Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Разработки лекций и практических занятий для СПО 2 курс по дисциплине ЕН.02 Математика для Агрономов

Выберите документ из архива для просмотра:

157.15 КБ Агрономы.Зачет.docx
35.74 КБ Домашнее задание.docx
188.5 КБ ЕН.01 МАТЕМАТИКА. Агрономы.Программа.doc
1.11 МБ Лекция 6. агрономы. 2 курс.docx
98.89 КБ Лекция 7. агрономы. 2 курс.docx
273.89 КБ Лекция 8. агрономы. 2 курс.docx
422.35 КБ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.docx
637.5 КБ Практическое занятие 7. Агрономы.2 курс.doc
245.5 КБ Практическое занятие 8. Агрономы.2 курс.doc
210.5 КБ Практическое занятие 9. Агрономы.2 курс.doc
904.5 КБ агрономы. 2 курс. лекция 4.doc
505 КБ агрономы. 2 курс. лекция 5.doc
476 КБ лекция 2. агрономы. матрицы.doc
1.39 МБ лекция 3. агрономы. 2 курс.docx
1.68 МБ множества.pptx
1.26 МБ практика 1. финансы. матрицы.docx
366.97 КБ практика 2. агрономы. матрицы.docx
270.59 КБ практика 3. агрономы. матрицы.docx
2.41 МБ практика 4. агрономы. матрицы.docx
621.89 КБ практика 5. агрономы. ДУ.docx
90.28 КБ практика 6. агрономы. ДУ.docx
40.22 КБ технол. карта. лекция 2.агрономы. 2 курс .docx
39.24 КБ технол. карта. лекция 3.агрономы. 2 курс .docx
45.94 КБ технол. карта. лекция 4.агрономы. 2 курс .docx
45.16 КБ технол. карта. лекция 5.агрономы. 2 курс .docx
43.6 КБ технол. карта. лекция 6.агрономы. 2 курс .docx
47.54 КБ технол. карта. лекция 7.агрономы. 2 курс .docx
47.84 КБ технол. карта. лекция 8.агрономы. 2 курс .docx
35.56 КБ технол. карта. практика 2.агрономы. 2 курс .docx
36.91 КБ технол. карта. практика 3.агрономы. 2 курс .docx
37.04 КБ технол. карта. практика 4.агрономы. 2 курс .docx
40.37 КБ технол. карта. практика 5.агрономы. 2 курс .docx
40.4 КБ технол. карта. практика 6.агрономы. 2 курс .docx
41.38 КБ технол. карта. практика 7.агрономы. 2 курс .docx
41.96 КБ технол. карта. практика 8.агрономы. 2 курс .docx
42.34 КБ технол. карта. практика 9.агрономы. 2 курс .docx

Выбранный для просмотра документ Агрономы.Зачет.docx

библиотека
материалов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»



Утверждаю:

Заместитель директора

по учебной работе

___________Н.В.Нерух

«___»_______2016г.




ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.02 МАТЕМАТИКА

ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫЙ ЗАЧЕТ


Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)








Маленькое.

2016 г.

Рекомендуемое количество часов на освоение программы дисциплины:

максимальной учебной нагрузки обучающегося 54 часа, в том числе:

  • обязательной аудиторной учебной нагрузки обучающегося 36 часа;

  • самостоятельной работы обучающегося 18 часа.

СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Объем учебной дисциплины и виды учебной работы


практические занятия

20

контрольные работы


Самостоятельная работа обучающегося (всего)

18

в том числе:


домашняя работа

18

Промежуточная аттестация в форме: дифференцированного зачета



В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:

  1. Решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

  2. Решать системы линейных уравнений с использованием методов Крамера и Гаусса;

  3. Решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального исчисления;

  4. Решать простейшие дифференциальные уравнения в частных производных;

  5. Решать простейшие задачи, используя элементы теории вероятности;

  6. Находить функцию распределения случайной величины;

  7. Находить аналитическое выражение производной по табличным данным;

  8. Решать обыкновенные дифференциальные уравнения.


В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:

  1. Значение математики в профессиональной деятельности и при освоении основной профессиональной образовательной программы;

  2. Основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

  3. Основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории вероятностей и математической статистики;

  4. Основы интегрального и дифференциального исчисления.

В результате освоения дисциплины у обучающегося должны формироваться следующие компетенции:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

На втором курсе изучение следующих тем:

1. Основы линейной алгебры;

2. Дифференциальное и интегральное исчисление;

3. Дифференциальные уравнения;

4. Ряды;

5. Дискретная математика;

7. Основы теории вероятностей и математической статистики

Таблица 1

Объекты оценивания.

( результаты обучения)

Показатели

Критерии

Формы и методы контроля и оценки результатов обучения

У.1. Решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности

-рациональность

планирования и

организация деятельности по решению задач,

-своевременность сдачи заданий,

-обоснованность применения методов и способов решения задачи,

- аргументированность выбора ответа

Соответствие выбранных методов их целям и задачам.

Критерии оценивания дифференцированного зачета в пояснительной записке

Практические работы, Внеаудиторная работа,

Дифференцированный зачет

З.1. Значение математики в профессиональной деятельности и при освоении основной профессиональной образовательной программы

З.2.Основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности

З.3. Основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики

З.4. Основы интегрального и дифференциального исчисления

Критерии выставления оценок за письменные работы

Оценка «отлично» (5) выставляется, если обучающийся выполнил работу без ошибок и недочетов, либо допустил не более одного недочета.

Оценка «хорошо» (4) выставляется, если обучающийся выполнил работу полностью, но допустил в ней не более одной негрубой ошибки и одного недочета, либо не более двух недочетов.

Оценка «удовлетворительно» (3) выставляется, если обучающийся выполнил не менее половины работы, допустив при этом:

не более двух грубых ошибок;

либо не более одной грубой и одной негрубой ошибки и один недочет; либо три негрубые ошибки;

либо одну негрубую ошибку и три недочета;

либо четыре-пять недочетов.

Оценка «неудовлетворительно» (2 балла) выставляется, если обучающийся:

выполнил менее половины работы;

либо допустил большее количество ошибок и недочетов, чем это допускается для оценки «удовлетворительно».

Оценка «плохо» (1) выставляется, если обучающийся не приступал к выполнению работы, либо выполнил менее 10 % объема работы. Примечание: За оригинальное выполнение работы преподаватель вправе повысить обучающемуся оценку на один балл.






МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 1


  1. Понятие сложной функции. Производная сложной функции.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Производная сложной функции


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

В барабане лежат одинаковые на ощупь шары лотереи с номерами от 1 до 36. Какова вероятность того, что номер вытянутого наудачу шара делится на 3?










Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 2


  1. Матрицы, их свойства, операции над матрицами.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Найти частное решение дифференциального уравнения.


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

В ящике 15 белых и 5 красных шаров. Наугад достали один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар белый?











Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 3


  1. Что называется случайным событием в теории вероятностей?

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Производная сложной функции


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

В тире 10 винтовок, из них 4 с оптическим прицелом. Какова вероятность того, что стрелок выбрал винтовку без оптического прицела?












Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 4


  1. Какие операции над множествами Вы знаете? Дайте определение одной из операций.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Найти частное решение дифференциального уравнения.


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

На полке стоят 5-томное собрание сочинений, которые разместили в случайном порядке. Какова вероятность того, что тома стоят в порядке убывания номеров?









Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 5


  1.  Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Производная сложной функции


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

Студент знает 23 вопроса из 25. какова вероятность того, что ему достался вопрос, которого он не знает?











Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.



МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 6


  1. Теорема Коши.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Найти частное решение дифференциального уравнения.


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

В урне 12 одинаковых шаров: 4 белых, 7 красных и 1 черный. Какова вероятность того, что выбранный шар не черный?










Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 7


  1. Что такое дисперсия дискретной случайной величины?

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Производная сложной функции


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

Для лотереи отпечатаны 1000 билетов, из которых 150 выигрышные. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?












Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 8


  1. Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Найти частное решение дифференциального уравнения.


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

Билеты пронумерованы двухзначными числами. Какова вероятность того, что наудачу взятый билет оканчивается на «0»?










Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 9


  1. Определение обыкновенных дифференциальных уравнений.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Производная сложной функции


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

Найти вероятность того, что при одном бросании игральной кости выпадет число очков, кратное 3?










Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 10


  1. Определители, их свойства. Ранг матрицы. Обратна матрица.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Найти частное решение дифференциального уравнения.


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

В лотерее пронумерованы билеты от 1 до 50. Какова вероятность того, что наудачу взятый билет содержит цифру 1.











Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 11


  1. Дифференциал и его применение к приближенным вычислениям.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Производная сложной функции

  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

В урне лежат 12 одинаковых шаров: 3 белых, 7 черных, остальные красные. Какова вероятность, что наугад выбранный шар окажется не белым?










Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 12


  1. Какие Вы знаете способы задания множеств?

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Найти частное решение дифференциального уравнения.


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

В лотерее пронумерованы билеты от 1 до 100. Какова вероятность, что взятый наудачу билет содержит цифру 2?











Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 13


  1. Вторая производная. Физический смысл второй производной.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Производная сложной функции


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

Забыта последняя цифра номера телефона и набрана наугад. Какова вероятность, что номер набран верно?











Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 14


  1. Дифференциальные уравнения 2-го порядка.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Найти частное решение дифференциального уравнения.


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

Талоны пронумерованы всеми двузначными числами. Какова вероятность, что взятый талон состоит из номера с одинаковыми цифрами?











Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 15


  1. Достаточные признаки сходимости функциональных рядов. Нахождение области сходимости.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Производная сложной функции


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

Заготовлено 35 экзаменационных билетов. Какова вероятность, что взятый билет оканчивается цифрой «5»?









Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 16


  1. Числовые последовательности.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Найти частное решение дифференциального уравнения.


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

Какова вероятность, что наудачу взятое число от 1 до 30 является делителем числа 30?










Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 17


  1. Определение производной функции. Производные основных элементарных функций.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Производная сложной функции


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

Какова вероятность, что наудачу взятое число от 1 до 30 кратно 3?










Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 18


  1. Как можно найти математическое ожидание дискретной случайной величины? Что оно характеризует?

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Найти частное решение дифференциального уравнения.


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

Номер лотерейного билета от 1 до 200. Какова вероятность, что номер, наудачу взятого билета кратен 7 или 5?










Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 19


  1. Неопределенный интеграл и его свойства.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Производная сложной функции


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

Номер лотерейного билета от 1 до 100. Какова вероятность, что номер, наудачу взятого билета кратен 11?











Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.



МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 20


  1. Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Найти частное решение дифференциального уравнения.


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

В денежно-вещевой лотерее на 100000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность какого-либо выигрыша?










Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 21


  1. Ряды Тейлора и Маклорена.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Производная сложной функции


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

В барабане лежат одинаковые на ощупь шары лотереи с номерами от 1 до 36. Какова вероятность того, что номер вытянутого наудачу шара делится на 3?











Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 22


  1. Что такое множество? Приведите примеры.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Найти частное решение дифференциального уравнения.


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

В ящике 15 белых и 5 красных шаров. Наугад достали один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар белый?










Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 23


  1.  Какие теоремы теории вероятностей Вы знаете?

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Производная сложной функции


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

В тире 10 винтовок, из них 4 с оптическим прицелом. Какова вероятность того, что стрелок выбрал винтовку без оптического прицела?











Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И.Вернадского»

Семестр _3__

Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

Учебная дисциплина: ЕН. 02 Математика


БИЛЕТ № 24


  1. Минор. Алгебраическое дополнение. Транспонированная и обратная матрицы.

  2. Решить систему уравнений матричным способом


  1. Найти частное решение дифференциального уравнения.


  1. Задачи на определение вероятности случайного события.

На полке стоят 5-томное собрание сочинений, которые разместили в случайном порядке. Какова вероятность того, что тома стоят в порядке убывания номеров?







Утверждено на заседании предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «___»___________201_ г.

Экзаменатор _______________Кублик Г.Е.


Ответы к билетам


(2; 3; 1)






(2; -1; 3)



0,75



(28; -14; -5)



0,6




(2; 2; -1)






(1; -2; 0)



0,08



(3; -4; 1)






(2; 3; 4)



0,15



(1; 1; 1)



0,1



(1; 1; -3)






(0; 1; -2)



0,28



(-1; 0; 2)


0,75



(3; 0; -2)


0,19



(3; -2; 0)


0,1



(2; -2; 0)


0,1



(-2; 5; 4)





(1; 0; 2)





(2; -1; -3)





(-3; 1; 2)


0,34



(-3; 4;2)



0,09



(1; 2; 3)



0,02



(2; 3; 1)






(2; -1; 3)


0,75




(28; -14; -5)


0,6



(2; 2; -1)





Выбранный для просмотра документ Домашнее задание.docx

библиотека
материалов

Домашнее задание.

Решить одну систему методом Крамера, вторую – Гаусса, третью – матричным методом. Выбираете любые три, но чтобы они у вас не повторялись

Выбранный для просмотра документ ЕН.01 МАТЕМАТИКА. Агрономы.Программа.doc

библиотека
материалов


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное

учреждение высшего образования

«Крымский федеральный Университет им. В.И.

Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)


Ордена Трудового Красного Знамени

агропромышленный колледж

(филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»


УТВЕРЖДАЮ

Заместитель директора

по учебной работе


______________Н.В. Нерух

«__»_____________2016 г.







ПРОГРАММа УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ


ЕН.02 МАТЕМАТИКА


Специальности: 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений);

35.02.05 Агрономия (профиль плодоовощевод)

(Базовая подготовка)














2016 г.

Программа учебной дисциплины ЕН.02 математика разработана на основе программы подготовки специалиста среднего звена (ППССЗ), согласно распределения вариативной части, предусмотренной Федеральным государственным образовательным стандартом программы подготовки специалиста среднего звена (ППССЗ) по направлению подготовки 35.02.05 Агрономия (Базовая подготовка)

специальности 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Аг рономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)

и отображаемой в учебном плане специальности 35.02.05 Агрономия (профиль защита растений); 35.02.05 Аг рономия (профиль плодоовощевод) (Базовая подготовка)




Организация – разработчик: Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал) ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»





Разработчик:

Кублик Галина Евгеньевна,


Преподаватель математики ____________ Г.Е.Кублик




Программа учебной дисциплины рассмотрена на заседании Методического совета Ордена Трудового Красного Знамени агропромышленный колледж (филиал) ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского» (Протокол № ___ от «___»___________2016 г.)


Председатель _____________Н.В. Нерух






Программа учебной дисциплины рекомендована Предметной цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин (Протокол № ___ от «___»___________2016 г.)


Председатель _____________М.А. Шенгелай

СОДЕРЖАНИЕ


стр.


  1. ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.02 математика


4

  1. СТРУКТУРА и содержание УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.02 математика

7

  1. условия реализации рабочей учебной дисциплины ЕН.02 математика

12

  1. Контроль и оценка результатов Освоения учебной дисциплины ЕН.02 математика

14



  1. паспорт ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

ЕН.02 МАТЕМАТИКА


1.1. Область применения программы

Программа учебной дисциплины ЕН.02. «Математика» является частью основной ППССЗ в соответствии с ФГОС СПО для реализации государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальности Агрономия (базовая подготовка).

Программа учебной дисциплины может быть использована в дополнительном профессиональном образовании в рамках реализации программ переподготовки кадров в учреждениях СПО.


1.2. Место дисциплины в структуре основной профессиональной образовательной программы:

Учебная дисциплина «Математика» относится к математическому и общему естественнонаучному циклу программы.


1.3. Цели и задачи дисциплины – требования к результатам освоения дисциплины:

Дисциплина «Математика» должна вооружить обучающегося математическими знаниями, необходимыми для изучения ряда общенаучных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, создать фундамент математического образования, необходимый для получения профессиональных компетенций, воспитать математическую культуру и понимание роли математики в различных сферах профессиональной деятельности.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:

  1. Решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

  2. Решать системы линейных уравнений с использованием методов Крамера и Гаусса;

  3. Решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального исчисления;

  4. Решать простейшие дифференциальные уравнения в частных производных;

  5. Решать простейшие задачи, используя элементы теории вероятности;

  6. Находить функцию распределения случайной величины;

  7. Находить аналитическое выражение производной по табличным данным;

  8. Решать обыкновенные дифференциальные уравнения.


В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:

  1. Значение математики в профессиональной деятельности и при освоении основной профессиональной образовательной программы;

  2. Основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

  3. Основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории вероятностей и математической статистики;

  4. Основы интегрального и дифференциального исчисления.

В результате освоения дисциплины у обучающегося должны формироваться следующие компетенции:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.


1.4. Рекомендуемое количество часов на освоение программы дисциплины:

максимальной учебной нагрузки обучающегося 54 часа, в том числе:

  • обязательной аудиторной учебной нагрузки обучающегося 36 часа;

  • самостоятельной работы обучающегося 18 часа.
















2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ


2.1. Объем учебной дисциплины и виды учебной работы



домашняя работа

18

Промежуточная аттестация в форме: дифференцированного зачета




2.2. Тематический план и содержание учебной дисциплины ЕН.01 математика


Содержание учебного материала, практические работы, самостоятельная работа обучающихся

Объем часов

Уровень освоения

1

2

3

4

Раздел 1. Основы линейной алгебры


14


Тема 1.1. Матрицы и операции над матрицами. Определители и их свойства

Содержание учебного материала

2

1


Понятие матрицы. Сложение, вычитание матриц. Умножение матрицы на число. Умножение матриц. Определители второго, третьего, n-го порядка. Свойства.

Минор. Алгебраическое дополнение. Обратная матрица

2

Практическое занятие № 1:

Действия над матрицами, вычисление определителей.

Практическое занятие № 2:

Вычисление минора, алгебраических дополнений, обратной матрицы

4


Тема 1.2. Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными


Содержание учебного материала

2

1


Системы трех линейных уравнений с тремя переменными и их решение с помощью определителей, методом Гаусса, матричным методом

2

Практическое занятие № 3: Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными при помощи определителей третьего порядка.

Практическое занятие № 4: Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными методом Гаусса.


4


Самостоятельная работа обучающихся: выполнение домашних заданий по разделу 1.

Решение задач по теме «Операции над матрицами. Выполнение расчетных заданий». Решение задач по теме «Системы линейных уравнений с n неизвестными»


2




Раздел 2. Математический анализ


16

Тема 2.1. Дифференциальное и интегральное исчисление

Содержание учебного материала


1

Функции одной независимой переменной. Пределы. Непрерывность функций. Производная, геометрический смысл. Исследование функций. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование. Замена переменной. Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Функции нескольких переменных. Приложение интеграла к решению прикладных задач. Частные производные.

2

1

Самостоятельная работа обучающихся: выполнение домашних заданий по первой теме.

Производная, ее геометрический смысл. Непрерывность функций. Асимптоты. Неопределенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла.


2


Тема 2.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения в частных производных


Содержание учебного материала

2

1



Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общие и частные решения. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Простейшие дифференциальные уравнения в частных производных. Дифференциальные уравнения линейные относительно частных производных.

2

Практическое занятие № 5: Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Решение прикладных задач.

2

2

Самостоятельная работа обучающихся: выполнение домашних заданий по второй теме.

Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка. Решение линейных однородных уравнений второго порядка. Решение простейших дифференциальных уравнений линейных относительно частных производных.

2


Тема 2.3.

Ряды.


Содержание учебного материала

2


1

Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов. Признак сходимости Даламбера. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Функциональные ряды. Степенные ряды. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

2

Практическое занятие № 6: Определение сходимости рядов по признаку Даламбера. Определение сходимости знакопеременных рядов.

2


Самостоятельная работа обучающихся: выполнение домашних заданий по разделу 2.

Признак сходимости Даламбера. Разложение функций в ряд Маклорена.

2

Раздел 3.

Основы дискретной математики


8

Тема 3.1. Множества и отношения. Свойства отношений. Операции над множествами. Основные понятия теории графов.


Содержание учебного материала




2

1

Элементы и множества. Задание множеств. Операции над множествами. Свойства операций над множествами. Отношения. Свойства отношений. Графы. Основные определения. Элементы графов. Виды графов и операции над ними.

2

Самостоятельная работа обучающихся: выполнение домашних заданий по теме.

Виды графов и операции над ними.

2


Практическое занятие № 7: Операции над множествами.

2

2

Самостоятельная работа обучающихся: выполнение домашних заданий по третьему разделу.

Отношения; свойства отношений.


2



Раздел 4. Основы теории вероятностей

и математической статистики


16

Тема 4.1. Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей


Содержание учебного материала

2



1

1

Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей.

Практическое занятие № 8: Решение простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей.


2


Самостоятельная работа обучающихся: выполнение домашних заданий по теме.

Теорема умножения вероятностей.


2

Тема 4.2. Случайная величина, ее функция распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.


Содержание учебного материала

2

1

Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения случайной величины. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Дисперсия случайной величины. Среднее квадратичное отклонение случайной величины.

2

Самостоятельная работа обучающихся: выполнение домашних заданий по теме.

По заданному условию построить закон распределения дискретной случайной величины.


2



Практическое занятие № 9: Нахождение математического ожидания случайной величины.

2


Самостоятельная работа обучающихся: выполнение домашних заданий по разделу 4.

Среднее квадратичное отклонение случайной величины.


2



Дифференцированный зачет


2

Всего:


54


Для характеристики уровня освоения учебного материала используются следующие обозначения:

1. – ознакомительный (узнавание ранее изученных объектов, свойств);

2. – репродуктивный (выполнение деятельности по образцу, инструкции или под руководством)

3. – продуктивный (планирование и самостоятельное выполнение деятельности, решение проблемных задач)

3. условия реализации программы дисциплины


3.1. Требования к минимальному материально-техническому обеспечению

Реализация программы дисциплины требует наличия учебного кабинета математики.


Оборудование учебного кабинета:

  • посадочные места по количеству обучающихся;

  • рабочее место преподавателя;

  • комплект учебно-наглядных пособий по математике;

  • комплект мультимедийных презентаций по математике;

  • набор чертежных принадлежностей;

  • программное обеспечение общего назначения.

Технические средства обучения:

  • интерактивная доска с лицензионным программным обеспечением;

  • ноутбук;

  • мультимедиапроектор;

  • экран.


3.2. Информационное обеспечение обучения

Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы


Основные источники:

  1. Богомолов Н.В. Самойленко П.И. Математика: Учебник. - М.: Дрофа, 2009.

  2. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике: Учебное пособие. - М.: Дрофа, 2009.

  3. Омельченко В. П., Курбатова Э. В. Математика: Учебное пособие. – М.: Феникс, 2009.

  4. Щипачев В.С. Основы высшей математики. – М: Высшая школа. 2008.


Дополнительные источники:

  1. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: для общеобраз. Учреждений: базовый и проф. Уровни/ С.М. Никольский. – М.: Просвещение, 2009 г., Гриф. Минобр.

  2. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: для общеобраз. Учреждений: базовый и проф. Уровни/ С.М. Никольский. – М.: Просвещение, 2009 г., Гриф. Минобр.

  3. Колягин Ю.М. и др. Математика (Книга 1). – М., 2003.

  4. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А., Герасимова И.А., Житников И.В. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач. – Ростов н/Д: Феникс, 2001.

  5. Пакет прикладных программ по курсу математики: OC Windows 7 – сервисная программа, MS Office – сервисная программа.

Интернет – ресурсы:

  1. http://www.edu.ru

  2. http://www.mat.ru

  3. Газета «Математика» «издательского дома» «Первое сентября» http://www.1september.ru

  4. Математика в Открытом колледже http://www.mathematics.ru

  5. Общероссийский математический портал Math-Net.Ru http://www.mathnet.ru

  6. Вся элементарная математика: Средняя математическая интернет – школа www.bymath.ru

































4. Контроль и оценка результатов освоения Дисциплины

Контроль и оценка результатов освоения учебной дисциплины осуществляется преподавателем в процессе проведения практических занятий, тестирования, а также выполнения обучающимися индивидуальных заданий, исследований.

Результаты обучения

(освоенные умения, усвоенные знания)

Основные показатели оценки результатов

Освоенные умения:

  • решение прикладных задач в области профессиональной деятельности;

  • исследование (моделирование) несложных практических ситуаций на основе изученного материала;

  • применение производной для проведения приближенных вычислений.


Усвоенные знания:

  • значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

  • основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

  • основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, теории вероятностей и математической статистики;

  • основы интегрального и дифференциального исчисления.


- Выполнение действий над матрицами

- Вычисление определителей

- Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

- Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

- Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

- Вычисление предела функции в точке и в бесконечности

- Исследование функции на непрерывность в точке

- Нахождение производной функции

- Нахождение производных высших порядков

- Исследование функции и построение графика

- Нахождение неопределенных интегралов

- Вычисление определенных интегралов

- Нахождение частных производных







В результате аттестации по учебной дисциплине осуществляется комплексная проверка следующих знаний и умений, а также динамика формирования компетенций:



В результате учебной дисциплины, подлежащие оценке

З1-4,

У1-8


ОК 1

ОК 2

ОК 3

ОК 4

ОК 5

ОК 6

ОК 7

ОК 8

ОК 9


Соответствие выполнения практических и самостоятельных работ эталону.

Применение освоенных алгоритмов в знакомой ситуации;

Применение методов, адекватных учебной задаче;

Обоснованный выбор таблиц, графиков и формул.

Экспертная оценка выполнения практических и самостоятельных индивидуальных работ на соответствие эталону


Технологии формирования ОК


Название ОК

Технологии формирования ОК

(на учебных занятиях)

ОК 1 - Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.


  • задания на подготовку сообщений, докладов, рефератов;

  • задания на составление планов к тексту;

  • задания на подготовку вопросов к тексту;

  • выступление на защитах самостоятельной работы, подготовленной товарищами, в качестве оппонентов;

  • задачи с избытком информации;

  • задачи с недостатком информации;

  • задания на поиск информации в справочной литературе, сети Интернет;

  • задания на подготовку презентаций MS Power Point к учебному материалу;

  • задания на составление диаграмм, схем, графиков, таблиц и других форм наглядности к тексту;

  • выступления на защитах самостоятельной работы, подготовленной товарищами, в качестве оппонентов;

  • практические работы, проводимые в парах и группах;

  • использование методов и приемов проблемного обучения: проблемный вопрос, проблемная задача, проблемная ситуация, проблемная лекция;

  • использование метода проб и ошибок, предполагающего возможность обучающегося сомневаться в своих решениях, возвращаться к началу, исправлять свои ошибки;

  • решение одной и той же задачи несколькими альтернативными способами, выбор наиболее оптимального из них на основе аргументированного обсуждения.

ОК 2 – Организовывать собственную деятельность, определять методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество

ОК 3 - Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.



ОК 4 – Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития

ОК 5 Владеть информационной культурой, анализировать и оценивать информацию с использованием информационно-коммуникационных технологий

ОК 6 - Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.


ОК 7 - Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.


ОК 8 - Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.


ОК 9 - Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.




Выбранный для просмотра документ Лекция 6. агрономы. 2 курс.docx

библиотека
материалов

Агрономы Лекционное занятие № 6

Тема: Множества и их отношения. Свойства отношений. Операции над множествами. Основные понятия теории графов.


Тип урока: изучение нового материала.

Вид урока: комбинированный урок, включающий в себя изучение и систематизацию изученного материалом, применение знаний и умений на практике, закрепление изученного.

Цели занятия:

Образовательные:

  • ввести понятие множества, операций над множествами, рассмотреть способы задания множеств;

  • способствовать формированию умений применять графический метод при выполнении операций с множествами;

  • ввести понятие графа, элементы графов, операции над ними, рассмотреть основные виды графов;

  • способствовать формированию умений применять графический метод при выполнении операций над графами.

Воспитательные:

  • повышать мотивацию студентов путем использования нестандартных задач и игрового изложения материала;

  • побуждать студентов к само-, взаимоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний;

Развивающие:

  • развить навыки формализации при решении задач с помощью кругов Эйлера;

  • развивать познавательный интерес к предмету и самостоятельность студентов;

  • развитие логического мышления, речи и внимания;

  • формирование информационной культуры, потребности в приобретении знаний;

  • побуждать студентов к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.


Интеграционные связи:

    • Внутренние: Последовательности, пределы и ряды. Основные понятия теории графов.

    • Внешние: дискретная математика, комбинаторика, философия, русский язык, менеджмент.

Оборудование занятия:

  • Проектор, ноутбук.

  • Раздаточный материал.

  • Презентация к занятию.

  • Круги Эйлера к заданию №4

  • Готовые карточки с домашним заданием.


Ход урока.

  1. Организационный момент:

Поприветствовать студентов, отметить отсутствующих.

Объявить тему урока и его цель.


  1. Актуализация знаний и умений обучающихся.

        1. Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных задач

        2. Выполнить устно упражнения:

Вопросы:

  1. Какие из перечисленных чисел принадлежат множеству натуральных чисел N: ?

  2. Решите неравенство .

  3. Решите уравнение

  4. Какие из перечисленных чисел принадлежат множеству целых чисел Z: ?

  5. Решите уравнение

  6. Решите уравнение

  7. Какие числа принадлежат отрезку

  8. Какие числа принадлежат полуинтервалу ?

- Как вы думаете, ребята, о чем пойдет речь сегодня на нашем занятии? Студенты высказывают предположения. Преподаватель обобщает сказанное ими: «Оказывается так сказал 140 лет назад немецкий математик и философ Георг Кантор о множествах, которые он использовал, чтобы ответить на вопрос: «Каких чисел больше: натуральных или действительных»?

- А как вы понимаете понятие Множество? (Студенты высказывают предположения).

  1. Мотивация целей.

- Хорошо, ребята. Теперь, когда мы выяснили, что речь на сегодняшнем занятии пойдет о множествах, а точнее о большом разделе «ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ», давайте попытаемся ответить на вопрос «Какова же цель нашего занятия? Что мы должны рассмотреть за данную лекцию»? (Студенты высказывают предположения).


- Итак, тема нашего занятия «Теория множеств», «Теория Графов» (Презентация)

  1. Изучение нового материала.

Запишем определение. Множество – это совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое.

- Приведите, пожалуйста, примеры множеств.

- В математике часто используют числовые множества: .

- Предметы, образующие множество, называются его элементами. Множества обычно обозначаются большими латинскими буквами A, B, C, D,…,а элементы множества – малыми латинскими буквами a, b, c, d,…

Существует два способа задания множеств:

  1. Перечислением элементов . При этом мы наглядно видим, из каких элементов состоит множество. Но эта запись неудобна при описании множеств с большим числом элементов или множеств, число элементов которых невозможно перечислить полностью, то есть – бесконечных множеств. Например, невозможно записать все элементы множества чисел, которые делятся на 10.

  2. Описанием характеристических свойств, которыми обладают все элементы этого множества и не обладает ни один предмет, не являющийся его элементом.


Акцентируется внимание на правильное прочтение такой записи и на то, какие элементы входят в данное множество.

- Как описанием характеристических свойств задать множество четных чисел? Множество нечетных чисел? (Ответы студенты записывают на доске).

- Давайте еще раз потренируемся правильно читать записанные множества.


Вы сейчас сидите отдельными группами, маленькими множествами, но в пределах данного занятия вы образуете одно единое большое множество, с которым я сейчас работаю.

Самое большое множество, содержащее в себе все множества, рассматриваемые в задаче, называется универсальным. Обозначается U.



Но есть в каждой задаче и самое маленькое множество. Оглядитесь, где оно (стол без студентов)? Как оно называется? Как обозначается?

Если во множестве нет ни одного элемента, то оно называется пустым множеством.

Каждая небольшая группа, на которую вы разбились, является подгруппой большой группы, а, следовательно, является подмножеством множества всей группы. Попробуйте сформулировать определение подмножества.

(Студенты высказывают предположения).

Множество A является подмножеством В, если каждый элемент А является также элементом В, и в В есть хотя бы один элемент, не принадлежащий А.

Замечание. Пустое множество и само множество всегда являются подмножествами рассматриваемого множества.

Рассмотрим пример: найдите все элементы множества и запишите его подмножества:

Множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

С помощью нескольких множеств можно строить новые множества или, как говорят, производить операции над множествами. Как вы считаете, какие операции можно проводить над множествами? (Студенты высказывают предположения).

Один из величайших математиков петербургской академии Леонард Эйлер (1707–1783) за свою долгую жизнь написал более 850 научных работ. В одной из них появились круги, которые “очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления”. Эти круги и назвали кругами Эйлера. С помощью этих кругов удобно геометрически иллюстрировать операции над множествами.

Объединение множеств

Объединением Аhello_html_m45404c21.pngВ множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.

Символическая запись этого определения: А hello_html_m45404c21.pngВ={х | хhello_html_4f0f4af9.pngА или хhello_html_4f0f4af9.pngВ}.

Поясним определение объединения множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

hello_html_7ef3b2c5.jpg

На диаграмме объединение множеств А и В выделено штриховкой.

Если множество А определяется характеристическим свойством Р (х), а множество В - характеристическим свойством Q(х), то А hello_html_m45404c21.png В состоит из всех элементов, обладающих, по крайней мере, одним из этих свойств.

Примеры объединений двух множеств:

1) Пусть А={2; 5; 7}, В={3; 5; 6}. Тогда А hello_html_m45404c21.png В ={2; 3; 5; 6; 7}.

Пересечение множеств

Пересечением А ∩ В множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно каждому из множеств А и В.

Символическая запись этого определения: А ∩ В={х | хhello_html_4f0f4af9.png А и х hello_html_4f0f4af9.pngВ}.

Поясним определение пересечения множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

hello_html_m52350053.jpg

А ∩ В

На диаграмме пересечение множеств А и В выделено штриховкой.

Примеры пересечений двух множеств:

1)  Пусть А={2; 5; 7; 8}, В={3; 5; 6; 7} .Тогда А ∩ В={5; 7}.

2)  Пусть А- множество всех прямоугольников, В-множество всех ромбов. Тогда А ∩ В -множество фигур, одновременно являющихся и прямоугольниками, и ромбами, т.е. множество всех квадратов.

Разность множеств

Разностью А\В множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е.

А\В={х | х hello_html_4f0f4af9.pngА и хhello_html_7bdc03d3.pngВ},

что можно пояснить на диаграмме Эйлера-Венна следующим образом:

hello_html_4a976059.jpg

На диаграмме разность А\В выделена штриховкой.

Примеры разностей множеств:

1.  Пусть А={1; 2; 5; 7}, В={1; 3; 5; 6}. Тогда А\В ={2;7}, а В\А={3; 6}.

Дополнение множества

Пусть множество А и В таковы, что Аhello_html_m528b3d88.pngВ. Тогда дополнением множества А до множества В называется разность В\А. В этом случае применяется обозначение СBА=В\А. Если в качестве множества В берётся универсальное множество U, то применяется обозначение СА=СUА=U\А и такое множество просто называют дополнением множества А. Таким образом, символическая запись определения дополнения множества будет следующей: hello_html_685012f7.png СА={x | x hello_html_7bdc03d3.pngA}.

На диаграммах Эйлера-Венна можно так пояснить определения СВА и СА:

hello_html_m4ba19823.jpghello_html_202aedb.jpg

Рассмотрим пример:

  1. Найдите если , .

  2. Установите соответствие

hello_html_m576666b0.png

  1. b) c) d) B\A

Ответ: 1 – b, 2 – а, 3 – d, 4 – с.

Задание №3 (выполняет каждая подгруппа совместно).

Заполните таблицу.






1 группа







2 группа







3 группа







4 группа


Задание №4 (выполняет каждая подгруппа совместно).

Заштрихуйте ту часть диаграммы, которая соответствует следующему множеству:

Представители каждой группы отмечают результат на доске.

Теория графов.

Графические представления в широком смысле – любые наглядные отображения исследуемой системы, процесса, явления на плоскости. К ним могут быть отнесены рисунки, чертежи, графики зависимостей характеристик, планы-карты местности, блок-схемы процессов, диаграммы и т. д. Такие изображения наглядно представляют различные взаимосвязи, взаимообусловленности: топологическое (пространственное) расположение объектов, хронологические (временные) зависимости процессов и явлений, логические, структурные, причинно-следственные и другие взаимосвязи.

Графические представления – удобный способ иллюстрации содержания различных понятий, относящихся к другим способам формализованных представлений (например, диаграммы Венна и другие графические иллюстрации основных теоретико-множественных и логических представлений).

Всё более распространенными становятся представления количественных характеристик, взаимосвязей между объектами в виде разного рода одно-, двух- и более мерных гистограмм, круговых диаграмм, других аналогичных способов представления в виде тех или иных геометрических фигур, по наглядным характеристикам которых (высоте, ширине, площади, радиусу и пр.) можно судить о количественных соотношениях сравниваемых объектов, значительно упрощая их анализ.

Мощным и наиболее исследованным классом объектов, относящихся к графическим представлениям, являются так называемые графы, изучаемые в теории графов.

Теория графов – это раздел дискретной математики, исследующий свойства конечных множеств с заданными отношениями между их элементами. Как прикладная дисциплина теория графов позволяет описывать и исследовать многие технические, экономические, биологические и социальные системы.

hello_html_m4ccaea06.jpg

  1. Основные понятия теории графов

Граф – это система, которая интуитивно может быть рассмотрена как множество кружков и множество соединяющих их линий (геометрический способ задания графа – см. рисунок 1). Кружки называются вершинами графа, линии со стрелками – дугами, без стрелок – рёбрами.

Граф, в котором направление линий не выделяется (все линии являются ребрами), называется неориентированным; граф, в котором направление линий принципиально (линии являются дугами) называется ориентированным.

Теория графов может рассматриваться как раздел дискретной математики (точнее – теории множеств), и тогда определение графа таково:

Граф – это конечное множество Х, состоящее из n элементов называемых вершинами графа, и подмножество V декартова произведения называемое множеством дуг.

Ориентированным графом G (орграфом) называется совокупность (Х, V).

Неориентированным графом называется совокупность множеств Х и множества неупорядоченных пар элементов, каждый из которых принадлежит множеству Х.

Дугу между вершинами i и j, будем обозначать (i, j). Число дуг графа будем обозначать

Подграфом называется часть графа, образованная подмножеством вершин вместе со всеми рёбрами (дугами), соединяющими вершины из этого множества. Если в графе удалить часть рёбер (дуг), то получим частичный граф.

Две вершины называются смежными, если они соединены ребром (дугой). Смежные вершины называются граничными вершинами соответствующего ребра (дуги), а это ребро (дуга) - инцидентным соответствующим вершинам.

Граф называется полным, если каждые две вершины его соединены одним и только одним ребром.

Граф, для которого из следует называется симметричным. Если из следует , то соответствующий граф называется антисимметричным.

Язык графов оказывается удобным для описания многих физических, технических, экономических, биологических, социальных и других систем.

Приведем ряд примеров приложений теории графов.

1. «Транспортные» задачи, в которых вершинами графа являются пункты, а ребра – дороги (автомобильные, железные и др.) или другие транспортные (например, авиационные) маршруты. Другой пример – сети снабжения (энергоснабжения, газоснабжения, снабжения товарами и т. д.), в которых вершинами являются пункты производства и потребления, а ребрами – возможные маршруты перемещения (линии электропередач, газопроводы, дороги и т. д.) Соответствующий класс задач оптимизации потоков грузов, размещения пунктов производства и потребления и т. д. иногда называется задачами обеспечения или задачами о размещении. Их подклассом являются задачи о грузоперевозках.

2. «Технологические задачи», в которых вершины отражают производственные элементы (заводы, цеха, станки и т. д.), а дуги – потоки сырья, материалов и продукции между ними, заключаются в определении оптимальной загрузки производственных элементов и обеспечивающих эту загрузку потоков.

3. Обменные схемы, являющиеся моделями таких явлений как бартер, взаимозачёты и т. д. Вершины графа при этом описывают участников обменной схемы (цепочки), а дуги – потоки материальных и финансовых ресурсов между ними. Задача заключается в определении цепочки обменов, оптимальной с точки зрения, например, организатора обмена и согласованной с интересами участников цепочки и существующими ограничениями.

4. Управление проектами. С точки зрения теории графов – совокупность операций и зависимостей между ними (сетевой график). Примером является проект строительства некоторого объекта. Совокупность моделей и методов, использующих язык и результаты теории графов и ориентированных на решение задач управления проектами, получила название календарно-сетевого планирования и управления (КСПУ). В рамка КСПУ решаются задачи определения последовательности выполнения операций и распределения ресурсов между ними, оптимальных с точки зрения тех или иных критериев (времени выполнения проекта, затрат риска и др.).

5. Модели коллектива и групп, используемые в социологии, основываются на представлении людей или их групп в виде вершин, а отношений между ними (например, отношений знакомства, доверия, симпатии и т. д.) – в виде рёбер или дуг. Тем самым решаются задачи исследования структуры социальных групп, их сравнения и т. д.

6. Модели организационных структур, в которых вершинами являются элементы организационной системы, а рёбрами или дугами – связи (информационные, управляющие, технологические и др.) между ними.

  1. Степень вершины

Вершины в графе могут отличаться друг от друга тем, скольким рёбрам они принадлежат.

Степень вершины называется число рёбер графа, которым принадлежит эта вершина. Степень графа ещё называют его валентностью и обозначают . Вершина графа, для которой является изолированной, для которой висячей.

Вершина называется нечётной, если нечётное число. Вершина называется чётной, если чётное число. Степень каждой вершины полного графа на единицу меньше числа его вершин.

В графе сумма степеней всех его вершин – число чётное, равное удвоенному числу рёбер графа. Число нечётных вершин любого графа чётно. Во всяком графе с n вершинами, где всегда найдутся, по меньшей мере, две вершины с одинаковыми степенями.

Если в графе с n вершинами в точности две вершины имеют одинаковую степень, то в этом графе всегда найдётся либо в точности одна вершина степени 0, либо в точности одна вершина степени

  1. Маршруты, цепи, циклы

Маршрутом в графе называется чередующаяся последовательность вершин и рёбер, в которой любые два соседних элемента инцидентны:

Если то маршрут замкнут, в противном случае открыт.

Путём называется последовательность дуг (в ориентированном графе), такая, что конец одной дуги является началом другой дуги.

Простой путь – путь, в котором ни одна дуга не встречается дважды.

Контур – путь, у которого конечная вершина совпадает с начальной вершиной.

Длиной пути (контура) называется число дуг пути (или сумма длин его дуг, если последние заданы).

Цепью называется множество рёбер (в неориентированном графе), которые можно расположить так, что конец (в этом расположении) одного ребра является началом другого. Другое определение: цепь – последовательность смежных вершин. Замкнутая цепь называется циклом. Можно определить простые и элементарные цепи.

Элементарная цепь (цикл, путь, контур), проходящая через все вершины графа называется гамильтоновой цепью.

Простая цепь (цикл, путь, контур), содержащая все рёбра (дуги) графа называется эйлеровой цепью.

Если любые две вершины графа можно соединить цепью, то граф называется связным. Если граф не является связным, то его можно разбить на связные подграфы, называемые компонентами.

Связностью графа называется минимальное число рёбер, после удаления которых граф становится несвязным.

  1. Ориентированные графы

Если элементы множества Е графа упорядоченные пары, то граф называется ориентированным или орграфом.

Ребро графа G называется ориентированным, если одну вершину считают началом ребра, а другую – концом, на рисунке его изображают стрелкой между вершинами. Таким образом, граф, все рёбра которого ориентированы, называется ориентированным графом.

Одна и та же вершина ориентированного графа может служить началом для одних рёбер и концом для других, поэтому различают две степени вершины: степень выхода и степень входа.

Степенью выхода вершины орграфа называется число выходящих из вершины рёбер.

Степенью входа вершины орграфа называется число входящих в вершину рёбер.

В орграфах в зависимости от сочетаний степеней входа и выхода для данной вершины рассматривается три случая.

Изолированной вершиной называется вершина, у которой и степень входа и степень выхода равна 0.

Источником называется вершина, степень выхода которой положительна, а степень входа равна 0.

Стоком называется вершина, степень входа которой положительна, а степень выхода равна 0.

Путём в ориентированном графе называется последовательность ориентированных рёбер, т. е. для орграфов цепь называется путём.

Простым путём в ориентированном графе называется путь, в котором ни одна вершина не содержится более одного раза.

Замкнутый путь в ориентированном графе называется ориентированным циклом или контуром.

Длиной пути называется число рёбер в этом пути.

Полным ориентированным графом называется граф, каждая пара вершин которого соединена в точности одним ориентированным ребром.

Всякий полный ориентированный граф с n вершинами имеет простой ориентированный путь, проходящий через все вершины графа.

Петлёй называется ребро, у которого начальная и конечная вершины совпадают. Петля обычно считается неориентированной.

Мультиграфом называется граф, в котором пара вершин соединяется несколькими различными рёбрами. Для ориентированного мультиграфа вершины и могут соединяться несколькими рёбрами в каждом из направлений.

  1. Изоморфизм графов

Два графа и называются изоморфными, если между множествами их вершин существует биективное (взаимнооднозначное) соответствие, такое, что вершины соединены рёбрами в одном из графов в том и только в том случае, когда соответствующие им вершины соединены в другом графе. Если рёбра ориентированы, то их направление в изоморфных графах должно совпадать. Изоморфизм графов есть отношение эквивалентности, так как обладает свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Для того чтобы граф был изоморфен графу необходимо и достаточно существования такой подстановки, которая бы установила взаимнооднозначное соответствие между вершинами графа, а также между их рёбрами.

При замене графа любым ему изоморфным все свойства графа сохраняются. Строго говоря, графы отличающиеся только нумерацией вершин, являются изоморфными.

Алгоритм распознания изоморфизма двух графов и

1. Подсчитаем число вершин каждого графа (число вершин должно совпадать, в противном случае графы неизоморфные).

2. Выписываем все элементы обоих графов в естественной упорядоченности и определяем пары и для каждого элемента, где число исходов для каждой вершины графов и , а число заходов для соответствующих графов.

3. Для каждого элемента х графа ищем такой элемент у графа что выполняется условие: число исходов х совпадает с числом исходов у, и число заходов х совпадает с числом заходов у. Найденные элементы х и у соединяем ребром, т. е. строим граф соответствия (если соответствия нет, то графы не изоморфны).

4. Выписываем подстановку, которая переводит граф в граф .

  1. Плоские графы

Граф называется плоским, если на плоскости его можно изобразить так, что все пересечения его рёбер являются вершинами графа .

В качестве характеристики плоского представления графа вводится понятие грани.

Гранью в плоском представлении графа называется часть плоскости, ограниченная простым циклом и не содержащая внутри других циклов.

  1. Операции над графами

Рассмотрим графы и

а) Дополнением графа называется граф множеством вершин которого является множество а множеством его рёбер является множество

б) Объединением графов и при условии, что называется граф множеством вершин которого является множество а множеством его рёбер является множество

в) Пересечением графов и называется граф множеством вершин которого является множество а множеством его рёбер является множество

г) Суммой по модулю два графов и при условии, что называется граф множеством вершин которого является множество а множеством его рёбер – множество Т. е. этот граф не имеет изолированных вершин и состоит только из рёбер, присутствующих либо в первом графе, либо во втором графе, но не в обоих графах одновременно.

hello_html_b462b80.jpg


hello_html_62517619.jpg

  1. Способы задания графов

Существуют три эквивалентных способа задания графов: аналитический, геометрический и матричный. Рассмотрим каждый из них.

Аналитический способ задания графов

Граф задан, если задано множество элементов V и отображение E множеств V в V. Отображение Е может быть как однозначным, так и многозначным.

Пусть дано множество которое имеет мощность

Для того чтобы задать отображение Е на V , необходимо каждому элементу поставить в соответствие некоторое подмножество множества V, которому соответствует отображение Е. Это подмножество обозначают через Поэтому Совокупность двух объектов: множества V и отображение Е на V задаёт некоторый граф.

Другой формой аналитического способа задания является задание графа как совокупности множества элементов V и подмножества множества упорядоченных пар

Геометрический способ задания графов

Множество элементов V графа G изображают кружками, это множество вершин. Каждую вершину соединяют линиями с теми вершинами , для которых выполняется условие Множество линий, которое соответствует множеству упорядоченных пар есть множество рёбер.

Матричный способ задания графов

Квадратная матрица элементами которой являются нули и единицы, а также некоторое число m, называется матрицей смежности графа тогда и только тогда, когда её элементы образуются по следующему правилу: элемент стоящий на пересечении й строки и го столбца, равен единице, если имеется ребро, идущее из вершины в вершину и равен нулю в противном случае. Элемент равен единице, если при вершине имеется петля, и равен нулю в противном случае. Элемент равен некоторому числу m, где m – число рёбер графа, идущее из вершины в вершину

Таким образом, если граф задан одним из указанных способов: аналитическим, геометрическим или матричным, всегда можно перейти к любому другому способу задания. Наиболее часто для задания графа используется аналитический и матричный способы, а геометрический способ служит для иллюстрации полученных результатов.

  1. Некоторые типы графов

Эйлеровы графы

К задачам на Эйлеровы графы относятся головоломки, в которых требуется вычертить на плоскости одним росчерком замкнутые кривые, обводя каждый участок в точности один раз. Введём следующие понятия.

Эйлеровым путём в графе называется путь, содержащий все рёбра графа.

Эйлеровым циклом или эйлеровой цепью называется цикл, содержащий все рёбра графа и притом по одному разу.

Граф, обладающий эйлеровым циклом, называется эйлеровым графом.

Замкнутую линию, если её можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги, проходя при этом каждый участок в точности один раз, принято называть уникурсальной.

Рисунок графа, обладающий эйлеровым путём или эйлеровым циклом, является уникурсальной линией.

Докажем следующие две теоремы

Теорема 1. Если граф обладает эйлеровым циклом, то он связный и все его вершины четные.

Доказательство. Связность графа следует из определения эйлерова цикла. Эйлеров цикл содержит каждое ребро и притом только один раз, поэтому, сколько раз эйлеров путь приведет конец карандаша в вершину, столько и выведет, причём уже по одному ребру. Следовательно, степень каждой вершины графа должна состоять из двух одинаковых слагаемых: одно – результат подсчета входов в вершину, другое – выходов.

Теорема 2. Если граф связный и все его вершины четные, то он обладает эйлеровым циклом.

Доказательство. Если начать путь из произвольной вершины графа , то найдётся цикл, содержащий все рёбра графа. Пусть - произвольная вершина. Из начнём путь по l по одному из рёбер и продолжим его, проходя каждый раз по новому ребру. Все вершины графа имеют чётные степени, поэтому если l есть «выход» из , то должен быть и «вход» в , также как и для любой вершины другой вершины. И если есть «вход» в вершину, то должен быть и «выход». Так как число ребер конечно, то это путь должен окончиться, причём в вершине . Если путь, замкнувшийся в , проходит через все рёбра графа, то мы получим искомый эйлеров цикл.

Для построения эйлерова цикла в связном графе со всеми вершинами чётной степени применяется следующий алгоритм:

1. Выйти из произвольной вершины . Каждое пройденное ребро зачеркнуть. Если путь замыкается в и проходит через все рёбра графа, то получим искомый эйлеров цикл.

2. Если остались непройденные рёбра, то должна существовать вершина принадлежащая и ребру, не вошедшему в

3. Так как чётная, то число рёбер, которым принадлежит и которые не вошли в путь тоже чётно. Начнём новый путь из и используем только рёбра, не принадлежащие Этот путь кончится в

4. Объединим теперь оба цикла: из пройдём по пути к затем по и, вернувшись в пройдём по оставшейся части обратно в .

5. Если снова найдутся рёбра, которые не вошли в путь, то найдём новые циклы. Так как число рёбер и вершин конечно, то процесс закончится.

Таким образом, замкнутую фигуру, в которой все вершины чётные, можно начертить одним росчерком без повторений и начиная с любой точки.

На практике эйлеровым графом может быть план выставки; это позволяет расставить указатели маршрута, чтобы посетитель смог пройти по каждому залу в точности по одному разу.

Гамильтоновы графы

Граф, обладающий гамильтоновым циклом, называется гамильтоновым графом.

Гамильтоновым циклом, или путём в графе, называется цикл, или путь, проходящий через каждую вершину графа в точности по одному разу.

Эйлеровы и гамильтоновы пути сходны по способу задания. Первые содержат все рёбра, и притом по одному разу, вторые – все вершины по одному разу. Но, несмотря на внешнее сходство, задачи их отыскания резко отличаются по степени трудности. Для решения вопроса о существовании эйлерова цикла в графе достаточно выяснить, все ли его вершины чётные.

Критерий же существования гамильтонова цикла на произвольном графе ещё не найден.

Однако есть несколько достаточных условий существования гамильтоновых циклов в графе:

1. Всякий полный граф является гамильтоновым, так как он содержит простой цикл, которому принадлежат все вершины данного графа.

2. Если граф, помимо простого цикла, проходящего через все его вершины, содержит и другие рёбра, то он также является гамильтоновым.

3. Если граф имеет один гамильтонов цикл, то он может иметь и другие гамильтоновы циклы.


  1. Формирование умений и навыков обучающихся.

Решение текстовых задач

- Рассмотрим другую сторону применения теории множеств – решение текстовых задач.

Задача 1. Иван не Иванов, Петр не Петров, Сергей не Сергеев. Сергей живет в одном доме с Петровым. Кто есть кто? (ответ: Сергей Иванов, Петр Сергеев, Иван Петров).

Задача 2. В НИИ работает 5 агрономов. Нужно составить график дежурств по 2 человека на смену, причем каждый агроном должен отдежурить с каждым из остальных. На сколько смен будет составлен график? (ответ: 10, обращаем внимание, что эту задачу можно решить как при помощи теории множеств, так и при помощи комбинаторики, используя размещения без повторений).

Решение задач с помощью графов:

Задача 1. 

hello_html_22dde0ea.jpg

Решение: Обозначим ученых вершинами графа и проведем от каждой вершины линии к четырем другим вершинам. Получаем 10 линий, которые и будут считаться рукопожатиями.

Задача 2. 

На пришкольном участке растут 8 деревьев: яблоня, тополь, береза, рябина, дуб, клен, лиственница и сосна. Рябина выше лиственницы, яблоня выше клена, дуб ниже березы, но выше сосны, сосна выше рябины, береза ниже тополя, а лиственница выше яблони. Расположите деревья от самого низкого к самому высокому. 

Решение: 

Вершины графа - это деревья, обозначенный первой буквой названия дерева.  В данной задача  два отношения: “быть ниже” и “быть выше”. Рассмотрим отношение “быть ниже” и проведем стрелки от более низкого дерева к более высокому. Если в задаче сказано, что рябина выше лиственницы, то стрелку ставим от лиственницы к рябине и т.д. Получаем граф, на котором видно, что самое низкое дерево – клен, затем идут яблоня, лиственница, рябина, сосна, дуб, береза и тополь.


hello_html_m1f7a5a9b.jpg

Задача 3.

У Наташи есть 2 конверта: обычный и авиа, и 3 марки: прямоугольная, квадратная и треугольная. Сколькими способами Наташа может выбрать конверт и марку, чтобы отправить письмо?

Решение: 


hello_html_m1d56700b.jpg

Ниже представлен разбор задач.

hello_html_4d8d0fe4.png 

   hello_html_m7de38714.jpg

  1. Подведение итогов занятия.

Подводится итог работы и выставляются оценки.


  1. Домашнее задание.

Решить задачи:

  1. В группе учатся 40 студентов. Из них по русскому языку имеют «пятерки» 19 человек, по математике – 17 человек и по информатике – 22 человека. Только по одному предмету имеют «пятерки»: по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека, по информатике – 11 человек. Семь студентов имеют «пятерки» и по математике и по информатике, а 5 студентов – «пятерки» по всем предметам. Сколько человек учится без «пяте-рок»? Сколько человек имеют «пятерки» по двум из трех предметов?

  2. Из пункта А в пункт В выехали пять машин одной марки разного цвета: белая, черная, красная, синяя, зеленая. Черная едет впереди синей, зеле-ная — впереди белой, но позади синей, красная — впереди черной. Каков порядок их движения?

  3. Между девятью планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий, Плутон – Венера, Земля – Плутон, Плутон – Меркурий, Меркурий – Венера, Уран – Нептун, Нептун – Сатурн, Сатурн – Юпитер, Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса?


Решение

Нарисуем схему: планетами будут соответствовать точки, а соединяющим их маршрутам – не пересекающиеся между собой линии.

hello_html_12317e89.gif

Теперь видно, что долететь от Земли до Марса нельзя.

Ответ

Нельзя.



  1. Самостоятельная работа.


Виды графов и операции над ними. Отношения; свойства отношений.



Что такое декартово произведение и отношения на множестве

Декартово произведение A x B множеств A и B - множество всевозможных пар вида (a, b), где a - элемент множества Ab - элемент множества B. В отличие от обычного произведения, перестановка "множителей" меняет результат. Заметим, что декартово произведение множества самого на себя - допустимая операция. 

Пример декартова произведения. 
A = {-1, 1}, B = {0, 2}. A x B = {(-1, 0), (-1, 2), (1, 0), (1, 2)}. 

Пусть |
X| - количество элементов множества X. Тогда |A x B| = |A|*|B|. 

Любое подмножество R декартова произведения A x A называется отношением на множестве A. Если некоторые элементы y, z из Aнаходятся в отношении R, это обозначают как yRz. Небольшой пример. Пусть есть молодёжная компания K = {Вася, Маша, Катя, Лиза, Петя}. Допустим, R - отношение "живущие по одной улице". Маша и Катя живут по улице Дубовой, Лиза и Петя - по улице Липовой, Вася - по улице Кустарной. Тогда R = {(Маша, Катя), (Катя, Маша), (Лиза, Петя), (Петя, Лиза)}.

Простейшие виды отношений

Отношение R на множестве A рефлексивно, если любой элемент этого множества находится в отношении R с самим собой. Пример:A - числовое множество, R - отношение равенства. Ведь никто же не усомнится, что 1=1))) 

Отношение антирефлексивно, если никакой элемент множества A не находится в этом отношении сам с собой. Яркий пример - неравенства < и > (то есть строгие неравенства). Другой пример: A - множество команд футбольной лиги, R - отношение "играть в одном матче в 1-ом туре". Ну не будет же никакая команда играть сама с собой? Как это - "команда играет с собой же"? Это типа её основной состав против дубля что ли? 

Отношение симметрично, если всегда верно yRz => zRy, где y, z - элементы множества A. Пример про футбол из предыдущего абзаца подойдёт))) Ведь если ЦСКА играет матч с "Динамо", то "Динамо" же играет с ЦСКА))) 

Если yRz и zRy возможно одновременно только при y=z, то отношение антисимметрично. Яркий пример - нестрогие неравенства для чисел ("больше или равно", "меньше или равно"). 

Отношение R асимметрично, если yRz и zRy вообще не может быть одновременно. Пример: A - множество граждан России, xRy - если y - жена x. Адекватный человек вряд ли здесь найдёт случаи симметрии))) 

Если при yRz и zRt всегда верно, что yRt, то отношение транзитивно. Пример - всё те же числовые неравенства. Скажем, если y > z, z > t, то по-любому y > t. Другой яркий пример - параллельность прямых: если первая прямая параллельна второй, а вторая - третьей, то первая прямая параллельна третьей. 

Отношение называется связным, если для любых несовпадающих элементов y, z yRz или zRy (допускается выполнение как одного, так и двух условий сразу). То есть любая пара элементов множества A содержит сравнимые элементы. Пример связного отношения следующий. A - множество команд футбольной лиги. Окончился очередной чемпионат, команды выстроились в итоговой турнирной таблице. Отношение yRz: команда y набрала не меньше очков, чем команда z. Если две команды набрали разное число очков, то отношение между ними выполняется в одну сторону, если одинаковое - и вовсе в обе (в последнем случае места в таблице определяются по дополнительным правилам). А теперь коварный второй пример, на этот раз отношение будет не связным. yRz: команда y набрала больше очков, чем команда z. Если две команды набрали очков одинаково, то отношения между ними нет.

Отношения эквивалентности и отношения порядка

Если отношение R на множестве A рефлексивно, симметрично и транзитивно одновременно, то это отношение эквивалентности. Пример отношения эквивалентности. A = {15, 319, 25, 29, 935, 939}. R - отношение "оканчиваться на одну цифру". 

Ключевое свойство отношения эквивалентности: множество A разбивается на непересекающиеся классы эквивалентности, элементы внутри такого класса эквивалентны друг друга с точки зрения рассматриваемого отношения. Для примера выше - множество делится на классы {15, 25, 935} и {319, 29, 939}. Как видим, никакой элемент A не попадает одновременно в несколько классов. 

Если отношение одновременно рефлексивно, антисимметрично, транзитивно, то оно является отношением нестрогого порядка. Пример - опять те же нестрогие неравенства, например, "больше или равно". 

Если отношение антирефлексивно, асимметрично, транзитивно, то это отношение строгого порядка. Как пример - строгие неравенства. Заметим, что хотя в определении отношения строгого порядка обычно дают три свойства, можно давать определение без антирефлексивности - она тут выполняется автоматически. 

Заметим, что 
отдельно взятая пара элементов множества A, где введено отношение порядка R, может и не находиться в отношении порядка. Скажем, на множестве сотрудников организации введено отношение "быть начальником", причём управление устроено иерархически.

hello_html_453c2d0e.png

Пример по рисунку: t - начальник для z, а вот y и z вообще не состоят в отношении "начальник-подчинённый": может, статус y выше, но он в другом подразделении. 

Если на множестве введено отношение порядка, это множество является упорядоченным. Если при этом нет пар элементов, не состоящих в отношении порядка, множество называется вполне упорядоченным, иначе частично упорядоченным.


3

Выбранный для просмотра документ Лекция 7. агрономы. 2 курс.docx

библиотека
материалов

Агрономы Лекционное занятие № 7

Тема: Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей.


Тип урока: изучение нового материала.

Вид урока: комбинированный урок, включающий в себя изучение и систематизацию изученного материалом, применение знаний и умений на практике, закрепление изученного.

Цели занятия:

Образовательные:

  • дать понятие о случайном событии, вероятности события;

  • научить вычислять вероятности события; вероятности случайных событий по классическому определению;

  • научить применять теоремы сложения и умножения вероятностей для решения задач;

  • продолжать формировать интерес к математике посредством решения задач  с применением классического определения вероятности для непосредственного подсчета вероятностей явлений;

  • прививать интерес к математике, используя исторический материал;

  • воспитывать осознанное отношение к процессу обучения, прививать чувство ответственности за качество знаний, осуществлять самоконтроль за процессом решения и оформления упражнений.

Воспитательные:

  • повышать мотивацию студентов путем использования нестандартных задач и игрового изложения материала;

  • побуждать студентов к само-, взаимоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний;

Развивающие:

  • развить навыки формализации при решении задач с помощью кругов Эйлера;

  • развивать познавательный интерес к предмету и самостоятельность студентов;

  • развитие логического мышления, речи и внимания;

  • формирование информационной культуры, потребности в приобретении знаний;

  • побуждать студентов к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.

Студент должен знать: 
- определения и формулы числа перестановок, размещений и сочетаний ;
- классическое определение вероятности;
- определения суммы событий, произведения событий ; формулировки и формулы теорем сложения и умножения вероятностей.

Студент должен уметь :
- вычислять перестановки, размещения и сочетания;
- вычислять вероятность события используя классическое определение и формулы комбинаторики;
- решать задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей.

Оборудование занятия:

  • Проектор, ноутбук.

  • Раздаточный материал.

  • Презентация к занятию.

  • Готовые карточки с домашним заданием.


Ход урока.

  1. Организационный момент:

Поприветствовать студентов, отметить отсутствующих.

Объявить тему урока и его цель.

  1. Актуализация знаний и умений обучающихся.

        1. Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных задач.

        2. Проверка теоретических сведений по теме «Теория вероятностей и комбинаторика».

  1. Что такое комбинаторика?

  2. Какие задачи называются комбинаторными?

  3. Назовите основные понятия комбинаторики.

  4. Что такое размещения, перестановки, сочетания?

  5. Что называется выборкой объема k? Какие выборки считают различными?

  6. Дайте определение символа n!.

  7. Какие формулы существуют для нахождения числа размещений, числа перестановок, числа сочетаний?

  8. Какими свойствами обладают числа hello_html_17586d64.gif?


        1. Проверить решение упражнений:

  1. Вычислить:  hello_html_m4a262f61.gif

  2. Найти число размещений из 10 элементов по 4.

  3. Решить уравнение: hello_html_m4223ed8.gif

  4. Решить задачу:

    • Сколькими способами можно составить список из 10 человек?

    • Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?

    • 30 учащихся обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?


4.Мотивация целей.

Преподаватель сообщает, что возникновение теории вероятностей относится к середине XVII в. и связанно с исследованием Б. Паскаля, П. Ферма и Х.Гюйгенса (1629-1695) . Крупный шаг в развитии теории вероятности связан с работами  Я.Бернулли (1654-1705). Ему принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей - законом больших чисел . Следующий этап в развитии теории связан с именами А.Муавра (1667-1754) , К. Гаусса , П. Лапласа (1749-1827) , С.Пуассона (1781-1840). Среди ученых Петербургской школой следует назвать имена А.М. Ляпунова (1857-1918) и А.А Маркова (1856-1922) . После работ этих математиков во всем мире теорию вероятностей стали называть “Русской наукой”. В средине 20-х годов А.Я. Хинчин (1894-1959) и А.Н. Колмогорова создали Московскую школу теории вероятностей. Вклад акад. А.Н.Колмогоров – лауреата Ленинской премии , международной премии им . Б. Больцано, члена ряда зарубежных академиков – в современную математику огромен. Заслуга А.Н.Колмогорова состоит не только в разработке новых научных теорий, но и еще в большей степени в том, что он воспитал целую плеяду талантливых ученых (акад. АН УССР Б.В. Гнеденко , акад. Ю.В. Прохоров , Б.А. Севастьянов и др.).
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных величин,- за последнее десятилетие превратилась в один из основных методов современных науки и техники. Бурное развитие теории автоматического регулирования привело к необходимости решать многочисленные вопросы, связанные с выяснением возможного хода процессов, на которые влияют случайные факторы. Теория вероятностей необходима широкому кругу специалистов – физикам, биологам, врача, экономистам, инженерам, военным, организаторам производства и т.д.

- Итак, тема нашего занятия «Вероятность. Теорема сложения и умножения вероятностей» (Презентация)


  1. Изучение нового материала.

В толковом словаре С.И. Ожегова и Н.Ю. Шведовой читаем: «Вероятность – возможность исполнения, осуществимости чего-нибудь». Мы часто употребляем в повседневной жизни «вероятно», «вероятнее», «невероятно», вовсе не имея в виду конкретные количественные оценки этой возможности исполнения.
Основатель современной теории вероятностей А.Н. Колмогоров писал о вероятности так: «Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях».
Итак, в математике вероятность измеряется числом. Совсем скоро мы выясним, как именно это можно сделать. Но начнем мы с обсуждения того, у каких событий бывает «математическая вероятность» и что представляют собой эти «определенные, могущие повторяться неограниченное число раз условия». Именно поэтому рассмотрим случайные события и случайные эксперименты.
Нужно сказать, что теория вероятностей, как никакая другая область математики, полна противоречий и парадоксов. Объяснение этому очень простое – она слишком тесно связана с реальной, окружающей нас действительностью. Долгое время ее вместе с математической статистикой даже не хотели причислять к математическим дисциплинам, считая их сугубо прикладными науками.
Только в первой половине прошлого века, в основном благодаря трудам нашего великого соотечественника А.Н. Колмогорова, имя которого уже упоминалось выше, были построены математические основания теории вероятностей, которые позволили отделить собственно науку от ее приложений. Подход, предложенный Колмогоровым, теперь принято называть аксиоматическим, поскольку вероятность в нем (а точнее, вероятностное пространство) определяется как некая математическая структура, удовлетворяющая определенной системе аксиом.
Именно на этом подходе построен современный вузовский курс теории вероятностей, через который прошли в свое время все нынешние учителя математики. Однако в школе такой подход к изучению вероятности (да и математики в целом) вряд ли разумен. Если в вузе основной акцент делается на изучении математического аппарата для исследования вероятностных моделей, то в школе 
ученик должен научиться эти модели строить, анализировать, проверять их адекватность реальным ситуациям. Такую точку зрения разделяют сегодня большинство ученых, занимающихся проблемами школьного математического образования.
В современных школьных учебниках можно найти следующее определение: событие называется
случайным, если при одних и тех же условиях оно может как произойти, так и не произойти. Случайным будет, например, событие «При подбрасывании игрального кубика выпадет 6 очков».
В приведенном определении неявно подразумевается одно важное требование, которое необходимо подчеркнуть: мы должны иметь возможность 
неоднократно воспроизводить одни и те же условия, в которых наблюдается данное событие (например, подбрасывать кубик),- иначе невозможно судить о его случайности.
Стало быть, говоря о любом случайном событии, мы всегда имеем в виду наличие определенных условий, без которых об этом событии вообще не имеет смысла говорить. Этот комплекс условий называют
случайным опытом или случайным экспериментом.
В дальнейшем 
мы будем называть случайным любое событие, связанное со случайным экспериментом. До эксперимента, как правило, невозможно точно сказать, произойдет данное событие, или не произойдет – это выясняется лишь после его завершения. Но неспроста мы сделали оговорку «как правило»: в теории вероятностей принято считать случайными все события, связанные со случайным экспериментом, в том числе:

  • невозможные, которые никогда не могут произойти;

  • достоверные, которые происходят при каждом таком эксперименте.

            Например, событие «На игральном кубике выпадет 7 очков» - невозможное, а «На игральном кубике выпадет меньше семи очков» - достоверное. Разумеется, если речь идет о кубике, на гранях которого написаны числа от 1 до 6.
События называются 
несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании (В урне два шара – белый и черный, появление черного шара не исключает появление белого при том же испытании). События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны. Вероятность события рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.

Обозначения: 
Случайные события (большими буквами латинского алфавита): A,B,C,D,.. (или 
hello_html_6b8f371f.gif). “Случайные” опускают и говорят просто “события”. 
Число исходов, благоприятствующих наступлению данного события – m;
Число всех исходов (опытов) – n.
Классическое определение вероятности.
Вероятностью события A называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события hello_html_m3d7138e8.gifк числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е.
hello_html_m4af1ed3.gif – вероятность случайного события
Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы, т.е.   0≤P(A)≤1
Невозможному событию соответствует вероятность P(A)=0, а достоверному – вероятность P(A)=1

Теоремы сложения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий,  безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+P(B);
P(
hello_html_m3d7138e8.gifhello_html_bc13893.gif+…+hello_html_187ffce3.gif=P(hello_html_3f7b08ce.gif+Phello_html_m37f45177.gif+…+P(hello_html_597ca955.gif).

Теорема сложения вероятностей совместных событий. 
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Для трех совместных событий имеет место формула:
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

Событие, противоположное событию A (т.е. ненаступление события A), обозначают hello_html_111dc2e9.gif. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице: P(A)+P(hello_html_111dc2e9.gif)=1

Вероятность наступления события A, вычисленная в предположении, что событие B уже произошло, называется условной вероятностью события A при условии B и обозначается hello_html_m1b43a460.gif(A) или P(A/B).
Если A и B – независимые события, то 
P(B)-
hello_html_m62a3c869.gif(B)=hello_html_m4e842a91.gif(B).

События A,B,C,… называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или ненаступлением других событий по отдельности или в любой их комбинации.


Теоремы умножения вероятностей.

Теорема умножения вероятностей независимых событий. 
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
P(AB)=P(A)•P(B)

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле:
P(
hello_html_1bf9a579.gif)=P(hello_html_m3d7138e8.gif)•P(hello_html_bc13893.gif)… P(hello_html_597ca955.gif).

Теорема умножения вероятностей зависимых событий. 
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:
P(AB)=P(A)• 
hello_html_m62a3c869.gif(B)=P(B)•hello_html_m4c5179d2.gif(A)

Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей.

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте; в противном случае события называются совместными.

Пример 1. При бросании игральной кости выпадение 3 очков и 6 очков события несовместные, так как они одновременно не могут произойти в одном и том же опыте.

Пример 2. А - появление четырех очков при бросании игральной кости; В-появление четного числа очков. События А и В совместные, так появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не влияет на вероятность появления другого события, в противном случае события зависимы.

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А – деталь годная, В – деталь окрашенная, то АВ – деталь годна и окрашена. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если А, В, С – появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то АВС – выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

Условной вероятностью hello_html_m101c3f8.gif называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна : hello_html_5be615ea.gif где (Р(А)>0).

Пример 3. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность hello_html_3322ba8d.gif

Этот же результат можно получить по формуле hello_html_5c094c9e.gif

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании hello_html_d569885.gif

Найдем вероятность Р (АВ) того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором—белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений hello_html_1d720936.gif. Из этого числа исходов событию AВ благоприятствуют hello_html_m667c4004.gif исходов. Следовательно, hello_html_1cae54b.gif. Искомая условная вероятность hello_html_5ff7d721.gif. Как видим, получен прежний результат.

Теорема умножения вероятностей (для зависимых событий). Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: hello_html_5b05d49e.gif

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

hello_html_m35d5579b.gif,

где hello_html_6ea5740e.gif — вероятность события hello_html_m6ac0a1aa.gif, вычисленная в предположении, что события hello_html_m40364df0.gif наступили.

В частности, для трех событий hello_html_m2db2b97b.gif.

Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т.д.

Пример 4. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков — конусный, а второй — эллиптический.

Решение. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие А), hello_html_14ccefcb.gif.

Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик— конусный, т. е. условная вероятность hello_html_m2bd4fd7.gif.

По теореме умножения, искомая вероятность hello_html_m2595b066.gif

Пример 5. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором — черный (событие В) и при третьем—синий (событие С).

Решение. Вероятность появления белого шара в первом испытании hello_html_44cb14b0.gif

Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность hello_html_m1d254f96.gif

Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором — черный, т. е. условная вероятность hello_html_3ed83c86.gif

Искомая вероятность hello_html_m20db341e.gif

Теорема умножения вероятностей (для независимых событий). Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: hello_html_7bb0eb91.gif.

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то А+В – попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах. В частности, если два события А и В – несовместные, то А+В – событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Теорема сложения вероятностей (для несовместных событий). Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:hello_html_1e2c62c4.gif.

Пример 6.  В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появления красного шара (событие A) P(A) = 10/30 = 1/3. Вероятность появления синего шара (событие B) P(B) = 5/30 = 1/6. События A и B несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность P(A + B) = P(A) + P(B) = 1/3 + 1/6 = 0,5.

Пример 7. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую – 0,35.Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Решение. Событие A – «стрелок попал в первую область» и B – «стрелок попал во вторую область» - несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,45 + 0,35 = 0,80.

Теорема сложения вероятностей (для совместных событий). Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: hello_html_612eb4f0.gif.

Для трех событий A, B, C имеем:  hello_html_m24d5150a.gif

Замечание 1. При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми.

Для независимых событийhello_html_m26c1e1f9.gif;

Пример 8. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: p1 = 0,7; p2 = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы. Вероятность события АВ (оба орудия дали попадание) Р (АВ)=Р (А)*Р(В) = 0,7*0,8 = 0,56. Искомая вероятность Р(А+В)=Р(А) + Р(В)—Р(АВ) = 0,7 + 0,8 — 0,56=0,94.

Замечание. Так как в настоящем примере события А и В независимые, то можно было воспользоваться формулой hello_html_482c8b84.gif. В самом деле, вероятности событий, противоположных событиям А и В, т. е. вероятности промахов, таковы: hello_html_m4f72f728.gif.

Искомая вероятность того, что при одном залпе хотя бы одно орудие даст попадание, равна hello_html_5593a4e7.gif. Как и следовало ожидать, получен тот же результат.

Для зависимых событийhello_html_43e6e704.gif.

Вероятность появления хотя бы одного события.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий hello_html_m6b0218d8.gif, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий hello_html_m49ff047d.gifhello_html_4804fcd1.gif.

Частный случай. Если события hello_html_m6b0218d8.gif имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий: hello_html_1b848993.gif.


  1. Формирование умений и навыков обучающихся.

Задача 1.
В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?
Решение: Событие A-билет выигрышный. Общее число различных исходов есть n=1000 
Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле P(A)=
hello_html_20a3eda.gif, получим P(A)=hello_html_69c3e9aa.gifhello_html_42f31b4e.gif = 0,2

Задача 2.
Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.
Решение: Событие A-появление черного шара. Общее число случаев n=5+3=8
Число случаев m, благоприятствующих появлению события A, равно 3
P(A)= 
hello_html_20a3eda.gif = hello_html_36ba1017.gif = 0,375

Задача 3.
Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

Решение: Событие A- появление двух черных шаров. Общее число   возможных случаев n равно числу сочетаний из 20 элементов (12+8) по 2 
n=
hello_html_4f636c50.gifhello_html_m7fd05f38.gif = 190
Число случаев m, благоприятствующих событию A, составляет
n=
hello_html_3e08750e.gifhello_html_2897fd87.gif = 28

P(A)= hello_html_20a3eda.gif = hello_html_67f3b187.gif = hello_html_m1ac8d99e.gif = 0,147

Задача 4.
В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем 5 из них стандартные. Рабочий берет наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной.

Задача 5.
Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно

Задача 6. 
В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
Решение: Пусть A - появление белого шара из первой урны, а B – появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события A и B независимы. Найдем P(A)=4/12=1/3, P(B)=3/12=1/4, получим 
P(AB)=P(A)•P(B)=(1/3)•(1/4)=1/12=0,083

Задача 7.
В ящике находится 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берет наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.
Решение: Введем следующие обозначения: A – первая взятая деталь стандартная; B – вторая взятая деталь стандартная. Вероятность того, что первая деталь стандартная, составляет P(A)=8/12=2/3. Вероятность того, что вторая взятая деталь окажется стандартной при условии, что была стандартной первая деталь, т.е. условная вероятность события B, равна hello_html_m62a3c869.gif(B)=7/11.
Вероятность того, что обе детали окажутся стандартными, находим по теореме умножения вероятностей зависимых событий:
P(AB)=P(A)•
hello_html_m62a3c869.gif(B)=(2/3)•(7/11)=14/33=0,424


Решение задач

1. В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые. Рассмотреть выборки: а) без возвращения; б) с возвращением.

2. Вероятность наступления некоторого случайного события в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты проводятся последовательно до наступления этого события. Определить вероятность того, что: а) придется проводить четвертый опыт; б) будет проведено четыре опыта.

Ответ: а) P(A)=0,8; б) P(B)=0,83·0,2

3. Три стрелка одновременно стреляют по одной мишени. Вероятности попадания при одном выстреле соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятности того, что при одновременном залпе этих стрелков в мишени будет: а) только одно попадание; б) хотя бы одно попадание.

Ответ: а) 0,092; б) 0,994

4. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8. (Указание: Задача обратная примеру 8).

Ответ: 0,7

5. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

Ответ: 0,18

6. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.

Ответ: 0,432


  1. Подведение итогов занятия.

Подводится итог работы и выставляются оценки.


  1. Домашнее задание.

Решить задачи:

Вариант 1.

  1. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 40 до 70 является кратным 6?

  2. Какова вероятность того, что при пяти бросаниях монеты она три раза упадет гербом к верху?

Вариант 2.

  1. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 1 до 30 (включительно)  является делителем числа 30?

  2. В НИИ работает 120 человек, из них 70 знают английский язык, 60 – немецкий, а 50 – знают оба. Какова вероятность того, что выбранный наудачу сотрудник не знает ни одного иностранного языка?


  1. Самостоятельная работа.

Теорема умножения вероятностей.




17

Выбранный для просмотра документ Лекция 8. агрономы. 2 курс.docx

библиотека
материалов

Агрономы Лекционное занятие № 9

Тема: Случайная величина, ее функция распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

Тип урока: изучение нового материала.

Вид урока: комбинированный урок, включающий в себя изучение и систематизацию изученного материалом, применение знаний и умений на практике, закрепление изученного.

Цели занятия:

Образовательные:

  • дать понятие о случайной величине, дискретные и непрерывные случайные величины;

  • рассмотреть закон распределения случайной величины;

  • научить вычислять математическое ожидание дискретной случайной величины, дисперсию случайной величины, среднее квадратичное отклонение случайной величины;

  • научить применять основные понятия и теоремы для решения задач;

  • продолжать формировать интерес к математике посредством решения задач  с применением классического определения вероятности для непосредственного подсчета вероятностей явлений;

  • прививать интерес к математике, используя исторический материал;

  • воспитывать осознанное отношение к процессу обучения, прививать чувство ответственности за качество знаний, осуществлять самоконтроль за процессом решения и оформления упражнений.

Воспитательные:

  • повышать мотивацию студентов путем использования нестандартных задач и игрового изложения материала;

  • побуждать студентов к само-, взаимоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний;

Развивающие:

  • развивать познавательный интерес к предмету и самостоятельность студентов;

  • развитие логического мышления, речи и внимания;

  • формирование информационной культуры, потребности в приобретении знаний;

  • побуждать студентов к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.

Студент должен знать:

- знать определение математического ожидания;

- понимать, что математическое ожидание является обобщением среднего арифметического значений дискретной случайной величины;

- знать свойства математического ожидания и уметь использовать их при решении простых задач;

- знать, что важным свойством распределения случайной величины является рассеивание;

- знать определение дисперсии;

- уметь вычислять дисперсию;

- знать свойства дисперсии и уметь их использовать при решении простых задач;

- знать определение среднего квадратичного отклонения.

Студент должен уметь :
- вычислять математическое ожидание дискретной случайной величины, дисперсию случайной величины, среднее квадратичное отклонение случайной величины;
- решать задачи на применение основных понятий и теорем по теме.

Оборудование занятия:

  • Проектор, ноутбук.

  • Раздаточный материал.

  • Презентация к занятию.

  • Готовые карточки с домашним заданием.

Ход урока.

  1. Организационный момент:

Поприветствовать студентов, отметить отсутствующих.

Объявить тему урока и его цель.


  1. Актуализация знаний и умений обучающихся.

        1. Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных задач.

        2. Проверка теоретических сведений по теме «Теория вероятностей и комбинаторика».

  1. Что такое комбинаторика?

  2. Какие задачи называются комбинаторными?

  3. Назовите основные понятия комбинаторики.

  4. Что такое размещения, перестановки, сочетания?

  5. Что называется выборкой объема k? Какие выборки считают различными?

  6. Дайте определение символа n!.

  7. Какие формулы существуют для нахождения числа размещений, числа перестановок, числа сочетаний?

  8. Какими свойствами обладают числа hello_html_17586d64.gif?

        1. Проверить решение упражнений:

  1. Вычислить:  hello_html_m4a262f61.gif

  2. Найти число размещений из 10 элементов по 4.

  3. Решить уравнение: hello_html_m4223ed8.gif

  4. Решить задачу:

    • Сколькими способами можно составить список из 10 человек?

    • Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?

    • 30 учащихся обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?


  1. Изучение нового материала.

Закон распределения полностью определяет случайную величину, однако, не всегда его возможно привести в полном объеме.
Для решения многих проблем достаточно знания отдельных числовых параметров, характеризующих наиболее существенные черты случайной величины.
С помощью таких характеристик во многих случаях удается исследовать поведение случайных величин.
Основными числовыми характеристиками случайной величины являются:

  • математическое ожидание;

  • мода;

  • медиана;

  • дисперсия;

  • среднее квадратичное отклонение.

Рассмотрим эти характеристики для дискретной случайной величины.

Математическое ожидание

Математическим ожиданием (ожидаемым значением или средним значением) дискретной случайной величины называют число M(X) = x1p1 + x2p2 + ...+ xnpn – сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Математическое ожидание измеряется в тех же единицах, что и сама величина.
Если все значения случайной величины равновероятны, то математическое ожидание совпадает со средним арифметическим значением.

Пример 1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины дан в виде таблицы. Найти математическое ожидание этой величины.

Рис.1 (ПК, проектор)

hello_html_m4e5376fc.gif

Пример 2. На рынке куплены одинаковые по размеру лимоны:

3 лимона – по 20 руб за штуку,
12 лимонов – по 10 руб за штуку. Найти математическое ожидание стоимости одного лимона.

hello_html_3d50e7ed.gif руб.

Пример 3. Для проведения лотереи изготовили 100 билетов. Из них 1 билет с выигрышем 500 рублей, 10 билетов по 100 руб и остальные по 5 рублей (беспроигрышная лотерея). Наудачу выбирают билет. Найти математическое ожидание выигрыша.

Для того, чтобы лотерея приносила доход, цена билета должна быть больше, чем средний выигрыш, например 30 руб (Доход 3000 – 1945 = 1055 руб).
Отдельный игрок может и выиграть, но в конечном итоге доход будет у организатора лотереи.

Механическая интерпретация математического ожидания дискретной случайной величины – если на оси абсцисс расположить точки x1x2, ..., xn, в которых сосредоточены массы p1, p2, ..., pn, причем hello_html_f394e4.gifтоМ(Х) – абсцисса центра тяжести.
Математическое ожидание находят для однородных величин.
Например, нет смысла искать среднюю урожайность зерновых и бахчевых культур в фермерском хозяйстве. Причем, и для однородных величин нахождение математического ожидания бывает иногда лишено смысла. Например, средняя температура больных в больнице.

Свойства математического ожидания

  • Математическое ожидание постоянной величины равно самой этой величине M(C) = C

  • Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания M(CX) = CM(X)

  • Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий M(XY) = M(X. M(Y)

  • Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий M(X + Y) = M(X+ M(Y)

Доказательство 2-го свойства

X        x1x2, ..., xn
P        p1, p2, ..., pn
M(X) = x1p1 + x2p2 + ...+ xnpn
CX        cx1cx2, ..., cxn
P        p1, p2, ..., pn
M(CX) = cx1p1 + cx2p2 + ...+ cxnpn = C . M(X)

Пример.

Производится 3 выстрела с вероятностями p1 = 0,4; p2 = 0,3; p3 = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если:

Пример. Найти математическое ожидание случайной величины (4Х + 5) если М(Х) = 2.

М(4Х + 5) = М(4Х+ М(5) = 4М(Х) + 5 = . 2 + 5 = 13

Дисперсия

Случайные величины могут иметь одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения.

Например

Математические ожидания равны.

Возможные значения Y близки к M(Y) возможные значения Х далеки от своего M(X) то есть для характеристики случайной величины математического ожидания недостаточно, нужна характеристика рассеивания, т.е. разброса значений случайной величины, например в артиллерии важно насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

Наиболее полной характеристикой разброса чисел является набор их отклонений от математического ожидания. Но когда набор чисел велик, рассматривать набор отклонений практически неудобно. Нужно описать разнообразие чисел в наборе одной характеристикой, одним числом.

Размах – слишком грубая мера разброса чисел в наборе, поскольку учитывает только два из них – наименьшее и наибольшее. Можно попробовать взять «среднее отклонение».

Для любого набора, если только не все числа в нем равны, часть отклонений будет положительна, а часть отрицательна. При этом сумма отклонений равна 0.

В этом состоит основное свойство отклонений: сумма отклонений чисел от математического ожидания этих чисел равна нулю.

Сумма отклонений всегда равна нулю, поэтому среднее арифметическое отклонений тоже равна нулю и его нельзя использовать как меру разброса.

Чтобы судит о разбросе, принято складывать не сами отклонения, а их квадраты. Квадраты отклонений неотрицательны, поэтому сумма квадратов отклонений зависит только от абсолютных величин отклонений, а на от их знаков. Чем больше отклонения чисел от математического ожидания, тем больше будет сумма квадратов отклонений. Для того, чтобы мера разброса чисел не зависела от их количества в наборе, в качестве такой меры берут среднее арифметическое квадратов отклонений. Эту величину называют дисперсией (то есть разброс данных). Обозначим значения случайной величины x1x2, ..., xn, а математическое ожидание этих значений – буквой М.

Дисперсия – это среднее арифметическое квадратов разностей между значениями случайной величины и ее средним значением. В наших обозначениях:

hello_html_3dc2f8d8.gif

Или в общем виде дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения.

Метод сравнения средних значений и дисперсий используется в самых разных отраслях человеческой деятельности. В медицине – для установления диагноза, в литературоведении – для определения автора произведения (когда авторство является спорным), в криминалистике – для розыска преступников.

Пример. Органами милиции задержан грузовик с помидорами, похищенными на овощной базе. В городе всего четыре базы, каждая из них получает помидоры из своего сельскохозяйственного района. Определите, с какой базы были вывезены помидоры. Расследование осложняется тем, что помидоры на всех базах одного сорта.

Решение.

Воспользуемся методом сравнения средних значений и дисперсий. В каждом сельскохозяйственном районе свои условия произрастания помидоров, поэтому помидоры разных районов отличаются, скажем, удельным весом (диаметром, весом и др.). Выберем по 20 – 25 помидоров (реально, конечно, больше) на каждой овощной базе и из грузовика. У нас получатся 4 последовательности – по одной для каждой базы, и еще одна – для грузовика, с которого мы и будем сравнивать первые четыре. Это наши исходные данные. Результатом является номер овощной базы, где совершено хищение.

Чтобы добиться этого результата, нужно, как рассказано выше, вычислить средние значения и дисперсии всех пяти последовательностей и провести сравнение.

Пусть вес 1 помидора на соответствующих базах и в грузовике изменяется в пределах (в г):

1-я (70, 100)
2-я (80, 90)
3-я (75, 95)
4-я (90, 120
Грузовик (80, 90).

Сравнивая, замечаем, что дисперсии и средние одновременно близки у грузовика и второй базы. Значит, помидоры украдены со второй базы.

Пример. Найти дисперсию случайной величины Х

M(X) = 1 . 0,3 + 2 . 0,5 + 5 . 0,2 = 0,3 + 1,0 + 1,0 = 2,3
(
x1 – M(X))2 = (1 – 2,3)2 = ( – 1,3)2 = 1,69
(
x2 – M(X))2 = (2 – 2,3)2 = 0,09
(
x3 – M(X))2 = (5 – 2,3)2 = 7,29

Напишем закон распределения квадрата отклонения:

D(X) = 1,69 . 0,3 + 0,09 . 0,5 + 7,29 . 0,2 = 2,01

Вычисления громоздки, есть формула, позволяющая быстрее вычислить значение дисперсии.

Формула для вычисления дисперсии

D(X) = M(X)2 – [M(X)]2

Пример.

M(X) = 2 . 0,1 + 3 . 0,6 + 5 . 0,3 = 0,3 + 1,0 + 1,0 = 3,5. M(X2) = 4 . 0,1 + 9 . 0,6 + 25 . 0,3 = 0,3 + 1,0 + 1,0 = 13,3

D(X) = M(X)2 – [M(X)]2   = 13,3 – (3,5)2 = 10,5

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю D(C) = 0

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат D(CX) = C2D(X)

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин D(X + Y) =D(X) + D(Y)

4. Дисперсия разности двух независимых величин равна сумме их дисперсий D(X – Y) = D(X) + D(Y)

Следствия

5. D(C + X) = D(X) где С – const.

6. D(X + Y + Z) = D(X) + D(Y) + D(Z)

Пример. D(X) = 2 D(4X + 5) = D(4X) + D(5) = 16D(X) + 0 = 16 . 2 = 32

Дисперсия числа появления события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых р – вероятность появления постоянна: D(X) = n . p . q.

Пример. Производится 10 независимых испытаний р = 0,6.

D(X) = n . p . q = 10 . 0,6 . 0,4 = 2,4

Среднее квадратичное отклонение

Дисперсия имеет размерность равную квадрату размерности случайной величины. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют не дисперсию, а среднее квадратичное отклонение: hello_html_m30916334.gif

Среднее квадратичное отклонение равно корню квадратному из дисперсии, поэтому его размерность равна размерности случайной величины. Например, если Х выражается в линейных метрах, то hello_html_m31bb41fe.gifтоже выражается в линейных метрах, а D(X) – в квадратных метрах.

Случайные величины

Случайные величина – это величина, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно – заранее неизвестно).

Дискретная случайная величина – это случайная величина, которая принимает отдельное изолированное, счетное множество значений.

Непрерывная случайная величина – это случайная величина, принимающая любые значения из некоторого интервала конечного или бесконечного. Понятие непрерывной случайной величины возникает при измерениях.

Случайные величины обозначаются конечными заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z, а их значения – соответствующими строчными буквами x, y, z.

Закон распределения случайной величины

Это всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

Таблица – это простейшая форма задания закона распределения. В ней перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины X и соответствующие вероятности.

Ряд распределения может быть изображен графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат – соответствующие им вероятности. Соединение образуют ломаную линию. Это многоугольник или полигон распределения вероятностей.

hello_html_m2e255d0f.gif

Рис. 5.1. Полигон распределения вероятностей

Задача 1

Задают ли законы распределения дискретной случайной величины следующие таблицы?

А

Б





А. Да, так как выполняется условие ∑ p = 1 : 0,1+0,4+0,3+0,2=1

Б. Нет: 0,1+0,2+0,3+0.5≠1


Задача 2

Вероятность того, что студент сдаст экзамен по физике, равна 0,7, а по химии – 0,9. Составить закон распределения числа семестровых экзаменов, которые сдаст студент. Построить многоугольник распределения вероятностей.

Решение

Возможные значения X- число сданных экзаменов: 0, 1, 2.

Считаем вероятности:

P(X=0) = Р( Ā1 ) · Р( Ā2 ) = (1 - 0,7) · (1 – 0,9) = 0.3 ·0,1 = 0,03;

Р(X=1) = Р( А1 Ā21 А2 ) = Р( А1 ) Р( Ā2 )+Р( Ā1 ) Р( А2 ) = 0,7·0.1+0,3·0,9 = 0,34.

Р(X=2) = Р( А1 А2) = Р(А1) · Р(А2) = 0,7·0,9 = 0,63.

Ряд распределения имеет вид:





Контроль: 0,03+0,34+0,63 = 1.

Функция распределения случайных величин

Функция F(х), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше некоторого фиксированного х, называется функцией распределения случайной величины X: F(х)= P(X<х). Ее также называют интегральной функцией распределения дискретных и непрерывных случайных величин.

Задача 3

Дан ряд распределения случайной величины:

Найти и изобразить график ее функции распределения.

Решение

1. Если х1 <1 , F(х)=0.

2. Пусть 1<х≤4, (например х = 2), F(х)=P(х=1)=0,4.

3.Пусть 4<х≤5, (например х=4,25),

F(х)=P(X<х)=P(х=4)=0,4+0,2=0,6.

4. Пусть 5<х≤7, F(х)=(P(х=1)+P(х=4)+P(х=5)=0,6+0,2=0,8.

5. Пусть х>7, F(х)=(P(х=1)+P(х=4)+P(х=5) +Р(х=7)=0,8+0,2=1.

hello_html_m96628e6.jpg

Рис. 5.2. Функция распределения дискретной случайной величины

Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений.

Числовые характеристики дискретной случайной величины

1. Математическим ожиданием М(X) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

Задача 4

Известны значения распределения случайных величин X и Y – число очков, выбиваемых первым и вторым стрелками.

Необходимо выявить, какой из двух стрелков стреляет лучше. Построить многоугольники распределения.

Решение

Очевидно, что из двух стрелкой лучше стреляет тот, кто в среднем выбивает большее количество очков.

М(Х) = 0 • 0,15 + 1 • 0,10 + 2 • 0,04 +….

....+ 9 • 0,12 + 10 • 0,2 = 5,36.

М(Y) = 0 • 0,01 + 1 • 0,03 • 0,05 +....

....+ 9 • 0,04 + 10 • 0,02 = 5,36.

То есть среднее число выбиваемых очков у двух стрелков одинаково.

2. Дисперсия дискретной случайной величины.

Слово «дисперсия» означает «рассеяние»:

D(X) = M(X - M(X))².

Дисперсией D(Х) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания.


3. Среднее квадратичное отклонение σ ( стандартное отклонение или стандарт) случайной величины Х – это арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

σ =√ D(X)

Плотность вероятности непрерывных случайных величин

Плотностью вероятности, или плотностью распределения ƒ(x) непрерывной случайной величины Х, называется производная ее функции распределения:

ƒ(x) = F'(x).

Ее также называют дифференциальной функцией распределения.

hello_html_3d28daf9.jpg

Рис. 5.3. Плотность распределения

Свойство плотности вероятности:

1. Неотрицательная функция ƒ(x)≥0.

2. Площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна 1.

3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [a, b] равна определенному интервалу от ее плотности в пределах от a до b.

b

P(a≤x≤b) = ∫ ƒ(x) dx.

a

Геометрическая интерпретация: полученная вероятность равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и опирающейся на отрезок [a, b].

Непрерывная случайная величина описывается следующими характеристиками:

  1. Математическое ожидание:

M(x) = ∫ x ∙ ƒ(x) dx .

−∞

2. Дисперсия: D(x) = ∫ ( x−M(Х))² ∙ ƒ(x) dx.

−∞

Или D(x) = ∫ x²ƒ(x) dx − ( M(Х))².

−∞

Задача 6

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Χ, если плотность распределения:

0, при х≤0

ƒ(x) = 1, при 0 <х<1

0, при x>1

Решение

x² 1

M(Х) = ∫ 1xdx = — │ = 0,5

2 0

1 x³ 1 1

D(Х) = ∫ x²1dx − ( 0,5 )² = — │ − — = 1/12.
0 3 0 4

Нормальный закон распределения

Этот закон наиболее часто встречается на практике. Он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения. Нормальное распределение является одним из самых важных распределений в статистике. Обычно все сравнивают с нормальным законом распределения.

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и σ ², если ее плотность вероятности имеет вид:

hello_html_m40151194.jpg

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина x со средним μ и средним квадратичнымм отклонением σ (стандартное отклонение) находится между (а–σ) и (а+σ), равна 0, 68, т.е. 68% случайной величины x отличается от среднего не более чем на одно стандартное отклонение ±σ.

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина x со средним а и средним квадратичнымм отклонением σ (стандартное отклонение) находится между (а–2 σ) и (а+ 2 σ) равна 0,95,т.е. 95% случайной величины x отличается от среднего не более чем на одно стандартное отклонение ± 2 σ.

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина x со средним а и средним квадратичным отклонением σ (стандартное отклонение) находится между (а–3 σ) и (а+ σ 3), равна 0, 99, т.е. 99% (практически достоверно). Это свойство носит название правило трех сигм (рис. 5.4 ).

hello_html_2a1e9a76.jpg

5.4. Правило трех сигм.

Для случайной величины X, распределенной по нормальному закону, вероятность попадания ее значений в интервал (, ) вычисляется по формуле:


P(<X<) = Ф - Ф ,где Ф(x) – функция Лапласа.

Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания менее чем на  равна:


P( Xa < ) = 2Ф

Задача 6

Вероятность того, что подготовка почвы к посеву выполнена с соблюдением требований агротехники, 0,75. Найти вероятность того, что из 100 делянок почва подготовлена к посеву не меньше чем на 70 и не больше чем на 80.

Решение

По условию, p = 0,75; q = 1 – 0,75 = 0,25; n = 100; K1 = 70, K2 =80.

P100(70,80) = Ф(x2) – Ф(x2)

x1 = = - 1,15;


x2 = = 1,15.

Таким образом, имеем P100(70,80) = Ф(+1,15) – Ф(-1,15) = Ф(1,15) + Ф(1,15) = 2Ф(1,15).

По таблице находим Ф(1,15) = 0б3749.

Искомая вероятность P100(70,80) = 2 0,3749 = 0,7498.


  1. Формирование умений и навыков обучающихся.

Задачи для самостоятельного решения

1. Случайная величина Х задана законом распределения:

Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение σ(X). Построить многоугольник распределения.

2. Найти дисперсию случайной величины Х, зная закон ее распределения. Построить многоугольник распределения.

3. Найти дисперсию случайной величины Х, зная закон ее распределения. Построить многоугольник распределения.


4. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения. Чему равна вероятность р (X=0,8)? Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.

5. Составить дифференциальную функцию для нормально распределенной случайной величины и построить её график, если даны её параметры:

1) М(Х)=4, σ=0,2; 2) М(Х)=-0,5, σ=2; 3) М(Х)=3, σ=0,25; 4) М(Х)=0, σ=1.

6. Заданы математическое ожидание m и среднее квадратичное σ нормально распределённой случайной величины x. Найти: 1) вероятность того, что х примет значение, принадлежащее интервалу (α,β); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения ׀х-а׀ окажется меньше δ.

1) а=15, σ=2, α=16, β=25, δ=4;

2) а=14, σ=4, α=18, β=34, δ=8;

3) а=13, σ=4, α=15, β=17, δ=6.


  1. Подведение итогов занятия.

Подводится итог работы и выставляются оценки.

На занятии мы рассмотрели числовые характеристики случайных величин, способы их вычисления, свойства.


  1. Домашнее задание.

  • Выучить все определения, методы вычисления, свойства числовых характеристик.

  • Доказать свойства математического ожидания.

  • Доказать свойства 2 и 3 дисперсии.

Задача 1. Дано распределение случайной величины Z

Вычислить дисперсию этой случайной величины.

Задача 2. Дисперсия случайной величины Х равна 3. Найдите D(Y), где

а) Y = 3X: 
б) Y = X + 5;
 
в) y – 4X;
 
г) Y = 2X – 1;
 
д) Y = 5 – 3X;
 
е) Y = – 5X – 7.


  1. Самостоятельная работа.

По заданному условию построить закон распределения дискретной случайной величины.



22

Выбранный для просмотра документ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.docx

библиотека
материалов

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Решение задачи, представленной в математических терминах, например, в виде комбинации различных функций, их производных и интегралов, нужно уметь “довести до числа”, которое чаще всего и служит окончательным ответом. Для этого в различных разделах математики выработаны различные методы.

Раздел математики, позволяющий решить любую корректно поставленную задачу с достаточной для практического использования точностью, называется теорией рядов.

Даже если некоторые тонкие понятия математического анализа появились вне связи с теорией рядов, они немедленно применялись к рядам, которые служили как бы инструментом для испытания значимости этих понятий. Такое положение сохраняется и сейчас.

Выражение вида

hello_html_m6c425d8f.gif,

где hello_html_57d009df.gif;hello_html_m6b49cd49.gif;hello_html_17fba860.gif;…;hello_html_m1864904b.gif;… - члены ряда; hello_html_1369a64b.gifn-ый или общий член ряда, называется бесконечным рядом (рядом).

Если члены ряда :

  • числа, то ряд называется числовым;

  • числа одного знака, то ряд называется знакопостоянным;

  • числа разных знаков, то ряд называется знакопеременным;

  • положительные числа, то ряд называется знакоположительным;

  • числа, знаки которых строго чередуются, то ряд называется знакочередующимся;

  • функции, то ряд называется функциональным;

  • степениhello_html_70a38f40.gif, то ряд называется степенным;

  • тригонометрические функции, то ряд называется тригонометрическим.

I. Числовой ряд

1.1. Основные понятия числового ряда.

Числовым рядом называется сумма вида

hello_html_7e5dd263.gif, (1.1)

где hello_html_57d009df.gif,hello_html_m6b49cd49.gif,hello_html_17fba860.gif,…,hello_html_1369a64b.gif,…, называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; членhello_html_1369a64b.gifназывается общим членом ряда.

Суммы

hello_html_m57d2c1d0.gif

…………..

hello_html_m60352765.gif,

составленные из первых членов ряда (1.1), называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм hello_html_54f83ae7.gif.

Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда hello_html_m7c053099.gif стремится к пределуhello_html_550f537d.gif, то ряд называется сходящимся, а число hello_html_550f537d.gif- суммой сходящегося ряда, т.е.

hello_html_m573142ee.gif и hello_html_m32274b99.gif.

Эта запись равносильна записи

hello_html_1ce6b7d7.gif.

Если частичная сумма hello_html_m7c053099.gif ряда (1.1) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (стремится к hello_html_m5fa47e4e.gif или hello_html_2b245904.gif), то такой ряд называется расходящимся.

Если ряд сходящийся, то значение hello_html_m7c053099.gif при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S.

Разность hello_html_mdaa6c.gif называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е.hello_html_1ed70c2e.gif, и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

1.2. Примеры числовых рядов.

Пример 1. Ряд вида

hello_html_m695e50e2.gif (1.2)

называется геометрическим hello_html_m1673dd90.gif.

Геометрический ряд образован из членов геометрической прогрессии.

Известно, что сумма её первых n членов hello_html_m199481e7.gif. Очевидно: это n-ая частичная сумма ряда (1.2).

Возможны случаи:

hello_html_59d4dd64.gif:

hello_html_m4dd7ae4a.gif.

Ряд (1.2) принимает вид:

hello_html_m35b44d52.gif,

hello_html_mc450eec.gif, ряд расходится;

hello_html_m6b8aa1cc.gif

Ряд (1.2) принимает вид:

hello_html_2c31ab78.gif,

hello_html_m41999576.gif

hello_html_m7c053099.gif не имеет предела, ряд расходится.

hello_html_m5f9f3c21.gif,

hello_html_m30259ffc.gif - конечное число, ряд сходится.

hello_html_m4cda42b7.gif,

hello_html_m210ac45f.gif - ряд расходится.

Итак, данный ряд сходится при hello_html_m5f9f3c21.gifи расходится при hello_html_m4a0d4847.gif.

Пример 2. Ряд вида

hello_html_253d7439.gif (1.3)

называется гармоническим.

Запишем частичную сумму этого ряда:

hello_html_ma6c987.gif.

Сумма hello_html_m6e57d659.gif больше суммы, представленной следующим образом:

hello_html_4df4b423.gif

или hello_html_m4400217.gif.

Если hello_html_m7d704195.gif, то hello_html_m3e7b5f49.gif, или hello_html_62acf98a.gif.

Следовательно, если hello_html_m7d704195.gif, то hello_html_m7e7c66e3.gif, т.е. гармонический ряд расходится.

Пример 3. Ряд вида

hello_html_m6b9a21bc.gif (1.4)

называется обобщенным гармоническим.

Если hello_html_26c5aa5b.gif, то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.

Если hello_html_m7a23fa5e.gif, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При hello_html_m1a25781b.gif имеем геометрический ряд, в котором hello_html_m5f9f3c21.gif; он является сходящимся.

Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при hello_html_m1a25781b.gif и расходится при hello_html_4ba4194b.gif.

1.3. Необходимый и достаточные признаки сходимости.

Необходимый признак сходимости ряда.

Ряд hello_html_2a0bcf37.gif может сходиться только при условии, что его общий член hello_html_1369a64b.gif при неограниченном увеличении номера hello_html_m6a246b44.gif стремится к нулю: hello_html_5e35b0de.gif.

Если hello_html_m290f5cd.gif, то ряд hello_html_2a0bcf37.gif расходится – это достаточный признак расходимости ряда.

Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.

Признак сравнения рядов с положительными членами.

Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого, заведомо расходящегося ряда.

Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами

hello_html_4e8ce047.gifhello_html_27e8ef0f.gif

выполняется условие hello_html_2609a354.gif, то ряд сходится при hello_html_1dd0dd95.gif и расходится при hello_html_m73e48f37.gif.

Признак Даламбера не дает ответа, если hello_html_519f05ee.gif. В этом случае для исследования ряда применяются другие приемы.

Упражнения.

Записать ряд по его заданному общему члену:

hello_html_m2516c8c7.gif;

hello_html_585abb94.gif;

hello_html_4de07d0a.gif.

Решение.

Полагая hello_html_7e0cf26a.gif,hello_html_37d00ff8.gif,hello_html_m526a4653.gif,…, имеем бесконечную последовательность чисел:

hello_html_2395157b.gif,hello_html_m38f01173.gif,hello_html_m8d2953d.gif. Сложив его члены, получим ряд

hello_html_m5e560e9d.gif.

Поступая так же, получим ряд

hello_html_m64eff734.gif.

Придаваяhello_html_m6a246b44.gifзначения 1,2,3,… и учитывая, чтоhello_html_610c5a98.gif,hello_html_m48a205af.gif,hello_html_7b1ea8a1.gif,…, получим ряд

hello_html_m7cd89f10.gif.

Найти n-ый член ряда по его данным первым членам:

hello_html_m72310a1d.gif;

hello_html_m788487f.gif .

Решение.

Знаменатели членов ряда, начиная с первого, являются четными числами; следовательно, n-ый член ряда имеет вид hello_html_m3316aef6.gif.

Числители членов ряда образуют натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели – натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели – натуральный ряд чисел, начиная с 3. Знаки чередуются по закону hello_html_m839a332.gif или по закону hello_html_5bc3889e.gif. Значит, n-й член ряда имеет вид hello_html_m839a332.gif.hello_html_33305ea.gif или hello_html_m7d250f1a.gif.

Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости и признак сравнения:

hello_html_m5c50b2e3.gif;

hello_html_m58948ef4.gif;

hello_html_5bd7fc40.gif.

Решение.

Находим hello_html_m610fd611.gif.

Необходимый признак сходимости ряда выполняется, но для решения вопроса о сходимости нужно применить один из достаточных признаков сходимости. Сравним данный ряд с геометрическим рядом

hello_html_2140e9f6.gif,

который сходится, так какhello_html_m6c99c052.gif.

Сравнивая члены данного ряда, начиная со второго, с соответствующими членами геометрического ряда, получим неравенства

hello_html_27a77f.gif

т.е. члены данного ряда, начиная со второго, соответственно меньше членов геометрического ряда, откуда следует, что данный ряд сходится.

Имеем

hello_html_m69c64615.gif.

Здесь выполняется достаточный признак расходимости ряда; следовательно, ряд расходится.

Находим hello_html_m451a73.gif.

Необходимый признак сходимости ряда выполняется. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом

hello_html_3dfbf2c.gif,

который сходится, посколькуhello_html_79733043.gif, следовательно, сходится и данный ряд.

Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

hello_html_7a02daa1.gif;

hello_html_m39b0313e.gif

hello_html_m6153c880.gif.

Решение.

Подставив в общий член ряда hello_html_37042de.gif вместо n число n+1, получим hello_html_m4b3a64e2.gif. Найдем предел отношения hello_html_m7b450b92.gif-го члена к n-му члену при hello_html_m7d704195.gif:

hello_html_m2c94d635.gif.

Следовательно, данный ряд сходится.

Имеем

hello_html_60b46a9e.gif

Значит, данный ряд расходится.

hello_html_1ef2cb0b.gif, т.е. ряд расходится.

II. Знакопеременный ряд

2.1 Понятие знакопеременного ряда.

Числовой ряд

hello_html_mf11cb0b.gif

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки.

hello_html_m4759fd7.gif,

где hello_html_m5f727e6e.gifдля всех hello_html_m5006b812.gif(т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно). Например,

hello_html_3795a88f.gif;

hello_html_3978e7e6.gif;

hello_html_m3f1f9256.gif.

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный в 1714г. Лейбницем в письме к И.Бернулли).

2.2 Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда.

Теорема (Признак Лейбница).

Знакочередующийся ряд сходится, если:

Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. hello_html_16636f2b.gif;

Общий член ряда стремится к нулю:hello_html_5e35b0de.gif.

При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам

hello_html_m6116bcf3.gif.

Замечания.

Исследование знакочередующегося ряда вида

hello_html_m6beaa206.gif

(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на hello_html_m48df3d98.gifк исследованию ряда hello_html_6067893c.gif.

Ряды, для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница).

Соотношение hello_html_m6116bcf3.gif позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного ряда его частичной суммой hello_html_m6e57d659.gif.

Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд hello_html_m839a332.gifhello_html_m4892e95c.gif, сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е.hello_html_50e3916b.gif. Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.

Пример. Вычислить приблизительно сумму ряда hello_html_m9f957ca.gif.

Решение: данный ряд Лейбницевского типа. Он сходится. Можно записать:

hello_html_6ffa74f8.gif.

Взяв пять членов, т.е. заменивhello_html_550f537d.gifна

hello_html_1074495d.gif, сделаем ошибку, меньшую,

чемhello_html_m76d89da0.gif. Итак,hello_html_7e750a17.gif.

Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд

hello_html_mf11cb0b.gif.

Если сходится ряд

hello_html_13d521a3.gif,

составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.

Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов служит достаточным признаком сходимости знакочередующихся рядов.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т.е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Если знакопеременный ряд сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд расходится, то данный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

2.3. Упражнения.

Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

hello_html_m6c0e8bfc.gif;

Решение.

Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:

hello_html_e9a1281.gifи

hello_html_m68e7c1c0.gif

Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно.

Ряд hello_html_m2f813c8c.gif, составленный из абсолютных величин данного ряда, является гармоническим рядом, который, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

hello_html_m12a51db1.gif

 

Решение.

Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:

hello_html_m5a3bfff4.gif, но

hello_html_51d27b4c.gif.

Ряд расходится, так как признак Лейбница не выполняется.

hello_html_4b071f3b.gif;

Решение.

Используя признак Лейбница, получим

hello_html_m4768092d.gif;hello_html_753e6678.gif,

т.е. ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

hello_html_1491bd40.gif.

Это геометрический ряд видаhello_html_31901b61.gif, гдеhello_html_3de5da75.gif, который сходится. Поэтому данный ряд сходится абсолютно.

hello_html_m12795e27.gif;

Решение.

Используя признак Лейбница, имеем

hello_html_46a2ca34.gif;

hello_html_m7cef7032.gif, т.е. ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

hello_html_43cebaa8.gif, или

hello_html_m553d30ba.gif.

Это обобщенный гармонический ряд, который расходится, так какhello_html_1378dc30.gif. Следовательно, данный ряд сходится условно.

III. Функциональный ряд

3.1. Понятие функционального ряда.

Ряд, членами которого являются функции от hello_html_2e27db9e.gif, называется функциональным:

hello_html_654c9407.gif.

Придавая hello_html_2e27db9e.gif определенное значение hello_html_7c32803a.gif, получим числовой ряд

hello_html_m451c1bed.gif,

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Если полученный числовой ряд сходится, то точка hello_html_7c32803a.gif называется точкой сходимости функционального ряда; если же ряд расходится – точкой расходимости функционального ряда.

Совокупность числовых значений аргумента hello_html_2e27db9e.gif, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от hello_html_2e27db9e.gif:hello_html_m21e8198a.gif.

Определяется она в области сходимости равенством

hello_html_m1aec60b7.gif, где

hello_html_2ec2714f.gif- частичная сумма ряда.

Пример. Найти область сходимости ряда hello_html_m776cb8ee.gif.

Решение. Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем hello_html_515afcc2.gif. Следовательно, этот ряд сходится при hello_html_m16d27b87.gif, т.е. при всех hello_html_m47150345.gif; сумма ряда равна hello_html_m18ca4244.gif;

hello_html_204aabc2.gif, при hello_html_m16d27b87.gif.

3.2. Степенные ряды.

Степенным рядом называется ряд вида

hello_html_13152bac.gif,

где числа hello_html_6c851778.gif называются коэффициентами ряда, а член hello_html_3c8028a3.gif- общим членом ряда.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений hello_html_2e27db9e.gif, при которых данный ряд сходится.

Числоhello_html_m5964727f.gif называется радиусом сходимости степенного ряда, если при hello_html_m939e4d7.gif ряд сходится и притом абсолютно, а при hello_html_3ca66ad0.gif ряд расходится.

Радиус сходимости hello_html_m5964727f.gif найдем, используя признак Даламбера:

hello_html_m16a8f554.gif (hello_html_2e27db9e.gifне зависит отhello_html_m6a246b44.gif),

hello_html_m7c4a6343.gif,

т.е. если степенной ряд сходится при любых hello_html_2e27db9e.gif, удовлетворяющих данному условию и расходится при hello_html_m2c5cc535.gif.

Отсюда следует, что если существует предел

hello_html_m446562e9.gifhello_html_1afba628.gif,

то радиус сходимости рядаhello_html_m17cdef3.gifравен этому пределу и степенной ряд сходится при hello_html_m939e4d7.gif, т.е. в промежуткеhello_html_m4cf6ad90.gif, который называется промежутком (интервалом) сходимости.

Если hello_html_665e1d3d.gif, то степенной ряд сходится в единственной точке hello_html_m2fd4c9fa.gif.

На концах промежутка ряд может сходиться (абсолютно или условно), но может и расходиться.

Сходимость степенного ряда при hello_html_m2b0beaad.gif и hello_html_m42e5ccbe.gif исследуется с помощью какого-либо из признаков сходимости.

3.3. Упражнения.

Найти область сходимости ряда:

hello_html_f1fc823.gif;

Решение. Найдем радиус сходимости данного ряда:

hello_html_m611618da.gif.

Следовательно, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.

hello_html_m6219c2a6.gif

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. Для данного ряда имеем:

hello_html_m6e0644d0.gif,hello_html_m743358fa.gif,

hello_html_10efb5c6.gif.

Ряд абсолютно сходится, если hello_html_m42af1f9.gif или hello_html_25d919d6.gif. Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

При hello_html_m573cc30c.gifимеем ряд hello_html_a398343.gif, который сходится по признаку Лейбница.

При hello_html_m2dd3aafd.gif имеем рядhello_html_29799ddc.gif- это тоже сходящийся Лейбницевский ряд. Следовательно, областью сходимости исходного ряда является отрезокhello_html_3bff9d4.gif.

hello_html_m145edfba.gif.

Решение. Найдем радиус сходимости ряда:

hello_html_ma5548e9.gif.

Следовательно, ряд сходится приhello_html_m4d661078.gif, т.е. приhello_html_6ac95c39.gif.

Приhello_html_1749955b.gifимеем рядhello_html_m279c8ec7.gif, который сходится по признаку Лейбница.

Приhello_html_m2fd4c9fa.gifимеем расходящийся ряд

hello_html_5c69bafc.gif.

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является промежутокhello_html_28a21e11.gif.

IV. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

Для приложений важно уметь данную функциюhello_html_7eb9f332.gif разлагать в степенной ряд, т.е. функцию hello_html_7eb9f332.gifпредставлять в виде суммы степенного ряда.

Рядом Тейлора для функции hello_html_7eb9f332.gif называется степенной ряд вида

hello_html_m133263e8.gif.

Если hello_html_m533f01ce.gif, то получим частный случай ряда Тейлора

hello_html_71e264c.gif,

который называется рядом Маклорена.

Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причем полученные ряды имеют тот же промежуток сходимости, что и исходный ряд.

Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать по правилам сложения и умножения многочленов. При этом промежуток сходимости полученного нового ряда совпадает с общей частью промежутков сходимости исходных рядов.

Для разложения функции hello_html_7eb9f332.gif в ряд Маклорена необходимо:

Вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке hello_html_m2fd4c9fa.gif, т.е.hello_html_3daeb02d.gif,hello_html_m7b956977.gif,hello_html_5c353b02.gif,…,hello_html_m1da8f4ca.gif;

Составить ряд Маклорена, подставив значения функции и ее последовательных производных в формулу ряда Маклорена;

Найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле

hello_html_m446562e9.gifhello_html_1afba628.gif.

Таблица, содержащая разложения в ряд Маклорена некоторых элементных функций:

hello_html_1b114145.gif.

hello_html_48679c90.gif.

hello_html_m25a74026.gif.

hello_html_m21f01a6b.gif.

hello_html_maef277c.gif.

hello_html_m2b87da39.gif.

hello_html_m6927d4d0.gif

Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функциюhello_html_m4499ec9.gif.

Решение. Так как hello_html_1255f9a3.gif, то, заменяяhello_html_2e27db9e.gif на hello_html_1876593.gif в разложении hello_html_6fc75e04.gif, получим:

hello_html_1299d7f6.gifhello_html_37b498fd.gif.

Пример 2. Выписать ряд Маклорена функции hello_html_3377255a.gif.

Решение. Так как hello_html_1d94b067.gif, то воспользовавшись формулой hello_html_8e7b121.gif, в которой заменим hello_html_2e27db9e.gif на hello_html_m1ff47af9.gif, получим:

hello_html_5a9f97bd.gif,

или

hello_html_6eca367c.gif,

если

hello_html_3780d039.gif, т.е.hello_html_m3d7460eb.gif.

Пример 3. Разложить в ряд Маклорена функцию hello_html_m40935251.gif.

Решение. Воспользуемся формулой hello_html_m7e584db8.gif. Так как

hello_html_45645536.gif, то заменивhello_html_2e27db9e.gifнаhello_html_m36371313.gifполучим:

hello_html_m75cd9920.gif, или

hello_html_m3b059950.gif,

где hello_html_m2bcbfc3.gif, т.е. hello_html_m76674a38.gif.

V. Практические задания для самоконтроля студентов.

При помощи признака сравнения рядов установить сходимость

или расходимость рядов:

hello_html_m24354e8.gifhello_html_431703dd.gif.

hello_html_m4420f090.gif.

hello_html_5eae8c09.gif.

hello_html_m139e502d.gif.

hello_html_6d909ab.gif.

Исследовать по признаку Даламбера сходимость рядов:

hello_html_55d73bc6.gif.

hello_html_m53537770.gif.

hello_html_m780366a8.gif.

hello_html_4858b634.gif.

hello_html_m7740ad6d.gif.

Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

hello_html_31a0f2.gif.;

hello_html_23bd4efc.gif.;

hello_html_m3ff37bcd.gif.;

hello_html_m57d203fb.gif.;

hello_html_7f3652ee.gif.

Найти промежутки сходимости нижеследующих рядов и выяснить вопрос об их сходимости на концах промежутков сходимости:

hello_html_m1b042d12.gif;

hello_html_m60324749.gif;

hello_html_m63f115e7.gif;

hello_html_f413100.gif;

hello_html_m1d0203b4.gif.

Используя разложения в ряд Маклорена функцииhello_html_6fc75e04.gif,hello_html_m5832e883.gif,hello_html_m583fea81.gif,hello_html_m5ee01a4b.gif, разложить степенные ряды функции:

hello_html_72dc087.gif.

hello_html_15679e4e.gif.

hello_html_m6f7f20b8.gif.

hello_html_m124628eb.gif.

hello_html_m31143d0f.gif.

VI. Ответы

I.

  1. сходится;

  2. расходится;

  3. сходится;

  4. сходится;

  5. расходится;

  6. сходится;

  7. сходится;

  8. расходится;

  9. сходится;

  10. сходится.

II.

  1. cходится абсолютно;

  2. cходится абсолютно;

  3. cходится условно;

  4. cходится условно;

  5. cходится абсолютно.

III.

  1. hello_html_10943e8e.gif;

  2. hello_html_566a5b72.gif;

  3. hello_html_7d6932ca.gif;

  4. hello_html_52bc161b.gif;

  5. hello_html_m3bd1d40.gif.

IV.

hello_html_60f27dfb.gif;

hello_html_m30674e4e.gif;

hello_html_df3caa8.gif;

hello_html_m3b4e70b4.gif;

hello_html_m6c1dffc6.gif

VII. Историческая справка.

Решение многих задач сводится к вычислению значений функций и интегралов или к решению дифференциальных уравнений, содержащих производные или дифференциалы неизвестных функций.

Однако точное выполнение указанных математических операций во многих случаях оказывается весьма затруднительным или невозможным. В этих случаях можно получить приближенное решение многих задач с любой желаемой точностью при помощи рядов.

Ряды представляют собой простой и совершенный инструмент математического анализа для приближенного вычисления функций, интегралов и решений дифференциальных уравнений.

Теория рядов создавалась в тесной связи с теорией приближенного представления функций в виде многочленов. Впервые это сделал И. Ньютон (1642 – 1727). в 1676г. В его письме к секретарю Лондонского Королевского Общества появилась формула:

hello_html_595b91cd.gif,

которую мы знаем как формулу бинома Ньютона.

Здесь мы видим функцию hello_html_5a5040da.gif, представленную в виде многочлена. Но если числоhello_html_1f717f6a.gif не является натуральным, в правой части равенства получается не полином, а бесконечная сумма слагаемых, то есть ряд.

Развивая идею Ньютона, английский математик Брук Тейлор (1685 – 1731) в 1715г. доказал, что любой функции, имеющей в точке hello_html_maaae2d5.gif производные всех порядков, можно сопоставить ряд:

hello_html_m33ad9f24.gif.

Мы не можем пока поставить знак равенства между функцией hello_html_7eb9f332.gif, принимающей конечное значение для любого значения hello_html_7c32803a.gif, и стоящим справа функциональным рядом.

Для того, чтобы вместо знака “hello_html_7ac320a6.gif” можно было поставить знак равенства, необходимо провести некоторые дополнительные рассуждения, связанные именно с бесконечностью числа слагаемых в правой части равенства и касающиеся области сходимости ряда.

При hello_html_m240b6e8.gif формула Тейлора принимает вид, в котором называется формулой Маклорена:

hello_html_m35ee97b9.gif.

Колин Маклорен (1698 – 1746), ученик Ньютона, в работе “Трактат о флюксиях” (1742) установил, что степенной ряд, выражающий аналитическую функцию, - единственный, и это будет ряд Тейлора, порожденный такой функцией. В формуле бинома Ньютона коэффициенты при степенях hello_html_2e27db9e.gif представляют собой значения hello_html_7fe6a129.gif, где hello_html_45aa58ef.gif.

Итак, ряды возникли в XVIII в. как способ представления функций, допускающих бесконечное дифференцирование. Однако функция, представляемая рядом, не называлась его суммой, и вообще в то время не было еще определено, что такое сумма числового или функционального ряда, были только попытки ввести это понятие.

Например, Л. Эйлер (1707-1783), выписав для функции соответствующий ей степенной ряд, придавал переменной hello_html_2e27db9e.gif конкретное значение hello_html_7c32803a.gif. Получался числовой ряд. Суммой этого ряда Эйлер cчитал значение исходной функции в точке hello_html_7c32803a.gif. Но это не всегда верно.

О том, что расходящийся ряд не имеет суммы, ученые стали догадываться только в XIX в., хотя в XVIII в. многие, и прежде всего Л. Эйлер, много работали над понятиями сходимости и расходимости. Эйлер называл ряд hello_html_2a0bcf37.gif сходящимся, если его общий член hello_html_1369a64b.gif стремится к нулю при возрастании hello_html_m6a246b44.gif.

В теории расходящихся рядов Эйлер получил немало существенных результатов, однако результаты эти долго не находили применения. Еще в 1826г. Н.Г. Абель (1802 – 1829) называл расходящиеся ряды “дьявольским измышлением”. Результаты Эйлера нашли обоснование лишь в конце XIX в.

В формировании понятия суммы сходящегося ряда большую роль сыграл французский ученый О.Л. Коши (1789 – 1857); он сделал чрезвычайно много не только в теории рядов, но и теории пределов, в разработке самого понятия предела. В 1826г. Коши заявил, что расходящийся ряд не имеет суммы.

В 1768г. французский математик и философ Ж.Л. Д’Аламбер исследовал отношение последующего члена к предыдущему в биномиальном ряде и показал, что если это отношение по модулю меньше единицы, то ряд сходится. Коши в 1821г. доказал теорему, излагающую в общем виде признак сходимости знакоположительных рядов, называемых теперь признаком Д’Аламбера.

Для исследования сходимости знакочередующихся рядов используется признак Лейбница.

Г.В. Лейбниц (1646 – 1716), великий немецкий математик и философ, наряду с И. Ньютоном является основоположником дифференциального и интегрального исчисления.

Список литературы:

Основная:

  1. Богомолов Н.В., Практические занятия по математике. М., “Высшая школа”, 1990 – 495 с.;

  2. Тарасов Н.П., Курс высшей математики для техникумов. М., “Наука”, 1971 – 448 с.;

  3. Зайцев И.Л., Курс высшей математики для техникумов. М., государственное издательство техникумов – теоретической литературы, 1957 - 339 с.;

  4. Письменный Д.Т., Курс лекций по высшей математике. М., “Айрис Пресс”, 2005, часть 2 – 256 с.;

  5. Выгодский М.Я., Справочник по высшей математике. М., “Наука”, 1975 – 872 с.;

Дополнительная:

  1. Гусак А.А., Высшая математика. В 2-х т., Т.2: Учебное пособие для студентов вузов. Мос., “ТетраСистемс”, 1988 – 448 с.;

  2. Григулецкий В.Г., Лукьянова И.В., Петунина И.А., Математика для студентов экономических специальностей. Часть 2. Краснодар, 2002 – 348 с.;

  3. Григулецкий В.Г. и др. Задачник-практикум по математике. Краснодар. КГАУ, 2003 – 170 с.;

  4. Григулецкий В.Г., Степанцова К.Г., Гетман В.Н., Задачи и упражнения для студентов учетно-финансового факультета. Краснодар. 2001 – 173 с.;

  5. Григулецкий В.Г., Ященко З.В., Высшая математика. Краснодар, 1998 – 186 с.;

  6. Малыхин В.И., Математика в экономике. М., “Инфра-М”, 1999 – 356с.


Выбранный для просмотра документ Практическое занятие 7. Агрономы.2 курс.doc

библиотека
материалов

Агрономы Практическое занятие № 7

Практическое занятие №7

Тема: Операции над множествами.

Тип урока: урок формирования знаний, умений, навыков и контроля

Вид проведения занятия: практическое занятие

Форма проведения занятия: сочетание групповой, индивидуальной и коллективной форм работы студентов на занятии.

Метод обучения: репродуктивно-развивающий, проблемный, активный.

Метод учения: частично-поисковый

Цели и задачи урока:

Образовательная цель:

Формирование умений и навыков при выполнении операций над множествами и построении графов, контроль и коррекция этих умений и навыков.

После изучения темы студент должен:

Знать:

  • Определение множества и его элементов;

  • Виды множеств и способы задания множеств;

  • Операции над множествами;

  • Отношения на множествах;

  • Графы

Уметь:

  • Выполнять необходимые операции над множествами;

  • Строить графы.

Задачи занятия:

Задачи преподавателя:

  • Формировать практические умения и навыки у студентов по теме «Множества, отношения и графы»;

  • Оценить уровень сформированности умений и навыков студентов при решении задач по теории множеств;

  • Создать условия для формирования умений логически мыслить;

  • Создать условия для формирования информационной, коммуникативной компетенций студентов.

Задачи студентов:

  • Показать знания таких понятий как: определение множества, виды множеств;

  • Показать знания способов задания множеств;

  • Показать умения и навыки при решении задач на выполнение операций над множествами;

  • Показать умения и навыки при построении графов;

  • Показать умение логически рассуждать, анализировать, высказывать и обосновывать свою точку зрения.

Воспитательная и развивающая цели урока:

      • развивать продуктивное и логическое мышление;

      • развивать монологическую и диалогическую речь;

      • формировать умение правильно обозначать события и их вероятности, вычислять эти вероятности и пользоваться математическими записями;

      • воспитывать ответственность и навыки самостоятельности;

      • формировать личность студента через положительные эмоции, связанные с ощущением успеха, через самооценку, взаимооценку и оценку преподавателем.

Межпредметные и внутрипредметные связи:

межпредметные связи:

  • Математика 2 курс (Комбинаторика)

  • Статистика 2 курс (Случайна величина, выборка, вариационный ряд)

  • Информатика, 1 курс (Разветвляющиеся алгоритмы)

  • Логика, факультативный курс средней школы (решение задач на логику)

внутрипредметные связи:

  • Основы теории вероятности;

  • Основы статистики;

  • Комбинаторика: размещения, сочетания, перестановки.

Оборудование занятия:

Графические средства

  • памятки для студентов

  • карточки для самостоятельной работы студентов

Метод контроля знаний: письменный опрос, фронтальный опрос.

Продолжительность занятия: 90 минут.


План практического занятия.

  1. Организационные моменты.

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.


  1. Актуализация опорных знаний.

  1. Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных примеров).

Решить задачи:

  1. В группе учатся 40 студентов. Из них по русскому языку имеют «пятерки» 19 человек, по математике – 17 человек и по информатике – 22 человека. Только по одному предмету имеют «пятерки»: по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека, по информатике – 11 человек. Семь студентов имеют «пятерки» и по математике и по информатике, а 5 студентов – «пятерки» по всем предметам. Сколько человек учится без «пяте-рок»? Сколько человек имеют «пятерки» по двум из трех предметов?

  2. Из пункта А в пункт В выехали пять машин одной марки разного цвета: белая, черная, красная, синяя, зеленая. Черная едет впереди синей, зеле-ная — впереди белой, но позади синей, красная — впереди черной. Каков порядок их движения?

  3. Между девятью планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий, Плутон – Венера, Земля – Плутон, Плутон – Меркурий, Меркурий – Венера, Уран – Нептун, Нептун – Сатурн, Сатурн – Юпитер, Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса?


Решение

Нарисуем схему: планетами будут соответствовать точки, а соединяющим их маршрутам – не пересекающиеся между собой линии.

hello_html_12317e89.png

Теперь видно, что долететь от Земли до Марса нельзя.

Ответ

Нельзя.


  1. Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Перечислите элементы множеств:

а) арабских цифр; (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9)

б) натуральных чисел; (1; 2; 3; 4;…)

в) целых чисел (…-2; -1; 0; 1; 2;…).

2. Как называется множество цветов, стоящих в вазе? (букет).

3. Перечислите элементы множества планет солнечной системы. (Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун).

4.Как называется множество фруктовых деревьев и кустарников растущих у дома? (сад).

5. Приведите примеры множеств, элементами которого являются геометрические фигуры.

6. Какие названия применяют для обозначения множеств животных? (млекопитающие, земноводные, хладнокровные и т.п.).

7. Перечислите элементы множества видов спорта (футбол, теннис, волейбол и т. п.).

8. Какие названия применяют для обозначения множеств кораблей? (флотилия, эскадра).

Задайте сами множество описанием.


  1. Практический этап.

Требования к выполнению практической работы:

  1. Оформить задания в тетради для практических работ.

  2. Выполнить индивидуальную работу по варианту.

  3. Ответить на один контрольный теоретический вопрос по варианту.


Содержание практической работы.

Студенты выполняют практическую работу в соответствии с методическими указаниями и рекомендациями, данными преподавателем. Преподаватель в процессе выполнения работы консультирует студентов, направляет их при возникновении затруднений.

Задание 1.

1) Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число:

а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) 555555.

2) Задайте множество А описанием:

а) А = {1, 3, 5, 7, 9}; б) А = {- 2, - 1, 0, 1, 2}; в) А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99};

г) А = {0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; …}; д) А = {1/2, 2/3, 3/4, 4/5, … }.

3) Задание с выбором ответа. Даны множества: М = {5,4,6}, Р = {4,5,6}, Т = {5,6,7},

S = {4, 6}. Какое из утверждений неверно?

а) М = Р. б) Р ≠ S. в) М ≠ Т. г) Р = Т.

Словесные обороты, как «элемент х принадлежит множеству А» или «х – элемент

множества А», достаточно длинны и не всегда удобны в записи решений конкретных задач.

В математике эти выражения кратко записывают так: х hello_html_663c0224.png А, где hello_html_663c0224.png – знак принадлежности.

Например, 5hello_html_663c0224.pngN, лучше читать не буквально, а в «литературном переводе», «5 – число

натуральное». Наряду со знаком принадлежит используют и его «отрицание» - знак hello_html_7e5f86c8.png

(знак не принадлежит). Запись 0 hello_html_7e5f86c8.pngN означает, что нуль не натуральное число.

Задание 2.

1. Запишите на символическом языке следующее утверждение:

а) число 10 – натуральное;

б) число – 7 не является натуральным;

в) число – 100 является целым;

г) число 2,5 – не целое.

2. Верно ли, что:

а) – 5 hello_html_663c0224.pngN; б) -5 hello_html_663c0224.pngZ; в) 2,(45) hello_html_663c0224.pngQ?

3. Верно ли, что:

а) 0,7 hello_html_663c0224.png {х | х2 – 1 < 0}; б) – 7 hello_html_663c0224.png {х | х2 + 16х ≤ - 64}?

Задание 3.

1. Даны множества: А = {10}, В = {10, 15}, С = {5, 10, 15}, D = {5, 10, 15, 20}.

Поставьте вместо … знак включения (hello_html_m66fa44d0.png или hello_html_m66fa44d0.png) так, чтобы получилось верное утверждение: а) А… D; б) А…В; в) С…А; г) С…В.

2. Даны три множества А = {1, 2, 3,…, 37}, В = {2, 4, 6, 8, …}, С = {4, 8, 12, 16,…,36}.

Верно ли, что: а) А hello_html_m66fa44d0.png В; б) В hello_html_m66fa44d0.pngС; в) Сhello_html_m66fa44d0.png А; г) С hello_html_m66fa44d0.pngВ?

Задание 4.

1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.

Найдите: а) А∩В; б) А∩С; в) С∩В.


2. Даны множества: А – множества всех натуральных чисел, кратных 10, В = {1; 2; 3;…, 41}.

Найдите А∩В.

3. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}.

Найдите (А∩В)∩С.

Задание 5.

1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.

Найдите: а) АUВ; б) АUС; в) СUВ.

2. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}.

Найдите (АUВ)UС.

3. Даны три числовых промежутка: А = (7,7; 11), В = [hello_html_m4446ff28.gif; hello_html_20fc0ddf.gif], С = (hello_html_m48e836d8.gif; 13].

Найдите (АUВ)UС.

Ответы:

Задание 1.

1. а) {2; 3; 4; 5}; б) {7; 8; 9}; в) {0; 1}; г) {5}. 3. г).

Задание 2.

1. а) 10hello_html_663c0224.pngN; б) -7 hello_html_7e5f86c8.pngN; в) -10hello_html_663c0224.pngZ; г) 2,5 hello_html_7e5f86c8.pngZ . 2. а) нет; б) да; в) да; 3. а) да; б) нет.

Задание 3.

1. а) А hello_html_m66fa44d0.pngD; б)Аhello_html_m66fa44d0.png В; в)Сhello_html_m66fa44d0.png А; г)Сhello_html_m66fa44d0.png В. 2. а) нет; б) нет; в) да; г) да.

Задание 4.

1. а) А∩В = {2; 3; 8}; б) А∩С = Ø; в) С∩В ={11}. 2. А∩В = {10;20;30;40}. 3. (А∩В)∩С={с}.

Задание 5.

1. а) АUВ = {2; 3; 8; 11}; б) АUС = {2; 3; 5; 8; 11}; в) СUВ = {2; 3; 5; 8; 11}.

2. (АUВ)UС = {a, b, c, d, e, f, g, k}. 3. (АUВ)UС = (7,7; 13].


Решение задач с помощью кругов (диаграмм) Эйлера.

Задача 1.

Расположите 4 элемента в двух множествах так, чтобы в каждом из них было по 3 элемента.

hello_html_877348d.png

Задача 2.

Множества А и В содержат соответственно 5 и 6 элементов, а множество А ∩ В – 2 элемента. Сколько элементов в множестве А U В?

hello_html_a8f20bc.png




Задача 3.

Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?

hello_html_cde768d.png

Задача 4.

На школьной спартакиаде каждый из 25 учеников 9 –го класса выполнил норматив или по бегу, или по прыжкам в высоту. Оба норматива выполнили 7 человек, а 11 учеников выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Сколько учеников выполнили норматив: а) по бегу; б) по прыжкам в высоту; в) по прыжкам при условии, что не выполнен норматив по бегу?

hello_html_m18088a25.png






Задача 5.

Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекаются коллекционированием?

hello_html_767d1d09.png

Задача 6.

Каждый из учеников 9-го класса в зимние каникулы ровно два раза был в театре, посмотрев спектакли А, В или С. При этом спектакли А, В, С видели соответственно 25, 12 и 23 ученика. Сколько учеников в классе?

hello_html_3616d557.png



Задача 7.

В воскресенье 19 учеников нашего класса побывали в планетарии, 10 – в цирке и 6 – на стадионе. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и стадион-3; цирк и стадион -1. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а три ученика не посетили ни одного места?

hello_html_491fa69a.png

Задача 8.

В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 – черешню. Двое любят груши и черешню; 6 – груши и яблоки; 5 – яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят всё и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?

hello_html_m59febe8.png



Задача 9.

На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников 9 –го класса читал книги А, В, С. Результаты опроса выглядели так: книгу А прочитали 25 учеников, книгу В – 22 ученика, книгу С – 22 ученика; одну из книг А или В прочитали 33 ученика, одну из книг А или С прочитали 32 ученика, одну из книг В или С – 31 ученик. Все три книги прочитали 10 учеников. Сколько учеников: а) прочитали только по одной книге; б) прочитали ровно две

книги; в) не прочили ни одной из указанных книг?


hello_html_589597eb.png

Задача 10.

На зимних каникулах из 36 учащихся класса только двое просидели дома, а 25 ребят ходили в кино, 15 – в театр, 17 – в цирк. Кино и театр посетили 11 человек, кино и цирк – 10, театр и цирк – 4. Сколько ребят побывало и в кино, и в театре, и в цирке?

hello_html_5e5eee87.png

Ответы:

Задача 2. 9 элементов.

Задача 3. 89 семей.

Задача 4. а) 18 учеников; б) 14 учеников; в) 7 учеников.

Задача 5. 10 школьников.

Задача 6. 30 учеников.

Задача 7. 29 учеников.

Задача 8. 14 учеников.

Задача 9. а) 15 учеников; б) 12 учеников; в) 3 ученика.

Задача 10. 2 ученика.


Примеры решения задач с помощью графов

  1. Из города А в город В ведут три дороги, а из города В в город С - четыре дороги. Сколькими способами можно проехать из А в С через В?

hello_html_6dd9a2c8.gif


Возьмем одну дорогу, ведущую из А в В. Ее можно продолжить до С четырьмя различными способами. То же самое можно сделать с каждой из двух других дорог, ведущих из А в В. Всего из А в С через В можно проехать 3 · 4 = 12 способами.


  1. Сегодня учитель объявил отметки за контрольную работу. Члены математического кружка Витя, Коля, Петя, Наташа, Ира, Марина и др. решили наглядно показать, какую отметку кто получил. Как это сделать?

В данной задаче есть два множества. Нам следует установить зависимость между элементами этих множеств.

{В, К, П, Н, И, М} – множество учеников,

{1, 2, 3, 4, 5} – множество отметок.

Такой чертеж называют графом:

hello_html_6f5acaae.gif


Решение задачи можно показать и в виде таблицы.


В

К

П

Н

И

М

1







2







3

+






4


+

+


+


5




+


+


  1. Беседуют трое друзей: Белокуров, Чернов и Рыжов. Брюнет сказал Белокурову: «Любопытно, что один из нас блондин, другой брюнет, а третий рыжий, но ни у одного цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос имеет каждый из друзей?


Задачу можно решать с помощью рассуждений: а) так как Белокуров разговаривает с брюнетом, значит, Белокуров не брюнет. б) кроме того, Белокуров не блондин, так как цвет его волос не совпадает с фамилией, остается Белокуров - рыжий. в) Чернов и Рыжов не рыжие. г) так как Чернов не рыжий и не брюнет, значит, он блондин. д) Рыжов – брюнет.

Можно эту задачу решить с помощью графов. Будем пунктиром обозначать несуществующие отношения между элементами двух множеств (в данном случае множеством друзей и множеством цветов их волос), а сплошной линией – существующие отношения. Из условия задачи следует:

hello_html_m5fe02770.gif

а) б)


Каждому из друзей должен соответствовать только один цвет волос. Во втором множестве рисунка, а – есть один элемент (брюнет), из которого идут две пунктирные линии, значит, из этой точки должна идти одна сплошная линия и провести ее можно только к Рыжову. От Белокурова идут две пунктирные линии, значит, от него надо провести сплошную линию, и провести ее можно только к «рыжему». Остается Чернов – блондин.


  1. Три подруги вышли погулять, одна из них была в белом, другая зеленом, а третья в синем платье. Их туфли из тех же трех цветов. Известно, что у Ани цвет платья и туфель совпадают. Ни платье, ни туфли Вали не были белыми, Наташа была в зеленых туфлях. Определить цвет платья и туфель каждой девочки.

Решение. 1-й способ: так как у Наташи туфли зеленые, а Вали не белые, а значит, и не зеленые, то у Вали туфли синие, поэтому у Ани туфли белые, но у нее и платье того же цвета, т.е. белое. У Наташи туфли зеленые, а платье другого цвета и не белое, значит, у наташи платье синее, поэтому у Вали платье зеленое. 2-й способ: пользуясь графами, получим рис.:

hello_html_2562a0fd.gif


  1. Кто играет Ляпкина-Тяпкина? В школьном драмкружке решили ставить гоголевского «Ревизора». И тут разгорелся жаркий спор. Все началось с Ляпкина-Тяпкина.

- Ляпкиным-Тяпкиным буду я! – решительно заявил Гена.

- Нет, я буду Ляпкиным-Тяпкиным, - возразил Дима. – С раннего детства мечтал воплотить этот образ на сцене.

- Ну, хорошо, согласен уступить эту роль, если мне дадут сыграть Хлестакова, - проявил добродушие Гена.

- А мне – Осипа, - не уступил ему в великодушии Дима.

- Хочу быть Земляникой или Городничим, - сказал Вова.

- Нет. Городничим буду я, хором закричали Алик и Боря. – Или Хлестаковым, - добавили они одновременно.

Удастся ли распределить роли так, чтобы исполнители были довольны?

Решение. Построим граф:


hello_html_2c88ba13.gif




Изобразим актеров кружками верхнего ряда: А – Алик, Б – Боря, В – Вова, Г – Гена, Д – Дима и роли, которые они собираются сыграть – кружками второго ряда. 1 - Ляпкин-Тяпкин, 2 – Хлестаков, 3 – Осип, 4 - Земляника, 5 – Городничий. От каждого участника проведены отрезки, т.е. ребра, к ролям, которые он хотел бы сыграть. У нас получается граф с десятью вершинами и десятью ребрами.

Нужно из десяти выбрать пять ребер, не имеющих общих вершин.

В вершины 3 и 4 ведет по одному ребру, это значит, что Осипа (вершина 3) должен играть Дима, Землянику – Вова. Вершина 1 – соединена с ребрами Г и Д. Ребро 1 – Д отпадает так как Дима уже занят, остается ребро 1 – Г, Ляпкина-Тяпкина долен играть Гена. Соединим вершины А и Б с вершинами 2 и 5. Это можно сделать двумя способами: А – 5, и Б – 2, либо А – 2 и Б – 5. В первом случае Алик будет играть Городничего, а Боря – Хлестакова, либо наоборот.


6. Один из ребят сказал: «А у нас в классе 25 человек, и каждый дружит ровно с семью одноклассниками!»

«Не может быть этого», - ответил приятелю Витя Иванов, победитель олимпиады. Почему он так ответил?


Решение. Представим всех ребят в классе в виде вершин графа. Получим 25 вершин. Соединим вершины, обозначающие друзей, ребрами. Тогда из каждой вершины будет выходить по семь ребер. Сумма степеней вершин графа будет равна 25x7=175. Это нечетное число. А нам известно, что сумма степеней вершин графа должна быть четна. Получили противоречие.


7. В стране 15 городов, каждый соединен дорогами не менее чем с 7-ю другими. Докажите, что из любого города можно проехать в любой другой либо напрямую, либо через один промежуточный город.


Решение. Рассмотрим город А. Он соединен дорогами с не менее чем семью городами В1, В2, …, В7, … Всего получилось не меньше 8 городов. Предположим, что есть город С, не связанный ни с А ни с В1, В2, …, В7, … Значит он связан только с теми городами, которые остались вне этого списка. Но таких городов меньше 7, что противоречит условию.


8. В классе 28 человек. Каждая девочка дружит с 4 мальчиками, а каждый мальчик – с 3 девочками. Сколько в классе мальчиков и девочек?

Решение. В графе, для этой задачи вершины, соответствующие мальчикам, выкрасим синим цветом, а вершины, соответствующие девочкам – красным. Каждое ребро графа соединяет ровно две вершины: одну синюю и одну красную. Пусть всего x красных и y синих вершин (x+y=28 – уравнение №1). Выразим количество ребер в графе. С одной стороны, оно равно 3x, с другой – 4y. Получим уравнение №2: 3x=4y. Решая систему из двух уравнений, легко найти, что x=16 а y=12.


  1. Индивидуальная работа по вариантам.

Выполнить индивидуальную работу по теме «Теория графов»

Вариант 1

Задача о 15 мостах.

В некоторой местности через протоки переброшено 15 мостов.

hello_html_53f6efef.png

У вас на листочках есть этот рисунок. Можно ли обойти все мосты, проходя по каждому из них только один раз?


Вариант 2

Задача: Три соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу. Дорожки не могут проходить через колодцы и домики (рис.1).


Эталон ответов

Вариант 1

РЕШЕНИЕ:

Построим граф, где вершины - острова и берега, а ребра - мосты.

(Презентация, сл.12)

hello_html_m6ef725bb.png

Нечетные вершины: D, E.

ВЫВОД: Так как количество нечетных вершин = 2, то обход возможен.

Его Начало может быть в местности D, а Конец в местности E.


Вариант 1


hello_html_m1cea5ec3.png

Рис. 1. К задаче о домиках и колодцах.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой, доказанной Эйлером в 1752 году, которая является одной из основных в теории графов.

 После проведения восьми тропинок можно убедиться, что провести девятую, не пересекающуюся ни с какой из ранее проведенных тропинок, не удается.

Построим граф, вершины которого
А, Б, В, 1, 2, 3
соответствуют домам и колодцам условия задачи, и попробуем доказать, что девятую тропинку — ребро графа, не пересекающее остальные ребра, провести нельзя.

hello_html_m5ec4475e.png

Проведенные в графе на рисунке ребра А1, А2, A3 и В1,В2, ВЗ (соответствующие тропинкам от домов А и В ко всем колодцам). Построенный граф разбил плоскость на три области: X, У, Z. Вершина Б, в зависимости от ее расположения на плоскости, попадает в одну из этих трех областей. Если вы рассмотрите каждый из трех случаев «попадания» вершины Б в одну из областей X, Y или Z, то убедитесь, что всякий раз одна из вершин графа 1, 2 или 3 (один из колодцев) будет «недоступной» для вершины Б (т. е. нельзя будет провести одно из ребер Б1, Б2 или Б3. которое не пересекло бы уже имеющихся в графе ребер).
Таким образом, ответ на вопрос задачи будет таким: «Нельзя!»




  1. Подведение итогов занятия.

Преподаватель обобщает результаты работы, достижение целей занятия, комментирует работу на занятии отдельных студентов и всей группы в целом. Выставление итоговых оценок интегративно с учётом вводного контроля, проделанной самостоятельной работы, заключительного контроля.


  1. Домашнее задание.

Нарисовать свое граф – дерево.

Самостоятельная работа.

Реферат, доклад, презентация, научная статья по темам:

Виды графов и операции над ними. Отношения; свойства отношений.


  1. Рефлексия.

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…

Литература.

  1. Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

  2. Богомолов Н.В. Самойленко П.И. «Математика»,- М.: Дрофа, 2010.

  3. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике»,- М.: Дрофа, 2010.

  4. Высшая математика для экономистов: Практикум / Под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. -484 с

  5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.:Высш. Школа, 2008г.


17


Выбранный для просмотра документ Практическое занятие 8. Агрономы.2 курс.doc

библиотека
материалов

Агрономы Практическое занятие № 8

Практическое занятие №8

Тема: Решение простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей.

Тип урока: урок формирования знаний, умений, навыков и контроля

Вид проведения занятия: практическое занятие

Форма проведения занятия: сочетание групповой, индивидуальной и коллективной форм работы студентов на занятии.

Метод обучения: репродуктивно-развивающий, проблемный, активный.

Метод учения: частично-поисковый

Цели и задачи урока:

Образовательная цель:

Формирование умений и навыков при выполнении задач по основам теории вероятностей, контроль и коррекция этих умений и навыков.

После изучения темы:

Студент должен знать: 
- определения и формулы числа перестановок, размещений и сочетаний ;
- классическое определение вероятности;
- определения суммы событий, произведения событий ; формулировки и формулы теорем сложения и умножения вероятностей.

Студент должен уметь :
- вычислять перестановки, размещения и сочетания;
- вычислять вероятность события используя классическое определение и формулы комбинаторики;
- решать задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей.

Задачи занятия:

Задачи преподавателя:

  • Формировать практические умения и навыки у студентов по теме «Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей»;

  • Оценить уровень сформированности умений и навыков студентов при решении задач по теории вероятности;

  • Создать условия для формирования умений логически мыслить;

  • Создать условия для формирования информационной, коммуникативной компетенций студентов.

Задачи студентов:

  • Показать знания таких понятий как: случайное событие, вероятность события;

  • Показать знания по применению теоремы сложения и умножения вероятностей для решения задач;

  • Показать умения и навыки при решении задач на вычисление вероятности события; вероятности случайных событий по классическому определению;

  • Показать умение логически рассуждать, анализировать, высказывать и обосновывать свою точку зрения.

Воспитательная и развивающая цели урока:

      • развивать продуктивное и логическое мышление;

      • развивать монологическую и диалогическую речь;

      • формировать умение правильно обозначать события и их вероятности, вычислять эти вероятности и пользоваться математическими записями;

      • воспитывать ответственность и навыки самостоятельности;

      • формировать личность студента через положительные эмоции, связанные с ощущением успеха, через самооценку, взаимооценку и оценку преподавателем.

Межпредметные и внутрипредметные связи:

межпредметные связи:

  • Математика 2 курс (Комбинаторика)

  • Статистика 2 курс (Случайна величина, выборка, вариационный ряд)

  • Логика, факультативный курс средней школы (решение задач на логику)

внутрипредметные связи:

  • Основы теории вероятности;

  • Основы статистики;

  • Комбинаторика: размещения, сочетания, перестановки.

Оборудование занятия:

Графические средства

  • памятки для студентов

  • карточки для самостоятельной работы студентов

Метод контроля знаний: письменный опрос, фронтальный опрос.

Продолжительность занятия: 90 минут.


План практического занятия.

  1. Организационные моменты.

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.


  1. Актуализация опорных знаний.

  1. Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных примеров).

Решить задачи:

Вариант 1.

  1. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 40 до 70 является кратным 6?

  2. Какова вероятность того, что при пяти бросаниях монеты она три раза упадет гербом к верху?

Вариант 2.

  1. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 1 до 30 (включительно)  является делителем числа 30?

  2. В НИИ работает 120 человек, из них 70 знают английский язык, 60 – немецкий, а 50 – знают оба. Какова вероятность того, что выбранный наудачу сотрудник не знает ни одного иностранного языка?


  1. Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

  1. Какое событие называют достоверным?

  2. Какое событие называют невозможным?

  3. Дайте определение противоположных событий.

  4. Сформулируйте классическое определение вероятности.

  5. Чему равна вероятность достоверного события?

  6. Чему равна вероятность невозможного события?

  7. Каким неравенствам удовлетворяет вероятность любого события?

  8. Что называется относительной частотой события?

  9. Что называют полной группой события?

  10. Дайте определение независимого события.

  11. Дайте определение условной вероятности.

  12. Дайте определение совместных событий.

  13. Дайте определение несовместных событий.

  14. Сформулируйте правило сложения вероятностей.

  15. Сформулируйте правило умножения вероятностей.

3. Для каждого из событий определите, каким оно является – невозможным, достоверным или случайным:

а) из 25 учащихся двое справляют день рождения 30 января (с);

б) из 25 учащихся двое справляют день рождения 30 февраля (н);

в) из списка 9 класса выбрали одного ученика и это – мальчик (с);

г) из списка 9 класса выбрали одного ученика и это – девочка (с);

д) из списка 9 класса выбрали одного ученика и ему – 14 месяцев (н);

е) из списка 9 класса выбрали одного ученика и ему больше двух лет (д);

ж) измерили стороны треугольника и сумма двух из них оказалась меньше длины третьей стороны (н).


  1. Практический этап.

Требования к выполнению практической работы:

  1. Оформить задания в тетради для практических работ.

  2. Выполнить индивидуальную работу по варианту.

  3. Ответить на один контрольный теоретический вопрос по варианту.


Содержание практической работы.

Комбинаторными задачами называются задачи, в которых необходимо подсчитать, сколькими способами можно сделать тот или иной выбор, выполнить какое-либо условие.

Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_5738.gif, где n!=1*2*3*…*n

Пример. Группа учащихся изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день недели должно быть 4 различных урока?

Решение. Число способов равно числу размещений из 7 элементов по 4, т.е. равно hello_html_m5df1bb84.gif. Получаем hello_html_m5df1bb84.gif=hello_html_55cb9e4c.gif.


Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_311090f3.gif.

Пример. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?

Решение. Цифра 5 обязана стоять на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов, т.е. 5!=5*4*3*2*1=120.


Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов:

hello_html_5c265852.gif

Пример. Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между собой один раз?

Решение. Матчей состоится столько, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, состоящего из 16 элементов, т.е. их число равно hello_html_3be662e9.gif.

Свойства сочетаний:

hello_html_3069eb84.gifhello_html_f2293e2.gif



Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Теория вероятностей изучает случайные события и случайные величины.

Случайное событие

Случайное событие – это любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти. Случайное событие – это результат испытания.

Испытание (опыт, эксперимент) – в этом определении понимается выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат. Испытание может проводиться человеком, но может осуществляться и независимо от человека. Человек в этом случае выступает в роли наблюдателя.

События обозначаются начальными прописными (заглавными) буквами латинского алфавита А, В, С.

  1. Достоверное событие – это событие, которое в результате испытания обязательно должно произойти.

  2. Невозможное событие – это событие, которое в результате испытания вообще не может произойти.

События называются равновозможными, если по условиям испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое.

События называются несовместными, если наступление одного из них исключает появление другого. В противном случае события – совместные.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них.

События образующие полную группу событий и являющиеся несовместными и равновозможными, называются случаями.

Под противоположным событием hello_html_5b8c2d54.gifпонимают событие, которое обязательно должно произойти, если не наступило некоторое событие А (hello_html_5b8c2d54.gifчитается «не А»).

Вероятность случайного события

Численная мера степени объективности возможности наступления события называется вероятностью случайного события.

Классическое определение вероятности события А:

Р(А) = hello_html_35730b12.gif

Вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих событию А(m), к общему числу случаев (n).


Свойства вероятности события:

1. 0hello_html_3813d461.gif Р(А)hello_html_3813d461.gif1 для любого события А.

2. Если А - событие невозможное, то Р(А)=0.

3. Если А - событие достоверное, то Р(А)=1.

Задача 1

Лабораторная крыса, помещенная в лабиринт, должна избрать один из пяти возможных путей. Лишь один из них ведет к поощрению в виде пищи. В предположении, что крыса с одинаковой вероятностью изберет любой путь, какова вероятность выбранного пути, ведущего к пище?

Решение: hello_html_3fa8b9e0.gif.

Задача 2

При бросании игральной кости возможно шесть исходов: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Какова вероятность появления четного числа очков?

Решение: Р(А) =hello_html_m2b3479c3.gif=hello_html_3861a23a.gif.

Событию А – «появление четного числа очков» благоприятствуют 3 исхода (2, 4 и 6 очков).

Задача 3

Подбрасываются 2 монеты. Какова вероятность, что обе упадут «гербом» кверху?

Решение

Четыре исхода бросания двух монет: ГГ, ГР, РГ, РР.

Пусть событие А – «выпали два герба» - этому событию благоприятствует один исход.

Р(А) =hello_html_35730b12.gif =hello_html_m6b728d0f.gif= 0,25.

Задача 4

Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее – получить в сумме 7 или 8?

Решение

Обозначим события: А – «выпало 7очков», В – «выпало 8 очков».

Событию А благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1).

Событию В благоприятствуют 5 элементарных исходов: (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2).

Всех равновозможных исходов n =6hello_html_22eaeb15.gif= 36.

Р(А) =hello_html_m6e0db4b2.gif,

Р(В) =hello_html_4f28461e.gif.

Итак, Р(А) > Р(В) получить в сумме 7 очков более вероятное событие, чем получить в сумме 8 очков.

Статистическое определение вероятности

Относительная частота события – это доля тех фактически проведенных испытаний, в которых событие А появилось W = P*(A)= hello_html_35730b12.gif. Это опытная экспериментальная характеристика, где m – число опытов, в которых появилось событие А; n – число всех проведенных опытов.

Вероятностью события называется число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний Р(А) = hello_html_5fb98847.gifhello_html_35730b12.gif.

Задача 5

Из 982 больных, поступивших в хирургическую больницу за месяц, 275 человек имели травмы. Какова относительная частота поступления больных с этим видом заболевания?

Решение: P*(A) = hello_html_4d3e858a.gif.

Задача 6

При стрельбе по мишени частота попадания w = 0,75. Найти число попаданий при 40 выстрелах.

Решение: W = hello_html_35730b12.gifhello_html_m4855e294.gifm=0,75·40=30.

Ответ: было получено 30 попаданий.

Закон сложения вероятностей

Сумма двух событий – это такое событие, при котором появляется хотя бы одно из этих событий (А или В).

Если А и В совместные события, то их сумма А + В обозначает наступление события А или события В, или обоих событий вместе.

Если А и В несовместные события, то их сумма А + В обозначает наступление или события А или события В.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + (В)

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)

Несколько событий образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них.

Сумма вероятностей дискретных событий, образующих полную группу, равна единице

Р(Аhello_html_m59218672.gif) + Р(Аhello_html_m2698bc4f.gif) + …+ Р(Аhello_html_m64b795fe.gif) = 1

или

hello_html_m5abf8436.gifР(Аhello_html_35cf2165.gif) = 1

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р(hello_html_1f41ce1c.gif) + Р(hello_html_5b8c2d54.gif) = 1

Задача 7

Победитель соревнования награждается призом (событие А), денежной премией (событие В), медалью (событие С). Что представляют собой события А + В?

Решение

Событие А + В состоит в награждении победителя или призом или денежной премией, или тем и другим.

Задача 8

Турист имеет возможность посетить 3 города: А, В и С. Обозначаем события: А – турист посетит город А;

В – турист посетит город В;

С – турист посетит город С.

В чем заключается событие А + С?

Решение

Турист посетил только один из городов А или С, или он посетил их оба.

Задача 9

Вероятность того, что у взрослого пациента все зубы сохранились, равна 0,67. Вероятность того, что некоторые зубы отсутствуют, равна 0,24. Вероятность того, что он беззубый, равна 0,09. Вычислить вероятность того, что у пациента несколько зубов.

Решение: Р(А + В) = Р(А) +Р(В) = 0,67 + 0,24 = 0,91.

Задача 10

В большой популяции плодовой мушки 25% мух имеют мутацию глаз, 50% - мутацию крыльев, а 40% мух с мутацией глаз имеют мутацию крыльев. Какова вероятность того, что у мухи, неудачу выбранной из этой популяции, окажется хотя бы одна из этих мутаций?

Решение

А – событие, состоящее в том, что случайно выбранная муха имеет мутации глаз. В есть событие, состоящее в том, что случайно выбранная муха имеет мутацию крыльев. Вероятность того, что муха имеет одну или обе мутации:

Р(А + В) = Р(А) +Р(В) – Р(АВ)

Тогда Р(А + В) = 0,25 + 0,5 – 0,4 · 0,25 = 0,65

Условная вероятность

Условная вероятность события B – вероятность события B, найденная при условии, что событие A произошло. Обозначается P(B/A).

Задача 11

В коробке содержится 3 белых и 3 жёлтых таблетки. Из коробки дважды вынимают наугад по одной таблетке, не возвращая их в коробку. Найти вероятность появления белой таблетки при втором испытании (событие B), если при первом испытании была извлечена жёлтая таблетка (событие A).

Решение

После первого испытания в коробке осталось 5 таблеток, из них 3 белых.

Искомая условная вероятность: hello_html_m5a5c32d6.gif

Задача 12

В коробке находится 8 красных и 6 белых таблеток. Из коробки последовательно без возвращения извлекают 3 таблетки. Найти вероятность того, что все 3 таблетки белые.

Решение

Обозначим: hello_html_m53d4ecad.gifAhello_html_m59218672.gif - первая таблетка белая, Ahello_html_m2698bc4f.gif - вторая таблетка белая, Ahello_html_346b136b.gif - третья таблетка белая.

hello_html_2a49fbb1.gif


Закон умножения вероятностей

Произведение двух событий – это событие, состоящее в совместном появлении этих событий (A и B).

Событие B называется независимым от события A, если появление события A не изменяет вероятности появления события B.

Вероятность появления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

hello_html_m1b3271c5.gif

Для зависимых событий:

hello_html_6ec6f8f7.gif

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло.

Задача 13

Пусть имеются следующие события: A – «из колоды карт вынута дама»; B – «из колоды карт вынута карта пиковой масти». Что представляет собой событие AB?

Решение: AB есть событие «вынута дама пик».

Задача 14

Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.

Решение: hello_html_5210a01c.gif

Задача 15

Вероятность того, что у взрослого пациента все зубы сохранились, равна 0,67. Какова вероятность того, что у двух не имеющих отношения друг к другу больных, ожидающих приёма в кабинете стоматолога, есть все зубы?

Решение: hello_html_m6e140100.gif


Задача 16

Найти вероятность того, что в семьях из двух детей:

  1. оба ребёнка – мальчики; 2) оба ребёнка – девочки; 3) старший ребёнок мальчик, а младший – девочка. Вероятность рождения мальчика – 0,515.

Решение

hello_html_9cf39ca.gif

Задача 17

Вероятность того, что студент в летнюю сессию сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй – 0,9, третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: 1) только второй экзамен; 2) все три экзамена.

Решение

1) hello_html_m248c2365.gif

2) hello_html_m58c2b4b8.gif

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий hello_html_13171842.gif, hello_html_58f13efe.gif, …, hello_html_3a03bed7.gif, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий hello_html_70305e05.gif,

hello_html_m6ea92228.gif, …, hello_html_mc5ba20f.gif.


Задача 18

Вероятность попадания в цель при стрельбе из трёх орудий такова: hello_html_2c9638b9.gif Какова вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех этих орудий?

Решение

hello_html_m3a48f857.gif

Задача 19

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадёт только один стрелок.

Решение

Вероятность того, что в мишень попадёт первый стрелок и не попадёт второй, равна:

hello_html_6179ceb5.gif

Вероятность того, что в мишень попадёт второй стрелок и не попадёт первый, равна:

hello_html_316409c3.gif

Вероятность того, что в мишень попадёт только один стрелок, равна сумме этих вероятностей:

hello_html_m70071f4b.gif

Задача 20

Сколько должна планировать пара иметь детей, чтобы вероятность хотя бы одного мальчика была выше 90% (вероятность рождения мальчика и девочки – 0,5).

Решение

Пусть вероятность того, что все девочки:

hello_html_m1c11ac3e.gif

Вероятность того, что не все девочки:

hello_html_44ddcb75.gif

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Вероятность события А, которое может произойти при условии осуществления одного из несовместных событий hello_html_523f56b3.gif, образующих полную группу, определяется формулой полной вероятности

Р(А)= Р(Н1)Р(А/Н1)+ Р(Н2)Р (А/Н2)+ … +Р(Нn)Р(А/Нn).

Так как изначально неизвестно, какое из событий hello_html_523f56b3.gif произойдет, то эти события стали называть гипотезами.

Формула Байеса применяется, когда событие А, которое может появиться только с одной из гипотез hello_html_523f56b3.gif, произошло и необходимо произвести количественную переоценку априорных вероятностей этих гипотез hello_html_18821760.gifизвестных до испытания, т.е. найти апостериорные (получаемые после проведения испытания) условные вероятности гипотез hello_html_454b4751.gif:

hello_html_6041a488.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Или вместо Р(А) используем её значение, вычисленное по формуле полной вероятности:

hello_html_7b18e03f.gif

Итак, пусть до опыта имеются гипотезы hello_html_523f56b3.gif. После опыта становится известной информация о результатах опыта, но не полная, а именно: результаты наблюдений показывают, что наступило некоторое событие А.

Считается, что до опыта были известны (априорные) вероятности гипотез hello_html_7ffdc035.gifи условные вероятности hello_html_m73899e16.gif Необходимо определить апостериорные вероятности гипотез hello_html_454b4751.gif.

Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события А, т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы. Такой подход называется байесовским.

Задача 21

Два охотника одновременно стреляют одинаковыми пулями в медведя. В результате медведь был убит одной пулей (событие А). Как охотники должны поделить шкуру убитого медведя, если известно, что вероятность попадания у первого охотника 0,3, а у второго 0,6?

Решение

Воспользуемся формулой Байеса. Определим предварительно гипотезы.

Гипотеза hello_html_22430624.gif: попал первый охотник, второй промахнулся.

Гипотеза hello_html_2ad0302c.gif: попал второй, первый промахнулся.

Гипотеза hello_html_233adef5.gif: попали оба охотника.

Гипотеза hello_html_m60abdfe3.gif: оба промахнулись.

Событие А может произойти только тогда, когда произошла либо гипотеза hello_html_22430624.gif, либо гипотеза hello_html_2ad0302c.gif, т.е.:

hello_html_48f3eed9.gif

Предполагаем, что попадания охотников в медведя не зависят друг от друга. И получаем:

hello_html_6bc8114a.gif

Применяем формулу полной вероятности:


Р(А)= Р(Н1)Р(А/Н1)+ Р(Н2)Р (А/Н2)+ Р(Н3)Р(А/Н3) .


Затем применяем формулу Байеса:

hello_html_24fc8af9.gif

Таким образом, при справедливом делении первый охотник должен получить hello_html_5e04445e.gif шкуры, т.е. меньше четвёртой части шкуры, в то время как на первый взгляд казалось, что ему причитается hello_html_m10e629a5.gif шкуры (0,3).


Схема Бернулли

Схемой Бернулли или схемой повторных независимых испытаний с двумя исходами "успех" или "неуспех", называется последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых "успех" наступает с одной и той же вероятностью p ≠0 и 1.

Вероятность того, что при n испытаниях "успех" наступит ровно k раз,

вычисляется по формуле Бернулли:

Рn(k) = Сnk pk qn-k ,

где

n - число испытаний;

k - число "успехов";

р - вероятность "успеха" в одном испытании;

q = 1 - р - вероятность "неуспеха";

hello_html_5c67c00e.gif

Cnk = - число сочетаний из n элементов по k.


Задача 22

Вероятность заболевания животного во время эпидемии 0,2. Найти вероятность, что из 6 животных 2 заболеют.

Решение

Число животных n = 6, число "успехов" k = 2, p = 0,2, q = 1 – 0,2 = 0,8.

hello_html_396d24d1.gifhello_html_584cc275.gif

P6(2) = C62 0,22 0,84 = 0,22 0,84 = 0,04 0,84 =


hello_html_mc87bb58.gif

= 0,04 0,4 = 0,25.


При больших n использование формулы Бернулли затруднительно, поэтому в этих случаях применяют приближенные формулы, которые следуют из локальной теоремы Лапласа и из теоремы Пуассона.

Выбор формулы для решения задачи на схему Бернулли поможет сделать

следующая таблица:


Название формулы


Формула

Когда даст хорошее решение

Формула Бернулли

Pn(k) = Cnk pk qn-k


Для всех n и p

hello_html_4ebd40c8.gifhello_html_7cfa46c0.gifФормула, следующая из локальной теоремы Лапласа





Pn(k) (x)




x = ;(x) =hello_html_m39058fbb.gif


При p>0,1 или np>9

hello_html_m42c5dd2d.gifФормула, следующая из теоремы Пуассона



Pn(k) ; = np


P 0,1; np9, n>10

hello_html_m53d4ecad.gif

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции (x) =hello_html_m39058fbb.gif

Свойства функции (х):

1) (-x) = (x);

2) при х > 4 (x) 0.


Задача 23

Допустим, укореняют 15 черенков роз. Приживаемость 80%. Найти вероятность того, что из 15 черенков укоренится ровно 12.

Решение.

n = 15; k = 12; p = 0,8; q = 1 – 0,8 = 0,2.


Имеем npq = 15 0,8 0,4 = 2,4.

hello_html_m3e422267.gif

x = ;


hello_html_3180449d.gif

(0) = 0,3989; P12(15) = 0,3989 = 0,2581.



  1. Индивидуальная работа по вариантам.

Выполнить индивидуальную работу по теме «Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей»

Вариант 1

Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры. Какова вероятность того, что он с первого раза наберёт эти цифры правильно, если он помнит, что они различны?

Решение. Обозначим А – событие, состоящее в том, что абонент, набрав произвольно две цифры, угадал их правильно. М – число правильных вариантов, очевидно, что М=1; N – число различных цифр, hello_html_5dfb092.gif. Таким образом, Р(А)=M/N=1/90.

Пример 2. Литьё в болванках поступает из 2-х цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом продукция первого цеха имеет 10% брака, а второго 20%. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка имеет дефект.

Решение. p(H1)=0,7; p(H2)=0,3; p(A|H1)=0,1; p(A|H2)=0,2; Р=0,7*0,1+0,3*0,2=0,13 (13% болванок в цехе дефектны).

Пример 3. Завод производит 85% продукции первого сорта и 10% - второго. Остальные изделия считаются браком. Какова вероятность, что взяв наудачу изделие, мы получим брак?

Решение. Р=1-(0,85+0,1)=0,05.


Вариант 2

Пример 1. Шесть шариков случайным образом располагаются в шести ящиках так, что для каждого шарика равновероятно попадание в любой ящик и в одном ящике может находиться несколько шариков. Какова вероятность того, что в каждом ящике окажется по одному шарику?

Решение. Событие А – в каждом ящике по одному шарику. М – число вариантов распределения шариков, при которых в каждый ящик попадает по одному шарику, М=6! (число способов переставить между собой 6 элементов). N – общее число вариантов N=66 (так как каждый шарик может попасть в каждый из ящиков). В результате получаем hello_html_4ecd5d69.gif.


Пример 2. В урне лежит N шаров, из которых n белых. Достаём из неё (без возвращения) два шара. Какова вероятность, что второй шар белый?

Решение. H1 первый шар белый; р (H1)=n/N;

H2 первый шар чёрный; p(H2)=(N-n)/N;

Aвторой шар чёрный; p(A|H1)=(n-1)/(N-1); p(A|H2)=n/(N-1)

Р(A)=p(H1)*p(A|H1)+p(H2)*p(A|H2)=hello_html_m3eac4e42.gif

Пример 3. Из 30 экзаменационных билетов студент подготовил только 25. Если он отказывается отвечать по первому взятому билету (которого он не знает), то ему разрешается взять второй. Определить вероятность того, что второй билет окажется счастливым.

Решение. Пусть событие А заключается в том, что первый вытащенный билет оказался для студента «плохим», а В – второй – «хорошим». Поскольку после наступления события А один из «плохих» уже извлечён, то остаётся всего 29 билетов, из которых 25 студент знает. Отсюда искомая вероятность равна Р(В/А)=25/29.


Вариант 3

Пример 1. В урне 3 белых и 4 чёрных шара. Из урны вынимаются два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Решение. Обозначим: А – событие, состоящее в появлении белых шаров; N – число способов вытащить 2 шара из 7; hello_html_b3457f7.gif; M – число способов вытащить 2 белых шара из имеющихся 3 белых шаров; hello_html_m70ed8a18.gif.

hello_html_m54da0e2e.gif

Пример 2. 30% пациентов, поступивших в больницу, принадлежат первой социальной группе, 20% - второй и 50% - третьей. Вероятность заболевания туберкулёзом для представителя каждой социальной группы соответственно равна 0,02, 0,03 и 0,01. Проведённые анализы для случайно выбранного пациента показали наличие туберкулёза. Найти вероятность того, что это представитель третьей группы.

Решение. Пусть H1, H2, H3 – гипотезы, заключающиеся в том, что пациент принадлежит соответственно первой, второй и третьей группам. Очевидно, что они образуют полную группу событий, причём p(H1)=0,3; p(H2)=0,2; p(H3)=0,5. По условию событие А, обнаружение туберкулёза у больного, произошло, причём условные вероятности по данным условия равны p(А/H1)=0,02; p(А/H2)=0,03; и p(А/H3)=0,01. Апостериорную вероятность p(H3/А) вычисляем по формуле Байеса:

hello_html_2d493d65.gif.

Пример 3. Из 20 студентов 5 человек сдали на двойку экзамен по истории, 4 – по английскому языку, причём 3 студента получили двойки по обоим предметам. Каков процент студентов в группе, не имеющих двоек по этим предметам?

Решение. Р = 1 - (5/20 + 4/20 - 3/20) = 0,7 (70%)


  1. Подведение итогов занятия.

Преподаватель обобщает результаты работы, достижение целей занятия, комментирует работу на занятии отдельных студентов и всей группы в целом. Выставление итоговых оценок интегративно с учётом вводного контроля, проделанной самостоятельной работы, заключительного контроля.


  1. Домашнее задание.

Решить задачи.

1. Брошены 3 игральные кубика. Какова вероятность того, что сумма очков на всех кубиках равна 5?

2. Ребенок, не умеющий читать, поставил в ряд буквы а, к, р, у. С какой вероятностью он получит слово рука?

3. Набирая номер телефона, человек не смог вспомнить две последние цифры и набрал номер наудачу. С какой вероятностью он набрал номер правильно?

4. В группе из 6 женщин и 10 мужчин выбирают делегатов. Найти вероятность того, что выберут 2 женщин и 2 мужчин?

5. На полке стоят 10 книг, среди которых 3 книги по теории вероятностей. Наудачу берутся три книги. Какова вероятность, что среди отобранных хотя бы одна книга по теории вероятностей?

6. В барабане находится 10 лотерейных билетов, из них 2 выигрышных. Из барабана 2 раза вынимают по одному билету, не возвращая их обратно. Какова вероятность того, что:

а) второй раз был извлечен билет без выигрыша, при условии, что в первым оказался выигрышный билет;

б) первый раз был вынут выигрышный билет, а во второй раз - билет без выигрыша?

Самостоятельная работа.

Реферат, доклад, презентация, научная статья по темам:

Теорема умножения вероятностей.


  1. Рефлексия.

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…



Литература.

  1. Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

  2. Богомолов Н.В. Самойленко П.И. «Математика»,- М.: Дрофа, 2010.

  3. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике»,- М.: Дрофа, 2010.

  4. Высшая математика для экономистов: Практикум / Под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. -484 с

  5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.:Высш. Школа, 2008г.


17


Выбранный для просмотра документ Практическое занятие 9. Агрономы.2 курс.doc

библиотека
материалов

Агрономы Практическое занятие № 9

Практическое занятие №9

Тема: Нахождение математического ожидания случайной величины.

Тип урока: урок формирования знаний, умений, навыков и контроля

Вид проведения занятия: практическое занятие

Форма проведения занятия: сочетание групповой, индивидуальной и коллективной форм работы студентов на занятии.

Метод обучения: репродуктивно-развивающий, проблемный, активный.

Метод учения: частично-поисковый

Цели и задачи урока:

Образовательная цель:

Выявить уровень знаний и умений по теме: Случайная величина, ее математическое ожидание и дисперсия. Основы математической статистики.

Отработать умения применять полученные знания при решении задач.

Добиться осознанности при выполнение заданий

После изучения темы:

Студент должен знать: 
- знать определение математического ожидания;

- понимать, что математическое ожидание является обобщением среднего арифметического значений дискретной случайной величины;

- знать свойства математического ожидания и уметь использовать их при решении простых задач;

- знать, что важным свойством распределения случайной величины является рассеивание;

- знать определение дисперсии;

- уметь вычислять дисперсию;

- знать свойства дисперсии и уметь их использовать при решении простых задач;

- знать определение среднего квадратичного отклонения.

Студент должен уметь :
- вычислять математическое ожидание дискретной случайной величины, дисперсию случайной величины, среднее квадратичное отклонение случайной величины;
- решать задачи на применение основных понятий и теорем по теме.
Задачи занятия:

Задачи преподавателя:

  • Формировать практические умения и навыки у студентов по теме «. Случайная величина, ее функция распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины»;

  • Оценить уровень сформированности умений и навыков студентов при решении задач по теории вероятности;

  • Создать условия для формирования умений логически мыслить;

  • Создать условия для формирования информационной, коммуникативной компетенций студентов.

Воспитательная и развивающая цели урока:

      • развивать продуктивное и логическое мышление;

      • развивать монологическую и диалогическую речь;

      • формировать умение правильно обозначать дискретные величины, вычислять эти величины и пользоваться математическими записями;

      • воспитывать ответственность и навыки самостоятельности;

      • формировать личность студента через положительные эмоции, связанные с ощущением успеха, через самооценку, взаимооценку и оценку преподавателем.

Оборудование занятия:

Графические средства

  • памятки для студентов

  • карточки для самостоятельной работы студентов

Метод контроля знаний: письменный опрос, фронтальный опрос.

Продолжительность занятия: 90 минут.


План практического занятия.

  1. Организационные моменты.

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.


  1. Актуализация опорных знаний.

  1. Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных примеров).

  2. Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

  1. Какое событие называют достоверным?

  2. Какое событие называют невозможным?

  3. Дайте определение противоположных событий.

  4. Сформулируйте классическое определение вероятности.

  5. Чему равна вероятность достоверного события?

  6. Чему равна вероятность невозможного события?

  7. Каким неравенствам удовлетворяет вероятность любого события?

  8. Что называется относительной частотой события?

  9. Что называют полной группой события?

  10. Дайте определение независимого события.

  11. Дайте определение условной вероятности.

  12. Дайте определение совместных событий.

  13. Дайте определение несовместных событий.

  14. Сформулируйте правило сложения вероятностей.

  15. Сформулируйте правило умножения вероятностей.

3. Для каждого из событий определите, каким оно является – невозможным, достоверным или случайным:

а) из 25 учащихся двое справляют день рождения 30 января (с);

б) из 25 учащихся двое справляют день рождения 30 февраля (н);

в) из списка 9 класса выбрали одного ученика и это – мальчик (с);

г) из списка 9 класса выбрали одного ученика и это – девочка (с);

д) из списка 9 класса выбрали одного ученика и ему – 14 месяцев (н);

е) из списка 9 класса выбрали одного ученика и ему больше двух лет (д);

ж) измерили стороны треугольника и сумма двух из них оказалась меньше длины третьей стороны (н).


  1. Практический этап.

Требования к выполнению практической работы:

  1. Оформить задания в тетради для практических работ.

  2. Выполнить индивидуальную работу по варианту.

  3. Ответить на один контрольный теоретический вопрос по варианту.


Содержание практической работы.

Задача 1.

Дан закон распределения случайной величины

Х

2

5

7

10

р

0,4

0,2

0,1

р

Найдите ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение σ(X).

  1. Сумма вероятностей в законе распределения случайной величины равняется 1.

Тогда Р=1 – 0,1 – 0,2 – 0,4 =0,3 . Закон распределения примет вид:


Х

2

5

7

10

р

0,4

0,2

0,1

0,3

  1. Найдем математическое ожидание данной величины:

M(X)=p1x1+p2x2+p3x3+…+pnxn

М(Х) = 2·0,4 + 5·0,2 + 7·0,1 + 10·0,3 =0,8 + 1 +0,7 +3 = 5,5

  1. Найдем дисперсию по одной из формул:


D(x) = M((x-M(x))2) или D(x)=M(x2) – M(x)2


По второй формуле, составим закон распределения величины Х2

Х2

22

52

72

102

р

0,4

0,2

0,1

0,3

Получим:

Х2

4

25

49

100

р

0,4

0,2

0,1

0,3

Найдем математическое ожидание величины Х2

М(Х2) = p1x12+p2x22+p3x32+…+pnxn2

М(Х2) = 0,4·4 + 0,2·25 + 0,1·49 +0,3·100 =1,6 +5 + 4,9 + 30 = 41,5

D(x)=M(x2) – M(x)2 = 41,5 – 5,52 = 41,5 – 30,25 = 11,25

  1. Вычислим среднее квадратичное отклонение σ(X) = hello_html_m2bc29c11.gif

σ(X)=hello_html_m21b29d96.gif=3,35.

  1. Проверим верно ли мы вычислили дисперсию. Вычислим ее по другой формуле. D(x) = M((x-M(x))2)

Найдем закон распределения величины Х – М(Х)

Х – М(Х)

2 – 5,5

5 – 5,5

7 – 5,5

10 – 5,5

р

0,4

0,2

0,1

0,3


Х – М(Х)

-3,5

- 0,5

1,5

4,5

р

0,4

0,2

0,1

0,3

Найдем закон распределения величины (Х – М(Х))2

(Х – М(Х))2

(-3,5)2

(- 0,5)2

1,52

4,52

р

0,4

0,2

0,1

0,3


(Х – М(Х))2

12,25

0,25

2,25

20,25

р

0,4

0,2

0,1

0,3

Найдем математическое ожидание величины: (Х – М(Х))2

D(x) = M((x-M(x))2) = 12,25·0,4 + 0,25·0,2 + 2,25·0,1 + 20,25·0,3=

= 4,9 + 0,05 + 0,225 + 6,075=11,25.

Вычислив дисперсию по той и другой формуле, получили одинаковые значения

Задача 2.

Для определения норм выработки хронометрировали время ( в секундах) изготовления валов.

100, 115, 100, 100, 100, 115, 135, 140, 125, 115

115, 130, 125, 130, 150, 145, 125, 115,110, 120,

115, 120, 125, 135, 145, 130, 125,115, 100, 105.

Найдите статистическое распределение данной величины, постройте полигон частот, и гистограмму, при m =5.

  1. Составим сначала статистическое распределение:

Х

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

N

5

1

1

7

2

5

3

2

1

2

1


Построим полигон частот:


Полотно 160


Построим гистограмму: Найдем размах выборки:

R= «наибольшее значение» - «наименьшее значение»,

R=150 – 100 = 50.

Найдем шаг разбиения Δ = hello_html_m419288ac.gif. Δ = 50:5 = 10.

Разобьем нашу выборку на промежутки длина каждого из которых будет равняться 10.

промежуток

[100,110]

(110,120]

(120,130]

(130,140]

(140,150]

Число выпвдений

7

9

8

3

3


Полотно 132


  1. Индивидуальная работа по вариантам.

Выполнить индивидуальную работу по теме «Нахождение математического ожидания случайной величины»

Вариант 1

Задание 1.

Дан закон распределения случайной величины

Х

1

2

4

р

0,4

р

0,1

Найдите ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение σ(X).

Задание 2.

Через каждый час измерялось напряжение тока в электросети. При этом получены следующие значения:

215, 215, 218, 223, 230, 230, 218, 215, 223, 230,

226, 215, 215, 223, 230, 215, 224, 218, 224, 226,

230, 215, 220, 220, 223, 220, 220, 220, 223, 220

Запишите статистическое распределение, постройте полигон и гистограмму частот при m = 5.

Вариант 2

Задание 1.

Дан закон распределения случайной величины

Х

2

4

6

р

0,5

0,2

р

Найдите ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение σ(X).

Задание 2.

Проведя сбор информации с потребителей, завод, изготавливающий станки получил следующую информацию. В среднем первый ремонт станка приходится на :

5, 7, 5, 4, 10, 6, 7, 7, 11, 10,

6, 8, 8, 9, 2, 10, 1, 2, 11, 10,

1, 4, 5, 7, 10, 11, 10, 8, 8, 7

год после изготовления. Запишите статистическое распределение, постройте полигон и гистограмму частот при m = 5.


Задание 3.

По учебнику ответьте на следующие вопросы:

  1. Чем математическая статистика отличается от теории вероятностей,

  2. Когда и где приходится применять методы математической статистики (Приведите примеры).

  3. Что такое генеральная совокупность и выборка, в чем их основное отличие.

  4. Назовите основные характеристики числовой выборки.

  5. Проиллюстрируйте пример полигона и гистограммы.

  6. Придумайте задачу, при решении которой можно применить методы математической статистики.


Ответы:

1Line 196 вариант.

Х

1

2

4

Р

0,4

р

0,1

Р = 1 – 0,4 – 0,1 = 0,5

х

1

2

4

р

0,4

0,5

0,1

М(Х)= 1*0,4+2*0,5+4*0,1=1,8

Х2

1

4

16

р

0,4

0,5

0,1

M(X) = 1*0,4+4*0,5+16*0,1=4

D(X)=4 – 1,82 = 0,76

hello_html_4c614729.gif

2 вариант

Х

2

4

6

р

0,5

0,2

р

Р=1-0,5-0,2=0,3

Х

2

4

6

р

0,5

0,2

0,3

М(Х)=2*0,5+4*0,2+6*0,3=3,6

Х2

4

16

36

р

0,5

0,2

0,3

М(Х2) = 4*0,5+16*0,2+36*0,3=16

D(X) = 16 – 3,62=3,04

hello_html_7c6d3078.gif


  1. Подведение итогов занятия.

Преподаватель обобщает результаты работы, достижение целей занятия, комментирует работу на занятии отдельных студентов и всей группы в целом. Выставление итоговых оценок интегративно с учётом вводного контроля, проделанной самостоятельной работы, заключительного контроля.


  1. Домашнее задание.

Подготовка к дифференцированному зачету.

Самостоятельная работа.

Реферат, доклад, презентация, научная статья по темам:

Среднее квадратичное отклонение случайной величины.


  1. Рефлексия.

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…



Литература.

  1. Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

  2. Богомолов Н.В. Самойленко П.И. «Математика»,- М.: Дрофа, 2010.

  3. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике»,- М.: Дрофа, 2010.

  4. Высшая математика для экономистов: Практикум / Под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. -484 с

  5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.:Высш. Школа, 2008г.


9


Выбранный для просмотра документ агрономы. 2 курс. лекция 4.doc

библиотека
материалов

Агрономы Лекция № 4

Тема: «Обыкновенные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения в частных производных».

Тип урока: изучение нового материала.

Вид урока: комбинированный урок, включающий в себя обобщение и систематизацию изученного материалом, применение знаний и умений на практике, закрепление изученного.

Цели урока:

Образовательные:

- систематизировать и обобщить понятие дифференциальное уравнение;

- помочь овладеть методами решения ДУ;

- отработать навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка различных видов;

Развивающие:

- способствовать развитию умений анализировать, устанавливать связи, причины и следствия;

- предвидеть возможные ошибки и способы их устранения;

- способствовать повышению концентрации внимания, развитию памяти и речи.

Воспитательные:

- способствовать развитию интереса к предмету «Математика»;

- способствовать развитию самостоятельности мышления;

- в целях решения задач эстетического воспитания содействовать в ходе урока опрятному и грамотному построению графиков функций.

Задачи урока

Воспитательные: развитие познавательного интереса к предмету, воспитание патриотизма, стимулирование потребности умственного труда.

Дидактические: познакомиться с понятием дифференциального уравнения; научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; научиться находить частные решения дифференциальных уравнений.

Развивающиеся: развитие памяти, внимания, умение выдвигать гипотезы, отстаивать свою точку зрения.

Средства обучения:

  1. дидактический материал;

  2. проектор;

  3. презентация;

  4. видеоурок «Решение дифференциальных уравнений»

План урока:

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация знаний.

  3. Объяснение нового материала.

  4. Закрепление изученного материала.

  5. Информация о домашнем задании.

  6. Подведение итогов.

Ход урока.

  1. Организационный момент:

Поприветствовать студентов, отметить отсутствующих.

Объявить тему урока и его цель.


  1. Актуализация знаний и умений обучающихся.

        1. Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных задач

        2. Выполнить устно упражнения:

а) найти производную:

(3х)'=… (х3)'=… (6х2)'=… (х+5)'=… (5х-4)'=… (2sinx)'=…

)'=…

б) Указать угловой коэффициент прямой:

У=3х+4

У=6-7х

в) Чему равен угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке х0? ( ответ: производной функции при х0)

г) Как обозначается дифференциал функции? Назовите формулу дифференциала функции. ( ответ: dF=F'dx).

д) Назовите процесс обратный дифференцированию? (интегрирование)

е) в чем заключается смысл неопределенного интеграла? (Неопределенный интеграл – это семейство интегральных кривых, каждая из которых получается из одной путем параллельного переноса вдоль оси ОУ)

2. Работа по карточкам у доски:

а) hello_html_m728c1c84.gif ( ответ: I=2x+lnx+С); б) hello_html_697d0b3d.gif; (I=ln(x+2)+C);

в) hello_html_m77004df8.gif (hello_html_m4419fa7f.gif).

  1. Изучение нового материала.

Немного истории: Теория ДУ возникла в конце XVII века под влиянием потребностей механики и других естественных наук. В самостоятельный раздел математики её выделил прежде всего Леонард Эйлер (1707-1783)- гениальный математик, механик, физик.

Долгие годы Эйлер работал в Петербургской Академии наук. Он оказал решающее влияние на развитие математики в Европе и во всем мире. Французский математик Пьер Лаплас считал Эйлера учителем математиков второй половины XVIII века. Но оценка Лапласа оказалась излишне скромной. История поставила Эйлера во главу математиков всех времен и народов.

В Швейцарии, на родине Эйлера, полное собрание его научных трудов начали издавать в 1909 году, а завершили издание лишь в 1975 году. Список трудов Эйлера содержит 860 наименований.

Леонард Павлович ( так его называли в России) был непревзойденным нескучным вычислителем. Неутолимо вычисляя при свечах, он потерял зрение сначала на правый, а затем и на левый глаз. Последние годы он не менее плодотворно работал слепым. На сегодня так и не издана большая часть из его 3000 писем.

В 1971 году Швейцария украсила 10-франковые ассигнации портретом Л. Эйлера.


hello_html_447ca7.jpg



Ученый кот, услышав шорох,

Надел очки и на ходу,

Учел реакцию в опорах,

Уклон и скорость для ОДУ,

Путем изящных вычислений

Решил систему уравнений,

Пересчитав все P и Q,

И приготовился к прыжку.

Мышь убежала. Но, однако,

Кот съел в теории собаку.

Теперь мы плавно переходим к теории.

Дифференциальное уравнение – основной математический аппарат в естествознании. Они применяются в физике, астрономии, аэродинамике и теории упругости, химии, экономике, биологии и медицине. Такой подход к изучению явлений природы впервые был предложен итальянским ученным Г. Галилеем. Впервые его блестяще применил один из создателей математического анализа И. Ньютон.

Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям

Решение задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего независимую переменную, искомую функцию и производные этой функции.

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные или дифференциалы.


Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая обращает данное уравнение в тождество.

Существуют задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Рассмотрим одну из них.

    1. Размножение бактерий. На опытах с бактериями установлено, что скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству, если, конечно, для них имеется достаточный запас пищи.

Так как сами бактерии очень малы, а их количество велико, то можно считать, что масса бактерий с течением времени меняется непрерывно. Тогда скорость прироста массы бактерий называется скоростью размножения.

Если через число x(t) обозначить массу всех бактерий в момент времени t, то hello_html_1c20d917.gif будет скоростью размножения этих бактерий. Так как скорость размножения hello_html_1c20d917.gif пропорциональна количеству бактерий, то существует постоянная k такая, что

hello_html_1c20d917.gif = kx. (1)

По условию x(t) и x/(t) неотрицательные, поэтому коэффициент k тоже неотрицательный.

Уравнение (1) является простейшим примером дифференциального уравнения. Оно называется дифференциальным уравнением размножения. Искомым неизвестным уравнения (1) является функция x = x(t), которая в уравнение входит вместе со своей производной.

Решением данного уравнения является функция вида

x = Cekt, где С – const.

Действительно,

hello_html_1c20d917.gif= (Cekt)hello_html_m57cb85f9.gif = С∙ ektk = k(Cekt) = kx.

    1. Задача 1. Найти закон движения тела по оси Ox, если оно начало двигаться из точки М(4;0) со скоростью v = 2t + 3t2.

При прямолинейном движении скорость есть производная от пути по времени. Обозначим путь через x, имеем v = hello_html_1c20d917.gif; тогда hello_html_1c20d917.gif = 2t + 3t2. Получили дифференциальное уравнение.

    1. Радиоактивный распад. Опытом установлено, что скорость распада радия в каждый момент времени пропорциональна начальному количеству радия.

Таким образом, если через x(t) обозначить массу вещества, еще не распавшегося к моменту времени t, то скорость распада hello_html_1c20d917.gif удовлетворяет уравнению: hello_html_1c20d917.gif = - kx(t), где k – некоторая положительная постоянная. . Знак минус показывает, что x(t) – убывающая функция, следовательно hello_html_1c20d917.gif< 0.

Уравнение hello_html_1c20d917.gif = - kx(t) называется дифференциальным уравнением радиоактивного распада.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором неизвестной является функция одной или нескольких переменных, причем в уравнение входят производные этой функции.

Если неизвестная функция hello_html_m74888c0a.gif зависит от одной переменной x, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным. Если неизвестная функция hello_html_m621e5380.gif зависит от нескольких переменных hello_html_m9461c63.gif, то уравнение называют уравнением в частных производных.

Замечание Ошибка! Текст указанного стиля в документе отсутствует..1. Уравнения, в которые не входят производные неизвестной функции, называют конечными.

Далее мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения. Такие уравнения можно записать в виде:

hello_html_m48d112e.gif.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок входящей в уравнение высшей производной. Степенью дифференциального уравнения называют степень высшей производной. Например

hello_html_660bf47c.gif

есть уравнение второго порядка первой степени; уравнение

hello_html_m97e2d9f.gif

есть уравнение первого порядка третьей степени; уравнение

hello_html_m7e8b7ee8.gif

является уравнением в частных производных.

Решением дифференциального уравнения называется функция hello_html_m74888c0a.gif, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Например, одним из решений уравнения

hello_html_m22889757.gif

является функция hello_html_m3ec5178.gif. Интегральной кривой дифференциального уравнения называется график его решения. Нахождение решений называют интегрированием дифференциального уравнения.

Уравнение считают проинтегрированным, если его решение найдено в явном виде или же определяется из конечного уравнения. В последнем случае это конечное уравнение называют интегралом дифференциального уравнения.

Уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

hello_html_3f0ca45a.gif.

Мы будем рассматривать только уравнения, разрешимые относительно производной:

(1)

Здесь функция hello_html_me5c9341.gif устанавливает для точки hello_html_md36060c.gif плоскости xOy значение производной hello_html_e56d992.gif – значение соответствующего углового коэффициента касательной к интегральной кривой. Говорят, что уравнение hello_html_m340acf97.gif на плоскости xOy определяет поле направлений. Геометрически задача интегрирования уравнения (1) заключается в нахождении интегральных кривых, направления касательных к которым в каждой точке совпадают с направлением поля. Например, уравнение

hello_html_350b3f81.gif

в каждой (отличной от начала координат) точке hello_html_md36060c.gif определяет угловой коэффициент касательной hello_html_m3e93005e.gif, который совпадает с угловым коэффициентом прямой, проходящей через начало координат и точку hello_html_md36060c.gif. Поэтому интегральными кривыми уравнения будут всевозможные прямые, проходящие через начало координат.

Справедлива теорема существования и единственности (теорема Коши).1. если в уравнении (1) функция hello_html_me5c9341.gifи ее частная производная hello_html_343c53f0.gifнепрерывны в некоторой окрестности точки hello_html_7facb8a9.gif, то в этой окрестности существует единственное решение hello_html_m17697358.gifуравнения (1), удовлетворяющее начальному условию

(2)

Если для точки hello_html_53418ba7.gif выполнены условия теоремы, то через эту точку проходит единственная интегральная кривая hello_html_m17697358.gif. Если для точки hello_html_53418ba7.gif условия теоремы нарушены, то эту точку называют особой. В такой точке может нарушаться единственность решения или же решения может не быть вовсе; в первом случае через точку проходит несколько различных интегральных кривых, во втором – не проходит ни одна. Особые точки могут быть изолированы или же могут заполнять особые линии. Например, для дифференциального уравнения

hello_html_m7281b854.gif

ось ординат является особой линией (через точки этой линии не проходит ни одна интегральная кривая).

Задачу отыскания решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию (2), называют задачей Коши.

Дифференциальное уравнение (в предположении о выполнении условий теоремы существования и единственности) имеет бесконечное множество решений, которые удовлетворяют различным начальным условиям (существует бесконечно много интегральных кривых, которые проходят через различные точки).

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называют функциюhello_html_5683db17.gif, которая зависит от одной произвольной постоянной C и удовлетворяет двум условиям:

– является решением уравнения (1) при любом значении постоянной C;

– каково бы ни было начальное условие (2), можно найти такое значение постоянной hello_html_m325e488d.gif, что решение hello_html_46d8b86a.gif удовлетворяет уравнению (1).

Если общее решение

hello_html_m48d09b95.gif

получено в неявной форме, то его называют общим интегралом уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение

hello_html_46d8b86a.gif,

удовлетворяющее заданному начальному условию. Частное решение может быть получено из общего выбором соответствующего значения C0 постоянной C.

Частное решение, полученное в неявной форме hello_html_m18182bd6.gif, называют частным интегралом.

Может оказаться, что функция hello_html_508ad989.gif является частным решением уравнения, однако не может быть получена из общего решения ни при каком выборе постоянной C. В этом случае функцию hello_html_508ad989.gif называют особым решением.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Если для нахождения решения (или интеграла) дифференциального уравнения достаточно найти первообразные, то говорят, что дифференциальное уравнение приведено к квадратуре. Приведение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка к квадратуре называют разделением переменных.

Примером уравнения, приведенного к квадратуре, является уравнение


Его частное решение, удовлетворяющее начальному условию hello_html_m75f48c4.gif, имеет вид

hello_html_74a636d1.gif,

или

hello_html_m40625eaf.gif,

где hello_html_2db1fa63.gif – какая-либо первообразная функции hello_html_ca6c0db.gif. В справедливости последних соотношений можно убедиться, дифференцируя обе части по переменной x.

Если уравнение первого порядка имеет вид

(3)

то говорят, что переменные в уравнении разделены; уравнение (3) называют с разделенными переменными. Это уравнение можно рассматривать как равенство двух дифференциалов. Неопределенные интегралы от них будут отличаться только постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть по переменной x, а правую – по переменной y, получим:

(4)

Последнее соотношение является конечным уравнением, связывающим независимую переменную, искомую функцию и произвольную постоянную. Поэтому (4) является общим интегралом уравнения (3).

Например, для разделения переменных в уравнении

hello_html_40dec4f7.gif

достаточно умножить обе части на dx:

hello_html_3acd9833.gif.

Поэтому общее решение имеет вид

hello_html_795fe9ed.gif.

Нетрудно получить частное решение, удовлетворяющее условию hello_html_m75f48c4.gif:

hello_html_m4a6f3cd7.gif,

откуда

hello_html_740f5183.gif,

hello_html_m40625eaf.gif,

что совпадает с результатом, полученным выше по формуле Ньютона-Лейбница.

Если уравнение имеет вид

hello_html_5b94cd93.gif,

причем hello_html_m7a428200.gif, то его называют уравнением с разделяющимися переменными. Это уравнение можно привести к виду

hello_html_6d2476e3.gif.

Например, в уравнении

hello_html_350b3f81.gif

для разделения переменных достаточно умножить обе части на hello_html_m1ccf54b9.gif:

hello_html_1c38ec0e.gif,

откуда

hello_html_m239a412b.gif, hello_html_28496f7d.gif,

hello_html_m7022cdc2.gif;

функция hello_html_m7022cdc2.gif является общим решением.

Одним из важнейших вопросов теории дифференциальных уравнений является вопрос о классах уравнений, приводящихся к квадратурам. Среди уравнений первого порядка к квадратурам приводятся, в частности, однородные уравнения, уравнения в полных дифференциалах и линейные уравнения.

Однородные уравнения

Уравнение

hello_html_69d79e4e.gif

называется однородным, если его правая часть является однородной функцией нулевой степени:

hello_html_6bbb8ce2.gif.

Однородные уравнения интегрируются заменой

hello_html_1130fc0.gif, hello_html_672946d6.gif, hello_html_15e14cc.gif.

Пример. hello_html_m77bbd82f.gif. Это уравнение – однородное; в этом можно убедиться, разрешая его относительно производной:

hello_html_680e7ad1.gif,

hello_html_m2cb5053c.gif.

Полагая hello_html_m1ae52158.gif, получим

hello_html_331aec70.gif, hello_html_1a1843ff.gif, hello_html_m30d30d39.gif;

hello_html_2e3f9635.gif, hello_html_5bb2516.gif,

hello_html_m4684b6d4.gif, hello_html_m7e656050.gif.

Пусть требуется проинтегрировать уравнение

(5)

Если hello_html_m843db72.gif, то уравнение (5) – однородное. Пусть c и c1 одновременно не равны нулю. Выполним линейную замену

hello_html_40715f1e.gif, hello_html_m64287a5b.gif,

так, чтобы в новых переменных уравнение стало однородным. Имеем:

hello_html_m3f03e9bd.gif,

hello_html_m1876f4d2.gif,

hello_html_6bd1ae49.gif.

Достаточно выбрать и так, чтобы суммы в скобках обратились в ноль:

hello_html_788d5207.gif.

Если основной определитель последней системы отличен от нуля, то и определяются единственным образом. Если он равен нулю, то

hello_html_37c7e832.gif, hello_html_m2f6a4ca2.gif, hello_html_m173fd7c.gif,

поэтому уравнение (5) имеет вид

hello_html_m1ddd1845.gif.

Для разделения переменных следует выполнить замену hello_html_73b6f14b.gif.

Уравнение в полных дифференциалах.

Пусть требуется проинтегрировать уравнение

(6)

причем для функций hello_html_m6292ea5f.gif и hello_html_3e84ce5e.gif выполнено

hello_html_m522082f0.gif.

В этом случае правая часть (6) является полным дифференциалом некоторой функции hello_html_3796c346.gif; уравнение (6) называют уравнением в полных дифференциалах.

Пусть функция hello_html_m2548b30b.gif обращает конечное уравнение

(7)

в тождество. Вычисляя дифференциалы обеих частей (7), получим

hello_html_1a54f800.gif.

Следовательно, (7) является общим интегралом уравнения (6). Интегральными кривыми уравнения являются линии

hello_html_m1b4b5ad6.gif,

на которых функция hello_html_63f814f7.gif сохраняет постоянное значение.

Так как

hello_html_md49b078.gif,

то входящие в уравнение (6) функции hello_html_m6292ea5f.gif и hello_html_3e84ce5e.gif должны быть соответствующими частными производными:

hello_html_2296d3b0.gif, hello_html_63dbe07d.gif.

Интегрируя первое из этих равенств по переменной x, получим

hello_html_m48f626e4.gif,

где hello_html_603e2b7e.gif – произвольная функция, не зависящая от x. Для нахождения этой функции продифференцируем последнее соотношение по переменной y:

hello_html_3d36a817.gif,

hello_html_me249c0d.gif.

Любое частное решение полученного дифференциального уравнения будет искомой функцией hello_html_603e2b7e.gif (сохранять произвольную постоянную нет необходимости, так как она не оказывает влияния на вид общего интеграла исходного уравнения).

Пример. hello_html_m5d366fe8.gif. Для функций hello_html_28c5f7d2.gif и hello_html_1cf344b0.gif выполнено условие

hello_html_m522082f0.gif

(обе производные равны нулю), поэтому данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Имеем:

hello_html_m68fcb446.gif,

hello_html_70b59e39.gif, hello_html_m35511ea3.gif, hello_html_308293de.gif, hello_html_m15474492.gif,

hello_html_m41760585.gif.

Общий интеграл уравнения имеет вид

hello_html_m718358b.gif, или hello_html_m5bc377bd.gif.

Заметим, что в данном примере уравнение можно решить, разделив переменные:

hello_html_72f94b58.gif, hello_html_mb0f4900.gif, hello_html_m12f25293.gif,

что совпадает с полученным выше результатом.

Может оказаться, что уравнение

hello_html_2932df99.gif

не является уравнением в полных дифференциалах, однако становится им после умножения обеих частей на некоторую функцию hello_html_6d058bd8.gif. В этом случае последнюю функцию называют интегрирующим множителем. Поиск интегрирующего множителя является задачей не менее сложной, нежели интегрирование исходного уравнения.

Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной:

(8)

Если hello_html_68e5fe56.gif, то уравнение называют однородным; в противном случае его называют неоднородным.

Линейные однородные уравнения допускают разделение переменных:

hello_html_3a6861ee.gif, hello_html_m78f135d2.gif, hello_html_m70172d82.gif,

где hello_html_2ce0ee5a.gif – какая-либо первообразная функции hello_html_m3d6a4580.gif.

Линейные неоднородные уравнения обычно интегрируются методом Бернулли. Решение ищется в виде

hello_html_m4e27d3d0.gif,

тогда

hello_html_ef13e0d.gif, hello_html_m4de72472.gif, hello_html_482e8e6b.gif.

Функцию hello_html_m2cf7b6cd.gif можно выбрать так, чтобы сумма в скобках обратилась в ноль:

hello_html_m2f9aab4f.gif, hello_html_579cdbf9.gif, hello_html_408e4bf5.gif, hello_html_23de7213.gif.

Постоянная C1 может иметь любое отличное от нуля значение; полагая C1=1, получим

hello_html_6d5fcea6.gif.

Исходное уравнение примет вид

hello_html_33bf1fc5.gif.

Разделяя в нем переменные, интегрируя и возвращаясь к исходной переменной, найдем решение.

Пример. hello_html_c67dd99.gif. Пусть hello_html_m4e27d3d0.gif, тогда

hello_html_101a7c44.gif, hello_html_m40d8e5ee.gif.

Пусть функция hello_html_m2cf7b6cd.gif такова, что сумма в скобках обращается в ноль. Одним из решений уравнения hello_html_33f9f5f8.gif является функция hello_html_16513f25.gif. Подставляя ее в уравнение hello_html_m21eede18.gif, получим

hello_html_3cc3c7c2.gif, hello_html_53084585.gif, hello_html_mcd6f302.gif.

Окончательно:

hello_html_m3a0810bc.gif.

Решение неоднородного уравнения можно выполнить иначе – используя метод вариации постоянной. Пусть общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

hello_html_m7b29294d.gif.

Далее следует, считая C неизвестной функцией от x, подставить это решение в исходное неоднородное уравнение.

Для приведенного примера: hello_html_4024a520.gif, hello_html_69d28680.gif. Полагая hello_html_m3a472b9d.gif и подставляя функцию hello_html_m69b535b.gif в исходное уравнение, получим

hello_html_701b6ac4.gif, hello_html_24d42312.gif, hello_html_66a7dfd8.gif, hello_html_m3a0810bc.gif.

Уравнением Бернулли называется уравнение

(9)

Это уравнение также интегрируется заменой hello_html_m4ecb987.gif.

Уравнения Лагранжа и Клеро

Уравнением Лагранжа называется обыкновенное дифференциальное уравнение

(10)

не разрешенное относительно производной, но линейное относительно независимой переменной и искомой функции. Уравнение Лагранжа разрешимо в квадратурах методом введения параметра. Пусть (10) приводимо к виду

hello_html_m27c06953.gif.

Полагая hello_html_m30744713.gif и дифференцируя обе части по переменной x, получим:

hello_html_6317730d.gif,

hello_html_ce9739e.gif,

hello_html_34ee8a8a.gif,

hello_html_7858a3b.gif,

hello_html_m64bb8cd1.gif

Последнее уравнение является линейным относительно функции hello_html_m3c98e222.gif.

Частным случаем уравнения Лагранжа является уравнение Клеро:

(11)

К этому уравнению приводят многие геометрические задачи, в которых требуется определить кривую по данному свойству ее касательных.

Уравнения, допускающие понижение порядка

Пусть требуется найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка

(12)

Искомое решение является функцией

hello_html_2037bda0.gif,

зависящей от двух произвольных постоянных.

Если уравнение (12) не содержит искомой функции, то понизить порядок уравнения можно заменой

hello_html_m5f621d4d.gif, hello_html_62cea211.gif.

Например, пусть требуется решить уравнение hello_html_m4efb8c85.gif. Выполняя замену hello_html_m4c336bdf.gif, hello_html_m7e1db1f8.gif, получим

hello_html_m4c8bbec.gif, hello_html_211507c9.gif, hello_html_m1db0ca9c.gif, hello_html_m233f2873.gif.

Возвращаясь к искомой функции, будем иметь

hello_html_732a042.gif, hello_html_537c652f.gif.

Если уравнение не содержит независимой переменной, то понизить порядок можно заменой

hello_html_m5f621d4d.gif, hello_html_1c944552.gif.

Пример: hello_html_1c9b9744.gif. Выполняя замену hello_html_m4c336bdf.gif, hello_html_38f61b59.gif, получим

hello_html_m48dd81cc.gif.

Одним из решений этого уравнения является функция hello_html_m5531d78a.gif. Пусть hello_html_m42bea1f4.gif:

hello_html_153f1839.gif, hello_html_5dec3405.gif.

Полученное решение включает функцию hello_html_m5531d78a.gif в качестве частного случая (соответствует значению hello_html_716e17b1.gif), поэтому отдельно рассматривать решение hello_html_m5531d78a.gif не нужно. Возвращаясь к искомой функции, получим

hello_html_m605902b9.gif, hello_html_m74283ce0.gif, hello_html_m7b020f21.gif, hello_html_3bff692e.gif.

Аналогично понижается степень в уравнениях вида

hello_html_70de7250.gif.

Пример: hello_html_m34de43fc.gif. Первоначально выполним замену hello_html_bbff151.gif, hello_html_304704a9.gif. Получим

hello_html_38a83182.gif.

Положим далее hello_html_md9c9c0a.gif, hello_html_m4355f785.gif, тогда

hello_html_mcce9518.gif, hello_html_4d3f3bde.gif, hello_html_37c3cb58.gif, hello_html_maffa32d.gif,

hello_html_m656a8ef2.gif, hello_html_m179d30.gif, hello_html_m52e0d80e.gif,

hello_html_m4ac6984b.gif,

откуда

hello_html_m550d3e39.gif,

hello_html_7b3b85ec.gif.

Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называют уравнение

(13)

в котором hello_html_m67f4cd46.gif и hello_html_m5b904bfe.gif являются константами.

Если правая часть (13) равна нулю, то уравнение называют однородным; в противном случае его называют неоднородным.

Для нахождения общего решения однородного уравнения

(14)

следует найти два решения hello_html_2c6ecf92.gif и hello_html_m4d107a39.gif, для которых определитель Вронского

hello_html_m7f9ea9ac.gif;

такие решения называют линейно независимыми. Тогда линейная комбинация

hello_html_6c197315.gif

будет искомым общим решением.

Решения y1, y2 следует искать в виде

hello_html_66deea55.gif.

Дифференцируя и подставляя в (*), получим:

hello_html_m1623f756.gif; hello_html_m3714a1b6.gif; hello_html_m35718ef4.gif.

В силу hello_html_m5fe8b6b1.gif:

(15)

Полученное уравнение называется характеристическим.

Если характеристическое уравнение имеет два действительных различных корня k1 и k2, то искомая пара линейно независимых решений:

hello_html_7cc393aa.gif, hello_html_m367b6ba8.gif.

Общее решение:

hello_html_m2c49b4cd.gif.

Если уравнение (15) имеет два комплексно-сопряженных корня

hello_html_485b8371.gif, hello_html_m35bfe7ea.gif,

то искомая пара линейно независимых решений:

hello_html_1513f82c.gif, hello_html_6c30a27.gif.

Общее решение:

hello_html_5ac9b19.gif.

Если характеристическое уравнение имеет один двукратный корень

hello_html_m19af26d4.gif,

то искомая пара линейно независимых решений

hello_html_e793e78.gif, hello_html_2e9ac436.gif.

Поэтому общее решение

hello_html_65280cad.gif.

Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольных постоянных, однако для некоторых частных видов правой части это удается сделать, не прибегая к интегрированию. Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

hello_html_2bee005c.gif,

где y0 – решение соответствующего однородного уравнения, yr – какое-либо частное решение неоднородного уравнения.

Пусть правая часть является многочленом n-й степени:

hello_html_m382c36e8.gif, hello_html_m65cd1847.gif.

Если не корнем (c), то частное решение ищется в виде

hello_html_59e4f663.gif.

Дифференцируя yr и подставляя результат в (a), получим:

hello_html_34516e3d.gif,

hello_html_63e5b621.gif,

(16)

Так как не является корнем характеристического уравнения, то третье слагаемое в левой части отлично от нуля. Поэтому обе части (16) есть многочлены n-й степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему уравнений, откуда и определим все A1A2, ... An. Общее решение будет иметь вид:

hello_html_m2ae23b81.gif.

Пусть a является корнем (возможно, двукратным) характеристического уравнения. Тогда левая часть (16) есть многочлен степени ниже n. Следовательно, уравнение (16) ни при каком Qn не будет тождеством. В этом случае решение yr ищется в виде

a) hello_html_m2caa503c.gif – если a является одним из корней;

b) hello_html_m2bdf75ca.gif – если a является двукратным корнем.

Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид:

hello_html_512f8817.gif,

где hello_html_4236f146.gif и hello_html_a9dada2.gif – многочлены.

Если число hello_html_1e48bf2d.gif не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде

hello_html_42ff8ff0.gif, где hello_html_m4177b90b.gif,

в противном случае оно ищется в виде

hello_html_m1e24231f.gif.


  1. Закрепление изученного материала.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение hello_html_22e88b7e.png

        1. В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение hello_html_m4a46a929.png, которое многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным. В диффурах рулит именно оно!

Итак:
hello_html_mbc0a423.png

        1. На втором шаге смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п.

Дифференциалы hello_html_m698e9b6f.png и hello_html_m75812b69.png – это полноправные множители и активные участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:
hello_html_m23ced6c4.png

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

        1. Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:
          hello_html_3ca75c56.png

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные:
hello_html_513617b.png
Как мы помним, к любой 
первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу hello_html_40ce398e.png достаточно записать один раз (т.к. константа + константа всё равно равна другой константе). В большинстве случаев её помещают в правую часть.

Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде.  Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть, hello_html_513617b.png – это общий интеграл.

Ответ в такой форме вполне приемлем, но нет ли варианта получше? Давайте попытаемся получить общее решение.

Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) тоже целесообразно записать под логарифмом.

То есть, ВМЕСТО записи hello_html_513617b.png обычно пишут hello_html_39653ecf.png.

Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем свойство логарифмов hello_html_438d597b.png. В данном случае:
hello_html_m24703e61.png

Теперь логарифмы и модули можно убрать:
hello_html_1b152f46.png

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Ответ: общее решение: hello_html_6b9a26dd.png

Ответы многих дифференциальных уравнений довольно легко проверить. В нашем случае это делается совсем просто, берём найденное решение hello_html_1b152f46.png и дифференцируем его:
hello_html_m63921506.png

После чего подставляем hello_html_1b152f46.png и производную hello_html_m1985b44b.png в исходное уравнение hello_html_22e88b7e.png:
hello_html_m545fae36.png
hello_html_3008ed5.png – получено верное равенство, значит, общее решение hello_html_1b152f46.png удовлетворяет уравнению hello_html_22e88b7e.png, что и требовалось проверить.

Придавая константе hello_html_40ce398e.png различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения. Ясно, что любая из функций hello_html_3ae17c09.pnghello_html_m5def7997.pnghello_html_40e1540d.png и т.д. удовлетворяет дифференциальному уравнению hello_html_22e88b7e.png.

Иногда общее решение называют семейством функций. В данном примере общее решение  hello_html_6b9a26dd.png – это семейство линейных функций, а точнее, семейство прямых пропорциональностей.

После обстоятельного разжевывания первого примера уместно ответить на несколько наивных вопросов о дифференциальных уравнениях:

1) В этом примере нам удалось разделить переменные. Всегда ли это можно сделать? Нет, не всегда. И даже чаще переменные разделить нельзя. Например, в однородных уравнениях первого порядка, необходимо сначала провести замену. В других типах уравнений, например, в линейном неоднородном уравнении первого порядка, нужно использовать различные приёмы и методы для нахождения общего решения. Уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассматриваем на первом уроке – простейший тип дифференциальных уравнений.

2) Всегда ли можно проинтегрировать дифференциальное уравнение? Нет, не всегда. Очень легко придумать «навороченное» уравнение, которое не проинтегрировать,  кроме того, существуют неберущиеся  интегралы. Но подобные ДУ можно решить приближенно с помощью специальных методов.

3) В данном примере мы получили решение в виде общего интеграла hello_html_39653ecf.png. Всегда ли можно из общего интеграла найти общее решение, то есть, выразить «игрек» в явном виде? Нет не всегда. Например: hello_html_m3102d4e7.png. Ну и как тут выразить «игрек»?! В таких случаях ответ следует записать в виде общего интеграла. Кроме того, иногда общее решение найти можно, но оно записывается настолько громоздко и коряво, что уж лучше оставить ответ в виде общего интеграла

Пример 2

Найти частное решение дифференциального уравнения hello_html_m751295db.png, удовлетворяющее начальному условию hello_html_2cce728e.png

Решение: по условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданному начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не должно смущать, главное, в нём есть первая производная.

Переписываем производную в нужном виде:
hello_html_1d67bc3.png

Очевидно, что переменные можно разделить:
hello_html_m4de7758a.png

Интегрируем уравнение:
hello_html_50a7932e.png
hello_html_27a7c625.png

Общий интеграл получен. Здесь константу я нарисовала с надстрочной звездочкой, дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу.

Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить «игрек» в явном виде). Вспоминаем старое, доброе, школьное: hello_html_m27a503e9.png. В данном случае:
hello_html_5c3964b3.png

Константа в показателе смотрится как-то некошерно, поэтому её обычно спускают с небес на землю. Если подробно, то происходит это так. Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом:
hello_html_2a8314df.png

Если hello_html_m7ac685a5.png – это константа, то hello_html_m2c0378de.png – тоже некоторая константа, переообозначим её буквой hello_html_40ce398e.png:
hello_html_5b9744ef.png
Запомните «снос» константы – это 
второй технический приём, который часто используют в ходе решения дифференциальных уравнений.

Итак, общее решение: hello_html_mbdb3237.png. Такое вот симпатичное семейство экспоненциальных функций.

На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию hello_html_2cce728e.png. Это тоже просто.

В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы hello_html_40ce398e.png, чтобы выполнялось условие hello_html_2cce728e.png.

Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:
hello_html_m1cf44ee3.png
hello_html_m98c72e8.png
hello_html_7beca670.png
То есть, hello_html_m3d717cac.png

Стандартная версия оформления:
hello_html_mb89e930.png

Теперь в общее решение hello_html_5b9744ef.png подставляем найденное значение константы hello_html_m3d717cac.png:
hello_html_f57a9cd.png – это и есть нужное нам частное решение.

Ответ: частное решение: hello_html_f57a9cd.png

Выполним проверку. Проверка частного решение включает в себя два этапа:

Сначала необходимо проверить, а действительно ли найденное частное решение hello_html_f57a9cd.pngудовлетворяет начальному условию hello_html_2cce728e.png? Вместо «икса» подставляем ноль и смотрим, что получится:
hello_html_m3c370763.png – да, действительно получена двойка, значит, начальное условие выполняется.

Второй этап уже знаком. Берём полученное частное решение hello_html_f57a9cd.png и находим производную:
<