Сборник задач по дисциплине "Математика" для студентов 1 курса

Содержание

1. Введение 3

2. Тестовые задания по разделам 4

1. Задания по разделу «Степени и корни» 6

2. Задания по разделу «Показательная функция» 7

3. Задания по разделу «Логарифмическая функция»………. 10

4. Задания по разделу «Тригонометрия»……………………. 12

5. Задания по разделу «Производная»………………………. 15

6. Задания по разделу «Первообразная и интеграл»………. 18

3. Ответы . 20

4. Заключение 21

1. Введение

Тестовый контроль − это оперативная проверка качества усвоения знаний, немедленное исправление ошибок и восполнение пробелов. Тестовый контроль помогает преподавателю оперативно проверить уровень формирования представлений и понятий обучающихся, определить их продвижение в обучении. Использование тестов для проверки знаний обучающихся повышает их объективность, позволяет определить уровень самостоятельной работы. Это очень важная функция тестов, так как она позволяет повысить эффективность учебного процесса. Тесты дают возможность для выявления уровня знаний обучающихся, некоторых индивидуальных характеристик учебной деятельности студентов, таких, как темп деятельности, сосредоточенность, степень развитости памяти, внимания, отношения к делу. Следовательно, работа с тестами помогает изучать и учитывать личностные особенности каждого студента и продуктивнее индивидуализировать учебный процесс.

Таким образом, выполнение обучающимися тестовых заданий и последующий их анализ преподавателем способствуют творческому росту педагога, так как требуют от него поиска новых подходов в обучении и, особенно, в индивидуальной работе.

Основная цель контроля знаний и умений состоит в обнаружении достижений, успехов обучающихся; в указании путей совершенствования, углубления знаний, умений, с тем, чтобы создавались условия для последующего включения обучающихся в активную творческую деятельность.

Контроль обучения является одной из главных проблем образования. Наиболее объективным подходом к проблемам измерения знаний является использования тестов.

В настоящее время большое внимание уделяется разработке тестов и их использованию в учебном процессе.

2. Тестовые задания по разделам

2.1 Задания по разделу: «Корни и степени»

Работа состоит из 10 заданий. К каждому заданию части А приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении этих заданий надо указать номер верного ответа. К заданиям части В надо дать краткий ответ. К заданиям части С - записать решение.

Вариант 1

Часть А

1. Вычислите: ·

1. 0,027; 2) 0,03; 3) – 0,3; 4) 0,3.

2. Упростите выражение: 1,4 : 2

1. 0,7; 2) 2,8 ; 3) 0,7 ; 4) 7 .

3. Найдите область определения функции у = 10

1. ( - ; +); 2) [3; +); 3) ( - ; 3)(3; +); 4) (3; +).

4. Найдите значение выражения

1. ; 2) 2; 3) ; 4) .

5. Преобразуйте выражение к виду

1. 2) 3) 4)

Часть В

6. Вычислите при m = – .

7. Решите уравнение = х – 4 .

8. Сократите дробь

Часть С

9. Упростите

10. Решите уравнение

Вариант 2

Часть А

1. Вычислите:

1. 1,5; 2) 15; 3) 0,015; 4) 0,15.

2. Упростите выражение: :

1); 2) ; 3) ; 4) .

3. Найдите область определения функции у =

1. ( - ; +); 2) (1; +); 3) ( - ; 1)(1; +); 4) [1; +).

4. Найдите значение выражения

1. 8; 2) 18; 3) 6; 4) 144.

5. Преобразуйте выражение к виду

1); 2) ; 3) ; 4) .

Часть В

6. Вычислите при с = – .

7. Решите уравнение .

8. Сократите дробь

Часть С

9. Упростите

10. Решите уравнение

Система оценивания работы.

За каждое верно решенное задание части А обучающийся получает 1 балл, части В – 2 балла, части С – 3 балла. Таким образом, максимальное число баллов, которое можно получить за верное решение всех заданий, равно 17. Оценка «3» ставится, если ученик набрал от 4 до 8 баллов; оценка «4», если ученик набрал от 9 до 13 баллов; оценка «5», если ученик набрал от 14 до 17 баллов.

2.2 Задания по разделу: «Показательная функция»

Работа состоит из 10 заданий. К каждому заданию части А приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный . При выполнении этих заданий надо указать номер верного ответа. К заданиям части В надо дать краткий ответ. К заданиям части С - записать решение.

Вариант 1

Часть А

1. Укажите наименьшее целое число, входящее во множество значений функции у =

1. – 2; 2) – 3; 3) 1; 4) 0.

2. Какая функция является возрастающей?

1. у = 0,2^Х; 2) у = 3^х; 3) у = ; 4) у = 2 ^{– х} .

3. Укажите интервал, которому принадлежит решение уравнения

81 3^х =

1. (– 2; 4); 2) (– 6; – 4) ; 3) ( 2; 4); 4) (– 8 ; – 5].

4. Решите неравенство 8 2^{1 – х} > 4

1. ( - ; 2); 2) (0; +); 3) [2; +); 4) ( - ; 6).

5. Определите наибольшее из чисел:

1. 2) 3) 1; 4)

Часть В

6. Решите уравнение: 9^х + 2 3^х+1 – 7 = 0.

7. Найдите наибольшее значение функции у = на отрезке [ – 2 ;3].

8. Найдите корень уравнения, а если их несколько, то их произведение

Часть С

9. Найдите наименьшее решение неравенства .

10. Решите систему уравнений +;

у² + у

Вариант 2

Часть А

1. Укажите наименьшее целое число, входящее во множество значений функции у=

1. – 2; 2) 0; 3) 2; 4) 3.

2. Какая функция является убывающей?

1. у = 0,2 ^{– х} ; 2) у = 3^х; 3) у = ; 4) у = 22 ^х .

3. Укажите интервал, которому принадлежит решение уравнения

8 ^{– 1} 2^{х +3} = 4

1. [ – 2; 2]; 2) (– 6; 1] ; 3) (2; 4); 4) (3; 6).

4. Решите неравенство 5^{3 – х} <

1) ( - ; 5); 2) (1; +); 3) ( - ; 1); 4) (5; +).

5. Определите наименьшее из чисел

1) ; 2) ; 3) 4²; 4) 1.

Часть В

6. Решите уравнение: + 2 – 15 = 0.

7. Найдите наименьшее значение функции у = на отрезке [ – 3 ;2].

8. Найдите корень уравнения, а если их несколько, то их среднее арифметическое

=

Часть С

9. Найдите наибольшее решение неравенства

10. Решите систему уравнений

у² – у = – 12.

Система оценивания работы.

За каждое верно решенное задание части А обучающийся получает 1 балл, части В – 2 балла, части С – 3 балла. Таким образом, максимальное число баллов, которое можно получить за верное решение всех заданий, равно 17. Оценка «3» ставится, если ученик набрал от 4 до 8 баллов; оценка «4», если ученик набрал от 9 до 13 баллов; оценка «5», если ученик набрал от 14 до 17 баллов.

2.3 Задания по разделу: « Логарифмическая функция»

Работа состоит из 10 заданий. К каждому заданию А1 – А5 приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении этих заданий надо указать номер верного ответа. К заданиям В1 – В3 надо дать краткий ответ. К заданиям С1 – С2 - записать решение.

Вариант 1

Часть А

1. Найдите значение выражения

1. 13; 2) 5; 3) 12; 4) 47.

2. Вычислите , если

1. 0,5; 2) 6; 3) 13; 4) 8.

3. Укажите множество значений функции у =

1) ( - ; +); 2) ( – 13; +); 3) ( - ; –13); 4) (– 13; 13) .

4. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) (8; 10); 2) (14; 16); 3) (6; 8); 4) (4; 6).

5. Укажите множество решений неравенства

1) ( – ; 2,5); 2) (2; 2,5); 3) ( 2; +); 4) ( 2,5; +).

Часть В

6. Вычислите ² –

7. Решите уравнение lg(x + 1,5) = – lgx

8. Найдите больший корень уравнения

Часть С

9. Решите неравенство lg(x – 4) + lg(x – 3) > lg(17 – 3x)

10. Решите систему уравнений

Вариант 2

Часть А

1. Найдите значение выражения

1. 21; 2) 101; 3) 11; 4) 15,2.

2. Вычислите при b > 0, если = 9

1. 6,5; 2) 5; 3) 8,5; 4) 7.

3. Укажите множество значений функции у =

1. ( 0; +); 2) ( – 4; +); 3) ( 4; +); 4) ( – ; +).

4. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

lg 5x = 2

1. (8;10); 2) (14;16); 3) (19;21); 4) (94;96).

5. Укажите множество решений неравенства

1. ( – ; 4] 2) [4; + 3) (3,5; 4]; 4) (3,5; + .

Часть В

6. Вычислите

7. Решите уравнение – lgx = lg( x – 1,5)

8. Найдите меньший корень уравнения

Часть С

9. Решите неравенство

10. Решите систему уравнений

Система оценивания работы.

За каждое верно решенное задание части А обучающийся получает 1 балл, части В – 2 балла, части С – 3 балла. Таким образом, максимальное число баллов, которое можно получить за верное решение всех заданий, равно 17. Оценка «3» ставится, если ученик набрал от 4 до 8 баллов; оценка «4», если ученик набрал от 9 до 13 баллов; оценка «5», если ученик набрал от 14 до 17 баллов.

2.4 Задания по разделу: «Тригонометрия»

Работа состоит из 10 заданий. К каждому заданию А1 – А5 приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении этих заданий надо указать номер верного ответа. К заданиям В1 – В3 надо дать краткий ответ. К заданиям С1 – С2 - записать решение.

Вариант 1

Часть А

1. Найдите множество значений функции у = 3 – 2sinx

1. [ 1; 5]; 2) [ - 1; 1]; 3) [ 3; 5 ]; 4) [ 1; 3].

2. Вычислите значение sin2x, если cosx = и

1. – ; 2) ; 3) ; 4) – .

3. Найдите сумму всех целых чисел, которые входят в область значений функции у = 4cos²x – 7

1. – 25; 2) 25; 3) – 22; 4) 0.

4. Упростите выражение 5sin²x – 4 + 5cos²x

1. 1; 2) 9; 3) – 9; 4) – 4.

5. Решите уравнение cosx – = 0

1. 2) 3) 4)

Часть В

6. Найдите значение выражения при

7. Упростите выражение

8. Определите, сколько корней уравнения 2сos²x + 7cosx – 4 = 0, принадлежит отрезку [ - 2.

Часть С

9. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения ( в градусах)

sin3x cos5x – cos3x sin5x = 0,5

10. Решите уравнение sin²x + – 2 = 0

Вариант 2

Часть А

1. Найдите множество значений функции у = 3cosx – 2

1. [ – 5; 1]; 2) [ – 1; 1]; 3) [ – 5; –2]; 4) [ 1; 3].

2. Вычислите значение cos2 , если sin = – и

1. – ; 2) ; 3) – 0,5 ; 4) 0,5.

3. Найдите произведение всех целых чисел, которые входят в область значений функции у = 5 – 3sin²x

1. 120; 2) 14; 3) – 15; 4) 0.

4. Упростите выражение – 4sin²x + 5 – 4cos²x

1. 1; 2) 9; 3) 5; 4) 4.

5. Решите уравнение sinx – = 0

1) 2) 3) 4)

Часть В

6. Найдите значение выражения при cos =

7. Упростите выражение

8. Определите, сколько корней уравнения 2sin²x + 5sinx – 3 = 0, принадлежит отрезку [ - 2.

Часть С

9. Найдите наименьший положительный корень уравнения (в градусах)

cos3x cosx – sinx sin3x = 1

10. Решите уравнение cos²x + – 2 = 0

Система оценивания работы.

За каждое верно решенное задание части А обучающийся получает 1 балл, части В – 2 балла, части С – 3 балла. Таким образом, максимальное число баллов, которое можно получить за верное решение всех заданий, равно 17. Оценка «3» ставится, если ученик набрал от 4 до 8 баллов; оценка «4», если ученик набрал от 9 до 13 баллов; оценка «5», если ученик набрал от 14 до 17 баллов.

2.5 Задания по разделу: « Производная»

Работа состоит из 10 заданий. К каждому заданию А1 – А5 приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный . При выполнении этих заданий надо указать номер верного ответа. К заданиям В1 – В3 надо дать краткий ответ. К заданиям С1 – С2 - записать решение.

Вариант 1

Часть А

1. Найдите производную функции у = 0,5sin2x +5х

1. –cos2x +5; 2) cos2x +5; 3) 0,5cos2x +5; 4) –0,5sin2x + 5.

2. Угловой коэффициент наклона касательной к графику функции у = в точке х = – 1 равен

1. – 3; 2) – 2; 3) – 1,5; 4) 0.

3. Производная функции у = 2cosx – 3х² в точке х₀ = 0 равна

1. 2; 2) – 3; 3) 0; 4) – 6.

4. В какой точке графика функции у = х² – 3х + 5 тангенс угла наклона касательной равен 1

1. (0; 5); 2) (1; 3); 3) (–1; 9); 4) (2; 3).

5. При движении тела по прямой расстояние s (в км) от начальной точки меняется по закону

s(t)= + 2 (t – время движения в часах). Найдите скорость (в км/ч) тела через 1 час после начала движения.

1. 2; 2) 0,1; 3) 1,5; 4) 0,5.

Часть В

6. Найдите значение производной функции у = cosxsinx в точке х₀ =

7. При каких значениях х производная функции f(x) = х⁴ – 4х² +1 принимает положительные значения.

8. Составьте уравнение касательной к графику функции у = в точке х=3.

Часть С

9. Найдите значение функции f(x) = в точке минимума.

10. Найдите длину промежутка возрастания функции

f(x) =

Вариант 2

Часть А

1. Найдите производную функции у = 0,25 х⁴ + cos(0,5х)

1. x³ – 0,5sinx; 2) x³ – 0,5cosx; 3) x³ – 0,5sin(0,5x); 4) 0,25x³ – 0,5sin(0,5x)

2. Угловой коэффициент наклона касательной к графику функции у = в точке х = 4 равен

1. 0; 2) 1; 3) 0,5; 4) 1,5.

3. Производная функции у = 7х – 5 в точке х₀ = равна

1. 7; 2) –3; 3) 4; 4) 10.

4. В какой точке графика функции у = 4 – 2х тангенс угла наклона касательной равен 0

1) (0; 0); 2) (1; 2); 3) (4; 0); 4) (9; – 6).

5. При движении тела по прямой его скорость v (в м/с) меняется по закону v(t) = + t + 1 (t – время движения в секундах). Найдите ускорение (в м/с²) тела через 2 секунды после начала движения.

1. 6,2; 2) 1,4; 3) 4; 4) 5.

Часть В

6. Найдите значение производной функции у = в точке х₀ =

7. При каких значениях х производная функции f(x) = 1 + 4х² - х⁴ принимает отрицательные значения.

8. Составьте уравнение касательной к графику функции у = в точке х=3.

Часть С

9. Найдите значение функции f(x) = в точке максимума.

10. Найдите длину промежутка убывания функции

f(x) =

Система оценивания работы.

За каждое верно решенное задание части А обучающийся получает 1 балл, части В – 2 балла, части С – 3 балла. Таким образом, максимальное число баллов, которое можно получить за верное решение всех заданий, равно 17. Оценка «3» ставится, если ученик набрал от 4 до 8 баллов; оценка «4», если ученик набрал от 9 до 13 баллов; оценка «5», если ученик набрал от 14 до 17 баллов.

2.6 Задания по разделу: «Первообразная и интеграл»

Работа состоит из 10 заданий. К каждому заданию А1 – А5 приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении этих заданий надо указать номер верного ответа. К заданиям В1 – В3 надо дать краткий ответ. К заданиям С1 – С2 - записать решение.

Вариант 1

Часть А

1. Найдите какую-либо первообразную функции у =

1. 1 – ; 2) 3 + ; 3) 5 – ; 4) 4 + .

2. Для функции у = –3 sinx найдите первообразную, график которой проходит через точку М(0;10)

1. –3соsx + 13; 2) 3соsx + 7; 3) –3sinx + 10; 4) 5соsx + 1.

3. Вычислите неопределенный интеграл

1. 2) 3) 4) .

4. Вычислите определенный интеграл

1. 4; 2) 2; 3) 6; 4) – 4.

5. Известно, что Найдите 2

1. 2; 2) 0; 3) –2; 4) 4.

Часть В

6. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х², у = 0, х = 3, х = 4.

7. Функция у = F(x) + C является первообразной для функции f(х) = х² + 3х, график которой проходит через точку М(1; 4). Найдите С.

8. Точка движется вдоль прямой со скоростью v(t) = 2 + (скорость v – в м/с; время t – в с). Найдите путь, пройденный точкой в промежутке времени [ 2; 7].

Часть С

9. Найдите интеграл .

10. Точка движется прямолинейно, ее скорость выражается формулой v(t) = 1 + 2t. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени t = 2 координата точки равнялась числу 5.

Вариант 2

Часть А

1. Найдите какую-либо первообразную функции у =

1. 1 – ; 2) 1,5 + ; 3) 4 + ; 4) 6 +

2. Для функции у = 3 sinx найдите первообразную, график которой проходит через точку М(0;10)

1. –3соsx + 13; 2) 3соsx + 7; 3) –3sinx + 10; 4) 3sinx + 10.

3. Вычислите неопределенный интеграл

1. 3х³ – 2) х³ – 3) 3х³ + 4) х³ +

4. Вычислите определенный интеграл

1. 3; 2) 20; 3) 12; 4) – 12.

5. Известно, что Найдите

1. – 6; 2) – 3; 3) 6; 4) 3.

Часть В

6. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 3х², у = 0, х = 1 , х = 3.

7. Функция у = F(x) + C является первообразной для функции f(х) = х² – 3х, график которой проходит через точку М(1; 4). Найдите С.

8. Точка движется вдоль прямой со скоростью v(t) = 4 – (скорость v – в м/с; время t – в с). Найдите путь, пройденный точкой в промежутке времени [ 2; 5].

Часть С

9. Найдите интеграл .

10. Точка движется прямолинейно, ее скорость выражается формулой v(t) = –4sint . Найдите закон движения, если известно, что в момент времени t = 0 координата точки равнялась числу 2.

Система оценивания работы.

За каждое верно решенное задание части А обучающийся получает 1 балл, части В – 2 балла, части С – 3 балла. Таким образом, максимальное число баллов, которое можно получить за верное решение всех заданий, равно 17. Оценка «3» ставится, если ученик набрал от 4 до 8 баллов; оценка «4», если ученик набрал от 9 до 13 баллов; оценка «5», если ученик набрал от 14 до 17 баллов.

3. Ответы

«Корни и степени»

«Показательная функция»

«Логарифмическая функция»

«Тригонометрия»

«Производная»

«Первообразная»

4. Заключение

Систематический контроль знаний и умений обучающихся − одно из основных условий повышения качества обучения. Преподаватель математики в своей работе должен использовать не только общепринятые формы контроля (самостоятельная и контрольная работы, устный опрос у доски и т.д.), но и систематически изобретать, внедрять свои средства контроля. Умелое владение преподавателем различными формами контроля знаний и умений способствует повышению заинтересованности обучающихся в изучении предмета, предупреждает отставание, обеспечивает активную работу каждого студента. Контроль для обучающихся должен быть обучающим.

В результате проведения нетрадиционных форм контроля знаний и умений раскрываются индивидуальные особенности студентов, повышается уровень подготовки к уроку, что позволяет своевременно устранять недостатки и пробелы в знаниях обучающихся.