html_63f814f7.gif сохраняет постоянное значение.

Так как

hello_html_md49b078.gif,

то входящие в уравнение (6) функции hello_html_m6292ea5f.gif и hello_html_3e84ce5e.gif должны быть соответствующими частными производными:

hello_html_2296d3b0.gif, hello_html_63dbe07d.gif.

Интегрируя первое из этих равенств по переменной x, получим

hello_html_m48f626e4.gif,

где hello_html_603e2b7e.gif – произвольная функция, не зависящая от x. Для нахождения этой функции продифференцируем последнее соотношение по переменной y:

hello_html_3d36a817.gif,

hello_html_me249c0d.gif.

Любое частное решение полученного дифференциального уравнения будет искомой функцией hello_html_603e2b7e.gif (сохранять произвольную постоянную нет необходимости, так как она не оказывает влияния на вид общего интеграла исходного уравнения).

Пример. hello_html_m5d366fe8.gif. Для функций hello_html_28c5f7d2.gif и hello_html_1cf344b0.gif выполнено условие

hello_html_m522082f0.gif

(обе производные равны нулю), поэтому данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Имеем:

hello_html_m68fcb446.gif,

hello_html_70b59e39.gif, hello_html_m35511ea3.gif, hello_html_308293de.gif, hello_html_m15474492.gif,

hello_html_m41760585.gif.

Общий интеграл уравнения имеет вид

hello_html_m718358b.gif, или hello_html_m5bc377bd.gif.

Заметим, что в данном примере уравнение можно решить, разделив переменные:

hello_html_72f94b58.gif, hello_html_mb0f4900.gif, hello_html_m12f25293.gif,

что совпадает с полученным выше результатом.

Может оказаться, что уравнение

hello_html_2932df99.gif

не является уравнением в полных дифференциалах, однако становится им после умножения обеих частей на некоторую функцию hello_html_6d058bd8.gif. В этом случае последнюю функцию называют интегрирующим множителем. Поиск интегрирующего множителя является задачей не менее сложной, нежели интегрирование исходного уравнения.

Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной:

(8)

Если hello_html_68e5fe56.gif, то уравнение называют однородным; в противном случае его называют неоднородным.

Линейные однородные уравнения допускают разделение переменных:

hello_html_3a6861ee.gif, hello_html_m78f135d2.gif, hello_html_m70172d82.gif,

где hello_html_2ce0ee5a.gif – какая-либо первообразная функции hello_html_m3d6a4580.gif.

Линейные неоднородные уравнения обычно интегрируются методом Бернулли. Решение ищется в виде

hello_html_m4e27d3d0.gif,

тогда

hello_html_ef13e0d.gif, hello_html_m4de72472.gif, hello_html_482e8e6b.gif.

Функцию hello_html_m2cf7b6cd.gif можно выбрать так, чтобы сумма в скобках обратилась в ноль:

hello_html_m2f9aab4f.gif, hello_html_579cdbf9.gif, hello_html_408e4bf5.gif, hello_html_23de7213.gif.

Постоянная C1 может иметь любое отличное от нуля значение; полагая C1=1, получим

hello_html_6d5fcea6.gif.

Исходное уравнение примет вид

hello_html_33bf1fc5.gif.

Разделяя в нем переменные, интегрируя и возвращаясь к исходной переменной, найдем решение.

Пример. hello_html_c67dd99.gif. Пусть hello_html_m4e27d3d0.gif, тогда

hello_html_101a7c44.gif, hello_html_m40d8e5ee.gif.

Пусть функция hello_html_m2cf7b6cd.gif такова, что сумма в скобках обращается в ноль. Одним из решений уравнения hello_html_33f9f5f8.gif является функция hello_html_16513f25.gif. Подставляя ее в уравнение hello_html_m21eede18.gif, получим

hello_html_3cc3c7c2.gif, hello_html_53084585.gif, hello_html_mcd6f302.gif.

Окончательно:

hello_html_m3a0810bc.gif.

Решение неоднородного уравнения можно выполнить иначе – используя метод вариации постоянной. Пусть общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

hello_html_m7b29294d.gif.

Далее следует, считая C неизвестной функцией от x, подставить это решение в исходное неоднородное уравнение.

Для приведенного примера: hello_html_4024a520.gif, hello_html_69d28680.gif. Полагая hello_html_m3a472b9d.gif и подставляя функцию hello_html_m69b535b.gif в исходное уравнение, получим

hello_html_701b6ac4.gif, hello_html_24d42312.gif, hello_html_66a7dfd8.gif, hello_html_m3a0810bc.gif.

Уравнением Бернулли называется уравнение

(9)

Это уравнение также интегрируется заменой hello_html_m4ecb987.gif.

Уравнения Лагранжа и Клеро

Уравнением Лагранжа называется обыкновенное дифференциальное уравнение

(10)

не разрешенное относительно производной, но линейное относительно независимой переменной и искомой функции. Уравнение Лагранжа разрешимо в квадратурах методом введения параметра. Пусть (10) приводимо к виду

hello_html_m27c06953.gif.

Полагая hello_html_m30744713.gif и дифференцируя обе части по переменной x, получим:

hello_html_6317730d.gif,

hello_html_ce9739e.gif,

hello_html_34ee8a8a.gif,

hello_html_7858a3b.gif,

hello_html_m64bb8cd1.gif

Последнее уравнение является линейным относительно функции hello_html_m3c98e222.gif.

Частным случаем уравнения Лагранжа является уравнение Клеро:

(11)

К этому уравнению приводят многие геометрические задачи, в которых требуется определить кривую по данному свойству ее касательных.

Уравнения, допускающие понижение порядка

Пусть требуется найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка

(12)

Искомое решение является функцией

hello_html_2037bda0.gif,

зависящей от двух произвольных постоянных.

Если уравнение (12) не содержит искомой функции, то понизить порядок уравнения можно заменой

hello_html_m5f621d4d.gif, hello_html_62cea211.gif.

Например, пусть требуется решить уравнение hello_html_m4efb8c85.gif. Выполняя замену hello_html_m4c336bdf.gif, hello_html_m7e1db1f8.gif, получим

hello_html_m4c8bbec.gif, hello_html_211507c9.gif, hello_html_m1db0ca9c.gif, hello_html_m233f2873.gif.

Возвращаясь к искомой функции, будем иметь

hello_html_732a042.gif, hello_html_537c652f.gif.

Если уравнение не содержит независимой переменной, то понизить порядок можно заменой

hello_html_m5f621d4d.gif, hello_html_1c944552.gif.

Пример: hello_html_1c9b9744.gif. Выполняя замену hello_html_m4c336bdf.gif, hello_html_38f61b59.gif, получим

hello_html_m48dd81cc.gif.

Одним из решений этого уравнения является функция hello_html_m5531d78a.gif. Пусть hello_html_m42bea1f4.gif:

hello_html_153f1839.gif, hello_html_5dec3405.gif.

Полученное решение включает функцию hello_html_m5531d78a.gif в качестве частного случая (соответствует значению hello_html_716e17b1.gif), поэтому отдельно рассматривать решение hello_html_m5531d78a.gif не нужно. Возвращаясь к искомой функции, получим

hello_html_m605902b9.gif, hello_html_m74283ce0.gif, hello_html_m7b020f21.gif, hello_html_3bff692e.gif.

Аналогично понижается степень в уравнениях вида

hello_html_70de7250.gif.

Пример: hello_html_m34de43fc.gif. Первоначально выполним замену hello_html_bbff151.gif, hello_html_304704a9.gif. Получим

hello_html_38a83182.gif.

Положим далее hello_html_md9c9c0a.gif, hello_html_m4355f785.gif, тогда

hello_html_mcce9518.gif, hello_html_4d3f3bde.gif, hello_html_37c3cb58.gif, hello_html_maffa32d.gif,

hello_html_m656a8ef2.gif, hello_html_m179d30.gif, hello_html_m52e0d80e.gif,

hello_html_m4ac6984b.gif,

откуда

hello_html_m550d3e39.gif,

hello_html_7b3b85ec.gif.

Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называют уравнение

(13)

в котором hello_html_m67f4cd46.gif и hello_html_m5b904bfe.gif являются константами.

Если правая часть (13) равна нулю, то уравнение называют однородным; в противном случае его называют неоднородным.

Для нахождения общего решения однородного уравнения

(14)

следует найти два решения hello_html_2c6ecf92.gif и hello_html_m4d107a39.gif, для которых определитель Вронского

hello_html_m7f9ea9ac.gif;

такие решения называют линейно независимыми. Тогда линейная комбинация

hello_html_6c197315.gif

будет искомым общим решением.

Решения y1, y2 следует искать в виде

hello_html_66deea55.gif.

Дифференцируя и подставляя в (*), получим:

hello_html_m1623f756.gif; hello_html_m3714a1b6.gif; hello_html_m35718ef4.gif.

В силу hello_html_m5fe8b6b1.gif:

(15)

Полученное уравнение называется характеристическим.

Если характеристическое уравнение имеет два действительных различных корня k1 и k2, то искомая пара линейно независимых решений:

hello_html_7cc393aa.gif, hello_html_m367b6ba8.gif.

Общее решение:

hello_html_m2c49b4cd.gif.

Если уравнение (15) имеет два комплексно-сопряженных корня

hello_html_485b8371.gif, hello_html_m35bfe7ea.gif,

то искомая пара линейно независимых решений:

hello_html_1513f82c.gif, hello_html_6c30a27.gif.

Общее решение:

hello_html_5ac9b19.gif.

Если характеристическое уравнение имеет один двукратный корень

hello_html_m19af26d4.gif,

то искомая пара линейно независимых решений

hello_html_e793e78.gif, hello_html_2e9ac436.gif.

Поэтому общее решение

hello_html_65280cad.gif.

Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольных постоянных, однако для некоторых частных видов правой части это удается сделать, не прибегая к интегрированию. Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

hello_html_2bee005c.gif,

где y0 – решение соответствующего однородного уравнения, yr – какое-либо частное решение неоднородного уравнения.

Пусть правая часть является многочленом n-й степени:

hello_html_m382c36e8.gif, hello_html_m65cd1847.gif.

Если не корнем (c), то частное решение ищется в виде

hello_html_59e4f663.gif.

Дифференцируя yr и подставляя результат в (a), получим:

hello_html_34516e3d.gif,

hello_html_63e5b621.gif,

(16)

Так как не является корнем характеристического уравнения, то третье слагаемое в левой части отлично от нуля. Поэтому обе части (16) есть многочлены n-й степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему уравнений, откуда и определим все A1A2, ... An. Общее решение будет иметь вид:

hello_html_m2ae23b81.gif.

Пусть a является корнем (возможно, двукратным) характеристического уравнения. Тогда левая часть (16) есть многочлен степени ниже n. Следовательно, уравнение (16) ни при каком Qn не будет тождеством. В этом случае решение yr ищется в виде

a) hello_html_m2caa503c.gif – если a является одним из корней;

b) hello_html_m2bdf75ca.gif – если a является двукратным корнем.

Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид:

hello_html_512f8817.gif,

где hello_html_4236f146.gif и hello_html_a9dada2.gif – многочлены.

Если число hello_html_1e48bf2d.gif не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде

hello_html_42ff8ff0.gif, где hello_html_m4177b90b.gif,

в противном случае оно ищется в виде

hello_html_m1e24231f.gif.


  1. Закрепление изученного материала.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение hello_html_22e88b7e.png

        1. В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение hello_html_m4a46a929.png, которое многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным. В диффурах рулит именно оно!

Итак:
hello_html_mbc0a423.png

        1. На втором шаге смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п.

Дифференциалы hello_html_m698e9b6f.png и hello_html_m75812b69.png – это полноправные множители и активные участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:
hello_html_m23ced6c4.png

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

        1. Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:
          hello_html_3ca75c56.png

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные:
hello_html_513617b.png
Как мы помним, к любой 
первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу hello_html_40ce398e.png достаточно записать один раз (т.к. константа + константа всё равно равна другой константе). В большинстве случаев её помещают в правую часть.

Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде.  Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть, hello_html_513617b.png – это общий интеграл.

Ответ в такой форме вполне приемлем, но нет ли варианта получше? Давайте попытаемся получить общее решение.

Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) тоже целесообразно записать под логарифмом.

То есть, ВМЕСТО записи hello_html_513617b.png обычно пишут hello_html_39653ecf.png.

Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем свойство логарифмов hello_html_438d597b.png. В данном случае:
hello_html_m24703e61.png

Теперь логарифмы и модули можно убрать:
hello_html_1b152f46.png

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Ответ: общее решение: hello_html_6b9a26dd.png

Ответы многих дифференциальных уравнений довольно легко проверить. В нашем случае это делается совсем просто, берём найденное решение hello_html_1b152f46.png и дифференцируем его:
hello_html_m63921506.png

После чего подставляем hello_html_1b152f46.png и производную hello_html_m1985b44b.png в исходное уравнение hello_html_22e88b7e.png:
hello_html_m545fae36.png
hello_html_3008ed5.png – получено верное равенство, значит, общее решение hello_html_1b152f46.png удовлетворяет уравнению hello_html_22e88b7e.png, что и требовалось проверить.

Придавая константе hello_html_40ce398e.png различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения. Ясно, что любая из функций hello_html_3ae17c09.pnghello_html_m5def7997.pnghello_html_40e1540d.png и т.д. удовлетворяет дифференциальному уравнению hello_html_22e88b7e.png.

Иногда общее решение называют семейством функций. В данном примере общее решение  hello_html_6b9a26dd.png – это семейство линейных функций, а точнее, семейство прямых пропорциональностей.

После обстоятельного разжевывания первого примера уместно ответить на несколько наивных вопросов о дифференциальных уравнениях:

1) В этом примере нам удалось разделить переменные. Всегда ли это можно сделать? Нет, не всегда. И даже чаще переменные разделить нельзя. Например, в однородных уравнениях первого порядка, необходимо сначала провести замену. В других типах уравнений, например, в линейном неоднородном уравнении первого порядка, нужно использовать различные приёмы и методы для нахождения общего решения. Уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассматриваем на первом уроке – простейший тип дифференциальных уравнений.

2) Всегда ли можно проинтегрировать дифференциальное уравнение? Нет, не всегда. Очень легко придумать «навороченное» уравнение, которое не проинтегрировать,  кроме того, существуют неберущиеся  интегралы. Но подобные ДУ можно решить приближенно с помощью специальных методов.

3) В данном примере мы получили решение в виде общего интеграла hello_html_39653ecf.png. Всегда ли можно из общего интеграла найти общее решение, то есть, выразить «игрек» в явном виде? Нет не всегда. Например: hello_html_m3102d4e7.png. Ну и как тут выразить «игрек»?! В таких случаях ответ следует записать в виде общего интеграла. Кроме того, иногда общее решение найти можно, но оно записывается настолько громоздко и коряво, что уж лучше оставить ответ в виде общего интеграла

Пример 2

Найти частное решение дифференциального уравнения hello_html_m751295db.png, удовлетворяющее начальному условию hello_html_2cce728e.png

Решение: по условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданному начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не должно смущать, главное, в нём есть первая производная.

Переписываем производную в нужном виде:
hello_html_1d67bc3.png

Очевидно, что переменные можно разделить:
hello_html_m4de7758a.png

Интегрируем уравнение:
hello_html_50a7932e.png
hello_html_27a7c625.png

Общий интеграл получен. Здесь константу я нарисовала с надстрочной звездочкой, дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу.

Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить «игрек» в явном виде). Вспоминаем старое, доброе, школьное: hello_html_m27a503e9.png. В данном случае:
hello_html_5c3964b3.png

Константа в показателе смотрится как-то некошерно, поэтому её обычно спускают с небес на землю. Если подробно, то происходит это так. Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом:
hello_html_2a8314df.png

Если hello_html_m7ac685a5.png – это константа, то hello_html_m2c0378de.png – тоже некоторая константа, переообозначим её буквой hello_html_40ce398e.png:
hello_html_5b9744ef.png
Запомните «снос» константы – это 
второй технический приём, который часто используют в ходе решения дифференциальных уравнений.

Итак, общее решение: hello_html_mbdb3237.png. Такое вот симпатичное семейство экспоненциальных функций.

На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию hello_html_2cce728e.png. Это тоже просто.

В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы hello_html_40ce398e.png, чтобы выполнялось условие hello_html_2cce728e.png.

Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:
hello_html_m1cf44ee3.png
hello_html_m98c72e8.png
hello_html_7beca670.png
То есть, hello_html_m3d717cac.png

Стандартная версия оформления:
hello_html_mb89e930.png

Теперь в общее решение hello_html_5b9744ef.png подставляем найденное значение константы hello_html_m3d717cac.png:
hello_html_f57a9cd.png – это и есть нужное нам частное решение.

Ответ: частное решение: hello_html_f57a9cd.png

Выполним проверку. Проверка частного решение включает в себя два этапа:

Сначала необходимо проверить, а действительно ли найденное частное решение hello_html_f57a9cd.pngудовлетворяет начальному условию hello_html_2cce728e.png? Вместо «икса» подставляем ноль и смотрим, что получится:
hello_html_m3c370763.png – да, действительно получена двойка, значит, начальное условие выполняется.

Второй этап уже знаком. Берём полученное частное решение hello_html_f57a9cd.png и находим производную:
hello_html_m69a67e04.png

Подставляем hello_html_731d5c41.png и hello_html_m364f4398.png в исходное уравнение hello_html_m751295db.png:

hello_html_m1141de1b.png
hello_html_mb303ef2.png – получено верное равенство.

Вывод: частное решение найдено правильно.

Переходим к более содержательным примерам.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение hello_html_50c14147.png

Решение: Переписываем производную в нужном нам виде:
hello_html_m383dca63.png

Оцениваем, можно ли разделить переменные? Можно. Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:
hello_html_f5794af.png

И перекидываем множители по правилу пропорции:
hello_html_m76ba0d22.png

Переменные разделены, интегрируем обе части:
hello_html_m6823c957.png

Интеграл левой части легко найти методом подведения функции под знак дифференциала, с интегралом от котангенса расправляемся стандартным приемом, который вы рассматривали на уроке Интегрирование тригонометрических функций в прошлом году: 
hello_html_22e81db7.png
hello_html_397171e5.png
hello_html_m6cfbffda.png

В правой части у нас получился логарифм, и, согласно моей первой технической рекомендации, константу тоже следует записать под логарифмом.

Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то от них вполне можно (и нужно) избавиться. С помощью известных свойств максимально «упаковываем» логарифмы. Распишу очень подробно:
hello_html_m1d87c32d.png
hello_html_677be019.png

Упаковка завершена:
hello_html_57b7356a.png

Можно ли выразить «игрек»? Можно. Надо возвести в квадрат обе части.

Но делать этого не нужно.

Третий технический совет: если для получения общего решения нужно возводить в степень или извлекать корни, то в большинстве случаев следует воздержаться от этих действий и оставить ответ в виде общего интеграла. Дело в том, что общее решение будет смотреться просто ужасно – с большими корнями, знаками hello_html_c4b0463.png и прочим трэшем.

Поэтому ответ запишем в виде общего интеграла. Хорошим тоном считается представить его в виде hello_html_m59905b78.png, то есть, в правой части, по возможности, оставить только константу. Делать это не обязательно, но всегда же выгодно порадовать профессора

Ответ: общий интеграл: hello_html_m6925be6f.png

! Примечание: общий интеграл любого уравнения можно записать не единственным способом. Таким образом, если ваш результат не совпал с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.

Общий интеграл тоже проверяется довольно легко, главное, уметь находить производную от функции, заданной неявно. Дифференцируем ответ:
hello_html_m530c4779.png

Умножаем оба слагаемых на hello_html_m5b8dc655.png:
hello_html_22d33fcb.png

И делим на hello_html_1a681bed.png:
hello_html_38aea3d3.png

Получено в точности исходное дифференциальное уравнение hello_html_50c14147.png, значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения hello_html_25827739.png, удовлетворяющее начальному условию hello_html_67a036ed.png. Выполнить проверку.

Напоминаю, что алгоритм состоит из двух этапов:
1) нахождение общего решения;
2) нахождение требуемого частного решения.

Проверка тоже проводится в два шага, нужно:
1) убедиться, что найденное частное решение удовлетворяет начальному условию;
2) проверить, что частное решение вообще удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Решение: Найдем общее решение. Разделяем переменные:
hello_html_m692921b1.png
hello_html_m680aa1c5.png
Интегрируем:
hello_html_m423803c5.png
hello_html_1fc5b477.png
hello_html_6e305e99.png
Общий интеграл получен, пытаемся его упростить. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:
hello_html_m2a359118.png
hello_html_m14f96ba1.png

hello_html_188a1c2d.png
Выражаем функцию в явном виде, используя hello_html_m27a503e9.png.
Общее решение: hello_html_m304373c3.png

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию hello_html_67a036ed.png.
Способ первый, вместо «икса» подставляем 1, вместо «игрека» – «е»:
hello_html_m7716c4d5.png.
Способ второй:
hello_html_198355c4.png
Подставляем найденное значение константы hello_html_7451b0b2.png в общее решение.
Ответ: частное решение: hello_html_2385aff.png

Проверка: Проверяем, действительно ли выполняется начальное условие:
hello_html_2f8f038b.png, да, начальное условие hello_html_67a036ed.png выполнено.
Проверяем, удовлетворяет ли вообще частное решение hello_html_2385aff.png дифференциальному уравнению. Сначала находим производную:
hello_html_7192b610.png
Подставим полученное частное решение hello_html_794b5e9d.png и найденную производную hello_html_m7502e915.png в исходное уравнение hello_html_25827739.png:
hello_html_m1bbf0607.png
Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Пример 5

Найти частное решение дифференциального уравнения hello_html_m5008bfd4.png, удовлетворяющее начальному условию hello_html_m31ba6a4c.png. Выполнить проверку.

Решение: Сначала найдем общее решение. Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы hello_html_m698e9b6f.png и hello_html_m75812b69.png, а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:
hello_html_644f45df.png

Интегрируем уравнение:
hello_html_m6ddc0329.png

Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения функции под знак дифференциала:
hello_html_34e1c8ce.png
hello_html_m6b94ae56.png

Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы на обе части. Поскольку они положительны, то знаки модуля излишни:
hello_html_m7a065152.png

(Надеюсь, всем понятно преобразование hello_html_m3148c217.png, такие вещи надо бы уже знать)

Итак, общее решение:
hello_html_m75c31c4.png

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию hello_html_m31ba6a4c.png
В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:
hello_html_413a5c98.png

Более привычное оформление: hello_html_19d4a3af.png

Подставляем найденное значение константы hello_html_7451b0b2.png в общее решение.

Ответ: частное решение: hello_html_6b6d8830.png

Проверка: Сначала проверим, выполнено ли начальное условие hello_html_m31ba6a4c.png:
hello_html_m6e66277a.png – всё гуд.

Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденное частное решение hello_html_6b6d8830.png дифференциальному уравнению. Находим производную:
hello_html_4dd57488.png

Смотрим на исходное уравнение: hello_html_m5008bfd4.png – оно представлено в дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной  выразить дифференциал hello_html_m698e9b6f.png:
hello_html_3f7d39fb.png
Подставим найденное частное решение hello_html_6b6d8830.png и полученный дифференциал hello_html_64e28d6a.png в исходное уравнение hello_html_m5008bfd4.png
hello_html_m4b9613.png
Используем 
основное логарифмическое тождество hello_html_4d4e02a8.png:
hello_html_5f157de.png
Получено верное равенство, значит, частное решение найдено правильно.

Второй способ проверки зеркален и более привычен: из уравнения hello_html_m5008bfd4.png выразим производную, для этого разделим все штуки на hello_html_m75812b69.png:
hello_html_75174eb3.png

И в преобразованное ДУ подставим полученное частное решение hello_html_6b6d8830.png и найденную производную hello_html_26e7c8a8.png. В результате упрощений тоже должно получиться верное равенство.

Пример 6

Решить дифференциальное уравнение hello_html_7fdec4e2.png. Ответ представить в виде общего интеграла hello_html_m59905b78.png.

Какие трудности подстерегают при решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными?

  1. Не всегда очевидно, что переменные можно разделить. Рассмотрим условный пример: hello_html_m1753f4b5.png. Здесь нужно провести вынесение множителей за скобки: hello_html_7c2cbca5.png и отделить корни: hello_html_717bad4d.png. Как действовать дальше – понятно.

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
hello_html_38582681.png
hello_html_a3cd8c8.png
hello_html_m71511a1e.png
hello_html_5f9533f7.png
Ответ: общий интеграл: hello_html_m39918b9e.png

Примечание: тут можно получить и общее решение:
hello_html_m3cf9a4d2.png
Но, согласно моему третьему техническому совету, делать это нежелательно, поскольку такой ответ смотрится довольно плохо.

Пример 7

Решить дифференциальное уравнение hello_html_m5cbb45ef.png. Выполнить проверку.

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные:
hello_html_m1d4cc7fc.png

Интегрируем:
hello_html_53174c56.png
Константу hello_html_40ce398e.png тут не обязательно определять под логарифм, поскольку ничего путного из этого не получится.

Ответ: общий интеграл: hello_html_m4a2b091.png

Проверка: Дифференцируем ответ (неявную функцию):
hello_html_m5024851b.png
Избавляемся от дробей, для этого умножаем оба слагаемых на hello_html_2793178d.png:
hello_html_m32457512.png
Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 8

Найти частное решение ДУ.
hello_html_12718db2.png,  hello_html_5605e593.png

Решение: Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:
 hello_html_m1bd0f84b.png
hello_html_5f6325e8.png
hello_html_5f65af66.png
Интегрируем:
hello_html_m8249e5d.png
hello_html_m36231e5.png
Общий интеграл: hello_html_m23464cda.png
Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию hello_html_5605e593.png. Подставляем в общее решение hello_html_m3d716516.png и hello_html_m3b4d3844.png:
hello_html_m4be8d821.png
Ответ: Частный интеграл: hello_html_73e3948e.png

  1. Подведение итогов занятия.

Подвести итоги занятия, выставить отметки обучающимся за урок.


  1. Домашнее задание.

Конспект по данной теме, выучить все определения, повторить интегрирование, нахождение производных

Найти общее решение ОДУ:

1.у'=4х3

2.hello_html_6e3cfdf7.gif

Найти частное решение ОДУ:

3.hello_html_m2cf12b29.gif при х=hello_html_134398ca.gif, у=3

4.hello_html_fde9d6c.gif при х=0, у=1

Дополнительно:

1. hello_html_m65133c84.gif , при х=π, у=0 .

2.hello_html_79c387bf.gif

3. hello_html_m30ce39db.gif,х=2,у=-4.


  1. Самостоятельная работа.

Решение однородных дифференциальных уравнений уравнений первого порядка. Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Решение простейших дифференциальных уравнений линейных относительно частных производных.


29


Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Менеджер по туризму

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ агрономы. 2 курс. лекция 5.doc

Агрономы Лекция № 5

Тема: «Ряды».

Тип урока: изучение нового материала.

Вид урока: комбинированный урок, включающий в себя обобщение и систематизацию изученного материалом, применение знаний и умений на практике, закрепление изученного.

Цели урока:

Образовательные:

- рассмотреть числовые ряды, сходимость и расходимость числовых рядов, признак сходимости Даламбера;

- рассмотреть знакопеременные ряды, абсолютную и условную сходимость рядов;

- рассмотреть функциональные ряды, степенные ряды, разложение элементарных функций в ряд Маклорена;

- помочь овладеть методами решения основных видов задач по теме «Ряды»;

- контроль и коррекция знаний по теме «Дифференциальное исчисление»;

Развивающие:

  • развивать способность осуществлять поиск информации;

  • развивать способность организовывать свою деятельность, выбирать методы и способы решения поставленных задач;

  • развивать способность использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности (ОК 5);

  • развивать способность принимать решение в стандартных и нестандартных ситуациях (ОК 3).

Воспитательные:

- способствовать развитию интереса к предмету «Математика»;

- способствовать развитию самостоятельности мышления;

  • воспитывать чувство ответственности за результаты своей работы;

  • воспитывать толерантность;

  • воспитывать чувство аккуратности и точности в будущей профессиональной деятельности.

Задачи урока

Воспитательные: развитие познавательного интереса к предмету, воспитание патриотизма, стимулирование потребности умственного труда.

Дидактические: познакомиться с понятиями числовые, степенные и функциональные ряды; научиться решать основные виды задач по рядам.

Развивающиеся: развитие памяти, внимания, умение выдвигать гипотезы, отстаивать свою точку зрения.

Средства обучения:

  1. дидактический материал;

  2. проектор;

  3. презентация;

План урока:

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация знаний.

  3. Объяснение нового материала.

  4. Закрепление изученного материала.

  5. Информация о домашнем задании.

  6. Подведение итогов.

Ход урока.

  1. Организационный момент:

Поприветствовать студентов, отметить отсутствующих.

Объявить тему урока и его цель.


  1. Актуализация знаний и умений обучающихся.

        1. Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных задач

        2. Выполнить устно упражнения:

Пример 1

Найти частное решение дифференциального уравнения hello_html_m5008bfd4.png, удовлетворяющее начальному условию hello_html_m31ba6a4c.png. Выполнить проверку.

Решение: Сначала найдем общее решение. Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы hello_html_m698e9b6f.png и hello_html_m75812b69.png, а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:
hello_html_644f45df.png

Интегрируем уравнение:
hello_html_m6ddc0329.png

Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения функции под знак дифференциала:
hello_html_34e1c8ce.png
hello_html_m6b94ae56.png

Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы на обе части. Поскольку они положительны, то знаки модуля излишни:
hello_html_m7a065152.png

(Надеюсь, всем понятно преобразование hello_html_m3148c217.png, такие вещи надо бы уже знать)

Итак, общее решение:
hello_html_m75c31c4.png

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию hello_html_m31ba6a4c.png
В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:
hello_html_413a5c98.png

Более привычное оформление: hello_html_19d4a3af.png

Подставляем найденное значение константы hello_html_7451b0b2.png в общее решение.

Ответ: частное решение: hello_html_6b6d8830.png

Пример 2

Найти частное решение ДУ.
hello_html_12718db2.png,  hello_html_5605e593.png

Решение: Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:
 hello_html_m1bd0f84b.png
hello_html_5f6325e8.png
hello_html_5f65af66.png
Интегрируем:
hello_html_m8249e5d.png
hello_html_m36231e5.png
Общий интеграл: hello_html_m23464cda.png
Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию hello_html_5605e593.png. Подставляем в общее решение hello_html_m3d716516.png и hello_html_m3b4d3844.png:
hello_html_m4be8d821.png
Ответ: Частный интеграл: hello_html_73e3948e.png

  1. Изучение нового материала.

Решение задачи, представленной в математических терминах, например, в виде комбинации различных функций, их производных и интегралов, нужно уметь “довести до числа”, которое чаще всего и служит окончательным ответом. Для этого в различных разделах математики выработаны различные методы.

Раздел математики, позволяющий решить любую корректно поставленную задачу с достаточной для практического использования точностью, называется теорией рядов.

Даже если некоторые тонкие понятия математического анализа появились вне связи с теорией рядов, они немедленно применялись к рядам, которые служили как бы инструментом для испытания значимости этих понятий. Такое положение сохраняется и сейчас.

Выражение вида

hello_html_6b023e3b.png,

где hello_html_77573b3c.png;hello_html_673de71b.png;hello_html_m4e19ad4c.png;…;hello_html_m2a23eba7.png;… - члены ряда; hello_html_m7c545e87.pngn-ый или общий член ряда, называется бесконечным рядом (рядом).

Если члены ряда :

  • числа, то ряд называется числовым;

  • числа одного знака, то ряд называется знакопостоянным;

  • числа разных знаков, то ряд называется знакопеременным;

  • положительные числа, то ряд называется знакоположительным;

  • числа, знаки которых строго чередуются, то ряд называется знакочередующимся;

  • функции, то ряд называется функциональным;

  • степениhello_html_70a38f40.png, то ряд называется степенным;

  • тригонометрические функции, то ряд называется тригонометрическим.

I. Числовой ряд

1.1. Основные понятия числового ряда.

Числовым рядом называется сумма вида

hello_html_4990a32.png, (1.1)

где hello_html_77573b3c.png,hello_html_673de71b.png,hello_html_m4e19ad4c.png,…,hello_html_m7c545e87.png,…, называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; членhello_html_m7c545e87.pngназывается общим членом ряда.

Суммы

hello_html_m502f1439.png

…………..

hello_html_7bc81ac1.png,

составленные из первых членов ряда (1.1), называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм hello_html_646c5a2c.png.

Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда hello_html_6c17167c.png стремится к пределуhello_html_m2fada332.png, то ряд называется сходящимся, а число hello_html_m2fada332.png- суммой сходящегося ряда, т.е.

hello_html_me1334f8.png и hello_html_19a247bd.png.

Эта запись равносильна записи

hello_html_m31b0db9e.png.

Если частичная сумма hello_html_6c17167c.png ряда (1.1) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (стремится к hello_html_m168d2ef3.png или hello_html_751e5c55.png), то такой ряд называется расходящимся.

Если ряд сходящийся, то значение hello_html_6c17167c.png при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S.

Разность hello_html_m632e6685.png называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е.hello_html_6203b1.png, и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

1.2. Примеры числовых рядов.

Пример 1. Ряд вида

hello_html_463c13a7.png (1.2)

называется геометрическим hello_html_273d3b6f.png.

Геометрический ряд образован из членов геометрической прогрессии.

Известно, что сумма её первых n членов hello_html_939851.png. Очевидно: это n-ая частичная сумма ряда (1.2).

Возможны случаи:

hello_html_m43f3cadb.png:

hello_html_10dec8f1.png.

Ряд (1.2) принимает вид:

hello_html_m414938cc.png,

hello_html_7d77c717.png, ряд расходится;

hello_html_m244c5010.png

Ряд (1.2) принимает вид:

hello_html_m6970d56f.png,

hello_html_1354ef4a.png

hello_html_6c17167c.png не имеет предела, ряд расходится.

hello_html_m3839b7f1.png,

hello_html_28fc8c4a.png - конечное число, ряд сходится.

hello_html_m8d220a7.png,

hello_html_7dd48513.png - ряд расходится.

Итак, данный ряд сходится при hello_html_m3839b7f1.pngи расходится при hello_html_m27a469d6.png.

Пример 2. Ряд вида

hello_html_m4431108.png (1.3)

называется гармоническим.

Запишем частичную сумму этого ряда:

hello_html_5fa0d46b.png.

Сумма hello_html_5036605c.png больше суммы, представленной следующим образом:

hello_html_70e2d0b5.png

или hello_html_m70e86849.png.

Если hello_html_m17baf6f6.png, то hello_html_2f1d87b0.png, или hello_html_m592f5c65.png.

Следовательно, если hello_html_m17baf6f6.png, то hello_html_6c4db02c.png, т.е. гармонический ряд расходится.

Пример 3. Ряд вида

hello_html_3ef9633e.png (1.4)

называется обобщенным гармоническим.

Если hello_html_57e9d9cd.png, то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.

Если hello_html_m37399e09.png, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При hello_html_45329531.png имеем геометрический ряд, в котором hello_html_m3839b7f1.png; он является сходящимся.

Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при hello_html_45329531.png и расходится при hello_html_m3dc77812.png.

1.3. Необходимый и достаточные признаки сходимости.

Необходимый признак сходимости ряда.

Ряд hello_html_m285cffd.png может сходиться только при условии, что его общий член hello_html_m7c545e87.png при неограниченном увеличении номера hello_html_752ca791.png стремится к нулю: hello_html_62f94691.png.

Если hello_html_m3c62d471.png, то ряд hello_html_m285cffd.png расходится – это достаточный признак расходимости ряда.

Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.

Признак сравнения рядов с положительными членами.

Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого, заведомо расходящегося ряда.

Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами

hello_html_m114ca03d.pnghello_html_76d4695a.png

выполняется условие hello_html_25bf258f.png, то ряд сходится при hello_html_2ebfdada.png и расходится при hello_html_7570a612.png.

Признак Даламбера не дает ответа, если hello_html_268dc325.png. В этом случае для исследования ряда применяются другие приемы.

Упражнения.

Записать ряд по его заданному общему члену:

hello_html_5ebaf97f.png;

hello_html_7b3db0c.png;

hello_html_e679e62.png.

Решение.

Полагая hello_html_436dbad8.png,hello_html_626fd2bd.png,hello_html_m433cec37.png,…, имеем бесконечную последовательность чисел:

hello_html_m187adda9.png,hello_html_m4c0cd8c4.png,hello_html_3e7935a0.png. Сложив его члены, получим ряд

hello_html_m78329c00.png.

Поступая так же, получим ряд

hello_html_m7a0896e0.png.

Придаваяhello_html_752ca791.pngзначения 1,2,3,… и учитывая, чтоhello_html_m775afae4.png,hello_html_m1ebaa5a6.png,hello_html_631e165f.png,…, получим ряд

hello_html_5244526c.png.

Найти n-ый член ряда по его данным первым членам:

hello_html_m22d896e7.png;

hello_html_30f225c2.png .

Решение.

Знаменатели членов ряда, начиная с первого, являются четными числами; следовательно, n-ый член ряда имеет вид hello_html_2c2cb846.png.

Числители членов ряда образуют натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели – натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели – натуральный ряд чисел, начиная с 3. Знаки чередуются по закону hello_html_m62f5f04d.png или по закону hello_html_4fbb5217.png. Значит, n-й член ряда имеет вид hello_html_m62f5f04d.png.hello_html_1b933044.png или hello_html_3ddac768.png.

Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости и признак сравнения:

hello_html_md46c45c.png;

hello_html_m5be534c8.png;

hello_html_m6d6addc2.png.

Решение.

Находим hello_html_m4a42feed.png.

Необходимый признак сходимости ряда выполняется, но для решения вопроса о сходимости нужно применить один из достаточных признаков сходимости. Сравним данный ряд с геометрическим рядом

hello_html_405503fd.png,

который сходится, так какhello_html_48a50b75.png.

Сравнивая члены данного ряда, начиная со второго, с соответствующими членами геометрического ряда, получим неравенства

hello_html_58cb87e2.png

т.е. члены данного ряда, начиная со второго, соответственно меньше членов геометрического ряда, откуда следует, что данный ряд сходится.

Имеем

hello_html_323dd5cb.png.

Здесь выполняется достаточный признак расходимости ряда; следовательно, ряд расходится.

Находим hello_html_478fc57f.png.

Необходимый признак сходимости ряда выполняется. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом

hello_html_34238f92.png,

который сходится, посколькуhello_html_m4995f4dc.png, следовательно, сходится и данный ряд.

Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

hello_html_e6b5f1a.png;

hello_html_2a4d80ed.png

hello_html_2f399265.png.

Решение.

Подставив в общий член ряда hello_html_m7ab5ae32.png вместо n число n+1, получим hello_html_3029c321.png. Найдем предел отношения hello_html_35b865aa.png-го члена к n-му члену при hello_html_m17baf6f6.png:

hello_html_m7f2d2213.png.

Следовательно, данный ряд сходится.

Имеем

hello_html_4f411c57.png

Значит, данный ряд расходится.

hello_html_m50555430.png, т.е. ряд расходится.

II. Знакопеременный ряд

2.1 Понятие знакопеременного ряда.

Числовой ряд

hello_html_m45149510.png

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки.

hello_html_1f54d0be.png,

где hello_html_m1a12c3e3.pngдля всех hello_html_65e0954a.png(т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно). Например,

hello_html_6b360b06.png;

hello_html_med3860a.png;

hello_html_628d82a9.png.

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный в 1714г. Лейбницем в письме к И.Бернулли).

2.2 Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда.

Теорема (Признак Лейбница).

Знакочередующийся ряд сходится, если:

Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. hello_html_68fa0c16.png;

Общий член ряда стремится к нулю:hello_html_62f94691.png.

При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам

hello_html_m48ece95b.png.

Замечания.

Исследование знакочередующегося ряда вида

hello_html_6303f6e6.png

(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на hello_html_m26997336.pngк исследованию ряда hello_html_3617ec02.png.

Ряды, для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница).

Соотношение hello_html_m48ece95b.png позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного ряда его частичной суммой hello_html_5036605c.png.

Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд hello_html_m62f5f04d.pnghello_html_42baf6cb.png, сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е.hello_html_50e3916b.png. Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.

Пример. Вычислить приблизительно сумму ряда hello_html_be7aeb4.png.

Решение: данный ряд Лейбницевского типа. Он сходится. Можно записать:

hello_html_3bcc6e34.png.

Взяв пять членов, т.е. заменивhello_html_m2fada332.pngна

hello_html_441e4d0c.png, сделаем ошибку, меньшую,

чемhello_html_m41d23e32.png. Итак,hello_html_e207a61.png.

Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд

hello_html_m45149510.png.

Если сходится ряд

hello_html_102e9c9a.png,

составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.

Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов служит достаточным признаком сходимости знакочередующихся рядов.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т.е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Если знакопеременный ряд сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд расходится, то данный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

2.3. Упражнения.

Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

hello_html_m3df7d9eb.png;

Решение.

Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:

hello_html_2eb66fc2.pngи

hello_html_m705489e7.png

Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно.

Ряд hello_html_3a8c9f68.png, составленный из абсолютных величин данного ряда, является гармоническим рядом, который, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

hello_html_m33382f95.png

 

Решение.

Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:

hello_html_151a7ad8.png, но

hello_html_m779b986e.png.

Ряд расходится, так как признак Лейбница не выполняется.

hello_html_m33f8f9e7.png;

Решение.

Используя признак Лейбница, получим

hello_html_51ccab41.png;hello_html_7e98983d.png,

т.е. ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

hello_html_758452d9.png.

Это геометрический ряд видаhello_html_2760f6ef.png, гдеhello_html_m74b3c7e6.png, который сходится. Поэтому данный ряд сходится абсолютно.

hello_html_m77d8ab7d.png;

Решение.

Используя признак Лейбница, имеем

hello_html_13457c3b.png;

hello_html_m70923611.png, т.е. ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

hello_html_m4ab41bd1.png, или

hello_html_6e7d564b.png.

Это обобщенный гармонический ряд, который расходится, так какhello_html_m14eb34e0.png. Следовательно, данный ряд сходится условно.

III. Функциональный ряд

3.1. Понятие функционального ряда.

Ряд, членами которого являются функции от hello_html_m1df6e5e7.png, называется функциональным:

hello_html_2bfa7ea.png.

Придавая hello_html_m1df6e5e7.png определенное значение hello_html_211b8006.png, получим числовой ряд

hello_html_6dfb6362.png,

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Если полученный числовой ряд сходится, то точка hello_html_211b8006.png называется точкой сходимости функционального ряда; если же ряд расходится – точкой расходимости функционального ряда.

Совокупность числовых значений аргумента hello_html_m1df6e5e7.png, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от hello_html_m1df6e5e7.png:hello_html_e8eebbf.png.

Определяется она в области сходимости равенством

hello_html_m63244454.png, где

hello_html_m3a4b468.png- частичная сумма ряда.

Пример. Найти область сходимости ряда hello_html_m1eca6ecb.png.

Решение. Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем hello_html_m14b20243.png. Следовательно, этот ряд сходится при hello_html_m40b1a8dc.png, т.е. при всех hello_html_3e3301df.png; сумма ряда равна hello_html_29080813.png;

hello_html_m2583b3b6.png, при hello_html_m40b1a8dc.png.

3.2. Степенные ряды.

Степенным рядом называется ряд вида

hello_html_7ab14476.png,

где числа hello_html_60182cf9.png называются коэффициентами ряда, а член hello_html_m2dc594.png- общим членом ряда.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений hello_html_m1df6e5e7.png, при которых данный ряд сходится.

Числоhello_html_4d950d94.png называется радиусом сходимости степенного ряда, если при hello_html_68c10d7f.png ряд сходится и притом абсолютно, а при hello_html_28c1e934.png ряд расходится.

Радиус сходимости hello_html_4d950d94.png найдем, используя признак Даламбера:

hello_html_m1f10913c.png (hello_html_m1df6e5e7.pngне зависит отhello_html_752ca791.png),

hello_html_m454828c6.png,

т.е. если степенной ряд сходится при любых hello_html_m1df6e5e7.png, удовлетворяющих данному условию и расходится при hello_html_m6d0ac215.png.

Отсюда следует, что если существует предел

hello_html_m61ef4294.pnghello_html_2110d55c.png,

то радиус сходимости рядаhello_html_250702a5.pngравен этому пределу и степенной ряд сходится при hello_html_68c10d7f.png, т.е. в промежуткеhello_html_5716cdf4.png, который называется промежутком (интервалом) сходимости.

Если hello_html_m531a4f30.png, то степенной ряд сходится в единственной точке hello_html_154de750.png.

На концах промежутка ряд может сходиться (абсолютно или условно), но может и расходиться.

Сходимость степенного ряда при hello_html_2ff37569.png и hello_html_m228268a4.png исследуется с помощью какого-либо из признаков сходимости.

3.3. Упражнения.

Найти область сходимости ряда:

hello_html_m51025970.png;

Решение. Найдем радиус сходимости данного ряда:

hello_html_6cf56a1a.png.

Следовательно, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.

hello_html_m11993700.png

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. Для данного ряда имеем:

hello_html_m7d0a18d2.png,hello_html_7ec67879.png,

hello_html_48abadd.png.

Ряд абсолютно сходится, если hello_html_m574ba12b.png или hello_html_m6f9ebb38.png. Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

При hello_html_319c5c65.pngимеем ряд hello_html_6df6f72e.png, который сходится по признаку Лейбница.

При hello_html_m2f88778b.png имеем рядhello_html_7f7641f.png- это тоже сходящийся Лейбницевский ряд. Следовательно, областью сходимости исходного ряда является отрезокhello_html_422260c8.png.

hello_html_50599b0f.png.

Решение. Найдем радиус сходимости ряда:

hello_html_m5db77e48.png.

Следовательно, ряд сходится приhello_html_1e4e12d2.png, т.е. приhello_html_4f1f8f95.png.

Приhello_html_m36c606f2.pngимеем рядhello_html_48e017d5.png, который сходится по признаку Лейбница.

Приhello_html_154de750.pngимеем расходящийся ряд

hello_html_m47d105f5.png.

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является промежутокhello_html_6505d078.png.

IV. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

Для приложений важно уметь данную функциюhello_html_m390427f9.png разлагать в степенной ряд, т.е. функцию hello_html_m390427f9.pngпредставлять в виде суммы степенного ряда.

Рядом Тейлора для функции hello_html_m390427f9.png называется степенной ряд вида

hello_html_96bdf01.png.

Если hello_html_m2a21b192.png, то получим частный случай ряда Тейлора

hello_html_m5fb6e5e9.png,

который называется рядом Маклорена.

Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причем полученные ряды имеют тот же промежуток сходимости, что и исходный ряд.

Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать по правилам сложения и умножения многочленов. При этом промежуток сходимости полученного нового ряда совпадает с общей частью промежутков сходимости исходных рядов.

Для разложения функции hello_html_m390427f9.png в ряд Маклорена необходимо:

Вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке hello_html_154de750.png, т.е.hello_html_m3c79a5fd.png,hello_html_m468f61dc.png,hello_html_m7645e349.png,…,hello_html_2cdabc67.png;

Составить ряд Маклорена, подставив значения функции и ее последовательных производных в формулу ряда Маклорена;

Найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле

hello_html_m61ef4294.pnghello_html_2110d55c.png.

Таблица, содержащая разложения в ряд Маклорена некоторых элементных функций:

hello_html_m3cbbcbe1.png.

hello_html_37f60eeb.png.

hello_html_7ffca572.png.

hello_html_m7d436c41.png.

hello_html_mdc88642.png.

hello_html_m4a7bc41f.png.

hello_html_33da1b76.png

Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функциюhello_html_177e2a3d.png.

Решение. Так как hello_html_7b55acd9.png, то, заменяяhello_html_m1df6e5e7.png на hello_html_m663ca915.png в разложении hello_html_51e7aebb.png, получим:

hello_html_4cb10004.pnghello_html_257f2df2.png.

Пример 2. Выписать ряд Маклорена функции hello_html_42cf1a40.png.

Решение. Так как hello_html_1844574b.png, то воспользовавшись формулой hello_html_717d9414.png, в которой заменим hello_html_m1df6e5e7.png на hello_html_m3fffac6b.png, получим:

hello_html_m1f1ecf36.png,

или

hello_html_55ff7f51.png,

если

hello_html_md8f1a5d.png, т.е.hello_html_438b2a5c.png.

Пример 3. Разложить в ряд Маклорена функцию hello_html_mf6112b6.png.

Решение. Воспользуемся формулой hello_html_ma38af96.png. Так как

hello_html_93f6572.png, то заменивhello_html_m1df6e5e7.pngнаhello_html_m578cf916.pngполучим:

hello_html_m4c361bdf.png, или

hello_html_m2b8bbf1d.png,

где hello_html_m73cf405e.png, т.е. hello_html_1da3a3e1.png.


  1. Закрепление изученного материала.

Решение заданий по теме «Ряды»

        1. При помощи признака сравнения рядов установить сходимость

или расходимость рядов:

hello_html_1e9e671b.pnghello_html_m615491c3.png.

hello_html_m6165f5a7.png.

hello_html_6dce86f.png.

hello_html_747583fe.png.

hello_html_m19b024cc.png.

Исследовать по признаку Даламбера сходимость рядов:

hello_html_51a61a7c.png.

hello_html_m24f576c3.png.

hello_html_m29942fbe.png.

hello_html_1f9a3645.png.

hello_html_m5de3d1fa.png.

        1. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

hello_html_m33d47ecb.png.;

hello_html_1c19f23f.png.;

hello_html_m3a822d35.png.;

hello_html_m140bc0fa.png.;

hello_html_57e04ad6.png.

3.Найти промежутки сходимости нижеследующих рядов и выяснить вопрос об их сходимости на концах промежутков сходимости:

hello_html_m6ca499ca.png;

hello_html_ma65eed4.png;

hello_html_542d9acf.png;

hello_html_751a152e.png;

hello_html_548e80fe.png.

4.Используя разложения в ряд Маклорена функцииhello_html_51e7aebb.png,hello_html_6e4a931d.png,hello_html_43f5d988.png,hello_html_27669eb8.png, разложить степенные ряды функции:

hello_html_5996ece2.png.

hello_html_m773d1bed.png.

hello_html_358388fc.png.

hello_html_m49b6c128.png.

hello_html_m2b5beb0.png.

Ответы

1.

  1. сходится;

  2. расходится;

  3. сходится;

  4. сходится;

  5. расходится;

  6. сходится;

  7. сходится;

  8. расходится;

  9. сходится;

  10. сходится.

2.

  1. cходится абсолютно;

  2. cходится абсолютно;

  3. cходится условно;

  4. cходится условно;

  5. cходится абсолютно.

3.

  1. hello_html_m7f799e11.png;

  2. hello_html_m41cc4677.png;

  3. hello_html_37708c13.png;

  4. hello_html_1ba1ebea.png;

  5. hello_html_m4d53fce0.png.

4.

hello_html_40d1f6ce.png;

hello_html_63aca9a6.png;

hello_html_1e2f8c83.png;

hello_html_m74a034f0.png;

hello_html_m45a92475.png


  1. Подведение итогов занятия.

Подвести итоги занятия, выставить отметки обучающимся за урок.

Историческая справка.

Решение многих задач сводится к вычислению значений функций и интегралов или к решению дифференциальных уравнений, содержащих производные или дифференциалы неизвестных функций.

Однако точное выполнение указанных математических операций во многих случаях оказывается весьма затруднительным или невозможным. В этих случаях можно получить приближенное решение многих задач с любой желаемой точностью при помощи рядов.

Ряды представляют собой простой и совершенный инструмент математического анализа для приближенного вычисления функций, интегралов и решений дифференциальных уравнений.

Теория рядов создавалась в тесной связи с теорией приближенного представления функций в виде многочленов. Впервые это сделал И. Ньютон (1642 – 1727). в 1676г. В его письме к секретарю Лондонского Королевского Общества появилась формула:

hello_html_m44c9566a.png,

которую мы знаем как формулу бинома Ньютона.

Здесь мы видим функцию hello_html_m3892b9f3.png, представленную в виде многочлена. Но если числоhello_html_m47e44830.png не является натуральным, в правой части равенства получается не полином, а бесконечная сумма слагаемых, то есть ряд.

Развивая идею Ньютона, английский математик Брук Тейлор (1685 – 1731) в 1715г. доказал, что любой функции, имеющей в точке hello_html_m52e77764.png производные всех порядков, можно сопоставить ряд:

hello_html_147811f8.png.

Мы не можем пока поставить знак равенства между функцией hello_html_m390427f9.png, принимающей конечное значение для любого значения hello_html_211b8006.png, и стоящим справа функциональным рядом.

Для того, чтобы вместо знака “hello_html_1c1145b3.png” можно было поставить знак равенства, необходимо провести некоторые дополнительные рассуждения, связанные именно с бесконечностью числа слагаемых в правой части равенства и касающиеся области сходимости ряда.

При hello_html_1100f895.png формула Тейлора принимает вид, в котором называется формулой Маклорена:

hello_html_16fb1b0b.png.

Колин Маклорен (1698 – 1746), ученик Ньютона, в работе “Трактат о флюксиях” (1742) установил, что степенной ряд, выражающий аналитическую функцию, - единственный, и это будет ряд Тейлора, порожденный такой функцией. В формуле бинома Ньютона коэффициенты при степенях hello_html_m1df6e5e7.png представляют собой значения hello_html_m2e6e9d87.png, где hello_html_634412e1.png.

Итак, ряды возникли в XVIII в. как способ представления функций, допускающих бесконечное дифференцирование. Однако функция, представляемая рядом, не называлась его суммой, и вообще в то время не было еще определено, что такое сумма числового или функционального ряда, были только попытки ввести это понятие.

Например, Л. Эйлер (1707-1783), выписав для функции соответствующий ей степенной ряд, придавал переменной hello_html_m1df6e5e7.png конкретное значение hello_html_211b8006.png. Получался числовой ряд. Суммой этого ряда Эйлер cчитал значение исходной функции в точке hello_html_211b8006.png. Но это не всегда верно.

О том, что расходящийся ряд не имеет суммы, ученые стали догадываться только в XIX в., хотя в XVIII в. многие, и прежде всего Л. Эйлер, много работали над понятиями сходимости и расходимости. Эйлер называл ряд hello_html_m285cffd.png сходящимся, если его общий член hello_html_m7c545e87.png стремится к нулю при возрастании hello_html_752ca791.png.

В теории расходящихся рядов Эйлер получил немало существенных результатов, однако результаты эти долго не находили применения. Еще в 1826г. Н.Г. Абель (1802 – 1829) называл расходящиеся ряды “дьявольским измышлением”. Результаты Эйлера нашли обоснование лишь в конце XIX в.

В формировании понятия суммы сходящегося ряда большую роль сыграл французский ученый О.Л. Коши (1789 – 1857); он сделал чрезвычайно много не только в теории рядов, но и теории пределов, в разработке самого понятия предела. В 1826г. Коши заявил, что расходящийся ряд не имеет суммы.

В 1768г. французский математик и философ Ж.Л. Д’Аламбер исследовал отношение последующего члена к предыдущему в биномиальном ряде и показал, что если это отношение по модулю меньше единицы, то ряд сходится. Коши в 1821г. доказал теорему, излагающую в общем виде признак сходимости знакоположительных рядов, называемых теперь признаком Д’Аламбера.

Для исследования сходимости знакочередующихся рядов используется признак Лейбница.

Г.В. Лейбниц (1646 – 1716), великий немецкий математик и философ, наряду с И. Ньютоном является основоположником дифференциального и интегрального исчисления.


  1. Домашнее задание.

Конспект по данной теме, выучить все определения, повторить интегрирование, нахождение производных. Решить:

Пример 1. 

Разложить функцию в ряд по степеням hello_html_m61f18daf.png. Найти область сходимости ряда.
hello_html_m564bbc1c.png

Решение: используем разложение: hello_html_m375dc11b.png.
В данном случае hello_html_m796af118.png
hello_html_m5ba355e2.png
hello_html_md080b67.png
Область сходимости ряда: hello_html_618cfca0.png.

Пример 2. 

Разложить функцию в ряд по степеням hello_html_m61f18daf.png. Найти область сходимости ряда.
hello_html_5be1b202.png

Решение: используем разложение:  hello_html_m371c10e8.png.
В данном случае hello_html_5890765b.png
hello_html_m7c27148b.png
Конструируем функцию дальше:
hello_html_m629c7c96.png
Окончательно:
hello_html_m7cb412d9.png
Ряд сходится при hello_html_26a92049.png 

Примечание: в точке hello_html_m6911b8cd.png ряд сходится не исходной функции, а к нулю: hello_html_m11430786.png


Пример 3. 

Разложить функцию в ряд по степеням hello_html_m61f18daf.png. Найти область сходимости ряда.
hello_html_m3d18f5fe.png

Решение: используем частный случай биномиального разложения:
hello_html_m27f2c57c.png
В данном случае hello_html_m700928e3.png
Таким образом:

hello_html_m1c082853.png
Само по себе разложение не слишком сложное, важно правильно найти область полученного сходимости ряда. Есть длинный путь и есть короткий.

Путь короткий: биномиальный ряд сходится при hello_html_m715ed356.png (см. таблицу). 
В данном случае hello_html_m700928e3.png:

hello_html_31ee052c.png.
Делим все части на 3 и извлекаем из всех частей кубический корень:
hello_html_47d763b0.png
hello_html_3694a6aa.png – интервал сходимости ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найдённого интервала. Функция hello_html_m3d18f5fe.pngтерпит бесконечный разрыв в точке hello_html_m906b78e.png, и поэтому левый конец интервала не рассматриваем. Правое же значение подставим в hello_html_6cb81c1.png:
hello_html_m5fd36105.png
Полученный числовой ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
Таким образом, область сходимости ряда: hello_html_3694a6aa.png


  1. Самостоятельная работа.

Признак сходимости Даламбера. Разложение функций в ряд Маклорена.

26


Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Технолог-калькулятор общественного питания

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ лекция 2. агрономы. матрицы.doc

Агрономы Лекция 2

Раздел 1. Основы линейной алгебры

Тема 2.1. Системы трех линейных уравнений с тремя переменными и их решение с помощью определителей, методом Гаусса, матричным методом.

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментального раздела математики – линейной алгебры. Изучить системы линейных уравнений, определители второго и третьего порядка, формулы Крамера,  научиться решать системы двух (трех) линейных уравнений с двумя (тремя) переменными с помощью  формул Крамера, методом Гаусса и матричным методом.

Задачи:

развитие творческого профессионального мышления;

познавательная мотивация;

овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

углубление теоретической и практической подготовки;

развитие инициативы и самостоятельности студентов.


Вид занятия: Комбинированное занятие, включающее в себя ознакомление с новым материалом, применение знаний и умений на практике, закрепление изученного.

Ход занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

Изучить теоретический материал по теме «Системы трех линейных уравнений с тремя переменными и их решение с помощью определителей, методом Гаусса и матричным методом».

  • Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

  • Ответить на контрольные вопросы.


  1. Организационный момент.

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.


  1. Актуализация знаний и умений.

  1. Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных примеров).

  2. Вопросы для закрепления теоретического материала к занятию:

1.Какое уравнение называется линейным? Общий вид.

2.Что мы называем системой линейных уравнений?

3.Что называется решением системы линейных уравнений?

4.Какие методы решения систем линейных уравнений вы знаете?

5.В чем суть графического способа решения системы линейных уравнений?

6.В чем суть метода подстановки  решения системы линейных уравнений?


  1. Изучение нового материала.

Изучение нового материала согласно плана:

  1. Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными методом определителей.

  2. Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными методом Гаусса.

  3. Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными матричным методом.

  1. Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными методом определителей.

Применим рассмотренную на прошлой лекции теорию определителей к решению систем линейных уравнений
Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается hello_html_m13b694d0.png(дельта).

Определители hello_html_2954e4e1.pngполучаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

hello_html_m25d03d09.png;

hello_html_m523b0b25.png.

Формулы Крамера для нахождения неизвестных:

hello_html_7d947fc8.png.

Найти значения hello_html_5ef7c3bf.png и hello_html_6eeeefe3.pngвозможно только при условии, если

hello_html_609c6baa.png.

Этот вывод следует из следующей теоремы.

Теорема КрамераЕсли определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

hello_html_m67dcbfa6.png.                         (2)

Согласно теореме Крамера имеем:

hello_html_m234d9744.png

hello_html_4cea51f6.png

Итак, решение системы (2):
hello_html_3398ad89.png

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера, при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Пhello_html_2695ba69.jpgервый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Условия: * hello_html_6b14484f.png

Вhello_html_44f1be7b.jpgторой случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

Условия: * hello_html_m12f9ab6d.png, ** hello_html_m6ff02b6a.png,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Тhello_html_m69794467.jpgретий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Условия: * hello_html_434cb98a.png** hello_html_24140061.png.

Итак, система m линейных уравнений с переменными называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного –неопределённой.

Система трёх линейных неоднородных уравнений с тремя неизвестными:

hello_html_68c7eefd.png

Составим и вычислим основной определитель hello_html_m4ff879ad.png и вспомогательные определители hello_html_m2690c640.png , hello_html_826cb52.png .

а) Если hello_html_m292faeea.png, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

hello_html_ma55afd3.png , hello_html_m4a327ce9.png , hello_html_34684566.png (3)

б) Если hello_html_m2640fd99.png, то возможны случаи:

1) hello_html_m10243a7f.png , тогда система будет иметь бесконечно много решений, она будет сводиться либо к системе состоящей из одного, либо из двух уравнений (одну неизвестную перенесём направо и решим систему двух уравнений с двумя неизвестными);

2) хотя бы один из определителей hello_html_1f1256e1.png отличен от нуля, система не имеет решения.

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

hello_html_1f461f5e.png.

На основании теоремы Крамера
hello_html_mcffea08.png

hello_html_m563d8b50.png
………….
hello_html_4c7c150.png,

где
hello_html_7f3e95ca.png-

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

hello_html_1926a509.png

hello_html_m333903ef.png

hello_html_280f720.png

Пример 2.  Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

hello_html_m39de7b0.png.

Решение. Находим определитель системы:

hello_html_m68e30bb5.png

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

hello_html_681c8b00.png

hello_html_m66d9434.png

hello_html_43ea4ff7.png

По формулам Крамера находим:
hello_html_3d2699a1.png

hello_html_7cae18f2.png


hello_html_518c53f3.png
Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3.  Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

hello_html_m2dad67c.png.

Решение. Находим определитель системы:

hello_html_m1a41d0d8.png

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

hello_html_1003cae3.png

hello_html_403df05e.png

hello_html_4449a327.png

По формулам Крамера находим:

hello_html_42c5c63e.png

hello_html_45675995.png

hello_html_71392e0c.png

Итак, решение системы - (2; -1; 1).

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 4.  Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

hello_html_4ebf0095.png

Решение. Находим определитель системы:

hello_html_3d740ff4.png

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

hello_html_m64844ca5.png

hello_html_m49e2773f.png

hello_html_74cca29c.png

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных - буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Пример 5.  Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

hello_html_m4d51c8ea.png

Здесь a - некоторое вещественное число. Решение. Находим определитель системы:

hello_html_m5e906f24.png

Находим определители при неизвестных

hello_html_19a1e01f.png

hello_html_m6d0cfef2.png

По формулам Крамера находим:

hello_html_5e48b6e8.png,

hello_html_m5295201c.png.

Следующий пример - на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 6.  Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

hello_html_m3e5fb01b.png

Решение. Находим определитель системы:

hello_html_m2db418c8.png

Находим определители при неизвестных

hello_html_6976e1fb.png

hello_html_m7de0ee21.png

hello_html_5dc32f52.png

По формулам Крамера находим:

hello_html_m62d06cb9.png,

hello_html_1031db0.png,

hello_html_2b0162d4.png.

И, наконец, система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными.

Пример 7.  Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

hello_html_m3ba874ed.png.

hello_html_m4435afd2.png

Небольшой комментарий. В первоначальном определителе из элементов второй строки были вычтены элементы четвёртой строки, из элементов третьей строки - элементы четвёртой строки, умноженной на 2, из элементов четвёртой строки - элементы первой строки, умноженной на 2. Преобразования первоначальных определителей при трёх первых неизвестных произведены по такой же схеме. Находим определители при неизвестных

hello_html_m1c5ec62e.png

hello_html_m3e1d4af3.png

hello_html_m3725e31a.png

hello_html_m7bfb7dad.png

Для преобразований определителя при четвёртом неизвестном из элементов первой строки были вычтены элементы четвёртой строки.

По формулам Крамера находим:

hello_html_m7d38ebac.png,

hello_html_25759e4f.png,

hello_html_10d36f6.png,

hello_html_m4e799718.png.

Итак, решение системы - (1; 1; -1; -1).

  1. Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными методом Гаусса.

hello_html_5e565528.jpg

Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в том, что при помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы её матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной или близкой к трапециевидной. Пример такой системы - на рисунке сверху.

В ней, как видим, третье уравнение уже не содержит переменных hello_html_688c24f.png и hello_html_16b779d9.png, а второе уравнение - переменной hello_html_16b779d9.png.

После того, как матрица системы приняла трапециевидную форму, уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения.

Преимущества метода Гаусса:

  1. при решении систем линейных уравнений с числом уравнений и неизвестных более трёх метод Гаусса не такой громоздкий, как метод Крамера, поскольку при решении методом Гаусса необходимо меньше вычислений;

  2. методом Гаусса можно решать неопределённые системы линейных уравнений, то есть, имеющие общее решение, а, используя метод Крамера, можно лишь констатировать, что система неопределённа;

  3. методом Гаусса можно решать системы линейных уравнений, в которых число неизвестных не равно числу уравнений;

  4. метод Гаусса основан на элементарных (школьных) методах - методе подстановки неизвестных и методе сложения уравнений.

Благодаря этим преимуществам, именно методом Гаусса чаще всего решаются прикладные задачи на сплавы и смеси, стоимость или удельный вес отдельных товаров в группе товаров и другие, в которых системы линейных уравнений применяются для моделирования реальных объектов физического мира. В конце этой статьи мы решим методом Гаусса задачу на сплавы.

Повторяя школьный метод алгебраического сложения уравнений системы, мы выяснили, что к одному из уравнений системы можно прибавлять другое уравнение системы, причём каждое из уравнений может быть умножено на некоторые числа. В результате получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной. В ней уже одно уравнение содержало только одну переменную, подставляя значение которой в другие уравнений, мы приходим к решению. Такое сложение - один из видов элементарного преобразования системы. При использовании метода Гаусса можем пользоваться несколькими видами преобразований.

Элементарные преобразования системы линейных уравнений

При решении методом Гаусса систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных в системе уравнений и в расширенной матрице системы можно:

  1. переставлять местами строки (это и было упомянуто в самом начале этой статьи);

  2. если в результате других преобразований появились равные или пропорциональные строки, их можно удалить, кроме одной;

  3. удалять "нулевые" строки, где все коэффициенты равны нулю;

  4. любую строку умножать или делить на некоторое число;

  5. к любой строке прибавлять другую строку, умноженное на некоторое число.

В результате преобразований получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной.

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Гаусса с примером 3 на 3

Пусть дана система линейных уравнений

hello_html_m2154b221.png

Решая системы линейных уравнений школьными способами, мы почленно умножали одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами. При сложении уравнений происходит исключение этой переменной. Аналогично действует и метод Гаусса.

Для упрощения внешнего вида решения составим расширенную матрицу системы:

hello_html_m38563499.png

В этой матрице слева до вертикальной черты расположены коэффициенты при неизвестных, а справа после вертикальной черты - свободные члены.

Для удобства деления коэффициентов при переменных (чтобы получить деление на единицу) переставим местами первую и вторую строки матрицы системы. Получим систему, эквивалентную данной, так как в системе линейных уравнений можно переставлять местами уравнения:

hello_html_2958d6bb.png

С помощью нового первого уравнения исключим переменную x из второго и всех последующих уравнений. Для этого ко второй строке матрицы прибавим первую, умноженную на hello_html_m4e962e48.png (в нашем случае на hello_html_38cdb382.png), к третьей – первую строку, умноженную на hello_html_m7ad6231c.png (в нашем случае на hello_html_m40fae792.png).

Это возможно, так как hello_html_m541c2416.png

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям первую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.

В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений, в которой все уравнения, начиная со второго не содержат переменнную x:

hello_html_m443d27fa.png

Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на hello_html_f88d549.png и получим вновь матрицу системы уравнений, эквивалентной данной системе:

hello_html_m3c3fcd99.png

Теперь, сохраняя первое уравнение полученной системы без изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих уравнений. Для этого к третьей строке матрицы системы прибавим вторую, умноженную на hello_html_m704ccb82.png (в нашем случае на hello_html_11fec815.png).

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям вторую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.

В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе линейных уравнений:

hello_html_m1db8c7bd.png

Мы получили эквивалентную данной трапециевидную систему линейных уравнений:

hello_html_4dd67459.png

Если число уравнений и переменных больше, чем в нашем примере, то процесс последовательного исключения переменных продолжается до тех пор, пока матрица системы не станет трапециевидной, как в нашем демо-примере.

Решение найдём "с конца" - это называется "обратный ход метода Гаусса". Для этого из последнего уравнения определим z:
hello_html_m4145083.png.
Подставив это значение в предшествующее уравнение, 
найдём y:
hello_html_m3c1d2e3a.png

Из первого уравнения найдём x:
hello_html_126d74fa.png

Итак, решение данной системы - hello_html_m6bf9c927.png.

Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера: в этом случае будет выдан то же ответ, если система имеет однозначное решение. Если же система имеет бесконечное множество решений, то таков будет и ответ, и это уже предмет следующего урока по методу Гаусса.

Пример решения методом Гаусса системы линейных уравнений 4 на 4

Перед нами вновь пример совместной и определённой системы линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Отличие от нашего демо-примера из алгоритма - здесь уже четыре уравнения и четыре неизвестных.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

hello_html_m753fb47b.png

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную hello_html_5ef7c3bf.png. Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на hello_html_m40fae792.png, к третьей строке - первую, умноженную на hello_html_38cdb382.png, к четвёртой - первую, умноженную на hello_html_m40fae792.png.

hello_html_m1d2c1a5c.png

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную hello_html_6eeeefe3.png из последующих уравнений. Проведём подготовительные работы. Чтобы было удобнее с отношением коэффициентов, нужно получить единицу в во втором столбце второй строки. Для этого из второй строки вычтем третью, а полученную в результате вторую строку умножим на -1.

hello_html_21582360.png

Проведём теперь собственно исключение переменной hello_html_6eeeefe3.png из третьего и четвёртого уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на hello_html_9fec0f.png, а к четвёртой - вторую, умноженную на hello_html_2a1be3ba.png.

hello_html_m3a4ffd63.png

Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную hello_html_ma49f43a.png из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на hello_html_6d395008.png. Получаем расширенную матрицу трапециевидной формы.

hello_html_4e4232a.png

Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

hello_html_m1e143f95.png

Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными. Искомое решение находим «с конца». Из четвёртого уравнения имеем

hello_html_m60e0b210.png.

Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем

hello_html_m3c1ba839.png,

откуда

hello_html_meee01ea.png.

Далее, подставляем значения hello_html_7376ab0e.png и hello_html_m14660a00.pngво второе уравнение системы:

hello_html_m22893e57.png,

т.е.

hello_html_1ea5d419.png.

Наконец, подстановка значений

hello_html_10cd12a2.png в первое уравнение даёт

hello_html_7dd77bd1.png,

откуда

hello_html_m7717e13c.png.

Итак, данная система уравнений имеет единственное решение hello_html_m1be3673c.png.

Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы

Системы линейных уравнений применяются для моделирования реальных объектов физического мира. Решим методом Гаусса одну из таких задач - на сплавы. Аналогичные задачи - задачи на смеси, стоимость или удельный вес отдельных товаров в группе товаров и тому подобные.

Пример 2. Три куска сплава имеют общую массу 150 кг. Первый сплав содержит 60% меди, второй - 30%, третий - 10%. При этом во втором и третьем сплавах вместе взятых меди на 28,4 кг меньше, чем в первом сплаве, а в третьем сплаве меди на 6,2 кг меньше, чем во втором. Найти массу каждого куска сплава.

Решение. Составляем систему линейных уравнений:

hello_html_6ea882c8.png

Умножаем второе и третье уравнения на 10, получаем эквивалентную систему линейных уравнений:

hello_html_2661e390.png

Составляем расширенную матрицу системы:

hello_html_m32a4ca18.png

Внимание, прямой ход метода Гаусса. Путём сложения (в нашем случае - вычитания) одной строки, умноженной на число (применяем два раза) с расширенной матрицей системы происходят следующие преобразования:

hello_html_8e8b95c.png

Прямой ход метода Гаусса завершился. Получили расширенную матрицу трапециевидной формы.

Применяем обратный ход метода Гаусса. Находим решение с конца. Видим, чтоhello_html_3a9edc1e.png.

Из второго уравнения находим

hello_html_m65535af8.png,

Из третьего уравнения -

hello_html_m244d6953.png.

Во многих прикладных задачах может и не быть третьего ограничения, то есть, третьего уравнения, тогда приходится решать методом Гаусса систему двух уравнений с тремя неизвестными, или же, наоборот - неизвестных меньше, чем уравнений.

О простоте метода говорит хотя бы тот факт, что немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу на его изобретение потребовалось лишь 15 минут. Кроме метода его имени из творчества Гаусса известно изречение "Не следует смешивать то, что нам кажется невероятным и неестественным, с абсолютно невозможным" - своего рода краткая инструкция по совершению открытий.

  1. Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными матричным методом.

Любую систему линейных уравнений можно представить в матричном виде, а затем решить её путём отыскания обратной матрицы к матрице системы.

Решение систем линейных уравнений матричным методом основано на следующем свойстве обратной матрицы: произведение обратной матрицы и исходной матрицы равно единичной матрице. Обратная матрица обозначается символом hello_html_1d7e7b82.png.

Пусть нужно решить систему линейных уравнений:

hello_html_2d8d45fb.png

Запишем эту систему уравнений в матричном виде:

hello_html_m14ee0ebd.png

Если обозначим отдельно матрицу коэффициентов при неизвестных, матрицу неизвестных и матрицу свободных членов

hello_html_m7bacf090.png,

тогда

hello_html_m4ed32efa.png

То есть, для нахождения решений системы нужно обе части уравнения умножить на матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных hello_html_1d7e7b82.png и приравнять соответствующие элементы полученных матриц.

Алгоритм решения системы линейных уравнений матричным методом разберём на следующем примере.

Пример 1. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

hello_html_377e836d.png

Решение состоит из следующих шагов.

Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

Матрица коэффициентов при неизвестных:

hello_html_3a2b047b.png

Матрица неизвестных:

hello_html_99df7d9.png

Матрица свободных членов:

hello_html_m292cdd57.png

Это сделано для того, чтобы применить в решении уже записанные закономерности, основанные на свойстве обратной матрицы:

hello_html_m4ed32efa.png

По выведенному выше последнему равенству и будем вычислять решения данной системы.

Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:

hello_html_22a981f1.png.

Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:

hello_html_74439fdf.png

Итак, получили решение:

hello_html_11826994.png.

Сделаем проверку:

hello_html_md2125e2.png

Следовательно, ответ правильный.

Для второго примера выберем систему линейных уравнений третьего порядка.

Пример 2. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

hello_html_m34152478.png

Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

Матрица коэффициентов при неизвестных:

hello_html_49811258.png

Матрица неизвестных:

hello_html_4ea5ffe9.png

Матрица свободных членов:

hello_html_m3bd59da7.png

Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:

hello_html_36f4c168.png.

Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:

hello_html_9cdede9.png

Итак, получили решение:

hello_html_m2dd249a3.png.

Сделаем проверку:

hello_html_56526f51.png

Следовательно, ответ правильный.


  1. Закрепление нового материала.

Свойства матриц и определителей широко применяют при решении системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:

hello_html_m35178811.png,

где х1, х2, х3 – переменные, а11, а12,…, а33 - числовые коэффициенты. Следует помнить, что при решении системы возможен один из трёх вариантов ответа:

1) система имеет единственное решение – (х1; х2; х3);

2) система имеет бесконечно много решений (не определена);

3) система не имеет решений (несовместна).

Рассмотрим решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера, который позволяет найти единственное решение системы, опираясь на умение вычислять определители третьего порядка:


hello_html_659175c3.pnghello_html_m78fed7c5.png

hello_html_15a9ffa0.png.

Пример 1. Найти решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными по формулам Крамера:

hello_html_701fd9d3.png

Решение. Находим определители третьего порядка, используя правило Сарруса или разложение по элементам первой строки:

hello_html_659175c3.pnghello_html_m78fed7c5.png

hello_html_18226321.pnghello_html_m5a61a4ea.png

Находим решение системы по формулам:

hello_html_15a9ffa0.png

hello_html_2c5810e4.png

Ответ: (- 152; 270; -254)


Решить систему методом Крамера, Гаусса или матричным методом:

1. hello_html_74f902c9.gif

2. hello_html_5c38f2f8.gif

3. hello_html_303d4128.gif

4. hello_html_3707fe08.gif

5. hello_html_m74bbbeee.gif

6. hello_html_m150b1c2e.gif

7. hello_html_m2b4db7e3.gif

8. hello_html_m4ba309c1.gif

9. hello_html_m4db59c69.gif

10. hello_html_49ffa88f.gif


  1. Итоги занятия.

Вопросы и задания для самооценки:

  1. Что называется матрицей?

  2. Правила вычисления определителей третьего порядка?

  3. Запишите формулы Крамера для решения системы трёх линейных уравнений с тремя переменными.

  4. Матричный метод решения систем линейных уравнений.

  5. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.


  1. Домашнее задание. Учить определения, составить опорную схему конспекта.

Задания для домашней работы:

I. Найти матрицу преобразования.

II. Вычислить определитель III порядка.

III. Решить систему тремя методами.


Вариант 1.

1. C =A+4B, если hello_html_m39a5fd7d.gif, hello_html_mdcad738.gif. 2. hello_html_m11d8a8d7.gif.

3. hello_html_maf31774.gif


Вариант 2.

1. C =4A+B, если hello_html_m39a5fd7d.gif, hello_html_mdcad738.gif. 2. hello_html_m6714106d.gif.

3. hello_html_m2b4db7e3.gif


Вариант 3.

1. C =A+3B, если hello_html_m39a5fd7d.gif, hello_html_mdcad738.gif. 2. hello_html_3b628e0b.gif.

3. hello_html_40bbf311.gif

Вариант 4.

1. C =2A - B, если hello_html_m39a5fd7d.gif, hello_html_mdcad738.gif. 2. hello_html_m72bc1f37.gif.

3. hello_html_2cd0028d.gif

Вариант 5.

1. C =3A +B, если hello_html_m39a5fd7d.gif, hello_html_mdcad738.gif. 2. hello_html_m47b9f1b.gif.

3. hello_html_409bcce3.gif


  1. Рефлексия.

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…


32


Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ лекция 3. агрономы. 2 курс.docx

Агрономы Лекция № 3

Тема: 2.1 «Дифференциальное и интегральное исчисление».

Тип занятия: Занятие овладения новыми знаниями.

Вид занятия: Аудиторное лекционное занятие № 3

Цель занятия:

Образовательные: обобщить и систематизировать знания и умения обучающихся по дифференциальному и интегральному исчислению

Развивающие:

- способствовать развитию умений анализировать, устанавливать связи, причины и следствия;

- предвидеть возможные ошибки и способы их устранения;

- способствовать повышению концентрации внимания, развитию памяти и речи.

Воспитательные:

- способствовать развитию интереса к предмету «Математика»;

- способствовать развитию самостоятельности мышления;

- в целях решения задач эстетического воспитания содействовать в ходе урока опрятному и грамотному построению графиков функций.

Методы обучения: Лекция объяснительно – иллюстрированная.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, презентация, дидактический материал, школьная доска.

Планируемый результат:

Предметные:

Студент знает: применение пределов функций, применение производных функции, применение интеграла.

Умеет:

- использовать алгоритмы, свойства основные теоремы для отыскания пределов функции;

- использовать алгоритмы, свойства основные теоремы для отыскания производных функции и знать применение производной к исследованию функции и решению задач (геометрический и механический смысл производной);

- использовать алгоритмы, свойства основные теоремы для отыскания определенных и неопределенных интегралов, знать геометрическое применение определенного интеграла (площадь криволинейной трапеции);

- уметь четко и ясно излагать свои мысли, анализировать, делать выводы.

Личностные УУД: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении геометрических задач.

Регулятивные УУД: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Познавательные УУД: имеют первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов; умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и формулировать выводы.

Коммуникативные УУД: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Структура занятия:

  1. Организационные моменты. Мотивация учебной деятельности.

  2. Актуализация умений и навыков обучающихся.

  1. Повторение и обобщение изученного материала.

  2. Закрепление изученного материала.

  3. Подведение итогов занятия.

  1. Домашнее задание.

  2. Рефлексия.

  3. Самостоятельная работа.


Подробный конспект занятия.

  1. Организационные моменты. Мотивация учебной деятельности студентов по теме.

Сообщение темы и целей занятия. Отчет старосты группы о посещаемости студентами лекции.


  1. Актуализация знаний и умений обучающихся.

  1. Проверка выполнения домашней работы. (Разобрать задания, с которыми возникли трудности).

  2. Проверка теоретических сведений по «Основам линейной алгебры».

  1. Понятие матрицы.

  2. Действия над матрицами

  3. Определители матрицы. Их свойства

  4. Минор. Алгебраическое дополнение. Обратная матрица

  5. Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и способы их решения.

  6. Применение матриц в практической деятельности.


  1. Повторение и обобщение изученного материала.

Повторение и обобщение изученного материала по теме «Дифференциальное и интегральное исчисление» по плану:

  1. Функция одной переменной. Пределы

  2. Непрерывность функции

  3. Производная, геометрический смысл

  4. Исследование функций с помощью производной

  5. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование. Замена переменной

  6. Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла

  7. Функция нескольких переменных. Применение интеграла к решению прикладных задач


  1. Функция одной переменной. Пределы

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a. Предположим, что независимая переменная x неограниченно приближается к числу a. Это означает, что мы можем придавать х значения сколь угодно близкие к a, но не равные a. Будем обозначать это так x → a. Для таких x найдем соответствующие значения функции. Может случиться, что значения f(x)также неограниченно приближаются к некоторому числу b. Тогда говорят, что число b есть предел функции f(x) при x → a.

Введем строгое определение предела функции.

Функция y=f(x) стремится к пределу b при x → a, если для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число δ, что при всех x ≠ a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x - a| < δ, имеет место неравенство |f(x) - b| < ε. Если b есть предел функции f(x) при x → a, то пишут hello_html_3a4d4c57.gif или f(x) → b при x → a.

Проиллюстрируем это определение на графике функции. Т.к. из неравенства |x - a| < δ должно следовать неравенство |f(x) - b| < ε, т.е. при x Î (a - δ, a + δ) соответствующие значения функции f(x) Î (b - ε, b + ε), то, взяв произвольное ε > 0, мы можем подобрать такое число δ, что для всех точек x, лежащих в δ – окрестности точки a, соответствующие точки графика функции должны лежать внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми y = b – ε и y = b + ε.

Несложно заметить, что предел функции должен обладать теми же свойствами, что и предел числовой последовательности, а именно hello_html_m7a844324.gifи если при x → a функция имеет предел, то он единственный.


hello_html_m6a7d3124.gif

hello_html_m45870640.gif

hello_html_3ac5536f.gif

hello_html_bf92cf3.gif

Примеры.

  1. Найти предел функции y=2x+1 при x → 1. Используя график функции, можно увидеть, что если x → 1 с любой стороны, то соответствующие точки M(x, y) графика стремятся к точке M(1, 3), т.е. можно предположить, что hello_html_m4ecfd604.gif. Докажем это. Зададим произвольное число ε > 0. Нам нужно, чтобы выполнялось неравенство |(2x+1) – 3|<ε или |2x–2| < ε, откуда |x– 1| < ε. Таким образом, если положить δ = ε/2, то при всех x, удовлетворяющих неравенству |x– 1|<δ, будет выполняться неравенство |y – 3| < ε. По определению предела это и означает, что 3 есть предел функции y=2x+1 при x → 1.

  2. Найти предел функции y=ex+1 при x → 0.

Используя график заданной функции, несложно заметить, hello_html_58dd0c0a.gif.

ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

hello_html_5dbb1819.gif.

Пример. hello_html_m44b80596.gif.

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

hello_html_316c4ae7.gif.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

hello_html_226ee18c.gif.

Следствие 2. Предел степени равен степени предела:

hello_html_4f53034d.gif.

Пример.hello_html_dd0941e.gif.

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

hello_html_58ece454.gif.

Примеры.

  1. hello_html_e9b99e9.gif.

  2. hello_html_m70c9ec47.gif.

  3. Рассмотрим hello_html_m6e2f9fe1.gif. При x→1 числитель дроби стремится к 1, а знаменатель стремится к 0. Но так как hello_html_m5999a274.gif, т.е. hello_html_22b6e7fd.gifесть бесконечно малая функция при x→1, то hello_html_7279189d.gif.

Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x), удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤ v(x). Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→a (или x→∞), то и функция f(x)стремится к тому же пределу, т.е. еслиhello_html_m1fa8a3ea.gif

hello_html_5c454dc4.gif, то hello_html_3e68abe0.gif.

Смысл этой теоремы понятен из рисунка.

Теорема 5. Если при x→a (или x→∞) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b≥0.

Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы hello_html_m7c63e9aa.gif, то имеет место неравенство b≥c.


ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ

Довольно часто можно встретить функции, которые не имеют предела в заданной точке, но они имеют предел, если x→a, оставаясь с одной стороны от а, слева или справа (см. рис.). Поэтому вводят понятия односторонних пределов.hello_html_m59f26a81.gif

Если f(x) стремится к пределу b при x, стремящемся к некоторому числу a так, что x принимает только значения, меньшие a, то пишут hello_html_d41e0a7.gifи называют  b пределом функции f(x) в точке a слева.

Таким образом, число b называется пределом функции y=f(x) при x→a слева, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число δ (меньшее a), что для всех hello_html_m52e68dcf.gifвыполняется неравенство hello_html_50f61772.gif.

Аналогично, если x→a и принимает значения большие a, то пишут hello_html_39da83e0.gifи называют b пределом функции в точке а справа. Т.е. число b называется пределом функции y=f(x) при x→a справа, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число δ (большее а), что для всех hello_html_m2bcf3f38.gifвыполняется неравенство hello_html_50f61772.gif.

Заметим, что если пределы слева и справа в точке a для функции f(x) не совпадают, то функция не имеет предела (двустороннего) в точке а.

Примеры.

  1. Рассмотрим функцию y=f(x), определенную на отрезке [0,1] следующим образомhello_html_m3bbb093e.gif

hello_html_m70d663e8.gif

Найдем пределы функции f(x) при x→3. Очевидно, hello_html_77d45920.gif, а hello_html_f4ec5c3.gif.

  1. hello_html_7604e202.gif

  2. hello_html_m13570a6a.gif.

  3. hello_html_7abaa363.gif.

ТИПЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

И СПОСОБЫ ИХ РАСКРЫТИЯ

Часто при вычислении пределов какой-либо функции, непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем.

Условные выражения

hello_html_353e9a3e.gif

характеризуют типы неопределенностей и применяются для обозначения переменных величин, при вычислении предела которых нельзя сразу применять общие свойства пределов.

Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей.

I. Неопределенность hello_html_m680080b5.gif.

  1. hello_html_m3150935b.gif.

  2. hello_html_5cdaf1d6.gif.

При разложении числителя на множители воспользовались правилом деления многочлена на многочлен «углом». Так как числоx=1 является корнем многочлена x3 – 6x2 + 11x– 6, то при делении получим

hello_html_5ebc09b1.gif

  1. hello_html_38fc98c.gif

  2. hello_html_2915c870.gif

  3. hello_html_48821fa9.gif.

II. Неопределенность hello_html_34bbe1fb.gif.

  1. hello_html_m5b746a76.gif.

При вычислении предела числитель и знаменатель данной дроби разделили на x в старшей степени.

  1. hello_html_m680a9d15.gif.

  2. hello_html_m135523b1.gif.

  3. hello_html_m239afb29.gif.

При вычислении предела воспользовались равенством hello_html_7775663c.gif,если x<0.

Следующие виды неопределенностей с помощью алгебраических преобразований функции, стоящей под знаком предела, сводят к одному из рассмотренных выше случаев hello_html_m680080b5.gifили hello_html_34bbe1fb.gif.

III. Неопределенность 0 ·∞.

hello_html_m21dd0df6.gif.

IV. Неопределенность ∞ –∞.

  1. hello_html_m4847bb89.gif

  2. hello_html_209a9262.gif

  3. hello_html_b9f3d76.gif.

Замечательные пределы

hello_html_1b139bf0.gif

Функция hello_html_789694af.gif не определена при x=0, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. График функции изображен на рисунке.

Однако, можно найти предел этой функции при х→0.

hello_html_4a58d0a1.gif

Выведенная формула и называется первым замечательным пределом.

Таким образом, первый замечательный предел служит для раскрытия неопределенности hello_html_m680080b5.gif. Заметим, что полученную формулу не следует путать с пределами hello_html_4d6f0716.gif.

Примеры.

  1. hello_html_m4b912239.gif.

  2. hello_html_m2da88e7c.gif.

  3. hello_html_m1a6851fe.gif.

  4. hello_html_383b3f9b.gif.

  5. hello_html_69d4feff.gif


Второй замечательный предел служит для раскрытия неопределенности 1 и выглядит следующим образом

hello_html_m24da7341.gif

Обратим внимание на то, что в формуле для второго замечательного предела в показателе степени должно стоять выражение, обратное тому, которое прибавляется к единице в основании (так как в этом случае можно ввести замену переменных и свести искомый предел ко второму замечательному пределу).

Примеры.

  1. hello_html_651d2099.gif.

  2. hello_html_m61ed624d.gif.

  3. hello_html_m23adb118.gif.

  4. hello_html_498655df.gif.

  5. hello_html_2b1f912a.gif.

  6. hello_html_m2b86bd83.gif.

  1. Непрерывность функции


Понятие непрерывности функции в точке

Определение

Функция hello_html_6315f020.gif называется непрерывной в точке hello_html_m612b3988.gif, если:

1) функция hello_html_6315f020.gif определена в точке hello_html_m612b3988.gif и ее окрестности;

2) существует конечный предел функции hello_html_6315f020.gif в точке hello_html_m612b3988.gif;

этот предел равен значению функции в точке hello_html_m612b3988.gif, т.е. hello_html_m594c3539.gif

Замечание

При нахождении предела функции hello_html_m257988e4.gif, которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть

hello_html_3586d119.gif

Непрерывность функции на промежутке

Определение

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Функция hello_html_6315f020.gif называется непрерывной справа в точке hello_html_m612b3988.gif, если hello_html_m33747962.gif.

Функция hello_html_6315f020.gif называется непрерывной слева в точке hello_html_m612b3988.gif, если hello_html_6d24a479.gif.

Функция hello_html_m257988e4.gif называется непрерывной в интервале hello_html_5706af2e.gif, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция hello_html_m257988e4.gif называется непрерывной на отрезке hello_html_m4a201e21.gif, если она является непрерывной в интервале hello_html_5706af2e.gif, непрерывной справа в точке hello_html_m612b3988.gif, то есть hello_html_33a36de6.gif и непрерывной слева в точке hello_html_3b4898c5.gif, то есть hello_html_m4487a3b.gif.

Свойства функций непрерывных на отрезке:

1. Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.

Непрерывная на отрезке hello_html_m4a201e21.gif функция является ограниченной на этом отрезке.

2. Теорема Больцано-Коши. Если функция hello_html_m257988e4.gif является непрерывной на отрезке hello_html_m4a201e21.gif и принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть hello_html_57ae440c.gif, hello_html_m1df89ac0.gif, то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения между hello_html_m2d711207.gif и hello_html_1d78f9ec.gif.

Если функция hello_html_m257988e4.gif, которая непрерывна на некотором отрезке hello_html_m4a201e21.gif, принимает на концах отрезка значения разных знаков, то существует такая точка hello_html_406d4e29.gif такая, что hello_html_3e7d58ff.gif.

Полезные теоремы о непрерывности функции

Теорема

Если функции hello_html_6315f020.gif и hello_html_m942f953.gif непрерывны в точке hello_html_m612b3988.gif, то функции hello_html_2d0a0f5.gif,hello_html_m5d10bcc9.gif, hello_html_m748db39.gifтакже непрерывны в точке hello_html_m612b3988.gif.

Пусть функция hello_html_6d005e9c.gif задана на множестве hello_html_1f96b70e.gif, а hello_html_f846d12.gif - множество значений этой функции. Пусть на множестве hello_html_f846d12.gif задана функция hello_html_m5c53ffa.gif. Тогда говорят, что на множестве hello_html_1f96b70e.gif задана композиция функций (или сложная функция)hello_html_29e864f6.gif.

Теорема

Пусть функция hello_html_6d005e9c.gif непрерывна в точке hello_html_m612b3988.gif, а функция hello_html_m5c53ffa.gif непрерывна в точке hello_html_m1dac1f0a.gif. Тогда композиция функций hello_html_29e864f6.gifнепрерывна в точке hello_html_m612b3988.gif.

Теорема

Каждая элементарная функция, заданная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.

Приращение аргумента и функции

Рассмотрим функцию hello_html_m257988e4.gif, которая определена в некотором интервале hello_html_5706af2e.gif и рассмотрим произвольную точку hello_html_m6f626efa.gif из этого интервала: hello_html_2c714ecb.gif.

Определение

Приращением аргумента hello_html_m482df615.gif в точке hello_html_m6f626efa.gif называется разность hello_html_fd1d6b5.gif

Замечание. Из последнего равенства легко увидеть, что hello_html_m2d753007.gif.

Приращением функции hello_html_m3753f4b3.gif в точке hello_html_m6f626efa.gif называется разность соответствующих значений функции hello_html_6b07f78f.gif или, используя равенство из выше приведенного замечания, будем иметь:

hello_html_m768f37e4.gif

Теорема

Функция hello_html_6315f020.gif непрерывна в точке hello_html_m612b3988.gif тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента hello_html_m461c5ad7.gif соответствует бесконечно малое приращение функции hello_html_3e998313.gif:

hello_html_m6b41ae51.gif

Точки разрыва функции и их классификация

Определение

Точка hello_html_m612b3988.gif, в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

1) функция hello_html_6315f020.gif определена в точке и ее окрестности;

2) существует конечный предел функции hello_html_6315f020.gif в точке hello_html_m612b3988.gif;

это предел равен значению функции в точке hello_html_m612b3988.gif, т.е. hello_html_m594c3539.gif

называется точкой разрыва функции.

Точка разрыва первого рода

Определение

Если в точке hello_html_m612b3988.gif существуют конечные пределы hello_html_m2d9378a4.gif и hello_html_78355e5d.gif, такие, что hello_html_m1fc6c192.gif, то точка hello_html_m612b3988.gif называется точкой разрыва первого рода.

Точка разрыва второго рода

Определение

Если хотя бы один из пределов hello_html_m2d9378a4.gif или hello_html_78355e5d.gif не существует или равен бесконечности, то точка hello_html_m612b3988.gif называется точкой разрыва второго рода.

Точка устранимого разрыва

Определение

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции hello_html_6315f020.gif в точке hello_html_m612b3988.gif:hello_html_6c86276c.gif или функция hello_html_6315f020.gif не определена в точке hello_html_m612b3988.gif, то точка hello_html_m612b3988.gif называется точкой устранимого разрыва.

Замечание

При нахождении предела функции hello_html_m257988e4.gif, которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть

hello_html_3586d119.gif


  1. Производная, геометрический смысл

Пусть функция y=f(x) определена на промежутке [a;b]. Точка x [a;b]. В точке x функция y=f(x) имеет значение f(x).Точка (x+x)[a;b]. В точке (x+x) функция y=f(x) имеет значение f(x+x). Разность (x+∆х – x) - приращение аргумента. Обозначается x.

Разность f(x+x) – f(x)- приращение функции. Обозначается y, т.е.hello_html_mf64f8a6.png

y = f(x+x) – f(x).

Составим отношение

hello_html_1cec13dc.png.

Если x 0, то

hello_html_m5c169e22.png.

Этот предел называется производной функции y=f(x) в точке x.

Определение: Производной функции y=f(x) в точке x называется предел отношения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю. Обозначают производную : f'(x) или hello_html_3b34cb24.pngили hello_html_6071cfb6.png. Обычно, если данная функция обозначена буквой у, то ее производная может быть обозначена у', читать: «производная функции у» или hello_html_3b34cb24.png, читать: «производная функции у по х». Если данная функция обозначена символом f(x), то ее производная может быть обозначена f '(х), читать: «производная функции f(x)».

hello_html_77595bc5.png

Определение: Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Функция y=f(x), которая имеет производную в точке x, называется дифференцируемой в этой точке. Функция y=f(x), которая имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Общее правило дифференцирования (нахождения производной) следующее:

1) найти приращение y функции, т. е. разность значений функции при значениях аргумента х+ ∆x и x;

2) найти отношение ∆y/∆x, для этого полученное выше равенство разделить на ∆x;

3) найти предел отношения ∆y/∆x при ∆x →0.

Пример 1. По определению найти производную функции hello_html_5db8bee2.gif в произвольной точке х.

Решение. Выбираем произвольную точку hello_html_29bba161.gif ; придаем приращение аргументу hello_html_55e90882.gif : hello_html_m68e380f8.gif ;

вычисляем приращение функции hello_html_m7ecb9146.gif , тогда

hello_html_m1adb98a9.gif .

Следовательно, hello_html_m133f1d7c.gif .

Пример 2Найти скорость равномерно ускоренного движения в произвольный момент времени t и в момент t = 2 сек., если зависимость пути от времени hello_html_m7718a9da.gif .

Решение. Выбираем произвольную точку hello_html_m330ef0dc.gif ; придаем приращение hello_html_m28ff552c.gif аргументу: hello_html_m7a3f0c81.gif . Вычисляем приращение функции:

hello_html_m555aa991.gif . Тогда скорость в произвольный момент времени будет равна

hello_html_m30f0b71.gif .

Скорость в момент времени t = 2 сек. соответственно будет

hello_html_m52add8e3.gif .

Вспомним основные правила дифференцирования:

1. Если hello_html_m41e4d48.gif то hello_html_e3bb532.gif .

2. Если hello_html_m2ec301ef.gif и hello_html_41702dac.gif – дифференцируемые функции, то

hello_html_7c88d0b1.gif .

3. Если hello_html_m2ec301ef.gif и hello_html_41702dac.gif – дифференцируемые функции, то

hello_html_m2b2a9997.gif .

Следствие. Если hello_html_7c32564c.gif , то hello_html_m11cbcab6.gif .

4. Если hello_html_m2ec301ef.gif и hello_html_41702dac.gif – дифференцируемые функции и hello_html_3174350c.gif , то

hello_html_45c3e914.gif .

Следствие. Если hello_html_7dd8555d.gif , то hello_html_m5cf93565.gif .

5. Если hello_html_m2e49913a.gif , то hello_html_m264b69e0.gif .

6. Если hello_html_m13cb7180.gif – есть функция обратная к hello_html_m635bb4a1.gif , то hello_html_m5882ab02.gif , где hello_html_m1baf7a2b.gif и hello_html_3b804381.gif .

Для удобства нахождения производных составим таблицу основных производных.

Пусть hello_html_me46bc4c.gif - дифференцируемая функция, тогда

1. hello_html_m657a5504.gif;

2. hello_html_m5dc09b2d.gif;

3. hello_html_ma714735.gif;

4. hello_html_7cccb6d.gif;

5. hello_html_m3bfc4ca.gif;

6. hello_html_mf9e6ce9.gif ;

7. hello_html_m61418355.gif ;

8. hello_html_m30a669da.gif ;

9. hello_html_48e62c72.gif

10. hello_html_44ee1fd1.gif ;

11. hello_html_44776efe.gif ;

12. hello_html_6280245a.gif ;

13. hello_html_72faf0ff.gif .

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

hello_html_m6b14eb1a.png

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

hello_html_59de9acb.png

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается hello_html_m6f127d88.png.

Покажем, как найти hello_html_m6f127d88.png с помощью графика.

hello_html_m68f37283.png

Нарисован график некоторой функции hello_html_m6f4e2f8d.png. Возьмем на нем точку hello_html_m5f1420e6.png с абсциссой hello_html_3f843025.png. Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Производная функции hello_html_m7c3f211f.png в точке hello_html_3f843025.png равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

hello_html_4de08d58.png

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси hello_html_243dc0f0.png.

Иногда обучающиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем hello_html_4e31d030.png. Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника hello_html_4edacfaa.png:

hello_html_m129ef647.png

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

hello_html_m7357c5b5.png.

Величина hello_html_m4c1243e6.png в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси hello_html_d2240b9.png.

hello_html_4e31d030.png.

Мы получаем, что

hello_html_663a951f.png

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке hello_html_3f843025.png равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Геометрический и механический смысл производной

С вычислением производной мы сталкиваемся всякий раз, когда требуется определить скорость изменения одной величины - функции в зависимости от изменения другой величины - независимой переменной.

Определение

Средней скоростью изменения функции hello_html_4336ddd6.png при переходе независимой переменной от значения hello_html_m4274203d.png к значению hello_html_m57b56b83.png называется отношение приращения hello_html_7eb2b204.png функции к приращению hello_html_m4564ffe3.png независимой переменной, то есть

hello_html_2c0792d3.png

Определение

Истинной или мгновенной скоростью изменения функции hello_html_4336ddd6.png при заданном значении независимой переменной hello_html_m4274203d.png называется предел, к которому стремится средняя скорость изменения функции при стремлению к нулю приращения аргумента hello_html_m4564ffe3.png:

hello_html_165d7b15.png

Механический смысл производной

Теорема

(Механический смысл производной)

Пусть задан путь hello_html_22a8a0bf.png движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени hello_html_53865490.png есть производная от пути hello_html_m1885f01c.png по времени hello_html_53865490.png:

Задание. Тело движется прямолинейно по закону hello_html_m5ebffb1d.png (м). Определить скорость его движения в момент hello_html_m39c7a355.png с.

Решение. Искомая скорость - это производная от пути, то есть

hello_html_1e2934ad.png

hello_html_m54c18cc.png

В заданный момент времени

hello_html_56b3b88d.png (м/с).

Ответ. hello_html_4e77123d.png (м/с).

Геометрический смысл производной

Производная функции hello_html_4336ddd6.png, вычисленная при заданном значении hello_html_m4274203d.png, равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси hello_html_m536a9fef.png и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой hello_html_m4274203d.png:

hello_html_c01c39.png

hello_html_m50ec9f3f.png

Замечание

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функцииhello_html_4336ddd6.png в точке hello_html_5a9d166d.png .

hello_html_m4a005e5c.png

Пример

Задание. На рисунке №1 изображен график функции hello_html_4336ddd6.png и касательная к нему в точке с абсциссой hello_html_5a9d166d.png . Найти значение hello_html_m767ae139.png.

Решение. Из геометрического смысла производной получаем, что

hello_html_m49f78581.png

Найдем угол hello_html_72d05e6a.png. Рассмотрим треугольник hello_html_40327091.png - прямоугольный, равнобедренный. Тогдаhello_html_1eca0089.png, а значит

hello_html_ffdb204.png

А отсюда следует, что

hello_html_5bf4012e.png

Ответ. hello_html_66efe78a.png

Пусть функция y = f (x) на интервале (ab) имеет производную hello_html_63140728.gif, которая также является функцией от x. Назовём её производной первого порядка.
Если функция 
hello_html_m6a79cae3.gif дифференцируема, то её производная называется производной второго порядка и обозначается символами
hello_html_m44d0c422.gif или hello_html_m395234b9.gif. (3.26)
Производная от производной второго порядка, если она существует, называется 
производной третьего порядка и обозначается 
hello_html_m72450622.gif или hello_html_4ae5d4e8.gif. (3.27)
Производной любого 
n-го порядка, или n-й производной, называется производная от производной (n – 1)-го порядка:
hello_html_734e2c3a.gif или hello_html_2c48e25c.gif. (3.28)
Производные порядка выше первого называются 
производными высших порядков.
Рассмотрим физический смысл производной второго порядка. Пусть материальная точка 
M движется прямолинейно по закону S = S (t) со скоростью hello_html_m8ebd83d.gif, где t – время движения, S (t) – путь, пройденный за время t. Тогда за время Δt скорость hello_html_291aa83f.gif получит приращение hello_html_m6be08b73.gif. Отношение
hello_html_m7b376ac0.gif 
называется 
средним ускорением движения точки за время Δt. Предел этого отношения при hello_html_m6bbb3640.gif называется ускорением точки M в данный момент времени t и обозначается hello_html_m570369bb.gif:
hello_html_m106a61e8.gif.
Таким образом, вторая производная от пути по времени имеет 
физический смысл ускорения точки при её прямолинейном и неравномерном движении. Если же точка движется равномерно, т. е. с постоянной скоростью V (t) = const, то W (t) = hello_html_m79492315.gif.
З а м е ч а н и е. Производные 2-го порядка от функций, заданных неявно и параметрически, определяются аналогично как производные от производных 1-го порядка, но имеют гораздо более сложный вид.

ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть y = f(u), а uu(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента xy = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Областью определения функции y = f(u(x)) является либо вся область определения функции u=u(x) либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения функции yf(u).

Операция "функция от функции" может проводиться не один раз, а любое число раз.

Установим правило дифференцирования сложной функции.

Теорема. Если функция uu(x) имеет в некоторой точке x0 производную hello_html_2b174337.png и принимает в этой точке значение u0 = u(x0), а функция y= f(u) имеет в точке u0 производную y 'uf '(u0), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x0 тоже имеет производную, которая равна y 'xf '(u0u '(x0), где вместо u должно быть подставлено выражение uu(x).

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.

Доказательство. При фиксированном значении х0 будем иметь u0=u(x0), у0=f(u0). Для нового значения аргумента x0x:

Δuu(x0 + Δx) – u(x0), Δy=f(u0u) – f(u0).

Т.к. u – дифференцируема в точке x0, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx→0 Δu→0. Аналогично при Δu→0 Δy→0.

По условию hello_html_m3e8b377.png. Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δu→0)

hello_html_459ca3ee.png,

где α→0 при Δu→0, а, следовательно, и при Δx→0.

Перепишем это равенство в виде:

Δy= y 'uΔu+α·Δu.

Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx

hello_html_m5dbd6d8f.png.

По условию hello_html_3482318d.png. Поэтому, переходя к пределу при Δx→0, получим y 'xy 'u·u 'x . Теорема доказана.

Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней" функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" функции по независимой переменной.

Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y 'x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.

По доказанному правилу имеем y 'xy 'u·u 'x . Применяя эту же теорему для u 'x получаем hello_html_1fc8e474.png, т.е.

y 'x = y 'x· u 'v· v 'x = f 'u (uu 'v (vv 'x (x).

Примеры.

  1. y = sin x2. Тогда hello_html_m77b717e0.png.

  2. hello_html_89f6f22.png

  3. hello_html_31e726a.png

  4. hello_html_m21c3054c.png


Исследование функции и построение графика

Алгоритм исследования функции hello_html_45f47913.png и построения ее графика таков:

1. Находим область определения (D(f)) функции hello_html_45f47913.png.

2. Если область определения функции симметрична относительно нуля (то есть для любого значения hello_html_m686bb35.png из D(f) значение hello_html_m6de4c411.png также принадлежит области определения, то проверяем функцию на четность.

Если hello_html_78b8934a.png, то функция четная. (Примером четной функции является функция hello_html_m4768385.png)

Для нас важно, что график четной функции симметричен относительно оси OY.

Если hello_html_5d395f5c.png, то функция нечетная. (Примером нечетной функции является функция hello_html_m3a5d2a65.png)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Если функция является четной или нечетной, то мы можем построить часть ее графика для hello_html_1f1391f4.pnghello_html_12d5dff5.png,  а затем соответствующим образом отразить ее.

3. Находим точки пересечения графика с осями координат.

Находим нули функции - это точки пересечения графика функции hello_html_45f47913.png с осью абсцисс (OX).

Для этого мы решаем уравнение hello_html_m279fcdd4.png.

Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью ОХ.

Находим точку пересечения графика функции hello_html_45f47913.png с осью ординат (OY). Для этого ищем значение функции при hello_html_57f5f85c.png.

4. Находим промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых функция hello_html_45f47913.png сохраняет знак. Это нам потребуется для контроля правильности построения графика.

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции hello_html_45f47913.png, нам нужно решить неравенстваhello_html_5a025585.png hello_html_12d5dff5.png и hello_html_43db59.pnghello_html_12d5dff5.png.

5. Находим асимптоты графика функции.

6. Если функция периодическая, то находим период функции.

7. Исследуем функцию с помощью производной: находим промежутки возрастания и убывания функции, а также точки максимума и минимума.

Для этого мы следуем привычному алгоритму.

а) Находим производную hello_html_m4f558bb4.png

б) Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения hello_html_326a8808.png - это стационарные точки.

в) Находим промежутки знакопостоянства производной. Промежутки, на которых производная положительна, являются промежутками возрастания функции.

Промежутки, на которых производная отрицательна, являются промежутками убывания функции.

Точки, в которых производная меняет знак с плюса на минус, являются точками максимума.

Точки, в которых производная меняет знак с минуса на плюс, являются точками минимума.

8. И последний номер - точки перегибы и промежутки выпуклости и вогнутости.

Итак, давайте, для примера, исследуем функцию hello_html_m4663261a.png и построим ее график.

1. Найдем D(y).

hello_html_ma9d8f3f.pnghello_html_12d5dff5.png

hello_html_3a8ed03c.png

Сразу отметим, что при hello_html_m59a24ab7.png знаменатель дроби равен нулю, следовательно, прямые hello_html_788ae552.png и hello_html_30d53a82.png являются вертикальными асимптотами графика функции hello_html_m4663261a.png.

2. Исследуем функцию на четность. Область определения функции симметрична относительна нуля (мы выкололи две симметричные точки: hello_html_788ae552.png и hello_html_30d53a82.png)

hello_html_79326c6c.png

Получили, что hello_html_5d395f5c.png, следовательно, функция hello_html_m4663261a.png - нечетная, и график функции симметричен относительно начала координат.

3. Найдем точки пересечения с осями координат.

а) Точки пересечения с осью ОХ (y=0)

hello_html_89f3792.png

hello_html_57f5f85c.png

б) Точка пересечения с осью ОY (x=0)

hello_html_m4200d60b.png

График нашей функции проходит через начало координат.

4. Найдем промежутки знакопостоянства.

Решим неравенство hello_html_m7ac73aeb.png

Воспользуемся методом интервалов.

Найдем корни числителя и знаменателя, нанесем их на числовую ось и расставим знаки:

Корень числителя: hello_html_57f5f85c.png

Корни знаменателя: hello_html_788ae552.pnghello_html_30d53a82.png

Расставим знаки:

hello_html_57cd99bd.jpg

Итак, hello_html_5a025585.png hello_html_12d5dff5.png при hello_html_1ca48e5f.png и hello_html_4039362a.png

hello_html_43db59.png hello_html_12d5dff5.png при hello_html_m54e8bf7b.png и hello_html_m1aad277a.png

5. Найдем асимптоты графика функции hello_html_m4663261a.png.

Вертикальные асимптоты мы уже нашли в  п.1, это прямые hello_html_788ae552.png и hello_html_30d53a82.png.

Уравнение горизонтальной асимптоты функции hello_html_m4663261a.png имеет вид hello_html_m1c7f50a5.png, где

hello_html_b007d72.png.

Степень числителя дроби hello_html_2871aeaa.png на единицу больше степени знаменателя, поэтому hello_html_m894f1b9.pngне существует, и график функции hello_html_m4663261a.pnghello_html_12d5dff5.png не имеет горизонтальной асимптоты.

Попробуем найти наклонную асимптоту.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид hello_html_m6fc99f04.png.

Коэффициенты hello_html_m1159bfc8.png и hello_html_538a1ce2.png вычисляются следующим образом:

hello_html_2d0cef63.png

hello_html_50d47f2f.png

В нашем случае hello_html_373528d9.pnghello_html_m65775cbe.png.

hello_html_me040452.png (Степень знаменателя на единицу больше степени числителя).

То есть уравнение наклонной асимптоты имеет вид hello_html_2bb29154.png.

Нанесем асимптоты на координатную плоскость:

hello_html_2594dc66.jpg

6. Найдем промежутки возрастания-убывания функции hello_html_m4663261a.png и экстремумы.

а) Найдем производную функции hello_html_m4663261a.png

hello_html_7d1f178.pnghello_html_1c154a13.pnghello_html_532810d8.png

б) Приравняем производную к нулю:

hello_html_m78ea19bb.png

hello_html_m6ed41b98.png

hello_html_57f5f85c.png (корень четной кратности); hello_html_m379ceed2.pnghello_html_6122e1fd.png

Корни знаменателя -  hello_html_m59a24ab7.png - также корни четной кратности.

В корнях четной кратности производная знак не меняет.

в) Нанесем нули производной  и корни ее знаменателя на числовую ось, расставим знаки и найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания.

hello_html_2f1e72cc.jpg

Итак, мы нашли промежутки возрастания и убывания.

Найдем значение функции в точках экстремума:

hello_html_m5b65e1b4.png

hello_html_m6e3e41a8.png

hello_html_4c858bdc.png

hello_html_3463bf4b.png

Заметим, что, поскольку функция hello_html_2871aeaa.png нечетная, и мы нашли, что hello_html_m405176c9.png, мы могли бы сразу написать, что hello_html_m38edf633.png

Итак, отметим в нашей координатной плоскости точки минимума и максимума функции и точку пересечения графика функции с осями координат.

На рисунке ниже большими красными кружками обозначены точки, через которые проходит график функции.

hello_html_m1b6fe459.jpg

 

Теперь учтем промежутки возрастания-убывания и промежутки знакопостоянства функции (п. 4) и построим  ее график. Помним, что график функции не пересекает абсциссы, он лишь приближается к ним!

hello_html_70e62d04.jpg

После построения графика необходимо еще раз просмотреть все пункты исследования функции и проверить, соответствует ли полученный график всем пунктам.


  1. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование. Замена переменной

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачами, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей.

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении таких задач связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским. С помощью этого метода Евдокс доказал:

1. Площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров.

2. Объём конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же высоту и основание.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом и были доказаны такие вещи:

1. Вывод формулы площади круга.

2. Объем шара равен 2/3 объема цилиндра.

Все достижения были доказаны великими математиками с применением интегралов.

Символ введен Лейбницем в 1675 г. Этот знак является изменением латинской буквы S. Само слово «интеграл» придумано Бернулли в 1690 г. Оно происходит от латинского integro, которое переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Действительно, операция интегрирования обратная операции дифференцирования т.е. для того, чтобы проверить правильность нахождения интеграла необходимо продифференцировать ответ и получить подынтегральную функцию. Другими словами интегральное исчисление решает задачу: по заданной производной или дифференциалу неизвестной функции требуется определить эту функцию. Отсюда можно сделать вывод, который мы запишем в виде определения.

Определение 1: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на отрезке [a;b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство = f(x) или dF(x)=f(x)dx

Так, функция F(x) = xm является первообразной для f(x)=mxm-1, так как

(xm)=mxm-1.

Точно также функция F(x) =ln x есть первообразная для f(х)=, так как

(ln x)’=.


Признак постоянства функции:

Если F’(x)=0 на некотором промежутке I, то функция F – постоянна на этом промежутке, т.е. F(x)=C.

Все первообразные функции f можно записать в одну формулу, которую называют общим видом первообразных для функции f. Запишем это в виде теоремы.

Теорема: Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде F(x)+C, где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на промежутке I, C – произвольная постоянная.

Этому свойству можно придать геометрический смысл: графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Oy.

у






x

х

0


Три правила нахождения первообразных

Правило №1: Если F есть первообразная для функции f, а G – первообразная для g, то F+G – есть первообразная для f+g.


(F(x) + G(x))’ = F’(x) + G’(x) = f + g


Правило №2: Если F – первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf.

(kF)’ = kF’ = kf


Правило №3: Если F – первообразная для f, а k и b– постоянные (), то функция

- первообразная для f(kx+b).



Определение 2: Выражение F(x) + C, где C - произвольная постоянная, называют неопределенным интегралом и обозначают символом


Из определения имеем:

(1)

Неопределенный интеграл функции f(x), таким образом, представляет собой множество всех первообразных функций для f(x).

В равенстве (1) функцию f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dxподынтегральным выражением, переменную xпеременной интегрирования, слагаемое C - постоянной интегрирования.

Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Свойства неопределенного интеграла.

Опираясь на определение первообразной, легко доказать следующие свойства неопределенного интеграла

  1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть если = f(x), то



  1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению



  1. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная



  1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов




  1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть если a=const, то



Таблица простейших интегралов

1. ,(n -1)

2.


3.

4.


5.

6.


Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными. Отметим частный случай формулы 1:



Приведем еще одну очевидную формулу:


,

т. е. первообразная от функции, тождественно равной нулю, есть постоянная.


Непосредственное интегрирование – интегрирование с использованием таблицы неопределенных интегралов, основных свойств и тождественных преобразований подынтегральной функции.

Основные формулы интегрирования

  1. hello_html_f2c0d35.gif

  2. hello_html_126644e3.gif

  3. hello_html_f810922.gif

  4. hello_html_54525303.gif

  5. hello_html_6d376d9e.gif

  6. hello_html_33bbf391.gif

  7. hello_html_m26bbbe55.gif

  8. hello_html_m7610f764.gif

  9.  hello_html_45ec0ba9.gifcos x+ C

  10.  hello_html_a263ae9.gif sin x + C

  11. hello_html_m7a432943.gif= tgx + C

  12. hello_html_ccfc5df.gif

  13. hello_html_m34105343.gif

  14.  hello_html_m2040a778.gif ≠ -1, k ≠ 0

  15.  hello_html_m310e0cac.gifdx=hello_html_mb0546ab.gif ln(kx+b)+C, где khello_html_m18727b4c.gif

  16.  hello_html_3f2a6914.gifdx=hello_html_m5cd65ebd.gif+C, где khello_html_m18727b4c.gif

  17. hello_html_m7dcc052c.gifcos(kx+b)+C, где khello_html_m18727b4c.gif

  18. hello_html_m4991041c.gif=hello_html_m54d5b8d9.gif

  19.  hello_html_m657dd31f.gif dx=hello_html_5939b1b9.gif+C, где ahello_html_cdd194a.gif

  20.  hello_html_50e0e345.gif =hello_html_m536e4e48.gif arctghello_html_m2c6ee20e.gif+C, ahello_html_m18727b4c.gif

  21.  hello_html_acb5a19.gif hello_html_1352779e.gifln│hello_html_m5f7586f5.gif│+ C, ahello_html_m18727b4c.gif

  22.  hello_html_594a913f.gifdx=hello_html_m2c03bc28.gifC, ahello_html_m18727b4c.gif

  23.  hello_html_1c4e2efd.gif=hello_html_m12427b80.gif


  1.  hello_html_m32e081ff.gifhello_html_m4a266bb1.gif

  2.  hello_html_161560ae.gif=x ln xhello_html_m5c4b6626.gif C

  3.  hello_html_7e874b20.gif

Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.

Пример 1. hello_html_43d29351.gif

Пример 2. hello_html_m50ad6f02.gif

Пример 3.hello_html_m17673b0.gif

Это наиболее распространенный метод интегрирования сложной функции, состоящий в преобразовании интеграла с помощью перехода к другой переменной интегрирования.

Пример 4. Сначала приведем полное решение:

hello_html_m796ac878.png

Комментарии:

(1) Используем формулу квадрата суммы hello_html_26709664.png, избавляясь от степени.

(2) Вносим hello_html_m271c3e72.png в скобку, избавляясь от произведения.

(3) Используем свойства линейности интеграла (оба правила сразу).

(4) Превращаем интегралы по табличной формуле hello_html_da7f610.png.

(5) Упрощаем ответ. Здесь следует обратить внимание на обыкновенную неправильную дробь hello_html_502056c6.png – она несократима и в ответ входит именно в таком виде. Не нужно делить на калькуляторе hello_html_m72cdebb1.png! Не нужно представлять ее в виде hello_html_m20f78206.png!

Пример 5. Найти неопределенный интеграл hello_html_7d98d26.png.

Используя свойство неопределенного интеграла, вынесем за знак интеграла постоянную 2. Затем, выполняя элементарные математические преобразования, приведем подынтегральную функцию к степенному виду:

hello_html_3293c607.png.

Пример 6.

hello_html_m45b2400d.png.

Пример 7.

hello_html_2fdc8d1d.png+C

Замена переменной.

Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки. Сущность этого метода заключается в том, что путём введения новой переменной удаётся свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берётся непосредственно.

Алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки:

  1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).

  2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.

  3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.

  4. Производят замену под интегралом.

  5. Находят полученный интеграл.

  6. В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверять дифференцированием.

Рассмотрим примеры.

Примеры. Найти интегралы:

1) hello_html_m138c71f0.gif)4hello_html_40301172.gif

Введем подстановку:

hello_html_733f991a.gif 

Дифференцируя это равенство, имеем: hello_html_49289599.gif

Выразив отсюда , получим: . Подставив в данный интеграл вместо и их выражения, получим:


)4.


Найдите интегралы:

Пример 1 hello_html_m3a120ced.gif

Подстановка: cosx=t, -sinxdx = dt, hello_html_415ea65f.gif

Решение:hello_html_1f7df881.gif


Пример 2. ∫e-x3x2dx 

Подстановка:-x3=t, -3x2dx=dt, 

Решение: ∫e-x3x2dx=∫et(-1/3)dt=-1/3et+C=-1/3e-x3+C


Пример 3.hello_html_14e1e5f4.gif

Подстановка:1+sinx=t , cosxdx=dt ,

Решение: hello_html_m5cba2ddc.gif.


Пусть требуется найти неопределенный интеграл hello_html_m383f57d5.png. Сделаем замену в подынтегральном выражении, положив hello_html_25fc194c.png, где hello_html_477cc8ba.png — монотонная непрерывная функция, которая имеет непрерывную производную. Тогда hello_html_m1300d0bc.png. В этом случае имеет следующее равенство:

hello_html_m3eb21668.png

Этот способ часто бывает полезным в тех случаях, когда интеграл не может быть непосредственно преобразован к форме табличного интеграла.

Пример 4. Интеграл hello_html_62ab7290.png найдем подстановкой hello_html_m4a59844f.png. Тогда:
hello_html_5631e862.png
и hello_html_62ab7290.png=2hello_html_527b793d.pngdt=2et +C=2hello_html_m25e51444.png+C.

Во многих случаях нет необходимости записывать, какое выражение мы принимаем за новую переменную. Вычисления удобно располагать так, как указано в следующих примерах.

Пример 5.
hello_html_m74e11519.png .

Пример 6.

hello_html_1eab2031.png.


Пример 7.

hello_html_65f02cdd.png.


Пример 8.

hello_html_37757c8.png.

Пример 9.

hello_html_m141d9360.pngсделаем замену x = t6тогда

hello_html_7f3c120d.png

Метод интегрирования по частям.

  1. Метод интегрирования по частям основан на применении формулы дифференцирования произведения двух функций.

Теорема 2. Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке Х и пусть функция u(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежутке Х функция u(x)v(x) также имеет первообразную и справедлива формула


Эта формула называется формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Метод интегрирования по частям рекомендуется использовать для нахождения интегралов от функции

и т. д., где n, k – целые положительные постоянные, а также отыскание некоторых интегралов от функций, содержащих обратные тригонометрические и логарифмические функции. В качестве функции u(x) принимается функция которая дифференцированием упрощается или трансцендентные функции ln x, arctg x, arcsin x.

Пример 1.



Пример 2.




Пример 3.

х2 ех dх = u = х2 du = 2хdх = х2 ех - 2∫ хех dх =

dv = ех dх v = ∫ ех dх = ех


= u = х du = dх = х2 е2 – 2(хех - ∫ ех dх) = х2 ех – 2хех +

dv = ех dх v =∫ ех dх = ех


+ 2 ех + с = е22 – 2х + 2) + с

Пример 4.

х cosdх = u = х du = dх =

dv = cosdх v = ∫ cosdх = ½ sin

=

х

sin 2х - ∫

1

sin dх =

х

sin 2х +

1

сos 2х + с


  1. Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла. Геметрический смысл определенного интеграла

Понятие определенного интеграла

Пусть функция определена на отрезке , . Выполним следующие операции:

  1. разобьем отрезок точками на n частичных отрезков ;

  2. в каждом из частичных отрезков , выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке: ;

  3. найдем произведения , где – длина частичного отрезка , ;

  4. составим сумму

, (1)

которая называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке [а, b]. С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки , а высоты равны соответственно (рис. 1). Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка ;

  1. найдем предел интегральной суммы, когда .



Рис. 1


Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается .

Таким образом, .

В этом случае функция называется интегрируемой на . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования; отрезок называется промежутком интегрирования.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на отрезке задана непрерывная неотрицательная функция . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис. 2).



Рис. 2

Определенный интеграл от неотрицательной функции с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа – отрезками прямых и , снизу – отрезком оси Ох.

Основные свойства определенного интеграла

  1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: .

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

  1. Если , то, по определению, полагаем

  2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

  3. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

.

  1. Если функция интегрируема на и , то

.

  1. (теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка , такая, что .

Формула Ньютона–Лейбница

Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов.

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке и – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:

, (2)

которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность принято записывать следующим образом:

,

где символ называется знаком двойной подстановки.

Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:

.

Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую первообразную для подынтегральной функции ; на втором – находится разность значений этой первообразной на концах отрезка .

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. Для подынтегральной функции произвольная первообразная имеет вид . Так как в формуле Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную, то для вычисления ин-
теграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид: . Тогда .

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем:

.

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 3. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда, если: 1) функция и ее производная непрерывны при ; 2) множеством значений функции при является отрезок ; 3) , , то справедлива формула

, (3)

которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Заметим, что как и в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования и (для этого надо решить относительно переменной t уравнения и ).

На практике часто вместо подстановки используют подстановку . В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается: , .

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение. Введем новую переменную по формуле . Определим и . Возведя в квадрат обе части равенства , получим , откуда . Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу подставим старые пределы и . Получим: , откуда и, следовательно, ; , откуда и, следовательно, . Таким образом:



.

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Положим , откуда , . Найдем новые пределы интегрирования: если , то ; если , то . Значит, . Следовательно:


.


Пример 5. Вычислить интеграл .

Решение. Положим , тогда , откуда . Находим новые пределы интегрирования: ; . Имеем: . Следовательно:



.

Интегрирование по частям

Теорема 4. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям:


. (4)

Пример 6. Вычислить .

Решение. Положим , отсюда . По формуле (4) находим


.

Пример 7. Вычислить .

Решение. Пусть , тогда . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем



.

Пример 8. Вычислить .

Решение. Полагая , определяем . Следовательно:


[к полученному интегралу снова применяем формулу интегрирования по частям: ; следовательно: ] = =

.



  1. Закрепление изученного материала.


  1. Вычислить предел функции, используя свойства пределов, первый и второй замечательные пределы.

  1. Вычислить предел функции:

.

  1. Вычислить предел функции:

.

  1. Вычислить предел функции:

.

  1. Вычислить предел функции:

.

  1. Исследовать функцию с помощью производной и построить график функции.

Исследовать функцию на непрерывность в точке .

  1. Найти производную функции, аргументировать применение геометрического и физического смысла производной.

  1. Найти производную функции .

  2. Найти производную третьего порядка функции .

  3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , .

  4. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

  1. Используйте правила дифференцирования сложной функции, таблицу дифференцирования.

а)

б)

в)

г)

д)


  1. Используя свойства интегралов, различные методы интегрирования, найти интегралы.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

н)

о)

п)

р)

с)

т)

у)

ф)



Решение:


а) Найдем интеграл, применив свойства неопределенного интеграла и формулы (1) и (2) табличного интегрирования:


Интегралы (б – л) решим методом замены переменной.


б)

{для нахождения интеграла применим формулу (2)}



в)

{для нахождения интеграла применим формулу (12)}



г)

{для нахождения интеграла применим формулу (4)}



д)

{для нахождения интеграла применим формулу (2)}




е)

{для нахождения интеграла применим формулу (5)}



ж)

{для нахождения интеграла применим формулу (8)}



з)

{для нахождения интеграла применим формулу (10)}



и)

{для нахождения интеграла применим формулу (9)}



к)

{для нахождения интеграла применим формулу (3)}



л)

{для нахождения интеграла применим формулу (7)}



Найдем интегралы (м – н) методом интегрирования по частям,

используя формулу (13):


м)


{для нахождения интеграла применим формулу (6)}


н)

{второе слагаемое вычислим с помощью замены, применив формулу (2)}

в итоге получаем


о) .

Под знаком интеграла правильная рациональная дробь. Разложим её на простейшие дроби:



Перейдем к равенству числителей:

.

Отсюда следует, что

Тогда

Интегрируя почленно полученное равенство и применяя свойства неопределённого интеграла, получим:


{для нахождения интегралов применим формулу (3)}



п) .

Под знаком интеграла неправильная рациональная дробь. Выделим целую часть этой дроби путем деления числителя на знаменатель:

Выделим полный квадрат в знаменателе правильной рациональной дроби:


Возвращаясь к исходному интегралы, получим:

{для нахождения первых трёх интегралов применим формулу (2), для четвёртого – формулу (1), последний интеграл найдем c помощью формулы (7)}


р) .

Найдем интеграл используя универсальную тригонометрическую подстановку:

.

Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:


Перейдем к равенству числителей:

.

Отсюда следует, что


Тогда .

Интегрируя почленно полученное равенство, получим::


{для нахождения интегралов применим формулу (3)}



с) .

Произведем замену:

Получим:

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей и есть 4, поэтому введем следующую замену:

{для нахождения интегралов применим формулы (1) и (3)}



т) .

Найдем интеграл, используя формулу тригонометрических преобразований

Интегрируя почленно полученное равенство и применяя формулу (6), получим:




у)



{для нахождения интегралов применим формулы (1) и (6)}

;


ф)


{для нахождения интеграла применим формулу (7)}




  1. Подведение итогов занятия.

Преподаватель подводит итоги, оценивает работу, выставляет отметки.


  1. Домашнее задание:

  1. Вычислить предел функции, используя свойства пределов, первый и второй замечательные пределы.


Вариант 1

  1. Вычислить предел функции:

.

  1. Вычислить предел функции:

.

  1. Вычислить предел функции:

.

  1. Вычислить предел функции:

.

Вариант 2

  1. Вычислить предел функции:

.

  1. Вычислить предел функции:

.

  1. Вычислить предел функции:

.

  1. Вычислить предел функции:

.

  1. Исследовать функцию с помощью производной и построить график функции.

  2. Вариант 1

  3. Исследовать функцию на непрерывность в точке .

  4. Вариант 2

  5. Исследовать функцию на непрерывность в точке .

  6. Найти производную функции, аргументировать применение геометрического и физического смысла производной.

  7. Вариант 1

  1. Найти производную функции .

  2. Найти производную третьего порядка функции .

  3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , .

  4. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

  1. Вариант 2

  1. Найти производную функции .

  2. Найти производную третьего порядка функции .

  3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , .

  4. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

  1. 4. Используйте правила дифференцирования, свойства геометрического и физического смысла производной, применение производной к исследованию функций основных элементарных функций:

  2. Вариант 1.

  3. 1.Найдите производную f’(x) если:

  4. а) б)

  5. 2.Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функций:

  6. в точке с абсциссой

  7. 3.Напишите уравнение касательной к графику функции:

  8. в точке (

  9. 4.Решить задачу:

  10. Найдите скорость и ускорение в указанные моменты времени для точки, движущейся прямолинейно, если движение точки задано уравнением:

  11. S = t3 + 5t2 + 4, t = 2

  12. 5.Найти промежутки монотонности функции

  13. 6.Найти точки экстремума функции

  14. 7.Найти наибольшее и наименьшее значение функции

  15. x

  16. 8.Найти точки перегиба, промежутки выпуклости кривой

  17. Вариант 2.

  18. 1.Найдите производную f’(x) если:

  19. а) б)

  20. 2.Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функций:

  21. в точке с абсциссой

  22. 3.Напишите уравнение касательной к графику функции:

  23. в точке (

  24. 4.Решить задачу:

  25. Найдите скорость и ускорение в указанные моменты времени для точки, движущейся прямолинейно, если движение точки задано уравнением:

  26. S = , t = 1

  27. 5.Найти промежутки монотонности функции

  28. 6.Найти точки экстремума функции

  29. 7.Найти наибольшее и наименьшее значение функции

  30. x

  31. 8.Найти точки перегиба, промежутки выпуклости кривой

  1. Используйте правила дифференцирования сложной функции, таблицу дифференцирования.

Варианта

  1. Найти производные

  1. варианта

  1. Найти производные

  1. 1

  1. а)

  2. б)

  3. в)

  4. г)

  5. д)

  1. 2

  1. а)

  2. б)

  3. в)

  4. г)

  5. д)

  1. Используя свойства интегралов, различные методы интегрирования, найти интегралы.

а)
  1. б)

  1. в)

  1. г)

  1. д)

  1. е)

  1. ж)

  1. з)

  1. и)

  1. к)

  1. л)

  1. м)

  1. н)

  1. о)

  1. п)

  1. р)

  1. с)

  1. т)

  1. у)

  1. ф)

  1. Рефлексия.

  1. Продолжи фразу

  2. 1. Я повторил …

  3. 2. Я узнал …

  4. 3. Я научился…

  5. 4. Я могу…

  6. Замечательно! Молодцы! С помощью новых знаний, вы справились с заданиями. Теперь мы можем сказать, что выполнили задачи, поставленные на уроке?

  1. Самостоятельная работа.

  1. Производная, ее геометрический смысл. Непрерывность функции. Асимптоты. Неопределенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла.

  2. Выполнить домашнее задание в виде контрольной работы по данной теме.

  3. Список литературы:

  1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб. для вузов: в 3т.-5-е изд., стер. - М.: Дрофа .- (Высшее образование. Современный учебник). Т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление. - 2003. - 509 с.

  2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. - 22-е изд., перераб.- СПб: Профессия, 2003. - 432 с.

  3. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд.-М.: ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с.

  4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. -2001.- 415 с.

  5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике, 1 часть. – 2-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2002. – 288 с.: ил.

48

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Интернет-маркетолог

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ множества.pptx

Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Описание презентации по отдельным слайдам:

  •  Презентация «Множества и операции над ними»

    1 слайд

    Презентация «Множества и операции над ними»

  •  Множества

    2 слайд

    Множества

  • Множество – совокупность объектов, объединенных по какому – нибудь признаку....

    3 слайд

    Множество – совокупность объектов, объединенных по какому – нибудь признаку. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита: А, В, С, D и т. д. Обозначения некоторых числовых множеств: N – множество натуральных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; I - множество иррациональных чисел; R – множество действительных чисел.

  • Виды множеств Равные множества {А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я} = {Э, Е, А, Ё,...

    4 слайд

    Виды множеств Равные множества {А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я} = {Э, Е, А, Ё, Я, О, Ы, И, У, Ю} Конечные множества А = {2; 3; 5; 7; 11; 13}; {х | 5< х <12} Бесконечные множества {1; 4; 9; 16; 25; …}; {10; 20; 30; 40; 50; …}; Пустое множество обозначается символом Ø

  • Задание 1 1) Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число: а)...

    5 слайд

    Задание 1 1) Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число: а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) 555555. 2) Задайте множество А описанием: а) А = {1, 3, 5, 7, 9}; б) А = {- 2, - 1, 0, 1, 2}; в) А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}; г) А = {0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; …}; д) А = {1/2, 2/3, 3/4, 4/5, … }. 3) Задание с выбором ответа. Даны множества: М = {5,4,6}, Р = {4,5,6}, Т = {5,6,7}, S = {4, 6}. Какое из утверждений неверно? а) М = Р. б) Р ≠ S. в) М ≠ Т. г) Р = Т. Множества

  • х А - знак принадлежности. «элемент х принадлежит множеству А»; «х – элемент...

    6 слайд

    х А - знак принадлежности. «элемент х принадлежит множеству А»; «х – элемент множества А». N «5 – число натуральное». Наряду со знаком принадлежит используют и его «отрицание» - знак . х А «элемент х не принадлежит множеству А». 0 N «нуль не натуральное число» Стандартные обозначения

  • Задание 2 1. Запишите на символическом языке следующее утверждение: а) число...

    7 слайд

    Задание 2 1. Запишите на символическом языке следующее утверждение: а) число 10 – натуральное; б) число – 7 не является натуральным; в) число – 100 является целым; г) число 2,5 – не целое. 2. Верно ли, что: а) – 5 N; б) -5 Z; в) 2,(45) Q? 3. Верно ли, что: а) 0,7 {х | х2 – 1 < 0}; б) – 7 {х | х2 + 16х ≤ - 64}? Стандартные обозначения

  • А = {2; 4; 6} и В = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. А В «множество А является подмнож...

    8 слайд

    А = {2; 4; 6} и В = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. А В «множество А является подмножеством множества В». Знак « » называют знаком включения. Пустое множество считают подмножеством любого множества. Стандартные обозначения

  • Задание 3 1. Даны множества: А = {10}, В = {10, 15}, С = {5, 10, 15}, D = {5...

    9 слайд

    Задание 3 1. Даны множества: А = {10}, В = {10, 15}, С = {5, 10, 15}, D = {5, 10, 15, 20}. Поставьте вместо … знак включения ( или ) так, чтобы получилось верное утверждение: а) А … D; б) А … В; в) С … А; г) С … В. 2. Даны три множества А = {1, 2, 3, …, 37}, В = {2, 4, 6, 8, …}, С = {4, 8, 12, 16, …, 36}. Верно ли, что: а) А В; б) В С; в) С А; г) С В? Стандартные обозначения

  • 1) Пересечением множества А и В называют множество, состоящие из всех общих...

    10 слайд

    1) Пересечением множества А и В называют множество, состоящие из всех общих элементов множеств А и В. Пересечение множеств А и В обозначают так: А∩В. Можно записать и так: А∩В = {х | х А и х В}. Например, если А = {3; 9; 12} и В = {1; 3; 5; 7; 9; 11}, то А∩В = {3; 9}; если А = {10; 20; …; 100} и В = {6; 12; 18;…}, то А∩В = {30; 60; 90}. Операции над множествами

  • Задание 4 1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}....

    11 слайд

    Задание 4 1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}. Найдите: 1) А∩В; 2) А∩С; 3) С∩В. 2. Даны множества: А – множества всех натуральных чисел, кратных 10, В = {1; 2; 3;…, 41}. Найдите А∩В. 3. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}. Найдите (А∩В)∩С. Операции над множествами

  • 2) Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементо...

    12 слайд

    2) Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Объединение множеств А и В обозначают так: АUВ. Можно записать и так: АUВ = {х | х А или х В}. Например, если А = {3; 9; 12} и В = {1; 3; 5; 7; 9; 11}, то АUВ = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 12}. Операции над множествами

  • Задание 5 1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}....

    13 слайд

    Задание 5 1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}. Найдите: 1) АUВ; 2) АUС; 3) СUВ. 2. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}. Найдите (АUВ)UС. Операции над множествами

  • 3) Разность А и В это множество элементов А, не принадлежащих В. Разность А и...

    14 слайд

    3) Разность А и В это множество элементов А, не принадлежащих В. Разность А и В обозначают так: А\ В. Например, если А = {2; 4; 6; 8; 10} и В = {5; 10; 15; 20}, то А\ В={2; 4; 6; 8}. Операции над множествами

  • 4) Дополнение множества А обозначают так: Ā. Дополнение множества до множест...

    15 слайд

    4) Дополнение множества А обозначают так: Ā. Дополнение множества до множества К: Ā = К\А. Например, если А = {3; 6; 9; 12} и К = {1; 2; 3; 4; 5; 6; …}, то Ā = {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; …}. Операции над множествами

  • Решение задач с помощью кругов Эйлера ЭЙЛЕР Леонард (1707-1783), российский у...

    16 слайд

    Решение задач с помощью кругов Эйлера ЭЙЛЕР Леонард (1707-1783), российский ученый — математик, механик, физик и астроном.

  • Задача 1 Расположите 4 элемента в двух множествах так, чтобы в каждом из них...

    17 слайд

    Задача 1 Расположите 4 элемента в двух множествах так, чтобы в каждом из них было по 3 элемента. Решение задач с помощью кругов Эйлера

  • Задача 2 Множества А и В содержат соответственно 5 и 6 элементов, а множество...

    18 слайд

    Задача 2 Множества А и В содержат соответственно 5 и 6 элементов, а множество А ∩ В – 2 элемента. Сколько элементов в множестве А U В? Решение задач с помощью кругов Эйлера

  • Решение задач с помощью кругов Эйлера Задача 3 Каждая семья, живущая в нашем...

    19 слайд

    Решение задач с помощью кругов Эйлера Задача 3 Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?

  • Решение задач с помощью кругов Эйлера Задача 4 На школьной спартакиаде кажды...

    20 слайд

    Решение задач с помощью кругов Эйлера Задача 4 На школьной спартакиаде каждый из 25 учеников 9 –го класса выполнил норматив или по бегу, или по прыжкам в высоту. Оба норматива выполнили 7 человек, а 11 учеников выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Сколько учеников выполнили норматив: а) по бегу; б) по прыжкам в высоту; в) по прыжкам при условии, что не выполнен норматив по бегу?

  • Решение задач с помощью кругов Эйлера Задача 5 Из 52 школьников 23 собирают...

    21 слайд

    Решение задач с помощью кругов Эйлера Задача 5 Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекаются коллекционированием?

  • Задача 6 Каждый из учеников 9-го класса в зимние каникулы ровно два раза был...

    22 слайд

    Задача 6 Каждый из учеников 9-го класса в зимние каникулы ровно два раза был в театре, посмотрев спектакли А, В или С. При этом спектакли А, В, С видели соответственно 25, 12 и 23 ученика. Сколько учеников в классе? Решение задач с помощью кругов Эйлера

  • Решение задач с помощью кругов Эйлера Задача 7 В воскресенье 19 учеников наш...

    23 слайд

    Решение задач с помощью кругов Эйлера Задача 7 В воскресенье 19 учеников нашего класса побывали в планетарии, 10 – в цирке и 6 – на стадионе. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и стадион-3; цирк и стадион -1. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а три ученика не посетили ни одного места?

  • Решение задач с помощью кругов Эйлера Задача 8 В одном классе 25 учеников. И...

    24 слайд

    Решение задач с помощью кругов Эйлера Задача 8 В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 – черешню. Двое любят груши и черешню; 6 – груши и яблоки; 5 – яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят всё и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?

  • Решение задач с помощью кругов Эйлера Задача 9 На уроке литературы учитель р...

    25 слайд

    Решение задач с помощью кругов Эйлера Задача 9 На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников 9 –го класса читал книги А, В, С. Результаты опроса выглядели так: книгу А прочитали 25 учеников, книгу В – 22 ученика, книгу С – 22 ученика; одну из книг А или В прочитали 33 ученика, одну из книг А или С прочитали 32 ученика, одну из книг В или С – 31 ученик. Все три книги прочитали 10 учеников. Сколько учеников: а) прочитали только по одной книге; б) прочитали ровно две книги; в) не прочили ни одной из указанных книг?

  • Задача 9. Решение: а) Ответ: 15 учеников б) в) Ответ: 12 учеников Ответ: 3 уч...

    26 слайд

    Задача 9. Решение: а) Ответ: 15 учеников б) в) Ответ: 12 учеников Ответ: 3 ученика Решение задач с помощью кругов Эйлера

  • Задача 10 На зимних каникулах из 36 учащихся класса только двое просидели дом...

    27 слайд

    Задача 10 На зимних каникулах из 36 учащихся класса только двое просидели дома, а 25 ребят ходили в кино, 15 – в театр, 17 – в цирк. Кино и театр посетили 11 человек, кино и цирк – 10, театр и цирк – 4. Сколько ребят побывало и в кино, и в театре, и в цирке? Решение задач с помощью кругов Эйлера

  • Литература [1] Алгебра, 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобра...

    28 слайд

    Литература [1] Алгебра, 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович, Л.А. Александрова и др.] -12-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2010. [2] Занимательная математика. 5 – 11 классы. Авт.- сост. Т.Д. Гаврилова. – Волгоград: Учитель, 2005. – 96 с. [3] Математика 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др./; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». – 11 –е изд. - М.: Просвещение, 2010. – 303 с.: ил.

Получите профессию

Технолог-калькулятор общественного питания

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ практика 1. финансы. матрицы.docx

ФИНАНСЫ Практическое занятие № 1

Практическое занятие №1

Тема: Действия над матрицами, вычисление определителей

Цель: формировать навыки выполнения операций над матрицами: сложение, вычитание, умножение матрицы на число, произведение матриц; формировать умения находить определители матриц.

Задачи:

развитие творческого профессионального мышления;

познавательная мотивация;

овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

углубление теоретической и практической подготовки;

развитие инициативы и самостоятельности студентов.


План практического занятия.

  1. Организационные моменты.

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.

  1. Актуализация опорных знаний.

  1. Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных примеров).

  2. Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

  • Понятие матрицы и ее элементы

  • Основные виды матриц

  • Понятие ранга матрицы, минора и определителя матрицы. Виды определителей и их свойства

  • Применение и значение матриц в практической деятельности

  1. Практический этап.

Требования к выполнению практической работы:

  1. Оформить задания в тетради для практических работ.

  2. Выполнить индивидуальную работу по варианту.

  3. Ответить на один контрольный теоретический вопрос по варианту.


Содержание практической работы.

  1. Выполнение заданий совместно с преподавателем.

Упражнения к практическому занятию:

  1. Даны матрицы:

hello_html_999179c.png

Можно ли сложить матрицу А: с матрицей В; с матрицей С; с матрицей D?

Решение:

Матрицу А нельзя сложить с матрицей В, так как матрица А имеет размеры hello_html_m66abb5c.png , матрица В - размеры hello_html_71ca32a.png, а складывать можно только матрицы одинаковых размеров. Матрицы А и С имеют одинаковые размеры, поэтому их можно складывать. 
Матрицы 
А и D имеют одинаковые размеры, следовательно, их можно складывать.


  1. Найти А+В , если

hello_html_44cd23cb.png

Решение:

hello_html_7c3e9e5a.png

Так как матрицы имеют одинаковый размер, то их можно складывать. При сложении матриц надо сложить элементы, стоящие на одинаковых местах, т.е.

hello_html_m62ac7c16.png


  1. Дано:

hello_html_25ae2cb6.png

Найти: -3A.

Решение:

hello_html_3f1210a2.png

Для того, чтобы -3 умножить на матрицу A нужно каждый элемент матрицы A умножить на -3.

hello_html_4524abd9.png


  1. Даны матрицы:

hello_html_m1dfe1b91.png


Найти: 
2A+В-3С

Решение:

hello_html_b2379cd.png

hello_html_558598e5.png

hello_html_m7de5b43f.png

  1. Найти матрицу Х, если:

hello_html_3dd3598a.png

Решение:

hello_html_56bcb6fa.pnghello_html_3339074e.png

hello_html_m53b33dee.png

hello_html_342196cc.png

  1. Матрицы А и В имеют вид

hello_html_733fb287.png

(знакhello_html_375e3af3.png - любой, любые). Будет ли матрица А+В такого же вида?

Решение:

Да. Так как в результате сложения матриц элемент hello_html_m46686a62.png

  1. Матрицы А и В имеют вид

hello_html_1f848bbf.png

(знакhello_html_375e3af3.png - любой, любые). Будет ли матрица А+В такого же вида?

Решение:

Нет. Так как в результате сложения матриц элемент hello_html_m2f47f82.png

  1. Даны четыре матрицы:

hello_html_5811c851.png

Подберите hello_html_m79629e33.pngтак, чтобы выполнялось равенствоhello_html_m5e2c7499.png

Решение:

hello_html_m467f35ae.png

hello_html_m4a46361d.png

  1. Даны матрицы:

hello_html_26171d48.png


Определить размер матрицы-произведения матриц 
AB, CC, DM, NL, LK, LM, DD.

Решение:

hello_html_m419112f6.pngне существует, т.к. число столбцов первой матрицы не равно числу строк второй матрицы; hello_html_m56e1ad23.pnghello_html_4806d466.pngне существует, т.к. число столбцов первой матрицы не равно числу строк второй матрицы; hello_html_m2ad45944.png

  1. Дана матрица А размера hello_html_71ca32a.png.

Какие из указанных действий можно выполнить над матрицей А:

hello_html_m3b13baa3.png

Решение:

Операция произведение матрицы на число всегда выполнима, поэтому hello_html_5780dd21.pngможно выполнить;
складывать можно матрицы одинаковых размеров, следовательно,
hello_html_m61defe01.pngможно выполнить;
матрицы можно умножать, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, поэтому
hello_html_30c41b9f.png нельзя выполнить.

  1. Найти a, b, c из уравнения

hello_html_m1780aeb4.png

Решение:

hello_html_m298b13dd.png

Учитывая определения операций сложения матриц и умножения матрицы на число, можно записать следующие равенства:

hello_html_1fa6cfac.png

  1. Выполнить действия:
    hello_html_m3af5de15.png

Решение:

hello_html_m68142877.png

hello_html_m521cbc63.png

  1. Известно, что hello_html_m2a3a5f54.png Найти m и .

Решение:

По правилу умножения матриц: Матрица-произведение имеет строк столько, сколько первая матрица, и столбцов – сколько вторая (пункт два), следовательно, hello_html_m40b54bc2.png

  1. Известно, что hello_html_4161a1a7.png Найти m и .

Решение:

По правилу умножения матриц

hello_html_5667d2b8.png

  1. Известно, что hello_html_74d9c5e7.png Найти m и .

Решение:

По правилу умножения матриц hello_html_61cbea25.png(m, n - натуральные числа).

  1. Известно, что hello_html_m75c17c2b.png Найти m и .

Решение:

По правилу умножения матриц

hello_html_1f8712c9.png

  1. Известно, что hello_html_m42f34369.png Найти m и .

Решение:

По правилу умножения матриц

hello_html_47734c05.png

  1. Найти матрицу hello_html_701c9567.png если

hello_html_2bcafce6.png

Решение:

hello_html_7c45856.png

Выполним по действиям:
hello_html_4eafc377.png

Выполнение заданий под руководством преподавателя.
1.Вычислить произведение матриц:

hello_html_m695ed040.gif .

Решение. Первая матрица имеет размеры 2´3, а вторая размеры 3´3, поэтому произведение существует. В результате умножения получится матрица С = (cij) размеров 2´3. Вычислим ее элементы.

 

с11 = (-2)×3 + 3×1 + 1×4 = 1, с12 = (-2)×(-1) + 3×1 + 1×6 = 11,

с13 = (-2)×2+3×0+1×8 = 4, с21 = 0×3 + 5×1 + 6×4 = 29,

с22 = 0×(-1) + 5×1 + 6×6 = 41, с23 = 0×2+5×0+6×8 = 48.

Ответ: hello_html_793fc8ec.gif .

 

2.Вычислить произведение матриц:

 

hello_html_m7fd73f93.gif .

Решение. Первая матрица имеет размеры 3´3, а вторая размеры 2´3. Число столбцов в первой матрице (3) не совпадает с числом строк во второй матрице (2), поэтому произведение не существует,

Ответ: произведение не существует.

 

3.Вычислить произведение матриц:

hello_html_3973b55c.gif .

Ответ: hello_html_m5ff07dc8.gif .

 

4.Вычислить произведение матриц:

hello_html_m2413596.gif .

5.Вычислить произведение матриц:

 

hello_html_m77ceacf6.gif .

6.Вычислить произведение матриц:

hello_html_m533495cf.gif .

7.Вычислить произведение матриц:

hello_html_5be44fbe.gif .

8.Вычислить произведение матриц:

hello_html_4d6439c6.gif .

9.Вычислить степень матрицы:

hello_html_m1ad2f781.gif .

10. Вычислить степень матрицы:

hello_html_m7bfe2eee.gif .

11. Вычислить значение многочлена f(x) = 2x+ x - 3 от матрицы hello_html_682639ad.gif .

Указание. f(А) = + А - 3Е, где Е – единичная матрица размеров 2´2. Далее использовать определения операций умножения матриц, умножения матрицы на число и сложения матриц.

Ответ: hello_html_6640217a.gif .

12. Вычислить значение многочлена f(x) = x- x+ x + 2 от матрицы

hello_html_49842de0.gif .

Ответ: hello_html_6565592f.gif .



2. Самостоятельное выполнение заданий студентами.

  1. Найдите сумму матриц и .

  2. Транспонируйте матрицу . Укажите размеры данной и транспонированной матриц.

  3. Даны матрицы: , . Произведите указанные действия, а в случае, когда это невозможно, указать причину: 1) ;

2) .

  1. Даны матрицы и . Найдите матрицу .


  1. Индивидуальная работа по вариантам.

Выполнить индивидуальную работу по теме «Действия с матрицами»

Задание. Выполнить указанные действия с матрицами А и В, если


Вариант №1


Вариант №2


Вариант №3


Вариант №4


Вариант №5


Вариант №6


Вариант №7


Вариант №8


Вариант №9


Вариант №10


Вариант №11


Вариант №12


Вариант №13


Вариант №14


Вариант №15


Вариант №16


Вариант №17


Вариант №18


Вариант №19


Вариант №20


Вариант №21


Вариант №22


Вариант №23


Вариант №24


Вариант №25


Вариант №26


Вариант №27


Вариант №28


Вариант №1


Вариант №2


Вариант №3


Вариант №4


Вариант №5


Вариант №6


Вариант №7


Вариант №8


Вариант №9


Вариант №10


Вариант №11


Вариант №12


Вариант №13


Вариант №14


Вариант №15


Вариант №16


Вариант №17


Вариант №18


Вариант №19


Вариант №20


Вариант №21


Вариант №22


Вариант №23


Вариант №24


Вариант №25


Вариант №26


Вариант №27


Вариант №28


  1. Подведение итогов практического занятия.

Вопросы для самоконтроля:

  1. Что называется матрицей? Запишите общий вид матрицы размером mxn.

  2. Какие матрицы называются равными?

  3. Назовите виды матриц.

  4. Назовите линейные операции над матрицами.

  5. Какие матрицы можно перемножать? Как выполняется умножение?


  1. Домашнее задание.

Вычислить:

Дом. задание 1. Даны матрицы 

hello_html_m61020ffb.gif
Найдите а) все произведения матриц, которые имеют смысл, б) 
hello_html_m3e8ec977.gif в) hello_html_m371858bb.gif, г) hello_html_8a571a8.gif.
Дом. задание 2. Вычислить hello_html_m5e2be6be.gif

Дом. задание 3. Вычислить hello_html_33ff85c9.gif



Дом. задание 4. Найдите произведение матриц
а) 
hello_html_68b97a94.gif, б) hello_html_m57af78b8.gif, в) hello_html_m7ee46c2b.gif, г) hello_html_m1357592c.gif

д) 
hello_html_32eb1ad1.gif, е) hello_html_m252bd890.gif, ж) hello_html_m45ec8c1b.gif, з) hello_html_m5e6f4c27.gif,

и) 
hello_html_204d9410.gif, к) hello_html_4f333e84.gif.
Дом. задание 5. Вычислить а) hello_html_700d9674.gif, б) hello_html_5c2f405c.gif.


  1. Рефлексия.

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…




Литература.

  1. Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

  2. Богомолов Н.В. Самойленко П.И. «Математика»,- М.: Дрофа, 2010.

  3. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике»,- М.: Дрофа, 2010.

  4. Высшая математика для экономистов: Практикум / Под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. -484 с

  5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.:Высш. Школа, 2008г.

17

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Технолог-калькулятор общественного питания

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ практика 2. агрономы. матрицы.docx

Агрономы Практическое занятие № 2

Практическое занятие №2

Тема: Вычисление минора, алгебраических дополнений, обратной матрицы

Цель: формировать навыки выполнения операций над матрицами: сложение, вычитание, умножение матрицы на число, произведение матриц; формировать умения находить определители матриц, минора матрицы, обратной матрицы.

Задачи:

развитие творческого профессионального мышления;

познавательная мотивация;

овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

углубление теоретической и практической подготовки;

развитие инициативы и самостоятельности студентов.


План практического занятия.

  1. Организационные моменты.

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.


  1. Актуализация опорных знаний.

  1. Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных примеров).

  2. Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

  • Понятие матрицы и ее элементы

  • Основные виды матриц

  • Понятие ранга матрицы, минора и определителя матрицы. Виды определителей и их свойства

  • Применение и значение матриц в практической деятельности

  1. Практический этап.

Требования к выполнению практической работы:

  1. Оформить задания в тетради для практических работ.

  2. Выполнить индивидуальную работу по варианту.

  3. Ответить на один контрольный теоретический вопрос по варианту.


Определитель матрицы первого порядка

Определителем матрицы первого порядка, или определителем первого порядка, называется элемент, называется элемент  а11:

hello_html_74973c2b.gif.

Определитель матрицы второго порядка

Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

hello_html_65a7adb0.gif.

Например, пусть

hello_html_ma2eacea.gif.

Определитель матрицы третьего порядка

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

hello_html_m10bfcae0.gif

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

hello_html_7985d8e6.gif

Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу нахождения определителя третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка:

hello_html_58519f6a.gif

Решение.

hello_html_mc94d95.gif

Замечание. Вычисление определителей четвертого и более высокого порядка приводит к большим вычислениям, так как

·        для нахождения определителя первого порядка мы находим одно слагаемое, состоящее из одного сомножителя,

·        для нахождения определителя второго порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из двух слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения двух сомножителей,

·        для нахождения определителя третьего порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из шести слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей,

·        для нахождения определителя четвертого порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из двадцати четырех слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения четырех сомножителей и т.д.

Определить количество слагаемых в алгебраической сумме, можно вычислив факториал:

hello_html_m4aed1a71.gif

Вычисление определителя четвертого порядка приводит к большим вычислениям. Поэтому в этом случае используют искусственные методы.

Свойства определителей.


Свойство № 1: Определитель матрицы не изменится, если его строки заменить столбцами, причем каждую строку столбцом с тем же номером, и наоборот (Транспонирование). |А| = |А|Т 

hello_html_4025f231.png
Следствие:
Столбцы и строки 
определителя матрицы равноправны, следовательно, свойства присущие строкам выполняются и для столбцов. 


Свойство № 2: При перестановке 2-х строк или столбцов определитель матрицы изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, т.е.: 
hello_html_m3d420e60.png
Свойство № 3: Определитель матрицы, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю. 

hello_html_24c85c2f.png


Свойство № 4: Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя матрицы можно вынести за знак определителя

hello_html_m5a1554e3.png
Следствия из свойств № 3 и № 4: Если все элементы некоторого ряда (строки или столбца) пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель матрицы равен нулю. 


Свойство № 5: Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя матрицы равны нулю, то сам определитель матрицы равен нулю. 


Свойство № 6: Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель матрицы можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле: 

hello_html_m5010b233.png

Свойство № 7: Если к какой–либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель матрицы не изменит своей величины. 

hello_html_78f2c592.png

Минор

Минором hello_html_m455b09da.gif элемента hello_html_74144afd.gif матрицы  n-го  порядка называется определитель матрицы  (n-1)-го порядка, полученный из матрицы  А  вычеркиванием  i-й строки и  j-го столбца.

hello_html_5f4220aa.gifhello_html_2f086335.gif

При выписывании определителя  (n-1)-го порядка, в исходном определителе элементы находящиеся под линиями в расчет не принимаются.

Пример 1. Составить минор hello_html_22aa8c3c.gif, полученную из исходной матрицы:

hello_html_1443696a.gif

Решение:

hello_html_5f5daa76.gifhello_html_m6d1584ee.gif.

Алгебраические дополнения

Алгебраическим дополнением  Аij  элемента аij матрицы  n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:

hello_html_7edada3a.gif

то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.

Пример 1. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы

hello_html_m2359afce.gif

Решение:

hello_html_mac4b147.gif


Обратная матрица. Примеры вычисления

Теорема. Всякая невырожденная (т.е. определитель которой отличен от нуля) квадратная матрица A имеет обратную матрицу A-1, которая находится по формуле:


hello_html_m392f0752.png


(5.1)

при этом A٠A-1=A-1٠A=E.
Нахождение обратной матрицы является важной составляющей в разделе линейной алгебры. С помощью таких матриц, если они существуют, можно быстро найти решение системы линейных уравнений.

Матрицаhello_html_m3fe86f64.gifназывается обратной к матрицеhello_html_m72078491.gif,если выполняются следующие равенства.

hello_html_m6fe2437b.gif.

Если определитель матрицыhello_html_m72078491.gifотличен от нуля, то матрицу называют не особо или невырожденной.

Для того, чтобы матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Пусть имеем квадратную матрицу

hello_html_2eacece3.gif

и нужно найти обратную к ней. Для этого нужно выполнить следующие действия:

1. Найти определитель матрицыhello_html_6aa3a4b2.gif. Если он не равен нулю то выполняем следующие действия. В противном случае данная матрица вырождена и для нее не существует обратной

2. Найти алгебраические дополнения элементов матрицы hello_html_m72078491.gif. Они равны минорам, умноженным на hello_html_613f3eb2.gif в степени суммы строки и столбца, для которого ищем.

3. Составить матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы hello_html_m72078491.gif матрицы и протранспонировать ее. Эта матрица называется присоединенной или союзной и обозначается hello_html_1573ed40.gif .

4. Разделить присоединенную матрицу на детерминант hello_html_m56488dac.gif. Полученная матрица будет обратной и иметь свойства, которые изложены в начале статьи.

hello_html_2cd37821.gif

Свойства обратной матрицы

det(A-1) = 

1

det(A)


(A·B)-1 = A-1·B-1

(A-1)T = (AT)-1

(kA)-1 = 

A-1

k


(A-1)-1 = A


Вычисление обратной матрицы с помощью союзной матрицы

Определение.

 Матрица Ã, элементы которой равны алгебраическим дополнениям соответствующих элементов матрицы A называется союзной матрицей.

A-1 = 

1

ÃT

det(A)

Пример 1.

 Найти обратную матрицу матрицы A

A = 

hello_html_m7268bc3f.gif

2

4

1

hello_html_m7414bcf.gif

0

2

1

2

1

1

Решение: Найдем определитель матрицы A:

det(A) = 

2

4

1

 

0

2

1

2

1

1

= 2·2·1 + 4·1·2 + 1·0·1 - 1·2·2 - 2·1·1 - 4·0·1 = 4 + 8 + 0 - 4 - 2 - 0 = 6

Найдем алгебраические дополнения матрицы A:

A11 = (-1)1 + 1·

2

1

 = 2·1 - 1·1 = 1

1

1


A12 = (-1)1 + 2·

0

1

 = -(0·1 - 1·2) = 2

2

1


A13 = (-1)1 + 3·

0

2

 = 0·1 - 2·2 = -4

2

1


A21 = (-1)2 + 1·

4

1

 = -(4·1 - 1·1) = -3

1

1


A22 = (-1)2 + 2·

2

1

 = 2·1 - 1·2 = 0

2

1


A23 = (-1)2 + 3·

2

4

 = -(2·1 - 4·2) = 6

2

1


A31 = (-1)3 + 1·

4

1

 = 4·1 - 1·2 = 2

2

1


A32 = (-1)3 + 2·

2

1

 = -(2·1 - 1·0) = -2

0

1


A33 = (-1)3 + 3·

2

4

 = 2·2 - 4·0 = 4

0

2

Запишем союзную матрицу:

à = 

hello_html_m7268bc3f.gif

1

2

-4

hello_html_m7414bcf.gif

-3

0

6

2

-2

4

Найдем обратную матрицу:

A-1 = 

1

ÃT

 

1

det(A)

6


1

-3

2

hello_html_m7414bcf.gif

2

0

-2

-4

6

4


 

1/6

-1/2

1/3

hello_html_m7414bcf.gif

1/3

0

-1/3

-2/3

1

2/3



Ответ: A-1 = 

hello_html_m7268bc3f.gif

1/6

-1/2

1/3

hello_html_m7414bcf.gif

1/3

0

-1/3

-2/3

1

2/3

Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы.

Рангом r(A) матрицы A называется самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Если ранг матрицы A равен r, то это означает, что в матрице A имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r равен нулю. Имеет место
Теорема о ранге матрицы: Ранг r матрицы A равен максимальному числу линейно независимых столбцов (строк).
Лемма. Максимальное число линейно независимых строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов в этой матрице.
Если каждый элемент матрицы равен нулю, то ранг такой матрицы, по определению, считают равным нулю. Если r(A)=r(B), то матрицы A и B называются 
эквивалентными. В этом случае пишется: A ~B.
 Ранг матрицы не изменяется от элементарных преобразований. 
Под 
элементарными преобразованиями понимается:
А) замена строк столбцами, а столбцов - соответствующими строками;
Б) перестановка строк (столбцов) матрицы;
В) вычеркивание ряда (строки или столбца), все элементы которого равны нулю;
Г) умножение какого-либо ряда (строки или столбца) на число, отличное от нуля
Д) прибавление к элементам одного ряда соответствующих элементов другого параллельного ряда.
Эквивалентные преобразования не меняют ранга матрицы; переходя от матрицы A к матрице A
1 и т.д., с помощью эквивалентных преобразований, мы получаем, вообще говоря, разные матрицы, но эти матрицы имеют один и тот же ранг. Действительно, сравнивая эквивалентные преобразования матрицы со свойствами определителя видим, что определитель, не равный нулю, и в ходе эквивалентных преобразований остается отличным от нуля.

Если матрица 
n -го порядка имеет вид верхней треугольной матрицы, то её определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Это свойство используется при вычислении ранга матрицы: необходимо привести матрицу к верхней треугольной и тогда, выделив соответствующий определитель, найдем, что ранг матрицы равен числу элементов главной диагонали, отличных от нуля (или порядку найденного максимального минора M≠0).

Содержание практической работы.

  1. Выполнение заданий совместно с преподавателем.

Упражнения к практическому занятию:

Задание 1. Найти матрицу, обратную к матрице (Дубовик В.П., Юрик И.И. "Высшая математика. Сборник задач")

1) (1.127).

hello_html_36fc3158.gif

Решение.

Находим определитель матрицы

hello_html_51bdde8a.gif

Так как детерминант не равен нулю (hello_html_6f28c1e4.gif), то обратная матрица существует. Находим матрицу, составленную из алгебраических дополнений

hello_html_67b03e55.gif

Матрица дополнений примет вид

hello_html_44f7b824.gif

Транспонируем ее и получаем присоединенную hello_html_1573ed40.gif

hello_html_m4dd54fc8.gif

Разделим ее на определитель и получим обратную

hello_html_m2f41ec00.gif

Видим, что в случае, когда определитель равен единице присоединена и обратная матрицы совпадают.

2) (1.130).

hello_html_m233e85c0.gif

Вычисляем определитель матрицы

hello_html_595f3d97.gif

hello_html_m7e655455.gifhello_html_m6f82c651.gif

Находим матрицу алгебраических дополненийhello_html_m25602b99.gif

hello_html_7ebe05ec.gif

hello_html_m165c01ae.gif

hello_html_6d573d43.gif

hello_html_m6dc7c3cb.gif

hello_html_689f9230.gif

hello_html_3ec3b0a1.gif

hello_html_m53e3c58b.gif

hello_html_2dbcdc86.gif

hello_html_6da142f2.gif

Конечный вид матрицы дополнений

hello_html_m4a252e78.gif

Транспонируем ее и находим союзную матрицу

hello_html_28a75cbb.gif

Находим обратную матрицу

hello_html_m60e2f7e6.gifhello_html_m52883d53.gif

3) (1.133).

hello_html_786f3f40.gif

 Вычислим детерминант матрицы. Для этого разложим его на первую строчку. В результате получим два отличны от нуля слагаемые

hello_html_m610d14f0.gif

hello_html_m39b4d1fb.gif

hello_html_3482d54b.gif

Находим матрицу алгебраических дополненийhello_html_m25602b99.gif. Расписание определителя проводим по строкам и столбцам, в которых больше нулевых элементов (обозначены черным цветом).

hello_html_3b8e41e.gif

hello_html_91022f0.gif

hello_html_m6ad60cdd.gif

hello_html_2cc75d7b.gif

hello_html_43816365.gif

hello_html_1ddc3497.gif

hello_html_4407423a.gif

hello_html_m5b481480.gif

hello_html_3ffee30d.gif

hello_html_m60fc6e2.gif

hello_html_40b2e2d8.gif

hello_html_7e43eba0.gif

hello_html_m598087e9.gif

hello_html_m151422d2.gif

hello_html_m6f919d3a.gif

hello_html_m278c168e.gif

Конечный вид матрицы дополнений следующий

hello_html_4448fa96.gif

Транспонируем ее и находим присоединенную матрицу

hello_html_4671418b.gif

Задание 2. Найти минор hello_html_7b70441b.png к элементу hello_html_6cca424f.png определителя hello_html_1972d43c.png .

Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:

hello_html_6493844c.png

тогда hello_html_12f8beec.png

Ответ. hello_html_12f8beec.png


Задание 3. Найти алгебраическое дополнение hello_html_m64c19394.png к элементу  hello_html_6cca424f.png  определителя

 hello_html_1972d43c.png .

Решение. hello_html_6c98c151.png

Ответ. hello_html_7d8e1547.png

Задание 4. Вычислить определитель второго порядка hello_html_6ee56995.png

Решение. hello_html_m332622b8.png

Ответ. hello_html_172e3fba.png

Задание 5. Вычислить определитель hello_html_m5e379d08.png методом треугольников.

Решение. hello_html_3a92673e.png

hello_html_m71270be2.png

Ответ. hello_html_m7c322d3.png

Задание 6. Вычислить определитель hello_html_f443c65.png

Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.

hello_html_22c2053d.png

hello_html_m66d547b7.png

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Ответ. hello_html_m5d145a28.png

Задание 7. Вычислить определитель hello_html_1663c7f0.png приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент hello_html_78b5a110.png будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

hello_html_7395e7c2.png

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента hello_html_78b5a110.png , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

hello_html_61f1b648.png

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен hello_html_m5c41ed6c.png , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

hello_html_19fc26f7.png

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой - две вторых строки, получаем:

hello_html_m2f22859e.png

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

hello_html_77e60265.png

hello_html_m561bed51.png

Ответ. hello_html_36721525.png

Задание 8. Для матрицы hello_html_m689a22c7.png найти обратную методом присоединенной матрицы.

Решение. Приписываем к заданной матрице hello_html_45d4aaa6.png справа единичную матрицу второго порядка:

hello_html_50f3ebfe.png

От первой строки отнимаем вторую (для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки):

hello_html_6845a9a8.png

От второй строки отнимаем две первых:

hello_html_2f2d617.png

Первую и вторую строки меняем местами:

hello_html_2cbb1fee.png

От второй строки отнимаем две первых:

hello_html_m7e907c38.png

Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке прибавляем вторую:

hello_html_198990c3.png

Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной.

Таким образом, получаем, что hello_html_m7433c114.png

Ответ. hello_html_m7433c114.png

Задание 9. Найти обратную матрицу для hello_html_m2863d996.png

Решение. Шаг 1. Находим определитель: hello_html_63e7fbbb.png

Шаг 2. hello_html_1b1e713a.png

Шаг 3. hello_html_m6d070964.png

Ответ. hello_html_m6061f4ca.png

Задание 10. Найти обратную матрицу к матрице hello_html_m5db99000.png

Решение. Вычисляем определитель матрицы:

hello_html_5123f6e6.png

hello_html_686dd7f1.png

Так как определитель не равен нулю, то матрица имеет обратную. Обратная матрица hello_html_5e544920.png к матрице hello_html_45d4aaa6.pngнаходится по формуле:

hello_html_5fe2ad76.png

Найдем союзную матрицу hello_html_m896b919.png , для этого вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы hello_html_45d4aaa6.png :

hello_html_mc7e75cc.png

hello_html_m4aed54d5.png

hello_html_m729c6277.png

hello_html_m5650776d.png

hello_html_m772a4ff9.png

hello_html_6ad7a135.png

hello_html_m3793f508.png

hello_html_m4fcdb25c.png

hello_html_m5a69b5c.png

Таким образом, hello_html_f317eb5.png

Транспонируем эту матрицу (т.е. строки матрицы делаем столбцами с тем же номером):

hello_html_5ff45f39.png

Итак, hello_html_1368785c.png

Ответ. hello_html_1368785c.png

Задание 11. Найти ранг матрицы hello_html_35966a40.png

Решение. С помощью элементарных преобразований над ее строками приведем матрицу hello_html_45d4aaa6.png к ступенчатому виду. Для этого вначале от третьей строки отнимем две вторых:

hello_html_m69f4dbc4.png

От второй строки отнимаем четвертую строку, умноженную на 4; от третьей - две четвертых:

hello_html_5477bce8.png

Ко второй строке прибавим пять первых, к третьей - три третьих:

hello_html_78f77b9d.png

Меняем местами первую и вторую строчки:

hello_html_m7cb8566c.png

Далее четвертую и первую строки:

hello_html_78d3571d.png

Ответ. hello_html_m1d141c11.png

Задание 12. Найти ранг матрицы hello_html_d88395a.png , используя метод окаймления миноров.

Решение. Минорами минимального порядка являются миноры первого порядка, которые равны элементам матрицы hello_html_45d4aaa6.png . Рассмотрим, например, минор hello_html_71e72f85.png . расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляем его с помощью второй строки и второго столбца, получаем минорhello_html_m291a01f.png ; рассмотрим еще один минор второго порядка, для этого минор hello_html_1e462c04.png окаймляем при помощи второй строки и третьего столбца, тогда имеем минор hello_html_m229c3fa1.png , то есть ранг матрицы не меньше двух. Далее рассматриваем миноры третьего порядка, которые окаймляют минор hello_html_m42cd86f9.png . Таких миноров два: комбинация третьей строки со вторым столбцом или с четвертым столбцом. Вычисляем эти миноры:

hello_html_m6326f2fd.png

так как содержит два пропорциональных столбца (первый и второй); второй минор

hello_html_m5edf9419.png

преобразуем следующим образом: к первой строке прибавим третью, а ко второй две третьих:

hello_html_m4ef6ccff.png

И так как первая и вторая строки пропорциональны, то минор равен нулю.

Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю. А, значит, ранг матрицы hello_html_45d4aaa6.pngравен двум: hello_html_m1d141c11.png

Ответ. hello_html_m1d141c11.png


  1. Индивидуальная работа по вариантам.

Выполнить индивидуальную работу по теме «Вычисление минора, алгебраических дополнений, обратной матрицы»

Вариант 1. Найдите сумму матриц и , определитель полученной матрицы и обратную матрицу полученной матрицы.



Вариант 2. Найдите разность матриц , определитель полученной матрицы и обратную матрицу полученной матрицы.


  1. Подведение итогов практического занятия.

Вопросы для самоконтроля:

  1. Что называется матрицей? Запишите общий вид матрицы размером mxn.

  2. Какие матрицы называются равными?

  3. Назовите виды матриц.

  4. Назовите линейные операции над матрицами.

  5. Какие матрицы можно перемножать? Как выполняется умножение?

  6. Вычисление определителей.

  1. Вычисление обратной матрицы.


  1. Домашнее задание.

Вычислить:

hello_html_6a8443b7.png

  1. Рефлексия.

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…




Литература.

  1. Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

  2. Богомолов Н.В. Самойленко П.И. «Математика»,- М.: Дрофа, 2010.

  3. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике»,- М.: Дрофа, 2010.

  4. Высшая математика для экономистов: Практикум / Под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. -484 с

  5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.:Высш. Школа, 2008г.

25

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Менеджер по туризму

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ практика 3. агрономы. матрицы.docx

Агрономы Практическое занятие № 3

Практическое занятие №3

Тема: Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными при помощи определителей третьего порядка.

Цель: формировать навыки решения систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью определителей (методом Крамера), систематизировать знания по выполнению операций над матрицами: сложение, вычитание, умножение матрицы на число, произведение матриц; формировать умения находить определители матриц, минора матрицы, обратной матрицы.

Задачи:

развитие творческого профессионального мышления;

познавательная мотивация;

овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

углубление теоретической и практической подготовки;

развитие инициативы и самостоятельности студентов.


План практического занятия.

  1. Организационные моменты.

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.


  1. Актуализация опорных знаний.

  1. Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных примеров).

  2. Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

  • Понятие матрицы и ее элементы

  • Основные виды матриц

  • Понятие ранга матрицы, минора и определителя матрицы. Виды определителей и их свойства

  • Метод Крамера для решения систем линейных уравнений с тремя переменными

  • Применение и значение матриц в практической деятельности.


  1. Практический этап.

Требования к выполнению практической работы:

  1. Оформить задания в тетради для практических работ.

  2. Выполнить индивидуальную работу по варианту.

  3. Ответить на один контрольный теоретический вопрос по варианту.


Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы.

Рангом r(A) матрицы A называется самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Если ранг матрицы A равен r, то это означает, что в матрице A имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r равен нулю. Имеет место
Теорема о ранге матрицы: Ранг r матрицы A равен максимальному числу линейно независимых столбцов (строк).
Лемма. Максимальное число линейно независимых строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов в этой матрице.
Если каждый элемент матрицы равен нулю, то ранг такой матрицы, по определению, считают равным нулю. Если r(A)=r(B), то матрицы A и B называются 
эквивалентными. В этом случае пишется: A ~B.
 Ранг матрицы не изменяется от элементарных преобразований. 
Под 
элементарными преобразованиями понимается:
А) замена строк столбцами, а столбцов - соответствующими строками;
Б) перестановка строк (столбцов) матрицы;
В) вычеркивание ряда (строки или столбца), все элементы которого равны нулю;
Г) умножение какого-либо ряда (строки или столбца) на число, отличное от нуля
Д) прибавление к элементам одного ряда соответствующих элементов другого параллельного ряда.
Эквивалентные преобразования не меняют ранга матрицы; переходя от матрицы A к матрице A
1 и т.д., с помощью эквивалентных преобразований, мы получаем, вообще говоря, разные матрицы, но эти матрицы имеют один и тот же ранг. Действительно, сравнивая эквивалентные преобразования матрицы со свойствами определителя видим, что определитель, не равный нулю, и в ходе эквивалентных преобразований остается отличным от нуля.
Если матрица 
n -го порядка имеет вид верхней треугольной матрицы, то её определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Это свойство используется при вычислении ранга матрицы: необходимо привести матрицу к верхней треугольной и тогда, выделив соответствующий определитель, найдем, что ранг матрицы равен числу элементов главной диагонали, отличных от нуля (или порядку найденного максимального минора M≠0).

Алгоритм отыскания ранга матрицы методом элементарных преобразований:

элементарными преобразованиями превратить матрицу в трапециидальную (привести к треугольному виду);

подсчитать число ненулевых строк в полученной матрице.


Система трёх линейных неоднородных уравнений с тремя неизвестными:

hello_html_68c7eefd.png

Составим и вычислим основной определитель hello_html_m4ff879ad.png и вспомогательные определители hello_html_m2690c640.png , hello_html_826cb52.png .

а) Если hello_html_m292faeea.png, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

hello_html_ma55afd3.png hello_html_m4a327ce9.png , hello_html_34684566.png (3)

б) Если hello_html_m2640fd99.png, то возможны случаи:

1) hello_html_m10243a7f.png , тогда система будет иметь бесконечно много решений, она будет сводиться либо к системе состоящей из одного, либо из двух уравнений (одну неизвестную перенесём направо и решим систему двух уравнений с двумя неизвестными);

2) хотя бы один из определителей hello_html_1f1256e1.png отличен от нуля, система не имеет решения.

Алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

  1. Вычисляем определитель основной матрицы системы hello_html_3e02c4b8.png и убеждаемся, что он отличен от нуля.

  2. Находим определители
    hello_html_m4000d076.png 
    которые являются определителями матриц, полученных из матрицы 
    А заменой k-ого столбца (k = 1, 2, …, n) на столбец свободных членов.

  3. Вычисляем искомые неизвестные переменные x1, x2, …, xn по формулам hello_html_m4407e34d.png.

  4. Выполняем проверку результатов, подставляя x1, x2, …, xn в исходную СЛАУ. Все уравнения системы должны обратиться в тождества. Можно также вычислить произведение матриц A X, если в результате получилась матрица, равная B, то решение системы найдено верно. В противном случае в ходе решения была допущена ошибка.


Содержание практической работы.

  1. Выполнение заданий совместно с преподавателем.

Упражнения к практическому занятию:

Задание 1. При помощи формул Крамера найти решение системы hello_html_m68fe805c.png

Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:

hello_html_m3a2ccf9.png

hello_html_1ce90ce3.png

Так как определитель матрицы системы неравен нулю, то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим следующие определители:

hello_html_m10a3b315.png

hello_html_63baad63.png

hello_html_m3de99229.png

hello_html_174089e4.png

hello_html_m635fb31a.png

hello_html_3d961248.png

Таким образом,

hello_html_6a625f84.png    hello_html_m4555f7db.png    hello_html_1080a0e6.png

Ответ. hello_html_m1f5715ca.png


2) Найдите решение системы линейных уравнений методом Крамера hello_html_70b7dc7c.png.

Решение.

Перепишем систему в виде hello_html_m44f5693a.png, чтобы стало видно основную матрицу системы hello_html_71de0194.png. Найдем ее определитель по формуле
hello_html_559663cf.png

Имеем
hello_html_37c7570b.png

Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система линейных уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Вычислим определители hello_html_m7b691a13.png:
hello_html_4b7ba1e7.png

Таким образом,
hello_html_m62dbd2dd.png

Ответ:

hello_html_m11e88b8c.png.


Обозначения неизвестных переменных в уравнениях системы могут отличаться отx1, x2, …, xn. Это не влияет на процесс решения. А вот порядок следования неизвестных переменных в уравнениях системы очень важен при составлении основной матрицы и необходимых определителей метода Крамера. Поясним этот момент на примере.


3) Используя метод Крамера, найдите решение системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными hello_html_mbcca8e3.png.

Решение.

В данном примере неизвестные переменные имеют другое обозначение (xy иz вместо x1x2 и x3). Это не влияет на ход решения, но будьте внимательны с обозначениями переменных. В качестве основной матрицы системы НЕЛЬЗЯ брать hello_html_m2bd2a926.png. Необходимо сначала упорядочить неизвестные переменные во всех уравнениях системы. Для этого перепишем систему уравнений как hello_html_66e4306b.png. Теперь основную матрицу системы хорошо видно hello_html_m6592231d.png. Вычислим ее определитель:
hello_html_m6ff736dc.png

Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Запишем определители hello_html_m735ed0b3.png (обратите внимание на обозначения) и вычислим их:
hello_html_m7d6ec836.png

Осталось найти неизвестные переменные по формулам hello_html_4a1d493b.png:
hello_html_m22701e4d.png

Выполним проверку. Для этого умножим основную матрицу на полученное решение hello_html_623b625a.png :
hello_html_m35ba94c1.png

В результате получили столбец свободных членов исходной системы уравнений, поэтому решение найдено верно.

Ответ:

x = 0, y = -2, z = 3.

Задание 2. Решите методом Крамера систему линейных уравнений hello_html_798800c9.png, где a и b – некоторые действительные числа.

Решение.

Вычислим определитель основной матрицы системы:
hello_html_e855da2.png

Определитель отличен от нуля, следовательно, можно применить метод Крамера.
hello_html_647edd0b.png

Находим неизвестные переменные
hello_html_m7198f3d2.png

Ответ:

hello_html_m79da0274.png.


Задание 3. Найдите решение системы четырех линейных алгебраических уравнений hello_html_5b5fd179.png содержащую четыре неизвестных переменных.

Решение.

Сразу скажем, что не будем подробно описывать вычисление определителей матриц, так как это выходит за рамки данной статьи.

Вычислим определитель основной матрицы системы, разложив его по элементам второй строки:
hello_html_m6ca0254b.png

Определитель основной матрицы системы отличен от нуля, поэтому можно воспользоваться методом Крамера для решения системы.

Найдем hello_html_m329d79d7.png:
hello_html_2cd446ba.png 
аналогично вычисляются
hello_html_m6a5e616d.png

Таким образом,
hello_html_21780d3c.png

Ответ:

hello_html_65fab70e.png.


Задание 4. Решить систему уравнений методом Крамера

.

Решение:



Т.к. , то система имеет единственное решение. Находим , заменяя I, II и III столбец в исходной матрице, столбцом свободных членов:

, ,


По формулам Крамера, имеем: , , .

Ответ: .

Задание 5. 

Задача: Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трёх видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырьё трёх типов. Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объём расхода сырья на один день заданы таблицей:
Найти ежедневный объём выпуска каждого вида обуви.

Виды сырья

Нормы расхода сырья на одну пару

расхода сырья на один день, усл. ед.

Сапоги

Кроссовки

Ботинки

1

5

3

4

2700

2

2

1

1

900

3

3

2

2

1600

По условию этой задачи можно составить следующую систему уравнений:

hello_html_m3c358e88.gif


hello_html_m374f847a.gif

Итак, x=200,y=300,z=200, т.е. фабрика выпускает 200 пар сапог, 300-кроссовок, 200 пар ботинок.

Задание 6. Решить систему уравнений методом Крамера.

hello_html_67e7a23e.gif

Задание 7. Найти ранг матрицы hello_html_35966a40.png

Решение. С помощью элементарных преобразований над ее строками приведем матрицу hello_html_45d4aaa6.png к ступенчатому виду. Для этого вначале от третьей строки отнимем две вторых:

hello_html_m69f4dbc4.png

От второй строки отнимаем четвертую строку, умноженную на 4; от третьей - две четвертых:

hello_html_5477bce8.png

Ко второй строке прибавим пять первых, к третьей - три третьих:

hello_html_78f77b9d.png

Меняем местами первую и вторую строчки:

hello_html_m7cb8566c.png

Далее четвертую и первую строки:

hello_html_78d3571d.png

Ответ. hello_html_m1d141c11.png

Задание 8. Найти ранг матрицы hello_html_d88395a.png , используя метод окаймления миноров.

Решение. Минорами минимального порядка являются миноры первого порядка, которые равны элементам матрицы hello_html_45d4aaa6.png . Рассмотрим, например, минор hello_html_71e72f85.png . расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляем его с помощью второй строки и второго столбца, получаем минорhello_html_m291a01f.png ; рассмотрим еще один минор второго порядка, для этого минор hello_html_1e462c04.png окаймляем при помощи второй строки и третьего столбца, тогда имеем минор hello_html_m229c3fa1.png , то есть ранг матрицы не меньше двух. Далее рассматриваем миноры третьего порядка, которые окаймляют минор hello_html_m42cd86f9.png . Таких миноров два: комбинация третьей строки со вторым столбцом или с четвертым столбцом. Вычисляем эти миноры:

hello_html_m6326f2fd.png

так как содержит два пропорциональных столбца (первый и второй); второй минор

hello_html_m5edf9419.png

преобразуем следующим образом: к первой строке прибавим третью, а ко второй две третьих:

hello_html_m4ef6ccff.png

И так как первая и вторая строки пропорциональны, то минор равен нулю.

Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю. А, значит, ранг матрицы hello_html_45d4aaa6.pngравен двум: hello_html_m1d141c11.png

Ответ. hello_html_m1d141c11.png


  1. Индивидуальная работа по вариантам.

Выполнить индивидуальную работу по теме «Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом определителей»

Вариант 1. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

hello_html_m13faa5ad.gif


Вариант 2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

hello_html_m1373e5bf.gif




Вариант 3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

hello_html_7b9b97bc.gif


Вариант 4. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

hello_html_m80b548d.gif


Вариант 5. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

hello_html_4809822a.gif


  1. Подведение итогов практического занятия.

Вопросы для самоконтроля:

  1. Что называется матрицей? Запишите общий вид матрицы размером mxn.

  2. Какие матрицы называются равными?

  3. Назовите виды матриц.

  4. Назовите линейные операции над матрицами.

  5. Какие матрицы можно перемножать? Как выполняется умножение?

  6. Вычисление определителей.

  7. Вычисление обратной матрицы

  8. Алгоритм решения систем трех линейных уравнений с тремя переменными с помощью определителей

  1. Домашнее задание.

Решить систему методами Крамера

1.1.

.

1.11.

.

1.2

.

1.12.

.

1.3.

.

1.13.

.

1.4.

.

1.14.

.

1.5.

.

1.15.

.

1.6.

.

1.16.

.

1.7.

.

1.17.

.

1.8.

.

1.18.

.


  1. Рефлексия.

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…

Литература.

  1. Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

  2. Богомолов Н.В. Самойленко П.И. «Математика»,- М.: Дрофа, 2010.

  3. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике»,- М.: Дрофа, 2010.

  4. Высшая математика для экономистов: Практикум / Под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. -484 с

  5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.:Высш. Школа, 2008г.

24

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ практика 4. агрономы. матрицы.docx

Агрономы Практическое занятие № 4

Практическое занятие №4

Тема: Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными при помощи метода Гаусса.

Цель: формировать навыки решения систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью методом Гаусса, систематизировать знания по выполнению операций над матрицами: сложение, вычитание, умножение матрицы на число, произведение матриц; формировать умения приводить матрицу к трапециевидному виду (последовательное исключение неизвестных), обратной матрицы.

Задачи:

развитие творческого профессионального мышления;

познавательная мотивация;

овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

углубление теоретической и практической подготовки;

развитие инициативы и самостоятельности студентов.


План практического занятия.

  1. Организационные моменты.

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.


  1. Актуализация опорных знаний.

  1. Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных примеров).

  2. Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

  • Понятие матрицы и ее элементы

  • Основные виды матриц

  • Понятие ранга матрицы, минора и определителя матрицы. Виды определителей и их свойства

  • Метод Крамера для решения систем линейных уравнений с тремя переменными

  • Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений с тремя переменными

  • Применение и значение матриц в практической деятельности.


  1. Практический этап.

Требования к выполнению практической работы:

  1. Оформить задания в тетради для практических работ.

  2. Выполнить индивидуальную работу по варианту.

  3. Ответить на один контрольный теоретический вопрос по варианту.

Метод Гаусса прекрасно подходит для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:

  • во-первых, нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность;

  • во-вторых, методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю;

  • в-третьих, метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных и основная матрица системы невырожденная, методом Гаусса.


Как бы мы поступили в школе, если бы получили задание найти решение системы уравнений hello_html_m7e1306a6.png.

Разрешим первое уравнение системы относительно неизвестной переменной x1 и подставим полученное выражение во второе и третье уравнение системы, чтобы исключить из них эту переменную:
hello_html_6df3f40c.png

Теперь разрешим второе уравнение системы относительно x2 и подставим полученный результат в третье уравнение, чтобы исключить из него неизвестную переменную x2:
hello_html_73b81312.png

Из третьего уравнения системы видно, что x3=3. Из второго уравнения находим hello_html_m303bd9c3.png, а из первого уравнения получаем hello_html_444201bb.png.

Знакомые способы решения, не правда ли?

Самое интересное здесь то, что второй способ решения по сути и есть метод последовательного исключения неизвестных, то есть, метод Гаусса. Когда мы выражали неизвестные переменные (сначала x1, на следующем этапе x2) и подставляли их в остальные уравнения системы, мы тем самым исключали их. Исключение мы проводили до того момента, пока в последнем уравнении не осталась одна единственная неизвестная переменная. Процесс последовательного исключения неизвестных называется прямым ходом метода Гаусса. После завершения прямого хода у нас появляется возможность вычислить неизвестную переменную, находящуюся в последнем уравнении. С ее помощью из предпоследнего уравнения находим следующую неизвестную переменную и так далее. Процесс последовательного нахождения неизвестных переменных при движении от последнего уравнения к первому называется обратным ходом метода Гаусса.

Следует заметить, что когда мы выражаем x1 через x2 и x3 в первом уравнении, а затем подставляем полученное выражение во второе и третье уравнения, то к такому же результату приводят следующие действия:

  • к левой и правой частям второго уравнения прибавляем соответствующие части первого уравнения, умноженные на hello_html_m5ffa0300.png,

  • к левой и правой частям третьего уравнения прибавляем соответствующие части первого уравнения, умноженные на hello_html_60a10f10.png.

Действительно, такая процедура также позволяет исключить неизвестную переменную x1 из второго и третьего уравнений системы:

hello_html_6e16dd03.png

Нюансы с исключением неизвестных переменных по методу Гаусса возникают тогда, когда уравнения системы не содержат некоторых переменных.

Например, в СЛАУ hello_html_m4ca6c5d9.png в первом уравнении отсутствует неизвестная переменная x1 (иными словами, коэффициент перед ней равен нулю). Поэтому мы не можем разрешить первое уравнение системы относительно x1, чтобы исключить эту неизвестную переменную из остальных уравнений. Выходом из этой ситуации является перестановка местами уравнений системы. Так как мы рассматриваем системы линейных уравнений, определители основных матриц которых отличны от нуля, то всегда существует уравнение, в котором присутствует нужная нам переменная, и мы это уравнение можем переставить на нужную нам позицию. Для нашего примера достаточно поменять местами первое и второе уравнения системы hello_html_m574b123a.png, дальше можно разрешить первое уравнение относительно x1 и исключить ее из остальных уравнений системы (хотя во втором уравнении x1 уже отсутствует).

Опишем алгоритм метода Гаусса.

Пусть нам требуется решить систему из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными вида hello_html_8dc952.png, и пусть определитель ее основной матрицы отличен от нуля.

Будем считать, что hello_html_5abb6f98.png, так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x1 из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на hello_html_m5ffa0300.png, к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на hello_html_60a10f10.png, и так далее, к n-ому уравнению прибавим первое, умноженное на hello_html_294af603.png. Система уравнений после таких преобразований примет вид
hello_html_m654d0274.png 
где 
hello_html_175e6cae.png,

а hello_html_mb7670a3.png.

К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x1 исключена из всех уравнений, начиная со второго.

Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке
hello_html_m7c377c4a.png

Будем считать, что hello_html_m6fbbf847.png (в противном случае мы переставим местами вторую строку с k-ой, где hello_html_7c67adf2.png). Приступаем к исключению неизвестной переменной x2 из всех уравнений, начиная с третьего.

Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на hello_html_m4f241aa0.png, к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на hello_html_2d760afb.png, и так далее, к n-ому уравнению прибавим второе, умноженное на hello_html_407d8af1.png. Система уравнений после таких преобразований примет вид
hello_html_mb4460e0.png
где 
hello_html_70ca5bd.png, а hello_html_49b7b0e5.png. Таким образом, переменная x2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x3, при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы
hello_html_m3a894f15.png

Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид
hello_html_m40ab26a1.png

С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем xn из последнего уравнения как hello_html_mdb98e9c.png, с помощью полученного значения xn находим xn-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x1 из первого уравнения.

Содержание практической работы.

  1. Выполнение заданий совместно с преподавателем.

Упражнения к практическому занятию:

Разберем алгоритм на примере.

Пример 1.

Найдите решение системы уравнений  методом Гаусса.

hello_html_m532751fb.png

Решение.

Коэффициент a11 отличен от нуля, так что приступим к прямому ходу метода Гаусса, то есть, к исключению неизвестной переменной x1 из всех уравнений системы, кроме первого. Для этого к левой и правой частям второго, третьего и четвертого уравнения прибавим левую и правую части первого уравнения, умноженные соответственно на hello_html_m1024adb1.pnghello_html_5516fe.png и hello_html_m7d78bf06.png:

hello_html_4abdbbc0.png

Неизвестную переменную x1 исключили, переходим к исключению x2. К левым и правым частям третьего и четвертого уравнений системы прибавляем левую и правую части второго уравнения, умноженные соответственно на hello_html_66f53530.png и hello_html_m49016840.png:

hello_html_3abda860.png

Для завершения прямого хода метода Гаусса нам осталось исключить неизвестную переменную x3 из последнего уравнения системы. Прибавим к левой и правой частям четвертого уравнения соответственно левую и правую часть третьего уравнения, умноженную на hello_html_m3e936e5f.png:

hello_html_33caa3a0.png

Можно начинать обратный ход метода Гаусса.

Из последнего уравнения имеем hello_html_196d6259.png,
из третьего уравнения получаем 
hello_html_m13a65cc7.png,
из второго 
hello_html_12bf9e8.png,
из первого 
hello_html_m62738454.png.

Для проверки можно подставить полученные значения неизвестных переменных в исходную систему уравнений. Все уравнения обращаются в тождества, что говорит о том, что решение по методу Гаусса найдено верно.

Ответ:

hello_html_1b51e5aa.png.

А сейчас приведем решение этого же примера методом Гаусса в матричной форме записи.


Пример 2.

Найдите решение системы уравнений  методом Гаусса.

hello_html_m532751fb.png

Решение.

Расширенная матрица системы имеет вид hello_html_m746fd0bf.png. Сверху над каждым столбцом записаны неизвестные переменные, которым соответствуют элементы матрицы.

Прямой ход метода Гаусса здесь предполагает приведение расширенной матрицы системы к трапецеидальному виду с помощью элементарных преобразований. Этот процесс схож с исключением неизвестных переменных, которое мы проводили с системой в координатной форме. Сейчас Вы в этом убедитесь.

Преобразуем матрицу так, чтобы все элементы в первом столбце, начиная со второго, стали нулевыми. Для этого к элементам второй, третьей и четвертой строк прибавим соответствующие элементы первой строки умноженные на hello_html_m1024adb1.pnghello_html_5516fe.png и на hello_html_m7d78bf06.png соответственно: 

hello_html_5db35dd8.png

Далее полученную матрицу преобразуем так, чтобы во втором столбце все элементы, начиная с третьего стали нулевыми. Это будет соответствовать исключению неизвестной переменной x2. Для этого к элементам третьей и четвертой строк прибавим соответствующие элементы первой строки матрицы, умноженные соответственно на hello_html_66f53530.png и hello_html_m49016840.png


hello_html_3b78eae0.png

Осталось исключить неизвестную переменную x3 из последнего уравнения системы. Для этого к элементам последней строки полученной матрицы прибавим соответствующие элементы предпоследней строки, умноженные на hello_html_m3e936e5f.png

hello_html_11b18394.png

Следует отметить, что эта матрица соответствует системе линейных уравнений
hello_html_19303935.png 
которая была получена ранее после прямого хода.

Пришло время обратного хода. В матричной форме записи обратный ход метода Гаусса предполагает такое преобразование полученной матрицы, чтобы матрица, отмеченная на рисунке 
hello_html_m3d4db87e.png 
стала диагональной, то есть, приняла вид 
hello_html_77e434e6.png 
где 
hello_html_569ec4a0.png - некоторые числа.

Эти преобразования аналогичны преобразованиям прямого хода метода Гаусса, но выполняются не от первой строки к последней, а от последней к первой.

Прибавим к элементам третьей, второй и первой строк соответствующие элементы последней строки, умноженные на hello_html_7b1b442c.png, на hello_html_m38f73404.png и на hello_html_m4b60f4c7.png соответственно:


hello_html_m4bdcd8c6.png

Теперь прибавим к элементам второй и первой строк соответствующие элементы третьей строки, умноженные на hello_html_75fb1fdb.png и на hello_html_m78e4bc9f.pngсоответственно:

hello_html_m768778be.png

На последнем шаге обратного хода метода Гаусса к элементам первой строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на hello_html_m18dbe879.png:

hello_html_m3af753b6.png

Полученная матрица соответствует системе уравнений hello_html_64aaf716.png, откуда находим неизвестные переменные.

Ответ:

hello_html_1b51e5aa.png.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ.

При использовании метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений следует избегать приближенных вычислений, так как это может привести к абсолютно неверным результатам. Рекомендуем не округлять десятичные дроби. Лучше от десятичных дробей переходить к обыкновенным дробям.

Пример 3.

Решите систему из трех уравнений методом Гаусса hello_html_m5926e303.png.

Решение.

Отметим, что в этом примере неизвестные переменные имеют другое обозначение (не x1, x2, x3, а x, y, z). Перейдем к обыкновенным дробям:
hello_html_m24d91235.png

Исключим неизвестную x из второго и третьего уравнений системы:

hello_html_2cc98b73.png

В полученной системе во втором уравнении отсутствует неизвестная переменная y, а в третьем уравнении y присутствует, поэтому, переставим местами второе и третье уравнения:
hello_html_41ca1f4d.png

На этом прямой ход метода Гаусса закончен (из третьего уравнения не нужно исключать y, так как этой неизвестной переменной уже нет).

Приступаем к обратному ходу.

Из последнего уравнения находим hello_html_41b99fe1.png
из предпоследнего 
hello_html_71c68921.png 
из первого уравнения имеем 
hello_html_c47e084.png

Ответ:

x = 10, y = 5, z = -20.


  1. Решить систему методом Крамера, Гаусса или матричным методом:


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задание 3. Проверить совместимость системы уравнений и в случае совместимости решить её: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) матричным способом.


3.1 3.2


3.3 3.4


3.5 3.6


3.7 3.8


3.9 3.10


3.11 3.12


3.13 3.14


3.15 3.16


3.17 3.18


3.19 3.20


3.21 3.22


3.23 3.24


3.25 3.26


3.27 3.28


  1. Индивидуальная работа по вариантам.

Выполнить индивидуальную работу по теме «Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса»

Вариант 1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

hello_html_m13faa5ad.gif


Вариант 2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

hello_html_m1373e5bf.gif


Вариант 3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

hello_html_7b9b97bc.gif


Вариант 4. Решить систему линейных уравнений Методом Гаусса:

hello_html_m80b548d.gif


Вариант 5. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

hello_html_4809822a.gif


  1. Подведение итогов практического занятия.

Вопросы для самоконтроля:

  1. Что называется матрицей? Запишите общий вид матрицы размером mxn.

  2. Какие матрицы называются равными?

  3. Назовите виды матриц.

  4. Назовите линейные операции над матрицами.

  5. Какие матрицы можно перемножать? Как выполняется умножение?

  6. Вычисление определителей.

  7. Вычисление обратной матрицы

  8. Алгоритм решения систем трех линейных уравнений с тремя переменными с помощью определителей и методом Гаусса

  1. Домашнее задание.

1.  Решить систему уравнений

hello_html_m273148bb.png

методом Гаусса. 
Решение.  Рассмотрим расширенную матрицу и приведем ее к треугольному виду, выполняя операции над строками:

hello_html_m6545f1f6.png 

hello_html_41391d9b.png 
hello_html_m7c5f694b.png

Полученная матрица описывает систему уравнений

hello_html_307385e.png

эквивалентную исходной системе. Решение находится элементарно:

hello_html_63474dfe.png 
hello_html_758cf0d2.png

Убедимся в том, что полученный набор hello_html_m38f1e61f.png обращает каждое уравнение данной системы в тождество:

hello_html_76420da9.png


2.  Решить систему уравнений

hello_html_m20b926a7.png

методом Гаусса. 
Решение.  Преобразуем расширенную матрицу, производя элементарные  операции над строками:

hello_html_m76385db2.png 
hello_html_5cfbd902.png

Третья строка этой матрицы соответствует уравнению

hello_html_160161a4.png

не имеющему решений и, следовательно, система является несовместной.


3.  Решить систему уравнений

hello_html_m15b32634.png

методом Гаусса. 
Решение.  Производя элементарные преобразования над строками, приведем расширенную матрицу к ступенчатой форме:

hello_html_m1effd132.png 
hello_html_5c6f5ad0.png

Выпишем соответствующую систему уравнений:

hello_html_m2a9e2af2.png

Последнее уравнение содержит две переменных, одну из которых нужно рассматривать в качестве свободного параметра. Назначим этому параметру произвольное значение hello_html_m4c3885b1.png и выразим остальные переменные через  c:

hello_html_m561eac00.png 
hello_html_m41a10039.png 
hello_html_m2a112be4.png

Таким образом, общее решение системы имеет вид

hello_html_23a1e2bf.png

Если подставить вместо c произвольное число, например нуль, то мы получим частное решение: hello_html_6ef7c24.png.

Подставляя  c = 2, получаем другое частное решение:  hello_html_m35ee7bcf.png.

Таким образом, данная система имеет бесконечное множество решений. 

Проверка:  Подставим hello_html_md52119f.png     hello_html_4e84a7df.png     hello_html_680fde53.png     и     hello_html_m4c3885b1.png  в каждое уравнение системы:

hello_html_ff75720.png 
hello_html_604cf482.png

Уравнения обратились в тождества.


  1. Рефлексия.

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…

Литература.

  1. Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

  2. Богомолов Н.В. Самойленко П.И. «Математика»,- М.: Дрофа, 2010.

  3. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике»,- М.: Дрофа, 2010.

  4. Высшая математика для экономистов: Практикум / Под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. -484 с

  5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.:Высш. Школа, 2008г.

33

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ практика 5. агрономы. ДУ.docx

Агрономы Практическое занятие № 5

Практическое занятие №5

Тема: Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Решение прикладных задач.

Цель: формировать навыки решения ДУ с разделяющими переменными, научиться определять вид дифференциального уравнения и способы его решения, систематизировать знания по решению линейного однородного ДУ первого и второго порядка.

Задачи:

развитие творческого профессионального мышления;

познавательная мотивация;

овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

углубление теоретической и практической подготовки;

развитие инициативы и самостоятельности студентов.

План практического занятия.

  1. Организационные моменты.

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.


  1. Актуализация опорных знаний.

  1. Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных примеров).

  2. Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

  • Что такое ДУ? Виды ДУ

  • Что такое разделение переменных?

  • В чем состоит задача Коши?

  • Какое решение ДУ называется общим, частным?

  • ДУ в полных дифференциалах и методы его решения.

  • Записать линейное ДУ n-го порядка.

  • Характеристическое уравнение для ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами.

  • Сформулировать теорему существования и единственности решения задачи Коши для ДУ.

  • Применение и значение ДУ в практической деятельности.


  1. Практический этап.

Требования к выполнению практической работы:

  1. Оформить задания в тетради для практических работ.

  2. Выполнить индивидуальную работу по варианту.

  3. Ответить на один контрольный теоретический вопрос по варианту.

Основные понятия

Определение 1. Уравнение, связывающее неизвестную функцию , ее аргумент и производную или их дифференциалы dx и dy, называется дифференциальным уравнением первого порядка, т.е.

(1)

Если из этого уравнения можно выразить y´(x), то уравнение примет вид:


при этом его называют уравнением, разрешенным относительно производной.

Определение 2. Решением дифференциального уравнения (1) называется любая дифференцируемая функция , которая при ее подстановке в уравнение (1) обращает его в верное равенство. При этом, если она задана явно, то используют термин решение, а если неявно, то говорят интеграл. График решения называется интегральной кривой. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Определение 3. Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется множество всех без исключения решений этого уравнения. Множество таких решений образуется с помощью произвольной постоянной с:

в явном виде – общее решение

и – в неявном виде – общий интеграл уравнения.

Определение 4. Частным решением, или частным интегралом дифференциального уравнения (1) называется функция или , полученная из общего решения или общего интеграла при определенном значении произвольной постоянной .

Определение 5. Поиск частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего дополнительному начальному условию:

,

где и – заданные числа, называется задачей Коши.


Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение 6. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

(2)

или уравнение вида:

(3)

Чтобы уравнения (2) и (3) можно было проинтегрировать, необходимо привести их к уравнениям с разделёнными переменными, т.е. при дифференциалах dx и dy должны быть множители, зависящие соответственно от x и от y.

Решим уравнение (2) в общем виде:





Пусть , а , тогда выражение

или , где является интегралом уравнения (2). Остается проверить, что не потеряны решения при делении уравнения на выражения, зависящие от переменных. Решим уравнение . Если оно имеет решение, являющееся и решением уравнения (2), то оно тоже будет присоединено к общему интегралу этого уравнения.

Решим уравнение (3) в общем виде:


уравнение с разделенными переменными


общий интеграл уравнения (3)

К полученному интегралу могут быть добавлены решения уравнений: и , если они являются для заданного уравнения решениями.

Некоторые дифференциальные уравнения можно привести к уравнениям с разделяющимися переменными. Например, уравнения вида:

или ,

где и – некоторые числа, приводят к виду (2) или (3) с помощью замены:


Содержание практической работы.

  1. Выполнение заданий совместно с преподавателем.

Упражнения к практическому занятию:

Разберем алгоритм на примере.

Пример 1. Решить уравнение:

Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными вида (2), так как его можно переписать в виде:


Приведем его к уравнению с разделенными переменными:




Теперь его можно интегрировать:



, обозначим


Получим общее решение уравнения.

Проверим, не потеряно ли решение ?

Подставим в заданное уравнение , а тогда и . Получим .

Значит, решение данного уравнения, но оно принадлежит полученному общему решению при .

Ответ: .


Пример 2. Решить уравнение:


Решение. Соберём слагаемые, содержащие и :



Это уравнение вида (3), так как:

Разделим переменные:


Интегрируя, получаем:



, где


это общий интеграл уравнения.

Так как уравнения и не имеют действительных решений, то при интегрировании уравнения не могли быть потеряны решения.

Ответ: .


Пример 3. Решить задачу Коши:


Решение. Уравнение является уравнением с разделяющимися переменными вида (3), так как:

Разделим переменные, поделив уравнение на


Интегрируя, получим:



.

Обозначим :


общий интеграл уравнения.

Используя начальное условие: , получим частное решение

.

Значит, частное решение данного уравнения при заданном начальном условии имеет вид:


Ответ: .


Пример 4. Решить уравнение:

.

Решение. Выполним замену: .

Тогда уравнение изменится:

.

Получилось уравнение с разделяющимися переменными вида (2), так как

. Разделим переменные:

.

Интегрируя, получим:

.

Обозначим , тогда .

Так как , то общим интегралом будет: .

Решим уравнение . Тогда z=0.

Подставим в заданное уравнение и получим тождество: 0+1=1. Значит, или решение для данного уравнения, но не входит в общий интеграл.

Ответ: .


  1. Задачи для решения на занятии

  1. Найти общие решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

    1.

    2.

    3.

    4.

    5.

    6.

    7.

    8.

  2. Найти частные решения дифференциальных уравнений.

    9. , если у=2 при х=0.

    10. , если у=1 при х=2.

    11. , если у=0,5 при

  3. Найти общее решение однородных дифференциальных уравнений.

Однородное уравнение первого порядка: определение и метод его решения

Определение 1. Уравнение первого порядка вида называется однородным, если его правая часть является однородной функцией нулевого измерения, т.е. при любом справедливо равенство: .

Замечание 1. Уравнение является однородным, так как функция удовлетворяет определению однородности нулевого измерения.

Определение 2. Уравнение вида


называется однородным, если однородные функции одного измерения однородности, т.е. и


Метод решения однородного уравнения

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены функции y(x) по формуле:


где новая функция, относительно которой и получится уравнение с разделяющимися переменными.

Решение однородного уравнения в общем виде

замена:

После замены получается уравнение:


Разделим переменные и проинтегрируем полученное равенство:



Выполнив обратную замену:


получим общий интеграл данного уравнения:


Далее необходимо проверить, не потеряны ли решения. Если уравнение имеет решения , то решения уравнения , хотя при данное уравнение принимает вид: уравнение c разделяющимися переменными, решение которого не составит большого труда.


Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

1) Уравнение приводится к однородному.

Для этого выполним замену:


если

После такой замены получается однородное уравнение относительно неизвестной функции в котором, выполняя замену: получается уравнение с разделяющимися переменными.

Если же то после замены: исходное уравнение превращается в уравнение с разделяющимися переменными.


2) Некоторые ДУ возможно привести к однородным для новой, пока неизвестной функции если применить замену вида:


При этом число подбирается из условия, чтобы полученное уравнение, если это возможно, стало однородным. Однако если это сделать невозможно, значит рассматриваемое ДУ привести к однородному таким способом нельзя.

Примеры с решениями

Пример 1. Решить уравнение:


Решение. Данное уравнение имеет вид

однородное. Выполним замену:





общее решение уравнения.

При разделении переменных и делении на могло быть потеряно решение Однако функция не является решением данного уравнения.

Ответ:


Пример 2. Решить уравнение:


Решение. Проверим, что функции являются однородными функциями измерения.


Следовательно, уравнение является однородным.

Выполним замену:


Тогда получим уравнение с разделяющимися переменными:


Разделим переменные:



общее решение уравнения

Прямой подстановкой в заданное уравнение убедимся, что является его решением, но оно было потеряно при делении уравнения на

Ответ:


Пример 4. Решить уравнение:


Решение. Покажем, что это уравнение приводится к однородному с помощью подстановки и далее интегрируется с использованием замены


Полученное уравнение будет однородным, если показатели степеней при и равны между собой, то есть:


Выполним подстановку:





Получилось однородное уравнение. Сделаем замену:


Получим общий интеграл данного уравнения. Однако заметим, что при разделении переменных было потеряно решение исходного уравнения которое надо добавить в ответ. Также было потеряно решение

Ответ:

12. ; 13. ; 14.

IV. Найти общее решение линейных дифференциальных уравнений

Определения и методы решения

Определение 1. Уравнение вида:

(1)

где и – заданные непрерывные функции на называется линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ). Если при то уравнение имеет вид:


и называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ). А если при то уравнение (1) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ).

Метод решения ЛНДУ

1) Метод вариации произвольной постоянной:

  • сначала решить соответствующее ЛОДУ, которое является уравнением с разделяющимися переменными:






(2)

  • заменить в формуле (2) постоянную на неизвестную функцию и подставить это выражение вместо в уравнение (1), предварительно найдя

  • из полученного уравнения найти функцию

  • записать ответ:


где произвольная постоянная.

2) Метод Бернулли:

  • выполнить в уравнении (1) замену Бернулли:



(3)

  • приравнять к нулю выражение


и найти отсюда любое частное решение





  • подставить полученную функцию в уравнение (3) и найти общее решение из этого уравнения;

  • записать ответ:

где произвольная постоянная.

Уравнение Бернулли

Определение 2. Уравнение вида

где и (4)

называется уравнением Бернулли с показателем .

Уравнение (4) приводится к ЛНДУ(1) с помощью замены:


После этой замены уравнение (1) приводится к следующему:


Это уравнение ЛНДУ относительно функции Его можно решать также с помощью замены Бернулли. Но можно и уравнение (4), не проводя замену к функции , решать методом замены Бернулли непосредственно. При этом функция будет частным решением уравнения


а функция будет находиться из уравнения

.

Замечание 1. При таком решении при решение будет всегда потеряно.

Замечание 2. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка становятся линейными или уравнениями Бернулли, если в них поменять ролями искомую функцию и независимую переменную.

Примеры с решениями

Пример 1. Решить уравнение:

.

Решение. Уравнение имеет вид (1), где Решим его двумя способами.

Способ 1 (метод вариации постоянной)

1) Решим сначала ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ:


Это уравнение с разделяющимися переменными:




, где произвольная постоянная.

2) Решение данного уравнения ищем в таком же виде, но считаем переменной т.е.


Найдем и подставим функцию в заданное уравнение:





где произвольная постоянная. Следовательно, общим решением заданного дифференциального уравнения будет:


Способ 2 (метод Бернулли)

Выполним в заданном уравнении замену Бернулли:



. (*)

1) Найдем функцию из уравнения:



где любое число.

Но так как нас интересует частное решение , то выберем значение :


2) Найдем функцию решая уравнение (*) при


где – произвольная постоянная.

Следовательно, общее решение заданного уравнения можно записать:


Ответ: .


Пример 2. Решить задачу Коши:


Решение. Заданное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Решим его методом Бернулли. Для этого сделаем замену:


которая приведет к следующему уравнению:


(**)

1) Функцию найдем из уравнения:


,

где любое число,


поэтому возьмем , т.е.

.

2) Найдем функцию из уравнения (**) при



где – произвольная постоянная.

Общее решение данного уравнения:


В полученном общем решении найдем так, чтобы удовлетворялось условие:


Значит, решением задачи Коши является функция


Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение:



Решение. Данное уравнение не является линейным относительно функции Но если учесть, что


то уравнение можно переписать в виде:

(5)

которое является линейным уравнением относительно функции Решим полученное уравнение методом вариации постоянной:

1) Сначала решаем ЛОДУ:



2) Пусть тогда

Подставим эту функцию в уравнение (5):



где – произвольная постоянная.

Следовательно, общее решение уравнения (5) имеет вид:


Чтобы найти общее решение заданного уравнения, заметим, что при переходе от данного уравнения к уравнению (5) могло быть потеряно решение . Действительно, подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что – решение данного уравнения и оно не попадает в общее решение уравнения (5) ни при каком значении Поэтому записываем его в ответ.

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение:


Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли с показателем Решим его методом Бернулли. Для этого выполним замену:


(***)

1) Функцию найдем из уравнения:


где – любое число (пусть ), тогда


2) Найдем функцию из уравнения (***) при :


где – произвольная постоянная.

После преобразований получим:


Следовательно, общее решение данного уравнения запишется следующим образом:


Так как то в ответ запишем и потерянное решение

Ответ:


15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение 1. Уравнение вида

(3)

где и действительные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами.

Метод Эйлера для решения ЛОДУ с постоянными коэффициентами

Частные решения такого уравнения получают с помощью замены:

(*)

Подставляя в уравнение (3) выражения (*), получим:


(4)

Уравнение (4) называется характеристическим для данного уравнения (3). Оно является квадратным уравнением, поэтому в зависимости от величины дискриминанта возможны три случая.


1) Тогда корни характеристического уравнения (4) действительные и различные – Они дадут два линейно независимых решения: и . Следовательно, в этом случае по теореме 1 общее решение уравнения (3) можно записать в виде:


2) В этом случае Поэтому одно решение уравнения (3) будет . В качестве второго, линейно независимого с первым, можно взять функцию . Следовательно, в этом случае по теореме 1 общее решение уравнения (3) можно записать в виде:


или

3) В этом случае корни уравнения (4) комплексно-сопряженные: Тогда в качестве линейно независимых решений можно взять функции и Следовательно, в этом случае по теореме 1 общее решение уравнения (3) можно записать в виде:


или

Пример 1. Найти фундаментальную систему решений и общее решение:


Решение. Подставляя в заданное уравнение, получим характеристическое уравнение:


Так как корни действительные и различные, то фундаментальную систему решений этого уравнения составят функции:


Тогда общее решение данного уравнения можно записать в виде линейной комбинации:


Ответ:

Пример 2. Решить уравнение:


Решение. Характеристическое уравнение:



Корни этого уравнения будут действительными и равными:


Тогда фундаментальную систему решений этого уравнения составят функции:


Общее решение запишется как линейная комбинация этих решений:


Ответ:

Пример 3. Решить уравнение:


Решение. Характеристическое уравнение:


Решим его:

Корни этого уравнения будут комплексно-сопряженными:


Фундаментальную систему решений этого уравнения составят функции:


Общее решение запишется как линейная комбинация этих функций:


Ответ:

Пример 4. Решить задачу Коши:


Решение. Характеристическое уравнение:



Корни этого уравнения действительные и равные:


Фундаментальную систему решений этого уравнения составят функции:


Общее решение запишется как линейная комбинация этих функций:


Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям и Сначала найдем:


Составим систему из двух уравнений, подставляя в общее решение


Подставим найденные значения и в общее решение:

это и будет решение задачи Коши.

Ответ:


  1. Индивидуальная работа по вариантам.

Выполнить индивидуальную работу по теме «Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами»

1.

2.

3.

4.

5.

Ответы

1.

2.

3.

4.

5.


  1. Подведение итогов практического занятия.

Подведение итогов занятия, выставить отметки обучающимся в журнал.

Вопросы для самоконтроля:

  1. Что такое ДУ? Виды ДУ

  2. Что такое разделение переменных?

  3. В чем состоит задача Коши?

  4. Какое решение ДУ называется общим, частным, особым?

  5. ДУ в полных дифференциалах и методы его решения.

  6. Записать линейное ДУ n-го порядка.

  7. Характеристическое уравнение для ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами.

  8. Сформулировать теорему существования и единственности решения задачи Коши для ДУ.

  9. Алгоритм решения ДУ с разделяющими переменными

  10. Применение и значение ДУ в практической деятельности


  1. Домашнее задание.

Выполнить домашнюю контрольную работу.

Контрольная работа содержит 2 задания:

  1. Найти общее решение дифференциального уравнения I порядка.

  2. Найти частное решение дифференциального уравнения II порядка , удовлетворяющее начальным условиям .

.

вар-та

Задания

1

1) ; 2)

2

1) ; 2)

3

1) ; 2)

4

1) ; 2)

5

1) ; 2)

6

1) ; 2)

7

1) ; 2)

8

1) ; 2)

9

1) ; 2)

10

1) ; 2)

Самостоятельная работа.

Реферат, доклад, презентация, научная статья по темам:

Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка. Решение линейных однородных уравнений второго порядка.


  1. Рефлексия.

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…

Литература.

  1. Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

  2. Богомолов Н.В. Самойленко П.И. «Математика»,- М.: Дрофа, 2010.

  3. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике»,- М.: Дрофа, 2010.

  4. Высшая математика для экономистов: Практикум / Под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. -484 с

  5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.:Высш. Школа, 2008г.

17

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ практика 6. агрономы. ДУ.docx

Агрономы Практическое занятие № 6

Практическое занятие №6

Тема: Определение сходимости рядов по признаку Даламбера. Определение сходимости знакопеременных рядов.

В соответствии с требованиями ФГОС:

Студент должен знать:

  • основы интегрального и дифференциального исчисления

  • основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности

Студент должен уметь:

  • решать задачи при освоении образовательной программы

Цели занятия:

  1. Дидактические:

  • формирование умений в соответствии с требованиями ФГОС: научиться решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности, решать задачи при освоении образовательной программы по теме «Ряды»;

  • контроль и коррекция знаний по теме «Дифференциальное исчисление»;

2. Развивающие:

  • развивать способность осуществлять поиск информации;

  • развивать способность организовывать свою деятельность, выбирать методы и способы решения поставленных задач;

  • развивать способность использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности (ОК 5);

  • развивать способность принимать решение в стандартных и нестандартных ситуациях (ОК 3).

3. Воспитательные:

  • воспитывать устойчивый интерес к профессии медицинского работника;

  • воспитывать чувство ответственности за результаты своей работы;

  • воспитывать толерантность;

  • воспитывать чувство аккуратности и точности в будущей профессиональной деятельности.

Тип занятия: формирование умений

Вид занятия: практическое занятие

Методы обучения: Решение математических задач с использованием формул, репродуктивный.

Метод контроля знаний: письменный опрос, фронтальный опрос.

Продолжительность занятия: 90 минут.

План практического занятия.

  1. Организационные моменты.

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.


  1. Актуализация опорных знаний.

  1. Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных примеров).

  2. Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

Вариант – 1.

1 Найти производные функций:

2 Найти производную второго порядка в точке :


Вариант – 2.

1 Найти производные функций:

2 Найти производную второго порядка в точке :


Вариант – 3.

1 Найти производные функций:

2 Найти производную второго порядка в точке :

Вариант – 4.

1 Найти производные функций:

2 Найти производную второго порядка в точке :


Эталон ответов

Вариант – 1.
  1. -21х6+32х3-4

  2. 2. 1/(5cos2(2-5x))

  3. 3. 4x/(sqrt(4x2+5))

  4. 122

Вариант – 2.

  1. (20x3+12x2+5)/(5x+2)2

  2. 3sin(2-3x)

  3. 2/x

  4. 168

Вариант – 3.

  1. 12x5-16x3-9x2+6

  2. (cos(sqrt(x)))/(2(sqrt(x)))

  3. 15(3x+2)2

  4. -62

Вариант – 4.

  1. (24x3-27x2+4)/(3-4x)2

  2. 1/(-2sin2(3-2x))

  3. 3x/(sqrt(3x2-1))

  4. 122


  1. Практический этап.

Требования к выполнению практической работы:

  1. Оформить задания в тетради для практических работ.

  2. Выполнить индивидуальную работу по варианту.

  3. Ответить на один контрольный теоретический вопрос по варианту.

Дидактический дополнительный материал

Краткие теоретические сведения

Пусть задана бесконечная последовательность чисел hello_html_m4cd3e1ac.gif . Выражение hello_html_6bd6e7eb.gif называется числовым рядом. При этом числа hello_html_m4cd3e1ac.gif называются членами ряда.


Числовой ряд часто записывают в виде 
hello_html_m3d7a143b.gif.


Теорема (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то его hello_html_b5a6cb0.gif-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании hello_html_b5a6cb0.gif.


Следствие. Если hello_html_b5a6cb0.gif-й член ряда не стремится к нулю при hello_html_m45a17d8d.gif, то ряд расходится.


Теорема (признак Даламбера). Если в ряде с положительными членами hello_html_6bd6e7eb.gif отношение hello_html_m4b31e07b.gif-го члена ряда к hello_html_b5a6cb0.gif-му при hello_html_m45a17d8d.gif имеет конечный предел hello_html_m6b979573.gif, т.е. hello_html_12d6f25a.gif, то:
- ряд сходится в случае 
hello_html_m56528530.gif,
- ряд расходится в случае 
hello_html_m3897c586.gif.
В случаях, когда предел не существует или он равен единице, ответа на вопрос о сходимости или расходимости числового ряда теорема не дает. Необходимо провести дополнительное исследование


Содержание практической работы.

Студенты выполняют практическую работу в соответствии с методическими указаниями и рекомендациями, данными преподавателем. Преподаватель в процессе выполнения работы консультирует студентов, направляет их при возникновении затруднений.

Задание 1.Написать первые четыре члена ряда.

Время для выполнения – 15 минут.

  1. Обобщение и повторение знаний по теме: «Пределы» (совместно со студентами)

  2. Изучение студентами дополнительного теоретического материала (работа в парах)

  3. Выполнение математических упражнений у доски (коллективный анализ ошибок)


1.


2.


3.


Задание 2.Найти общий член ряда.

Время для выполнения – 17 минут. Выполнение математических упражнений у доски (коллективный анализ ошибок)


1.


2.


Задание 3.Исследовать сходимость ряда.

Время для выполнения – 30 минут.

Самостоятельное выполнение математических упражнений в тетради.

1.

+

2.


3.


4.



Дополнительные задания:

hello_html_m31d05159.png



  1. Индивидуальная работа по вариантам.

Выполнить индивидуальную работу по теме «Ряды»

Вариант 1

Исследовать сходимость ряда, пользуясь признаком сходимости Даламбера: 

hello_html_535870cb.gif

hello_html_m73d2e37.gif

hello_html_19f47638.gif

hello_html_3b74b36e.gif

Вариант 2

Исследовать сходимость ряда, пользуясь признаком сходимости Даламбера:

 hello_html_m5b709834.gif

hello_html_m12805815.gif

hello_html_19e9f14e.gif

hello_html_m43c58aa4.gif

Эталон ответов

Вариант 1

Сходится

Сходится

Расходится

Расходится

Вариант 1

Сходится

Сходится

Расходится

Расходится


  1. Подведение итогов практического занятия.

Преподаватель обобщает результаты работы, достижение целей занятия, комментирует работу на занятии отдельных студентов и всей группы в целом. Выставление итоговых оценок интегративно с учётом вводного контроля, проделанной самостоятельной работы, заключительного контроля.


  1. Домашнее задание.

Выполнить домашнюю контрольную работу.

Пример 1.

Разложить функцию в ряд по степеням hello_html_m3204bdc.gif. Найти область сходимости ряда.
hello_html_6c5bf773.gif
Указание: предварительно функцию следует упростить, используя свойства логарифмов: 
hello_html_m74f085c2.gif

Решение: преобразуем функцию: 
hello_html_3ffb3d37.gif
Используем разложение:
hello_html_m35ea0c6c.gif
В данном случае hello_html_5d72c653.gif
hello_html_m61ae40f3.gif
Таким образом:
hello_html_m44a801d9.gif
Или в свёрнутом виде: hello_html_m1f9bc292.gif
Найдем область сходимости полученного степенного ряда. Согласно таблице, использованное разложение сходится при hello_html_3ede13f9.gif. В данном случае hello_html_5d72c653.gif, поэтому:
hello_html_254a05db.gif
hello_html_m70876b6f.gif – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала.
В точке hello_html_2804fe47.gif функция hello_html_6c5bf773.gif терпит бесконечный разрыв.
При hello_html_m3bab7801.gif – сходится.
Таким образом, область сходимости полученного степенного ряда: hello_html_m6e5ca51.gif

Пример 2. 

Разложить функцию hello_html_1ed98047.gif в ряд Тейлора по степеням hello_html_22c4fae0.gif. Найти область сходимости полученного ряда.

Решение: Используем  разложение функции в ряд Тейлора по степеням hello_html_mb880e0f.gif:
hello_html_m836a3f.gif
В данном случае: hello_html_m34c66265.gif
hello_html_773a396b.gif
hello_html_m7d8c79b0.gif
hello_html_m499fffde.gif
hello_html_m5b5a5a6d.gif
hello_html_59fff03a.gif
hello_html_265de9c5.gif 
hello_html_3a5f4c29.gif

hello_html_m4adc27fd.gif
hello_html_m8b0c096.gif 

Таким образом:
hello_html_m48c59e56.gif Ответ
hello_html_md51903d.gif
 ряд сходится при hello_html_m685053a8.gif.


Самостоятельная работа.

Реферат, доклад, презентация, научная статья по темам:

Признак сходимости Даламбера. Разложение функций в ряд Маклорена.


  1. Рефлексия.

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…

Литература.

  1. Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

  2. Богомолов Н.В. Самойленко П.И. «Математика»,- М.: Дрофа, 2010.

  3. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике»,- М.: Дрофа, 2010.

  4. Высшая математика для экономистов: Практикум / Под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. -484 с

  5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.:Высш. Школа, 2008г.

8

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Бухгалтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ технол. карта. лекция 2.агрономы. 2 курс .docx

Агрономы Технологическая карта лекционного занятия № 2

Технологическая карта практического занятия по теме «Системы трех линейных уравнений с тремя переменными и их решение с помощью определителей, методом Гаусса, матричным методом», 2 курс ФГАОУ ВО «КФУ им. В. И. Вернадского» Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

Технологическая карта лекционного занятия № 2 (1 пара - 90 мин).

Обучающие:

- Приобретение базовых знаний в области фундаментального раздела математики – линейной алгебры. Изучить системы линейных уравнений, определители второго и третьего порядка, формулы Крамера,  научиться решать системы двух (трех) линейных уравнений с двумя (тремя) переменными с помощью  формул Крамера, методом Гаусса и матричным методом.

- Формировать навыки выполнения операций над матрицами и решению систем трех линейных уравнений с тремя переменными.

Развивающие:

- Формирование умения пользоваться математическими инструментами,

- Формирование умения применять свои знания при решении математических задач по данной теме;

- Углубление знаний, умений и навыков; развитие творческой деятельности: интуиции, пространственного воображения, смекалки;

- Развитие мыслительных операций посредством конкретизации, развитие зрительной памяти, потребности к самообразованию, способствовать развитию познавательных процессов.

Воспитательные:

- Воспитание устойчивого интереса к математике,

- Воспитание математической культуры,

- Развитие самоорганизации обучающихся,

- Эстетическое воспитание.

Используемые технологии

Дифференцированного обучения, коммуникативного общения, развивающее обучение.


Планируемые результаты

Предметные:

Студент знает:

  • Понятие системы трех линейных уравнений с тремя переменными

  • Алгоритм решения системы трех линейных уравнений с тремя переменными методом определителей.

  • Алгоритм решения системы трех линейных уравнений с тремя переменными методом Гаусса.

  • Алгоритм решения системы трех линейных уравнений с тремя переменными матричным методом.

  • Применение и значение матриц и систем трех линейных уравнений с тремя переменными в практической деятельности.

Умеет:

  • Определять вид матрицы

  • Выполнять основные действия с матрицами (сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу)

  • Вычислять ранг матрицы, определитель матрицы, миноры и дополнения

  • Транспонировать матрицы, находить обратную матрицу

  • Решать системы трех линейных уравнений с тремя переменными методом определителей, метод Гаусса и матричным методом.

  • Грамотно формулировать свои мысли по поставленному вопросу, анализировать, делать выводы.

УУД

Личностные УУД: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении задач линейной алгебры.

Регулятивные УУД: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Познавательные УУД: имеют первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов; умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и формулировать выводы.

Коммуникативные УУД: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Основные понятия

Матрица, минор, определитель, ранг матрицы, квадратичная матрица, транспонирование матрицы, обратная матрица, теорема Крамера, уравнение, система уравнений, решить уравнение, решить систему уравнений, Теорема Гаусса, матричный метод решения систем линейных уравнений

Ресурсы:

- основные


- дополнительные

Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

Презентация «Системы трех уравнений с тремя переменными и методы их решения»

Организация пространства



Организация структуры урока

Этап урока

Время

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

УУД

Организационный этап. Мотивация учебной деятельности обучающихся.

5 мин

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.

Приветствуют преподавателя, организуют свое рабочее место, демонстрируют готовность к занятию.

Личностные

-настроить на работу;

-организация рабочего места.

Регулятивные

-целеполагание;

-планирование учебного сотрудничества совместно с преподавателем.

Коммуникативные

-владение диалогической речью.

Актуализация знаний и умений

15 мин

  1. Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных примеров).

  2. Вопросы для закрепления теоретического материала:

1.Какое уравнение называется линейным ? Общий вид.

2.Что мы называем системой линейных уравнений ?

3.Что называется решением системы линейных уравнений ?

4.Какие методы решения систем линейных уравнений вы знаете ?

5.В чем суть графического способа решения системы линейных уравнений?

6.В чем суть метода подстановки  решения системы линейных уравнений ?

Отвечают на вопросы.

Проводят самоанализ, вспоминают правила, формулы, алгоритмы, определения

Регулятивные: высказывают свои мнения

Личностные: интерес к учебному материалу, способность к самооценке.

Коммуникативные: умеют слушать, вступать в диалог, участвовать в коллективном действии.

Познавательные: обучающиеся вспоминают, отвечают.

Изучение нового материала

20 мин

Изучение нового материала согласно плана:

  1. Понятие системы трех линейных уравнений с тремя переменными.

  2. Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными методом определителей.

  3. Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными методом Гаусса.

  4. Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными матричным методом.

Слушают объяснение преподавателя, записывают в тетрадь основные определения, свойства, формулы.

Участвуют в обсуждении применения свойств, теорем, определений и алгоритмов вычислений применяемых к матрицам и системам линейных уравнений. Участвуют в обсуждении понятия, видов и способов определения определителей матрицы. Учатся решать системы трех линейных уравнений с тремя переменными методом определителей.

Заполняют опорный конспект

Регулятивные: выполнение пробного учебного действия.

Познавательные: извлечение необходимой информации из текстов, проводят рефлексию действий, совместно с преподавателем создают алгоритм деятельности.

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.

Закрепление и систематизация изученного материала (Практический этап)

40 мин

Решение тренировочных упражнений на закрепление основных понятий, формул и методов применения основных теорем и определений для решения задач линейной алгебры

Формы и методы закрепления:

Метод - диалоговые технологии. Форма – решение упражнения

Задания в подробном конспекте практического занятия


Участвуют в решении тренировочных упражнений по закреплению темы.

Регулятивные: выполнение закрепляющего, систематизирующего учебного действия.

Познавательные: извлечение необходимой информации из текстов, проводят рефлексию действий, совместно с учителем создают алгоритм деятельности.

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.

Подведение итогов занятия

5 мин

Подводит итоги, оценивает работу, выставляет отметки.

Вопросы и задания для самооценки:

Вопросы и задания для самооценки:

  1. Что называется матрицей?

  2. Правила вычисления определителей третьего порядка?

  3. Запишите формулы Крамера для решения системы трёх линейных уравнений с тремя переменными.

  4. Матричный метод решения систем линейных уравнений.

  5. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Слушают преподавателя, осмысливают, отвечают на вопросы для самооценки.








Личностные

-подведение итога урока;

-самооценка критериев успешности.

Коммуникативные.

-выражение своих мыслей;

-использование критериев для обоснования суждений.

Регулятивные.

-оценивание.

Познавательные.

-контроль и оценка процессов результата деятельности.


Домашнее задание

3 мин

Информирует и консультирует обучающихся.

Выполнить домашнюю работу – Учить определения, составить опорную схему конспекта. Выполнить упражнения - задания в подробном конспекте занятия

Записывают домашнее задание.

Рефлексия

2 мин

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…

Осмысливают содержания деятельности, собственное сознание и самопознание, размышляют о предстоящей деятельности.


9

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Экскурсовод (гид)

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ технол. карта. лекция 3.агрономы. 2 курс .docx

Финансы Технологическая карта лекционного занятия № 3

Технологическая карта лекционного занятия по теме «Дифференциальное и интегральное исчисление», 2 курс ФГАОУ ВО «КФУ им. В. И. Вернадского» Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

Технологическая карта лекционного занятия № 3 (1 пара - 90 мин).

Образовательные: обобщить и систематизировать знания и умения обучающихся по дифференциальному и интегральному исчислению

Развивающие:

- способствовать развитию умений анализировать, устанавливать связи, причины и следствия;

- предвидеть возможные ошибки и способы их устранения;

- способствовать повышению концентрации внимания, развитию памяти и речи.

Воспитательные:

- способствовать развитию интереса к предмету «Математика»;

- способствовать развитию самостоятельности мышления;

- в целях решения задач эстетического воспитания содействовать в ходе урока опрятному и грамотному построению графиков функций.

Используемые технологии

Дифференцированного обучения, коммуникативного общения, развивающее обучение.


Планируемые результаты

Предметные:

Студент знает: применение пределов функций, применение производных функции, применение интеграла.

Умеет:

- использовать алгоритмы, свойства основные теоремы для отыскания пределов функции;

- использовать алгоритмы, свойства основные теоремы для отыскания производных функции и знать применение производной к исследованию функции и решению задач (геометрический и механический смысл производной);

- использовать алгоритмы, свойства основные теоремы для отыскания определенных и неопределенных интегралов, знать геометрическое применение определенного интеграла (площадь криволинейной трапеции);

- уметь четко и ясно излагать свои мысли, анализировать, делать выводы.

УУД

Личностные УУД: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении задач линейной алгебры.

Регулятивные УУД: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Познавательные УУД: имеют первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов; умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и формулировать выводы.

Коммуникативные УУД: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Основные понятия

Функция, предел функции, непрерывность функции, производная функции, интеграл

Ресурсы:

- основные


- дополнительные

Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

Раздаточный материал

Организация пространства



Организация структуры урока

Этап урока

Время

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

УУД

Организационный этап. Мотивация учебной деятельности обучающихся.

5 мин

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.

Приветствуют преподавателя, организуют свое рабочее место, демонстрируют готовность к занятию.

Личностные

-настроить на работу;

-организация рабочего места.

Регулятивные

-целеполагание;

-планирование учебного сотрудничества совместно с преподавателем.

Коммуникативные

-владение диалогической речью.

Актуализация знаний и умений

15 мин

  1. Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных примеров).

  2. Проверка теоретических сведений по «Основам линейной алгебры».

  1. Понятие матрицы.

  2. Действия над матрицами

  3. Определители матрицы. Их свойства

  4. Минор. Алгебраическое дополнение. Обратная матрица

  5. Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и способы их решения.

  6. Применение матриц в практической деятельности.

Отвечают на вопросы.

Проводят самоанализ, вспоминают правила, формулы, алгоритмы, определения

Регулятивные: высказывают свои мнения

Личностные: интерес к учебному материалу, способность к самооценке.

Коммуникативные: умеют слушать, вступать в диалог, участвовать в коллективном действии.

Познавательные: обучающиеся вспоминают, отвечают.

Повторение и обобщение изученного материала

20 мин

Повторение и обобщение изученного материала по теме «Дифференциальное и интегральное исчисление» по плану:

  1. Функция одной переменной. Пределы

  2. Непрерывность функции

  3. Производная, геометрический смысл

  4. Исследование функций с помощью производной

  5. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование. Замена переменной

  6. Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла

  7. Функция нескольких переменных. Применение интеграла к решению прикладных задач

Систематизируют и обобщают свои знания по теме «Дифференциальное и интегральное исчисление»

Слушают объяснение преподавателя, записывают в тетрадь основные определения, свойства, формулы.

Участвуют в обсуждении применения свойств, теорем, определений и алгоритмов вычислений применяемых к дифференцированию и интегрированию, исследованию и построению функций с помощью производной. Участвуют в обсуждении понятия, и способов определения предела функции, производной функции, определенного и неопределенного интеграла.

Заполняют опорный конспект.

Практикуются в решении практических задач по теме

Регулятивные: выполнение пробного учебного действия.

Познавательные: извлечение необходимой информации из текстов, проводят рефлексию действий, совместно с преподавателем создают алгоритм деятельности.

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.

Закрепление и систематизация изученного материала (Практический этап)

40 мин

Решение тренировочных упражнений на закрепление основных понятий, формул и методов применения основных теорем и определений для решения задач математического анализа ( дифференциальное и интегральное исчисление)

Формы и методы закрепления:

Метод - диалоговые технологии. Форма – решение упражнения

Задания в подробном конспекте практического занятия

Участвуют в решении тренировочных упражнений по закреплению темы.

Регулятивные: выполнение закрепляющего, систематизирующего учебного действия.

Познавательные: извлечение необходимой информации из текстов, проводят рефлексию действий, совместно с учителем создают алгоритм деятельности.

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.

Подведение итогов занятия

5 мин

Подводит итоги, оценивает работу, выставляет отметки.

Слушают преподавателя, осмысливают, отвечают на вопросы для самооценки.








Личностные

-подведение итога урока;

-самооценка критериев успешности.

Коммуникативные.

-выражение своих мыслей;

-использование критериев для обоснования суждений.

Регулятивные.

-оценивание.

Познавательные.

-контроль и оценка процессов результата деятельности.

Домашнее задание

3 мин

Информирует и консультирует обучающихся.

Выполнить домашнюю работу – Учить определения, составить опорную схему конспекта. Выполнить упражнения - задания в подробном конспекте занятия

Записывают домашнее задание.

Рефлексия

2 мин

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…

Осмысливают содержания деятельности, собственное сознание и самопознание, размышляют о предстоящей деятельности.

Самостоятельная работа


Производная, ее геометрический смысл. Непрерывность функции. Асимптоты. Неопределенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла.

Выполнить домашнее задание в виде контрольной работы по данной теме.

Составляют опорный конспект по вопросам.

Выполняют домашнюю контрольную работу в двух вариантах


7

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ технол. карта. лекция 4.агрономы. 2 курс .docx

Финансы Технологическая карта лекционного занятия № 4

Технологическая карта лекционного занятия по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения в частных производных», 2 курс ФГАОУ ВО «КФУ им. В. И. Вернадского» Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

Технологическая карта лекционного занятия № 4 (1 пара - 90 мин).

Образовательные:

- систематизировать и обобщить понятие дифференциальное уравнение;

- помочь овладеть методами решения ДУ;

- отработать навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка различных видов;

Развивающие:

- способствовать развитию умений анализировать, устанавливать связи, причины и следствия;

- предвидеть возможные ошибки и способы их устранения;

- способствовать повышению концентрации внимания, развитию памяти и речи.

Воспитательные:

- способствовать развитию интереса к предмету «Математика»;

- способствовать развитию самостоятельности мышления;

- в целях решения задач эстетического воспитания содействовать в ходе урока опрятному и грамотному построению графиков функций.

Используемые технологии

Дифференцированного обучения, коммуникативного общения, развивающее обучение.


Планируемые результаты

Предметные:

Студент знает: применение и способы решения дифференциальных уравнений.

Умеет:

- использовать алгоритмы, свойства основные теоремы для отыскания интегралов;

- использовать алгоритмы, свойства основные теоремы для отыскания производных функции;

- использовать алгоритмы, свойства, основные теоремы для решения дифференциальных уравнений;

- уметь четко и ясно излагать свои мысли, анализировать, делать выводы.

УУД

Личностные УУД: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении задач математического анализа.

Регулятивные УУД: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Познавательные УУД: имеют первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов; умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и формулировать выводы.

Коммуникативные УУД: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Основные понятия

Производная функции, интеграл, дифференциальное уравнение, общее и частное решение дифференциального уравнения, однородное, линейное, простейшее дифференциальное уравнение в частных производных, задача Коши

Ресурсы:

- основные


- дополнительные

Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

Раздаточный материал, презентация

Организация пространства



Организация структуры урока

Этап урока

Время

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

УУД

Организационный этап. Мотивация учебной деятельности обучающихся.

5 мин

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.

Приветствуют преподавателя, организуют свое рабочее место, демонстрируют готовность к занятию.

Личностные

-настроить на работу;

-организация рабочего места.

Регулятивные

-целеполагание;

-планирование учебного сотрудничества совместно с преподавателем.

Коммуникативные

-владение диалогической речью.

Актуализация знаний и умений

15 мин

        1. Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных задач

        2. Выполнить устно упражнения:

а) найти производную:

(3х)'=… (х3)'=… (6х2)'=… (х+5)'=… (5х-4)'=… (2sinx)'=…

)'=…

б) Указать угловой коэффициент прямой:

У=3х+4

У=6-7х

в) Чему равен угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке х0? ( ответ: производной функции при х0)

г) Как обозначается дифференциал функции? Назовите формулу дифференциала функции. ( ответ: dF=F'dx).

д) Назовите процесс обратный дифференцированию? (интегрирование)

е) в чем заключается смысл неопределенного интеграла? (Неопределенный интеграл – это семейство интегральных кривых, каждая из которых получается из одной путем параллельного переноса вдоль оси ОУ)

2. Работа по карточкам у доски:

а) ( ответ: I=2x+lnx+С); б) ; (I=ln(x+2)+C);

в) ().

Отвечают на вопросы.

Проводят самоанализ, вспоминают правила, формулы, алгоритмы, определения

Регулятивные: высказывают свои мнения

Личностные: интерес к учебному материалу, способность к самооценке.

Коммуникативные: умеют слушать, вступать в диалог, участвовать в коллективном действии.

Познавательные: обучающиеся вспоминают, отвечают.

Изучение нового материала

20 мин

Повторение и обобщение изученного материала по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения в частных производных» по плану:

  1. История ДУ

  2. Задачи, приводящие к ДУ

  3. Основные понятия ДУ

  4. ДУ с разделяющими переменными

  5. Общие и частные решения ДУ

  6. Однородные ДУ первого порядка

  7. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

  8. Простейшие ДУ в частных производных

  9. ДУ линейные относительно частных производных

Систематизируют и обобщают свои знания по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения в частных производных»

Слушают объяснение преподавателя, записывают в тетрадь основные определения, свойства, формулы.

Участвуют в обсуждении применения свойств, теорем, определений и алгоритмов применяемых к решению ДУ. Участвуют в обсуждении понятия, видов и способов решения различных видов ДУ, определения общего и частного решения (Задача Коши).

Заполняют опорный конспект.

Практикуются в решении практических задач по теме

Регулятивные: выполнение пробного учебного действия.

Познавательные: извлечение необходимой информации из текстов, проводят рефлексию действий, совместно с преподавателем создают алгоритм деятельности.

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.

Закрепление и систематизация изученного материала (Практический этап)

40 мин

Решение тренировочных упражнений на закрепление основных понятий, формул и методов применения основных теорем и определений для решения задач математического анализа ( Решение простейших ДУ)

Формы и методы закрепления:

Метод - диалоговые технологии. Форма – решение упражнения

Задания в подробном конспекте практического занятия

Участвуют в решении тренировочных упражнений по закреплению темы.

Регулятивные: выполнение закрепляющего, систематизирующего учебного действия.

Познавательные: извлечение необходимой информации из текстов, проводят рефлексию действий, совместно с учителем создают алгоритм деятельности.

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.

Подведение итогов занятия

5 мин

Подводит итоги, оценивает работу, выставляет отметки.

Слушают преподавателя, осмысливают, отвечают на вопросы для самооценки.








Личностные

-подведение итога урока;

-самооценка критериев успешности.

Коммуникативные.

-выражение своих мыслей;

-использование критериев для обоснования суждений.

Регулятивные.

-оценивание.

Познавательные.

-контроль и оценка процессов результата деятельности.

Домашнее задание

3 мин

Информирует и консультирует обучающихся.

Выполнить домашнюю работу – Учить определения, составить опорную схему конспекта. Выполнить упражнения - задания в подробном конспекте занятия

Записывают домашнее задание.

Рефлексия

2 мин

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…

Осмысливают содержания деятельности, собственное сознание и самопознание, размышляют о предстоящей деятельности.

Самостоятельная работа


Решение однородных дифференциальных уравнений уравнений первого порядка. Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Решение простейших дифференциальных уравнений линейных относительно частных производных.

Выполнить домашнее задание в виде реферата, доклада или презентации по данной теме.

Составляют опорный конспект по вопросам.

Выполняют домашнее задание в виде реферата, доклада или презентации.


25

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Технолог-калькулятор общественного питания

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ технол. карта. лекция 5.агрономы. 2 курс .docx

Агрономы Технологическая карта лекционного занятия № 5

Технологическая карта лекционного занятия по теме «Ряды», 2 курс ФГАОУ ВО «КФУ им. В. И. Вернадского» Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

Технологическая карта лекционного занятия № 5 (1 пара - 90 мин).

Образовательные:

- рассмотреть числовые ряды, сходимость и расходимость числовых рядов, признак сходимости Даламбера;

- рассмотреть знакопеременные ряды, абсолютную и условную сходимость рядов;

- рассмотреть функциональные ряды, степенные ряды, разложение элементарных функций в ряд Маклорена;

- помочь овладеть методами решения основных видов задач по теме «Ряды»;

- контроль и коррекция знаний по теме «Дифференциальное исчисление»;

Развивающие:

  • развивать способность осуществлять поиск информации;

  • развивать способность организовывать свою деятельность, выбирать методы и способы решения поставленных задач;

  • развивать способность использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности (ОК 5);

  • развивать способность принимать решение в стандартных и нестандартных ситуациях (ОК 3).

Воспитательные:

- способствовать развитию интереса к предмету «Математика»;

- способствовать развитию самостоятельности мышления;

  • воспитывать чувство ответственности за результаты своей работы;

  • воспитывать толерантность;

  • воспитывать чувство аккуратности и точности в будущей профессиональной деятельности.

Используемые технологии

Дифференцированного обучения, коммуникативного общения, развивающее обучение.


Планируемые результаты

Предметные:

Студент знает:

  • понятие рядов, виды рядов, признак Даламбера сходимости рядов, сходимость расходимость рядов и их виды;

  • функциональные и степенные ряды, разложение элементарных функций в ряд Маклорена;

  • применение и значение рядов в практической деятельности

Умеет:

  • определять сходимость расходимость числового ряда;

  • умеет определять вид сходимости или расходимости ряда;

  • раскладывать функцию в ряд Маклорена.

грамотно формулировать свои мысли по поставленному вопросу, анализировать, делать выводы.

УУД

Личностные УУД: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении задач математического анализа.

Регулятивные УУД: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Познавательные УУД: имеют первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов; умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и формулировать выводы.

Коммуникативные УУД: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Основные понятия

Числовые ряды, степенные, функциональные ряды, сходимость и расходимость рядов, признак Даламбера, ряд Маклорена, знакопеременные ряды, абсолютная и относительная сходимость ряда

Ресурсы:

- основные


- дополнительные

Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

Раздаточный материал, презентация

Организация пространства



Организация структуры занятия

Этап занятия

Время

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

УУД

Организационный этап. Мотивация учебной деятельности обучающихся.

5 мин

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.

Приветствуют преподавателя, организуют свое рабочее место, демонстрируют готовность к занятию.

Личностные

-настроить на работу;

-организация рабочего места.

Регулятивные

-целеполагание;

-планирование учебного сотрудничества совместно с преподавателем. Коммуникативные

-владение диалогической речью.

Актуализация знаний и умений

15 мин

        1. Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных задач

        2. Выполнить устно упражнения:

Пример 1

Найти частное решение дифференциального уравнения hello_html_m5008bfd4.png, удовлетворяющее начальному условию hello_html_m31ba6a4c.png. Выполнить проверку.

Пример 2

Найти частное решение ДУ.
hello_html_12718db2.png,  hello_html_5605e593.png

Отвечают на вопросы.

Проводят самоанализ, вспоминают правила, формулы, алгоритмы, определения

Регулятивные: высказывают свои мнения

Личностные: интерес к учебному материалу, способность к самооценке.

Коммуникативные: умеют слушать, вступать в диалог, участвовать в коллективном действии.

Познавательные: обучающиеся вспоминают, отвечают.

Изучение нового материала

20 мин

Изучение темы теория рядов согласно плана

  1. Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов.

  2. Признак сходимости Даламбера.

  3. Знакопеременные ряды.

  4. Абсолютная и условная сходимость рядов.

  5. Функциональные ряды.

  6. Степенные ряды.

  7. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

Слушают объяснение преподавателя, записывают в тетрадь основные определения, свойства, формулы.

Участвуют в обсуждении применения свойств, теорем, определений и алгоритмов применяемых к теории рядов. Участвуют в обсуждении понятия, видов и способов решения различных задач теории рядов.

Заполняют опорный конспект.

Практикуются в решении практических задач по теме

Регулятивные: выполнение пробного учебного действия.

Познавательные: извлечение необходимой информации из текстов, проводят рефлексию действий, совместно с преподавателем создают алгоритм деятельности.

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.

Закрепление и систематизация изученного материала (Практический этап)

40 мин

Решение тренировочных упражнений на закрепление основных понятий, формул и методов применения основных теорем и определений для решения задач математического анализа ( Теории рядов)

Формы и методы закрепления:

Метод - диалоговые технологии. Форма – решение упражнения

Задания в подробном конспекте практического занятия

Участвуют в решении тренировочных упражнений по закреплению темы.

Регулятивные: выполнение закрепляющего, систематизирующего учебного действия.

Познавательные: извлечение необходимой информации из текстов, проводят рефлексию действий, совместно с учителем создают алгоритм деятельности.

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.

Подведение итогов занятия

5 мин

Подводит итоги, оценивает работу, выставляет отметки.

Слушают преподавателя, осмысливают, отвечают на вопросы для самооценки.








Личностные

-подведение итога урока;

-самооценка критериев успешности.

Коммуникативные.

-выражение своих мыслей;

-использование критериев для обоснования суждений.

Регулятивные.

-оценивание.

Познавательные.

-контроль и оценка процессов результата деятельности.

Домашнее задание

3 мин

Информирует и консультирует обучающихся.

Выполнить домашнюю работу – Учить определения, составить опорную схему конспекта. Выполнить упражнения - задания в подробном конспекте занятия

Записывают домашнее задание.

Рефлексия

2 мин

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…

Осмысливают содержания деятельности, собственное сознание и самопознание, размышляют о предстоящей деятельности.

Самостоятельная работа


Признак сходимости Даламбера. Разложение функций в ряд Маклорена.

Выполнить домашнее задание в виде реферата, доклада или презентации по данной теме.

Составляют опорный конспект по вопросам.

Выполняют домашнее задание в виде реферата, доклада или презентации.


7

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Интернет-маркетолог

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ технол. карта. лекция 6.агрономы. 2 курс .docx

Агрономы Технологическая карта лекционного занятия № 6

Технологическая карта лекционного занятия по теме «Множества и их отношения. Свойства отношений. Операции над множествами. Основные понятия теории графов», 2 курс ФГАОУ ВО «КФУ им. В. И. Вернадского» Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

Технологическая карта лекционного занятия № 6 (1 пара - 90 мин).

Образовательные:
  • ввести понятие множества, операций над множествами, рассмотреть способы задания множеств;

  • способствовать формированию умений применять графический метод при выполнении операций с множествами;

  • ввести понятие графа, элементы графов, операции над ними, рассмотреть основные виды графов;

  • способствовать формированию умений применять графический метод при выполнении операций над графами.

Воспитательные:

  • повышать мотивацию студентов путем использования нестандартных задач и игрового изложения материала;

  • побуждать студентов к само-, взаимоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний;

Развивающие:

  • развить навыки формализации при решении задач с помощью кругов Эйлера;

  • развивать познавательный интерес к предмету и самостоятельность студентов;

  • развитие логического мышления, речи и внимания;

  • формирование информационной культуры, потребности в приобретении знаний;

  • побуждать студентов к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.

Используемые технологии

Дифференцированного обучения, коммуникативного общения, развивающее обучение.


Планируемые результаты

Предметные:

После изучения темы студент должен:

Знать:

  • Определение множества и его элементов;

  • Виды множеств и способы задания множеств;

  • Операции над множествами;

  • Отношения на множествах;

  • Графы

Уметь:

  • Выполнять необходимые операции над множествами;

  • Строить графы.

УУД

Личностные УУД: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении задач дискретной математики.

Регулятивные УУД: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Познавательные УУД: имеют первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов; умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и формулировать выводы.

Коммуникативные УУД: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Основные понятия

Множества, операции над множествами, графы, виды графов

Ресурсы:

- основные


- дополнительные

Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

Раздаточный материал, презентация

Организация пространства



Организация структуры занятия

Этап занятия

Время

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

УУД

Организационный этап. Мотивация учебной деятельности обучающихся.

5 мин

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.

Приветствуют преподавателя, организуют свое рабочее место, демонстрируют готовность к занятию.

Личностные

-настроить на работу;

-организация рабочего места.

Регулятивные

-целеполагание;

-планирование учебного сотрудничества совместно с преподавателем. Коммуникативные

-владение диалогической речью.

Актуализация знаний и умений

15 мин

        1. Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных задач

        2. Выполнить устно упражнения:

Вопросы:

  1. Какие из перечисленных чисел принадлежат множеству натуральных чисел N: ?

  2. Решите неравенство .

  3. Решите уравнение

  4. Какие из перечисленных чисел принадлежат множеству целых чисел Z: ?

  5. Решите уравнение

  6. Решите уравнение

  7. Какие числа принадлежат отрезку

  8. Какие числа принадлежат полуинтервалу ?


Отвечают на вопросы.

Проводят самоанализ, вспоминают правила, формулы, алгоритмы, определения

Регулятивные: высказывают свои мнения

Личностные: интерес к учебному материалу, способность к самооценке.

Коммуникативные: умеют слушать, вступать в диалог, участвовать в коллективном действии.

Познавательные: обучающиеся вспоминают, отвечают.

Изучение нового материала

20 мин

Изучение темы теория множеств и графов согласно плана

  1. Элементы и множества. Задания множеств.

  2. Операции над множествами. Свойства операций над множествами.

  3. Отношения. Свойства отношений.

  4. Графы. Основные понятия.

  5. Элементы графов. Виды графов и операции над графами.

Слушают объяснение преподавателя, записывают в тетрадь основные определения, свойства, формулы.

Участвуют в обсуждении применения свойств, теорем, определений и алгоритмов применяемых к теории множеств и графов. Участвуют в обсуждении понятия, видов и способов решения различных задач дискретной математики.

Заполняют опорный конспект.

Практикуются в решении практических задач по теме

Регулятивные: выполнение пробного учебного действия.

Познавательные: извлечение необходимой информации из текстов, проводят рефлексию действий, совместно с преподавателем создают алгоритм деятельности.

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.


Закрепление и систематизация изученного материала (Практический этап)

40 мин

Решение тренировочных упражнений на закрепление основных понятий, формул и методов применения основных теорем и определений для решения задач дискретной математики ( Теории множеств и графов)

Формы и методы закрепления:

Метод - диалоговые технологии. Форма – решение упражнения

Задания в подробном конспекте практического занятия

Участвуют в решении тренировочных упражнений по закреплению темы.

Регулятивные: выполнение закрепляющего, систематизирующего учебного действия.

Познавательные: извлечение необходимой информации из текстов, проводят рефлексию действий, совместно с учителем создают алгоритм деятельности.

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.

Подведение итогов занятия

5 мин

Подводит итоги, оценивает работу, выставляет отметки.

Слушают преподавателя, осмысливают, отвечают на вопросы для самооценки.








Личностные

-подведение итога урока;

-самооценка критериев успешности.

Коммуникативные.

-выражение своих мыслей;

-использование критериев для обоснования суждений.

Регулятивные.

-оценивание.

Познавательные.

-контроль и оценка процессов результата деятельности.

Домашнее задание

3 мин

Информирует и консультирует обучающихся.

Выполнить домашнюю работу – Учить определения, составить опорную схему конспекта. Выполнить упражнения - задания в подробном конспекте занятия

Записывают домашнее задание.

Рефлексия

2 мин

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…

Осмысливают содержания деятельности, собственное сознание и самопознание, размышляют о предстоящей деятельности.

Самостоятельная работа


Виды графов и операции над ними. Отношения. Свойства отношений..

Выполнить домашнее задание в виде реферата, доклада или презентации по данной теме.

Составляют опорный конспект по вопросам.

Выполняют домашнее задание в виде реферата, доклада или презентации.


8

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Фитнес-тренер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ технол. карта. лекция 7.агрономы. 2 курс .docx

Агрономы Технологическая карта лекционного занятия № 7

Технологическая карта лекционного занятия по теме «Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей», 2 курс ФГАОУ ВО «КФУ им. В. И. Вернадского» Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

Технологическая карта лекционного занятия № 7 (1 пара - 90 мин).

Образовательные:
  • дать понятие о случайном событии, вероятности события;

  • научить вычислять вероятности события; вероятности случайных событий по классическому определению;

  • научить применять теоремы сложения и умножения вероятностей для решения задач;

  • продолжать формировать интерес к математике посредством решения задач  с применением классического определения вероятности для непосредственного подсчета вероятностей явлений;

  • прививать интерес к математике, используя исторический материал;

  • воспитывать осознанное отношение к процессу обучения, прививать чувство ответственности за качество знаний, осуществлять самоконтроль за процессом решения и оформления упражнений.

Воспитательные:

  • повышать мотивацию студентов путем использования нестандартных задач и игрового изложения материала;

  • побуждать студентов к само-, взаимоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний;

Развивающие:

  • развить навыки формализации при решении задач с помощью кругов Эйлера;

  • развивать познавательный интерес к предмету и самостоятельность студентов;

  • развитие логического мышления, речи и внимания;

  • формирование информационной культуры, потребности в приобретении знаний;

  • побуждать студентов к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.


Используемые технологии

Дифференцированного обучения, коммуникативного общения, развивающее обучение.


Планируемые результаты

Предметные:

После изучения темы студент должен:

Студент должен знать: 
- определения и формулы числа перестановок, размещений и сочетаний ;
- классическое определение вероятности;
- определения суммы событий, произведения событий ; формулировки и формулы теорем сложения и умножения вероятностей.

Студент должен уметь :
- вычислять перестановки, размещения и сочетания;
- вычислять вероятность события используя классическое определение и формулы комбинаторики;
- решать задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей.

УУД

Личностные УУД: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении задач по теории вероятностей и математической статистики.

Регулятивные УУД: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Познавательные УУД: имеют первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов; умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и формулировать выводы.

Коммуникативные УУД: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Основные понятия

Вероятность, событие, виды событий, классическое определение вероятности, виды вероятностей, теоремы сложения и умножения вероятностей

Ресурсы:

- основные


- дополнительные

Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

Раздаточный материал, презентация

Организация пространства



Организация структуры занятия

Этап занятия

Время

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

УУД

Организационный этап. Мотивация учебной деятельности обучающихся.

5 мин

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.

Приветствуют преподавателя, организуют свое рабочее место, демонстрируют готовность к занятию.

Личностные

-настроить на работу;

-организация рабочего места.

Регулятивные

-целеполагание;

-планирование учебного сотрудничества совместно с преподавателем. Коммуникативные

-владение диалогической речью.

Актуализация знаний и умений

15 мин

        1. Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных задач

        2. Выполнить устно упражнения:

Вопросы:

  1. Что такое комбинаторика?

  2. Какие задачи называются комбинаторными?

  3. Назовите основные понятия комбинаторики.

  4. Что такое размещения, перестановки, сочетания?

  5. Что называется выборкой объема k? Какие выборки считают различными?

  6. Дайте определение символа n!.

  7. Какие формулы существуют для нахождения числа размещений, числа перестановок, числа сочетаний?

  8. Какими свойствами обладают числа hello_html_17586d64.gif?

3.Проверить решение упражнений:

              1. Вычислить:  hello_html_m4a262f61.gif

  1. Найти число размещений из 10 элементов по 4.

  2. Решить уравнение: hello_html_m4223ed8.gif

  3. Решить задачу:

  4. Сколькими способами можно составить список из 10 человек?

  5. Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?

  6. 30 учащихся обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?


Отвечают на вопросы.

Проводят самоанализ, вспоминают правила, формулы, алгоритмы, определения

Регулятивные: высказывают свои мнения

Личностные: интерес к учебному материалу, способность к самооценке.

Коммуникативные: умеют слушать, вступать в диалог, участвовать в коллективном действии.

Познавательные: обучающиеся вспоминают, отвечают.

Изучение нового материала

20 мин

Изучение темы согласно плана

  1. Понятие события и вероятности события.

  2. Достоверные и невозможные события.

  3. Классическое определение вероятностей.

  4. Теоремы сложения вероятностей.

  5. Теоремы умножения вероятностей.

Слушают объяснение преподавателя, записывают в тетрадь основные определения, свойства, формулы.

Участвуют в обсуждении применения свойств, теорем, определений и алгоритмов применяемых к теории вероятности. Участвуют в обсуждении понятия, видов и способов решения различных задач по теории вероятностей.

Заполняют опорный конспект.

Практикуются в решении практических задач по теме

Регулятивные: выполнение пробного учебного действия.

Познавательные: извлечение необходимой информации из текстов, проводят рефлексию действий, совместно с преподавателем создают алгоритм деятельности.

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.


Закрепление и систематизация изученного материала (Практический этап)

40 мин

Решение тренировочных упражнений на закрепление основных понятий, формул и методов применения основных теорем и определений для решения задач по теории вероятностей

Формы и методы закрепления:

Метод - диалоговые технологии. Форма – решение упражнения

Задания в подробном конспекте практического занятия

Участвуют в решении тренировочных упражнений по закреплению темы.

Регулятивные: выполнение закрепляющего, систематизирующего учебного действия.

Познавательные: извлечение необходимой информации из текстов, проводят рефлексию действий, совместно с учителем создают алгоритм деятельности.

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.

Подведение итогов занятия

5 мин

Подводит итоги, оценивает работу, выставляет отметки.

Слушают преподавателя, осмысливают, отвечают на вопросы для самооценки.








Личностные

-подведение итога урока;

-самооценка критериев успешности.

Коммуникативные.

-выражение своих мыслей;

-использование критериев для обоснования суждений.

Регулятивные.

-оценивание.

Познавательные.

-контроль и оценка процессов результата деятельности.

Домашнее задание

3 мин

Информирует и консультирует обучающихся.

Выполнить домашнюю работу – Учить определения, составить опорную схему конспекта. Выполнить упражнения - задания в подробном конспекте занятия

Записывают домашнее задание.

Рефлексия

2 мин

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…

Осмысливают содержания деятельности, собственное сознание и самопознание, размышляют о предстоящей деятельности.

Самостоятельная работа


Теоремы умножения вероятностей.

Выполнить домашнее задание в виде реферата, доклада или презентации по данной теме.

Составляют опорный конспект по вопросам.

Выполняют домашнее задание в виде реферата, доклада или презентации.


10

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ технол. карта. лекция 8.агрономы. 2 курс .docx

Агрономы Технологическая карта лекционного занятия № 8

Технологическая карта лекционного занятия по теме «Случайная величина, ее функция распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины», 2 курс ФГАОУ ВО «КФУ им. В. И. Вернадского» Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

Технологическая карта лекционного занятия № 8 (1 пара - 90 мин).

Образовательные:
  • дать понятие о случайной величине, дискретные и непрерывные случайные величины;

  • рассмотреть закон распределения случайной величины;

  • научить вычислять математическое ожидание дискретной случайной величины, дисперсию случайной величины, среднее квадратичное отклонение случайной величины;

  • научить применять основные понятия и теоремы для решения задач;

  • продолжать формировать интерес к математике посредством решения задач  с применением классического определения вероятности для непосредственного подсчета вероятностей явлений;

  • прививать интерес к математике, используя исторический материал;

  • воспитывать осознанное отношение к процессу обучения, прививать чувство ответственности за качество знаний, осуществлять самоконтроль за процессом решения и оформления упражнений.

  • Воспитательные:

  • повышать мотивацию студентов путем использования нестандартных задач и игрового изложения материала;

  • побуждать студентов к само-, взаимоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний;

  • Развивающие:

  • развивать познавательный интерес к предмету и самостоятельность студентов;

  • развитие логического мышления, речи и внимания;

  • формирование информационной культуры, потребности в приобретении знаний;

  • побуждать студентов к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.


Используемые технологии

Дифференцированного обучения, коммуникативного общения, развивающее обучение.


Планируемые результаты

Предметные:

После изучения темы студент должен:

Студент должен знать: 
- знать определение математического ожидания;

- понимать, что математическое ожидание является обобщением среднего арифметического значений дискретной случайной величины;

- знать свойства математического ожидания и уметь использовать их при решении простых задач;

- знать, что важным свойством распределения случайной величины является рассеивание;

- знать определение дисперсии;

- уметь вычислять дисперсию;

- знать свойства дисперсии и уметь их использовать при решении простых задач;

- знать определение среднего квадратического отклонения.

Студент должен уметь :
- вычислять математическое ожидание дискретной случайной величины, дисперсию случайной величины, среднее квадратичное отклонение случайной величины;
- решать задачи на применение основных понятий и теорем по теме.

УУД

Личностные УУД: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении задач по теории вероятностей и математической статистики.

Регулятивные УУД: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Познавательные УУД: имеют первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов; умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и формулировать выводы.

Коммуникативные УУД: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Основные понятия

Случайная величина, дискретная и непрерывная случайные величины, закон распределения случайной величины, дисперсия, математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение.

Ресурсы:

- основные


- дополнительные

Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

Раздаточный материал, презентация

Организация пространства



Организация структуры занятия

Этап занятия

Время

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

УУД

Организационный этап. Мотивация учебной деятельности обучающихся.

5 мин

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.

Приветствуют преподавателя, организуют свое рабочее место, демонстрируют готовность к занятию.

Личностные

-настроить на работу;

-организация рабочего места.

Регулятивные

-целеполагание;

-планирование учебного сотрудничества совместно с преподавателем. Коммуникативные

-владение диалогической речью.

Актуализация знаний и умений

15 мин

        1. Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных задач

        2. Выполнить устно упражнения:

Вопросы:

  1. Что такое комбинаторика?

  2. Какие задачи называются комбинаторными?

  3. Назовите основные понятия комбинаторики.

  4. Что такое размещения, перестановки, сочетания?

  5. Что называется выборкой объема k? Какие выборки считают различными?

  6. Дайте определение символа n!.

  7. Какие формулы существуют для нахождения числа размещений, числа перестановок, числа сочетаний?

  8. Какими свойствами обладают числа hello_html_17586d64.gif?

3.Проверить решение упражнений:

              1. Вычислить:  hello_html_m4a262f61.gif

  1. Найти число размещений из 10 элементов по 4.

  2. Решить уравнение: hello_html_m4223ed8.gif

  3. Решить задачу:

  4. Сколькими способами можно составить список из 10 человек?

  5. Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?

  6. 30 учащихся обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?


Отвечают на вопросы.

Проводят самоанализ, вспоминают правила, формулы, алгоритмы, определения

Регулятивные: высказывают свои мнения

Личностные: интерес к учебному материалу, способность к самооценке.

Коммуникативные: умеют слушать, вступать в диалог, участвовать в коллективном действии.

Познавательные: обучающиеся вспоминают, отвечают.

Изучение нового материала

20 мин

Изучение темы согласно плана

  1. Понятие случайной величины.

  2. Дискретные и непрерывные случайные величины.

  3. Закон распределения случайной величины.

  4. Математическое ожидание дискретной случайной величины, дисперсия случайной величины, среднее квадратичное отклонение случайной величины.

Слушают объяснение преподавателя, записывают в тетрадь основные определения, свойства, формулы.

Участвуют в обсуждении применения свойств, теорем, определений и алгоритмов применяемых к случайной величине, ее функции распределения, математическому ожиданию и дисперсии случайной величины. Участвуют в обсуждении понятия, видов и способов решения различных задач по теме.

Заполняют опорный конспект.

Практикуются в решении практических задач по теме

Регулятивные: выполнение пробного учебного действия.

Познавательные: извлечение необходимой информации из текстов, проводят рефлексию действий, совместно с преподавателем создают алгоритм деятельности.

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.


Закрепление и систематизация изученного материала (Практический этап)

40 мин

Решение тренировочных упражнений на закрепление основных понятий, формул и методов применения основных теорем и определений для решения задач по математической статистике.

Формы и методы закрепления:

Метод - диалоговые технологии. Форма – решение упражнения

Задания в подробном конспекте практического занятия

Участвуют в решении тренировочных упражнений по закреплению темы.

Регулятивные: выполнение закрепляющего, систематизирующего учебного действия.

Познавательные: извлечение необходимой информации из текстов, проводят рефлексию действий, совместно с учителем создают алгоритм деятельности.

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.

Подведение итогов занятия

5 мин

Подводит итоги, оценивает работу, выставляет отметки.

Слушают преподавателя, осмысливают, отвечают на вопросы для самооценки.








Личностные

-подведение итога урока;

-самооценка критериев успешности.

Коммуникативные.

-выражение своих мыслей;

-использование критериев для обоснования суждений.

Регулятивные.

-оценивание.

Познавательные.

-контроль и оценка процессов результата деятельности.

Домашнее задание

3 мин

Информирует и консультирует обучающихся.

Выполнить домашнюю работу – Учить определения, составить опорную схему конспекта. Выполнить упражнения - задания в подробном конспекте занятия

Записывают домашнее задание.

Рефлексия

2 мин

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…

Осмысливают содержания деятельности, собственное сознание и самопознание, размышляют о предстоящей деятельности.

Самостоятельная работа


По заданному условию построить закон распределения дискретной случайной величины.

Выполнить домашнее задание в виде реферата, доклада или презентации по данной теме.

Составляют опорный конспект по вопросам.

Выполняют домашнее задание в виде реферата, доклада или презентации.


40

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Менеджер по туризму

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ технол. карта. практика 2.агрономы. 2 курс .docx

Технологическая карта практического занятия по теме «Вычисление минора, алгебраических дополнений, обратной матрицы», 2 курс ФГАОУ ВО «КФУ им. В. И. Вернадского» Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

Технологическая карта практического занятия № 2 (1 пара - 90 мин).

Вычисление минора, алгебраических дополнений, обратной матрицы


Тип занятия

Урок закрепления знаний на практике

Форма занятия

Занятие - практикум

Цели занятия

Обучающие:

формировать навыки выполнения операций над матрицами: сложение, вычитание, умножение матрицы на число, произведение матриц; формировать умения находить определители матриц, минора матрицы, обратной матрицы.

Развивающие:

- Формирование умения пользоваться математическими инструментами,

- Формирование умения применять свои знания при решении математических задач по данной теме;

- Углубление знаний, умений и навыков; развитие творческой деятельности: интуиции, пространственного воображения, смекалки;

- Развитие мыслительных операций посредством конкретизации, развитие зрительной памяти, потребности к самообразованию, способствовать развитию познавательных процессов.

Воспитательные:

- Воспитание устойчивого интереса к математике,

- Воспитание математической культуры,

- Развитие самоорганизации обучающихся,

- Эстетическое воспитание.

Используемые технологии

Дифференцированного обучения, коммуникативного общения, развивающее обучение.


Планируемые результаты

Предметные:

Студент знает:

  • Понятие матрицы и ее элементы

  • Основные виды матриц

  • Понятие ранга матрицы, минора и определителя матрицы. Виды определителей и их свойства

  • Применение и значение матриц в практической деятельности

Умеет:

  • Определять вид матрицы

  • Выполнять основные действия с матрицами (сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу)

  • Вычислять ранг матрицы, определитель матрицы, миноры и дополнения

  • Транспонировать матрицы, находить обратную матрицу

  • Грамотно формулировать свои мысли по поставленному вопросу, анализировать, делать выводы.

УУД

Личностные УУД: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении задач линейной алгебры.

Регулятивные УУД: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Познавательные УУД: имеют первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов; умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и формулировать выводы.

Коммуникативные УУД: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Основные понятия

Матрица, минор, определитель, ранг матрицы, квадратичная матрица, транспонирование матрицы, обратная матрица

Ресурсы:

- основные


- дополнительные

Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

Презентация «Матрицы»

Организация пространства



Организация структуры урока

Этап урока

Время

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

УУД

Организационный этап. Мотивация учебной деятельности обучающихся.

5 мин

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.

Приветствуют преподавателя, организуют свое рабочее место, демонстрируют готовность к занятию.

Личностные

-настроить на работу;

-организация рабочего места.

Регулятивные

-целеполагание;

-планирование учебного сотрудничества совместно с преподавателем.

Коммуникативные

-владение диалогической речью.

Актуализация опорных знаний.

15 мин

  1. Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных примеров).

  2. Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

  • Понятие матрицы и ее элементы

  • Основные виды матриц

  • Понятие ранга матрицы, минора и определителя матрицы. Виды определителей и их свойства

  • Применение и значение матриц в практической деятельности

Отвечают на вопросы.

Проводят самоанализ, вспоминают правила, формулы, алгоритмы, определения

Регулятивные: высказывают свои мнения

Личностные: интерес к учебному материалу, способность к самооценке.

Коммуникативные: умеют слушать, вступать в диалог, участвовать в коллективном действии.

Познавательные: обучающиеся вспоминают, отвечают.

Закрепление и систематизация изученного материала (Практический этап)

40 мин

Решение тренировочных упражнений на закрепление основных понятий, формул и методов применения основных теорем и определений для решения задач линейной алгебры

Формы и методы закрепления:

Метод - диалоговые технологии. Форма – решение упражнения

Задания в подробном конспекте практического занятия

Участвуют в решении тренировочных упражнений по закреплению темы.

Регулятивные: выполнение закрепляющего, систематизирующего учебного действия.

Познавательные: извлечение необходимой информации из текстов, проводят рефлексию действий, совместно с учителем создают алгоритм деятельности.

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.

Индивидуальная работа по вариантам

20

Выполнить индивидуальную работу по теме «Вычислить обратную матрицу»

Задания в подробном конспекте практического занятия

Самостоятельно выполняют работу по линейной алгебре

Подведение итогов занятия

5 мин

Подводит итоги, оценивает работу, выставляет отметки.

Вопросы для самоконтроля:

  1. Что называется матрицей? Запишите общий вид матрицы размером mxn.

  2. Какие матрицы называются равными?

  3. Назовите виды матриц.

  4. Назовите линейные операции над матрицами.

  5. Какие матрицы можно перемножать? Как выполняется умножение?

  6. Вычисление определителей.

  7. Вычисление обратной матрицы

Слушают преподавателя


Домашнее задание

3 мин

Информирует и консультирует обучающихся.

Выполнить домашнюю работу – задания в подробном конспекте занятия

Записывают домашнее задание.

Личностные

-подведение итога урока;

-самооценка критериев успешности.

Коммуникативные.

-выражение своих мыслей;

-использование критериев для обоснования суждений.

Регулятивные.

-оценивание.

Познавательные.

-контроль и оценка процессов результата деятельности.

Рефлексия

2 мин

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…



Осмысливают содержания деятельности, собственное сознание и самопознание, размышляют о предстоящей деятельности.


13

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ технол. карта. практика 3.агрономы. 2 курс .docx

Технологическая карта практического занятия по теме «Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными при помощи определителей третьего порядка», 2 курс ФГАОУ ВО «КФУ им. В. И. Вернадского» Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

Технологическая карта практического занятия № 3 (1 пара - 90 мин).

Обучающие:

формировать навыки решения систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью определителей ( методом Крамера), систематизировать знания по выполнению операций над матрицами: сложение, вычитание, умножение матрицы на число, произведение матриц; формировать умения находить определители матриц, минора матрицы, обратной матрицы.

Развивающие:

- Формирование умения пользоваться математическими инструментами,

- Формирование умения применять свои знания при решении математических задач по данной теме;

- Углубление знаний, умений и навыков; развитие творческой деятельности: интуиции, пространственного воображения, смекалки;

- Развитие мыслительных операций посредством конкретизации, развитие зрительной памяти, потребности к самообразованию, способствовать развитию познавательных процессов.

Воспитательные:

- Воспитание устойчивого интереса к математике,

- Воспитание математической культуры,

- Развитие самоорганизации обучающихся,

- Эстетическое воспитание.

Используемые технологии

Дифференцированного обучения, коммуникативного общения, развивающее обучение.


Планируемые результаты

Предметные:

Студент знает:

  • Понятие матрицы и ее элементы

  • Основные виды матриц

  • Понятие ранга матрицы, минора и определителя матрицы. Виды определителей и их свойства

  • Алгоритм решения систем трех линейных уравнений методом Крамера

  • Применение и значение матриц в практической деятельности

Умеет:

  • Определять вид матрицы

  • Выполнять основные действия с матрицами (сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу)

  • Вычислять ранг матрицы, определитель матрицы, миноры и дополнения

  • Транспонировать матрицы, находить обратную матрицу

  • Решать системы трех линейных уравнений методом Крамера

  • Грамотно формулировать свои мысли по поставленному вопросу, анализировать, делать выводы.

УУД

Личностные УУД: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении задач линейной алгебры.

Регулятивные УУД: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Познавательные УУД: имеют первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов; умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и формулировать выводы.

Коммуникативные УУД: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Основные понятия

Матрица, минор, определитель, ранг матрицы, квадратичная матрица, транспонирование матрицы, обратная матрица, линейное уравнение, линейное уравнение с тремя переменными, система линейных уравнений, метод Крамера для решения систем линейных уравнений

Ресурсы:

- основные


- дополнительные

Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

Презентация «Матрицы»

Организация пространства



Организация структуры урока

Этап урока

Время

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

УУД

Организационный этап. Мотивация учебной деятельности обучающихся.

5 мин

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.

Приветствуют преподавателя, организуют свое рабочее место, демонстрируют готовность к занятию.

Личностные

-настроить на работу;

-организация рабочего места.

Регулятивные

-целеполагание;

-планирование учебного сотрудничества совместно с преподавателем.

Коммуникативные

-владение диалогической речью.

Актуализация опорных знаний.

15 мин

  1. Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных примеров).

  2. Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

  • Понятие матрицы и ее элементы

  • Основные виды матриц

  • Понятие ранга матрицы, минора и определителя матрицы. Виды определителей и их свойства

  • Метод Крамера для решения систем линейных уравнений с тремя переменными

  • Применение и значение матриц в практической деятельности

Отвечают на вопросы.

Проводят самоанализ, вспоминают правила, формулы, алгоритмы, определения

Регулятивные: высказывают свои мнения

Личностные: интерес к учебному материалу, способность к самооценке.

Коммуникативные: умеют слушать, вступать в диалог, участвовать в коллективном действии.

Познавательные: обучающиеся вспоминают, отвечают.

Закрепление и систематизация изученного материала (Практический этап)

40 мин

Решение тренировочных упражнений на закрепление основных понятий, формул и методов применения основных теорем и определений для решения задач линейной алгебры. Решение систем линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью определителей.

Формы и методы закрепления:

Метод - диалоговые технологии. Форма – решение упражнения

Задания в подробном конспекте практического занятия

Участвуют в решении тренировочных упражнений по закреплению темы.

Регулятивные: выполнение закрепляющего, систематизирующего учебного действия.

Познавательные: извлечение необходимой информации из текстов, проводят рефлексию действий, совместно с учителем создают алгоритм деятельности.

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.

Индивидуальная работа по вариантам

20

Выполнить индивидуальную работу по теме «Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью определителей»

Задания в подробном конспекте практического занятия

Самостоятельно выполняют работу по линейной алгебре

Подведение итогов занятия

5 мин

Подводит итоги, оценивает работу, выставляет отметки.

Вопросы для самоконтроля:

  1. Что называется матрицей? Запишите общий вид матрицы размером mxn.

  2. Какие матрицы называются равными?

  3. Назовите виды матриц.

  4. Назовите линейные операции над матрицами.

  5. Какие матрицы можно перемножать? Как выполняется умножение?

  6. Вычисление определителей.

  7. Вычисление обратной матрицы

  8. Алгоритм решения систем трех линейных уравнений с тремя переменными с помощью определителей

Слушают преподавателя. Отвечают на вопросы.


Домашнее задание

3 мин

Информирует и консультирует обучающихся.

Выполнить домашнюю работу – задания в подробном конспекте занятия

Записывают домашнее задание.

Личностные

-подведение итога урока;

-самооценка критериев успешности.

Коммуникативные.

-выражение своих мыслей;

-использование критериев для обоснования суждений.

Регулятивные.

-оценивание.

Познавательные.

-контроль и оценка процессов результата деятельности.

Рефлексия

2 мин

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…



Осмысливают содержания деятельности, собственное сознание и самопознание, размышляют о предстоящей деятельности.


8

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Методист-разработчик онлайн-курсов

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ технол. карта. практика 4.агрономы. 2 курс .docx

Технологическая карта практического занятия по теме «Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными методом Гаусса», 2 курс ФГАОУ ВО «КФУ им. В. И. Вернадского» Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

Технологическая карта практического занятия № 4 (1 пара - 90 мин).

Обучающие:

формировать навыки решения систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса, систематизировать знания по выполнению операций над матрицами: сложение, вычитание, умножение матрицы на число, произведение матриц; формировать умения приводить матрицу к трапециевидному виду (последовательное исключение неизвестных), обратной матрицы.

Развивающие:

- Формирование умения пользоваться математическими инструментами,

- Формирование умения применять свои знания при решении математических задач по данной теме;

- Углубление знаний, умений и навыков; развитие творческой деятельности: интуиции, пространственного воображения, смекалки;

- Развитие мыслительных операций посредством конкретизации, развитие зрительной памяти, потребности к самообразованию, способствовать развитию познавательных процессов.

Воспитательные:

- Воспитание устойчивого интереса к математике,

- Воспитание математической культуры,

- Развитие самоорганизации обучающихся,

- Эстетическое воспитание.

Используемые технологии

Дифференцированного обучения, коммуникативного общения, развивающее обучение.


Планируемые результаты

Предметные:

Студент знает:

  • Понятие матрицы и ее элементы

  • Основные виды матриц

  • Понятие ранга матрицы, минора и определителя матрицы. Виды определителей и их свойства

  • Алгоритм решения систем трех линейных уравнений методом Гаусса

  • Применение и значение матриц в практической деятельности

Умеет:

  • Определять вид матрицы

  • Выполнять основные действия с матрицами (сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу)

  • Вычислять ранг матрицы, определитель матрицы, миноры и дополнения

  • Транспонировать матрицы, находить обратную матрицу

  • Решать системы трех линейных уравнений методом Гаусса

  • Грамотно формулировать свои мысли по поставленному вопросу, анализировать, делать выводы.

УУД

Личностные УУД: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении задач линейной алгебры.

Регулятивные УУД: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Познавательные УУД: имеют первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов; умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и формулировать выводы.

Коммуникативные УУД: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Основные понятия

Матрица, минор, определитель, ранг матрицы, квадратичная матрица, транспонирование матрицы, обратная матрица, линейное уравнение, линейное уравнение с тремя переменными, система линейных уравнений, метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Ресурсы:

- основные


- дополнительные

Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

Презентация «Матрицы»

Организация пространства



Организация структуры урока

Этап урока

Время

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

УУД

Организационный этап. Мотивация учебной деятельности обучающихся.

5 мин

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.

Приветствуют преподавателя, организуют свое рабочее место, демонстрируют готовность к занятию.

Личностные

-настроить на работу;

-организация рабочего места.

Регулятивные

-целеполагание;

-планирование учебного сотрудничества совместно с преподавателем.

Коммуникативные

-владение диалогической речью.

Актуализация опорных знаний.

15 мин

  1. Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных примеров).

  2. Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

  • Понятие матрицы и ее элементы

  • Основные виды матриц

  • Понятие ранга матрицы, минора и определителя матрицы. Виды определителей и их свойства

  • Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений с тремя переменными

  • Применение и значение матриц в практической деятельности

Отвечают на вопросы.

Проводят самоанализ, вспоминают правила, формулы, алгоритмы, определения

Регулятивные: высказывают свои мнения

Личностные: интерес к учебному материалу, способность к самооценке.

Коммуникативные: умеют слушать, вступать в диалог, участвовать в коллективном действии.

Познавательные: обучающиеся вспоминают, отвечают.

Закрепление и систематизация изученного материала (Практический этап)

40 мин

Решение тренировочных упражнений на закрепление основных понятий, формул и методов применения основных теорем и определений для решения задач линейной алгебры. Решение систем линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью метода Гаусса.

Формы и методы закрепления:

Метод - диалоговые технологии. Форма – решение упражнения

Задания в подробном конспекте практического занятия

Участвуют в решении тренировочных упражнений по закреплению темы.

Регулятивные: выполнение закрепляющего, систематизирующего учебного действия.

Познавательные: извлечение необходимой информации из текстов, проводят рефлексию действий, совместно с учителем создают алгоритм деятельности.

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.

Индивидуальная работа по вариантам

20

Выполнить индивидуальную работу по теме «Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью метода Гаусса»

Задания в подробном конспекте практического занятия

Самостоятельно выполняют работу по линейной алгебре

Подведение итогов занятия

5 мин

Подводит итоги, оценивает работу, выставляет отметки.

Вопросы для самоконтроля:

  1. Что называется матрицей? Запишите общий вид матрицы размером mxn.

  2. Какие матрицы называются равными?

  3. Назовите виды матриц.

  4. Назовите линейные операции над матрицами.

  5. Какие матрицы можно перемножать? Как выполняется умножение?

  6. Вычисление определителей.

  7. Вычисление обратной матрицы

  8. Алгоритм решения систем трех линейных уравнений с тремя переменными с помощью определителей

  9. Алгоритм решения систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса

Слушают преподавателя. Отвечают на вопросы.


Домашнее задание

3 мин

Информирует и консультирует обучающихся.

Выполнить домашнюю работу – задания в подробном конспекте занятия

Записывают домашнее задание.

Личностные

-подведение итога урока;

-самооценка критериев успешности.

Коммуникативные.

-выражение своих мыслей;

-использование критериев для обоснования суждений.

Регулятивные.

-оценивание.

Познавательные.

-контроль и оценка процессов результата деятельности.

Рефлексия

2 мин

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…



Осмысливают содержания деятельности, собственное сознание и самопознание, размышляют о предстоящей деятельности.


8

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ технол. карта. практика 5.агрономы. 2 курс .docx

Агрономы Практическое занятие № 5

Технологическая карта практического занятия по теме «Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Решение прикладных задач», 2 курс ФГАОУ ВО «КФУ им. В. И. Вернадского» Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

Технологическая карта практического занятия № 5 (1 пара - 90 мин).

Обучающие:

формировать навыки решения ДУ с разделяющими переменными, научиться определять вид дифференциального уравнения и способы его решения, систематизировать знания по решению линейного однородного ДУ первого и второго порядка.

Развивающие:

- Формирование умения пользоваться математическими инструментами,

- Формирование умения применять свои знания при решении математических задач по данной теме;

- Углубление знаний, умений и навыков; развитие творческой деятельности: интуиции, пространственного воображения, смекалки;

- Развитие мыслительных операций посредством конкретизации, развитие зрительной памяти, потребности к самообразованию, способствовать развитию познавательных процессов.

Воспитательные:

- Воспитание устойчивого интереса к математике,

- Воспитание математической культуры,

- Развитие самоорганизации обучающихся,

- Эстетическое воспитание.

Используемые технологии

Дифференцированного обучения, коммуникативного общения, развивающее обучение.


Планируемые результаты

Предметные:

Студент знает:

  • понятие дифференциального уравнения (ДУ), порядок ДУ, общего и частного решения;

  • виды ДУ (однородные дифференциальные уравнения первого порядка, линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, простейшие дифференциальные уравнения в частных производных, дифференциальные уравнения линейные относительно частных производных) и алгоритмы их решения.

  • понятие ДУ с разделяющимися переменными, алгоритм их решения

  • применение и значение ДУ в практической деятельности

Умеет:

  • находить общие и частные решения ДУ с разделяющимися переменными;

  • находить решения ДУ в зависимости от вида дифференциальных уравнений;

  • составлять ДУ для решения задач прикладного характера.

  • грамотно формулировать свои мысли по поставленному вопросу, анализировать, делать выводы.

УУД

Личностные УУД: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении дифференциальных уравнений.

Регулятивные УУД: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Познавательные УУД: имеют первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов; умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и формулировать выводы.

Коммуникативные УУД: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Основные понятия

Производная функции, интеграл, дифференциальное уравнение, общее и частное решение дифференциального уравнения, однородное, линейное, простейшее дифференциальное уравнение в частных производных, задача Коши

Ресурсы:

- основные


- дополнительные

Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

Презентация «ДУ», раздаточный материал

Организация пространства



Организация структуры занятия

Этап занятия

Время

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

УУД

Организационный этап. Мотивация учебной деятельности обучающихся.

5 мин

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.

Приветствуют преподавателя, организуют свое рабочее место, демонстрируют готовность к занятию.

Личностные

-настроить на работу;

-организация рабочего места.

Регулятивные

-целеполагание;

-планирование учебного сотрудничества совместно с преподавателем.

Коммуникативные

-владение диалогической речью.

Актуализация опорных знаний.

15 мин

  1. Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных заданий).

  2. Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

  • Что такое ДУ? Виды ДУ

  • Что такое разделение переменных?

  • В чем состоит задача Коши?

  • Какое решение ДУ называется общим, частным, особым?

  • ДУ в полных дифференциалах и методы его решения.

  • Записать линейное ДУ n-го порядка.

  • Характеристическое уравнение для ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами.

  • Сформулировать теорему существования и единственности решения задачи Коши для ДУ.

  • Применение и значение ДУ в практической деятельности

Отвечают на вопросы.

Проводят самоанализ, вспоминают правила, формулы, алгоритмы, определения

Регулятивные: высказывают свои мнения

Личностные: интерес к учебному материалу, способность к самооценке.

Коммуникативные: умеют слушать, вступать в диалог, участвовать в коллективном действии.

Познавательные: обучающиеся вспоминают, отвечают.

Закрепление и систематизация изученного материала (Практический этап)

40 мин

Решение тренировочных упражнений на закрепление основных понятий, формул и методов применения основных теорем и определений для решения задач математического анализа. Решение ДУ с разделяющими переменными.

Формы и методы закрепления:

Метод - диалоговые технологии. Форма – решение упражнения

Задания в подробном конспекте практического занятия

Участвуют в решении тренировочных упражнений по закреплению темы.

Регулятивные: выполнение закрепляющего, систематизирующего учебного действия.

Познавательные: извлечение необходимой информации из текстов, проводят рефлексию действий, совместно с учителем создают алгоритм деятельности.

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.

Индивидуальная работа по вариантам

20 мин

Выполнить индивидуальную работу по теме «Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами»

Задания в подробном конспекте практического занятия

Самостоятельно выполняют работу по математическому анализу

Подведение итогов занятия

5 мин

Подводит итоги, оценивает работу, выставляет отметки.

Вопросы для самоконтроля:

  1. Что такое ДУ? Виды ДУ

  2. Что такое разделение переменных?

  3. В чем состоит задача Коши?

  4. Какое решение ДУ называется общим, частным, особым?

  5. ДУ в полных дифференциалах и методы его решения.

  6. Записать линейное ДУ n-го порядка.

  7. Характеристическое уравнение для ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами.

  8. Сформулировать теорему существования и единственности решения задачи Коши для ДУ.

  9. Алгоритм решения ДУ с разделяющими переменными

  10. Применение и значение ДУ в практической деятельности

Слушают преподавателя. Отвечают на вопросы.


Домашнее задание

3 мин

Информирует и консультирует обучающихся.

Выполнить домашнюю работу – задания в подробном конспекте занятия

Записывают домашнее задание.

Личностные

-подведение итога урока;

-самооценка критериев успешности.

Коммуникативные.

-выражение своих мыслей;

-использование критериев для обоснования суждений.

Регулятивные.

-оценивание.

Познавательные.

-контроль и оценка процессов результата деятельности.

Рефлексия

2 мин

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…



Осмысливают содержания деятельности, собственное сознание и самопознание, размышляют о предстоящей деятельности.

Самостоятельная работа


Самостоятельная работа обучающихся: выполнение домашних заданий по первой теме (в виде контрольной работы).

Реферат, доклад, презентация, научная статья по темам:

Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка. Решение линейных однородных уравнений второго порядка.




23

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Няня

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ технол. карта. практика 6.агрономы. 2 курс .docx

Агрономы Практическое занятие № 6

Технологическая карта практического занятия по теме «Определение сходимости рядов по признаку Даламбера. Определение сходимости знакопеременных рядов», 2 курс ФГАОУ ВО «КФУ им. В. И. Вернадского» Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

Технологическая карта практического занятия № 6 (1 пара - 90 мин).

Дидактические:
  • формирование умений в соответствии с требованиями ФГОС: научиться решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности, решать задачи при освоении образовательной программы по теме «Ряды»;

  • контроль и коррекция знаний по теме «Дифференциальное исчисление»;

Развивающие:

  • развивать способность осуществлять поиск информации;

  • развивать способность организовывать свою деятельность, выбирать методы и способы решения поставленных задач;

  • развивать способность использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности (ОК 5);

  • развивать способность принимать решение в стандартных и нестандартных ситуациях (ОК 3).

Воспитательные:

  • воспитывать устойчивый интерес к профессии медицинского работника;

  • воспитывать чувство ответственности за результаты своей работы;

  • воспитывать толерантность;

  • воспитывать чувство аккуратности и точности в будущей профессиональной деятельности.

Используемые технологии

Дифференцированного обучения, коммуникативного общения, развивающее обучение.


Планируемые результаты

Предметные:

Студент знает:

  • понятие рядов, виды рядов, признак Даламбера сходимости рядов, сходимость расходимость рядов и их виды;

  • функциональные и степенные ряды, разложение элементарных функций в ряд Маклорена;

  • применение и значение рядов в практической деятельности

Умеет:

  • определять сходимость расходимость числового ряда;

  • умеет определять вид сходимости или расходимости ряда;

  • раскладывать функцию в ряд Маклорена.

  • грамотно формулировать свои мысли по поставленному вопросу, анализировать, делать выводы.

УУД

Личностные УУД: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении заданий по теории рядов.

Регулятивные УУД: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Познавательные УУД: имеют первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов; умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и формулировать выводы.

Коммуникативные УУД: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Основные понятия

Числовые ряды, степенные, функциональные ряды, сходимость и расходимость рядов, признак Даламбера, ряд Маклорена, знакопеременные ряды, абсолютная и относительная сходимость ряда

Ресурсы:

- основные


- дополнительные

Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

Презентация «Ряды», раздаточный материал

Организация пространства



Организация структуры занятия

Этап занятия

Время

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

УУД

Организационный этап. Мотивация учебной деятельности обучающихся.

5 мин

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.

Приветствуют преподавателя, организуют свое рабочее место, демонстрируют готовность к занятию.

Личностные

-настроить на работу;

-организация рабочего места.

Регулятивные

-целеполагание;

-планирование учебного сотрудничества совместно с преподавателем.

Коммуникативные

-владение диалогической речью.

Актуализация опорных знаний.

15 мин

  1. Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных заданий).

  2. Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию

В подробном конспекте занятия


Отвечают на вопросы.

Проводят самоанализ, вспоминают правила, формулы, алгоритмы, определения

Регулятивные: высказывают свои мнения

Личностные: интерес к учебному материалу, способность к самооценке.

Коммуникативные: умеют слушать, вступать в диалог, участвовать в коллективном действии.

Познавательные: обучающиеся вспоминают, отвечают.

Закрепление и систематизация изученного материала (Практический этап)

40 мин

Решение тренировочных упражнений на закрепление основных понятий, формул и методов применения основных теорем и определений для решения задач по теории рядов.

Формы и методы закрепления:

Метод - диалоговые технологии. Форма – решение упражнения

Задания в подробном конспекте практического занятия

Участвуют в решении тренировочных упражнений по закреплению темы.

Регулятивные: выполнение закрепляющего, систематизирующего учебного действия.

Познавательные: извлечение необходимой информации из текстов, проводят рефлексию действий, совместно с учителем создают алгоритм деятельности.

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.

Индивидуальная работа по вариантам

20 мин

Выполнить индивидуальную работу по теме «Ряды»

Задания в подробном конспекте практического занятия

Самостоятельно выполняют работу по математическому анализу

Подведение итогов занятия

5 мин

Подводит итоги, оценивает работу, выставляет отметки.

Слушают преподавателя. Отвечают на вопросы.


Домашнее задание

3 мин

Информирует и консультирует обучающихся.

Выполнить домашнюю работу – задания в подробном конспекте занятия

Записывают домашнее задание.

Личностные

-подведение итога урока;

-самооценка критериев успешности.

Коммуникативные.

-выражение своих мыслей;

-использование критериев для обоснования суждений.

Регулятивные.

-оценивание.

Познавательные.

-контроль и оценка процессов результата деятельности.

Рефлексия

2 мин

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…



Осмысливают содержания деятельности, собственное сознание и самопознание, размышляют о предстоящей деятельности.

Самостоятельная работа


Самостоятельная работа обучающихся: выполнение домашних заданий по второй теме (в виде контрольной работы).

Реферат, доклад, презентация, научная статья по темам:

Реферат, доклад, презентация, научная статья по темам:

Признак сходимости Даламбера. Разложение функций в ряд Маклорена.




7

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ технол. карта. практика 7.агрономы. 2 курс .docx

Агрономы Практическое занятие № 7

Технологическая карта практического занятия по теме «Операции над множествами», 2 курс ФГАОУ ВО «КФУ им. В. И. Вернадского» Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

Технологическая карта практического занятия № 7 (1 пара - 90 мин).

Задачи занятия:

Задачи преподавателя:

  • Формировать практические умения и навыки у студентов по теме «Множества, отношения и графы»;

  • Оценить уровень сформированности умений и навыков студентов при решении задач по теории множеств;

  • Создать условия для формирования умений логически мыслить;

  • Создать условия для формирования информационной, коммуникативной компетенций студентов.

Задачи студентов:

  • Показать знания таких понятий как: определение множества, виды множеств;

  • Показать знания способов задания множеств;

  • Показать умения и навыки при решении задач на выполнение операций над множествами;

  • Показать умения и навыки при построении графов;

  • Показать умение логически рассуждать, анализировать, высказывать и обосновывать свою точку зрения.

Дидактические:

  • формирование умений в соответствии с требованиями ФГОС: научиться решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности, решать задачи при освоении образовательной программы по теме «Множества и отношения. Свойства отношений. Операции над множествами. Основные понятия теории графов»;

  • контроль и коррекция знаний по теме «Ряды»;

Развивающие:

  • развивать способность осуществлять поиск информации;

  • развивать способность организовывать свою деятельность, выбирать методы и способы решения поставленных задач;

  • развивать способность использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности (ОК 5);

  • развивать способность принимать решение в стандартных и нестандартных ситуациях (ОК 3).

Воспитательные:

  • воспитывать устойчивый интерес к профессии агронома;

  • воспитывать чувство ответственности за результаты своей работы;

  • воспитывать толерантность;

  • воспитывать чувство аккуратности и точности в будущей профессиональной деятельности.

Используемые технологии

Дифференцированного обучения, коммуникативного общения, развивающее обучение.


Планируемые результаты

После изучения темы студент должен:

Знать:

  • Определение множества и его элементов;

  • Виды множеств и способы задания множеств;

  • Операции над множествами;

  • Отношения на множествах;

  • Графы

Уметь:

  • Выполнять необходимые операции над множествами;

  • Строить графы.

УУД

Личностные УУД: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении заданий дискретной математики.

Регулятивные УУД: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Познавательные УУД: имеют первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов; умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и формулировать выводы.

Коммуникативные УУД: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Основные понятия

Множества, круги Эйлера, операции над множествами, граф, виды графов

Ресурсы:

- основные


- дополнительные

Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

раздаточный материал

Организация пространства



Организация структуры занятия

Этап занятия

Время

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

УУД

Организационный этап. Мотивация учебной деятельности обучающихся.

5 мин

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.

Приветствуют преподавателя, организуют свое рабочее место, демонстрируют готовность к занятию.

Личностные

-настроить на работу;

-организация рабочего места.

Регулятивные

-целеполагание;

-планирование учебного сотрудничества совместно с преподавателем.

Коммуникативные

-владение диалогической речью.

Актуализация опорных знаний.

15 мин

  1. Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных заданий).

  2. Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию

В подробном конспекте занятия


Отвечают на вопросы.

Проводят самоанализ, вспоминают правила, формулы, алгоритмы, определения

Регулятивные: высказывают свои мнения

Личностные: интерес к учебному материалу, способность к самооценке.

Коммуникативные: умеют слушать, вступать в диалог, участвовать в коллективном действии.

Познавательные: обучающиеся вспоминают, отвечают.

Закрепление и систематизация изученного материала (Практический этап)

40 мин

Решение тренировочных упражнений на закрепление основных понятий, формул и методов применения основных теорем и определений для решения задач дискретной математики.

Формы и методы закрепления:

Метод - диалоговые технологии. Форма – решение упражнения

Задания в подробном конспекте практического занятия

Участвуют в решении тренировочных упражнений по закреплению темы.

Регулятивные: выполнение закрепляющего, систематизирующего учебного действия.

Познавательные: извлечение необходимой информации из текстов, проводят рефлексию действий, совместно с учителем создают алгоритм деятельности.

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.

Индивидуальная работа по вариантам

20 мин

Выполнить индивидуальную работу по теме «Операции над множествами. Графы»

Задания в подробном конспекте практического занятия

Самостоятельно выполняют работу по дискретной математике

Подведение итогов занятия

5 мин

Подводит итоги, оценивает работу, выставляет отметки.

Слушают преподавателя. Отвечают на вопросы.


Домашнее задание

3 мин

Информирует и консультирует обучающихся.

Выполнить домашнюю работу – задания в подробном конспекте занятия

Записывают домашнее задание.

Личностные

-подведение итога урока;

-самооценка критериев успешности.

Коммуникативные.

-выражение своих мыслей;

-использование критериев для обоснования суждений.

Регулятивные.

-оценивание.

Познавательные.

-контроль и оценка процессов результата деятельности.

Рефлексия

2 мин

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…



Осмысливают содержания деятельности, собственное сознание и самопознание, размышляют о предстоящей деятельности.

Самостоятельная работа


Самостоятельная работа обучающихся: выполнение домашних заданий по второй теме (в виде контрольной работы).

Реферат, доклад, презентация, научная статья по темам:

Виды графов и операции над ними. Отношения; свойства отношений




19

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

Фитнес-тренер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ технол. карта. практика 8.агрономы. 2 курс .docx

Агрономы Практическое занятие № 8

Технологическая карта практического занятия по теме «Решение простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей», 2 курс ФГАОУ ВО «КФУ им. В. И. Вернадского» Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

Технологическая карта практического занятия № 8 (1 пара - 90 мин).

Задачи занятия:

Задачи преподавателя:

  • Формировать практические умения и навыки у студентов по теме «Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей»;

  • Оценить уровень сформированности умений и навыков студентов при решении задач по теории вероятности;

  • Создать условия для формирования умений логически мыслить;

  • Создать условия для формирования информационной, коммуникативной компетенций студентов.

Задачи студентов:

  • Показать знания таких понятий как: случайное событие, вероятность события;

  • Показать знания по применению теоремы сложения и умножения вероятностей для решения задач;

  • Показать умения и навыки при решении задач на вычисление вероятности события; вероятности случайных событий по классическому определению;

  • Показать умение логически рассуждать, анализировать, высказывать и обосновывать свою точку зрения.

Дидактические:

  • формирование умений в соответствии с требованиями ФГОС: научиться решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности, решать задачи при освоении образовательной программы по теме «Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей»;

  • контроль и коррекция знаний по теме «Множества и отношения. Свойства отношений. Операции над множествами. Основные понятия теории графов»;

Развивающие:

  • развивать способность осуществлять поиск информации;

  • развивать способность организовывать свою деятельность, выбирать методы и способы решения поставленных задач;

  • развивать способность использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности (ОК 5);

  • развивать способность принимать решение в стандартных и нестандартных ситуациях (ОК 3).

Воспитательные:

  • воспитывать устойчивый интерес к профессии агронома;

  • воспитывать чувство ответственности за результаты своей работы;

  • воспитывать толерантность;

  • воспитывать чувство аккуратности и точности в будущей профессиональной деятельности.

Используемые технологии

Дифференцированного обучения, коммуникативного общения, развивающее обучение.


Планируемые результаты

После изучения темы:

Студент должен знать: 
- определения и формулы числа перестановок, размещений и сочетаний ;
- классическое определение вероятности;
- определения суммы событий, произведения событий ; формулировки и формулы теорем сложения и умножения вероятностей.

Студент должен уметь :
- вычислять перестановки, размещения и сочетания;
- вычислять вероятность события используя классическое определение и формулы комбинаторики;
- решать задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей.

УУД

Личностные УУД: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении заданий дискретной математики.

Регулятивные УУД: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Познавательные УУД: имеют первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов; умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и формулировать выводы.

Коммуникативные УУД: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Основные понятия

Вероятность, событие, виды событий, классическое определение вероятности, виды вероятностей, теоремы сложения и умножения вероятностей

Ресурсы:

- основные


- дополнительные

Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

раздаточный материал

Организация пространства



Организация структуры занятия

Этап занятия

Время

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

УУД

Организационный этап. Мотивация учебной деятельности обучающихся.

5 мин

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.

Приветствуют преподавателя, организуют свое рабочее место, демонстрируют готовность к занятию.

Личностные

-настроить на работу;

-организация рабочего места.

Регулятивные

-целеполагание;

-планирование учебного сотрудничества совместно с преподавателем.

Коммуникативные

-владение диалогической речью.

Актуализация опорных знаний.

15 мин

  1. Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных заданий).

  2. Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию

В подробном конспекте занятия


Отвечают на вопросы.

Проводят самоанализ, вспоминают правила, формулы, алгоритмы, определения

Регулятивные: высказывают свои мнения

Личностные: интерес к учебному материалу, способность к самооценке.

Коммуникативные: умеют слушать, вступать в диалог, участвовать в коллективном действии.

Познавательные: обучающиеся вспоминают, отвечают.

Закрепление и систематизация изученного материала (Практический этап)

40 мин

Решение тренировочных упражнений на закрепление основных понятий, формул и методов применения основных теорем и определений для решения задач по основам теории вероятности и математической статистики.

Формы и методы закрепления:

Метод - диалоговые технологии. Форма – решение упражнения

Задания в подробном конспекте практического занятия

Участвуют в решении тренировочных упражнений по закреплению темы.

Регулятивные: выполнение закрепляющего, систематизирующего учебного действия.

Познавательные: извлечение необходимой информации из текстов, проводят рефлексию действий, совместно с учителем создают алгоритм деятельности.

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.

Индивидуальная работа по вариантам

20 мин

Выполнить индивидуальную работу по теме «Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей»

Задания в подробном конспекте практического занятия

Самостоятельно выполняют работу по основам теории вероятности и математической статистики

Подведение итогов занятия

5 мин

Подводит итоги, оценивает работу, выставляет отметки.

Слушают преподавателя. Отвечают на вопросы.


Домашнее задание

3 мин

Информирует и консультирует обучающихся.

Выполнить домашнюю работу – задания в подробном конспекте занятия

Записывают домашнее задание.

Личностные

-подведение итога урока;

-самооценка критериев успешности.

Коммуникативные.

-выражение своих мыслей;

-использование критериев для обоснования суждений.

Регулятивные.

-оценивание.

Познавательные.

-контроль и оценка процессов результата деятельности.

Рефлексия

2 мин

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…



Осмысливают содержания деятельности, собственное сознание и самопознание, размышляют о предстоящей деятельности.

Самостоятельная работа


Самостоятельная работа обучающихся: выполнение домашних заданий по четвертому разделу (в виде контрольной работы).

Реферат, доклад, презентация, научная статья по темам:

Теорема умножения вероятностей.




7

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ технол. карта. практика 9.агрономы. 2 курс .docx

Агрономы Практическое занятие № 9

Технологическая карта практического занятия по теме «Нахождение математического ожидания случайной величины», 2 курс ФГАОУ ВО «КФУ им. В. И. Вернадского» Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

Технологическая карта практического занятия № 9 (1 пара - 90 мин).

Задачи занятия:

Задачи преподавателя:

  • Формировать практические умения и навыки у студентов по теме «Нахождение математического ожидания случайной величины»;

  • Оценить уровень сформированности умений и навыков студентов при решении задач по математической статистике;

  • Создать условия для формирования умений логически мыслить;

  • Создать условия для формирования информационной, коммуникативной компетенций студентов.

Задачи студентов:

  • Показать знания таких понятий как: случайная величина, дискретные и непрерывные случайные величины;

  • Показать знания по применению теоремы распределения случайной величины для решения задач;

  • Показать умения и навыки при решении задач на вычисление математического ожидания дискретной случайной величины, дисперсии случайной величины, среднего квадратичного отклонения случайной величины;

  • Показать умение логически рассуждать, анализировать, высказывать и обосновывать свою точку зрения.

Дидактические:

  • формирование умений в соответствии с требованиями ФГОС: научиться решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности, решать задачи при освоении образовательной программы по теме «Случайная величина, ее функция распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины»;

  • контроль и коррекция знаний по теме «Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей»;

Развивающие:

  • развивать способность осуществлять поиск информации;

  • развивать способность организовывать свою деятельность, выбирать методы и способы решения поставленных задач;

  • развивать способность использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности (ОК 5);

  • развивать способность принимать решение в стандартных и нестандартных ситуациях (ОК 3).

Воспитательные:

  • воспитывать устойчивый интерес к профессии агронома;

  • воспитывать чувство ответственности за результаты своей работы;

  • воспитывать толерантность;

  • воспитывать чувство аккуратности и точности в будущей профессиональной деятельности.

Используемые технологии

Дифференцированного обучения, коммуникативного общения, развивающее обучение.


Планируемые результаты

После изучения темы:

Студент должен знать: 
- знать определение математического ожидания;

- понимать, что математическое ожидание является обобщением среднего арифметического значений дискретной случайной величины;

- знать свойства математического ожидания и уметь использовать их при решении простых задач;

- знать, что важным свойством распределения случайной величины является рассеивание;

- знать определение дисперсии;

- уметь вычислять дисперсию;

- знать свойства дисперсии и уметь их использовать при решении простых задач;

- знать определение среднего квадратичного отклонения.

Студент должен уметь :
- вычислять математическое ожидание дискретной случайной величины, дисперсию случайной величины, среднее квадратичное отклонение случайной величины;
- решать задачи на применение основных понятий и теорем по теме.

УУД

Личностные УУД: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении заданий дискретной математики.

Регулятивные УУД: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Познавательные УУД: имеют первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов; умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и формулировать выводы.

Коммуникативные УУД: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Основные понятия

Случайная величина, дискретная и непрерывная случайные величины, закон распределения случайной величины, дисперсия, математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение.

Ресурсы:

- основные


- дополнительные

Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

раздаточный материал

Организация пространства



Организация структуры занятия

Этап занятия

Время

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

УУД

Организационный этап. Мотивация учебной деятельности обучающихся.

5 мин

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.

Приветствуют преподавателя, организуют свое рабочее место, демонстрируют готовность к занятию.

Личностные

-настроить на работу;

-организация рабочего места.

Регулятивные

-целеполагание;

-планирование учебного сотрудничества совместно с преподавателем.

Коммуникативные

-владение диалогической речью.

Актуализация опорных знаний.

15 мин

  1. Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных заданий).

  2. Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию

В подробном конспекте занятия


Отвечают на вопросы.

Проводят самоанализ, вспоминают правила, формулы, алгоритмы, определения

Регулятивные: высказывают свои мнения

Личностные: интерес к учебному материалу, способность к самооценке.

Коммуникативные: умеют слушать, вступать в диалог, участвовать в коллективном действии.

Познавательные: обучающиеся вспоминают, отвечают.

Закрепление и систематизация изученного материала (Практический этап)

40 мин

Решение тренировочных упражнений на закрепление основных понятий, формул и методов применения основных теорем и определений для решения задач по основам теории вероятности и математической статистики.

Формы и методы закрепления:

Метод - диалоговые технологии. Форма – решение упражнения

Задания в подробном конспекте практического занятия

Участвуют в решении тренировочных упражнений по закреплению темы.

Регулятивные: выполнение закрепляющего, систематизирующего учебного действия.

Познавательные: извлечение необходимой информации из текстов, проводят рефлексию действий, совместно с учителем создают алгоритм деятельности.

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.

Индивидуальная работа по вариантам

20 мин

Выполнить индивидуальную работу по теме «Нахождение математического ожидания случайной величины.»

Задания в подробном конспекте практического занятия

Самостоятельно выполняют работу по основам теории вероятности и математической статистики

Подведение итогов занятия

5 мин

Подводит итоги, оценивает работу, выставляет отметки.

Слушают преподавателя. Отвечают на вопросы.


Домашнее задание

3 мин

Информирует и консультирует обучающихся.

Выполнить домашнюю работу – задания в подробном конспекте занятия

Записывают домашнее задание.

Личностные

-подведение итога урока;

-самооценка критериев успешности.

Коммуникативные.

-выражение своих мыслей;

-использование критериев для обоснования суждений.

Регулятивные.

-оценивание.

Познавательные.

-контроль и оценка процессов результата деятельности.

Рефлексия

2 мин

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…



Осмысливают содержания деятельности, собственное сознание и самопознание, размышляют о предстоящей деятельности.

Самостоятельная работа


Самостоятельная работа обучающихся: выполнение домашних заданий по разделу 4.

Реферат, доклад, презентация, научная статья по темам:

Среднее квадратичное отклонение случайной величины.




7

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов"

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Получите профессию

Интернет-маркетолог

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 671 767 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 30.11.2016 7606
    • RAR 10.4 мбайт
    • 65 скачиваний
    • Рейтинг: 4 из 5
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Кублик Галина Евгеньевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Кублик Галина Евгеньевна
    Кублик Галина Евгеньевна
    • На сайте: 8 лет и 5 месяцев
    • Подписчики: 6
    • Всего просмотров: 529181
    • Всего материалов: 226

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Бухгалтер

Бухгалтер

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 29 человек из 22 регионов

Курс повышения квалификации

Ментальная арифметика: умножение и деление

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 227 человек из 54 регионов
  • Этот курс уже прошли 332 человека

Курс повышения квалификации

Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС

36/72 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 140 человек из 53 регионов
  • Этот курс уже прошли 493 человека

Курс профессиональной переподготовки

Педагогическая деятельность по проектированию и реализации образовательного процесса в общеобразовательных организациях (предмет "Математика")

Учитель математики

300 ч. — 1200 ч.

от 7900 руб. от 3650 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 24 человека из 16 регионов
  • Этот курс уже прошли 31 человек

Мини-курс

Сельский и индустриальный туризм

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Психология и педагогика в работе с детьми: эмоциональные и зависимые расстройства

5 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 55 человек из 24 регионов
  • Этот курс уже прошли 24 человека

Мини-курс

Методология и организация образовательного процесса по информатике

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе