- 01.07.2016
- 1483
- 3
КОЛЛЕДЖ ЭКОНОМИКИ, БИЗНЕСА И ПРАВА
Карагандинского экономического университета
Казпотребсоюза
Сборник индивидуальных заданий
по математике.
Раздел: Тригонометрические функции.
(для студентов 1 курса всех специальностей колледжа ЭБП)
К
араганда 2015
Составитель: Мещерякова С.А. - преподаватель КЭБП КЭУК
Рецензенты: кандидат физико-математических наук, доцент Карагандинского экономического университета Казпотребсоюза Бітімхан С.;
преподаватель высшей категории КЭБП КЭУК Кулманова Б.А.
Сборник составлен в соответствии с типовой программой дисциплины «Математика» и предназначен для студентов первого курса всех специальностей. В сборнике кратко изложен теоретический материал, подробно разобрано решение типовых задач. В конце каждой темы приводятся индивидуальные задания, содержащие 30 вариантов. Сборник может использоваться как для самостоятельной работы студентов, так и для практических занятий.
Рассмотрено на заседании П(Ц)К математики и информатики
Протокол №8 от 18.03.2015.
Рекомендовано к изданию решением методического совета
Протокол №4 от 19.03.2015г.
Предисловие.
Тригонометрия – это раздел математики, изучающий тригонометрические функции.
Тригонометрические функции, как соотношение между сторонами в прямоугольном треугольнике, используются в геометрии, как функциональные зависимости - это объект изучения математического анализа, а тригонометрические уравнения и неравенства изучают методами алгебры.
Данный сборник по дисциплине «Математика» рассматривает тригонометрические функции в рамках математического анализа и алгебры. Он предназначен для студентов первого курса всех специальностей.
Сборник состоит из 5 параграфов. Первый параграф посвящен повторению основных понятий и формул тригонометрии, изучаемых в курсе основной школы. Во втором параграфе рассматриваются тригонометрические функции, их свойства и графики. Третий параграф содержит информацию об обратных тригонометрических функциях. В четвертом параграфе рассматриваются основные методы решения тригонометрических уравнений. Пятый параграф посвящен решению тригонометрических неравенств.
В начале каждой темы помещены определения, формулы и другие краткие теоретические сведения. Затем дается подробное решение типовых задач. В конце каждой темы приводятся индивидуальные задания, содержащие 30 вариантов.
Индивидуальные задания способствуют активизации познавательной деятельности студентов, развивают навыки самостоятельной работы, позволяют индивидуализировать обучение, повышают объективность выставления оценок.
§ 1. Единичная тригонометрическая окружность.
Тригонометрические функции числового аргумента.
Основные формулы тригонометрии.
Единичная тригонометрическая окружность – это окружность, с радиусом 1 и центром в начале координат.
Горизонтальный (ось Ох) и вертикальный (ось Оу) диаметры делят числовую окружность на четыре четверти.
Начальная точка А единичной тригонометрической окружности находится на оси x и имеет координаты (1; 0).
Отсчет по единичной тригонометрической окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.
Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением. Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением.
Возьмем точку В(х;у) на окружности.
Вектор 
, соединяющий начало координат с произвольно выбранной точкой плоскости В(х,y), называется радиус-вектором этой точки . Опустим перпендикуляры на оси координат. Проекции точки В(х;у) на оси координат равны х и у соответственно. Рассмотрим прямоугольный треугольник ОАВ.
; 
Синус угла 
, образованного радиус-вектором точки на единичной окружности с положительным направлением оси Ox, есть ордината этой точки, т.е. : 
.
Косинус угла , образованного радиус-вектором точки на единичной окружности с положительным направлением оси Ox, есть абсцисса этой точки: 
.
Синус и косинус определены для любого угла и связаны между собой (по теореме Пифагора) равенством: 
, которое называется основным тригонометрическим тождеством.
Отношение синуса угла к косинусу того же угла называется тангенсом угла : 
или 
.
Тангенс определен для всех углов, кроме 
, 
, где 
, 
- множество целых чисел.
Отношение косинуса угла к синусу угла называется котангенсом угла : 
или 
.
Котангенс определён для всех углов, кроме 
, , где 
, - множество целых чисел.
Так как точка В лежит на единичной тригонометрической окружности 
. Следовательно, 
.
Отрезок на оси Оx от -1 до 1 называется линией косинусов.
Отрезок на оси Оy от -1 до 1 называется линией синусов.
, 
.
Линия тангенсов параллельна оси Оy и проходит через точку (1;0)
Линия котангенсов параллельна оси Оx и проходит через точку (0;1)
Радианная мера угла.
Угол в 1 радиан – центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Радианная и градусная меры связаны зависимостью 
радиан.
Периодичность тригонометрических функций .
Период косинуса равен 
: 
.
Период синуса равен :
.
Период тангенса равен 
:
.
Период котангенса равен :
.
Четность и нечетность тригонометрических функций.
, 
, 
, 
Знаки тригонометрических функций.
Значения тригонометрических функций при некоторых углах.
0
0
1
0
1
0
-
-
-
-1
0
-
-
-
-
0
-
0
-
-
-
-
Формулы приведения.
Угол
sin
cos
sin
-cos
sin
cos
sin
-cos
sin
cos
tg
ctg
tg
ctg
tg
ctg
tg
ctg
tg
ctg
Основные тригонометрические тождества.
, 
, 
.
Формулы для суммы и разности элементов.
, 
,
, 
,
, 
,
, 
.
Формулы двойных, тройных и половинных аргументов.
, 
,
, 
, 
,
,
, 
.
Формулы преобразования произведения в сумму и обратно.
Примеры.
Выразите в радианной мере величины углов: 
.
Решение:
.
Выразите в градусной мере величины углов: 
, 
, 
.
Решение:
, 
, 
Приведите тригонометрическую функцию произвольного аргумента к тригонометрической функции острого угла: 
, 
, 
, 
.
Решение: 
, 
,
,
.
Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если 
, 
.
Решение: Из основного тригонометрического тождества получим 
. Угол : находится в III четверти, следовательно 
, 
, 
. Таким образом, 
.
, 
.
Упростите выражение 
.
Решение:
.
Упростите выражение 
.
Решение:
.
Докажите тождество 
.
Решение:
.
ИЗ № 1.
Выразите в радианной мере величины углов.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Выразите в градусной мере величины углов.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Приведите тригонометрическую функцию произвольного аргумента к тригонометрической функции острого угла:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если
, 
;
, ;
, 
;
, ;
, ;
,;
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
,;
, ;
, .
Упростите выражение
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Упростить выражение.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Докажите тождество.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
§2. Тригонометрические функции, их свойства и графики.
Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований графиков.
2.1. Тригонометрические функции, их свойства и графики.
Основными тригонометрическими функциями являются функции y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).
1. Функция y=sin(x). График функции y=sin(x) – синусоида:
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось.
2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2π.
5. Нули функции: (πk;0) , где k – целое.
6. Интервалы знакопостоянства: 
при
, 
; 
при
, .
2. Функция y= cos(x). График функции y= cos(x):
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось.
2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].
3. Функция четная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2π.
5. Нули функции: 
, где k – целое.
6. Интервалы знакопостоянства: 
при
, ; 
при
, .
3. Функция y=tg(x).
График функции y=tg(x) – тангенсоида:
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида 
, где k – целое.
2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.
5. Нули функции: (πk;0) , где k – целое.
6. Интервалы знакопостоянства: 
при
, ; 
при
, .
4. Функция y=ctg(x).
График функции y=ctg(x):
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=πk, где k – целое.
2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.
5. Нули функции: , где k – целое.
6. Интервалы знакопостоянства: 
при
, ; 
при
, .
2.2. Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований графиков.
Виды преобразований графиков функций.
Сжатие графика к оси ординат.
Правило: чтобы построить график функции 
, где 
, нужно график функции 
сжать к оси Оу в 
раз.
Пример 1
П
остроить график функции 
. Сначала строим график 
. Период 
.
Сжимаем синусоиду к оси Оу в 2 раза:
Таким образом, график функции получается путём сжатия графика к оси ординат в два раза.
Период функции равен.
В целях самоконтроля можно взять 2-3 значения «икс» и устно либо на черновике выполнить подстановку:
Смотрим на чертёж, и видим, что это действительно так.
Пример 2
Построить график функции 
.
График функции 
сжимается к оси Оу в 3 раза:
Период 
функции равен , период функции составляет 
.
Растяжение графика функции от оси ординат
Правило: чтобы построить график функции 
, где , нужно график функции растянуть от оси Оу в раз.
Пример 3 Построить график функции 
. Строим график
.
Период .
И растягиваем синусоиду от оси Оу в 2 раза:
То есть, график функции получается путём растяжения графика от оси ординат в два раза. Период итоговой функции увеличивается в 2 раза: 
.
Сдвиг графика влево/вправо вдоль оси абсцисс
Если к аргументу функции добавляется постоянная, то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси Ох.
Рассмотрим функцию 
и положительное число 
:
Правило:
1) чтобы построить график функции 
, нужно график сдвинуть вдоль оси Ох на единиц влево;
2) чтобы построить график функции 
, нужно график сдвинуть вдоль оси ОХ на единиц вправо.
Пример 4
Построить график функции 
.
График синуса сдвинем вдоль оси Ох на 
влево:
Внимательно присмотримся к полученному красному графику Это в точности график косинуса . Мы получили геометрическую иллюстрацию формулы приведения
.
График функции получается путём сдвига синусоиды вдоль оси Ох на единиц влево.
Рассмотрим композиционное правило, когда аргумент представляет собой линейную функцию: 
, при этом
.
Функцию 
необходимо представить в виде
и последовательно выполнить следующие преобразования:
1) График функции 
сжимаем (или растягиваем) к оси (от оси) ординат:
.
2) График полученной функции сдвигаем влево (или вправо) вдоль оси абсцисс на 
единиц, в результате чего будет построен искомый график .
Пример 5
Построить график функции
Представим функцию в виде
и выполним следующие преобразования: синусоиду сожмём к оси Оу в два раза:
.
2) сдвинем вдоль оси Ох на 
влево: .
Пример, вроде бы, несложный, а сделать ошибку в параллельном переносе легко. График сдвигается на, а вовсе не на .
Растяжение графика вдоль оси ординат.
Правило: чтобы построить график функции 
, где 
, нужно график функции растянуть вдоль оси Оу в 
раз.
Пример 6
Построить график функции 
. Строим график функции :
И вытягиваем синусоиду вдоль оси Оу в 2 раза:
Период функции не изменился и составляет , а вот значения (все, кроме нулевых) увеличились по модулю в два раза. Область значений функции : 
.
Сжатие графика вдоль оси ординат.
Правило: чтобы построить график функции 
, где , нужно график функции сжать вдоль оси Оу в раз.
Пример 7
Построить график функции 
.
Строим график функции :
Теперь сжимаем синусоиду вдоль оси Оу в 2 раза:
Аналогично, период не изменился, а область значений функции: 
.
Симметричное отображение графика относительно оси абсцисс
Правило: чтобы построить график функции 
, нужно график отобразить симметрично относительно оси Ох.
Пример 8
Построить график функции 
.
Отобразим синусоиду симметрично относительно оси Ох:
Сдвиг графика вверх/вниз вдоль оси ординат
Правило:
1) чтобы построить график функции 
, нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси Оу на 
единиц вверх;
2) чтобы построить график функции 
, нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси Оу на единиц вниз.
Пример 9.
Построить графики функций
, 
.
Комбинационное построение графика
в общем случае осуществляется очевидным образом:
1) График функции растягиваем (сжимаем) вдоль оси Оу. Если множитель отрицателен, дополнительно осуществляем симметричное отображение относительно оси Ох.
2) Полученный на первом шаге график сдвигаем вверх или вниз в соответствии со значением константы .
Пример 10
Построить график функции
Строим график косинуса 
:
Растягиваем вдоль оси Оу в 1,5 раза: 
;
Сдвигаем вдоль оси Оу на 2 единицы вниз: .
Общая схема построения графика функции
с помощью геометрических преобразований
Рассмотрим функцию
, которая «базируется» на некоторой функции 
.
Для построения графика функции 
– на первом шаге выполняем преобразования, связанные с аргументом функции, в результате чего получаем график функции
;
– на втором шаге выполняем преобразования, связанные с самой функцией, и получаем график функции .
Пример 11. Найдите множество значений функции 
.
Решение:
Область значений функции 
, как и функции 
равна 
. Так как при умножении на -3 происходит растяжение в 3 раза вдоль Оу графика функции и симметричное отображение графика функции 
относительно оси абсцисс, область значений функции
- отрезок 
. А после сдвига вдоль Оу вниз на
графика последней функции, получаем окончательный ответ 
.
Пример 12. Используя четностью/нечетность тригонометрических функций, исследовать на четностью/нечетность функцию 
.
Решение:
Поменяем знак аргумента, получим, 
, следовательно функция нечетная.
ИЗ № 2.
Построить график функции
Построить график функции.
Построить график функции
Найдите область значений функции.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Исследуйте функцию на четностью/нечетность.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
§ 3. Обратные тригонометрические функции.
Арксинусом числа 
называется угол 
, синус которого равен 
. Т.е. 
, .
График функции 
.
Арккосинусом числа называется угол 
, косинус которого равен . Т.е. 
,.
График функции 
.
Арктангенсом числа 
называется угол 
, тангенс которого равен . Т.е. 
,.
График функции 
.
Арккотангенсом числа называется угол 
, котангенс которого равен . Т.е. 
,.
График функции 
.
Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции.
, 
, 
, 
, 
Примеры.
1. Вычислите 
.
Решение:
.
2. Вычислите 
, 
.
Решение:
;
.
ИЗ № 3.
Вычислите
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Вычислите
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
§ 4. Тригонометрические уравнения.
Определение: Тригонометрическим называется уравнение, в котором неизвестные находятся под знаком тригонометрических функций.
Простейшие тригонометрические уравнения.
Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида: 
, 
, 
, 
.
Решить простейшее тригонометрическое уравнение – значит найти множество всех углов (дуг), имеющих данное значение тригонометрической функции.
Если 
уравнение корней не имеет.
Если 
, решение находим по формуле: 
, 
.
Частные случаи: 
Если уравнение корней не имеет.
Если , решение находим по формуле: 
, .
Частные случаи: 
3)
,.
4)
,.
Примеры.
Решить уравнение 
.
Решение: 
, т.е. 
.
Решить уравнение 
Решение:
;
;
.
Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным.
Уравнения вида 
, где 
, решаются приведением к квадратному путем замены 
. (аналогично решаются уравнения с другими тригонометрическими функциями).
Примеры.
Решить уравнение 
.
Решение:
Введем новую переменную 
. Тогда данное уравнение можно записать в виде 
. Мы получили квадратное уравнение. Его корнями служат 
и 
. Следовательно, 
или 
. В первом случае получим решения
,
т.е. 
, 
.
Во втором случае имеем: 
, .
Решить уравнение 
.
Решение:
Заменяя 
, получим относительно cos x квадратное уравнение 
Введем новую переменную
. Тогда 
, откуда 
или 
. Уравнение 
не имеет решений, т.к.
. Решая уравнение 
находим: 
.
Решить уравнение 
.
Решение: Заменяя 
, получим 
, откуда, т.к. 
, получаем 
. Введем новую переменную 
. Тогда 
, откуда 
или 
. Следовательно, 
и 
.
Однородные тригонометрические уравнения.
Однородные тригонометрические уравнения имеют ту же структуру, что и однородные уравнения любого другого вида.
Отличительные признаки однородных уравнений:
а) все одночлены имеют одинаковую степень,
б) свободный член равен нулю,
в) в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями.
Однородное тригонометрическое уравнение – это уравнение двух видов:
(однородное уравнение первой степени)
либо
(однородное уравнение второй степени).
Алгоритм решения однородного уравнения первой степени:
1) разделить обе части уравнения на 
(или на 
). Делить можно на число, не равное 0, а 
, т.к. в противном случае 
и 
, следовательно 
, что неверно;
2) воспользоваться формулой 
(
);
3) решить получившееся уравнение.
Пример.
Решить уравнение 
.
Решение:
- однородное уравнение. Разделить обе части уравнения на 
.
Получим 
, 
, 
, 
.
Ответ:
Алгоритм решения однородного уравнения второй степени:
1) разделить обе части уравнения на 
(или на 
). Делить можно на число, не равное 0, а 
, т.к. в противном случае 
,
и , следовательно , что неверно;
2) воспользоваться формулой ();
3) решить получившееся уравнение.
Примеры.
Решить уравнение 
.
Решение:
- однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на 
.
Получим 
.
. Замена переменной : 
, 
, 
, 
, 
;
, 
.
Ответ: ; .
Решить уравнение 
.
Решение:
Применим формулы 
, 
. Получим 
, 
- однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на .
Получим 
.
. Замена переменной :
, 
, ;
, 
.
Ответ: ; .
Решение тригонометрических уравнений, введением вспомогательного угла.
Рассмотрим уравнение вида: 
.
Разделим обе части уравнения на 
. Получим 
.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как 
и
( здесь 
- так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид: 
или 
и его решение 
, где 
. Заметим, что и взаимно заменяемы.
Пример.
Решить уравнение 
.
Решение: Здесь 
.
Делим обе части уравнения на 2. Получим 
, откуда
и 
.
Решив последнее уравнение, получим 
;
.
Решение тригонометрических уравнений, используя формулы преобразования произведения в сумму и обратно.
Примеры.
Решить уравнение 
Решение: Используя формулу 
, получим 
. Тогда уравнение примет вид 
, откуда 
, 
, 
.
Решить уравнение 
Решение:
Применим формулу 
.
Еще раз применим формулу , получим
или 
или 
Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной подстановки 
, 
.
Пример.
Решить уравнение 
.
Решение: Возможны 2 случая:
не существует, т.е. 
, 
. Тогда 
.
существует и 
, .
Тогда уравнение примет вид: 
.
Откуда
;
.
Делаем замену: 
. Имеем 
, 
.
Тогда 
и 
.
ИЗ № 4.
Решите простейшее тригонометрическое уравнение.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Решите простейшее тригонометрическое уравнение.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Решить простейшее тригонометрическое уравнение.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Решить тригонометрическое уравнение:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Решить тригонометрическое уравнение:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Решить тригонометрическое уравнение:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Решить тригонометрическое уравнение:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Решить тригонометрическое уравнение:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Решить тригонометрическое уравнение:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Решить тригонометрическое уравнение:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Решить тригонометрическое уравнение:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Решить тригонометрическое уравнение:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
§ 5. Тригонометрические неравенства.
Определение: Неравенство, в котором неизвестная переменная находится под знаком тригонометрической функции, называется
тригонометрическим неравенством.
К простейшим тригонометрическим неравенствам относятся следующие 16 неравенств:
, 
, 
, 
;
, 
, 
, 
;
, 
, 
, ;
, 
, 
, ;
Здесь x является неизвестной переменной, a может быть любым действительным числом.
Неравенства вида , , , .
Рис.2
Неравенство .
При 
неравенство не имеет решений.
При 
решением неравенства является любое действительное число.
При 
решение неравенства выражается в виде 
(рис.1).
Неравенство .
При 
неравенство не имеет решений.
При 
решением неравенства является любое действительное число.
При 
решение неравенства сводится к решению уравнения 
При 
решение неравенства выражается в виде 
(рис.1).
Неравенство .
При неравенство не имеет решений.
При 
решением неравенства является любое действительное число.
При 
решение неравенства выражается в виде 
(рис.2).
Неравенство 
.
При неравенство не имеет решений.
При решением неравенства является любое действительное число.
При 
решение неравенства сводится к решению уравнения 
.
При решение неравенства выражается в виде 
(рис.2).
Примеры.
Решить неравенство 
.
Решение.
Отмечаем на оси синусов значение
. Все значения большие расположены выше точки 
на оси синусов.
, 
.
Ответ: 
.
Решить неравенство 
.
Решение.
Обозначим 
за 
. Получим неравенство
. Отмечаем на оси синусов значение
. Все значения 
меньшие 
расположены ниже точки на оси синусов.
, 
.
;
;
;
;
Ответ: 
.
Неравенства вида , , , .
Рис.4
Неравенство .
При неравенство не имеет решений.
При решением неравенства является любое действительное число.
При решение неравенства выражается в виде 
(рис.3).
Неравенство .
При неравенство не имеет решений.
При решением неравенства является любое действительное число.
При решение неравенства сводится к решению уравнения 
При решение неравенства выражается в виде
(рис.3).
Неравенство .
При неравенство не имеет решений.
При решением неравенства является любое действительное число.
При решение неравенства
выражается в виде 
(рис.4).
Неравенство .
При неравенство не имеет решений.
При решением неравенства является любое действительное число.
При решение неравенства сводится к решению уравнения 
.
При решение неравенства выражается в виде 
(рис.4).
Примеры.
Решить неравенство 
.
Решение.
Отмечаем на оси косинусов значение 
. Все значения меньшие расположены левее точки на оси косинусов.
, 
.
Ответ: 
Решить неравенство 
.
Решение.
Обозначим 
за . Получим неравенство
.
Отмечаем на оси косинусов значение 
. Все значения 
большие расположены правее точки на оси косинусов.
, 
.
;
;
;
;
Ответ: 
.
Неравенства вида , , , 
.
Рис.6
Неравенство .
При любом действительном 
решение неравенства имеет вид:
(рис.5).
Неравенство 
.
При любом действительном решение неравенства имеет вид:
(рис.5).
Неравенство 
.
При любом действительном решение неравенства имеет вид:
(рис.6).
Неравенство 
.
При любом действительном решение неравенства имеет вид:
(рис.6).
Примеры.
Решить неравенство 
.
Решение.
Отмечаем на оси тангенсов значение 1. Указываем все значения тангенса, меньшие 1 –ниже 1.
Отмечаем все точки тригонометрического круга, значение тангенса в которых будет меньше 1. Для этого мы соединяем каждую точку оси тангенсов ниже 1 с началом координат; тогда каждая проведенная прямая пересечет дважды тригонометрический круг.
Учитывая, что период тангенса равен , запишем ответ в виде:
.
Решить неравенство 
.
Решение.
Обозначим 
за . Получим неравенство
.
Отмечаем на оси тангенсов значение 
. Указываем все значения тангенса, большие – выше .
;
;
;
;
Ответ: 
.
Неравенства вида 
, 
, 
, 
.
Рис.8
Неравенство .
При любом действительном решение неравенства имеет вид:
(рис.7).
Неравенство .
При любом действительном решение неравенства имеет вид:
(рис.7).
Неравенство .
При любом действительном решение неравенства имеет вид:
(рис.8).
Неравенство 
.
При любом действительном решение неравенства имеет вид:
(рис.8).
Примеры.
Решить неравенство 
.
Решение:
Отмечаем на оси котангенсов значение 
. Указываем все значения котангенса, большие – правее .
Учитывая, что период котангенса равен , запишем ответ в виде: 
.
Решить неравенство 
.
Решение:
Обозначим 
за . Получим неравенство
.
Отмечаем на оси котангенсов значение -1. Указываем все значения котангенса, меньшие -1 – левее -1.
;
;
;
;
Ответ: 
.
ИЗ № 5.
Решите простейшее тригонометрическое неравенство.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Решить тригонометрическое неравенство.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Содержание.
Предисловие………………………………………………………….……...3
§ 1. Единичная тригонометрическая окружность. Тригонометрические функции числового аргумента. Основные формулы тригонометрии…...4
ИЗ №1…………………………………………………………..…………….9
§2. Тригонометрические функции, их свойства и графики. Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований графиков……………………………………………........17
2.1. Тригонометрические функции, их свойства и графики………….…17
2.2. Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований графиков……………………….……...19
ИЗ №2……………………………………………………………………….27
§ 3. Обратные тригонометрические функции……………………………30
ИЗ №3……………………………………………………………………….33
§ 4. Тригонометрические уравнения……………………………………...36
4.1. Простейшие тригонометрические уравнения…………………..…...36
4.2. Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным……….37
4.3. Однородные тригонометрические уравнения……………………….38
4.4.Решение тригонометрических уравнений, введением вспомогательного угла……………………………………………………39
4.5. Решение тригонометрических уравнений, используя формулы преобразования произведения в сумму и обратно………………………40
4.6.Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной подстановки…………………………………………………………….…..41
ИЗ №4……………………………………………………………………….42
§ 5. Тригонометрические неравенства……………………………….…...47
. Неравенства вида , , , …………….48
5.2. Неравенства вида , , , …….…........50
5.3. Неравенства вида , , , ……….……...…...52
5.4. Неравенства вида , , , ………………54
ИЗ №5……………………………………………………………………….56
Литература.
Абылкасымова А.Е., Шойынбеков К.Д. «Алгебра и начала анализа». Учебник для 10 класса естественно - математического направления общеобразовательных школ. Алматы: Мектеп, 2010.
Алгебра и начала анализа. 10–11 кл.: Учеб.-метод. пособие/ М.И. Башмаков, Т.А. Братусь, Н.А. Жарковская и др. – М.: Дрофа, 2001. – 240 с.: ил. – (Дидактические материалы).
Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре и началам анализа 10-11 класс: Учеб. пособие. – М.: Просвещение, 1999.
Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10–11 классов. М.: Илекса, 2005г.
Колмогоров А.Н. «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс. - М.: Просвещение, 2010г.
Контрольные и самостоятельные работы по алгебре: 10 класс: к учебнику А.Г. Мордковича «Алгебра и начала анализа. 10–11 классы» / М.А. Попов. – М.: Издательство «Экзамен», 2008.
Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 класс: задачник для общеобразовательных учреждений. – М. Мнемозина, 2006.
7. Шыныбеков А.Н. «Алгебра и начала анализа».Учебник для 10-11 классов общеобразовательной школы. «Атамура», 2011.
8. Сканави М.И. «Математика в задачах для поступающих в вузы», – М.: издательство «АСТ», 2010г.
62
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 664 409 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Мещерякова Светлана Алексеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
72/144/180 ч.
Мини-курс
2 ч.
Мини-курс
10 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.