"Сиқырлы шаршылар" 8 сынып

Мазмұны

Аннотация	...........................................................
Кіріспе	...........................................................	3
Негізгі бөлім:
І. «Сиқырлы» шаршы ұғымының пайда болу тарихы	...........................................................	5
ІІ. «Сиқырлы» шаршының түрлері және оның шешу жолдары
2.1. Үшінші ретті сиқырлы шаршы	...........................................................	7
2.2. Төртінші сиқырлы шаршы	...........................................................	9
2.3. Бесінші ретті сиқырлы шаршы	...........................................................	11
ІІІ. «Сиқырлы» шаршыны шешу кейбір тәсілдері
3.1. Үнді тәсілі	...........................................................	13
3.2. А. Дюрердің «сиқырлы» шаршысы	...........................................................	14
ІV. Практикалық жұмыс	...........................................................	16
Қорытынды	...........................................................	18
Пайдаланған әдебиеттер	...........................................................	19

Кіріспе

Ғылыми математикалық жұмыс үшін тақырыпты таңдау зерттеудің қызықты кезеңі болып табылады. Біз "сиқырлы» шаршы тақырыбына тоқталдық. "Сиқырлы шаршылар" ұғымы құпияны, жұмбақты қамтиды және осы квадраттардың тарихымен және кейбір қасиеттерімен танысқаннан кейін зерттеуді жалғастыруға ниет бар.

Біздің жұмысымызда біз сиқырлы шаршыларды құрастырудың теориясы мен тәжірибесінен ең тиімді, маңызды, қызықты фактілерді көрсетуге тырыстық. Сонымен бірге зерттеу тақырыбының қызықты математикалық қасиеттері ашылды.

Міне, біздің жұмысымыздың негізгі міндеттері: "сиқырлы шаршылар" ұғымының пайда болуы және олардың ғылымда да, өмірде де танымалдылығының өсуі туралы айту, құрастыру тәсілдерін қарастыру, негізгі ерекшеліктерді көрсету.

Сонымен қатар, біз сынып оқушылары арасында зерттеу жүргіздік. Біз бұрын осы тақырыпқа тап болмаған адамдар бұл мәселені қысқаша түсініктеме негізінде қаншалықты тез шеше алатынын көргіміз келді:. Бұл зерттеудің нәтижелері біздің жұмысымызда да келтіріледі.

Зерттеу мақсаты. Кез-келген мөлшердегі шаршыны толтыруға болатын сиқырлы шаршыларды құрудың әртүрлі нұсқаларын анықтай отырып, құпиясын ашу. Сонымен қатар оларды қолданудың мүмкін бағыттарын қарастыру.

Зерттеу міндеті. 

ü сиқырлы квадраттардың пайда болу және даму тарихын зерттеу;

ü сиқырлы квадраттардың қасиеттерін зерттеу;

ü сиқырлы квадраттарды құрудың негізгі әдістерімен танысу;

ü кез-келген тәртіптің сиқырлы квадраттарын құруды үйрену;

ü зерттеу нәтижелерін жобалау

Тақырыптың өзектілігі. Зерттеу жұмысында шаршыдағы сандардың бір заңдылықтарын зерттей білу. Хабарланып отырған материалға тарихи бағдар беру, ілімнің практикалық мәнін ашып көрсету.

Зерттеудің болжамы. Сиқырлы шаршыны толтыру үшін оны тез және әр түрлі жасауға мүмкіндік беретін арнайы әдістер бар. Оқу материалдарын игеру барысында зерттеу әдісін жетілдіріп, деректерді тиімді әрі жүйелі пайдалансақ, онда оқушылардың зерттеу құзіреттілігі және коммуникативтік, ақпараттық құзіреттілігі өз мәнінде дамып, сонымен қоса оқушылардың математикаға деген қызығушылығы артады деген ойдамын.

Зерттеу кезеңдері. Мен өзімнің ғылыми жұмысымды 5 кезеңге бөлдім.

І кезең-мәселені зерттеу ;

ІІ кезең – мәселе бойынша ақпарат жинау ;

ІІІ кезең – ақпаратты өңдеу және талдау ;

ІV кезең – құжаттаманы рәсімдеу;

V кезең- оқу жобасын таныстыру .

Зерттеу құралдары. Зерттеу құралдары: математикалық кітаптар, бұқаралық ақпарат, интернет желісі.

Зерттеу әдісі: Анализ, синтез, жобалау әдісі.

1.     Сиқырлы шаршы ұғымының пайда болу тарихы

         Натурал сандардың бірталай қасиеттерін ежелгі грек математиктері тағайындаған . Бізге жеткен аңыз бойынша Пифагор мен оның шәкірттері сандарды жұп және тақ , жай және құрама сандар деп  топтарға бөлген. Алайда пифагоршылар, арифметикаға елеулі жаңалықтар енгізе  отырып, сандардың табиғатын қате түсінген. Олар еш бір  дәлелсіз, негізсіз «бір - ақылдың немесе сананың  белгісі, бес - махаббаттың белгісі. 666 - айуандықтың  белгісі» т.с.с деп, былшыл уағыздар таратқан. Бұл уағыздар беретін әр түрлі сұмпайылар мен балгерлердің қарта ашу, құмалақ тарту, сәуегейлік жасау сияқты әрекеттеріне арқау болған.

Орта ғасырлар математикасында «керемет «квадраттар» елеулі орын алған. Жолдарындағы, бағандағыларды және үлкен диагональдарындағы сандардың қосындылары өз ара тең болып отыратын квадрат таблица керемет квадрат деп аталып кеткен (орыс тілінде «магический квадраты», мұндағы «магический» сөзі араб тілінің «маги» сөзінен шыққан, мағынасы –«сиқыр»)

Сиқырлы немесе сиқырлы квадрат-бұл әр жолдағы, әр бағандағы және екі диагональдағы сандардың қосындысы бірдей болатындай сандармен толтырылған квадрат кесте. Онда кез-келген жол, кез-келген баған және екі негізгі диагоналдың кез-келгені бірдей санға тең болады.

Сиқырлы шаршыны  алғаш ойлап табылған ел дәл белгісіз, ғасыр белгісіз, тіпті мыңжылдықты дәл анықтау мүмкін емес. Сиқырлы шаршылар туралы алғашқы ескерту ежелгі қытайларда болған. Бізге жеткен сиқырлы квадраттардың ішіндегі ең көнесі-Ло Шу кестесі. Ол 3*3 өлшеміне ие және 1-ден 9-ға дейінгі натурал сандармен толтырылған. Бұл сиқырлы квадратта әр жолдағы, бағандағы және диагональдағы сандардың қосындысы 15-ке тең. Аңыздардың біріне сәйкес, Ло Шудың прототипі Сары өзен суларынан пайда болған үлкен қасиетті тасбақаның қабығын безендірген қара және ақ нүктелердің үлгісі болды.

Қытайдан сиқырлы шаршылар алдымен Үндістанға, содан кейін басқа елдерге таралды. XVI ғасырдың басында әйгілі неміс суретшісі Альбрехт Дюрер өнердегі сиқырлы шаршыны мәңгі қалдырды, оны "Меланхолия" гравюрасында суреттеді. Гравюраның жасалған күні (1514 жыл) төменгі жолдың екі орталық торында тұрған сандармен көрсетілген.

IX ғасырда. сиқырлы шаршыларға деген қызығушылық жаңа күшпен басталды. Олар жоғары алгебра әдістерінің көмегімен зерттеле бастады. Сиқырлы квадраттарды алу математиктер арасында танымал ойын-сауық болып саналды. Олар үлкен квадраттар жасады, мысалы, 1-ден 2025-ке дейінгі сандардан тұратын 45*45, кез-келген мөлшердегі сиқырлы квадраттарды салу тәсілдері ойлап табылды, бірақ осы мөлшердегі сиқырлы квадраттардың санын табуға болатын формула әлі табылған жоқ.

Қазіргі уақытта сиқырлы шаршылар тек мамандардың ғана емес, сонымен қатар математикалық ойындар мен ойын-сауық әуесқойларының назарын аударуда. Өткен ғасырда ерекше квадраттармен байланысты жұмбақтар мен тапсырмаларды қамтитын ойын-сауық математикасы бойынша кітаптар саны едәуір өсті.

2.     «Сиқырлы» шаршының түрлері

2.1.          Үшінші ретті «сиқырлы» шаршы

6	1	8
7	5	3
2	9	4

3×3 Сиқырлы шаршы қарапайым көрінеді, бірақ оның бір ерекшелігі бар, ол басқа үлкен сиқырлы шаршыға ие емес. Бұл ерекшелігі-бұл сиқырлы шаршы бір ғана  нұсқада бар.

Бұл сиқырлы шаршыны табудың бір тәсілі-n сандарының әр тобындағы қатардағы сандардан топтар таңдалады (біздің жағдайда 3 Сан), осы топтардың қосындылары бір-біріне тең болуы керек. Біздің жағдайда m={1,2,3,4,5,6,7,8,9} жиынтығы бар. Бұл қосынды 15 = (1+2+3+4+5+6+7+8+9)/3 болатыны анық.

1)    1+5+9=15

2)    1+6+8=15

3)    2+4+9=15

4)    2+5+8=15

5)    2+6+7=15

6)    3+4+8=15

7)    3+5+7=15

8)    4+5+6=15

Бұл кесте дайын болғаннан кейін, ол сандарды сиқырлы шаршыға орналастыру ережелерін жаза бастайды.

            5 саны төрт топқа жатады, яғни 5 саны бар ұяшық төрт қатардың қиылысында тұр, мұндай ұяшық тек біреу және ол квадраттың ортасында орналасқан. Бір топта және 5 санымен бір қатарда орналасқан әр екі Сан жұпты құрайды. Бұл жұптар шаршының ортасына қатысты симметриялы орналасқан. Сондықтан ішкі құрылым толық симметрияға ие болады.

            Әр қатардың жұп саны үш топта кездеседі. Бұл жұп сандар үш түзу жолдың қиылысында, яғни бұрыштық торларда болатындығын білдіреді.

            Төрт тақ санның әрқайсысы тек 2 топқа енеді. Олардың шаршының жиектеріндегі орташа ұяшықтардағы орны.

	1				1			6	1	8		6	1	8		6	1	8
	5				5				5				5			7	5	3
					9				9			2	9	4		2	9	4

Егер төрт қолайлы торлардың бірлігін жазу үшін жоғарғы ортаңғы торларды таңдасаңыз, онда төменгі ортаңғы торда 9 болады. Енді сіз бүкіл жоғарғы жолды толтыра аласыз 6+1+8. Төменгі бұрыштық торлардағы сандар диагональдармен анықталады. Соңғы екі Сан 7 және 3 өз орындарын алады, өйткені олар 5 және 6 топтарын ұсынады.

Осы әдіспен сиқырлы шаршыны құрастыру көп уақытты қажет ететін процесс, әсіресе егер сіз үлкенірек сиқырлы шаршылар жасасаңыз. Сондықтан, бұдан әрі біз бесінші ретті сиқырлы шаршының мысалын қолдана отырып, сиқырлы квадратты құрудың әлдеқайда талғампаз және жылдам әдісін қарастырамыз.

2.2.          Төртінші ретті сиқырлы шаршы

16	2	3	13
5	11	10	8
9	7	6	12
4	14	15	1

4×4 шаршыны салуды бастамас бұрын, кем дегенде бір дайын шаршыны қарастыру керек. Мұндай сиқырлы шаршыны салу дәстүрі бар - бірдей мөлшерде бірдей сандармен толтырылған бірдей мөлшердегі сиқырлы емес шаршыдан құрылысты бастау керек. Біз сиқырлы шаршыларды салу үшін қолайлы әдісті қолданамыз, олардың тәртібі төртке көбейтіледі.

1) квадраттың ұяшықтарындағы сандарды өсу бойынша реттеу керек.

2) Осы шаршының бұрыштары бойынша жақтары бар төрт шаршыны  және   ортасында жағы бар бір шаршыны бөлеміз.

3) бөлінген бес квадратта біз орталыққа қатысты симметриялы орналасқан сандарды ауыстырамыз. Ол үшін біз сандарды ауыстыруымыз керек: 1 және 16, 4 және 13, 6 және 11, 7 және 10. Осы схемаға сәйкес жасалған шаршылар әрқашан сиқырлы және симметриялы болады.

1	2	3	4		16	2	3	13
5	6	7	8		5	11	10	8
9	10	11	12		9	7	6	12
13	14	15	16		4	14	15	1

2.3.          Бесінші ретті сиқырлы шаршы

3	16	9	22	15
20	8	21	14	2
7	25	13	1	19
24	12	5	18	6
11	4	17	10	23

5×5 сиқырлы шаршыны салу үшін біз террастар әдісін қолданамыз. Бұл әдіс тақ ретті сиқырлы квадраттарды салу үшін қолданылады, іс жүзінде террастар әдісін бұрын 3×3 сиқырлы шаршыны салу үшін қолдануға болады. Бірақ "сиқыр" деген не екенін түсіну үшін жұптарды таңдау әдісі қолданылды.

Бізге бірінші кезекте төрт жағынан террассалар деп аталатындарды қосу керек, осылайша біз бірдей ретті төртбұрышты аламыз. Алынған суретте сандар табиғи ретпен, қиғаш жолдармен орналастырылған.

				5
			4		10
		3		9		15
	2		8		14		20
1		7		13		19		25
	6		12		18		24
		11		17		23
			16		22
				21

Террастардағы сандар шаршыға түспеді, олар алаңның қарама-қарсы жақтарына қосылатын етіп оның ішіне жылжиды

				5
			4		10
		3		9		15				3	16	9	22	15
	2		8		14		20			20	8	21	14	2
1		7		13		19		25		7	25	13	1	19
	6		12		18		24			24	12	5	18	6
		11		17		23				11	4	17	10	23
			16		22
				21

3. «Сиқырлы» шаршыларды шешудің жолдары

3.1. А. Дюрердің «сиқырлы» шаршысы

Альбрехт Дюрердің сиқырлы шаршысы "Меланхолия I" гравюрасында бейнеленген. 1514 гравюрасының жасалған күні төменгі жолдың екі орталық торында тұрған сандармен көрсетілген.

Бұл 4×4 шаршының" сиқыры " кез-келген жолдың, бағанның және диагоналдың сандарының қосындысы 34-ке тең.

Бұл қосынды алынады:

* барлық бұрыштық квадраттарда 2×2

* 2×2 орталық алаңда

* бұрыштық торлардың шаршыларда 16+13+4+1)

* атпен салынған шаршыларда (2+12+15+5 және 3+8+14+9)

* * диагональдарға параллель тіктөртбұрыштардың шыңдарында 2+8+15+9 және 3+12+14+5)

* қарама-қарсы жақтардағы орта тор жұптарынан құралған тіктөртбұрыштарда (3+2+15+14 және 5+8+9+12)

Симметриялардың көпшілігі кез-келген екі орталық симметриялы орналасқан сандардың қосындысы 17-ге тең болатындығына байланысты.

Сиқырлы квадраттарды қолдану.

Қазіргі уақытта танымал жапондық судоку басқатырғышы, оның негізін «Сиқырлы шаршы» деп санауға болады. Бұл бізге логикалық ойлау мен есептеу дағдыларын дамытуға көмектеседі. Қазіргі уақытта көптеген газеттер бұл жұмбақтарды кроссвордтармен және басқа да логикалық тапсырмалармен бірге басып шығарады. Судоку балалар мен ересектерге арналған.

Судоку балаларға арналған: Судоку 4х4-өте қарапайым ережелері бар керемет ойын.

Ережелер: 16 ұяшықтан тұратын ойын алаңында 1-ден 4-ке дейінгі сандары бар карталарды орналастырыңыз, осылайша әр бағанда, жолда және 2-ден 2-ге дейінгі блокта әр Сан тек бір рет кездеседі.

            Судоку ересек балалар  үшін. Судоку ережелері өте қарапайым: ойын алаңы 9x9 өлшемді шаршыдан тұрады, 3 ұяшықтың жағы бар кіші шаршыларға бөлінеді. Осылайша, бүкіл ойын алаңында 81 ұяшық бар. Кейбір ұяшықтарда ойынның басында сандар бар (1-ден 9-ға дейін). Ойынның мақсаты-бос ұяшықтарды 1-ден 9-ға дейінгі сандармен толтыру, осылайша әр жолда, әр бағанда және әр 3x3 кішкентай квадратта әр Сан тек бір рет кездеседі.

7 5 6	4 6 8	4
6 8 9	9 7	3 7 6
5 9 3 1	7 6 8 9 5 2 4	4 3 7 9

Қазіргі мектеп оқушылары "сиқырлы" шаршылардың не екенін білетіндігін білу үшін біз 4-7 сынып оқушылары арасында сауалнама жүргіздік (31 адам) (2-қосымша) және келесі мәліметтерді алдық.

Қорытынды: Балалардың жауаптарын зерттей отырып, біз кейбір балалардың өз бетінше "сиқырлы" шаршылар құруға тырысқанын түсіндік, сондықтан шаршыны толтыру – бұл сиқыр деген жауаптар пайда болды. Жүргізілген сауалнама бізді таңдалған тақырыптың өзектілігіне, оқушыларды математикадан қызықты есептерді шешуге тартуға, олардың жаңа және жұмбақ жұмбақтарға деген қызығушылығын арттыруға және олардың бірі Сиқырлы шаршылар болып саналатынына сендірді.

Сауалнамаларды талдау көрсеткендей, балалар ойын-сауық мәселелерін шешуге аз қызығушылық танытады және мектеп бағдарламасынан тыс материалдарға сирек жүгінеді.

Күтілетін нәтиже: Сиқырлы шаршылардағы цифрларды орналастыра отырып, зерттеу жүргізу барысында оқушылардың логикалық ойлау қабілеттері дамиды, олар өздеріне деген сенімділігі артады. Математика пәніне деген қызығушылығы оянады, оқушының функциналдық сауаттылығы артады, математикалық сауттылығы дами түседі. Ол үшін оқушылар мұндай тапсырмаларды көбірек орындай отырып, күрделендіре түсуі тиіс. Мақсатқа жету жолында көп еңбетенгені жөн. Сонда ғана нәтижеге қол жеткізеді.

Қорытынды

Бұл жұмыста мен жұп және тақ ретті сиқырлы шаршыларды құрудың бірнеше алгоритмін қарастырдым. Мен сиқырлы шаршының пайда болу тарихын білдім – олар қазір мен үшін соншалықты сиқырлы емес, өйткені жұмысты жазғаннан кейін мен бірнеше минут ішінде, тіпті бірнеше секундта кез-келген еселіктің сиқырлы алаңын оңай құра аламын.

Осы ғылыми жобамды жазу барысында сандардың шаршыдағы негізгі қасиеттерінің қыр-сырымен таныстым. Жүз торлы шаршылардың ішінен кез-келген өзі қалаған реттегі бір шаршыны таңдап алып, сол шаршыдағы сандардың қосындысын белгілі бір өрнек шығатындай есептегенде бір ғана қосындыға тең болатынын көрсете білдім. Сандардың шаршыдағы негізгі қасиеттерін зерттей отырып, негізгі теориясымен таныстым, оның қазіргі кездегі қолданысын зерттеген еңбегімде пәнге деген қызығушылығым артып, оқулықтарды пайдалана отырып ізденуімнің арқасында өзімнің біліміміді толықтырдым.

Қазіргі заман математика ғылымының өте кең, жан-жақты тараған кезеңі. Ал талапқа сай математикалық біліміді көтеру үшін оқушылардың әрқайсысының үлкен ізденісте жүруі шарт, яғни ғылыми жобамды басқа оқушылар керегіне қолданады деп ойлаймын. Қазіргі таңдағы қоғамның дамуының негізгі факторы – білім, ғылым және демографиялық, саяси тұрақтылық. Олай болса дәуір қанша құбылғанымен біздің жас болашағымыздың жақсы болуы білім ілімсіз жүзеге асуы мүмкін емес. Сондықтан да, призидентіміз Қасым-Жомарт Кемелұлы Тоқаев білім мен ғылымның дамуына баса назар аударуы, оның үнемі өз бақылауында ұстауы соның айқын дәлелі.

Пайдаланылған әдебиеттер

 1. Колмогоров А.Н. Современная математика и математика в современной школе Математика в школе. – 1971. - №6. – С. 2-3

2. Математика мен математиктер жайлы әңгімелер. М.Ө. Исқақов, С.Н. Назаров. Екінші кітап,  «Мектеп» , 1970, 178 бет

3. Егемен Қазақстан, жалпыұлттық республикалық газет. №336 (25733), 2014 жыл,2б

4. Ғаламтор желісі bilimdiler.kz

5. В.В.Трошин  «Магия чисел и фигур»  ООО «Глобус» 2007

6.  Г.И. Глейзер «История математики в школе» Москва «Просвещение» 2007

7. И.Я. Депман  Н.Я. Виленкин  За страницами учебника математики «Просвещение» 2006

8. Е.И. Игнатьев «В царстве  смекалки» Москва «Наука» 1979

9. Интернет. http://ru.wikipedia.org/