Сборник задач на оптимизацию

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 65 с углубленным изучением английского языка» г. Перми

ПРОЕКТ

        на тему

«Способы решения экономических задач на оптимизацию»

(Математика)

ученика МАОУ «СОШ № 65» 10 «В» класса

Харлашкина Бориса Игоревича

Руководитель проекта: Захарова Татьяна Федоровна

г. Пермь, 2021 год

ПАСПОРТ ПРОЕКТА

Тема	Способы решения экономических задач на оптимизацию
Автор проекта	Борис Игоревич Харлашкин
Научный руководитель	Татьяна Федоровна Захарова
Проблема	Проблема проекта – серьезная нехватка часов на изучение задач на оптимальный выбор на уроках математики в школе. Вследствие этого у учеников не будет четкого представления о том, как решать такие задачи, что повлечет за собой ухудшение результатов ЕГЭ.
Цели	Целью проекта является составление четко сформулированного пособия по решению задач на оптимальный выбор и презентация ученикам 10 класса.
Задачи	Задачами проекта являются: - изучить важности применения задач на оптимизацию в жизни - изучение материала, необходимого для решения задачи (производная, экстремумы функции) - проанализировать частоты верного решения задач на оптимизацию в ЕГЭ - изучение разных видов задач на оптимизацию - составление плана решения в зависимости от вида задачи, упорядочивание в текстовом пособии - создание презентации-сопровождения по пособию - провести занятие – консультацию  по решению задач на основе пособия в 11 классе
Учебный предмет	Математика
Результат проекта (продукт)	Пособие по решению задач на оптимизацию, состоящее из текстового документа Word и наглядной презентации. Оно будет содержать способы и алгоритмы решения разных видов таких задач, примеры заданий и разбор правильного решения.
Реализация	декабрь 2020-май 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Ни для кого не секрет, что рано или поздно каждому школьнику придется сдавать Единый Государственный Экзамен. Каждый ученик может сам выбрать предметы, которые хочет писать. Тем не менее, все выпускники должны сдать базовый или профильный ЕГЭ по математике. Профильный уровень выбирают те, кто стремится поступить на факультеты технического и социально-экономического направления. Летом 2020 года этот экзамен сдавали более 400 тысяч учеников. Конечно, для успешного результата необходима тщательная подготовка.

Одним из самых сложных заданий профильного экзамена является задание 17. 17 задание бывает двух типов: задачи, связанные с банками, вкладами и кредитами и задачи на оптимальный выбор. Второй тип считается самым сложным и требует усердной подготовки и отличного знания учебного материала. Поэтому, темой своего проекта я выбрал разбор задач на оптимальный выбор и составление пособия по их решению.

Данная тема является очень актуальной, так как, во-первых, на разбор задач такого типа в школьной программе уделяется всего 3 часа. 3 часа для того, чтобы разобраться, как правильно составить математическую модель, записать функцию, связывающую независимую переменную с оптимизирующей величиной, а также дать конкретный ответ. Во-вторых, 17 задача является практико-ориентированной. Именно за информацию о том, как максимизировать прибыль и минимизировать убытки, компании готовы платить большие деньги. Умение решать задачи такого типа в 10-11 классе станет очень хорошей базой для последующего совершенствования знаний и возможности устроится на высокооплачиваемую должность.

Таким образом, объектом моего проекта является задача на оптимальный выбор из профильного ЕГЭ по математике. Предметом являются способы и алгоритмы решения таких задач. 

Проблема проекта – серьезная нехватка часов на изучение задач на оптимальный выбор на уроках математики в школе. Вследствие этого у учеников не будет четкого представления о том, как решать такие задачи, что повлечет за собой ухудшение результатов ЕГЭ.

Целью моего проекта является составление четко сформулированного пособия по решению задач на оптимальный выбор и презентация ученикам 10 класса. Пособие будет состоять из текстового документа Word и наглядной презентации. Оно будет содержать способы и алгоритмы решения разных видов таких задач, примеры заданий и разбор правильного решения. Так как с каждым годом 17 задание радикально не меняется, данное пособие можно будет использовать для обучения будущих выпускников на элективных уроках. Презентовать способы решения 17 задач 10 классу я буду на дополнительных уроках алгебры, которые мы организуем и согласуем вместе с Татьяной Федоровной Захаровой.

Задачами проекта являются:

- изучение важности применения задач на оптимизацию в жизни

- изучение материала, необходимого для решения задачи (производная, экстремумы функции)

- анализ частоты верного решения задач на оптимизацию в ЕГЭ

- изучение разных видов задач на оптимизацию

- составление плана решения в зависимости от вида задачи, упорядочивание в текстовом пособии

- создание презентации, подкрепляющей пособие

- презентация учащимся 10 класса

ГЛАВА 1. ПОДГОТОВКА К ЕГЭ

Подготовка, направленная именно на сдачу профильного ЕГЭ, начинается в 10 классе. Мы изучаем тригонометрию, логарифмы, показательную функцию и многое другое, что, безусловно, необходимо для успешной сдачи экзамена. Когда я узнал от преподавателя, что на изучение 17 задания ЕГЭ отводится три часа программы, мне показалось, что этого времени просто не может хватить для полного усвоения теории. Тогда я решил, что целью моего проекта будет создание пособия по решению задач на оптимизацию и презентация ученикам 10-11 классов на элективных уроках.

Возникает вопрос: «Неужели дополнительные занятия действительно необходимы для успешной сдачи экзамена?» Во-первых, верно решенное 17 задание дает 3 первичных балла, при том, что уже с 30 баллов за экзамен ставится 100 %. Больше дают только задания с параметром и задания на теорию чисел – 4 балла. Но решение этих задач может занимать больше часа, а время экзамена очень ограничено. Зато, научившись решать задачи на оптимизацию, 30-ти минут для полного решения 17 задания вполне хватает.

Помимо умения выполнять арифметические действия, для успешного решения 17 задания надо знать, как правильно выделить оптимизируемую величину и связанную с ней независимую переменную, составить математическую модель, преобразовать функцию, найти ее производную и экстремум(10). Также необходимо понимать некоторые специальные термины, такие как человеко-часы и производственная мощность, определение которым также дается в пособии. Все эти темы я изучал самостоятельно и с помощью куратора проекта Татьяны Федоровны Захаровой.

ГЛАВА 2. ПРОИЗВОДНАЯ, ЭКСТРЕМУМЫ

Первая тема, с которой я начал подготовку к созданию пособия стала производная. В этой теме мне очень помог курс подготовки к ЕГЭ на YouTube-канале «Extra»(1), состоящий из трех полуторачасовых видео. В первую очередь я познакомился с понятием производной.

Производная - это математическое понятие, которое для какой-либо функции равно отношению приращения этой функции к приращению аргумента. Более понятным на интуитивном уровне является определение производной как «темпа роста» данной функции в отдельно взятой точке(11).

 Далее я изучил таблицу производных – это самая базовая тема для того, чтобы правильно найти максимум функции(2). Затем последовала тема правила сложения, вычитания, умножения, деления производных и вынесения константы. Для усвоения информации я составил опорный конспект с формулами:

(u ±v)' = u' ± v'

(u × v) = u' × v + u × v'

( =

На втором занятии я изучил правило нахождения производной сложной функции и научился решать некоторые виды 12 задания ЕГЭ. Главное отличие сложной функции заключается в том, что значение ее производной не указано в таблице. Она имеет вид (u(v)), где функция v как бы вложена в функцию u. Правило нахождения производной выглядит так:

(u(v))' = u'(v) × v'

3 занятие помогло мне в освоении 7 задания ЕГЭ, непосредственно связанного с производной. Таким образом, я составил для себя алгоритм нахождения экстремумов функции с помощью производной:

1 этап: нахождение производной функции f(x)

2 этап: приравнивание производной к нулю, нахождение экстремумов, f(x)'=0

3 этап: нанесение значение на ось и проверка знаков производной

4 этап: вывод

После освоения производной я изучил, как находить экстремумы функции. Экстремум – это точка, в которой функция принимает наибольшее и наименьшее значение. Это необходимо, чтобы ответить на вопросы, например, о наибольшей прибыли фирмы или наименьшими возможными затраченными ресурсами для производства определенного количества продукции.

Первый способ я уже описал в главе 1 – с помощью нахождения производной.

Второй способ - нахождение вершины параболы функции вида ax² + bx + c. Вершина определяется координатами (x₀, y₀), где x₀ находится по формуле , а y₀ путем подстановки x₀ в исходную функцию.

Третий способ – нахождение экстремума линейной функции в зависимости от ее области определения.

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Когда я изучил всю необходимую для решения теорию, то приступил к разбору задач.

Первым этапом знакомства со способами решения 17 задания стал вебинар на YouTube-канале eXtraTeam(12). На вебинаре я разобрал 6 задач, одна из которых впоследствии вошла в мое пособие(можно сделать сноску). Также благодаря занятию я узнал, что означает понятие «человеко-часы»(сноска), что также включил в пособие в раздел «Необходимая теория».

После просмотра вебинара я поставил себе цель каждый день разбирать и фиксировать решение двух задач на оптимизацию с сайта РешуЕГЭ(3) и ФИПИ(8). Всего было решено 30 задач, вследствие чего я выделил некоторые минусы этих источников:

1)    На сайте ФИПИ можно проверить только правильность ответа, никакого решения не предоставляется.

2)    На сайте РешуЕГЭ некоторые решения задач сформулированы непонятно. Например, дается слишком короткое объяснение или не описывается, как упростить функцию, поэтому задания, которые были мне непонятны, мы разбирали с Татьяной Федоровной Захаровой.

3)    В решении на сайте РешуЕГЭ встречаются новые термины, значение которых нужно искать в интернете.

Также, после анализа других банков заданий на оптимизацию, я сделал вывод, что ни в одном из них такие задания не подразделяются на категории. Это доставляет неудобства при разборе, так как задачи перемешаны и тебе приходится постоянно переключаться с одной модели решения на другую. Поэтому я принял решение выделить задачи с похожим способом решения и разделить их в своем пособии на группы.

ГЛАВА 4. СОЗДАНИЕ ПОСОБИЯ

Пособие представляет собой документ Word, структура которого выглядит так:

- Оглавление

- Введение

- Необходимая теория

- Задачи 1 типа (решаемые без составления функции)

- Задачи 2 типа (задачи, решаемые с помощью составления функции)

1. ВВЕДЕНИЕ

Введение состоит из информации о сложности ЕГЭ по математике и важности подготовки. Также приводится статистика о том, сколько учеников писали экзамен в 2018 году и сколько из них не сдали.

Отличительной особенностью базового экзамена от профильного является то, что первый не сдает в среднем 3-3.5 процента от общего количества школьников, а второй – 7-10, а то и 14 процентов.

Предмет	Приняло участие	Не сдали
Математика База	500 тыс. учеников	15 тыс. учеников
Математика Профиль	420 тыс. учеников	30 тыс. учеников

По данным на 2018 год

СПРОСИТЬ ПРО ОФОРМЛЕНИЕ!!!

2. НЕОБХОДИМАЯ ТЕОРИЯ

Данный раздел пособия состоит из значения понятий, которые могут встречаться в условиях 17 задач, но могут быть незнакомы ученикам.

1.     Человеко-час

Человеко-час — единица учёта отработанного времени, соответствует часу работы одного человека.

Например, 40 человеко-часов можно представить разными способами:

1)    Когда 1 человек работает 40 часов

2)    Когда 2 человека работают по 20 часов

3)    Когда 4 человека работают по 10 часов

4)    Когда 40 человек работают по одному часу

и так далее.

2.     Экстремум функции

Экстремум — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

В заданиях 17 на оптимальный выбор очень часто встречаются вопросы вида: «Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю?» или «При каком наименьшем значении цены строительство завода окупится не более, чем за 3 года?»

Для ответа на эти вопросы необходимо уметь находить точки экстремума функции. Это можно делать разными способами:

1)   В функции вида y=ax²+bx=c, x₀= , а y₀ находится путем подстановки x₀  в исходное уравнение. Задание 25

2)   Наименьшее значение функции вида а+ всегда равно двум. Задание 4

3)    Если нам известны точки пересечения параболы с осью X(x₁,x₂), то вершина параболы =   Задание 5

4)    Путем нахождения производной

3.     Производная

Производная характеризует скорость изменения функции в конкретной точке. Алгоритм нахождения экстремума функции с помощью производной:

1)    Найти производную функции

2)    Приравнять производную к нулю

3)    Найти значения переменной получившегося выражения (значения переменной, при которых производная преобразуется в ноль)

4)    Разбить этими значениями координатную прямую на промежутки (при этом не нужно забывать о точках разрыва, которые также надо наносить на прямую)

5)    Вычислить, на каких из этих промежутков производная будет положительной, а на каких – отрицательной. Для этого нужно подставить значение из промежутка в производную.

3. ЗАДАЧИ 1 ТИПА

В категорию задач 1 типа я выделил задачи, решаемые без составления функции, то есть методом анализа данных условия. Эта категория состоит из 3 задач, одну из которых рассмотрим здесь:

Задача 2

Вид начинки	Себестоимость (за 1 тонну)	Отпускная цена (за 1 тонну)	Производственные возможности
ягоды	70 тыс. руб.	100 тыс. руб.	90 (тонн в мес.)
творог	100 тыс. руб.	135 тыс. руб.	75 (тонн в мес.)

Фабрика, производящая пищевые полуфабрикаты, выпускает блинчики со следующими видами начинки: ягодная и творожная. В данной ниже таблице приведены себестоимость и отпускная цена, а также производственные возможности фабрики по каждому виду продукта при полной загрузке всех мощностей только данным видом продукта.

Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции каждого вида должно быть выпущено не менее 15 тонн. Предполагая, что вся продукция фабрики находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль, которую может получить фабрика от производства блинчиков за 1 месяц.

Решение

В этой задаче вместо того, чтобы сразу бросаться составлять функцию, нужно сначала проанализировать, какой вид начинки фабрике выгоднее производить. Прибыль с тонны ягодных блинчиков составляет 30 тыс. рублей, а с творожных – 35 тыс. рублей. Одной тонне произведенных блинчиков с творогом соответствует   = 1.2 тонны блинчиков с ягодами.

В таком случае прибыль с творожных блинчиков составит 1 × 35 тыс. рублей, а с ягодных – 1.2 × 30 тыс. рублей = 1 × 36 тыс. рублей.

Таким образом, фабрике выгоднее производить блинчики с ягодами, но, чтобы соблюсти условия ассортиментности, необходимо производить 15 тонн блинчиков с творогом и               90 – 15 × 1.2 = 72 тонны с ягодами. Тогда общая прибыль составит

           72 × 30.000 + 15 × 35.000 = 2.685.000

Ответ: 2.685.000 рублей

4. ЗАДАЧИ 2 ТИПА

В категории задач 2 типа описаны задачи, которые решаются с помощью составления функции. Начинается этот раздел пособия с инструкции, как нужно подходить к таким заданиям:

При решении задач на оптимизацию путем составления функции обычно выделяют три этапа:

1.     Составление математической модели

2.     Нахождение экстремумов функции

3.     Ответ

Первый этап

Изучив условие, в первую очередь нужно выделить оптимизируемую величину.

Оптимизируемая величина – это величина, о наибольшем или наименьшем значении которой говорится в задании.

Далее одну из величин, через которую легче всего выразить оптимизирующую величину, нужно принять за независимую переменную. Установите границы изменения этой переменной, они же будут являться областью определения оптимизируемой величины.

Обозначьте оптимизируемую величину за y, а независимую переменную – за x. Выразите y через x, вследствие чего у вас получится функция y = f(x)

Второй этап

На этом этапе нужно найти экстремум функции y = f(x), то есть y наибольшее или y наименьшее в зависимости от условия задачи.

Третий этап

Необходимо проверить, совпадает ли ваш ответ с вопросом задачи и записать его.

После инструкции сразу идет разбор задачи из резервной волны ЕГЭ 2017 года. После разбора для удобства решения я ввожу три подкатегории задач 2 типа:

Для удобства разбора разделим эту категорию задач на 3 подкатегории:

1)    Когда в условии дана функция прибыли и функция затрат, а нам надо максимизировать прибыль, найти наименьшую цену и т.д.

2)    Когда в условии даны два завода (фирмы, фермерских поля) и надо максимизировать прибыль (количество производимых деталей, урожай) или минимизировать расходы.

3)    Нестандартные задачи, которые не попадают в первые две категории.

В каждой из этих категорий подробно разобрана одна задача. Приведу решения задания из второй подкатегории:

Задача 1

Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.

За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей.

Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Решение

В качестве независимой переменной примем сумму, которую Антон платит рабочим на первом заводе и обозначим ее за x. Сумма, которую он платит рабочим на втором заводе – 900.000 – x.  Тогда на первом заводе получится оплатить  единиц товара, а на втором -  . Так как количество произведенной продукции – это количество оплаченных часов в квадрате, то количество продукции равно корню из количества часов. Тогда мы получаем функцию, где y – оптимизируемая величина, равная количеству продукции:

             y =  + 

           y =  +   = (2x + 5)

Из условия ясно, что . Чтобы найти максимум функции, найдем ее производную:

y^| =  

Приравниваем производную к нулю и получаем:

 = 0

18000000 – 20х = 25х

Х = 400000

Поскольку производная непрерывной функции f (x) положительна на интервале (0; 400 000), равна нулю в точке 400 000 и отрицательна на интервале (400 000; 900 000), функция f (x) достигает наибольшего на отрезке [0; 900 000] значения в точке 400 000. Найдём его:

y =  +  = 40 + 50 = 90

Таким образом, наибольшее количество товара, которое возможно произвести, равно 90.

Ответ: 90