Решение квадратных уравнений с параметром

Министерство образования и науки Самарской области

Государственное автономное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования (повышения квалификации) специалистов

САМАРСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ИНСТИТУТ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ

И ПЕРЕПОДГОТОВКИ РАБОТНИКОВ ОБРАЗОВАНИЯ

Итоговая работа

На курсах повышения квалификации

«Методические особенности обучения решению задач с параметром в условиях перехода к новым образовательным стандартам».

По ИОЧ ВБ 13.03.2017г-17.03.2017г

по теме:

                                  « Квадратные уравнения с параметрами»

Выполнила:

Тихонова Надежда Викторовна,

Преподаватель математики

 БГПОУ Сызранский «политехнический колледж»

Сызрань 2017 г.

. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ

Уравнение вида ax2+bx+c=0, где a, b, c – числа, причем а≠0 называется

квадратным уравнением.

а – первый коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член.

Например:

а) 2х2– 3х + 0,7 = 0

б) -0,9 х2+ 8 – 2 1/6х=0

Найти a, b, c?

Решим уравнение ax2+bx+c=0

а) если а=0, то уравнение имеет вид bx+c=0. Тогда x=-c|b

б) если а≠0, то уравнение имеет:

1) 2 различных корня х1≠х2, если Д>0,

2) 2 равных корня х1=х2, если Д=0

3) не имеет корней, если Д<0.

Рассмотрим примеры.

Пример №1. При каких значениях уравнение имеет 2 корня?

2х2+6х+b=0

Уравнение квадратное.

Найдем Д=36-4*2*b=36-8b. По условию задачи уравнение имеет 2 корня,

значит Д>0.

Решим неравенство 36-8b>0

-8b>-36

b<4,5.

Ответ: при b<4,5.

Пример № 2. При каких значениях имеет один корень?

3х2-6х+2v=0

Уравнение квадратное. Д=36-4*3*2v=36-24v.

Так как уравнение имеет один корень, то Д=0.

36-24v=0

24v=36

V=1,5.

Пример № 3. При каких t уравнение не имеет корней?

2x2-15x+t=0

Уравнение квадратное. Д=225-4*2t=225-8 t По условию Д<0, то

225-8t<0

-8t<-225

t>281/8.

Ответ: при t>281/8/

Пример № 4.

 При каких значениях m равно один из корней уравнения равен нулю. х2 – 2х + 2m – 3 = 0

Решение: Если х = 0, то имеем:

02 – 2 .0 + 2m – 3 = 0

2m = 3

m = 1,5

Проверим, не равняется ли второй корень уравнения нулю.

х = 0

х = 2

х2 – 2х = 0

Ответ: m = 1,5

При решении квадратного уравнения с параметрами контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х2 обращается в 0. Дело в том, что если этот коэффициент равен нулю, то уравнение превращается в линейное и решается по соответствующему алгоритму; если же этот коэффициент отличен от нуля, то имеем квадратное уравнение, которое решается по иному алгоритму. Дальнейшее решение зависит от дискриминанта.

Пример №.5

 Решить уравнение х2 – (2р + 1)х + (р2 + р – 2) = 0

Решение: Здесь коэффициент перед х2 отличен от нуля, значит данное уравнение при любых значениях параметра является квадратным. Найдем дискриминант:

D = (2р + 1)2 – 4∙1(р2 + р – 2) = (4р2 + 4р + 1) – (4р2 + 4р – 8) = 4р2 + 4р + 1 – – 4р2 – 4р + 8 = 9

D > 0, значит квадратное уравнение имеет два решения

х1 = р + 2

х2 = р – 1

Ответ: при любых значениях р х1 = р + 2; х2 = р – 1

Пример № 6.

 Решить уравнение рх2 +( 1 – р)х – 1 = 0

Решение: Мы не можем утверждать, что данное уравнение является квадратным. Рассмотрим контрольные (точки) значения р = 0, имеем два случая.

Если р=0, то получается уравнение вида 0∙х2 + х – 1 = 0, которое является линейным и имеет корень х = 1

Если р ≠0, то уравнение является квадратным, можно применять формулы корней квадратного уравнения.

D = (1 – р)2 – 4∙.р .(-1) = 1 – 2р + р2 + 4р = (1+ р)2

х1 = 1

х2 = –

Ответ: при р = 0 х = 1; при р ≠0 х1 = 1 х2 = –

Пример № 7

 Решить уравнение: (а – 1)х 2 + 2(2а + 1)х + (4а + 3) = 0

Решение: здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х2 обращается в 0.

Если а – 1 = 0, а = 1, уравнение имеет вид 0∙ х2 + 6х + 7 = 0 и является линейным. Корнем этого уравнения является х =

Если а–1 ≠ 0, а ≠ 0, уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант.

D = (2∙(2а + 1))2 – 4(а – 1)(4а + 3) = 4(4а2 + 4а + 1) – 4(4а2 – а – 3) = 4(5а + 4)

Дальнейшие рассуждения зависят от значения дискриминанта.

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней; если D = 0, то уравнение имеет один корень, если D > 0, то уравнение имеет два корня.

Дискриминант обращается в нуль при а = – (можно сказать, что это – второе контрольное значение параметра; при переходе через него происходит качественное изменение уравнения – меняется число корней уравнения).

Если а < – , то D < 0 и следовательно, квадратное уравнение не имеет корней.

Если а > – , то если D > 0 и, значит квадратное уравнение имеет два корня:

х1 =

х2 =

Если а = – , то D = 0, то уравнение имеет единственное решение

х =

Ответ: при а = 1, х = – ;

при а = –, х = ;

при а < –, корней нет;

при а > –, х1 =

х2 =

Иногда задания сформулированы так, что искать корни нет необходимости.

Пример №8

 При каких значениях m ровно один из корней х2+(m+3)х +|m| – 3 = 0

уравнения равен нулю.

Решение. Если нуль является корнем уравнения, квадратный трехчлен х2+(m+3)х +|m| – 3 при х = 0 обращается в нуль. 02+(m+3) .0 +|m| – 3 = 0

|m| – 3 = 0 m1 = 3 m2 = –3

Найдем второй корень при найденных значениях m.

Если m=3, то уравнение принимает вид х2+6х = 0; х1 = 0 х2 = –6

Если m= –3, то уравнение принимает вид х2 = 0, которое имеет два кратных корня, равных нулю.

Ответ: при m = 3

Пример №9

Сколько корней имеет уравнение 3х (х – 1) 2 = kх в зависимости от значения параметра k ?

Решение: 3х (х – 1) 2 = kх

3х (х – 1) 2 – kх = 0

х (3(х – 1) 2 – k) = 0

Один корень есть всегда – х0 = 0

Исследуем 3х 2 – 6х + 3 – k = 0

D = 32 – 3(3 – k) = 3k

а) Если k = 0, существует один корень х = 1;

б) Если k > 0, существуют два корня х1 = х2 = , но необходимо исследовать случай, когда один из корней равен 0. Это так, если k = 3;

в) Если k < 0, корней нет.

Ответ: уравнение 3х (х – 1) 2 = kх имеет при

1) k > 0

k ≠ 3 три корня;

2) k = 0 два корня

3) k = 3 два корня

4) k < 0 один корень.