Синус, косинус и тангенс угла

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 24»

Конспект урока по математике

НА ТЕМУ:

Выполнила: Королева Светлана Леонидовна

Кемерово 2018

Тема урока:  «Синус, косинус и тангенс угла».

Тип урока: изучение нового материала.

Класс: 9.

Цель урока:

- образовательная: ввести понятия синуса, косинуса и тангенса угла, актуализировать знания о синусе, косинусе и тангенсе угла в прямоугольном треугольнике, ознакомить с основным тригонометрическим тождеством, формулами приведения и формулой для нахождения координат точки, научить применять их при решении задач;

- развивающая: развитие внимания, памяти, речи, логического мышления, самостоятельности;

- воспитательная: воспитание дисциплины, наблюдательности, аккуратности, чувства ответственности.

Методы обучения: дедуктивно-репродуктивный метод.        

Оборудование: мультимедиа проектор, презентация.

Используемые источники:

1) Атанасян, Л. С. Геометрия 7-9 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – 20-е изд. –М. : Просвещение, 2012. – 384 с. : ил.;

2) Саранцев, Г. И. «Методика обучения математике в средней школе: Учебное пособие для студентов мат. спец. педвузов и университетов» / Г. И. Саранцев.  –  М. : Просвещение, 2002. – 224 с.;

3) Внеклассный урок – http://raal100.narod2.ru/geometriya/sinus_kosinus_tangens/

4) Тригонометрическая таблица – http://www.ankolpakov.ru/wp-content/uploads/2012/08/Таблица–значений–тригонометрических–функций.gif;

5) Таблица и рисунок «Знаки тригонометрических функций» – http://www.dpva.info/Guide/GuideMathematics/GuideMathematicsFiguresTables/TrygynometricsSigns/

План урока:

1)           Орг. момент (2 мин);

2)           Актуализация знаний (5 мин);

3)           Изучение нового материала (22 мин);

4)           Первичное закрепление нового материла (13 мин);

5)           Подведение итогов урока и домашнее задание (3 мин).

Ход урока:

1.   Организационный момент.

Учитель приветствует учащихся, подготавливает помещение к уроку и отмечает отсутствующих.

2.   Актуализация знаний.

Учитель: сегодня мы приступаем к изучению новой главы «Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов» и первой темой в данной главе будет «Синус, косинус и тангенс угла». Запишите в тетрадях число и тему урока (слайд 1).

Запись в тетрадях:

Число. Тема урока: Синус, косинус и тангенс угла.

Учитель: но прежде, чем перейти к изучению этой темы, повторим с вами пройденный материл.

– что называют синусом острого угла?

Ученик: синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. 

Учитель: что называют косинусом острого угла?

Ученик: Косинус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. 

Учитель: что такое тангенс острого угла?

Ученик: Тангенс острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Учитель: теперь решите следующий пример (слайд 2).

1. Пусть в прямоугольном треугольнике АВС
АВ = 6,
ВС = 3,
угол А = 30º.

Выясним синус угла А и косинус угла В.

Вариант 1 находит значение синуса угла А, вариант 2 находит косинус угла В.

(ученики самостоятельно решают в тетрадях)

Решение

1) Сначала находим величину угла В. Тут все просто: так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º, то угол В = 60º:

В = 90º – 30º = 60º.

2) Вычислим sin A. Мы знаем, что синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла А противолежащим катетом является сторона ВС. Итак:

      sin A =  =  = .

3) Теперь вычислим cos B. Мы знаем, что косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла В прилежащим катетом является все та же сторона ВС. Это значит, что нам снова надо разделить ВС на АВ – то есть совершить те же действия, что и при вычислении синуса угла А:

      cos B =  =  = .

В итоге получается:

sin A = cos B = .

Или:

sin 30º = cos 60º = .

3. Изучение нового материала

Учитель: мы вспомнили, что является синусом, косинусом и тангенсом угла в прямоугольном треугольнике. Теперь мы познакомимся с этими понятиями в независимости от фигуры, в которой они находятся.

Введем прямоугольную систему координат Оху и построим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, расположенную в первом и втором квадрантах. Данная полуокружность называется единичной (см. рис. 290 в учебнике). Запишите определение с экрана и сделайте рисунок. (слайд 3)

Запись в тетрадях:

Полуокружность называется единичной, если ее центр находится в начале координат, а радиус равен 1.

Учитель: из точки О проведем луч h , пересекающий единичную полуокружность в точке М (х;у). обозначит буквой a угол между лучом h и положительной полуосью абсцисс. Если луч h совпадает с положительной полуосью абсцисс, то будем считать, что a = 0 °.

Если угол a острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем, sin a =  , a cos a = .

Но OM = 1, MD  это ордината, OD - абсцисса, поэтому sin a ордината у точки М, cos a это абсцисса х точки М.

Запись на доске и в тетрадях:

Если угол a острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем,

sin a =  , a cos a = .

Но OM = 1, MD = y, OD = x,

поэтому sin a = y, cos a = x.   (1)

Учитель: Так как из прямоугольного треугольника DOM тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему tg = , то тангенс будет равен отношению синуса угла a к косинусу угла a  tg = . Существует еще функция, обратная тангенсу - катангенс, и он равен отношению косинуса угла a к синусу ctg =  .

Итак, синус острого угла a равен ординате у точки М, а косинус угла a - абсциссе х точки М. Запишите со слайда информацию в тетради (слайд 4).

Запись на доске и в тетрадях:

Т.к. tg = , то   tg = , ctg =  .

Учитель: если угол a прямой, тупой или развернутый, это углы AOC, AON и AOB на рисунке 290 учебника, или a = 0 °, то синус и косинус угла a также определим по формулам (1).

Таким образом, для любого угла a из промежутка 0° ≤ a ≤ 180° синусом угла a называется ордината у точки М, косинусом угла a - абсцисса х точки М.

Так как координаты (х; у) точек единичной полуокружности заключены в промежутках 0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1, то для любого a из промежутка 0° ≤ a ≤ 180° справедливы неравенства:

0 ≤ sin a ≤ 1, - 1≤ cos a ≤ 1 (слайд 5).  Запишите это в тетради.

Запись в тетрадях:

Т.к. 0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1, то для любого a из промежутка 0° ≤ a ≤ 180°

0 ≤ sin a ≤ 1, - 1≤ cos a ≤ 1.

Учитель: а теперь найдем значения синуса и косинуса для углов 0°, 90° и 180°. Для этого рассмотрим лучи OA, OC и OB, соответствующие этим углам (см.рис.290). Так как точки А, С и B имеют координаты А (1; 0), С (0; 1), В (-1; 0), то

Sin 0° = 0, sin 90° = 1, sin 180° = 0, cos 0° = 1, cos 90° = 0, cos 180° = - 1. (2) (слайд 6) Запишите в тетради.

Запись в тетрадях:

Sin 0° = 0, sin 90° = 1, sin 180° = 0, cos 0° = 1, cos 90° = 0, cos 180° = - 1

Учитель: так как tg =  , то при a = 90° тангенс угла a не определен, так как  cos 90° = 0 знаменатель обращается в нуль. Катангенс угла ctg =  не определен при a = 0 °, a =  180 ° , так как знаменатель sin 0° = 0, sin 180° = 0 обращается в нуль. Используя формулы (2), находим:

tg 0 ° = 0, tg 180 ° = 0.

ctg 90° = 0.

Запишите это в тетради.  (слайд 7)

Запись в тетрадях:

Т.к. tg =  , то при a = 90° тангенс угла a не определен.

tg 0 ° = 0, tg 180 ° = 0,

т.к. ctg =   , то при a = 0 °, a =  180 °  катангенс угла a не определен

ctg 90° = 0.

Учитель: кроме этих значений при решении задач вам понадобятся и другие значения синуса, косинуса, тангенса и катангенса при различных угла a. Сделайте себе в тетради небольшую тригонометрическую таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и катангенса (слайд 8).

Запись в тетрадях:

Учитель: теперь мы познакомимся с вами с основным тригонометрическим тождеством. Запишите заголовок в тетради.

Запись в тетрадях:

Основное тригонометрическое тождество.

Учитель: на рисунке 290 учебника изображены система координат Оху и полуокружность АСВ с центром О. Эта полуокружность является дугой окружности, уравнение которой имеет вид х² + у² = 1. Подставив сюда выражения для х и у из формул sin = x, cos = y, получим равенство

sin² a + cos² a = 1, (4)

Которое выполняется для любого угла a из промежутка 0° ≤ a ≤ 180°. Равенство (4) называется основным тригонометрическим тождеством. В  VIII классе оно было доказано для острых углов. Запишите в тетради информацию со слайда. (слайд 9)

Запись в тетрадях:

Для любого угла a из промежутка 0° ≤ a ≤ 180° верно

sin² a + cos² a = 1 - основное тригонометрическое тождество.

Учитель: теперь определим знаки синуса, косинуса и тангенса в разных четвертях.

Знаки синуса.

Так как sin a =  , то знак синуса зависит от знака у. В первой и второй четвертях у > 0, в третьей и четвертой у > 0. Значит синус больше нуля, если угол a находится в первой ил второй четверти, и синус меньше нуля, если угол a находится в третьей ил четвертой четверти.  Запишите эту информацию в тетради со слайда (слайд 10)

Запись в тетрадях:

т.к. sin a =  ,

 I , II ч - sin a > 0, III, IV ч - sin a < 0

Учитель: знаки косинуса. Так как cos a =  , то знак косинуса зависит то знака х. тогда в первой и четвертой четвертях х > 0, а во второй и третьей четвертях x < 0. Следовательно: косинус больше нуля, если угол a находится в первой или четвертой четверти, и косинус является меньше нуля, если угол a находится во второй или третьей четверти.  Запишите это в тетради со слайда.

Запись в тетрадях:

Так как cos a =

I , IV ч - cos a > 0, II, III ч - cos a < 0

Учитель: знаки тангенса и катангенса.

Так как tg a = , а ctg a = , то знаки tg a и ctg a зависят от знаков x и y. В 1 и 3 четвертях x и y имеют одинаковые знаки, а во 2 и 4 разные. Значит: tg a > 0 и ctg a > 0, если угол a является углом 1 или 3 четверти; tg a < 0 и ctg a < 0, если угол a является углом 2 или 4 четверти. Запишите в тетради, и перенесите в таблицу.

Запись в тетрадях:

tg a = 

I , III ч - tg a > 0, II, IV ч - tg a < 0

ctg a =

I , III ч - ctg a > 0, II, IV ч - ctg a < 0.

Учитель: кроме основное тригонометрического тождества справедливы также следующие тождества, которые являются формулами приведения. Запишите их в тетради. (слайд 11)

sin (90° - a) = cos a

cos (90° - a) = sin a     (5)    при 0° ≤  a ≤  90°,

sin (180° - a)= sin a

cos (180° - a) = - cos a    (6)   при   0° ≤  a ≤  180° .

Запись в тетрадях:

Формулы приведения.

sin (90° - a) = cos a

cos (90° - a) = sin a     (5)    при 0° ≤  a ≤  90,

sin (180° - a)= sin a

cos (180° - a) = - cos a    (6)   при   0° ≤  a ≤  180 .

Учитель: и последнее, что мы сегодня с вами рассмотрим, это формулы для вычисления координат точки, сделайте в тетрадях следующий заголовок: формулы для вычисления координат точки. (слайд 12)

Запись в тетрадях:

Формулы для вычисления координат точки.

Учитель: итак, пусть задана система координат Оху и дана произвольная точка А(х;у) с неотрицательной ординатой у (см.рис. 291 учебника).

Выразим координаты точки А через длину отрезка ОА и угол a между лучом ОА и положительной полуосью Ох. Для этого обозначим буквой М точку пересечения луча ОА с единичной полуокружностью. По формулам sin a = y, cos a = x   координаты точки М соответственно равны cos a и sin a. Вектор  имеет те же координаты, что и точка М, т.е. (cos a; sin a). Вектор  имеет те же координаты, что и точка А, т.е.  (х; у). По лемме о коллинеарных векторах  = ОА ∙ , поэтому

x = ОА ∙ cos a,

y = OA ∙ sin a.   (7)

Запишите все в тетрадь со слайда.

Запись в тетрадях:

sin a = y, cos a = x  

М(cos a; sin a), (cos a; sin a),  (х; у).

По лемме о коллинеарных векторах  = ОА ∙ , поэтому

x = ОА ∙ cos a,

y = OA ∙ sin a. (7)

4. Закрепление изученного материала

Учитель: а теперь закрепим изученный материал при решении следующих номеров задач: №№ 1012, 1013, 1015.

К доске вызываются ученики.

Учитель: № 1012. Проверьте, что точки М₁(0; 1), М₂ (  ; ), М₃ ( ; ), М₄ (-; ), А(1; 0), В(- 1; 0) лежат на единичной полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ₁, АОМ₂, АОМ₃, АОМ₄, АОВ.

Запись на доске и в тетрадях:

№ 1012.

Дано: М₁(0; 1), М₂ (  ; ), М₃ ( ; ), М₄ (-; ), А(1; 0), В(- 1; 0)

Найти: sin, cos, tg углов: АОМ₁, АОМ₂, АОМ₃, АОМ₄, АОВ

Ученик: чтобы проверить, принадлежат ли точки единичной полуокружности, мы должны координаты точек подставить в уравнение окружности х² + у² = 1.

Запись на доске и в тетрадях:

М₁ (0; 1), 0² + 1² = 0 +1 = 1, следовательно М₁  Окр (0; 1).

М₂ (  ; ),  +  = 1,  +  = 1, 1 = 1, следовательно М₂  Окр (0; 1).

М₃ ( ; ), + = 1,  +  = 1, 1 = 1, следовательно М₃  Окр (0; 1).

М₄ (-; ),  +  = 1,  +  = 1, 1 = 1, следовательно М₄  Окр (0; 1).

А(1; 0), 1 ² + 0² = 1 = 1, следовательно А  Окр (0; 1).

В(- 1; 0), (-1)² + 0² = 1 = 1, следовательно В  Окр (0; 1).

Ученик: найдем значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ₁, АОМ₂, АОМ₃, АОМ₄, АОВ. Так как синус - это ордината точки, косинус - это абсцисса точки, а косинус, это отношению синуса к косинусу, находим их значение.

Находим синус, косинус и тангенс угла АОМ_1.

Запись на доске и в тетрадях:

Т.к. sin a = y, cos a = x, tg =

sinÐАОМ₁= 1, cosÐАОМ₁ = 0.

sinÐАОМ₂ = , cosÐАОМ₂ = , tg ÐАОМ₂ = .

sinÐАОМ₃ = , cosÐАОМ₃ = , tg ÐАОМ₃ = 1.

sinÐАОМ₄ = , cosÐАОМ₄ =, tg ÐАОМ₄ = .

sinÐАОВ = , cosÐАОВ =, tg ÐАОВ = .

Учитель: теперь разберем номер 1013 (а, б). Найдите синус угла  a, если известнее косинус.

К доске вызывается ученик.

Запись на доске и в тетрадях:

№ 1013 (а, б)

Дано: а) cos a = .

           б) cos a = .

Найти: sin a

Ученик: чтобы найти синус угла, используем основное тригонометрическое тождество и выразим синус через косинус.

Запись на доске и в тетрадях:

sin² a + cos² a = 1

a) sin² a = 1 - cos² a;

sin² a = 1 -  = 1 -  = ;

sin² a =

Ученик: так как точка находится в первой четверти, синус положителен, следовательно равен .

Запись на доске и в тетрадях:

Так как a находится в 1 ч., то sin a > 0,

sin a =  

б) sin² a = 1 -  = 1 -  = ;

Ученик: так как  угол a находится во 2 ч., то sin a > 0

Запись на доске и в тетрадях:

Так как a находится во 2 ч., то sin a > 0,

sin a =  .

Учитель: теперь решите номер 1015(а, в), где необходимо найти тангенс угла a.

К доске вызывается ученик.

Запись на доске и в тетрадях:

№ 1015 (а, в)

Дано: а) cos a = 1;

           в) sin a =   и 0° < a < 90°.

Ученик: так как тангенс - это отношение синуса угла к косинусу угла, нам необходимо под а) найти синус угла, а под б) косинус угла. Используем основное тригонометрическое тождество.

Запись на доске и в тетрадях:

a) tg = ,

sin² a + cos² a = 1;

sin² a = 1 - cos² a;

sin² a = 1 -  = 1 -  = 0; sin a = 0.

tg =  =  = 1.

в) sin² a + cos² a = 1;

cos² a = 1 - sin² a;

cos² a = 1 -  = 1 -  = ;

т.к. 0° < a < 90° , cos a > 0, cos a = .

tg =  = 1.

5. Подведение итогов урока и домашнее задание

Учитель: итак, сегодня на уроке мы изучили синус, косинус и тангенс угла. Теперь ответьте на следующие вопросы:

Что называется синусом угла?

Ученик: синус острого угла a равен ординате у точки.

Учитель: что называется косинусом угла?

Ученик: косинус острого угла a равен абсциссе х точки

Учитель: что такое тангенс угла?

Ученик: тангенс - это отношение синуса угла a к косинусу угла, отношение ординаты точки к абсциссе.

Учитель: А что такое катангенс угла?

Ученик: катангенс - это отношение косинуса угла у синусу.

Учитель: какое основное тригонометрическое тождество вы знаете?

Ученик: sin² a + cos² a = 1 является основным тригонометрическим тождеством.

Учитель: какие есть формулы для вычисления координат точки?

Ученик: x = ОА ∙ cos a, y = OA ∙ sin a.

Учитель:  а как определить знаки синуса или косинуса?

Ученик: нужно определить, в какой четверти лежит точка с заданными координатами, или данный угол a.

Учитель: решение задач по пройденной теме мы продолжим еще на следующем уроке, а сейчас запишите задание на дом: §1, пп. 93 - 95, №№ 1014, 1015 (б, г). (слайд 13)

Запись на доске и в тетрадях:

Д/з: §1, пп. 93 - 95, №№ 1014, 1015 (б, г)

Учитель: урок окончен. До свидания.

Решение домашней работы.

№ 1014.

Дано: а)  sin a = ;

           б) sin a = ;

           в) sin a = .

Найти: cos a.

Решение.

а) Выразим cos a из основного тригонометрического тождества sin² a + cos² a = 1.

cos² a = 1 - sin² a;

cos² a = 1 -  = 1 -  = ;

cos a = ± .

б) Аналогично:

cos² a = 1 -  = 1 -  = ;

cos a = ±.

в) cos² a = 1 - 0  = 1

cos a = ± 1.

№ 1015(б, г).

Дано: б) cos a = - ;

           г) sin a =  и 90° < a < 180 °.

Найти: tg a.

Решение.

б) tg = ,

sin² a + cos² a = 1;

sin² a = 1 - cos² a;

sin² a = 1 -  = 1 -  = ,

sin a = ± .

tg =  =  = .

г) cos² a = 1 - sin² a;

cos² a = 1 -  = 1 -  =

т.к. 90° < a < 180 °, то sin a > 0, sin a =  ,

tg =  =  = .