Семинары по математике "Иррациональные уравнения и неравенства"

Семинар:

Автор-составитель:

Воробьева Инна Викторовна

Предмет:     Алгебра и начала анализа

Классы:  10А, 11А.

Тема: «Иррациональные уравнения»

1-ый семинар для учащихся 10-11 классов

Свойства корней

1.      Основное свойство корня:

.

2.     Умножение корней:

, a, b .

3.     Деление корней:

 a, b .

4.     Возведение корня в степень:

,  .

5.     Извлечение корня из корня:

, a.

6.     Вынесение множителя из-под знака корня:

, b, в частности:

,

.

7.     Внесение множителя под знак корня:

.

Определение. Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:

1)    Если показатель радикала – четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным;

2)    Если показатель радикала – нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак радикала совпадает со знаком подкоренного выражения.

Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены с помощью некоторых преобразований иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного уравнения.

I группа.    .

Если а<0, то уравнение не имеет корней.

Если а0, то  f(x)=a.

Примеры:

a)  - решения нет.

б) .

         Ответ: 2.

II группа.   . или .

Из 2-х систем выбираем ту, которая решается легче.

Пример:

Ответ: -1..

III группа. .

Пример:

        

Ответ: -12;2.

IV группа.  Уравнения, для которых нахождение области определения обязательно.

Примеры:

a) .

ОДЗ:

Ответ:.

б) .

3+x² всегда > 0. Значит, для данного уравгнгия:

.

Ответ:.

в) .

ОДЗ:

Проверка:

Ответ: 2.

V группа.   Уравнения, которые решать не надо.

Примеры:

a)  – решения нет.

б)  – решения нет.

в)  – решения нет.

VI группа.  Разные уравнения.

Примеры:

a) .

ОДЗ:  

Запишем уравнение в виде:

, возведем в квадрат:

x=-1 или x=-4,

x=-4 – посторонний корень, т.к. не входит в ОДЗ.

Проверка: ,  3=3.

Ответ: -1.

б) .

ОДЗ: x+2.

, возведем в 6 степень.

(x+2)³=(3x+2)²,

x³+6x²+12x+8=9x²+12x+4,

x³-3x²+4=0,

x³-3x²+1+3=0,  (x³+1)-3(x²-1)=0,  (x+1)(x²-x+1)-3(x+1)(x-1)=0,

(x+1)(x²-x+1-3x+3)=0,

(x+1)(x²-4x+4)=0,

(x+1)(x-2)²=0,

x=-1 или x=2.

Оба корня входят в ОДЗ.

Проверка:

 - неверно, x=-1 – посторонний корень.

 - верно.

Ответ: 2.

в) .

ОДЗ: .

,

,

Пусть ,

,

8y²+8-65y=0,

8y²-65y+8=0,

,

;

,                 или                       .

,                                              ,

,                                          ,

,                                               ,

,                                                  ,

,                                                 .

Ответ: ; .

г) .

ОДЗ:

Пусть

, возведем в квадрат,

,

,

, возведем в квадрат,

,

,

,

,

 - посторонний корень, т.к. .

,

x+1=1,

x=0.

Проверка:   ,

                   6-1=5.

Ответ: 0.

л) .

.

Ответ: .

Домашнее задание к 1-му семинару:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Семинар:

Автор-составитель:

Воробьева Инна Викторовна

Предмет:     Алгебра и начала анализа

Классы:  10А, 11А.

Тема: «Иррациональные неравенства»

2-ой семинар для учащихся 10-11 классов

Иррациональные неравенства

Определение. Иррациональными называют неравенства, в которых неизвнстное или рациональная функция от неизвестного содержатся под знаками радикалов.

При решении иррационального неравенства следует сначала найти его ОДЗ.

Иррациональное неравенство обычно сводят к рациональному неравенству, возведя обе его части в натуральную степень. Т.к. при этой операции может получиться неравенство, неравносильное исходному, то следует установить, при каких значениях неизвестного левая и правая части заданного неравенства принимают положительные или отрицательные значения.

Если обе части неравенства неотрицательны на некотором множестве, то при возведении их в натуральную степень получится неравенство, равносильное исходному на этом же множестве.

Можно рекомендовать следующую схему решения иррациональных алгебраических неравенств:

1.     Найти ОДЗ данного неравенства:

2.     Заменить данное иррациональное неравенство системой или совокупностью рациональных неравенств;

3.     Получить решение каждого из рациональных неравенств в виде некоторых промежутков и отметить их на числовой прямой;

4.     Найти пересечение полученных промежутков для систем неравенств и объединение промежутков для совокупностей.

I группа.    Неравенство вида:         

или неравенство вида:     

Пример:

Ответ:.

II группа.   Неравенство вида:         

или неравенство вида: 

Пример:

Ответ: .

III группа. Неравенство вида:        .

или неравенство вида: 

Пример:

а)

Ответ: (].

б) . Умножим обе части на .

Ответ: .

IV группа.  Другие неравенства.

Примеры:

a)

    

Ответ:.

б) .

         Пусть  тогда

        

        

        

         Получим:

        

         y⁴-2y²-4y>0,

         y(y³-2y-4)>0,

         y(y³+2y-4y-4)>0,

         y(y(y²-4)+2(y-2))>0,

         y(y(y-2)(y+2)+2(y-2))>0,

         y(y-2)(y²+2y+2)>0.

         (y²+2y+2)>0 при yR и т.к. y0, то

         y-2>0; y>2.

         Тогда:

        

        

                     

        

        

         (8-x)(x-2)>0.

         2<x<8.

Ответ: (2;8).

в) .

,

        

  при любых xR

 при любых xR.

Ответ:.

V группа.  

По методу замены множителей при решении неравенств для иррациональных неравенств:

1.    

2.    

3.    

Пример:

        

------------

Ответ:.

Домашнее задание ко 2-му семинару:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .