Реальная математика. ОГЭ. №16 Бытовые задачи; №19 Вероятность.

Решите самостоятельно.

№4. Вероятность выбрать красную ручку равна 0,35, синюю 0,2, фиолетовую 0,15. Остальные ручки зелёные. Какова вероятность выбрать зелёную ручку? Какова вероятность выбрать синюю или зелёную?

№5. На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Трапеция», равна 0,3. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Углы», равна 0,6. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.

№6. В киоске продаются элементы питания, среди которых с вероятностью 0,05 попадаются разряженные. Какова вероятность купить
а) обе заряженных элемента; б) один заряженный, другой разряженный?

№7. Стрелок 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок а) первый раз попал в мишени, а последние 2 раза промазал; б) первые 2 раза попал в мишень, а последний раз промахнулся.

№8. Стрелок 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,5. Найдите вероятность того, что стрелок первые 3 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.

№9. Стрелок 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелок первые 3 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.

№10. Стрелок 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал в мишени, а последние 3 раза промазал.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№11. Известно, что в некотором регионе вероятность того, что родившийся младенец окажется мальчиком, равна 0,516. В 2005 г. в этом регионе на 1000 родившихся младенцев в среднем приходилось 497 девочек. На сколько частота рождения девочки в 2005 г. в этом регионе отличается от вероятности этого события?

Решение. Вероятность рождения девочек 1 – 0,516 = 0,484. На самом деле девочек родилось 497:1000 = 0,497, т.е. на 0,497 – 0,484 = 0,013 больше, чем предполагалось по статистике.

№12. Вероятность рождения мальчика в регионе равна 0,479. Но в 2005 г. в этом регионе на 1000 родившихся младенцев в среднем приходилось 497 девочек. На сколько частота рождения девочки в 2005 г. в этом регионе отличается от вероятности этого события?

Что такое процент? Как найти процент от числа?

№1. Расходы на одну из статей городского бюджета составляют 6,8%. Выразите эту часть бюджета десятичной дробью.

№2. Расходы на одну из статей городского бюджета составляют 23,8%. Выразите эту часть бюджета десятичной дробью.

№3. Летом число дорожно-транспортных происшествий составило 0,96 от числа ДТП зимой. На сколько процентов снизилось число ДТП летом?

№4. После наценки телевизора его новая цена составила 1,15 старой. На сколько процентов увеличилась цена телевизора в результате наценки.

№5. Число елей в парке относится к числу лип как 1:7. Сколько процентов составляют липы?

№6. Число елей в парке относится к числу лип как 3:5. Сколько процентов составляют липы?

№7. В городе около 70 000 жителей, причём 39% – это пенсионеры. Сколько примерно человек составляет эта категория жителей? Ответ округлите до тысяч.

№8. В городе около 80 000 жителей, причём 36% – это пенсионеры. Сколько примерно человек составляет эта категория жителей? Ответ округлите до тысяч.

№9. Городской бюджет составляет 82 млн. рублей, а расходы на одну из его статей составили 15%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета.

№10. Средний вес мальчиков того же возраста, что и Саша, равен 66 кг. Вес Саши составляет 75% среднего веса. Сколько килограммов весит Саша?

№11. Средний вес мальчиков того же возраста, что и Митя, равен 56 кг. Вес Мити составляет 115% среднего веса. Какова масса Мити?

№12. На счёт в банке, доход по которому составляет 20% годовых, внесли 29 тыс. рублей. Сколько тысяч рублей будет на этом счёте через год.

№13. На счёт в банке, доход по которому составляет 12% годовых, внесли 250 тыс. рублей. Сколько тысяч рублей будет на этом счёте через год.

№14. Плата за телефон составляет 310 рублей в месяц. В следующем году она увеличится на 13%. Сколько рублей придётся платить ежемесячно за телефон в следующем году?

№15. Государству принадлежит 90% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия за год составила 10 млн. рублей. Какая сумма (в рублях) из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?

Решите самостоятельно.

№12. Определите вероятность того, что при однократном бросании кубика выпало число очков, не меньшее 1 (достоверное событие!).

№13. Определите вероятность того, что при однократном бросании кубика выпадет менее 4 очков.

№14. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел чётна.

№15. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел равна 5 или 8.

№16. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел равна 6 или 9.

№17. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно 5.

№18. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, большее 3.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№19. Коля наудачу выбирает двузначное число. Какова вероятность, что число оканчивается цифрой 3?

Решение. Двузначных чисел от 10 до 99 всего 90. Цифрой 3 оканчивается 9 чисел (13; 23; 33; … ; 93). Вероятность 9:90 = 0,1.

№20. Валя выбирает случайное трёхзначное число. Найти вероятность того, что оно делится на 51.

Решение. 1-ый способ (перебором).
Трёхзначных чисел от 100 до 999 всего 900. Числа, делящиеся на 51 выпишем в строчку: 51; 102; 153; 204; … ; 918; 969 – их окажется всего 19, но первое число 51 не трёхзначное. Остаётся 18 благоприятных случаев. Вероятность 18:900 = 2:100 = 0,01.

2-ой способ (с помощью арифметической прогрессии).
Первый член а₁ = 102; последний n-ый член а_n = а₁ + d(n – 1);
а_n = 102 + 51(n – 1) = 102 + 51n – 51 = 51 + 51n; 51 + 51n < 999;
51n < 999 – 51; 51n < 948; n < 18 (ост.38). Значит n = 18.

№21. Коля выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 4.

Решение. Очевидно, что а₁ = 100, d = 4, тогда а_n = а₁ + d(n – 1) =
= 100 + 4(n – 1) = 100 + 4n – 4 = 96 – 4n;  96 + 4n < 999; 4n < 903;
n < 225,75, откуда n = 225. Вероятность 225:900 = 0,25.

Решите самостоятельно.

№22. Женя выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 100.

Разные задачи на проценты

№31. Виктор купил мотоцикл за 15 000 р. Позже ему пришлось продать на 18% дешевле. За сколько рублей Виктор продал мотоцикл?

№32. В связи с ремонтом стадиона число мест уменьшилось на 17%, и их стало 2 988. Сколько мест было на стадионе до ремонта?

№33. Подоходный налог составляет 13% от заработной платы. После удержания подоходного налога рабочий на руки получил 11 310 р. Сколько рублей составляет его зарплата?

№34. После подорожания товара на 30% разница в стоимости составила 57 р. Сколько стоил товар до подорожания.

№35. После подорожания товара на 30% разница в стоимости составила 57 р. Сколько стал стоить товар после подорожания.

№36. Чайник, который стоил 800 рублей, продаётся с 5-процентной скидкой. Покупатель отдал кассиру купюру 1 000 р. Сколько рублей сдачи он должен получить?

№37. Плед, который стоил 400 р., продаётся с 15-процентной скидкой. Покупатель отдал купюру 500 р. Сколько он должен получить сдачи?

№38. Товар на распродаже уценили на 40%, при этом он стал стоить 820 рублей. Сколько стоил товар до распродажи?

Задачи в несколько действий

№39.Магазин детских товаров закупает погремушки по оптовой цене 190 руб. за штуку и продаёт с 15-процентной наценкой. Сколько рублей будут стоить 4 такие погремушки, купленные в магазине?

№40. Магазин детских товаров закупает погремушки по оптовой цене 200 руб. за штуку и продаёт с 40-процентной наценкой. Сколько рублей будут стоить 2 такие погремушки, купленные в магазине?

№41. Стоимость проезда в электричке составляет 100 руб. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей будет стоить проезд для 8 взрослых и 24 школьников?

№42. Стоимость проезда в электричке составляет 198 руб. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей будет стоить проезд для 5 взрослых и 12 школьников?

№43. В период распродажи магазин снижал цены дважды: в первый раз на 15%, во второй раз – на 40%. Сколько рублей стал стоить чайник после второго снижения цен, если до начала распродажи он стоил 1 000 рублей?

№44. В период распродажи магазин снижал цены дважды: в первый раз на 15%, во второй раз – на 40%. Сколько рублей стал стоить чайник после второго снижения цен, если до начала распродажи он стоил 1 000 р.?

№29. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 17 из России, 22 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

№30. Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям в связи с окончанием года, из них 19 с машинами и 6 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 25 детьми, среди которых есть Юра. Найдите вероятность того, что Юре достанется пазл с машиной.

№31. Родительский комитет закупил 10 пазлов для подарков детям в связи с окончанием года, из них 7 с машинами и 3 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 10 детьми, среди которых есть Яша. Найдите вероятность того, что Яше достанется пазл с городом.

№32. Конференция длится три дня. В первый и второй день выступают по 15 докладчиков, в третий день – 20. Какова вероятность того, что доклад профессора М. выпадет на третий день?

№33. В таблице представлены результаты четырёх стрелков, показанные ими на тренировке (две отдельные задачи):

Номер стрелка	№1	№2	№3	№4	Номер стрелка	№1	№2	№3	№4
Число выстрелов	50	40	25	60	Число выстрелов	20	40	45	60
Число попаданий	25	23	15	29	Число попаданий	14	27	27	21

Тренер решил послать на соревнования того стрелка, у которого относительная частота попаданий выше. Кого из стрелков выберет тренер?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Монеты и кубики, трёхзначные числа.

№1. Подбрасываем монету 2 раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадет орел?

Решение. После подбрасывания двух монет может получиться один из следующих результатов:

1) PP – оба раза выпала решка; 2) PO – первый раз решка, второй раз орел;

3) OP – первый раз орел, второй раз решка; 4) OO – оба раза выпал орел.

Общее число случаев 4. Благоприятных (ОО) 1. Вероятность 1:4 = 0,25.

Решите самостоятельно.

№2. Подбрасываем монету 2 раза. Какова вероятность того, что орел выпадет 1 раз?

№3. Подбрасываем монету 2 раза. Какова вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

№4. Подбрасываем монету 2 раза. Какова вероятность того, что орел выпадет хотя бы 1 раз (то есть может 1 раз, а может оба раза)?

Задачи на деление на части.

№1. На пост председателя школьного совета претендовали 2 кандидата. В голосовании приняли участие 70 человек. Голоса между кандидатами распределились в отношении 3:7. Сколько голосов получил победитель?

№2. В голосовании за двух кандидатов участвовали 105 человек и их голоса распределились в отношении 2:5. Сколько голосов получил победитель?

№3. Акции предприятия распределены между государством и частными лицами в отношении 3:2. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 63 млн. руб. Какая сумма (в рублях) из этой прибыли достанется частным акционерам?

№4. Расходы на питание в зоопарке между хищниками и травоядными распределились в отношении 2:3 и всего составили 39 млн. руб. Сколько рублей ушло на питание хищников?

№5. Площадь поля 49 га распределена между картофелем и пшеницей в отношении 2:5. Сколько гектаров занимает пшеница?

№6. В школе 27 выпускников, из которых третья часть собирается посту-

№10. В магазин привезли торты, из которых в первый день продали три седьмых от общего числа тортов. На другой день осталось 20 тортов. Сколько всего тортов привезли в магазин?

Внимание! Приведите дроби к одинаковому основанию 7∙11 = 77.

№8. На столе стоят стаканы с одинаковыми на вид йогуртами: 9 вишнёвых и 6 клубничных. Найти вероятность выбора а) вишнёвого йогурта и б) клубничного йогурта. Выполните проверку сложением вероятностей.

№9. В автопарке 15 жёлтых такси, остальные синие. Какова вероятность того, что к клиенту прибудет синее такси? Всего в автопарке 75 такси.

№10. У бабушки 15 чашек: 6 с красными цветками, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найти вероятность того, это будет чашка с синими цветками.

№11. В коробке лежат одинаковые на вид авторучки: 5 с красной пастой, 7 с зелёной и 8 с синей. Юра наугад выбирает одну авторучку. Найдите вероятность того, что ручка окажется с синей пастой.

№12. В фирме такси имеется 3 «Волги», 5 «Жигулей» и 12 «Фиатов». Какова вероятность того, что к клиенту выехал «Фиат»?

№13. На колесе обозрения тридцать кабинок, их них 3 синие, 15 зелёных, остальные красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки, где люди рассаживаются в порядке живой очереди. Какова вероятность, что вам достанется красная кабина?

№14. В магазине имеется в наличии 150 внешне одинаковых ручек, из них 24 – красные, 36 – зелёные, 60 – фиолетовые, а ещё есть синие и чёрные, их поровну. Найти вероятность выбора ручки с чёрной пастой.

№15. В коробке лежат одинаковые на вид авторучки: 5 с красной пастой, 7 с фиолетовой и 8 с синей. Юра наугад выбирает одну авторучку, лишь бы она была фиолетовой или синей. Найдите вероятность того, что ручка окажется с синей или с фиолетовой пастой.

№16. В магазине имеется в наличии 150 внешне одинаковых ручек, из них 24 – красные, 36 – зелёные, 60 – фиолетовые, а ещё есть синие и чёрные, их поровну. Найти вероятность выбора одной ручки с синей или фиолетовой пастой.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№17. Из 1 000 стержней для ручек в среднем плохо пишут 120 стержней. Найти вероятность того, что попадётся качественный стержень.

№18. Конвейер выпускает печатные платы для стиральных машин, из которых 0,015 уходят в брак. Найти вероятность качественных плат.

№19. Вероятность того, что новая шариковая ручка плохо пишет (или не пишет совсем), равна 0,07. Покупатель выбирает одну шариковую ручку. Найти вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

№20. В каждой 50-ой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Какова вероятность того, что в купленной банке кофе приза не  окажется?

Решение задач на проценты.

1. Процент – это сотая часть, т.е. 1% = 0,01. Например, 5,7% = 0,057; 45% = 0,45; 125% = 1,25. Чтобы процент превратить в десятичную дробь, надо запятую перенести на два знака влево. И наоборот, чтобы десятичную долю превратить в процент, надо запятую перенести на 2 знака вправо. Например, 0,063 = 6,3%; 0,4 = 40%; 1,3 = 130%.

2. Первую (начальную) величину берут за 1 или 100%, а вторую за р%. Например, старая цена была 100% или 1, а новая цена уменьшилась и стала 95% = 0,95. Значит, цена уменьшилась на 1 – 0,95 = 0,05 = 5%.
Наоборот, старая цена была 100% или 1, а новая цена увеличилась и стала 1,05 = 105%. Значит, цена увеличилась на 105% – 100% = 5%.

3. Если дано отношение двух величин, например, 2:3, то можно любую из них выразить в процентах. Для этого всю величину 2х + 3х = 5х примем за 100%. Тогда на х приходится х = 100% : 5 = 20%. Отсюда первая величина 2х = 2∙20% = 40%; 2-ая величина 3х = 2∙30% = 60%.

Задача. Число елей и дубов относятся как 2:3. Сколько процентов дубов?

Пользуясь теорией из пунктов 1–3, решите задачи №1–№6.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. Как найти процент от всей величины? Можно всю величину взять за 100%, а часть от него р% взять за х и решить пропорцией.

Задача. Из 120 посаженных елей принялось 85%. Сколько елей принялось?

Но т.к. эта задача встречается чаще всего, проще запомнить правило.

2 способ. Запомни! Чтобы найти процент от всей величины, надо целое умножить на процент: 120∙85% = 120∙0,85  = 102. (Решите №7–№11)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5. Задача. Вкладчик внёс в банк 120 тыс. руб. под 8% годовых. Сколько рублей вкладчик получит через год?

По действиям. 1) За год вклад увеличится на 120 тыс.руб.∙8% =
120 тыс.руб.∙0,08 = 9,6 тыс.руб.
2) Через год вкладчик получит 120 тыс.р. + 9,6 тыс.р. = 129,6 тыс.руб.

В одно действие: 120 тыс.руб.∙(1 + 0,08) = 120 тыс.руб.∙1,08 = 129,6 т. р.
(Решите №12–№14. Самостоятельно сообразите, как решить №15.)

6. Обратная задача! Цена 120 руб. снизилась на 20%. Найти новую цену. Эту задачу также можно решить по действиям: 120 руб.∙0,2 = 24 руб.; 120 руб. – 24 руб. = 96 руб. Но можно решить и в одно действие:
120 руб.∙(1 – 0,2) = 120 руб.∙0,8 = 96 руб.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Как найти неизвестный процент х %.

7. Задача. В классе 24 ученика, из них 6 отличников. Сколько процентов отличников в классе? Проще всего решить с помощью пропорции:

Но можно запомнить правило: чтобы найти процент, надо ЧАСТЬ

8. Задача. На начало года в школе было 1 250 учащихся, к концу года стало 1500 учеников. На сколько процентов увеличилось число уч-ся?

Решим задачу по действиям: 1) 1 500 – 1250 = 250 учащихся прибыло.

9. Обратная задача. Цена товара была 15 руб. Продали со скидкой по новой цене 13 руб. 80 коп. Сколько процентов скидка?

По действиям: 1) 15 руб.  – 13,8 руб. = 1,2 руб.

(Решите №16–№24)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

10. Особенно осторожным надо быть при решении №25 и №26.
В задаче №25 сказано „клубника дешевле малины“, значит, сравнивать надо с малиной и малину надо брать за 100%.
В задаче №26 сказано „клюква дороже клубники“, значит, сравнивать надо с клубникой и клубнику брать за 100%.

Задача. Цена вишни 120 руб., цена черешни 150 руб. Тогда черешня дороже вишни на (150 – 120):120 = 0,25 = 25%. Вишня дешевле черешни на (150 – 120):150 = 0,2 = 20%. Как видим: не одно и то же!

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

11. Очень коварна задача №28. Решим обратную задачу. Возьмём цену 100 руб. Сперва повысим  на 20%: цена станет 100 руб.∙1,2 = 120 руб. Теперь понизим новую цену 120 руб. на 20%. Получим окончательную цену: 120 руб.∙(1 – 0,2) = 120 руб.∙0,8 = 96 руб., а не снова 100 руб.!
В итоге цена уменьшится на 4 руб., т.е. уменьшится на 4%.

(Решите №28. Для тренировки решите №29 и №30, аналогичные №5.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

В остальных задачах №31 – №53 ничего нового в теории процентов нет!

Модуль Реальная математика.  19. Задачи на вероятность

1. Что такое вероятность.

Вероятность события измеряется числом от 0 до 1. Вероятность невозможного события равна 0, а вероятность достоверного  события равна 1.

Для примера возьмём мешочек с одинаковыми шарами, но разного цвета, в котором 3 красных шара и 7 синих, т.е. всего 10 шаров. Будем не глядя, случайным образом, вытаскивать шары. Вероятность вытащить красный шар будет равна 0,3, а вероятность вытащить синий шар будет равна 0,7. Вытащить любой шар – это достоверное событие, его вероятность равна 0,3 + 0,7 = 1. Вероятность вытащить зелёный шар равна 0 – это невозможное событие, т.к. зелёных шаров в мешке не было.

Пусть нам надо вытащить красный шар, тогда 3 случая для нас будут благоприятными, а 7 случаев – неблагоприятными. Всего 10 случаев. Значит, чтобы вычислить вероятность события „вытащить красный шар“, надо число благоприятных событий 3 поделить на общее число событий 10.

№1. На экзамене 25 билетов. Коля не выучил 5 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение. Общее число случаев 25. Нужно найти вероятность события „вытащить выученный билет“. Значит, число благоприятных случаев – выученных билетов равно 1) 25 – 5 = 20. Тогда вероятность „выученного билета“ равна:

№2. На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найти вероятность того, что пирожок окажется с яблоками.

Решение. Общее число случаев 1) 4 + 8 + 3 = 15. Число благоприятных случаев (пирожки с яблоками) равно 3. Вероятность вытащить пирожок с яблоками: 2) 3:15 = 1:5 = 0,2.

№3. При покупке шариковой ручки вероятность того, что ручка плохо пишет, равна 0,086 (из тысячи плохо пишут 86 ручек). Найти вероятность того, что ручка пишет хорошо.

Решение. 1 – 0,086 = 0,914.

Решите самостоятельно.

№4. На экзамене Саша из 20 билетов не выучил 4 билета. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

№5. Из 600 луковиц тюльпанов в среднем 48 не прорастают. Какова вероятность того, что случайно выбранная луковица прорастёт?

№6. Из 1000 продающихся батареек в среднем 90 разряжены. Какова вероятность того, что случайно выбранная батарейка исправна?

№7. В магазине в среднем из 150 фонариков восемнадцать бывают неисправны. Какова вероятность наудачу купить исправный фонарик?

Задачи на пропорции.

№13. Принтер печатает страницу за 12 секунд. Сколько листов можно напечатать на таком принтере за 2 минуты?

№14. Автомобиль проехал с постоянной скоростью 17 км за 15 мин. Сколько километров он проедет за первые 12 мин.

№15. На каждые 10 кг силоса положено добавлять 25 граммов молочнокислых дрожжей. Сколько дрожжей (в килограммах) нужно для приготовления 6 тонн силоса?

№16. По рецепту при засолке 2 кг огурцов кладут 8 зёрнышек чёрного перца. Перец продают в пачках по 50 зёрен. Сколько пачек перца надо купить, чтобы хватило для засолки 250 кг огурцов?

№17. На складе в одинаковых коробках лежат ручки: 4 коробки с чёрными ручками и 11 – с синими. Чёрных ручек всего 640. Сколько синих ручек?

№18. Пакеты молока упаковывают в коробку – в каждой по 12 пакетов, но пакеты бывают литровые и полуторалитровые. В магазин «Молоко» привезли 45 коробок с литровыми пакетами и в 3 раза больше коробок с полуторалитровыми пакетами. Сколько литров молока всего привезли?

Задачи на стандартный вид числа.

№19. Площадь Чехии составляет 79 тыс. км². Запишите эту величину в стандартном виде.

№20. Толщина волоса 0,0035 мм. Запишите в стандартном виде.

№21. Две килограммовые гири на расстоянии 1 м притягивают друг друга с силой 0,0000000000667 Н. Запишите силу в стандартном виде.

№22. Масштаб топографической карты села Гауфа 1:10 000. Чему равно расстояние от школы до дома (в км), если на карте это расстояние 1,8 см?

№23. Масштаб карты Азовского района 1:100 000. Найти расстояние от Гауфа до Звонарев-Кута, если на карте оно составляет 15 см.

№24. На карте Омской области расстояние от Омска до Тары 29 см. Найти это расстояние (в км), если масштаб карты 1:1 000 000.

№25. Масштаб карты 1:10 000 000. Чему равно расстояние между городами А и В (в км), если на карте расстояние составляет 0,3 см?

№26. Расстояние от Солнца до Венеры 110 000 000 км. Сколько времени идёт свет от Солнца до Венеры со скоростью 300 000 км/с. Ответ дайте в минутах и округлите до десятых.

№27. Расстояние от Солнца до Юпитера 779 000 000 км. Решите как №26.

№28. Свет от Солнца до Земли пролетает за 8 мин 20 с. Найти расстояние от Земли до Солнца, если скорость света 300 000 км/с.

№29. Свет от Солнца до Нептуна идёт 253 мин. Найти расстояние.

№21. В каждой сотой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Галя не найдёт приз в своей банке.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№22. Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что а) начинать будет Катя; б) начинать игру будет мальчик; в) начинает девочка.

Решение. Общее число случаев 5 – столько всего девятиклассников. Число благоприятных случаев а) 1 – это Катя, вероятность 1:5 = 0,2;
б) 2 – это мальчики Петя и Ваня, вероятность 2:5 = 0,4;
в) вероятность для девочек 1 – 0,4 = 0,6.

№22. На конкурсе мальчики Петя и Ваня должны танцевать с девочками, которых зовут Оля, Рая, Уля, Фая и Эля. Какова вероятность, что Петя будет танцевать с Олей или с Раей?

Решение. Для Пети общее число случаев 5, благоприятных 2. Отсюда вероятность 2:5 = 0,4.

№23. В лыжных гонках участвуют 7 спортсменов из России, 3 спортсмен из Норвегии и 2 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен из Норвегии будет стартовать последним.

Решение. Общее число случаев (стартуют последними) 7 + 3 + 2 = 12.
Благоприятных случаев (из Норвегии) 3. Вероятность 3:12 = 1/4 = 0,25.

Решите самостоятельно.

№24. Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что жребий начинать игру не выпадет мальчикам.

№25. На конкурсе мальчики Петя и Ваня должны танцевать с девочками, которых зовут Оля, Рая, Уля, Фая и Эля. Какова вероятность, что Петя не будет танцевать ни с Олей, ни с Раей?

№26. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России.

№27. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из Швеции.

№28. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из Норвегии или Швеции.

№45. Чайник стоил 1 400 р. Какова будет его цена после двукратного снижения цен на 30% и 45%?

№46. Какова была цена чайника до двукратного снижения цен сперва на 45%, потом на 30%, если на распродаже его продали за 462 руб.?

№47. Спортивный магазин проводит акцию: «Любая футболка по цене 200 р. При покупке двух футболок – скидка на вторую 80%». Сколько рублей придётся заплатить за покупку двух футболок?

№48. Турфирма организует экскурсию по цене 2 500 р. для одного человека. Группам предоставляются скидки: группе от 3 до 10 человек – 5%; группе более 10 человек – 10%. Сколько рублей заплатит за экскурсию  а) группа из 14 человек; б) группа из 7 человек?

№49. Фирма проводит семинары. Стоимость участия в семинаре 2 000 р. с человека. Группам предоставляются скидки: от 2 до 5 человек – 3%; более 5 человек – 5%. Сколько стоит семинар для группы а) из 6 человек; б) из 5 человек?

№50. Магазин заказал на оптовой базе игрушки по 60 р. за штуку. Если сумма превышает 1 000 рублей, то база делает скидку 50%. Сколько рублей должен перечислить магазин за 22 игрушки?

№51. Магазин заказал на оптовой базе игрушки по 200 р. за штуку. Если сумма превышает 1 000 рублей, то база делает скидку 40%. Сколько рублей должен перечислить магазин за 9 игрушек?

№52. В таблице приведена стоимость работ по покраске потолков.

Пользуясь данными таблицы, определите, какова будет стоимость работ если площадь потолка 20 м², цвет потолка голубой и действует сезонная скидка в 10%;

№53. В таблице приведена стоимость работ по покраске потолков.

1; 1	1; 2	1; 3	1; 4	1; 5	1; 6
2; 1	2; 2	2; 3	2; 4	2; 5	2; 6
3; 1	3; 2	3; 3	3; 4	3; 5	3; 6
4; 1	4; 2	4; 3	4; 4	4; 5	4; 6
5; 1	5; 2	5; 3	5; 4	5; 5	5; 6
6; 1	6; 2	6; 3	6; 4	6; 5	6; 6

Пользуясь данными таблицы, определите, какова будет стоимость работ если  площадь потолка 100 м², цвет потолка белый и действует сезонная скидка 5%.

№5. Подбрасываем монету 3 раза. Какова вероятность того, что решка выпадет ровно 2 раза?

Решение. При трёх подбрасывания общее число случаев будет 8:
ООО; ООР; ОРО; ОРР; РОО; РОР; РРО; РРР.
Среди них видны 3 благоприятных случая: ОРР; РОР и РРО.
Вероятность 3:8 = 0,375.

Внимание! При 1 подбрасывании 2¹ = 2 случая (О или Р);
при 2 подбрасываниях 2² = 4 случая (ОО; ОР; РО и РР);
при 3 подбрасываниях 2³ = 8 случаев; при 4 подбрасываниях 2⁴ = 16.

Решите самостоятельно.

№6. При 3 подбрасываниях монеты найти вероятность выпадении решки а) хотя бы 1 раз; б) не менее 2 раз.

№7. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет а) ровно 1 раз; б) ровно 2 раза; в) ровно 3 раза.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№8. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел нечётна.

1; 1	1; 2	1; 3	1; 4	1; 5	1; 6
2; 1	2; 2	2; 3	2; 4	2; 5	2; 6
3; 1	3; 2	3; 3	3; 4	3; 5	3; 6
4; 1	4; 2	4; 3	4; 4	4; 5	4; 6
5; 1	5; 2	5; 3	5; 4	5; 5	5; 6
6; 1	6; 2	6; 3	6; 4	6; 5	6; 6

Решение. Игральная кость (кубик) имеет 6 граней с числами 1; 2; 3; 4; 5; 6.

При двукратном бросании общее число случаев равно 6Х6 = 36 (см. таблицу!)

Сумма цифр будет нечётна в половине случаев (12, 14, 16; 21, 23, 25; 32, 34, 36 и т.д.), т.е. благоприятных случаев будет половина. Вероятность будет 0,5, т.е. 18:36 = 0,5.

№9. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел равна 4 или 7.

Решение. Благоприятные случаи 1+3=4; 2+2=4; 3+1=4; 1+6=7; 2+5=7;
3+4=7; 4+3=7; 5+2=7; 6+1=7, т.е. всего 3 + 6 = 9 случаев. Вероятность 9:36=0,25.

№10. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпали числа, меньшие 4.

Решение. По таблице легко видно, что таких клеток четвёртая часть, т.е. вероятность 0,25.

№11. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы один раз выпало число, меньшее 4.

Решение. По таблице видно, что теперь не подходят пары от 4;4 до 6;6, а три четверти благоприятны, т.е. вероятность 27:36 = 3:4 = 0,75.

Как найти неизвестный процент?

№16. В начале года число абонентов телефонной станции ТЕЛЕ 2 составляло 200 тыс. человек, а в конце года их стало 250 тыс. человек. На сколько процентов увеличилось за год число абонентов?

№17. В начале года число абонентов телефонной станции МЕГАФОН составляло 400 тыс. человек, а в конце года их стало 440 тыс. человек. На сколько процентов увеличилось за год число абонентов?

№18. В начале учебного года в школе было 1 440 учащихся, а к концу года их стало 1 728. На сколько процентов увеличилось за учебный год число учащихся?

№19. В начале учебного года в школе было 1 100 учащихся, а к концу года их стало 869. На сколько процентов уменьшилось за учебный год число учащихся?

№20. Вкладчик положил на счёт 1 200 р., а к концу года на счету у него стало 1 392 р. Какой процент годовых на вклад начислил банк?

№21. В апреле мобильный телефон стоил 4 560 руб., а в июле стал стоить 4 800 руб. На сколько процентов снизилась цена на телефон с апреля по июль?

№22. Суточная норма витамина С для взрослого человека 60 мг. В одном апельсине в среднем содержится 48 мг витамина С. Сколько процентов суточной нормы витамина С получит человек, съев апельсин?

№23. Магазин делает пенсионерам скидку на определённое количество процентов от стоимости покупки. Батон хлеба стоит в магазине 15 руб., а пенсионер заплатил 13 руб. 80 коп. Сколько процентов составляет скидка для пенсионера?

№24. Магазин делает пенсионерам скидку. Десяток яиц стоит в магазине 55 руб., а пенсионер заплатил 51 руб. 15 коп. Сколько процентов составляет скидка для пенсионера?

№25. Клубника стоит 180 руб. за килограмм, а малина – 200 рублей за килограмм. На сколько процентов клубника дешевле малины?

№26. Клубника стоит 200 руб. за килограмм, а клюква – 250 рублей за килограмм. На сколько процентов клюква дороже клубники?

№27. В парке растут 12 елей, 48 лип и 40 дубков. Сколько процентов составляют хвойные деревья в парке?

№28. Умный торговец сперва повысил цену на 20%, потом понизил на 20%. Получит ли он выгоду и на сколько процентов?

№29. Чайная смесь состоит из индийского и цейлонского чая в отношении 9:11. Сколько процентов в смеси цейлонского чая?

№30. Масса ягод и сахара для варенья 55:45. Сколько процентов ягод?

№23. Паша выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 10.

№24. Игорь выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 99.

№25. Стас выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 48.

№26. Олег выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 34.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Задачи на сложение и умножение вероятностей.

Пусть из 10 ручек было 5 красных, 3 синих и 2 чёрные ручки.  тогда вероятность взять красную ручку равна 0,5, синюю 0,3 и чёрную 0,2. Очевидно, что вероятность взять красную или синюю равна 0,5 + 0,3 = 0,8. Такие два события „взять красную ручку“ и „взять синюю ручку“ называют несовместными событиями. Отсюда получаем теорему: вероятность двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

№1. На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Площадь», равна 0,15. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Окружность», равна 0,3. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.

Решение. Очевидно, что эти 2 события несовместны, поэтому их общая вероятность равна 0,15 + 0,3 = 0,45.

№2. Фирма «Вспышка» изготавливает фонарики с вероятностью брака 0,02, т.е. из 100 фонариков 2 бракованных. Какова вероятность того, что при покупке 2 фонариков оба попадутся исправные?

Решение. Вероятность исправности одного фонарика 1 – 0,2 = 0,98. Если фонарики выбираются независимо друг от друга, т.е. вероятность исправности у обоих 0,98, то вероятность исправности 2 фонариков находят умножением: 0,98∙0,98 = 0,9604 ≈ 0,96 – немного меньше!

№3. Стрелок 4 раза стреляет по мишени, каждый раз с вероятностью 0,6. Какова вероятность того, что он 2 раза поразит мишень, а 2 раза промахнётся?

Решение. При поражении мишени 2 раза вероятности умножаются 0,6∙0,6. Вероятность промаха 1 – 0,6 = 0,4. При 2 промахах вероятности тоже умножаются 0,4∙0,4. В результате вероятность 0,6∙0,6∙0,4∙0,4 = 0,36∙0,16 = 0,0576.
Решение удобно записать в виде: 0,6∙0,6∙(1 – 0,6)(1 – 0,6).

Краткое описание документа:

Для образца выставил два раздела Реальной математики:
№16 Бытовые задачи и №19 Вероятность

для печати в виде одной брошюры.

Надо вставить в принтер 4 листа А4 и напечатать стр.1-4.

Потом на обратной стороне напечатать стр.5-8.

Согнуть листы пополам и сшить в брошюру.

Предлагаю ещё одну брошюру для печати:

Реальная математика

№17. Геометрические задачи.

№20. Формулы физики и геометрии.

№18. Диаграммы.

Печатать нужно абсолютно аналогично.