Семинарское занятие по алгебре по теме «Квадратные уравнения».

Занятие №5

Тема: «Семинарское занятие по теме «Квадратные уравнения».

Цели:

- рассмотреть нестандартные приемы при решении квадратных уравнений; формировать умение раскладывать квадратный трехчлен на множители с последующим применением его при сокращении дробей; рассмотреть решение квадратных уравнений различного уровня сложности;

- способствовать развитию познавательных и исследовательских умений учащихся, повышению культуры общения;

- воспитывать самостоятельность при пополнении знаний; интерес к изучению нестандартных приемов.

Тип урока: урок-семинар.

Оборудование: карточки с практическими заданиями для самостоятельной работы.

На подготовку к семинару отводится неделя.

I. Всем учащимся даются задания:

1. Решить квадратные уравнения по формулам (ответы записать на доске):

а) х2+х-2=0;                       б) х2+2х-3=0;

в) х2-3х+2=0;                     г) 5х2-8х+3=0.

Домашнее задание:

№995 (в, г);   №996 (в, г);

№868 (в, г);   №869 (в, г);

№840 (в, г);   №841 (б).

II. Сообщается план семинара:

1. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.

2. История возникновения квадратных уравнений.

3. Нестандартные приемы в решении квадратных уравнений.

4. Разложение квадратного трехчлена на множители.

5. Решение биквадратных уравнений.

6. Уравнения с параметрами.

7. Выполнение упражнений.

8. Самостоятельная работа.

Ход  урока-семинара

I. Организационный момент.

II. Сообщение темы и цели урока.

III. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.

а) Какое уравнение называется квадратным? Назовите коэффициенты в каждом уравнении и найдите сумму коэффициентов:

1) х2-5х+1=0;         3) х2+2х-2=0;

2) 9х2-6х+10=0;     4) х2-3х-1=0.

б) D=           ,     x1,2=            .

в) Сколько корней имеет уравнение?

3х2+2х-1=0 (D=16, 2 корня)

4х2-4х+1=0 (D=0, один корень)

5х2-2х+1=0 (D<0, нет корней)

г) Линейным или квадратным является уравнение

5b(b-2)x2+(5b-2)x-16=0

относительно х при b=1 (-5x2+3x-16=0)

b=2 (8x-16=0)

b=0,4 (3,2x2-16=0)

b=0 (-2x-16=0)?

д) При каких значениях параметра а уравнение

ах(ах+3)+6=х(ах-6)

является квадратным; неполным квадратным; линейным?

а2х2+3ах+6-ах2+6х=0

 (а2-а)х+(3а+6)х+6+0

1)                2)               3)        

                                                  

Вывод: при а¹-2;0;1.      Вывод: а=-2           Вывод: при а=0;1.

Во время актуализации ученик на обратной стороне доски запишет ответы к уравнениям (а-г) из домашнего задания.

IV. История возникновения квадратных уравнений.

Класс разбит на группы.

Представители I группы делают сообщения из истории возникновения квадратных уравнений.

1. Немного истории.

Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений (х2 - х = а) умели решать вавилоняне (примерно 2 тыс. лет до н.э.). Некоторые виды квадратных уравнений могли решить древнегреческие математики, сводя их решения к геометрическим построениям. Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (III в.) в книгах «Арифметика», которые до настоящего времени не сохранились.

Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду ах2+bх+с=0, где а>0, дал индийский ученый Брахмагупта (VII в.). В трактате «Китаб аль-джебр валь-мукабала» хорезмский математик аль-Хорезми разъясняет приемы решения уравнений вида

ах2=bх, ах2=с, ах2+с=bх, ах2+bх=с, ах2=bх+с,

(а, b, с - положительные числа). Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду х2+bх=с, было сформулировано немецким математиком М. Штифелем (1487-1567). После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595-1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид. Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выведены Виетом в 1591 г. Для квадратного уравнения теорема Виета в современных обозначениях записывается так:

корнями уравнения (а+b)х–х2=аb являются числа а и b.

2. Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары:

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А12 по лианам...

Стали прыгать, повисая

Сколько было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Решая, получил корни.

3.  Квадратные уравнения в Европе ХIII-ХVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники ХIV-ХVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2+bх=с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

4. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются кроме неполных и такие, например, полные квадратные уравнения:

    

Правило решений этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли они до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

V. Нестандартные приемы в решении квадратных уравнений.

Учитель. Мы с вами решали квадратные уравнения различными способами: выделением квадрата двучлена, по формуле корней, с помощью теоремы Виета, и каждый раз убеждались в том, что уравнение можно решить легче и быстрее. Сегодня мы познакомились еще с одним способом решения, который позволит устно и быстро находить корни квадратного уравнения.

При решении некоторых квадратных уравнений, оказывается, немаловажную роль играет сумма коэффициентов.

Рассмотрим это на уравнениях.

Запись на доске:

Сумма коэффициентов

х2+х-2=0                       х1=1; х2=-2                           0

х2+2х-3=0                     х1=1; х2=-3                           0

х2-3х+2=0                     х1=1; х2=2                            0

5х2-8х+3=0                   х1=1; х2=                           0

Учащиеся отвечают, чему равны корни квадратного уравнения.

- Посмотрите на эти уравнения и их корни. Попробуйте найти закономерность:

1) в корнях этих уравнений;

2) в соответствии между отдельными коэффициентами и корнями;

3) в сумме коэффициентов.

Ученики отвечают, что они здесь увидели (заметили):

1) первый корень равен 1;

2) второй корень равен с или ;

3) сумма коэффициентов равна 0.

Вывод: если в уравнениях ах2+bх+с=0, а+b+с=0, то один из корней равен 1, а другой (по т. Виета) равен .

Запись этого свойства в тетрадях имеет вид:

ах2+bх+с=0

а+b+с=0

х1=1; х2=

(если а=1, то х1=1; х2=с).

Это свойство применяется для устного решения квадратных уравнений.

Задание: найдите корни уравнений, используя свойство суммы коэффициентов квадратного уравнения.

3х2-7х+4=0                       х1=1; х2=4/3;

5х2-8х+3=0                       х1=1; х2=3/5;

7х2-9х+2=0                       х1=1; х2=2/7.

Это свойство можно доказать.

Представитель II группы доказывает свойства коэффициентов квадратного уравнения.

ах2+bх+с=0, где а¹0.

1. Если а+b+с=0, то х1=1; х2=.

Доказательство. Разделив обе части данного уравнения на а¹0, получим приведенное квадратное уравнение

Согласно теореме Виета,

По условию, а+b+с=0, откуда b=-а-с.

Значит,

Значит, х1=1; х2=.

2. Если а-b+с=0, то х1=-1; х2=-.

Доказательство. По теореме Виета,

По условию, а-b+с=0, откуда b=а+с.

Таким образом,

Получаем, х1=-1; х2=-.

Представитель II группы у доски записывает уравнения (№1, №2 выполняют все учащиеся устно).

Пр. 1.Решить уравнение:

345х2+137х-208=0.

Решение. Так как а-b+с=0 (345-137-208=0),

то х1=-1; х2=-.

Ответ: -1;

Пр. 2. Решить уравнение:

132х2-247х+115=0.

Решение. Так как а+b+с=0 (132-247+115=0),

то х1=1; х2=

Ответ: 1;

Пр. 3. Решить уравнение:

 (у доски и в тетрадях).

Решение. Пусть  тогда получим уравнение 2t2-7t+5=0. Используя свойство его коэффициентов (а+b+с=0), имеем

Ответ:

Представитель II группы делает сообщение о методе «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

ах2+bх+с=0, где а¹0.

Умножив обе его части на а, получим уравнение а2х2+аbх+ас=0.

Пусть ах=у, откуда х=у/а; тогда придем к уравнению

у2+bу+ас=0, равносильному данному.

Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Отсюда окончательно получим х1= и х2=.

Коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему. Этот способ применим, когда можно легко найти корни, используя теорему Виета.

1. Решить уравнение 2х2-11х+15=0.

Решение. «Перебросив» коэффициент 2 к свободному члену, получим уравнение у2-11у+30=0.

Согласно теореме Виета, у1=5, у2=6.

Следовательно,  

Ответ: 2,5; 3.

2. Решить уравнение

Решение. Используя метод «переброски», получим уравнение

По теореме Виета, у1=3, у2=.

Следовательно,  

Ответ:  

VI. Представитель III группы делает сообщение о разложении квадратного трехчлена на множители.

Разложим квадратный трехчлен 3х2-10х+3 на множители, используя метод группировки:

3х2-10х+3=3х2-9х-х+3=3х(х-3)-(х-3)=(х-3)(3х-1).

Успех зависит от того, сумеем ли мы найти удачную группировку или нет. Для того, чтобы успех был гарантирован, докажем теорему о разложении квадратного трехчлена на множители.

Теорема. Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена ах2+bх+с, то справедливо тождество ах2+bх+с=а(х-х1)(х-х2).

Доказательство. Имеем ах2+bх+с=

По теореме Виета,  

Значит,

 

Разложим данный квадратный трехчлен на множители, воспользовавшись доказанной теоремой.

Решив уравнение 3х2-10х+3; х1=3; х2=⅓.

3х2-10х+3=3(х-3)(х+⅓)=(х-3)(3х-1).

Пр. Сократить дробь

№995 (а,б);        №996 (а).

VII. Представитель III группы решает у доски задание (биквадратное уравнение):

Найдите все значения х, прикоторых равны значения выражений

(х2-2)2+3 и 11-х2.

Решение.

х4-4х2+4+3=11-х2

х4-3х2-4=0.

Введем новую переменную у=х2, то заданное уравнение можно переписать в виде

У2-3у-4=0;

у1=4;       у2=-1;

х2=4        х2=-1

х=2      корней нет.

Ответ: -2; 2.

№868 (а);     №869 (а).

VIII. Представитель III группы делает сообщение об уравнениях с параметрами.

Пр. 7. Решить уравнение

х2-(2р+1)х+(р2+р-2)=0.

Решение. Это квадратное уравнение отличается от всех рассмотренных до сих пор квадратных уравнений тем, что в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения. Такие уравнения называют уравнениями с буквенными коэффициентами или уравнениями с параметрами. В данном случае параметр (буква) р входит в состав второго коэффициента и свободного члена уравнения.

D=(2р+1)2-4×1×(р2+р-2)=(4р2+4р+1)-(4р2+4р-8)=9.

Ответ: р+2; р-1.

Пр. 8. Решить уравнение

рх2+(1-р)х-1=0.

Решение. Это также уравнение с параметром р, но, в отличие от предыдущего примера, его нельзя сразу решать по формулам корней. Дело в том, что указанные формулы применимы к квадратным уравнениям, а про заданное уравнение этого пока сказать не можем. Вдруг р=0? Тогда уравнение примет вид

0∙х2+(1-0)х-1=0, т.е. х-1=0, х=1.

р¹0, то

Ответ: если р=0, то х=1;

если р¹0, то х1=1; х2

№840 (а, б);        №841 (а).

IX. Выполнение упражнений с комментированием.

Задание 1. Пусть х1 и х2 корни уравнения x2+px+q=0, найдите значение выражений

а)    б)

а) Решение.

По теореме Виета из уравнения x2+px+q=0 следует

х1+х2=-р

х1×х2=q.

Значит,

б)

в) Не решая уравнения 2х2-3х-11=0.

Найдите  где х1, х2 его корни.

Ответ: .

г) При каких значениях а уравнение ах2+2х+1=0 имеет два различных корня?

д) Уравнение ах2+8х+с=0 имеет единственный корень, равный 1. Чему равны а и с?

е) При  каких  а  сумма  квадратов корней уравнения 2х2+4х+а=0 равна 6?

X. Самостоятельная работа учащихся.

Вариант 1.

1. Решите уравнения, используя нестандартные приемы в решении квадратных уравнений.

а) х2+23х-24=0

б) 2х2+х-3=0

в) ⅓х2+2⅔х-3=0

г) 2х2-9х+9=0

д) 10у2-11у+3=0.

2. Сократите дробь

3. Дано уравнение

x2-(p+1)x+(2p2-9p-12)=0.

Известно, что произведение его корней равно -21. Найдите значение параметра р.

Вариант 2.

1. Решите уравнения, используя нестандартные приемы в решении квадратных уравнений.

а) х2+15х-16=0

б) 5х2+х-6=0

в) 1/4 х2+33/4х-4=0

г) 3х2+х-4=0

д) 5t2-11t+6=0.

2. Сократите дробь

3. Дано уравнение

x2+(3p-5)x+(3p2-11p-6)=0.

Известно, что сумма квадратов его корней равна 65. Найдите значение параметра р и корни уравнения.

XI. Итог урока.

XII. Домашнее задание:

№995 (в, г);   №996 (в, г);

№868 (в, г);   №869 (в, г);

№840 (в, г);   №841 (б).