Решение задач арифметическая и геометрическая прогрессии

Класс 9 «Б»

Урок 48.

Дата:28.12

Тема: Решение задач.

Цели  урока:

1. Образовательная:

1.         Повторить и обобщить знания учащихся по теме « Арифметическая и геометрическая прогрессии»

2.         Познакомить учащихся с новым видом последовательности – бесконечно убывающей геометрической прогрессией;

3.         Формирование начального представления о пределе числовой последовательности;

4.         Знакомство с ещё одним способом обращения бесконечных периодических дробей в обыкновенные с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической

5.         Тип урока: Урок изучения нового материала. Урок изучения нового материала, повторения и обобщения полученных знаний по теме "Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия"  2 часа

Ход урока

1.  Организационный момент.

Приветствие. Отсутствующие. Запись темы урока. Сообщение целей и задач урока: обобщение  изученного по теме «Прогрессии»; подготовка к контрольной работе; прослушаем   сообщение   об одном из учёных-математиков. Имя этого учёного узнаем, разгадав шифровку.

2.  Устная работа.

На доске алфавит и зашифрованное имя учёного.

а	б	в	г	д	е	ё	ж	3	и	w И	к	л	м	н	о	п	Р	с	т
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	И	12	13	14	15	16	17	18	19	20

У	Ф	X	ц	ч	ш	щ	ъ	ы	ь	э	ю	я
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33

Выполнив задания, узнаем имя учёного, о котором затем прослушаем сообщение   и решим задание, опираясь на доказанную им теорему.

l.a₃=8, a₅=26, а₄=?

2. а₁=5, d=5, S₅=?

 3.            b₆=144, b₅=24, q=?

4.            b₁=2, b₂=5, b₃ =?

5.            b₄=4,   b₉=21, b₈=?

6.            b₃= 16, b₄=96, q=?

7.            a₃=9, a₂=6, S₃=?

8.  a₁₀=21, a₁₁=35, d=?

9.  (b_n): 7; 7; 7;... q=?
Закодированное имя-Пьер Ферма.

2.  Сообщение об учёном.

3. Проверка домашнего задания.

1) Проверка основных формул, связанных с арифметической и геометрической прогрессиями. Два ученика готовят записи формул у доски.

2) Остальные учащиеся выполняют математический диктант .

Математический диктант

Задания:

№1. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если её первый член равен 6 (1-й вариант), -20 (2-й вариант), а пятый член -6 (1-й вариант), 20 (2-й вариант).

№2. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если её первый член равен -20(1-й вариант), 6 (2-й вариант), а разность равна 10(1-й вариант), -3(2-й вариант).

№3. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если её первый член равен 1(1-й вариант), -1 (2-й вариант), а знаменатель равен -2(1-й вариант), 2(2-й вариант).

По окончании диктанта, выборочно, у двоих учеников работы проверяются на оценку, остальные выполняют самопроверку по готовым решениям на экране.

Решения:

    

Фронтальная работа.

Записать определение: геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

С помощью определения можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.

Задача №1.

Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна формулой:

а)

Решение:

а) (фронтальная работа, запись на доске)

 данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

б) (самостоятельно)

данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

6. Продолжить работу с презентацией.

3) 

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:

Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1.

 

Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.

Рассмотрим сумму n первых слагаемых.

По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна .

Если n неограниченно возрастает, то 

4) Слайд №5.

Записать определение. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому стремится сумма её первых n членов при n →. Теперь получим формулу, с помощью которой будем вычислять сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Рассмотрим формулу n первых членов геометрической прогрессии.

Задача №2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 3,вторым 0,3.

Решение:

Задача №3. учебник [1], стр. 160, №433(1)

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 

Решение:

Задача №4. 

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если 

Решение:

Пользуясь формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, можно записывать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби.

Задача №5. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(5) в виде обыкновенной дроби.

1-й способ. Пусть х=0,(5)= 0,555… /•10         2-й способ. 0,(5)=0,555…=

Задача №6.  (самостоятельное решение)

Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(12) в виде обыкновенной дроби.

Ответ: 0,(12)= 4/33.

Подведение итогов.

1.                  С какой последовательностью сегодня познакомились?

2.                  Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

3.                  Как доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей?

4.                  Назовите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Самостоятельная работа. ( выполняется в рабочих тетрадях ,по окончании работы записи решений сдаются на проверку)

Задания

1.                  Является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если: b₇= -30; b₆= 15?

2.                  Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: -25; -5; -1;…

3.                  Записать бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(9) в виде обыкновенной дроби.

Самопроверка

9.                  Домашнее задание. №241