Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Сборник индивидуальных заданий по математике. Раздел: Тригонометрические функции.

Сборник индивидуальных заданий по математике. Раздел: Тригонометрические функции.

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

КОЛЛЕДЖ ЭКОНОМИКИ, БИЗНЕСА И ПРАВА

Карагандинского экономического университета

Казпотребсоюза








Сборник индивидуальных заданий

по математике.

Раздел: Тригонометрические функции.


(для студентов 1 курса всех специальностей колледжа ЭБП)



























Кhello_html_2b21a235.gifараганда 2015

Составитель: Мещерякова С.А. - преподаватель КЭБП КЭУК




Рецензенты: кандидат физико-математических наук, доцент Карагандинского экономического университета Казпотребсоюза Бітімхан С.;

преподаватель высшей категории КЭБП КЭУК Кулманова Б.А.



Сборник составлен в соответствии с типовой программой дисциплины «Математика» и предназначен для студентов первого курса всех специальностей. В сборнике кратко изложен теоретический материал, подробно разобрано решение типовых задач. В конце каждой темы приводятся индивидуальные задания, содержащие 30 вариантов. Сборник может использоваться как для самостоятельной работы студентов, так и для практических занятий.





















Рассмотрено на заседании П(Ц)К математики и информатики

Протокол №8 от 18.03.2015.


Рекомендовано к изданию решением методического совета

Протокол №4 от 19.03.2015г.

hello_html_2b21a235.gif

Предисловие.


Тригонометрия – это раздел математики, изучающий тригонометрические функции.

Тригонометрические функции, как соотношение между сторонами в прямоугольном треугольнике, используются в геометрии, как функциональные зависимости - это объект изучения математического анализа, а тригонометрические уравнения и неравенства изучают методами алгебры.

Данный сборник по дисциплине «Математика» рассматривает тригонометрические функции в рамках математического анализа и алгебры. Он предназначен для студентов первого курса всех специальностей.

Сборник состоит из 5 параграфов. Первый параграф посвящен повторению основных понятий и формул тригонометрии, изучаемых в курсе основной школы. Во втором параграфе рассматриваются тригонометрические функции, их свойства и графики. Третий параграф содержит информацию об обратных тригонометрических функциях. В четвертом параграфе рассматриваются основные методы решения тригонометрических уравнений. Пятый параграф посвящен решению тригонометрических неравенств.

В начале каждой темы помещены определения, формулы и другие краткие теоретические сведения. Затем дается подробное решение типовых задач. В конце каждой темы приводятся индивидуальные задания, содержащие 30 вариантов.

Индивидуальные задания способствуют активизации познавательной деятельности студентов, развивают навыки самостоятельной работы, позволяют индивидуализировать обучение, повышают объективность выставления оценок.






















§ 1. Единичная тригонометрическая окружность.

Тригонометрические функции числового аргумента.

Основные формулы тригонометрии.


Единичная тригонометрическая окружность  – это окружность, с радиусом 1 и центром в начале координат.

 Горизонтальный (ось Ох) и вертикальный (ось Оу) диаметры делят числовую окружность на четыре четверти.

Начальная точка А единичной тригонометрической окружности   находится на оси x и имеет координаты (1; 0).

  Отсчет по единичной тригонометрической окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.

Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением. Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением.

hello_html_m4e263efa.png 

  Возьмем точку В(х;у) на окружности.

Вектор hello_html_m1f60f199.gif, соединяющий начало координат с произвольно выбранной точкой плоскости В(х,y), называется радиус-вектором этой точки . Опустим перпендикуляры на оси координат. Проекции точки В(х;у) на оси координат равны х и у соответственно. Рассмотрим прямоугольный треугольник ОАВ.

hello_html_666b195d.pnghello_html_m1709e06e.gif; hello_html_75051623.gif

Синус угла hello_html_7a00ba7d.gif, образованного радиус-вектором точки на единичной окружности с положительным направлением оси Ox, есть ордината этой точки, т.е. : hello_html_3813e6e1.gif.

Косинус угла hello_html_7a00ba7d.gif, образованного радиус-вектором точки на единичной окружности с положительным направлением оси Ox, есть абсцисса этой точки: hello_html_59bfb480.gif.

Синус и косинус определены для любого угла hello_html_7a00ba7d.gif и связаны между собой (по теореме Пифагора) равенством: hello_html_1546fd51.gif, которое называется основным тригонометрическим тождеством.

Отношение синуса угла hello_html_7a00ba7d.gif к косинусу того же угла называется тангенсом угла hello_html_7a00ba7d.gif : hello_html_m76e85633.gifили hello_html_m415286f6.gif.

Тангенс определен для всех углов, кроме hello_html_m3a638524.gif, hello_html_492486a6.gif, где hello_html_1b214dce.gif, hello_html_m5f15004b.gif - множество целых чисел.

Отношение косинуса угла hello_html_7a00ba7d.gif к синусу угла hello_html_7a00ba7d.gif называется котангенсом угла hello_html_7a00ba7d.gif : hello_html_62d0ee92.gifили hello_html_m462d621e.gif.

Котангенс определён для всех углов, кроме hello_html_168ad55e.gif, hello_html_492486a6.gif, где hello_html_m433389b4.gif, hello_html_m5f15004b.gif - множество целых чисел.

Так как точка В лежит на единичной тригонометрической окружности hello_html_m259f99c2.gif. Следовательно, hello_html_420dbfec.gif.

Отрезок на оси Оx от -1 до 1 называется линией косинусов.

Отрезок на оси Оy от -1 до 1 называется линией синусов.

hello_html_m5a238aa4.gif, hello_html_m7af7d58d.gif.

Линия тангенсов параллельна оси Оy и проходит через точку (1;0) 

Линия котангенсов параллельна оси  Оx и проходит через точку  (0;1) 

hello_html_m59916585.pnghello_html_319b4740.png


Радианная мера угла.


Угол в 1 радиан – центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Радианная и градусная меры связаны зависимостью hello_html_4a36cdcc.gif радиан.

hello_html_m281231b3.gif


Периодичность тригонометрических функций .

Период косинуса равен hello_html_5102f37.gif: hello_html_6b650f53.gif.

Период синуса равен hello_html_5102f37.gif:hello_html_m2722562e.gif.

Период тангенса равен hello_html_4fd45fec.gif:hello_html_402898b.gif.

Период котангенса равен hello_html_4fd45fec.gif:hello_html_m1e77164c.gif.


Четность и нечетность тригонометрических функций.

hello_html_m7efac416.gif, hello_html_7be25d44.gif, hello_html_4dfdac80.gif, hello_html_1555d9a5.gif


Знаки тригонометрических функций.

hello_html_3dba5c5f.png


Значения тригонометрических функций при некоторых углах.


0


hello_html_5e20e28a.gif

hello_html_3baa5407.gif

hello_html_29b35050.gif

hello_html_m35f98093.gif

hello_html_m7a7f806f.gif

hello_html_m3a997a10.gif

hello_html_m706fdb43.gif

hello_html_5a3c4873.gif

hello_html_18558170.gif

hello_html_5d4657b2.gif

hello_html_m6d4a3ab7.gif

hello_html_m16761ce1.gif

hello_html_m642a5977.gif

hello_html_m29dd9706.gif

hello_html_mf8a2e16.gif

hello_html_m24ece4cf.gif

hello_html_f832a3b.gif

hello_html_7a41e420.gif

0

hello_html_7da24db7.gif

hello_html_m28b1c6be.gif

hello_html_m71a3290d.gif

1

hello_html_m71a3290d.gif

hello_html_m28b1c6be.gif

hello_html_7da24db7.gif

0

hello_html_m6060d20a.gif

1

hello_html_m71a3290d.gif

hello_html_m28b1c6be.gif

hello_html_7da24db7.gif

0

-hello_html_7da24db7.gif

-hello_html_m28b1c6be.gif

-hello_html_m71a3290d.gif

-1

hello_html_64db5c06.gif

0

hello_html_120efd38.gif

hello_html_m7ebd294d.gif

hello_html_m236f6d20.gif

-

-hello_html_m236f6d20.gif

-hello_html_m7ebd294d.gif

-hello_html_120efd38.gif

0

hello_html_7b2fb5f7.gif

-

hello_html_m236f6d20.gif

hello_html_m7ebd294d.gif

hello_html_120efd38.gif

0

-hello_html_120efd38.gif

-hello_html_m7ebd294d.gif

-hello_html_m236f6d20.gif

-


Формулы приведения.


Функции

Угол

hello_html_52367e4a.gif

hello_html_2b6b96f3.gif

hello_html_47399727.gif

hello_html_m7f52f161.gif

sin

coshello_html_7a00ba7d.gif

hello_html_m4b52c47d.gifsinhello_html_7a00ba7d.gif

-coshello_html_7a00ba7d.gif

hello_html_478e24e9.gifsinhello_html_7a00ba7d.gif

cos

hello_html_m4b52c47d.gifsinhello_html_7a00ba7d.gif

-coshello_html_7a00ba7d.gif

hello_html_478e24e9.gifsinhello_html_7a00ba7d.gif

coshello_html_7a00ba7d.gif

tg

hello_html_m4b52c47d.gifctghello_html_7a00ba7d.gif

hello_html_478e24e9.giftghello_html_7a00ba7d.gif

hello_html_m4b52c47d.gifctghello_html_7a00ba7d.gif

hello_html_478e24e9.giftghello_html_7a00ba7d.gif

ctg

hello_html_m4b52c47d.giftghello_html_7a00ba7d.gif

hello_html_478e24e9.gifctghello_html_7a00ba7d.gif

hello_html_m4b52c47d.giftghello_html_7a00ba7d.gif

hello_html_478e24e9.gifctghello_html_7a00ba7d.gif


Основные тригонометрические тождества.

hello_html_m238cfd0f.gif, hello_html_63ba5e15.gif hello_html_138c7cc8.gif

hello_html_afab69d.gifhello_html_m5547c9fb.gif, hello_html_b2bb190.gif.

Формулы для суммы и разности элементов.

hello_html_m62d19892.gif, hello_html_m3e4d6f25.gif,

hello_html_m1aef02b5.gif, hello_html_m3df7add0.gif,

hello_html_9f15285.gif, hello_html_m7a7257bd.gif,

hello_html_5b015137.gif, hello_html_m4ca93f0c.gif.


Формулы двойных, тройных и половинных аргументов.

hello_html_m1ede5e68.gif, hello_html_7111c912.gif,

hello_html_m23c1b179.gif, hello_html_58d91fd2.gif, hello_html_1cdbb80e.gif,

hello_html_m3cf1a3ae.gif,

hello_html_m1946f473.gif, hello_html_m4b3b2d22.gif.


Формулы преобразования произведения в сумму и обратно.

hello_html_e85d96c.gifhello_html_57f5f61e.gif

hello_html_54201c40.gif

hello_html_64b37870.gifhello_html_m3258289e.gif

Примеры.

  1. Выразите в радианной мере величины углов: hello_html_m284cc17c.gif.

Решение:hello_html_m68a9c043.gif hello_html_m77dd5062.gifhello_html_m57c6c489.gif.

  1. Выразите в градусной мере величины углов: hello_html_5d98b278.gif, hello_html_15239139.gif, hello_html_m13664bcb.gif.

Решение:hello_html_m19e66669.gif, hello_html_m71176030.gif, hello_html_m25f75bc6.gif

  1. Приведите тригонометрическую функцию произвольного аргумента к тригонометрической функции острого угла: hello_html_m194e9b15.gif, hello_html_4e172f52.gif, hello_html_3dde9a01.gif, hello_html_m71d2cbdf.gif.

Решение: hello_html_2eaf439c.gif, hello_html_m3081364f.gif,

hello_html_m3998f254.gif,

hello_html_34c9325b.gif.

  1. Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если hello_html_m2987ddb0.gif, hello_html_m3642da5f.gif.

Решение: Из основного тригонометрического тождества получим hello_html_m3e61acc.gif . Угол hello_html_7a00ba7d.gif: hello_html_m3642da5f.gif находится в III четверти, следовательно hello_html_m146c66ea.gif, hello_html_m5d10399a.gif, hello_html_m3207595d.gif. Таким образом, hello_html_956bcd8.gif.

hello_html_20af4c4.gif, hello_html_m1321b936.gif.

  1. Упростите выражение hello_html_6faea78e.gif.

Решение:

hello_html_m1d99ed1d.gif

hello_html_183050f5.gif.

  1. Упростите выражение hello_html_m76112c06.gif.

Решение:

hello_html_m499c4f40.gif

hello_html_30ea37a.gif.

  1. Докажите тождество hello_html_m1a065dfc.gif.

Решение:

hello_html_5fe03ae1.gif

hello_html_m277c97a5.gif.

ИЗ № 1.

  1. Выразите в радианной мере величины углов.

    1. hello_html_m19e297b5.gif;

    2. hello_html_mc8a8fcb.gif;

    3. hello_html_m3cd46913.gif;

    4. hello_html_m59a9f881.gif;

    5. hello_html_5316d5a7.gif;

    6. hello_html_m30dd0d9b.gif;

    7. hello_html_m171c5252.gif;

    8. hello_html_m72636711.gif;

    9. hello_html_6dce838a.gif;

    10. hello_html_3237a448.gif;

    11. hello_html_m6d6a479d.gif;

    12. hello_html_1a5c254e.gif;

    13. hello_html_m5871b62e.gif;

    14. hello_html_m1c79a12a.gif;

    15. hello_html_7649b494.gif;

    16. hello_html_537d8fd1.gif;

    17. hello_html_m2e210c19.gif;

    18. hello_html_m4d6cb4a9.gif;

    19. hello_html_756053f4.gif;

    20. hello_html_772f429.gif;

    21. hello_html_4ebdd8bd.gif;

    22. hello_html_ec55d46.gif;

    23. hello_html_74ebb8d8.gif;

    24. hello_html_m77471599.gif;

    25. hello_html_m5aa68714.gif;

    26. hello_html_237dd1e4.gif;

    27. hello_html_30f42030.gif;

    28. hello_html_1169d0a2.gif;

    29. hello_html_m64c0e523.gif

    30. hello_html_48e9c994.gif.

  1. Выразите в градусной мере величины углов.

    1. hello_html_51b8c3c3.gif;

    2. hello_html_53c488ba.gif;

    3. hello_html_47ea84e4.gif;

    4. hello_html_6317f0.gif;

    5. hello_html_m678c0619.gif;

    6. hello_html_7ef8ec88.gif;

    7. hello_html_b31a891.gif;

    8. hello_html_m24201372.gif;

    9. hello_html_m54290728.gif;

    10. hello_html_m1f5c878a.gif

    11. hello_html_m465c5d51.gif

    12. hello_html_574ac4ca.gif

    13. hello_html_36eff327.gif

    14. hello_html_762e2daa.gif

    15. hello_html_24d1a0dc.gif

    16. hello_html_43871c4f.gif

    17. hello_html_m5cb0baf5.gif

    18. hello_html_m1d98cfb7.gif

    19. hello_html_m6df8e367.gif

    20. hello_html_5eec685b.gif

    21. hello_html_m16d1e9f1.gif

    22. hello_html_m58967a15.gif

    23. hello_html_m19df4780.gif

    24. hello_html_m73ffdec7.gif

    25. hello_html_ma755759.gif

    26. hello_html_5a4ae050.gif

    27. hello_html_mac45d4e.gif

    28. hello_html_m2b8befcf.gif

    29. hello_html_58bdb40.gif

    30. hello_html_m5ff397eb.gif



  1. Приведите тригонометрическую функцию произвольного аргумента к тригонометрической функции острого угла:

    1. hello_html_4deffa0c.gif;

    2. hello_html_65334a61.gif;

    3. hello_html_m71f33287.gif;

    4. hello_html_m19ff6bf6.gif;

    5. hello_html_m117052cc.gif;

    6. hello_html_6b2f4b2a.gif;

    7. hello_html_2822a0f6.gif;

    8. hello_html_m19eba3f2.gif;

    9. hello_html_55fbb09c.gif;

    10. hello_html_m79554a3b.gif;

    11. hello_html_m62d82463.gif;

    12. hello_html_181beba5.gif;

    13. hello_html_ma2c6cea.gif;

    14. hello_html_m1ce7713f.gif;

    15. hello_html_m6f01661f.gif;

    16. hello_html_m6b082cfa.gif;

    17. hello_html_3417eba9.gif;

    18. hello_html_m649423b0.gif;

    19. hello_html_m513bfde0.gif;

    20. hello_html_m50e89f53.gif;

    21. hello_html_m6d198a8c.gif;

    22. hello_html_7f983737.gif;

    23. hello_html_m5e9c10fe.gif;

    24. hello_html_471ac198.gif;

    25. hello_html_m7635c18.gif;

    26. hello_html_53e9b6c4.gif;

    27. hello_html_m4d2898fa.gif;

    28. hello_html_5f12ecf2.gif;

    29. hello_html_m7834fe80.gif;

    30. hello_html_65a87dbc.gif.

  2. Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если

    1. hello_html_2cd3b5b9.gif, hello_html_m1c74a7ff.gif;

    2. hello_html_63667470.gif, hello_html_m1c74a7ff.gif;

    3. hello_html_m1dfa6d80.gif, hello_html_m73b7c6b5.gif;

    4. hello_html_m5f3e79be.gif, hello_html_m3642da5f.gif;

    5. hello_html_31016727.gif, hello_html_m3642da5f.gif;

    6. hello_html_m660d43ce.gif,hello_html_m73b7c6b5.gif;

    7. hello_html_5beee3aa.gif, hello_html_m3642da5f.gif;

    8. hello_html_m5c69712a.gif, hello_html_m1c74a7ff.gif;

    9. hello_html_2ca4b06c.gif, hello_html_m1c74a7ff.gif;

    10. hello_html_49c7a544.gif, hello_html_m73b7c6b5.gif;

    11. hello_html_269e647d.gif, hello_html_m1c74a7ff.gif;

    12. hello_html_10a31a1b.gif, hello_html_m3642da5f.gif;

    13. hello_html_63667470.gif, hello_html_m3642da5f.gif;

    14. hello_html_2fb386f5.gif, hello_html_m1c74a7ff.gif;

    15. hello_html_6e691f78.gif, hello_html_m3642da5f.gif;

    16. hello_html_72c34cb9.gif, hello_html_m1c74a7ff.gif;

    17. hello_html_7aca4a6.gif, hello_html_m3642da5f.gif;

    18. hello_html_2ca4b06c.gif, hello_html_m3642da5f.gif;

    19. hello_html_34c12793.gif, hello_html_m1c74a7ff.gif;

    20. hello_html_m3b5f95db.gif, hello_html_m1c74a7ff.gif;

    21. hello_html_31016727.gif, hello_html_m1c74a7ff.gif;

    22. hello_html_m4ddc491a.gif, hello_html_m1c74a7ff.gif;

    23. hello_html_130dd85f.gif, hello_html_m73b7c6b5.gif;

    24. hello_html_m42eba826.gif, hello_html_m3642da5f.gif;

    25. hello_html_269e647d.gif, hello_html_m3642da5f.gif;

    26. hello_html_m2987ddb0.gif, hello_html_m3642da5f.gif;

    27. hello_html_2fb386f5.gif, hello_html_m3642da5f.gif;

    28. hello_html_m4a74013.gif,hello_html_m73b7c6b5.gif;

    29. hello_html_m105a350a.gif, hello_html_m73b7c6b5.gif;

    30. hello_html_7aca4a6.gif, hello_html_m1c74a7ff.gif.



  1. Упростите выражение

    1. hello_html_13728ed7.gif;

    2. hello_html_m717464c6.gif;

    3. hello_html_58c5100e.gif;

    4. hello_html_1aa34f01.gif;

    5. hello_html_60aa1f62.gif;

    6. hello_html_m3a73891c.gif;

    7. hello_html_9346426.gif;

    8. hello_html_4d8cf3ef.gif;

    9. hello_html_48bc015b.gif;

    10. hello_html_m2371dfd.gif;

    11. hello_html_143a156a.gif;

    12. hello_html_5f11c53c.gif;

    13. hello_html_37c46b76.gif;

    14. hello_html_6672123c.gif;

    15. hello_html_m323204f7.gif;

    16. hello_html_m28860e34.gif;

    17. hello_html_m3ce51a5c.gif;

    18. hello_html_m15cfb3d5.gif;

    19. hello_html_64958a38.gif;

    20. hello_html_4c36ee03.gif;

    21. hello_html_548cc545.gif;

    22. hello_html_2edc8444.gif;

    23. hello_html_36758ac.gif;

    24. hello_html_m478dd6f0.gif;

    25. hello_html_47cff8ec.gif;

    26. hello_html_1630376a.gif;

    27. hello_html_m68f08380.gif;

    28. hello_html_e74662e.gif;

    29. hello_html_4b006321.gif;

    30. hello_html_6ec0b2af.gif.



  1. Упростить выражение.

    1. hello_html_34752672.gif;

    2. hello_html_m2f14937e.gif;

    3. hello_html_m3cde71cc.gif;

    4. hello_html_445bcd2a.gif;

    5. hello_html_m3899297d.gif;

    6. hello_html_m2f047f56.gif;

    7. hello_html_m1a149334.gif;

    8. hello_html_85d138a.gif;

    9. hello_html_1cf681f9.gif;

    10. hello_html_25faeb97.gif;

    11. hello_html_mee03148.gif;

    12. hello_html_m7253e83e.gif;

    13. hello_html_25b3316e.gif;

    14. hello_html_79f65bb2.gif;

    15. hello_html_m7a2ffc40.gif;

    16. hello_html_m48c5d13b.gif;

    17. hello_html_3dc0f839.gif;

    18. hello_html_1452496e.gif;

    19. hello_html_64909232.gif;

    20. hello_html_m5c0d5c7c.gif;

    21. hello_html_m7c8ad6a9.gif;

    22. hello_html_72ee2a5c.gif;

    23. hello_html_2feb031e.gif;

    24. hello_html_m36c11bec.gif;

    25. hello_html_m1541ccbc.gif;

    26. hello_html_md94bd99.gif;

    27. hello_html_698e4857.gif;

    28. hello_html_m6de266db.gif;

    29. hello_html_64886cd0.gif;

    30. hello_html_1c3140d7.gif.

  2. Докажите тождество.

    1. hello_html_m74cdcdb9.gif;

    2. hello_html_63e26136.gif;

    3. hello_html_m14c487fa.gif;

    4. hello_html_m40401b2c.gif;

    5. hello_html_m6c9f8c9f.gif;

    6. hello_html_m115b78e2.gif;

    7. hello_html_m4e88fc7b.gif;

    8. hello_html_m31191448.gif;

    9. hello_html_3912232d.gif;

    10. hello_html_1a44e74f.gif;

    11. hello_html_7f727135.gif;

    12. hello_html_m35b4e91d.gif;

    13. hello_html_m1e670c0c.gif;

    14. hello_html_4e5e9c60.gif;

    15. hello_html_7ab759de.gif;

    16. hello_html_m567900aa.gif;

    17. hello_html_m3d1fd3dd.gif;

    18. hello_html_m260c1c32.gif;

    19. hello_html_m56e76e16.gif;

    20. hello_html_m6546a859.gif;

    21. hello_html_37e6c418.gif;

    22. hello_html_6d0850cb.gif;

    23. hello_html_md79ca46.gif;

    24. hello_html_m2af89048.gif;

    25. hello_html_32ed7f6e.gif;

    26. hello_html_m3f5339e5.gif;

    27. hello_html_m16009db6.gif;

    28. hello_html_m6503413.gif;

    29. hello_html_4535bf0.gif;

    30. hello_html_m7e23c508.gif.



§2. Тригонометрические функции, их свойства и графики.

Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований графиков.

2.1. Тригонометрические функции, их свойства и графики.

 Основными тригонометрическими функциями являются функции y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). 

1. Функция y=sin(x). График функции y=sin(x) – синусоида:

hello_html_7cbb1cad.png Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось.

2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2π.

5. Нули функции: (πk;0) , где k – целое.

6. Интервалы знакопостоянства: hello_html_4ba4a62.gifприhello_html_m2317a727.gif, hello_html_m346a39df.gif ; hello_html_39c5c747.gifприhello_html_7fae7f39.gif, hello_html_m346a39df.gif.


2. Функция y= cos(x). График функции y= cos(x):


hello_html_64348e34.png

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось.

2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].

3. Функция четная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2π.

5. Нули функции: hello_html_105a5881.gif, где k – целое.

6. Интервалы знакопостоянства: hello_html_14949937.gifприhello_html_m2381845e.gif, hello_html_m346a39df.gif ; hello_html_314be915.gifприhello_html_m7759cea.gif, hello_html_m346a39df.gif.


3. Функция y=tg(x).

График функции y=tg(x) – тангенсоида:

hello_html_m62bc757b.png Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида hello_html_m7b75fc9.gif, где k – целое.

2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.

5. Нули функции: (πk;0) , где k – целое.

6. Интервалы знакопостоянства: hello_html_m93f5168.gifприhello_html_570c7d53.gif, hello_html_m346a39df.gif ; hello_html_3ddd0b23.gifприhello_html_53341847.gif, hello_html_m346a39df.gif.


4. Функция y=ctg(x).

График функции y=ctg(x):

hello_html_3f19ea02.png Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида xk, где k – целое.

2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.

5. Нули функции: hello_html_105a5881.gif, где k – целое.

6. Интервалы знакопостоянства: hello_html_60440b59.gifприhello_html_78026dfc.gif, hello_html_m346a39df.gif ; hello_html_m10f711e7.gifприhello_html_m79c2472d.gif, hello_html_m346a39df.gif.

2.2. Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований графиков.


Виды преобразований графиков функций.

  1. Сжатие графика к оси ординат.
    Правило
    : чтобы построить график функции hello_html_m52e1ce0.gif, где hello_html_35b0eb7a.gif, нужно график функции hello_html_m5c7051ca.gif сжать к оси Оу в hello_html_m32fac13b.gif раз.

Пример 1

Пhello_html_m278fec89.gifостроить график функции hello_html_4dca28b.gif. Сначала строим график hello_html_m2b61608d.gif. Период hello_html_m1dacc17c.gif.

hello_html_24861cfb.jpg

Сжимаем синусоиду  к оси Оу  в 2 раза:

hello_html_13dc05b7.jpg
Таким образом, график функции 
hello_html_4dca28b.gif получается путём сжатия графика hello_html_m2b61608d.gif к оси ординат в два раза.

Период функции hello_html_4dca28b.gifравенhello_html_4fd45fec.gif.

В целях самоконтроля можно взять 2-3 значения «икс» и устно либо на черновике выполнить подстановку:
hello_html_416b452.png
Смотрим на чертёж, и видим, что это действительно так.

Пример 2

Построить график функции hello_html_m457158c0.gif.

График функции  hello_html_m541fce4d.gif сжимается к оси Оу в 3 раза:


Прямая со стрелкой 378Прямая со стрелкой 379hello_html_m238cc3f4.jpg
Период
hello_html_m7c9bb470.gifфункции hello_html_m541fce4d.gif равен hello_html_5102f37.gif, период функции hello_html_m457158c0.gif составляет hello_html_bdf1e33.gif.

  1. Растяжение графика функции от оси ординат

Правило: чтобы построить график функции hello_html_m4e00b237.gif, где hello_html_35b0eb7a.gif, нужно график функции hello_html_m5c7051ca.gif растянуть от оси Оу в hello_html_m32fac13b.gif раз.

Пример 3 Построить график функции hello_html_2b479ab0.gif. Строим графикhello_html_2e27129b.gif.

Период hello_html_m1dacc17c.gif.

hello_html_1d6eff47.jpg

И растягиваем синусоиду от оси Оу в 2 раза:
hello_html_m47eb9b09.jpg

То есть, график функции hello_html_2b479ab0.gif получается путём растяжения графика hello_html_m2b61608d.gif от оси ординат в два раза. Период итоговой функции увеличивается в 2 раза: hello_html_m7264c612.gif.



  1. Сдвиг графика влево/вправо вдоль оси абсцисс

Если к аргументу функции  добавляется постоянная, то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси Ох.

Рассмотрим функцию hello_html_2aa89a9a.gif и положительное число hello_html_38c5ad6c.gif:

Правило
1) чтобы построить график функции 
hello_html_m7828ce6a.gif, нужно график hello_html_2aa89a9a.gif сдвинуть вдоль оси Ох  на hello_html_38c5ad6c.gif единиц влево;
2) чтобы построить график функции 
hello_html_m54930cee.gif, нужно график  hello_html_2aa89a9a.gifсдвинуть вдоль оси  ОХ  на hello_html_38c5ad6c.gif единиц вправо.

Пример 4

Построить график функции hello_html_586c253.gif. 

График синуса hello_html_2e27129b.gif  сдвинем вдоль оси Ох на hello_html_76539f74.gif влево:


hello_html_m5f908c1b.jpgПрямая со стрелкой 377Прямая со стрелкой 374Прямая со стрелкой 375Прямая со стрелкой 376
Внимательно присмотримся к полученному красному графику
hello_html_586c253.gif Это в точности график косинуса hello_html_m541fce4d.gif. Мы получили геометрическую иллюстрацию формулы приведенияhello_html_348c94f.gif.

   График  функции hello_html_m541fce4d.gif получается путём сдвига синусоиды hello_html_2e27129b.gifвдоль оси Ох  на hello_html_76539f74.gif единиц влево.

Рассмотрим композиционное правило, когда аргумент представляет собой линейную функцию: hello_html_345451c8.gif, при этомhello_html_m46facb9.gif.

Функцию hello_html_m7faf199b.gif необходимо представить в видеhello_html_m6f0d2b05.gif  и последовательно выполнить следующие преобразования:

1) График функции hello_html_m417e912c.gif сжимаем (или растягиваем) к оси (от оси) ординат:hello_html_119a36d5.gif. 

2) График полученной функции hello_html_119a36d5.gif сдвигаем влево (или вправо) вдоль оси  абсцисс на hello_html_a119ece.gif  единиц, в результате чего будет построен искомый график hello_html_m7faf199b.gif.

Пример 5

Построить график функцииhello_html_681d8a8e.gif  

Представим функцию в видеhello_html_6edfaf9a.gif  и выполним следующие преобразования: синусоиду hello_html_m2b61608d.gif  сожмём к оси Оу в два раза:hello_html_m4bc5eca5.gif.
2) сдвинем вдоль оси 
Ох на hello_html_m19d1f9d3.gif  влевоhello_html_681d8a8e.gif.

hello_html_m25731d0.png

 Пример, вроде бы, несложный, а сделать ошибку в параллельном переносе легко. График сдвигается наhello_html_m19d1f9d3.gif, а вовсе не на hello_html_76539f74.gif.

  1. Растяжение графика вдоль оси ординат.


Правило: чтобы построить график функции hello_html_3136a4a2.gif, где hello_html_me4e7c06.gif, нужно график функции hello_html_2aa89a9a.gif растянуть вдоль оси Оу в hello_html_7aff9f5a.gif раз.

Пример 6

Построить график функции  hello_html_m3fe104b3.gif. Строим график функции hello_html_2e27129b.gif:
hello_html_24861cfb.jpg
И 
вытягиваем синусоиду вдоль оси Оу  в 2 раза:
hello_html_m7cda160f.jpg
Период функции 
hello_html_m3fe104b3.gif не изменился и составляет hello_html_m1dacc17c.gif, а вот значения (все, кроме нулевых) увеличились по модулю в два раза. Область значений функции hello_html_m3fe104b3.gifhello_html_m6cfb9ed.gif.

  1. Сжатие графика вдоль оси ординат.
    Правило
    : чтобы построить график функции hello_html_59d83b84.gif, где hello_html_me4e7c06.gif, нужно график функции hello_html_2aa89a9a.gif сжать вдоль оси Оу вhello_html_7aff9f5a.gif   раз.

Пример 7

Построить график функции hello_html_m5a71297d.gif.

Строим график функции hello_html_2e27129b.gif:
hello_html_24861cfb.jpg


Теперь сжимаем синусоиду вдоль оси Оу  в 2 раза:
hello_html_40a8c4a.jpg
Аналогично, период 
hello_html_m1dacc17c.gif не изменился, а область значений функцииhello_html_m5a71297d.gifhello_html_m2c8a707f.gif.

  1. Симметричное отображение графика относительно оси абсцисс

Правило: чтобы построить график функции hello_html_7b4a18ac.gif, нужно график hello_html_2aa89a9a.gif отобразить симметрично относительно оси Ох.

Пример 8

Построить график функции hello_html_m2de8504d.gif.

Отобразим синусоиду симметрично относительно оси Ох:

hello_html_6e5a0cb4.jpg

  1. Сдвиг графика вверх/вниз вдоль оси ординат

Правило
1) чтобы построить график функции 
hello_html_6e996b58.gif, нужно график hello_html_2aa89a9a.gif сдвинуть ВДОЛЬ оси Оу на hello_html_m6c708c75.gif единиц вверх;
2) чтобы построить график функции 
hello_html_2efde524.gif, нужно график hello_html_2aa89a9a.gif сдвинуть ВДОЛЬ оси Оу на hello_html_m6c708c75.gif единиц вниз.

Пример 9.

Построить графики функцийhello_html_2bcb712d.gif, hello_html_1bac5782.gif.

hello_html_1d5c1271.jpg

Комбинационное построение графикаhello_html_m1a5056f2.gif  в общем случае осуществляется очевидным образом:

1) График функции hello_html_2aa89a9a.gif растягиваем (сжимаем) вдоль оси Оу. Если множитель отрицателен, дополнительно осуществляем симметричное отображение относительно оси Ох.

2) Полученный на первом шаге график hello_html_3136a4a2.gif сдвигаем вверх или вниз в соответствии со значением константы hello_html_m6c708c75.gif.

Пример 10

Построить график функцииhello_html_m49e429ce.gif 

Строим график косинуса hello_html_1f42488e.gif:

  1. Растягиваем вдоль оси Оу в 1,5  раза: hello_html_4475aaec.gif;

  2. Сдвигаем вдоль оси Оу на 2 единицы вниз: hello_html_m49e429ce.gif.

hello_html_m2781ff74.png

Общая схема построения графика функции
с помощью геометрических преобразований

Рассмотрим функциюhello_html_m146be3af.gif, которая «базируется» на некоторой функции hello_html_m129befc1.gif.

Для построения графика функции hello_html_4bf462f6.gif

на первом шаге выполняем преобразования, связанные с аргументом функции, в результате чего получаем график функцииhello_html_56ac63ed.gif;

на втором шаге выполняем преобразования, связанные с самой функцией, и получаем график функции hello_html_4bf462f6.gif.

Пример 11. Найдите множество значений функции hello_html_m2a2ef1ec.gif.

Решение:

Область значений функции hello_html_m78f0b3fa.gif, как и функции hello_html_1190548e.gif равна hello_html_c7c229b.gif. Так как при умножении на -3 происходит растяжение в 3 раза вдоль Оу графика функции hello_html_m78f0b3fa.gif и симметричное отображение графика функции hello_html_8755c83.gifотносительно оси абсцисс, область значений функцииhello_html_m528b0958.gif - отрезок hello_html_m6e43538b.gif. А после сдвига вдоль Оу вниз наhello_html_2f33519a.gif графика последней функции, получаем окончательный ответ hello_html_m137e9380.gif.

Пример 12. Используя четностью/нечетность тригонометрических функций, исследовать на четностью/нечетность функцию hello_html_82cb107.gif.

Решение:

Поменяем знак аргумента, получим, hello_html_m56d757e3.gif, следовательно функция нечетная.



ИЗ № 2.

  1. Построить график функции

  1. hello_html_34026305.gif

  2. hello_html_m75ef3097.gif

  3. hello_html_5d899234.gif

  4. hello_html_6bd5c916.gif

  5. hello_html_5f3e669c.gif

  6. hello_html_54d91fba.gif

  7. hello_html_m2b96d10.gif

  8. hello_html_m347050e1.gif

  9. hello_html_m2fbc9ad.gif

  10. hello_html_662f92bc.gif

  11. hello_html_aa575a7.gif

  12. hello_html_m1e0cd131.gif

  13. hello_html_m34289828.gif

  14. hello_html_76638244.gif

  15. hello_html_226a3de8.gif

  16. hello_html_m147acff9.gif

  17. hello_html_m51083616.gif

  18. hello_html_m1aef4b4f.gif

  19. hello_html_m387162ef.gif

  20. hello_html_62912df5.gif

  21. hello_html_53ed8b22.gif

  22. hello_html_md76a98b.gif

  23. hello_html_mcc61bb7.gif

  24. hello_html_540fc6ca.gif

  25. hello_html_m22f6d1fd.gif

  26. hello_html_m4eb0665f.gif

  27. hello_html_m37637b34.gif

  28. hello_html_3a467281.gif

  29. hello_html_cea3409.gif

  30. hello_html_m4c062bd8.gif





  1. Построить график функции.

  1. hello_html_m7cf73f8f.gif

  2. hello_html_5158ad98.gif

  3. hello_html_4e66613e.gif

  4. hello_html_m30308d7e.gif

  5. hello_html_1ced7ada.gif

  6. hello_html_m2517a887.gif

  7. hello_html_m50fae6a7.gif

  8. hello_html_mdd53850.gif

  9. hello_html_m23e40af5.gif

  10. hello_html_52a8b84c.gif

  11. hello_html_m454428a5.gif

  12. hello_html_m6cc02a23.gif

  13. hello_html_4dc68cac.gif

  14. hello_html_64d5ad09.gif

  15. hello_html_m6929162d.gif

  16. hello_html_m4849b9fc.gif

  17. hello_html_1f53c716.gif

  18. hello_html_6252c237.gif

  19. hello_html_m1e223846.gif

  20. hello_html_7ffb388b.gif

  21. hello_html_2a2e6aa.gif

  22. hello_html_m637abd92.gif

  23. hello_html_e34db34.gif

  24. hello_html_7ed49e7e.gif

  25. hello_html_m6d88e589.gif

  26. hello_html_4e00a3a4.gif

  27. hello_html_4f4e3a21.gif

  28. hello_html_3fd82893.gif

  29. hello_html_mce762b.gif

  30. hello_html_131978fd.gif



  1. Построить график функции

  1. hello_html_231b9bbf.gif

  2. hello_html_m6c361bfe.gif

  3. hello_html_m14d9c9cb.gif

  4. hello_html_67c606be.gif

  5. hello_html_6b30e4ba.gif

  6. hello_html_m6f418c49.gif

  7. hello_html_3f8c1ecd.gif

  8. hello_html_m49ebd399.gif

  9. hello_html_m268716e.gif

  10. hello_html_6ebce34d.gif

  11. hello_html_17a7c266.gif

  12. hello_html_31bd0bd7.gif

  13. hello_html_1b48172a.gif

  14. hello_html_45e4accc.gif

  15. hello_html_45b83350.gif

  16. hello_html_m2f448b0b.gif

  17. hello_html_m43b37677.gif

  18. hello_html_1a64bbc2.gif

  19. hello_html_m4bacffcc.gif

  20. hello_html_m5ca42955.gif

  21. hello_html_m3ad28f8b.gif

  22. hello_html_580d06bd.gif

  23. hello_html_m7bbc6262.gif

  24. hello_html_m15d3c2c1.gif

  25. hello_html_m4def2cf7.gif

  26. hello_html_m49ebd399.gif

  27. hello_html_m38029395.gif

  28. hello_html_m158d3989.gif

  29. hello_html_m67c6731b.gif

  30. hello_html_m49ebd399.gif



  1. Найдите область значений функции.

    1. hello_html_m7c75efbc.gif;

    2. hello_html_m63bade59.gif;

    3. hello_html_m46c55cc1.gif;

    4. hello_html_m51fa6b0e.gif;

    5. hello_html_4a918b7a.gif;

    6. hello_html_2bbb335e.gif;

    7. hello_html_m18d4e62f.gif;

    8. hello_html_41264f5d.gif;

    9. hello_html_m52004168.gif;

    10. hello_html_m739ee07c.gif;

    11. hello_html_55f93343.gif;

    12. hello_html_2097c589.gif;

    13. hello_html_31bebcbb.gif;

    14. hello_html_5d38e82.gif;

    15. hello_html_7963aee5.gif;

    16. hello_html_317ae7d8.gif;

    17. hello_html_m20f52f20.gif;

    18. hello_html_543152e6.gif;

    19. hello_html_m7fa2b0eb.gif;

    20. hello_html_7f80c6d6.gif;

    21. hello_html_2b4fc44.gif;

    22. hello_html_604ffc33.gif;

    23. hello_html_2efeb2e8.gif;

    24. hello_html_m373e14e4.gif;

    25. hello_html_m480fa495.gif;

    26. hello_html_6fc3e2dd.gif;

    27. hello_html_18204aed.gif;

    28. hello_html_313ed215.gif;

    29. hello_html_m340d6bff.gif;

    30. hello_html_239f78d6.gif.



  1. Исследуйте функцию на четностью/нечетность.

    1. hello_html_m3a259401.gif;

    2. hello_html_m6af1195a.gif;

    3. hello_html_5e28f5e8.gif;

    4. hello_html_m7434b64d.gif;

    5. hello_html_m1df882a.gif;

    6. hello_html_2d036c01.gif;

    7. hello_html_m63bf0055.gif;

    8. hello_html_1e2bdd8a.gif;

    9. hello_html_m39a13fd4.gif;

    10. hello_html_m185637fb.gif;

    11. hello_html_m6310f72d.gif;

    12. hello_html_43c06074.gif;

    13. hello_html_m755219c.gif;

    14. hello_html_2c3d6e72.gif;

    15. hello_html_m1aee7159.gif;

    16. hello_html_m6a584cec.gif;

    17. hello_html_56757004.gif;

    18. hello_html_m15ee868a.gif;

    19. hello_html_61f60632.gif;

    20. hello_html_3cddcd00.gif;

    21. hello_html_m1c880c78.gif;

    22. hello_html_489818a9.gif;

    23. hello_html_4d88d8.gif;

    24. hello_html_1a6a9f35.gif;

    25. hello_html_6f080fb4.gif;

    26. hello_html_m3da8a2d3.gif;

    27. hello_html_1a6bf0ea.gif;

    28. hello_html_5cea370f.gif;

    29. hello_html_m37dd9c8b.gif;

    30. hello_html_m39e8f455.gif.


§ 3. Обратные тригонометрические функции.

Арксинусом числа hello_html_3e67823e.gifназывается угол hello_html_300fa367.gif, синус которого равен hello_html_60d2f2c2.gif. Т.е. hello_html_m513d8a9f.gif, hello_html_300fa367.gif.

График функции hello_html_m6c5c948c.gif.

hello_html_2b49e2cd.png


Арккосинусом числа hello_html_3e67823e.gifназывается угол hello_html_m4700f603.gif, косинус которого равен hello_html_60d2f2c2.gif. Т.е. hello_html_m3fd6558e.gif,hello_html_m4700f603.gif.

График функции hello_html_m602e0661.gif.

hello_html_m74043194.png

Арктангенсом числа hello_html_m6ad95f9.gifназывается угол hello_html_m719ac863.gif, тангенс которого равен hello_html_60d2f2c2.gif. Т.е. hello_html_m729a112f.gif,hello_html_m719ac863.gif.

График функции hello_html_m4866d41e.gif.

hello_html_213dac93.png

Арккотангенсом числа hello_html_m6ad95f9.gifназывается угол hello_html_m31091b1c.gif, котангенс которого равен hello_html_60d2f2c2.gif. Т.е. hello_html_m68be97b1.gif,hello_html_m31091b1c.gif.

График функции hello_html_2412d11e.gif.

hello_html_2537c415.png

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции.

hello_html_m67cbc41c.gif, hello_html_m64fdfb2b.gif

hello_html_m3e0205af.gif

hello_html_md51f8a3.gif, hello_html_m153f96b4.gif

hello_html_4d7d7846.gif

hello_html_73606a6b.gif, hello_html_25cdad0f.gif

hello_html_m586350f8.gif

hello_html_m6b78f2d7.gif, hello_html_m7cdc95f1.gif

hello_html_4d01d254.gif

Примеры.

1. Вычислите hello_html_m21ed5584.gif.

Решение:

hello_html_m7eee8b44.gif

hello_html_7b327cbc.gif.

2. Вычислите hello_html_m5c4d2415.gif, hello_html_495af08d.gif.

Решение:

hello_html_m5435a6f9.gif

hello_html_2a7dc7bc.gif;

hello_html_39d5f98.gif.

ИЗ № 3.


  1. Вычислите

    1. hello_html_m2c492f0d.gif;

    2. hello_html_m4c22e0e6.gif;

    3. hello_html_2e9f91fd.gif;

    4. hello_html_1bf7eb22.gif;

    5. hello_html_m4fcd9784.gif;

    6. hello_html_m65cccb9e.gif;

    7. hello_html_3dfc33a4.gif;

    8. hello_html_7cbf5b9e.gif;

    9. hello_html_1bf7eb22.gif;

    10. hello_html_m3af59bc3.gif;

    11. hello_html_m31078cc7.gif;

    12. hello_html_2ad8463e.gif;

    13. hello_html_m66c4504a.gif;

    14. hello_html_m2cecb2c8.gif;

    15. hello_html_4adc7ebc.gif;

    16. hello_html_5228d258.gif;

    17. hello_html_m457b9274.gif;

    18. hello_html_5827e5a9.gif;

    19. hello_html_m5cc29d28.gif;

    20. hello_html_m5106d21d.gif;

    21. hello_html_5d16b6c1.gif;

    22. hello_html_m5ea304cc.gif;

    23. hello_html_59100557.gif;

    24. hello_html_44af0fd4.gif;

    25. hello_html_m1943c26e.gif;

    26. hello_html_m4c44e77e.gif;

    27. hello_html_4e0bd352.gif;

    28. hello_html_57868534.gif;

    29. hello_html_m4bd1d257.gif;

    30. hello_html_m5735d463.gif.



  1. Вычислите

    1. hello_html_650c7544.gif;

    2. hello_html_4a4ff3ef.gif;

    3. hello_html_mb7f2073.gif;

    4. hello_html_1430e5ad.gif;

    5. hello_html_m18e68fc1.gif;

    6. hello_html_m668857d.gif;

    7. hello_html_m1e128d3f.gif;

    8. hello_html_m57e372b3.gif;

    9. hello_html_59e86a36.gif;

    10. hello_html_m3f62a79a.gif;

    11. hello_html_m18e68fc1.gif;

    12. hello_html_706312d8.gif;

    13. hello_html_6a76e8fb.gif;

    14. hello_html_13099620.gif;

    15. hello_html_mb7f2073.gif;

    16. hello_html_3fed31ec.gif;

    17. hello_html_m7a14e89.gif;

    18. hello_html_m7cb1cb01.gif;

    19. hello_html_4aa40a57.gif;

    20. hello_html_m7ee0c0bd.gif;

    21. hello_html_m473aca1c.gif;

    22. hello_html_4094315c.gif;

    23. hello_html_2e072a5a.gif;

    24. hello_html_m72a92282.gif;

    25. hello_html_m7f096646.gif;

    26. hello_html_42a1cf39.gif;

    27. hello_html_m6e13e172.gif;

    28. hello_html_47466508.gif;

    29. hello_html_373cc36f.gif;

    30. hello_html_m14f42652.gif.


§ 4. Тригонометрические уравнения.

Определение: Тригонометрическим называется уравнение, в котором неизвестные находятся под знаком тригонометрических функций.


    1. Простейшие тригонометрические уравнения.


Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида: hello_html_m4e42eb26.gif, hello_html_m1e3548c3.gif, hello_html_3e23d482.gif, hello_html_m75c1c77.gif.

Решить простейшее тригонометрическое уравнение – значит найти множество всех углов (дуг), имеющих данное значение тригонометрической функции.

  1. hello_html_m621abf48.gif

Если hello_html_mdf5f1e0.gif уравнение корней не имеет.

Если hello_html_m4429e00.gif, решение находим по формуле: hello_html_m554802d7.gif, hello_html_41d2c07.gif.

Частные случаи: hello_html_m690dc4a4.gif

  1. hello_html_4d5ce6fb.gif

Если hello_html_mdf5f1e0.gif уравнение корней не имеет.

Если hello_html_m4429e00.gif, решение находим по формуле: hello_html_102cb905.gif, hello_html_41d2c07.gif.

Частные случаи: hello_html_4f335373.gif

3)hello_html_m615dc30c.gifhello_html_57441ec9.gif,hello_html_41d2c07.gif.

4)hello_html_43ce19a7.gifhello_html_m736e8a22.gif,hello_html_41d2c07.gif.


Примеры.

  1. Решить уравнение hello_html_m40830173.gif.

Решение: hello_html_m4e259e53.gif, т.е. hello_html_3b9feddd.gif.

  1. Решить уравнение hello_html_1ac9c10b.gif

Решение:

hello_html_m756d56b2.gif;

hello_html_7a0e353c.gif;

hello_html_m59a34c90.gif.

    1. Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным.


Уравнения вида hello_html_148efba.gif, где hello_html_m7e5936a.gif, решаются приведением к квадратному путем замены hello_html_mab3b5e4.gif. (аналогично решаются уравнения с другими тригонометрическими функциями).

Примеры.

  1. Решить уравнение hello_html_1ef15514.gif.

Решение:

Введем новую переменную hello_html_mae85b96.gif. Тогда данное уравнение можно записать в виде hello_html_m31a99c2f.gif. Мы получили квадратное уравнение. Его корнями служат hello_html_769c337a.gif и hello_html_m15f2fe4a.gif. Следовательно, hello_html_57008506.gif или hello_html_m3ede280b.gif. В первом случае получим решения

hello_html_2bf4e4f0.gif,

т.е. hello_html_m6850c193.gif, hello_html_6f7da4b7.gif.

Во втором случае имеем: hello_html_54aace6d.gif, hello_html_6f7da4b7.gif.

  1. Решить уравнение hello_html_m248767a4.gif.

Решение:

Заменяя hello_html_4249d8d2.gif , получим относительно cos x квадратное уравнение hello_html_m3b9f319f.gif

hello_html_3a411ffb.gif

hello_html_m3004122f.gif

Введем новую переменнуюhello_html_m141b6b1f.gif. Тогда hello_html_m61bd2b95.gif, откуда hello_html_4b120b13.gif или hello_html_51531cef.gif . Уравнение hello_html_fcb3bd8.gif не имеет решений, т.к.hello_html_4c9f64c6.gif . Решая уравнение hello_html_39e3f9dd.gif находим: hello_html_15a52937.gif.

  1. Решить уравнение hello_html_51bb342c.gif.

Решение: Заменяя hello_html_2b8000da.gif, получим hello_html_m7e510218.gif, откуда, т.к. hello_html_m4cee5e3.gif, получаем hello_html_m78d17b9b.gif. Введем новую переменную hello_html_m77bde2b3.gif. Тогда hello_html_25c7dcec.gif, откуда hello_html_m5fe71af9.gif или hello_html_m6896fce5.gif. Следовательно, hello_html_m7ac20e98.gif и hello_html_m223c20ba.gif.


    1. Однородные тригонометрические уравнения.

Однородные тригонометрические уравнения имеют ту же структуру, что и однородные уравнения любого другого вида.

Отличительные признаки однородных уравнений:

а) все одночлены имеют одинаковую степень,

б) свободный член равен нулю,

в) в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями.

Однородное тригонометрическое уравнение – это уравнение двух видов:

hello_html_m200f7a76.gif (однородное уравнение первой степени)

либо

hello_html_fb73d7e.gif (однородное уравнение второй степени).

Алгоритм решения однородного уравнения первой степени: 

1) разделить обе части уравнения на hello_html_74901a5a.gif (или на hello_html_m686d3f09.gif). Делить можно на число, не равное 0, а hello_html_200799e5.gif, т.к. в противном случае hello_html_m1605930b.gif и hello_html_m31257d14.gif, следовательно hello_html_2648a58.gif, что неверно;

2) воспользоваться формулой hello_html_5b7d446b.gif (hello_html_736292bd.gif);

3) решить получившееся уравнение.


Пример.

  1. Решить уравнение hello_html_m5e7e40d.gif.

Решение:

hello_html_m5e7e40d.gif- однородное уравнение. Разделить обе части уравнения на hello_html_5215b4dd.gif.

Получим hello_html_2ca15be6.gif, hello_html_m46a73986.gif, hello_html_m89d9a8b.gif


hello_html_5d628f9c.gif, hello_html_29f2bbd8.gif.

Ответ: hello_html_29f2bbd8.gif

Алгоритм решения однородного уравнения второй степени: 

1) разделить обе части уравнения на hello_html_m919318c.gif (или на hello_html_m27419f68.gif). Делить можно на число, не равное 0, а hello_html_789762cf.gif, т.к. в противном случае hello_html_mf5e2367.gif,hello_html_49beda74.gif и hello_html_m31257d14.gif, следовательно hello_html_2648a58.gif, что неверно;

2) воспользоваться формулой hello_html_5b7d446b.gif (hello_html_736292bd.gif);

3) решить получившееся уравнение.


Примеры.

  1. Решить уравнение hello_html_18ba0d2c.gif.

Решение:

hello_html_1cc1fc4d.gif- однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на hello_html_4df5a8f0.gif.

Получим hello_html_b505327.gif.

hello_html_37d5ef00.gif. Замена переменной : hello_html_12ca385.gif

hello_html_1de4fe38.gif

hello_html_1a1580de.gif, hello_html_7f398f3a.gif, hello_html_2e8d3c26.gif, hello_html_27630726.gif

hello_html_77919f15.gif, hello_html_224b471c.gif;

hello_html_3c8b423d.gif, hello_html_6561a869.gif.

Ответ: hello_html_224b471c.gif; hello_html_6561a869.gif.

  1. Решить уравнение hello_html_m11b7f193.gif.

Решение:

Применим формулы hello_html_6f35d24b.gif, hello_html_19ac287a.gif. Получим hello_html_m2adf7ea.gif, hello_html_m3ce070fd.gif- однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на hello_html_4df5a8f0.gif.

Получим hello_html_3b474b08.gif.

hello_html_63660444.gif. Замена переменной : hello_html_12ca385.gif

hello_html_665f4ad.gif

hello_html_2e8d3c26.gif, hello_html_m4fc52a7.gif

hello_html_77919f15.gif, hello_html_224b471c.gif;

hello_html_m20ff42f3.gif, hello_html_36b87c3d.gif.

Ответ: hello_html_224b471c.gif; hello_html_36b87c3d.gif.


    1. Решение тригонометрических уравнений, введением вспомогательного угла.

Рассмотрим уравнение вида: hello_html_m581ec33d.gif.

Разделим обе части уравнения на hello_html_m41a3b96.gif. Получим hello_html_m78647bb3.gif.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как hello_html_m211b34d9.gif иhello_html_58443ee2.gif ( здесь hello_html_m4ef7215e.gif- так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид: hello_html_74e04c30.gif или hello_html_46cc0986.gif и его решение hello_html_m1934801.gif, где hello_html_666161d.gif. Заметим, что hello_html_m211b34d9.gif иhello_html_58443ee2.gif взаимно заменяемы.

Пример.

  1. Решить уравнение hello_html_m539c99c.gif.

Решение: Здесь hello_html_mdd93e88.gif.

Делим обе части уравнения на 2. Получим hello_html_56d625d5.gif, откуда

hello_html_47a3560.gifи hello_html_3dbce711.gif.

Решив последнее уравнение, получим hello_html_m5aa67e80.gif;

hello_html_m4a98091e.gif.


    1. Решение тригонометрических уравнений, используя формулы преобразования произведения в сумму и обратно.


Примеры.

  1. Решить уравнение hello_html_3b2f08bf.gif

Решение: Используя формулу hello_html_2607c767.gif, получим hello_html_m465ed675.gif. Тогда уравнение примет вид hello_html_1312d42f.gif, откуда hello_html_m50a5ba63.gif, hello_html_m383907f9.gif, hello_html_mb9dd6d9.gif.


  1. Решить уравнение hello_html_m50a9e7f1.gif


Решение:

hello_html_4e9a3fe5.gif

Применим формулу hello_html_m71e88676.gif.

hello_html_m68e033fc.gif

hello_html_1422adaf.gif

Еще раз применим формулу hello_html_m71e88676.gif, получим

hello_html_2601ec87.gif

hello_html_42ceef07.gifили hello_html_m61bec23c.gif или hello_html_1a63f52e.gif

hello_html_m4a121d36.gifhello_html_715a4fbb.gifhello_html_m667f5d0b.gif

hello_html_a114b3f.gifhello_html_5a7c9b9d.gif


    1. Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной подстановки hello_html_m458a1f8a.gif , hello_html_m7cc5fe7c.gif.

Пример.

  1. Решить уравнение hello_html_1f8b3b27.gif.

Решение: Возможны 2 случая:

  1. hello_html_m2ba42ef1.gifне существует, т.е. hello_html_m3f360202.gif, hello_html_7e8b33ea.gif. Тогда hello_html_4d467d31.gif.

  2. hello_html_m2ba42ef1.gifсуществует и hello_html_6662d375.gif , hello_html_m7cc5fe7c.gif.

Тогда уравнение примет вид: hello_html_2c8ba23f.gif.

Откуда

hello_html_m251e851e.gif;


hello_html_522b39cf.gif.

Делаем замену: hello_html_m751137eb.gif. Имеем hello_html_m47fe1c56.gif, hello_html_m4d8a5571.gif.

Тогда hello_html_512c6474.gif и hello_html_m217a58fc.gif.

ИЗ № 4.


  1. Решите простейшее тригонометрическое уравнение.


    1. hello_html_49479b13.gif;

    2. hello_html_m33ac4516.gif;

    3. hello_html_m3985dde8.gif;

    4. hello_html_m9870b77.gif;

    5. hello_html_m3bf2938c.gif;

    6. hello_html_47f34572.gif;

    7. hello_html_41800ccc.gif;

    8. hello_html_10bc5c0b.gif;

    9. hello_html_641603b4.gif;

    10. hello_html_6ba9649f.gif;

    11. hello_html_3e46d157.gif;

    12. hello_html_60b346b0.gif;

    13. hello_html_6f82d0a1.gif;

    14. hello_html_m3082c50.gif;

    15. hello_html_14a09da2.gif;

    16. hello_html_m5e212670.gif;

    17. hello_html_m63b9744a.gif;

    18. hello_html_3e40bcf9.gif;

    19. hello_html_m39ce06df.gif;

    20. hello_html_m1b2dfdd6.gif;

    21. hello_html_4c3becf9.gif;

    22. hello_html_m49139870.gif;

    23. hello_html_4dcfe0a8.gif;

    24. hello_html_m63ccc4f0.gif;

    25. hello_html_m5f70959d.gif;

    26. hello_html_m145ba17d.gif;

    27. hello_html_54fe8c55.gif;

    28. hello_html_14a09da2.gif;

    29. hello_html_m6d76dc74.gif;

    30. hello_html_m2a738568.gif.


  1. Решите простейшее тригонометрическое уравнение.


    1. hello_html_7866112.gif;

    2. hello_html_m20176c66.gif;

    3. hello_html_m8ee6849.gif;

    4. hello_html_2a0f4292.gif;

    5. hello_html_m51aa766.gif;

    6. hello_html_m24205cfe.gif;

    7. hello_html_1a20df4.gif;

    8. hello_html_m5c1efcfd.gif;

    9. hello_html_3016d2f.gif;

    10. hello_html_5a02d5d8.gif;

    11. hello_html_32f82cc1.gif;

    12. hello_html_29c77469.gif;

    13. hello_html_m3e4c4785.gif;

    14. hello_html_651ffa69.gif;

    15. hello_html_3b3d5f12.gif;

    16. hello_html_m38df2fd.gif;

    17. hello_html_m5972506d.gif;

    18. hello_html_2e292fb9.gif;

    19. hello_html_m355684c6.gif;

    20. hello_html_m6aa1e26a.gif;

    21. hello_html_m1b78b9a.gif;

    22. hello_html_m602ef67e.gif;

    23. hello_html_19006f66.gif;

    24. hello_html_m6ec16d65.gif;

    25. hello_html_mc8a14dd.gif;

    26. hello_html_m61f94284.gif;

    27. hello_html_544713de.gif;

    28. hello_html_54a510c0.gif;

    29. hello_html_7aede396.gif;

    30. hello_html_b1027e7.gif.


  1. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.


    1. hello_html_m7f1f66d8.gif;

    2. hello_html_m7ff4566c.gif;

    3. hello_html_503c491e.gif;

    4. hello_html_m30ab38e.gif;

    5. hello_html_265cddc8.gif;

    6. hello_html_21491892.gif;

    7. hello_html_m2e8401bf.gif;

    8. hello_html_6dbc2a7c.gif;

    9. hello_html_44dc4040.gif;

    10. hello_html_m74d5ec31.gif;

    11. hello_html_79c348d8.gif;

    12. hello_html_30c44a78.gif;

    13. hello_html_53cc0150.gif;

    14. hello_html_mb03aae2.gif;

    15. hello_html_m7cbb609f.gif;

    16. hello_html_631fc5b0.gif;

    17. hello_html_m354f604a.gif;

    18. hello_html_m6de14ac9.gif;

    19. hello_html_6350e4f1.gif;

    20. hello_html_64559f77.gif;

    21. hello_html_6ed71b32.gif;

    22. hello_html_bb14cc4.gif;

    23. hello_html_20fe7f6e.gif;

    24. hello_html_m42470a61.gif;

    25. hello_html_m3e4c4785.gif;

    26. hello_html_m5c92cac5.gif;

    27. hello_html_7e31852.gif;

    28. hello_html_m35625822.gif;

    29. hello_html_m5bf18085.gif;

    30. hello_html_m12b5f19d.gif.



  1. Решить тригонометрическое уравнение:


    1. hello_html_7c930196.gif;

    2. hello_html_m7c2da76.gif;

    3. hello_html_489d7a90.gif;

    4. hello_html_m250a849e.gif;

    5. hello_html_7bfe12ac.gif;

    6. hello_html_32dc37db.gif

    7. hello_html_m4f47aced.gif;

    8. hello_html_4007a67a.gif

    9. hello_html_60c634c1.gif

    10. hello_html_m543562d5.gif;

    11. hello_html_m3407acd3.gif

    12. hello_html_m581972ad.gif;

    13. hello_html_m2b95db91.gif;

    14. hello_html_2f391e68.gif;

    15. hello_html_12791c39.gif;

    16. hello_html_m61fd48e.gif;

    17. hello_html_cfcfbeb.gif;

    18. hello_html_m3a44fbb4.gif

    19. hello_html_2ac5cbe4.gif

    20. hello_html_32f8b07d.gif;

    21. hello_html_m3748efea.gif

    22. hello_html_489d7a90.gif;

    23. hello_html_m95ff424.gif;

    24. hello_html_m738df9d3.gif;

    25. hello_html_m36268a83.gif;

    26. hello_html_m4bf7ab1a.gif;

    27. hello_html_m53fc7ff5.gif;

    28. hello_html_51b27aed.gif;

    29. hello_html_4a66d007.gif;

    30. hello_html_19073f6a.gif.


  1. Решить тригонометрическое уравнение:


    1. hello_html_medfb527.gif;

    2. hello_html_m56aa73ea.gif;

    3. hello_html_2cc9a616.gif;

    4. hello_html_2ec4c0db.gif;

    5. hello_html_m67a006ab.gif;

    6. hello_html_2ff0be22.gif;

    7. hello_html_332f8c8f.gif;

    8. hello_html_2d1b21ae.gif;

    9. hello_html_641e6aeb.gif;

    10. hello_html_55ddafd4.gif;

    11. hello_html_meffa2cc.gif

    12. hello_html_332f8c8f.gif;

    13. hello_html_m2a0291fa.gif;

    14. hello_html_m7a5fbe8f.gif;

    15. hello_html_m4d77e161.gif;

    16. hello_html_2277bcfa.gif;

    17. hello_html_4520afb8.gif;

    18. hello_html_35fd318b.gif;

    19. hello_html_m7e4355e8.gif;

    20. hello_html_m46decab6.gif;

    21. hello_html_641e6aeb.gif;

    22. hello_html_meffa2cc.gif;

    23. hello_html_16b13cb2.gif;

    24. hello_html_34816bdb.gif;

    25. hello_html_m59e8427e.gif

    26. hello_html_57046802.gif;

    27. hello_html_m18c9dde2.gif;

    28. hello_html_255557c6.gif;

    29. hello_html_77a441ed.gif;

    30. hello_html_14e99adb.gif.


  1. Решить тригонометрическое уравнение:


    1. hello_html_71e101a1.gif;

    2. hello_html_52859736.gif;

    3. hello_html_2a271a0b.gif;

    4. hello_html_m3b9d5647.gif;

    5. hello_html_m4ecf4eff.gif;

    6. hello_html_m3528bd72.gif;

    7. hello_html_5f63f994.gif;

    8. hello_html_m3b08aaa0.gif;

    9. hello_html_m5f20fe4e.gif;

    10. hello_html_38f4c1e6.gif;

    11. hello_html_2f139c96.gif;

    12. hello_html_6b0f4a96.gif;

    13. hello_html_m70e1153a.gif;

    14. hello_html_m1a742533.gif;

    15. hello_html_mf1bf4ae.gif;

    16. hello_html_m58cdb8d0.gif;

    17. hello_html_m24daa5de.gif;

    18. hello_html_m14292a74.gif;

    19. hello_html_m610650be.gif;

    20. hello_html_m618d0623.gif;

    21. hello_html_m105c8132.gif;

    22. hello_html_m4ecf4eff.gif;

    23. hello_html_m445a501.gif;

    24. hello_html_6e7498b6.gif;

    25. hello_html_m3d559a17.gif;

    26. hello_html_m6bf06f0e.gif;

    27. hello_html_5f83365a.gif;

    28. hello_html_241b2247.gif;

    29. hello_html_4e43c9ac.gif;

    30. hello_html_3ac6c9a1.gif.


  1. Решить тригонометрическое уравнение:


    1. hello_html_38050221.gif;

    2. hello_html_234a35f0.gif;

    3. hello_html_m5e8f47a6.gif;

    4. hello_html_m5a720673.gif;

    5. hello_html_m422d51c9.gif;

    6. hello_html_5374c7a4.gif;

    7. hello_html_m6474e5b4.gif;

    8. hello_html_m250b5a25.gif;

    9. hello_html_294a78a1.gif;

    10. hello_html_452cf0fd.gif;

    11. hello_html_6271403a.gif;

    12. hello_html_m49735d4e.gif;

    13. hello_html_7f26aa1.gif;

    14. hello_html_m6474e5b4.gif;

    15. hello_html_m6d6d0b03.gif;

    16. hello_html_m249167f1.gif;

    17. hello_html_m2ff3c022.gif;

    18. hello_html_m66a3f6c2.gif;

    19. hello_html_m612983dc.gif;

    20. hello_html_m164574f0.gif;

    21. hello_html_mafb0d88.gif;

    22. hello_html_38e24e2f.gif;

    23. hello_html_m6d6d0b03.gif;

    24. hello_html_67c883c1.gif;

    25. hello_html_m4bf10ca8.gif;

    26. hello_html_13dad73b.gif;

    27. hello_html_7e4f79ad.gif;

    28. hello_html_34212bc0.gif;

    29. hello_html_m526bd86.gif;

    30. hello_html_1ecac719.gif.


  1. Решить тригонометрическое уравнение:


    1. hello_html_m659762b2.gif;

    2. hello_html_ed057dc.gif;

    3. hello_html_139b62e1.gif;

    4. hello_html_79af831d.gif;

    5. hello_html_m147cdd87.gif;

    6. hello_html_m17ea089e.gif;

    7. hello_html_69922fa0.gif

    8. hello_html_4fc02c1d.gif;

    9. hello_html_44168ac3.gif;

    10. hello_html_a4cb025.gif;

    11. hello_html_m54a30f7c.gif;

    12. hello_html_m23f7380.gif;

    13. hello_html_6705e79.gif;

    14. hello_html_m62bf5b35.gif;

    15. hello_html_m628b6fef.gif;

    16. hello_html_185a7404.gif;

    17. hello_html_m3bd240c4.gif;

    18. hello_html_m5456b339.gif;

    19. hello_html_m3bfdc32d.gif;

    20. hello_html_658f5a6.gif;

    21. hello_html_3bee82c2.gif;

    22. hello_html_5d34aa55.gif;

    23. hello_html_478d48c5.gif;

    24. hello_html_m31c94af.gif;

    25. hello_html_m22598b04.gif;

    26. hello_html_35210d70.gif;

    27. hello_html_m1df6c02b.gif;

    28. hello_html_195906cb.gif;

    29. hello_html_7eb43c97.gif;

    30. hello_html_2280c663.gif.


  1. Решить тригонометрическое уравнение:


    1. hello_html_2ec05760.gif;

    2. hello_html_m3a4c1e1c.gif;

    3. hello_html_m3ed79afe.gif;

    4. hello_html_m2a4ab6af.gif;

    5. hello_html_5476521b.gif;

    6. hello_html_2fe2dc63.gif;

    7. hello_html_273ae347.gif;

    8. hello_html_1e63d354.gif;

    9. hello_html_300faf35.gif;

    10. hello_html_3b7254e9.gif;

    11. hello_html_3fe1c726.gif;

    12. hello_html_52c2a8ab.gif;

    13. hello_html_m7871f51f.gif;

    14. hello_html_m1d3085a2.gif;

    15. hello_html_m467e1bd1.gif;

    16. hello_html_m229803b6.gif;

    17. hello_html_4bf23295.gif;

    18. hello_html_3034a0ed.gif;

    19. hello_html_13310439.gif;

    20. hello_html_2a49c94e.gif;

    21. hello_html_5c66b513.gif;

    22. hello_html_m1268fdb0.gif;

    23. hello_html_m12004ac0.gif;

    24. hello_html_m50ce0d94.gif;

    25. hello_html_5da59e4c.gif;

    26. hello_html_37bc518e.gif;

    27. hello_html_m58f93be9.gif;

    28. hello_html_2316f9e9.gif;

    29. hello_html_10d7542d.gif;

    30. hello_html_2af5cba3.gif


  1. Решить тригонометрическое уравнение:


    1. hello_html_54dc989.gif;

    2. hello_html_520a2fc4.gif;

    3. hello_html_mecb286d.gif;

    4. hello_html_7bb538bf.gif;

    5. hello_html_67287322.gif;

    6. hello_html_7d4f6f2d.gif;

    7. hello_html_75e3a493.gif;

    8. hello_html_f8bc2f6.gif;

    9. hello_html_e19395d.gif;

    10. hello_html_m389f99a7.gif;

    11. hello_html_m65771258.gif;

    12. hello_html_m5ff9e03c.gif;

    13. hello_html_3dd3fb43.gif;

    14. hello_html_96acb90.gif;

    15. hello_html_m1aa619ff.gif;

    16. hello_html_m5217cc71.gif;

    17. hello_html_m72478f02.gif;

    18. hello_html_6ee3865b.gif;

    19. hello_html_m7fbf2eef.gif;

    20. hello_html_m1eaa128.gif;

    21. hello_html_6986f34e.gif;

    22. hello_html_b5da73c.gif;

    23. hello_html_m49915479.gif;

    24. hello_html_6a368495.gif;

    25. hello_html_5d39fff5.gif

    26. hello_html_1bee7a32.gif;

    27. hello_html_m448cc234.gif;

    28. hello_html_1d83b832.gif;

    29. hello_html_6e2f8550.gif;

    30. hello_html_b72ba8d.gif.


  1. Решить тригонометрическое уравнение:


    1. hello_html_14506e04.gif;

    2. hello_html_m1b1e5fc5.gif;

    3. hello_html_m625f30a.gif;

    4. hello_html_2a6168ba.gif;

    5. hello_html_m5bd25cf0.gif;

    6. hello_html_m47773d70.gif;

    7. hello_html_m414547e1.gif;

    8. hello_html_m693c25f6.gif;

    9. hello_html_70686c34.gif;

    10. hello_html_1a890f63.gif;

    11. hello_html_53ba0dca.gif;

    12. hello_html_46f301f1.gif;

    13. hello_html_m520c1869.gif;

    14. hello_html_2ef0e7c7.gif;

    15. hello_html_14e16d12.gif;

    16. hello_html_3334872e.gif;

    17. hello_html_m5fd89256.gif;

    18. hello_html_m7e3abd5f.gif;

    19. hello_html_m12f96979.gif;

    20. hello_html_8581a9e.gif;

    21. hello_html_m4c96720e.gif;

    22. hello_html_5cd333c7.gif;

    23. hello_html_35577be4.gif;

    24. hello_html_733f2463.gif;

    25. hello_html_106e2fe1.gif;

    26. hello_html_m3b469161.gif;

    27. hello_html_1e9507f9.gif;

    28. hello_html_m232bfe27.gif;

    29. hello_html_m2489a2c0.gif;

    30. hello_html_m2e36d2eb.gif.


  1. Решить тригонометрическое уравнение:


    1. hello_html_11f7ebdf.gif;

    2. hello_html_m2b304339.gif;

    3. hello_html_65f5947e.gif;

    4. hello_html_m1658f3ed.gif;

    5. hello_html_4b9b08fe.gif;

    6. hello_html_m2cd243f6.gif;

    7. hello_html_d793b1.gif;

    8. hello_html_10adc535.gif;

    9. hello_html_446fd085.gif;

    10. hello_html_mae18d2.gif;

    11. hello_html_11f7ebdf.gif;

    12. hello_html_51c85b64.gif;

    13. hello_html_500d3975.gif;

    14. hello_html_m26a2b075.gif;

    15. hello_html_66298ada.gif;

    16. hello_html_m3b358974.gif;

    17. hello_html_m3d13158a.gif;

    18. hello_html_403886be.gif;

    19. hello_html_m3fdcfd7.gif;

    20. hello_html_m74c973d.gif;

    21. hello_html_11cbe51.gif;

    22. hello_html_m9837ea6.gif;

    23. hello_html_m7b661d7c.gif;

    24. hello_html_36376ff3.gif;

    25. hello_html_2c22d0d6.gif;

    26. hello_html_m3de9448c.gif;

    27. hello_html_253b405a.gif;

    28. hello_html_mfa24825.gif;

    29. hello_html_m4c384e01.gif;

    30. hello_html_m709546cd.gif.


§ 5. Тригонометрические неравенства.

Определение: Неравенство, в котором неизвестная переменная находится под знаком тригонометрической функции, называется

тригонометрическим неравенством.

К простейшим тригонометрическим неравенствам относятся следующие 16 неравенств: 
hello_html_m386f6f37.gif,   hello_html_m7a59e6fa.gif,  hello_html_4a859123.gif, hello_html_d1d7df0.gif ;

hello_html_m6818ccd2.gif,   hello_html_m3de63dad.gif,  hello_html_270e516c.gif, hello_html_6096bdbf.gif ;

hello_html_512f5f11.gif,   hello_html_12812081.gif,  hello_html_m283e7ce2.gif, hello_html_m283e7ce2.gif ;

hello_html_m4e83f941.gif,   hello_html_5668eebe.gif,  hello_html_73ba86a8.gif, hello_html_73ba86a8.gif ;

Здесь x является неизвестной переменной, a может быть любым действительным числом.


    1. Неравенства вида hello_html_m386f6f37.gif,   hello_html_m7a59e6fa.gif,  hello_html_4a859123.gif, hello_html_d1d7df0.gif.

hello_html_5208ce5a.jpg

Рис.1

Рис.2

   

  1. Неравенство hello_html_m386f6f37.gif.

При hello_html_2a129a8f.gif неравенство hello_html_m386f6f37.gif не имеет решений.

При hello_html_540532da.gif решением неравенства hello_html_m386f6f37.gif является любое действительное число.

При hello_html_376b30e6.gif решение неравенства hello_html_m386f6f37.gif выражается в виде 
hello_html_13f4c00.gif  (рис.1). 


  1. Неравенство hello_html_4a859123.gif.

При hello_html_1aa268a1.gif неравенствоhello_html_4a859123.gif не имеет решений.

При hello_html_756a316a.gif решением неравенстваhello_html_4a859123.gif является любое действительное число.

При hello_html_7810be5d.gif решение неравенства hello_html_4a859123.gif сводится к решению уравнения hello_html_22dbb3bc.gif

При hello_html_6db8fed.gif решение неравенстваhello_html_4a859123.gif выражается в виде 
hello_html_53c5ccca.gif  (рис.1). 


  1.  Неравенство hello_html_m7a59e6fa.gif.

При hello_html_756a316a.gif неравенствоhello_html_m7a59e6fa.gif не имеет решений.

При hello_html_m134bcce2.gif решением неравенстваhello_html_m7a59e6fa.gif является любое действительное число.

При hello_html_m3fb58013.gif решение неравенстваhello_html_m7a59e6fa.gif выражается в виде 
hello_html_m48c8de1b.gif  (рис.2). 


  1.   Неравенство hello_html_23872a8d.gif.

При hello_html_540532da.gif неравенствоhello_html_d1d7df0.gif не имеет решений.

При hello_html_2a129a8f.gif решением неравенстваhello_html_m7a59e6fa.gif является любое действительное число.

При hello_html_680fadc5.gif решение неравенства hello_html_d1d7df0.gif сводится к решению уравнения hello_html_m339239f3.gif.

При hello_html_6db8fed.gif решение неравенстваhello_html_d1d7df0.gif выражается в виде 
hello_html_51c62e6.gif  (рис.2). 


Примеры.

  1. Решить неравенство hello_html_m14af495a.gif.

Решение.

Отмечаем на оси  синусов  значениеhello_html_41b533e6.gif. Все значения hello_html_m686d3f09.gif большие hello_html_41b533e6.gif расположены выше точки hello_html_m7597fe3.gif на оси синусов.

hello_html_31e4b539.gif, hello_html_6993a14.gif.

hello_html_m39923167.jpghello_html_449fcbd.jpg

Ответ: hello_html_m6b6f21ae.gif.

  1. Решить неравенство hello_html_m1c52071d.gif.

Решение.

Обозначим hello_html_m2afcf0da.gif за hello_html_m61ee2da8.gif. Получим неравенствоhello_html_mc87662b.gif. Отмечаем на оси  синусов  значениеhello_html_m30589cd7.gif. Все значения hello_html_m7fffb9e8.gif меньшие  hello_html_m10a69f13.gif расположены ниже точки hello_html_m30589cd7.gif на оси синусов.

hello_html_md0f1ba6.gif, hello_html_63b9dc15.gif.

hello_html_5470ee89.png

hello_html_65330f48.gif;

hello_html_644e4874.gif;

hello_html_m5d4f5f7b.gif;

hello_html_2f4135ed.gif;

Ответ: hello_html_m70492f53.gif.

    1. Неравенства вида hello_html_m6818ccd2.gif,   hello_html_m3de63dad.gif,  hello_html_270e516c.gif, hello_html_6096bdbf.gif.

hello_html_5a32e980.jpg

Рис.3

Рис.4


  1.   Неравенство hello_html_m6818ccd2.gif.

При hello_html_2a129a8f.gif неравенство hello_html_m6818ccd2.gif не имеет решений.

При hello_html_540532da.gif решением неравенства hello_html_m6818ccd2.gif является любое действительное число.

При hello_html_376b30e6.gif решение неравенства hello_html_m6818ccd2.gif выражается в виде 
hello_html_m70ac69c5.gif  (рис.3). 

  1. Неравенство hello_html_270e516c.gif.

При hello_html_1aa268a1.gif неравенствоhello_html_270e516c.gif не имеет решений.

При hello_html_756a316a.gif решением неравенстваhello_html_270e516c.gif является любое действительное число.

При hello_html_7810be5d.gif решение неравенства hello_html_270e516c.gif сводится к решению уравнения hello_html_109b047f.gif

При hello_html_6db8fed.gif решение неравенстваhello_html_4a859123.gif выражается в виде 

hello_html_7e242ea4.gif  (рис.3). 


  1.  Неравенство hello_html_m3de63dad.gif.

При hello_html_756a316a.gif неравенствоhello_html_m3de63dad.gif не имеет решений.

При hello_html_m134bcce2.gif решением неравенстваhello_html_m3de63dad.gif является любое действительное число.

При hello_html_m3fb58013.gif решение неравенстваhello_html_73c523fc.gif выражается в виде 
hello_html_f0a1be5.gif  (рис.4). 


  1.    Неравенство hello_html_6096bdbf.gif.

При hello_html_540532da.gif неравенствоhello_html_6096bdbf.gif не имеет решений.

При hello_html_2a129a8f.gif решением неравенстваhello_html_6096bdbf.gif является любое действительное число.

При hello_html_680fadc5.gif решение неравенства hello_html_6096bdbf.gif сводится к решению уравнения hello_html_5751be5b.gif.

При hello_html_6db8fed.gif решение неравенстваhello_html_6096bdbf.gif выражается в виде 
hello_html_m54ecde02.gif  (рис.4). 


Примеры.

  1. Решить неравенство hello_html_41e9c3a2.gif.

Решение.

Отмечаем на оси  косинусов  значение hello_html_3861a23a.gif. Все значения hello_html_74901a5a.gif меньшие hello_html_3861a23a.gif расположены левее точки hello_html_3861a23a.gif на оси косинусов.

hello_html_17178843.gif, hello_html_94b1e54.gif.

hello_html_44c83da5.jpghello_html_2f30f552.jpg

Ответ: hello_html_m3412a0dd.gif

  1. Решить неравенство hello_html_m662d163f.gif.

Решение.

Обозначим hello_html_40e5b885.gif за hello_html_m61ee2da8.gif. Получим неравенствоhello_html_640bf970.gif .

Отмечаем на оси  косинусов  значение hello_html_2c96b448.gif. Все значения hello_html_m12127649.gif большие  hello_html_2c96b448.gif расположены правее точки hello_html_2c96b448.gif на оси косинусов.

hello_html_m539f38f7.jpghello_html_m3a609d30.gif, hello_html_1c5bba84.gif.


hello_html_60d992aa.gif;

hello_html_19dd91d1.gif;

hello_html_m37d75a23.gif;

hello_html_m2e850fcc.gif;

Ответ: hello_html_1d422720.gif.


    1. Неравенства вида hello_html_512f5f11.gif,   hello_html_12812081.gif,  hello_html_m283e7ce2.gif, hello_html_m5787da68.gif.


hello_html_m43ef396c.png

Рис.5

Рис.6

  1. Неравенство hello_html_512f5f11.gif.

При любом действительном hello_html_m1e1f273e.gif решение неравенства имеет вид:

hello_html_m27e25378.gif  (рис.5). 


  1. Неравенство hello_html_16659c61.gif.

При любом действительном hello_html_m1e1f273e.gif решение неравенства имеет вид:

hello_html_m322d00fe.gif  (рис.5). 


  1. Неравенство hello_html_m2cdac002.gif.

При любом действительном hello_html_m1e1f273e.gif решение неравенства имеет вид:

hello_html_336e9976.gif  (рис.6).


  1. Неравенство hello_html_69dc3ae7.gif.

При любом действительном hello_html_m1e1f273e.gif решение неравенства имеет вид:

hello_html_m5a1b97ac.gif  (рис.6). 

Примеры.


  1. Решить неравенство hello_html_1e5c41f4.gif.

Решение.

Отмечаем на оси тангенсов значение 1. Указываем все значения тангенса, меньшие 1 –ниже 1.

hello_html_m466d2e24.png hello_html_m6b430bd6.png

Отмечаем все точки тригонометрического круга, значение тангенса в которых будет меньше 1.  Для этого мы  соединяем каждую точку оси тангенсов ниже 1 с началом координат; тогда каждая проведенная прямая пересечет дважды тригонометрический круг.

Учитывая, что период тангенса равен hello_html_4fd45fec.gif, запишем ответ в виде:hello_html_26259bed.gif.

  1.  Решить неравенство hello_html_m5d8da1ab.gif.

Решение.

Обозначим hello_html_m71f4bdcf.gif за hello_html_m61ee2da8.gif. Получим неравенствоhello_html_107c7b46.gif.

Отмечаем на оси тангенсов значение hello_html_6c68d9c6.gif. Указываем все значения тангенса, большие hello_html_6c68d9c6.gif выше hello_html_6c68d9c6.gif.



hello_html_m70ba1ba3.gif;

hello_html_3ebb9a1f.gifhello_html_m57fe2f2a.jpg;

hello_html_m3e6ac748.gif;

hello_html_m462d3710.gif;



Ответ: hello_html_19f93951.gif.


    1. Неравенства вида hello_html_m56dafbdd.gif,   hello_html_f73dc43.gif,  hello_html_2aa1b455.gif, hello_html_551812d3.gif.

hello_html_m4d75f331.png

Рис.7

Рис.8

   

  1. Неравенство hello_html_m56dafbdd.gif.

При любом действительном hello_html_m1e1f273e.gif решение неравенства имеет вид:

hello_html_m12095dc.gif  (рис.7). 


  1. Неравенство hello_html_73ba86a8.gif.

При любом действительном hello_html_m1e1f273e.gif решение неравенства имеет вид:

hello_html_4ae99fe2.gif  (рис.7). 


  1. Неравенство hello_html_5668eebe.gif.

При любом действительном hello_html_m1e1f273e.gif решение неравенства имеет вид:

hello_html_12c48aae.gif  (рис.8). 


  1. Неравенство hello_html_c03202e.gif.

При любом действительном hello_html_m1e1f273e.gif решение неравенства имеет вид:

hello_html_57d908ea.gif  (рис.8). 


Примеры.

  1. Решить неравенство hello_html_m604dc036.gif.

Решение:

Отмечаем на оси котангенсов значение hello_html_202ea564.gif. Указываем все значения котангенса, большие hello_html_202ea564.gif – правее hello_html_202ea564.gif.

hello_html_5b15d7a2.png

Учитывая, что период котангенса равен hello_html_4fd45fec.gif, запишем ответ в виде: hello_html_m424dacfd.gif.

  1. Решить неравенство hello_html_21776f15.gif.

Решение:

Обозначим hello_html_m79cd70b2.gif за hello_html_m61ee2da8.gif. Получим неравенствоhello_html_m2b1414e5.gif.

Отмечаем на оси котангенсов значение -1. Указываем все значения котангенса, меньшие -1 – левее -1.

hello_html_m5b399233.gif;

hello_html_m37233dbd.pnghello_html_m3a80c9a2.gif;

hello_html_m10bfa026.gif;

hello_html_178e9262.gif;

Ответ: hello_html_m5ac445ab.gif.


ИЗ № 5.


  1. Решите простейшее тригонометрическое неравенство.


    1. hello_html_198c883e.gif;

    2. hello_html_m2f3c11ec.gif;

    3. hello_html_m193deb6a.gif;

    4. hello_html_7343e361.gif;

    5. hello_html_m54f8a67c.gif;

    6. hello_html_m53b16ded.gif;

    7. hello_html_m2546e339.gif;

    8. hello_html_26306815.gif;

    9. hello_html_m66cc3b3a.gif;

    10. hello_html_m76ec8c16.gif;

    11. hello_html_m71cb83c2.gif;

    12. hello_html_m53e9ee65.gif;

    13. hello_html_3d3c842b.gif;

    14. hello_html_m3e1bb6cb.gif;

    15. hello_html_m3ef9cef.gif;

    16. hello_html_70f5df25.gif;

    17. hello_html_m1ff87c87.gif;

    18. hello_html_m19cdd099.gif;

    19. hello_html_m56608a1d.gif;

    20. hello_html_9340f73.gif;

    21. hello_html_m668dae49.gif;

    22. hello_html_1619ebfa.gif;

    23. hello_html_mb41d7d.gif;

    24. hello_html_4d8a1a3d.gif;

    25. hello_html_m4418f445.gif;

    26. hello_html_m19069bf3.gif;

    27. hello_html_m3df06935.gif;

    28. hello_html_7adcb1d4.gif;

    29. hello_html_m22448897.gif;

    30. hello_html_3d3c842b.gif.













  1. Решить тригонометрическое неравенство.


    1. hello_html_m1d8f6c2c.gif;

    2. hello_html_m58a2e5fd.gif;

    3. hello_html_2653a3a1.gif;

    4. hello_html_m6e6e2e1c.gif;

    5. hello_html_m67eb23a.gif;

    6. hello_html_702137cb.gif;

    7. hello_html_m3b5f9890.gif;

    8. hello_html_m600fd4dd.gif;

    9. hello_html_m47d8e66b.gif;

    10. hello_html_81bd630.gif;

    11. hello_html_m5db6e987.gif;

    12. hello_html_3dcc8844.gif;

    13. hello_html_m1202d7e1.gif;

    14. hello_html_m12bbfac1.gif;

    15. hello_html_m5e2f953b.gif;

    16. hello_html_6483f232.gif;

    17. hello_html_65aec6a5.gif;

    18. hello_html_201a3da.gif;

    19. hello_html_m60715e2a.gif;

    20. hello_html_m37f1fe54.gif;

    21. hello_html_7e027541.gif;

    22. hello_html_279add7e.gif;

    23. hello_html_52c2dd65.gif;

    24. hello_html_m365d2896.gif;

    25. hello_html_m13e1cfaf.gif;

    26. hello_html_m3c73cab8.gif;

    27. hello_html_aebda6e.gif;

    28. hello_html_m53da803a.gif;

    29. hello_html_2419a5b2.gif;

    30. hello_html_m22a2b24.gif.







































Содержание.


Предисловие………………………………………………………….……...3

§ 1. Единичная тригонометрическая окружность. Тригонометрические функции числового аргумента. Основные формулы тригонометрии…...4

ИЗ №1…………………………………………………………..…………….9

§2. Тригонометрические функции, их свойства и графики. Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований графиков……………………………………………........17

2.1. Тригонометрические функции, их свойства и графики………….…17

2.2. Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований графиков……………………….……...19

ИЗ №2……………………………………………………………………….27

§ 3. Обратные тригонометрические функции……………………………30

ИЗ №3……………………………………………………………………….33

§ 4. Тригонометрические уравнения……………………………………...36

4.1. Простейшие тригонометрические уравнения…………………..…...36

4.2. Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным……….37

4.3. Однородные тригонометрические уравнения……………………….38

4.4.Решение тригонометрических уравнений, введением вспомогательного угла……………………………………………………39

4.5. Решение тригонометрических уравнений, используя формулы преобразования произведения в сумму и обратно………………………40

4.6.Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной подстановки…………………………………………………………….…..41

ИЗ №4……………………………………………………………………….42

§ 5. Тригонометрические неравенства……………………………….…...47

    1. . Неравенства вида hello_html_m386f6f37.gif,   hello_html_m7a59e6fa.gif,  hello_html_4a859123.gif, hello_html_d1d7df0.gif………….48

5.2. Неравенства вида hello_html_m6818ccd2.gif,   hello_html_m3de63dad.gif,  hello_html_270e516c.gif, hello_html_6096bdbf.gif…….........50

5.3. Неравенства вида hello_html_512f5f11.gif,   hello_html_12812081.gif,  hello_html_m283e7ce2.gif, hello_html_m5787da68.gif……….……...…...52

5.4. Неравенства вида hello_html_m56dafbdd.gif,   hello_html_f73dc43.gif,  hello_html_2aa1b455.gif, hello_html_551812d3.gif……………54

ИЗ №5……………………………………………………………………….56













Литература.

  1. Абылкасымова А.Е., Шойынбеков К.Д. «Алгебра и начала анализа». Учебник для 10 класса естественно - математического направления общеобразовательных школ. Алматы: Мектеп, 2010.

  2. Алгебра и начала анализа. 10–11 кл.: Учеб.-метод. пособие/ М.И. Башмаков, Т.А. Братусь, Н.А. Жарковская и др. – М.: Дрофа, 2001. – 240 с.: ил. – (Дидактические материалы).

  3. Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре и началам анализа 10-11 класс: Учеб. пособие. – М.: Просвещение, 1999.

  4. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10–11 классов. М.: Илекса, 2005г.

  5. Колмогоров А.Н. «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс. - М.: Просвещение, 2010г.

  6. Контрольные и самостоятельные работы по алгебре: 10 класс: к учебнику А.Г. Мордковича «Алгебра и начала анализа. 10–11 классы» / М.А. Попов. – М.: Издательство «Экзамен», 2008.

  7. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 класс: задачник для общеобразовательных учреждений. – М. Мнемозина, 2006.

7. Шыныбеков А.Н. «Алгебра и начала анализа».Учебник для 10-11 классов общеобразовательной школы. «Атамура», 2011.

8. Сканави М.И. «Математика в задачах для поступающих в вузы», – М.: издательство «АСТ», 2010г.







62


Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 01.07.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров212
Номер материала ДБ-136815
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх