Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Сборник Координатный метод в решениях задач ЕГЭ
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Сборник Координатный метод в решениях задач ЕГЭ

библиотека
материалов

Глава 1. «Симпатичные» фигуры.

hello_html_322e3c04.gifСогласимся с Бунеевой Н.А. и Каргаполовым А.М. – авторами сборника «Задачи по стереометрии (координатный метод)» [1], и фигуры (мы будем иметь в виду геометрические тела), которые «удобно» расположить в прямоугольной системе координат, назовем «симпатичными». z

0 y

x

Это в первую очередь, куб (1) (рис.1) и прямоугольный параллелепипед (2) (рис.2)

hello_html_m1fda785b.gifhello_html_685e8077.gif

A1

D C

A B

Рис.1. Рис.2.

Если длина ребра куба равна 1, то координаты вершин записываются просто. Например,

A(1; 0; 0), B(1; 1; 0), C(0; 1; 0), D(0; 0; 0), A1(1; 0; 1) и так далее.

Фhello_html_46c3484a.gifигуры (3) и (4) - четырёхугольные пирамиды с основанием квадрат (рис.3 ) и прямоугольник (рис.4). Фигура (3) (рис.3) – правильная четырехугольная пирамида, у которой основание ABCD- квадрат и высота SF попадает в центр описанной (около основания) окружности, т.е. в точку пересечения диагоналей основания.

hello_html_209a9dde.gifS S



D A D A

F F

C B C B

Рис.3. Рис.4.

Следующей нашей фигурой (5) является пирамида, у которой основание ABCD также квадрат, одно боковое ребро (например, SD) перпендикулярно основанию. Следовательно, ребро SD является высотой пирамиды. Фигура (6) аналогична фигуре (5), только основание у этой фигуры не квадрат, а прямоугольник.

hello_html_m4d850856.gifhello_html_496496fb.gifS

D C

A B

Рис.5. Рис.6.

Понятно, что для фигуры (2), (3), (4), (5) и (6) координаты вершин вычисляются легко (при заданных рёбрах). Рассмотрим, например, фигуру (4). Пусть AD=4, AB=10, высота SF=6. Очевидно, что координаты вершин пирамиды:

Ahello_html_m9dfa14c.gif (4; 0; 0), B (4; 10; 0), C (0; 10; 0), D (0; 0; 0), S (2; 5; 6).

Теперь рассмотрим треугольные пирамиды. D

фигура (7) (рис. 7) – треугольная пирамида, которая в основании имеет

правильный треугольник ABC (cо стороной равной 1) и одно боковое А С

ребро, (например AD=H), перпендикулярно основанию. В

Понятно, что A(0;0;0), C(0;1;0), D(0;0;H). Рис.7.

Нhello_html_m78375c64.gifайдем координаты вершины B. Сделаем следующий чертеж А К С

(рис. 8)(вид сверху). Ясно, что zB=0, yB=AK=hello_html_578b80cb.gif, xB=BK=hello_html_m3ac2153b.gif=hello_html_m464e4d90.gif

Заметим, что xB равен длине высоты в правильном треугольнике В

ABC (этот факт можно использовать для запоминания xB =hello_html_m464e4d90.gif). Рис.8.

Вhello_html_m696b0947.gif итоге имеем координаты точки B(hello_html_m3bbbbbc7.gif). D

Фигура (8) (рис.9.) – правильный тетраэдр. Известно, что высота

тетраэдра DF попадает в центр описанной (около основания ABC) A C

окружности. F

Найдём координаты вершины D для фигуры (8). Пусть DF- высота. B

Тогда F – пересечение медиан в треугольнике ABC. Рис.9.

Сhello_html_m6bceca5d.gifделаем следующий чертеж (рис.10) (вид сверху). Так как медианы в A К С

треугольнике делятся в отношении 2:1, считая от вершины, значит, F

KF=hello_html_m1712f563.gifBK. Следовательно, хF=hello_html_m7d5e4dd0.gif, уF=hello_html_578b80cb.gif. Очевидно, что хDF, уDF, B

т.е. осталось найти zD. Рис.10

Сhello_html_m4a90a257.gifделаем дополнительный чертеж (рис.11). D

Зная, что zD=DF=hello_html_1924cdc8.gif и FB=hello_html_27b3867f.gifBK=hello_html_m1324faac.gif=hello_html_m463a287f.gif, вычислить

zD просто: zD==hello_html_m626edcd7.gif = hello_html_m4f9c17cd.gif. F B

В итоге имеем D(hello_html_2769884a.gif). Рис.11.

Рассмотрим также и фигуру (9) (рис.12) – правильную треугольную пирамиду, у которой основание ABC – правильный треугольник, боковые ребра равны между собой (DA=DB=DC).

Высота пирамиды DF попадает в центр правильного треугольника ABC.

Еhello_html_m12e32652.gifсли задана высота H=DF, то координаты вершины D выглядят следующим D

образом: D (hello_html_40bba64a.gif). Обратим внимание, если в основании фигуры

находится правильный треугольник ABC со стороной а, то имеем A C

следующие координаты: B

A (0; 0; 0), C (0; а; 0), Вhello_html_27a763cb.gifDhello_html_mb5244a1.gif. Рис.12

hello_html_m6bd0dc77.gifДалее рассмотрим пирамиды, у которых основания – прямоугольные треугольники. Фигура (10) (рис.13) имеет вид: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине A, ребро AD перпендикулярно основанию ABC. Другими словами, ребра AB, AC, и AD попарно перпендикулярны. Фигура (11) (рис.14) имеет вид: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине A, ребро CD перпендикулярно основанию ABC. Другими словами, ребра AB, AC и CD попарно перпендикулярны. Следующая фигура (12) (рис.15) имеет в основании прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине A и её боковые ребра равны между собой. Это означает, что высота DF пирамиды попадает в центр описанной (около основания ABC) окружности, т.е. точка F – середина гипотенузы BC.

D D D



A C A C A C

F

B B B

Рис. 13. Рис.14. Рис.15.

Зная соответствующие измерения, нетрудно записать координаты вершин пирамид.

Например, рассмотрим фигуру (12). Пусть AB=6, AC=8, AD=BD=CD=13. Введём систему координат, как показано на рисунке (15). Имеем A(0; 0; 0), B (6; 0; 0), C (0; 8; 0). Очевидно, что BC=10. Пусть точка F – середина BC. Тогда просто найти координаты точки F (3; 4; 0). Так как FC=hello_html_578b80cb.gif BC=5, тогда DF=hello_html_m62c2287a.gif =12. Следовательно, координаты точки D (3; 4; 12).

Осталось рассмотреть треугольные призмы. Фигура (13) (рис.16) – правильная призма,

оhello_html_m1bf3a2b2.gifhello_html_m5bb24ebc.gifснованиями являются правильные треугольники, боковые ребра перпендикулярны основанию. Фигура (14) (рис.17) также прямая призма, но в основании лежит прямоугольный треугольник.









Рис.16. Рис.17.

Рассмотренные фигуры действительно «симпатичны»: есть простая возможность введения системы координат и, как следствие, решения задач, содержащих в условии «симпатичную» фигуру, методом координат.

Понятно, что множество «симпатичных» фигур содержит и не только фигуры (1-14). Например, шестиугольная пирамида SABCDEF (где основание ABCDEF – правильный шестиугольник, а высота попадает в центр, описанной вокруг основания окружности) или же шестиугольная прямая призма, также являются «симпатичными» фигурами. Нетрудно убедиться, что можно ввести систему координат и легко вычислить координаты всех вершин. Кстати, для этих фигур можно поместить начало координат в центр основания, что мы и сделаем для решения задач в главе 4 п.4.3. и п.4.4.

















































Глава 2. Основные формулы и определения.[1]

  1. Расстояние ρ между точками A1(x1; y1; z1) и А2(x2; y2; z2), равно

ρ hello_html_m6043e94.gif

  1. Координаты середины K(х;у;z) отрезка AB равны средним арифметическим координат его концов. Таким образом, если A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2), то

К(hello_html_m5cb25621.gif;hello_html_778b0f8f.gif;hello_html_6284c24.gif).

  1. Координаты вектора AB равны разности соответствующих координат конца B и начала A данного вектора. Таким образом, если A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2), то

hello_html_55380dfd.gif.

  1. Длина вектора hello_html_m2c25d930.gif, имеющего координаты (a1; a2; a3), равна hello_html_3cb6a17b.gif=hello_html_m39db2abb.gif.

  2. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

  3. Ненулевые векторы называются компланарными, если они лежат на одной плоскости, либо на параллельных плоскостях; нулевой вектор считается компланарным любому вектору.

  4. Для того чтобы векторы hello_html_m2c25d930.gif и hello_html_m17016a4b.gif были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало некоторое ненулевое число λ, такое что hello_html_m2c25d930.gif = λhello_html_m17016a4b.gif.

  5. Для того чтобы три вектора hello_html_m2c25d930.gif, hello_html_m17016a4b.gif и hello_html_mae41fc1.gif, были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы любой из них можно было представить в виде линейной комбинации двух других, т.е.

hello_html_m2c25d930.gif=αhello_html_m17016a4b.gif+βhello_html_m4ec1de0d.gif, где α, β – некоторые числа.

  1. Любой вектор можно единственным образом разложить по трем некомпланарным векторам.

  2. Скалярным произведением двух ненулевых векторов hello_html_m2c25d930.gif и hello_html_m17016a4b.gif называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними. Таким образом,

hello_html_m2c25d930.gif·hello_html_m17016a4b.gif=hello_html_3cb6a17b.gif·hello_html_6477f9ea.gif·cos φ.

  1. Скалярное произведение векторов hello_html_m2c25d930.gif(a1; a2; a3), и hello_html_m17016a4b.gif(b1; b2; b3) равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

hello_html_m2c25d930.gif·hello_html_m17016a4b.gif= a1 b1+ a2 b2 + a3 b3.

  1. Ненулевые векторы hello_html_m2c25d930.gif(а1; a2; a2) и hello_html_m17016a4b.gif(b1; b2; b3) перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, т.е. a1 b1+ a2 b2 + a3 b3= 0

  2. Если φ – угол между ненулевыми векторами hello_html_m2c25d930.gif(a1; a2; a3) и hello_html_m17016a4b.gif(b1; b2; b3),

то hello_html_558be742.gif=

  1. Всякое уравнение первой степени аx+by+cz+d=0 задает в координатном пространстве единственную плоскость, которая перпендикулярна вектору hello_html_m1eb6c9e4.gif(a, b, c). Вектор hello_html_m29ddd9af.gif называется вектором нормали к данной плоскости.

  2. Если p – расстояние от точки M (m1; m2; m3) до плоскости аx+by+cz+d=0 , то

hello_html_m4cb3fac9.gif

  1. Если α – угол между плоскостями, заданными уравнениями a1x + b1y + c1z + d1=0 и a2x + b2y + c2z + d2=0, то

соshello_html_2e28ff68.gif= hello_html_m40360b62.gif

  1. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

  2. Если α – угол между прямой, направляющий вектор которой hello_html_55247b0b.gif (m1; m2; m3), и плоскостью ax+by+cz+d=0, то

sinα=hello_html_m493c1119.gif

  1. Если α – угол между прямыми, направляющие векторы, которых hello_html_55247b0b.gif (m1, m2, m3) и

(n1, n2, n3), то

соsα=hello_html_m28f106ad.gif

  1. Пhello_html_m964f3f0.gifараметрическое уравнение прямой, которая проходит через точку M(x0, y0, z0) и имеет направляющий вектор hello_html_m29ddd9af.gif (a, b, c), имеет вид:



  1. Уравнение сферы с центром O(a, b, c) и радиусом R

hello_html_7b7da49d.gif

  1. Если hello_html_5d598ed3.gif - длина перпендикулярной проекции вектора hello_html_38e67258.gif на плоскость β: ax+by+cz+d=0, то hello_html_5d598ed3.gif=hello_html_m708a3d96.gif, где φ – угол между вектором hello_html_38e67258.gif и плоскостью β.

  2. Если hello_html_m4b3b219b.gif – площадь сечения заданного многогранника плоскостью α и hello_html_m3c8c81ff.gif - площадь проекции этого сечения на плоскость β, то hello_html_m4b3b219b.gif=hello_html_6f833c7a.gif, где φ – угол между плоскостями α и β.



Глава 3. Уравнение плоскости.

Конечно, для того, чтобы научиться решать задачи с помощью координатного метода, умения находить координаты вершин недостаточно. Очень часто условие задачи содержит некоторую плоскость. В одних задачах плоскость задается тремя точками, в других, - точкой и перпендикулярной плоскости прямой, и другими способами. Давайте научимся писать уравнения плоскостей заданных различными способами, которые чаще всего встречаются в задачах.

3.1. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.

Дано: точка K (0; 2; 4); точка M (2; 0;0); точка Р (2; 2; 2).

Найти: общее уравнение плоскости KMР.

Решение:

Запишем общее уравнение плоскости β: ax+by+cz+d=0.

  1. Так как точка M принадлежит плоскости MKP, значит, координаты этой точки удовлетворяют уравнению плоскости. Следовательно, нужно подставить координаты точки M в уравнение вместо x, y, z. Получаем следующее уравнение:

a∙0+b∙2+c∙4+d=0, или проще: 2b+4c+d=0

  1. Так как точка K принадлежит плоскости MKP, значит, координаты этой точки удовлетворяют общему уравнению плоскости. Следовательно, нужно подставить координаты точки K в уравнение вместо x, y, z. Получаем следующее уравнение:

a∙2+b∙0+c∙0+d=0, или проще: 2a+d=0.

  1. Так как точка P принадлежит плоскости MKP, значит, координаты этой точки удовлетворяют общему уравнению плоскости. Следовательно, нужно подставить координаты точки P в уравнение вместо x, y, z, Получаем следующее уравнение:

a∙2+b∙2+c∙2+d=0, или проще: 2a+2b+2c+d=0.

В итоге получаем систему уравнений, составленную из (1), (2) и (3) уравнений:

hello_html_71b6b713.gif.

Так как система состоит из трех уравнений, но содержит четыре неизвестных a, b, c, d, давайте попробуем все неизвестные, выразить через какую-нибудь одну. Наиболее «легким» нам кажется второе уравнение, из которого можно выразить d: d=-2a.

Далее, подставляя вместо d в третье уравнение -2a, получаем 2a+2b+2c-2a=0. Откуда, выражаем b через c: b=-c.

Аналогично, делая подстановку в первое уравнение, получаем: a=c

В итоге имеем:

hello_html_1c88e635.gif(т.е. все неизвестные выражены через с)

Возвращаясь к общему уравнению плоскости, получаем

cx-cy+cz-2c=0.

Полагая с=1, получаем искомое уравнение плоскости KMP:

x-y+z-2=0.

Ответ: общее уравнение плоскости KMP: x+y+z-2=0.

    1. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно ненулевому вектору.

Дано: точка T (-2; 6; 1); hello_html_1374b743.gif(2; -3;5).

Найти: общее уравнение плоскости β, проходящей через точку Т и перпендикулярно hello_html_1374b743.gif.

Решение:

  1. Вектор нормали плоскости (т.е. вектор перпендикулярный плоскости) ax+by+cz+d=0

имеет координаты (a, b, c).

Так как вектор hello_html_1374b743.gif (2; -3; 5) перпендикулярен плоскости TKN, значит, он является вектором нормали к плоскости TKN. Следовательно, уравнение искомой плоскости можно переписать в виде:

2x-3y+5z+d=0. (1)

  1. Так как точка Т принадлежит плоскости β, значит, координаты этой точки удовлетворяют общему уравнению плоскости. Следовательно, можно подставить координаты точки M в уравнение (1) вместо x, y, z:

2∙(-2)-3∙6+5∙1+d=0.

Откуда находим d: d=17

Следовательно, искомое уравнение плоскости TKN: 2x+3y+5z+17=0.

Ответ: общее уравнение плоскости TKN: 2x+2y+5z+17=0.



    1. Уравнение плоскости, проходящей через две точки, параллельно ненулевому вектору.

Дано: точка T (3; 1; 1) и точка R (0; 2; 1), вектор hello_html_46e7ecb2.gif (0; 3; -1).

Найти: общее уравнение плоскости β, проходящей через точки T и R, параллельно вектору hello_html_46e7ecb2.gif.

Решение: Запишем общее уравнение плоскости β:

ax+by+cz+d=0.

  1. Так как точка T принадлежит плоскости β, значит, координаты этой точки удовлетворяют общему уравнению плоскости. Следовательно, нужно подставить координаты точки T в уравнение вместо x, y, z. Получаем следующее уравнение:

a∙3+b∙1+c∙1+d=0.

Или проще:

3a+b+c+d=0.

  1. Так как точка R принадлежит плоскости β, значит, координаты этой точки удовлетворяет общему уравнению плоскости. Следовательно, нужно подставить координаты точки R в уравнение плоскости вместо x, y, z. Получаем следующее уравнение:

a∙0+b∙2+c∙1+d=0.

Или проще:

2b+c+d=0.

  1. Так как вектор hello_html_46e7ecb2.gif (0; 3; -1) параллелен плоскости β, значит он перпендикулярен вектору нормали hello_html_m556ba2fa.gif (a; b; c) плоскости β. Следовательно, скалярное произведение этих векторов равно 0, т.е. hello_html_46e7ecb2.gifhello_html_m556ba2fa.gif=0. Получаем третье уравнение:

0∙a+3∙b-1∙c=0.

Или проще:

3b-c=0.

В итоге мы получаем систему из трех уравнений:

hello_html_m65b962c.gif

Решение аналогично изложенному в пункте 3.1.

Ответ: x+3y+9z-15=0.



    1. Уравнение плоскости, проходящей через точку, параллельно двум ненулевым векторам.

Дано: точка K(3; 0; 2), вектор hello_html_m4ccd1e32.gif(2; 0; 1), вектор hello_html_6d637c88.gif(1; 2; 0).

Найти: общее уравнение плоскости β, проходящей через точку К, параллельно векторам hello_html_m4ccd1e32.gif и hello_html_6d637c88.gif.

Решение: Запишем общее уравнение плоскости β:

  1. Так как точка К принадлежит плоскости β, значит координаты этой точки удовлетворяют общему уравнению плоскости ax+by+cz+d=0. Следовательно можно подставить координаты точки К в уравнение плоскости вместо x, y, z. Получаем следующее уравнение: 3а+0·b+2с+d=0 или проще 3а+2с+d=0.

  2. Вектор hello_html_m4ccd1e32.gif (2;0;1), параллельный плоскости β, перпендикулярен вектору нормали

hello_html_m556ba2fa.gif (a; b; c) данной плоскости, значит скалярное произведение этих векторов равно 0.

Получаем второе уравнение: 2·a+0·b+1·c=0 или проще 2a+c=0.

  1. Вектор hello_html_6d637c88.gif (1; 2; 0) параллельный плоскости β, перпендикулярен вектору нормали

hello_html_m556ba2fa.gif (a; b; c) данной плоскости, значит скалярное произведение этих векторов равно 0.

Получаем третье уравнение: 1·a+2·b+0·c=0 или проще a+2b=0.

В итоге мы получаем систему из трех уравнений:

hello_html_m7d5b9ceb.gif

Так как система состоит из трех уравнений, но содержит четыре неизвестных a, b, c, d, давайте попробуем все неизвестные выразить через какую-нибудь одну. Из второго уравнения получаем с=-2а.

Из третьего уравнения имеем b=-а/2.

Подставляя вместо с в первое уравнение -2а, получаем 3а-2а+d=0. Откуда получаем:

d=-a.

В итоге имеем:

b=-а/2,

с=-2а,

d=-a. (т.е все неизвестные выражены через а)

Возвращаясь к общему равнению плоскости, получаем:

ax-а/2y-2аz-а=0. Полагая, а=2 (чтобы в уравнении плоскости не было дробей), получаем искомое уравнение плоскости: 2x-y-4z-2=0.

Ответ: 2x-y-4z-2=0.

    1. Уравнения координатных плоскостей. (выведите самостоятельно)

Плоскость хОу задается формулой: z=0, вектор нормали имеет координаты hello_html_3bf58276.gif

Плоскость хОz задается формулой: у=0, вектор нормали имеет координаты hello_html_mab3188d.gif

Плоскость уОz задается формулой: х=0, вектор нормали имеет координаты hello_html_m3c4ca0f3.gif





























































Глава 4. Примеры решения задач.

В данной главе предложен координатный метод решения заданий ЕГЭ разных лет. С решениями задач традиционным образом (через элементы треугольника) можно ознакомиться в указанной литературе.

4.1. Расстояние между точками.

Зhello_html_m35b20768.gifадача. [2. Задача 17, стр.184.] Основание пирамиды – квадрат со стороной, равной а. Боковое ребро АМ перпендикулярно плоскости основания пирамиды и вдвое больше ребра основания. Найти радиус сферы, описанной около этой пирамиды.

(В этой задаче может вызвать затруднение нахождение расположения центра М

сферы, описанной около пирамиды. Воспользуемся формулой нахождения

расстояния между точками)

Решение. А В

Пусть О (х; у; z) - центр сферы, описанной около пирамиды МАВСD. D C

Тогда R=ОМ=ОА=ОВ=ОС=ОD.

Расположим пирамиду в прямоугольной системе координат так, чтобы

А(0;0;0), В(0; а;0), С(а; а;0), Д(а;0;0), М(0;0;2а)

По формуле 1 расстояния между точками имеем:

1). АО2= x2+y2+z2 2). ВО2= x2+(y-а)2+z2

3). СО2= (x-а)2+(y-а)2+z2 4). DО2=(x-а)2+y2+z2

5). МО2= x2+y2+(z-2а)2

Из 1) и 2), получаем у=а/2 . Из 1) и 4) получаем х= а/2 .

Подставляя значения х и у в 3) и 5) выражения, и приравнивая эти выражения, получаем z=а. Тогда центр сферы имеет координаты О(а/2; а/2; а).

R2= (а/2)2 +(а/2)2+а2. R=hello_html_mc4ba6f6.gif Ответ: R=hello_html_mc4ba6f6.gif

4.2.Расстояние между прямыми.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Если данные прямые перпендикулярны, то построение их общего перпендикуляра нахождение его длины не вызывает затруднений. Если же данные прямые не перпендикулярны, то построение общего перпендикуляра сравнительно более сложно. В этом случае предлагается способ, который заключается в том, чтобы через одну из прямых провести плоскость β параллельно второй и найти расстояние от любой точки второй прямой до плоскости β.

Зhello_html_m12d35e3f.gifадача. [2.,Задача 11. Стр.169]. Ребро куба АВСDА1В1С1D1 равно 1. Найти расстояние между прямыми АВ1 и ВД.

Рhello_html_m449d7700.gifhello_html_m449d7700.gifhello_html_m6e5acfc2.gifhello_html_2aa85bfd.gifhello_html_m2bddf96.gifhello_html_10392ad2.gifhello_html_m44634bd8.gifешение. Расположим куб в прямоугольной системе координат так, чтобы В1

Аhello_html_417c568c.gifhello_html_2aa85bfd.gifhello_html_m6e5acfc2.gif(0;0;0), В(0; 1 ;0), С(1; 1;0), D(1;0;0), В1(0; 1;1). А В

D C

Расстояние между скрещивающимися прямыми мы найдем как расстояние от любой точки прямой АВ1 до плоскости β, содержащей прямую ВD и параллельной прямой АВ1.

Напишем уравнение плоскости β: ax+by+cz+d=0, проходящей через точки В и Д параллельно прямой АВ1. (см. глава 3. Задача 3.)

1)Так как точка В принадлежит плоскости β, значит, координаты этой точки удовлетворяют общему уравнению плоскости. Следовательно, нужно подставить координаты точки В в уравнение вместо x, y, z. Получаем следующее уравнение: а·0+b·1+c·0+d=0 или проще: b+d=0

2)Так как точка D принадлежит плоскости β, значит, координаты этой точки удовлетворяет общему уравнению плоскости. Следовательно, нужно подставить координаты точки D в уравнение плоскости вместо x, y, z. Получаем следующее уравнение: a∙1+b∙0+c∙0+d=0, или проще: a+d=0

3)Так как вектор hello_html_m637f2faf.gif(0;1;1) параллелен плоскости β, значит он перпендикулярен вектору нормали hello_html_m556ba2fa.gif (a;b;c) плоскости β. Следовательно, скалярное произведение этих векторов равно 0, т.е. hello_html_m4ccd1e32.gifhello_html_m556ba2fa.gif=0. Получаем третье уравнение:

0∙a+1∙b+1∙c=0 или проще b+c=0

В итоге мы получаем систему из трех уравнений:

hello_html_m3c4b3000.gif

Так как система состоит из трех уравнений, но содержит четыре неизвестных a, b, c, d, давайте попробуем все неизвестные выразить через какую-нибудь одну. Из первого уравнения получим b=-d.

Из второго уравнения получим a=-d.

Далее, подставляя вместо b в третье уравнение -d, получаем -d+c=0. Откуда:c=d.

Возвращаясь к общему уравнению плоскости, получаем -dx-dy+dz+d=0

Полагая d=1, получаем уравнение плоскости проходящей через точки В и D параллельно прямой АВ1: -x-y+z+1=0

Найдем по формуле 15 расстояние от точки А(0;0;0), до плоскости β:

-x-y+z+1=0



ρ=hello_html_m74d3b6fa.gifОтвет: ρ=hello_html_1b9e5cff.gif

4.3. Угол между прямыми.

Определение.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые порознь параллельны данным скрещивающимся прямым.



Задача. [5,тренировочная работа №2, С2, стр.8] В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми АВ и А1С.

Рhello_html_m2485da56.gifешение.

Расположим основание призмы в прямоугольной системе координат, А1

как показано на рисунке. А В

Тогда А(0;0;0), В(0;1;0), С(hello_html_7135cb2c.gif; hello_html_m661d7888.gif0), А1(0;0;1) С

Направляющие векторы прямых АВ и А1С имеют координаты:

hello_html_m4ccd1e32.gif(0;1;0), hello_html_m65afadea.gif (hello_html_7135cb2c.gif; hello_html_m661d7888.gif -1) Тогда соs hello_html_4840e6bd.gif=hello_html_66641fe3.gif

hello_html_2a40930c.gifОтвет: соs hello_html_427798e7.gif

Задача. [2, Задача 5, стр.163] A1 B1

Дан куб АВСD А1В1С1D1. Пусть F – точка пересечения диагоналей АС и ВД. A B

F

Найти угол между прямыми А1F и В1Д. D C

Решение.

Пусть ребро куба равно 1. Расположим куб в прямоугольной системе координат так, чтобы А(0;0;0), В(0; 1;0), С(1; 1;0), D(1;0;0), А1(0; 0;1), В1(0; 1;1).

Тогда точка F – точка пересечения диагоналей будет иметь координаты F( ½; ½; 0).

Найдем угол между векторами hello_html_125dfde6.gif( ½; ½; -1) и hello_html_m79493496.gif(1; -1;-1).

соshello_html_2e28ff68.gif=hello_html_m30b966b9.gif.

Ответ: аrccoshello_html_71fe222a.gif.

Зhello_html_m6477b73a.gifадача. [2. Задача 9, стр.167] В прямоугольном параллелепипеде АВСD А1В1С1D1. Известно АА1=1, АВ=2, АD=3. Найти угол между прямыми ВD1 и АС.

Решение. Расположим прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1 A1

в прямоугольной системе координат как показано на рисунке. A B

А(0;0;0), В(0;2;0), С(3;2;0), D1(3;0;1). D C

Направляющий вектор прямой ВД1 имеет координаты (3;-2;1).

Направляющий вектор прямой АС имеет координаты (3;2;0).

Найдем косинус угла между прямыми по формуле 19. соshello_html_2e28ff68.gif=hello_html_76c1db7c.gif.

Оhello_html_m52387e1b.gifтвет: arcos hello_html_m2ada5fba.gif

Задача. [6, вариант 7, задача С2, стр.71] D1

В правильной шестиугольной призме АВСDЕFА1В1С1D1Е1F1, все ребра которой B1

равны 1, найти косинус угла между прямыми АВ1 и ВD1. A

Решение. Расположим основание призмы АВСДЕFА1В1С1Д1Е1F1 в прямоугольной B

сhello_html_3aeb4ce4.gifистеме координат как показано на рисунке.

В правильном шестиугольнике R=a=1. D 0 A

B

Тогда точка А(0;1;0), В(hello_html_7135cb2c.gif; hello_html_m661d7888.gif0), В1(hello_html_7135cb2c.gif; hello_html_m661d7888.gif1), D1(0;-1;1)

Направляющий вектор прямой АВ1 имеет координаты (hello_html_7135cb2c.gif; - hello_html_m661d7888.gif 1).

Направляющий вектор прямой ВД1. Имеет координаты (-hello_html_7135cb2c.gif; -hello_html_615a29fb.gif;1).

Найдем косинус угла между прямыми по формуле 19 соshello_html_2e28ff68.gif=hello_html_m5e164a04.gif.

Ответ: соshello_html_2e28ff68.gif=hello_html_m4ba8abde.gif

4.4.Угол между прямой и плоскостью

Определение. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

В тех случаях, когда затруднительно найти проекцию прямой на плоскость, предлагаем воспользоваться формулой 18 для нахождения угла между прямой и плоскостью.

Задача С2. Вариант №5. Диагностическая работа. Ноябрь 2009 г.

В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1, у которого АА1 =4, А1D1 = 6, С1D1=6, найти тангенс угла между плоскостью АDD1 и прямой ЕF, проходящей через середины ребер АВ и В1С1.

Рhello_html_30e1080e.gifешение .

Расположим прямоугольный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 в A1 B1

D1 F прямоугольной систему координат так, чтобы A E B

А(0;0;0), А1(0;0;4), Д(6;0;0), В(0;6;0). D C

Тогда точка Е - середина АВ имеет координаты Е(0;3;0), точка F - середина В1С1 имеет координаты F(3;6;4). Направляющий вектор прямой EF имеет координаты (3;3;4).

Плоскость АDD1 имеет уравнение у=0. (п.5.глава 3)

По формуле 18 имеем sinhello_html_2e28ff68.gif=hello_html_m776fb76a.gif

Из основного тригонометрического тождества получаем соshello_html_2e28ff68.gif=hello_html_m504b47b7.gifhello_html_1b730b13.giftghello_html_2e28ff68.gif=hello_html_m59cc9e06.gif Ответ: tghello_html_2e28ff68.gif=hello_html_m59cc9e06.gif



hello_html_m289286eb.gifЗадача. В правильной шестиугольной пирамиде SАВСDЕF, боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, найти косинус угла между прямой АС и плоскостью SАF. S

Решение. F

Расположим основание пирамиды в прямоугольной системе координат О А

как показано на рисунке. С

Вhello_html_69c97d14.gif правильном шестиугольнике R=a=1. Тогда О(0;0;0), А(0;1;0), С(hello_html_7135cb2c.gif;- hello_html_m661d7888.gif 0), F

F(-hello_html_7135cb2c.gif; hello_html_m661d7888.gif 0), S(0;0;hello_html_m980c3de.gif). О А

Напишем уравнение плоскости SАF. (см. глава 3. Задача 1.): х -hello_html_m4fdeb4cd.gif. С

(Напишите самостоятельно).

Найдем по формуле 18 синус угла между плоскостью SАF, вектор нормали которой имеет координаты (1; hello_html_28f2f0dd.gif и прямой АС, направляющий вектор которой имеет координаты hello_html_7a496176.gif(hello_html_7135cb2c.gif;0).

sinα= hello_html_6927b92b.gif. Применяя основное тригонометрическое тождество, получаем со=hello_html_m501c4093.gif.

Ответ: со=hello_html_m501c4093.gif



Задача. [3, Вариант 1, задача С4, стр.8] Отрезок РN – диаметр сферы. Точки М, L лежат на сфере так, что объем пирамиды РМNL- наибольший. Найти синус угла между прямой NT и плоскостью РМN, если Т – середина ребра ML.

Рhello_html_2b8b5aac.gifешение. L

Пирамида РNМL имеет наибольший объем, если T

треугольники РМN и РLТ прямоугольные, равнобедренные M N

с общей гипотенузой РN, лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях. Р

Расположим пирамиду в прямоугольной системе координат как показано на рисунке. Пусть катеты равнобедренных прямоугольных треугольников РМN и РLТ равны 1. Тогда радиус сферы R=hello_html_18bb84e9.gif.

Тогда М(0;0;0), Р(1;0;0), N(0;1;0), L(hello_html_39389a95.gifhello_html_18bb84e9.gif). Точка Т (hello_html_746dbdb0.gif– середина ребра ML.

Направляющий вектор прямой NT имеет координаты (hello_html_362661d.gif.

Плоскость РМN задается уравнением z=0, вектор нормали имеет координаты hello_html_3bf58276.gif(Глава 3. п.5.).

По формуле 18 находим синус угла α между прямой NT и плоскостью РМN:

sin α=hello_html_4042944d.gif.

Ответ: sin α =hello_html_m6c30838f.gif.

4.6.Угол между плоскостями.



Задача С4. [ЕГЭ, 2005 г.] Основание прямой четырехугольной призмы АВСDА1В1С1D1 – прямоугольник АВСD, в котором АВ=5, АD=hello_html_m67cb178a.gif. Найти тангенс угла между плоскостью грани АА1Д1Д призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра СD перпендикулярно прямой В1D, если расстояние между прямыми АС и В1D1 равно hello_html_m980c3de.gif.

Рhello_html_5cfb392a.gifешение.

Расположим призму в прямоугольную систему координат так, A1 B1

чтобы А(0;0;0), В(0;5;0), D(hello_html_m67cb178a.gif; 0; 0), В1(0;5;hello_html_4432f0d6.gif. A B

D K C

Напишем уравнение плоскости β, которая проходит через середину DС - точку К(hello_html_m67cb178a.gif;hello_html_m4531daaa.gif;0) , и для которой вектор hello_html_m63629d3e.gif(hello_html_m67cb178a.gif;-5;hello_html_9e1f914.gif) – есть вектор нормали. (см. задачу 2 из главы 3 – уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно ненулевому вектору):

hello_html_m67cb178a.gif·hello_html_m67cb178a.gif- 5·hello_html_m4531daaa.gif+ 0·(hello_html_m5fa1d97b.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_14483a70.gif=-20,5

hello_html_1b730b13.gifУравнение плоскости, проходящей через точку К перпендикулярно прямой В1Д имеет вид

hello_html_m67cb178a.gifх-5у-hello_html_m980c3de.gifz -20,5=0.

Уравнение плоскости АА1D1D имеет вид у=0 (п.5.глава 3).

Тогда по формуле 16 имеем соshello_html_2e28ff68.gif=hello_html_m600c1ad5.gif=hello_html_m17cc5320.gif. hello_html_1b730b13.gifsinhello_html_2e28ff68.gif= hello_html_36e9a1b0.gifhello_html_1b730b13.giftghello_html_2e28ff68.gif=hello_html_45275f25.gif

Ответ: tghello_html_2e28ff68.gif=hello_html_45275f25.gif

Задача 6. [2.стр. 163] Среди различных плоскостей, пересекающих поверхность куба, взяты плоскости ВDС1 и В1АD. Найти угол между ними.

Рhello_html_58978aab.gifешение.

hello_html_4c4559a.gifПусть дан куб АВСD А1В1С1D1. С ребром равным 1. Расположим куб В1

hello_html_5c8d8a49.gifhello_html_68d1863d.gifв прямоугольной системе координат так, чтобы А В

А(0;0;0), В(0; 1;0), С(1; 1;0), Д(1;0;0), В1(0; 1;1), С1(1; 1;1). D C

Напишем уравнение плоскости ВDС1. (см. задачу 1 главы 3 – уравнение плоскости, проходящей через 3 точки). а0.

плоскость проходит через точку Д, то Адр.а подгот. :ем Я вдвое больше ребра основания. Найти радиус сферы, описанной ок–х-у+z+1=0. (1) (напишите самостоятельно)

Напишем уравнение плоскости В1АD: - у+z=0. (2). (напишите самостоятельно)

Вектор нормали плоскости ВДС1: hello_html_m6d1e6ee6.gif1 (-1;-1;1).

Вектор нормали плоскости В1АД: hello_html_m6d1e6ee6.gif2 (0;-1;1).

Тогда по формуле 16 имеем соshello_html_2e28ff68.gif=hello_html_m63ea00ec.gif.

Ответ: arccoshello_html_m5e96ba13.gif



Задачи для самостоятельного решения.

  1. В правильной шестиугольной призме АВСДЕFА1В1С1Д1Е1F1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми АВ1 и ВС1. (Ответ: соsα=hello_html_18bb84e9.gif)

  2. В правильной шестиугольной призме АВСДЕFА1В1С1Д1Е1F1, все ребра которой равны 1, найти угол между прямыми АВ1 и ВЕ1. (Ответ: соsα= -hello_html_m4ba8abde.gif)

  3. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми АВ1 и ВС1. (Ответ: соsα=hello_html_50c7c0d7.gif)

  4. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми АВ и А1С. (Ответ: соsα=hello_html_m4ba8abde.gif)

  5. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1, у которого АВ =4, ВС = 6, СС1 = 4, найти тангенс угла между плоскостью АВС и прямой ЕF, проходящей через середины ребер АА1 и С1 D1.

(Ответ: tghello_html_2e28ff68.gif=hello_html_m64f21338.gif)

  1. В кубе АВСДА1В1С1D1 найти тангенс угла между прямой АА1 и плоскостью ВС1D.

(Ответ: tgα=hello_html_18bb84e9.gif)

  1. В кубе АВСDА1В1С1D1 найти синус угла между прямой АD1 и плоскостью ВA1С1.

(Ответ: sinα=hello_html_m5e96ba13.gif).

  1. Через центр О данной сферы проведено сечение. Точка F выбрана на сфере, а точки А, В, С, Д – последовательно на окружности сечения, так, чтобы объем пирамиды FАВСД был наибольший. Найти синус угла между прямой АМ и плоскостью ВFД, если М – середина ребра FВ.

(Ответ: sinα= -hello_html_m42b91750.gif).

  1. Основание прямой четырехугольной призмы АВСDА1В1С1D1 – прямоугольник АВСД, в котором АВ=12, АD=hello_html_51e6083c.gif. Найти косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра АD перпендикулярно прямой ВD1, если расстояние между прямыми АС и В1Д 1 равно hello_html_4ad9b457.gif (Ответ: со=hello_html_m4ba8abde.gif)



Литература.



  1. Бунеева Н.А, Каргаполов А.М. Задачи по стереометрии (координатный метод), 2006.

  2. Единый Государственный экзамен: математика: методика подгот. : кн. для учителя / [Л.О.Денищева, Ю.А.Глазков, К.А. Красньянская и др.]. – М.: Просвещение, 2005. – 256 с.

  3. Единый государственный экзамен: математика: контрол. измерит. материалы: 2005-2006/ под общ. ред.Л.О.Денищевой; М-во образования и науки Рос. Федерации, Федерал. служба по надзору в сфере образования и науки, Федерал. ин-т пед. измерений, - М.: Просвещение, 2006. – 96 с.

  4. Единый государственный экзамен: математика: учебно-тренировочные материалы: 2005: Математика/под ред.Л.О.Денищевой, -М: Просвещение, 2005. – 78 с.

  5. ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые задания/И.Р.Высоцкий, Д.Д.Гущин, П.И.Захаров, В.С.Панферов, С.Е.Посицельский, А.В.Семенов, А.Л.Семенов, М.А.Семенова, И.Н.Сергеев, В.а.смирнов, С.А.Шестаков, Д.Э.Шноль, И.В.Ященко; под ред.А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2010 – 55 с. (Серия «ЕГЭ 2010. Типовые тестовые задания)

  6. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2010: Математика/авт.-сост.И.Р.Высоцкий, Д.Д.Гущин, П.И.Захаров и др.; под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.:АСТ:Астрель, 2010.-93 с. – (Федеральный институт педагогических измерений)



































Оглавление.



Глава 1. «Симпатичные» фигуры……………………………………………………………………….1

Глава 2. Основные формулы и определения…………………………………………………………..5

Глава 3. Уравнение плоскости

3.1.Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой………………7

3.2. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно ненулевому вектору…..8

3.3.Уравнение плоскости, проходящей через две точки, параллельно ненулевому вектору………….9

3.4. Уравнение плоскости, проходящей через точку, параллельно двум ненулевым векторам…10

3.5. Уравнения координатных плоскостей…………………………………………………………………11

Глава 4. Примеры решения задач

4.1. Расстояние между точками……………………………………………………………………………12

4.2.Расстояние между прямыми…………………………………………………………………………12

4.3. Угол между прямыми……………………………………………………………………………….14

4.4. Угол между прямой и плоскостью………………………………………………………………….16

4.5. Угол между плоскостями…………………………………………………………………………….18

Глава 5. Задачи для самостоятельного решения……………………………………………………………20



27



Автор
Дата добавления 19.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров242
Номер материала ДВ-356587
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх