Развивающие задачи на уроке математики

Развивающие задачи на уроках математики

1.Три девочки на вопрос, по сколько им лет, ответили:

Маша. Мне вместе с Наташей 21 год.

Наташа. Я моложе Тамары на 4 года.

Тамара. Нам трём вместе 34 года.

Сколько лет каждой из девочек?

Решение. Тамаре: 34-21=13(лет), Наташе: 13-4=9(лет), Маше: 21-9=12(лет)

2.Андрей и Сергей – братья. Вместе им 11 лет. Лена и Вера – их сёстры. Им вместе 15 лет. Сергей старше Лены на 1 год, а вместе им 13 лет. Определите, сколько лет каждому.

Решение. 13-1=12(лет), 12:2=6(лет) Лене, 13-6=7(лет) Сергею, 11-7=4(года) Андрею, 15-6=9(лет) Вере.

3.Люда и Надя купили в буфете по булке, а Лена забыла взять с собой деньги, чтобы купить булку. Тогда Люда и Надя дали Лене по ½ булки. Кому больше досталось булки?

Ответ: Люде и Наде досталось по ½ булки, а Лене 2 половинки, т.е. целая булка.

4.Сколько сейчас времени, если:

А) От начала суток минутная стрелка сделала 6 полных оборотов?

Б) От начала суток прошло столько часов, сколько осталось до конца суток?

В) Часовая стрелка стоит между 6 и 7, а минутная – на 6?

Ответ: А) 6 часов утра. Б) 12 часов дня. В) 6ч 30 мин утра или вечера.

5.Саша выполнял рисунок в течение 3 часов. За это время он сосчитал, что стенные часы пробили всего 15 раз. Каждый раз часы делают столько ударов, сколько часов они показывают. С какого и по какой час Саша был занят рисованием?

Решение. Если мальчик сел после 12 часов, то было бы 6 ударов. Но ударов было на 15-6=9 больше, следовательно, к каждому часу предполагаемого времени надо прибавить 9:3=3. Саша сел рисовать до 1+3=4 ч. Он услышал удары 4, 5, 6, а всего: 4+5+6=15.

6.Около 5 замков лежат 5 ключей. Известно, что к каждому замку подходит только один из этих ключей. Чтобы открыть первый замок, надо (в худшем случае) перебрать все 5 ключей. Сколько различных проб (в худшем случае) надо сделать, чтобы подобрать ключи к каждому замку?

Ответ: 4+3+2+1=10(проб).

7.Ученик записал три рядом стоящих числа. Когда он сложил два крайних числа и их сумму разделил на 2, то получил 15. Какие три числа он записал?

Ответ: 14, 15, 16.

8.Два брата пошли в школу. Когда они прошли 350 м, то старший брат вспомнил, что забыл дома карандаши, и вернулся домой, а младший продолжал свой путь. Старший брат взял карандаши и сразу же пошёл догонять брата. Когда он снова подошёл к тому месту, где оставил брата, тот уже входил в школу. На каком расстоянии от дома находится школа? Скорость передвижения братьев на всём пути была одинакова.

Решение. 1).350+350=700(м) – это лишний путь старшего брата. Этот путь равен расстоянию от школы до того места, где братья расстались. 2).700+350=1050(м) – всё расстояние от школы до дома.

9.Для нумерации страниц в книге потребовалось 187 цифр. Сколько страниц в этой книге?

Решение. Так как на нумерацию страниц с 1 по 9 надо 9 цифр, а затем (187 – 9):2=89 страниц можно ещё пронумеровать, 89+9=98 страниц в этой книге.

10.Решив позавтракать, Витя и Миша сосчитали свои деньги. У Вити было 25 рублей, а у Миши – 35 рублей. На все свои деньги они купили фрукты. Тут к ним подошёл Володя и попросил принять его в компанию. Мальчики разделили всё на троих поровну, и каждый съел свою долю. Володя, не желая оставаться в долгу у товарищей, отдал им за свой завтрак 20 рублей. Сколько из них он отдал Вите и сколько Мише, чтобы никого не обидеть?

Ответ: Мише – 15 р., Вите – 5 р., так как (25+35):3=20, 25-20=5, 35-20=15.

11.Мама купила 2 кг яблок. К обеду она взяла из них половину, и Катя взяла ещё одно яблоко. Вечером мама взяла половину оставшихся яблок, и Петя взял ещё 2 яблока для себя и сестры. После этого осталось только 2 яблока. Сколько яблок было в двух килограммах?

Решение. Осталось 2 яблока. К ним прибавим ещё 2 яблока, взятых Петей: 2+2=4. 4 яблока составили 1/2 яблок, оставшихся к вечеру, т.е. к вечеру оставили 4∙2=8. Прибавим к ним 1 яблоко, взятое Катей: 8+1=9. 9 яблок составили ½ всех яблок, купленных мамой. 9∙2=18 яблок в двух килограммах.

12.Два брата собирали грибы. У них не было корзинки, поэтому они нанизывали грибы на веточки с сучком внизу. На одну ветку они нанизали 15 грибов, на другую – 27, на третью – 18 и на четвёртую – 12. По дороге домой он повстречали сестру, которая попросила их поделиться грибами. Братья отдали ей веточку с грибами, и тогда у каждого из братьев осталось по одинаковому числу грибов. Как они поделили грибы, не снимая их с веточек?

Решение. 15+27+18+12=72 гриба собрали братья. 72:2=36. У каждого брата можно взять по 1,2,3 и т.д. грибов, а сестра получила бы 2,4,6 и т.д., т.е. чётное число грибов, следовательно, она могла взять связку только с чётным числом грибов – либо 12, либо 18. Если сестра взяла 12 грибов, то оставшиеся грибы братья не могли распределить поровну, значит, они отдали сестре 18 грибов, и тогда 27=15+12 – они оставили себе по 27 грибов.

13.На площадке играли 7 девочек и 2 мальчика. Сумма лет всех играющих составляла 80 лет. Все девочки были одногодки. Одинакового возраста были и мальчики. Когда в одну группу объединились 5 девочек, а в другую все остальные, то оказалось, что суммы числа лет играющих в одной и другой группах стали равными. Какого возраста были играющие?

Решение.

80:2=40 (лет) – сумма лет 5 девочек.

40:5=8 (лет) – возраст каждой девочки.

8∙7=56 (лет) – сумма лет всех девочек.

80-56=24 (года) – сумма лет 2 мальчиков.

24:2=12 (лет) – возраст каждого мальчика.

14.Велосипедист выехал из дома в 8 часов от километрового указателя с числом 53 км. Привал он сделал в 10 часов утра у километрового столба, на котором указано 79 км. Сколько времени ему потребуется, чтобы проехать оставшиеся 39 км, если он будет ехать с такой же скоростью?

Решение.

79-53=26 (км)

10-8=2 (часа)

26:2=13 (км)

39:13=3 (часа) – потребуется.

15.Валя, Надя, Лена и Ася сорвали 4 различных цветка: колокольчик, ромашку, гвоздику и незабудку. На вопрос, кто какой цветок сорвал, девочки в шутку ответили так, что в каждом ответе была одна часть верна, а другая ложь.

Ответы девочек: «Лена сорвала ромашку, Ася – гвоздику»; «Лена сорвала колокольчик, Надя – ромашку»; «Валя сорвала ромашку, Ася – незабудку». По этим ответам найдите, кто какой цветок сорвал.

Указание. Если Лена сорвала ромашку, то во втором случае она не могла сорвать колокольчик, но тогда Надя не могла сорвать ромашку, т.к. тогда оба ответа будут ложны. Следовательно, Ася сорвала гвоздику, Валя – ромашку, Лена – колокольчик.

16.Маша сказала Тоне: «Дай мне 1 куклу, тогда у меня будет кукол в 2 раза больше, чем у тебя». – «Нет, - ответила Тоня, - лучше ты дай мне 1 куклу, тогда у нас кукол будет поровну». Сколько кукол было у Маши и сколько у Тони?

Решение. Когда Маша отдаст 1 куклу подруге, то у Тони увеличится число кукол по сравнению с Машей на 2 и тогда число кукол у подруг сравняется. Следовательно, у Маши кукол больше, чем у подруги, на 2. Если Маша увеличит число кукол ещё на 1, то разница увеличится ещё на 2, т.е. 2+2=4, и тогда число кукол у Маши станет больше числа кукол у Тони в 2 раза. Значит, у Тони останется 4 куклы. А всего у неё было 4+1=5 кукол. У Маши 5+2=7 кукол было.

17.Два рыбака ловили рыбу. Вместе они поймали всего 28 лещей и окуней. А когда стали делить улов и разложили лещей на две равные кучки, то оказалось, что остался 1 лещ лишний, но зато окуней оказалось столько же, сколько лещей в одной кучке. Сколько лещей и окуней поймали рыбаки?

Указание. Надо отнять от 28 рыб лишнего леща и остаток разделить на 3.

18.Группа велосипедистов после первого дня пути остановилась на ночёвку. На привале один из велосипедистов спросил руководителя: «Сколько километров осталось ещё ехать?» Руководитель ответил: «весь маршрут составляет 160 км. Если мы в течение двух дней будем проезжать столько же, сколько проехали сегодня, то на четвёртый день нам нужно будет проехать 22 км». Сколько километров проехали велосипедисты и сколько им осталось ехать?

Ответ: проехали 46 км, осталось ехать114 км.

19.Когда я начал готовить уроки, минутная стрелка стояла на 12 ч, а закончив подготовку, заметил, что минутная стрелка сделала 5\6 оборота по часовому циферблату. Сколько времени я готовил уроки?

Ответ: 50 минут.

20. «Сколько лет этому дубу?» - спросили у лесника. «А вот сообразите, - ответил лесник. Сложите наибольшее однозначное число, наибольшее двузначное и наибольшее трёхзначное да отнимите наименьшее четырёхзначное число и узнаете, сколько лет дубу». А ты узнал возраст дуба?

Решение. 9+99+999-1000=107 (лет)

21.На двух пасеках по одинаковому количеству ульев. На первой пасеке получили 7946 кг мёда. На второй получили 8631 кг мёда, причём от каждого улья на 5 кг мёда больше чем на первой пасеке. Сколько ульев было на каждой пасеке?

Решение. (8631 – 7946):5=137 ульев.

22.Летела стая журавлей: 1 впереди, 4 позади, 2 позади и 3 впереди, 3 в одном ряду и 3 в другом ряду. Сколько летело журавлей?

Ответ: 5 журавлей летело углом.

23.У мальчика в коллекции есть жуки и пауки – всего 8 штук. Если пересчитать все ноги в коллекции, то их окажется 54. Сколько в коллекции жуков и сколько пауков? (Ты помнишь, что у жука 6 ног, а у паука – 8).

Решение.

6∙8=48 (ног) – столько ног лишних (разница)

54-48=6 (ног)

8-6=2 (ног) – больше у паука.

6:2=3 паука

8-3=5 жуков

24.Рассади 45 кроликов в 9 клеток так, чтобы во всех клетках было разное число кроликов.

Решение.

клетки

1

2

3

4

5

6

7

8

9

кролики

1кр.

2кр.

3кр.

4кр.

5кр.

6кр.

7кр.

8кр.

9кр.

25.Ребята повели на водопой лошадей. Сколько было ребят и сколько лошадей, если при подсчёте оказалось 26 голов и 82 ноги?

Ответ: 11 ребят и 15 лошадей.

26.Во дворе ходят индюки и козочки, у всех вместе 44 ноги и 14 голов. Сколько индюков и козочек ходят во дворе?

Ответ: 8 козочек, 6 индюков.

27.Кусочек сахара весит 8 г. Для всей семьи из пяти человек купили 1 кг сахара. На сколько дней его хватит, если расходовать по 5 кусочков в день на человека?

Ответ: на 5 дней.

28.Ученик купил несколько одинаковых жевательных резинок. Если бы он купил на 3 жевательных резинки больше, то заплатил бы 135 рублей, а если на 4 меньше, то только 30 рублей. Сколько ученик купил жевательных резинок?

Решение.

(135-30):7=15 (р.)

15∙3=45 (р.)

135-45=90 (р.)

90:15=6 (ж.) – купил ученик.

29.Хозяйка развела кур и кроликов. Всего у них 35 голов и 94 ноги. Сколько у хозяйки кур и сколько кроликов?

Решение.

1 способ.

35∙2=70(ног) – могло быть куриных.

94-70=24(ноги) – кроличьих.

4-2=2(ноги) – на столько меньше у кролика.

24:2=12(кроликов)

35-12=23(курицы)

2 способ.

35∙4=140(ног) – могло быть кроличьих.

140-94=46(ног) – куриных.

4-2=2(ноги)

46:2=23(курицы)

35-23=12(кроликов)

30.В саду было 4248 яблонь и груш. На каждые 7 яблонь приходилось 5 груш. Сколько в саду яблонь и сколько груш?

Решение.

7+5=12(д.)

4248:12=354(д.)

354∙7=2478(яблонь)

354∙5=1770(груш)

31.Сплав, известный под названием мельхиора, состоит из меди, цинка и никеля. Медь составляет половину сплава, цинк – половину количества меди, а остальное – никель. Сколько граммов каждого металла содержится в сплаве весом 404 граммов?

Ответ: 101 г – цинка, 101 г – никеля, 202 г – меди.

32.Через кран в бассейн вливается в минуту 30 вёдер воды, а через трубу для стока вытекает 840 вёдер в час. Если работают одновременно кран и сток, то бассейн наполнится за 12 часов. Сколько вёдер воды вмещает бассейн?

Решение.

30∙60=1800(вёдер) – воды вливается за 1 час.

1800-840=560(вёдер) – воды остаётся каждый час.

960∙12=11520(вёдер) – воды вмещает бассейн.

33.У мальчика спросили, сколько лет его отцу. Он ответил так: «Я втрое моложе папы, но зато втрое старше своей сестры, а папе и сестре вместе 50 лет». Сколько лет отцу?

Решение.

3∙3=9(раз) – во столько папа старше дочери.

1+9=10(частей) – составляют 50 лет.

50:10=5(лет) – дочери.

50-5=45(лет) – папе.

34.Собака гонится за кроликом, находящимся от неё в 150 футах (фут – старинная английская мера длины, равная средней длине стопы человека). Она делает прыжок в 9 футов каждый раз, когда кролик делает прыжок в 7 футов. Сколько прыжков должна сделать собака, чтобы догнать кролика?

Решение.

9-7=2(фута) – разница в длине прыжка.

150:2=75 (прыжков) – должна сделать собака.

35.В зале стоит несколько скамеек. Если на каждую скамейку сядут 2 ученика, то 7 учеников останутся без места, если же на каждую скамейку сядут 3 ученика, то 5 скамеек останутся свободными. Узнай число учеников и количество скамеек в зале.

Решение.

Х – количество скамеек.

2∙Х+7=3∙(Х-5). Ответ: 51 ученик, 22 скамейки.

36.Собака увидела зайца в 150 саженях от себя (1 сажень – это старинная русская мера длины, чуть больше 2 метров). Заяц пробегает за 2 минуты 500 саженей, а собак за 5 минут – 1300 саженей. Какое время понадобится собаке, чтобы догнать зайца?

Решение.

500:2=250 саженей/минуту – скорость зайца.

1300:5=260 саженей/минуту – скорость собаки.

260-250=10 саженей – на столько сокращается расстояние между собакой и зайцем в минуту.

150:10=15 минут надо собаке, чтобы догнать зайца.

37.Средний возраст одиннадцати футболистов команды – 22 года. Во время матча один из футболистов был удалён с поля. После этого средний возраст тех, кто остался на поле, стал 21 год. Сколько лет было футболисту, удалённому с поля?

Ответ: 32 года

38.Во дворе находятся куры и поросята. Вместе 5 голов и 14 ног. Сколько во дворе кур и сколько поросят?

Ответ: 3 курицы и 2 поросёнка.

39.Сто орехов разложили на пять кучек. В первой и во второй в сумме – 51 орех, во второй и третьей – 44, в третьей и четвёртой – 31, в четвёртой и пятой – 33. Найди количество орехов в каждой кучке.

Ответ: в первой – 33, во второй – 28, в третьей – 16, в четвёртой – 15, в пятой – 18 орехов.

40.Аня и Вера обошли школьный двор в одном направлении и посчитали деревья, расположенные по периметру двора, но считать начали с разных деревьев. Дерево, которое у Ани, было №18, у Веры оказалось №5, а дерево, которое у Ани было №5, у Веры оказалось №42. Сколько деревьев было вокруг школьного двора?

Ответ: 50 деревьев.

41.Три подружки договорились к праздничному столу купить 12 пирожных. Первая купила 5 пирожных, вторая – 7, третья вместо своей доли пирожных внесла 12 рублей. Как подружкам разделить между собой эти деньги, чтобы всем потратить поровну?

Ответ: первой – 3 рубля, второй – 9 рублей.

42.В шахматном турнире участвовали 7 человек. Каждый с каждым сыграл по одной партии. Сколько всего партий они сыграли?

Решение.

Обозначим участников турнира номерами: 1,2,3,4,5,6,7. Тогда между игроками были сыграны следующие партии:

1 – 2

1 – 3

1 – 4

1 – 5

1 – 6

1 – 7

2 – 3

2 – 4

2 – 5

2 – 6

2 – 7

3 – 4

3 – 5

3 – 6

3 – 7

4 – 5

4 – 6

4 – 7

5 – 6

5 – 7

6 – 7

6 партий

5 партий

4 партии

3 партии

2 партии

1 партия

6+5+4+3+2+1=21(партия) была сыграна.

43.У Паши разорвалась цепочка на 4 части, которые состояли: 1-я из 8 звеньев, 2-я из 6 звеньев, 3-я из 2 звеньев и 4-я из 18 звеньев. Желая их восстановить, он обратился в мастерскую. Мастер согласился отремонтировать цепочку, но предупредил, что за разъём и соединение одного звена мастерская берёт 200 рублей. У Паши было только 500 рублей. Однако он подумал и попросил мастера соединить все 4 куска цепочки, но так, чтобы Паша мог расплатиться за работу своими деньгами. Как должен поступить мастер?

Ответ: разъединить кусок из 2 звеньев и этими звеньями соединить остальные 3 куска цепочки.

44.В одном купе ехали 3 пассажира. Один из них взял в дорогу 3 пакета с продуктами, другой – 4 таких же пакета, а третий купить продуктов не успел. В дороге они объединились и все вместе съели содержимое взятых пакетов. Выходя из вагона, третий пассажир оставил за питание 3 р. 50 коп. По сколько денег должен был получить каждый из двух пассажиров за продукты?

Решение.

Стоимость третьей части пакетов 3 р. 50 коп.

3 р. 50 коп. ∙ 3=10 р. 50 коп. – стоят 7 пакетов.

10 р. 50 коп. :7=1 р. 50 коп. – цена одного пакета.

1 р. 50 коп. ∙ 4=6 р. – заплатил второй пассажир за свои 4 пакета.

6 р. – 3 р. 50 коп.=2 р. 50 коп. – должен забрать второй пассажир.

3 р. 5о коп. – 2 р. 50 коп.=1 рубль заберёт первый пассажир.

45.На две стройки отправили 12 одинаковых ящиков с гвоздями. Когда на обеих стройках израсходовали 120 кг гвоздей, на первой стройке осталось 4 ящика, а на второй 3 ящика. Сколько кг гвоздей осталось на первой стройке и сколько на второй?

Решение.

1) 4 + 3 = 7 (ящ.) осталось на двух стройках.

2) 12 – 7 = 5 (ящ.) израсходовали.

3) 120: 5 = 24 (кг) гвоздей в 1 ящике.

4) 24 ∙ 4 = 96 (кг) гвоздей осталось на первой стройке.

5) 24 ∙ 3 = 72 (кг) гвоздей осталось на второй стройке.

46.Масса ящика с лимонами 25 кг. После продажи половины всех лимонов, ящик поставили на весы. Весы показали 15 кг. Найдите массу пустого ящика.

Решение.

1) 25 – 15 = 10 (кг) продали лимонов, это половина всех лимонов.

2) 10 · 2 = 20 (кг) всех лимонов.

3) 25 – 20 = 5 (кг) масса пустого ящика.

47.У вас есть пятилитровая кастрюля и трехлитровая банка. Как с их помощью налить из водопроводного крана в ведро ровно 4 литра воды?

Решение.

1 способ.

С помощью 3-литровой банки в кастрюлю надо налить 5 литров, тогда в банке останется 1 литр воды (3·2 = 6, 6 – 5 = 1).

1 литр выливаем в ведро. Дальше добавляем 3 литра воды, используя банку (1 + 3 = 4 литра).

2 способ.

Наполнить кастрюлю водой (5 л) и перелить в трехлитровую банку. В кастрюле останется 2 литра (5 – 3 = 2). 2 литра перелить в ведро. Повторить операцию еще раз (5 – 3 = 2). 2 литра добавляем в ведро. В ведре становится 4 литра (2 + 2 = 4 л).

48.Гриша утверждает, что можно съесть 600 г мороженого за 6 мин, а его друг Кирилл говорит, что съест это количество мороженого в 2 раза быстрее. За какое время они могли бы съесть это мороженое вместе?

Решение.

1 способ.

600: 6 = 100 (г/мин) съедает Гриша за 1 минуту.

6: 2 = 3 (мин) за это время может съесть Кирилл.

600: 3 = 200 (г/мин) съест Кирилл за 1 минуту.

100 + 200 = 300 (г/мин) могут съесть оба за 1 минуту.

600: 300 = 2 (мин) за это время смогут съесть 600 г мороженого вместе.

2 способ.

600: 6 = 100 (г/мин) съедает Гриша за 1 минуту.

100 · 2 = 200 (г/мин) съест Кирилл за 1 минуту.

100 + 200 = 300 (г/мин) могут съесть оба за 1 минуту.

600: 300 = 2 (мин) за это время смогут съесть 600 г мороженого вместе.

49.Поросята Ниф-Ниф, Нуф-Нуф и Наф-Наф нарядились в новые курточки жёлтого, сиреневого и оранжевого цвета и надели такого же цвета шапочки. У Ниф-Нифа курточка и шапочка оказались одного цвета, Нуф-Нуф никогда не носит одежду жёлтого цвета, а Наф-Наф надел сиреневую шапочку и курточку другого цвета. Как были одеты поросята?

Ответ:

курточка

шапочка

Ниф-Ниф

жёлтая

жёлтая

Нуф-Нуф

сиреневая

оранжевая

Наф-Наф

оранжевая

сиреневая

50.Длина отрезка 168 см. Он разделён на три отрезка. Второй отрезок в 3 раза длиннее, чем первый, а третий – в 4 раза длиннее, чем первый. Найдите длину каждого отрезка.

Решение.

1+3+4=8(частей) составляют длину всего отрезка.

168:8=21(см) длина первого отрезка.

21·3=63(см) длина второго отрезка.

21·4=84(см) длина третьего отрезка.

51. Часть города состоит из одинаковых кварталов квадратной формы. Нарисуй кратчайший маршрут из пункта А (аптека) в пункт В (вокзал), чтобы в нем было как можно больше поворотов.

Ответ: 2 варианта маршрута.

52. Возраст старика Хоттабыча записывается числом с различными цифрами. Об этом числе известно следующее:

а) если первую и последнюю цифры зачеркнуть, то получится двузначное число, которое при сумме цифр, равной 13, является наибольшим;

б) первая цифра больше последней в 4 раза.

Сколько лет старику Хоттабычу?

Ответ: Старику Хоттабычу 8942 года. Наибольшим двузначным числом с суммой цифр, равной 13, является 94. Пусть последняя цифра 1. Тогда первая цифра 2·4 = 8. Все цифры различны. Итак, получилось число 8942.

53. Сын спросил отца, сколько ему лет. Отец ответил: «Если к половине моих лет прибавить 7, то узнаешь сколько мне было 12 лет назад». Сколько лет отцу?

Ответ: Отцу 38 лет.

7+12=19 (лет) – составляет вторую половину

19·2=38 (лет)

54. Великий русский писатель Л. Н. Толстой прожил 82 года. В XIX веке он прожил на 62 года больше, чем в ХХ веке. В каком году родился и умер Л. Н. Толстой?

Ответ: Л. Н. Толстой родился в 1828 году, а умер в 1910 г.

82-62=20 (лет) – удвоенная часть а.

20:2=10 (лет) – а.

Значит, в ХХ веке Л. Н. Толстой прожил 10 лет, то есть до 1910 года. Найдем продолжительность жизни в XIX веке:

10+62=72 (г.).

Так как в 1 веке – 100 лет, найдем год рождения:

100-72=28 (г). 28 год XIX века – это 1828 г.