Содержание программы 5-9 классов по учебнику Никольского С.М.

Содержание учебного предмета «Математика»

УМК:

1) Математика. 5 класс. Никольский C.М.

2) Математика. 6 класс. Никольский C.М.

3) Алгебра. Учебник. 7 класс. Никольский C.М.

4) Алгебра. Учебник. 8 класс. Никольский C.М.

5) Алгебра. Учебник. 9 класс. Никольский C.М.

6) Геометрия. 7-9 классы. Атанасян Л.С.

Содержание курса математики в 5–6 классах

Название раздела	Краткое содержание	5 класс	6 класс
Натуральные числа и нуль	Натуральный ряд чисел и его свойства
	Натуральное число, множество натуральных чисел и его свойства, изображение натуральных чисел точками на числовой прямой.	+
	Использование свойств натуральных чисел при решении задач.	+
	Запись и чтение натуральных чисел
	Различие между цифрой и числом.	+
	Позиционная запись натурального числа, поместное значение цифры, разряды и классы, соотношение между двумя соседними разрядными единицами, чтение и запись натуральных чисел.	+
	Округление натуральных чисел
	Необходимость округления.	+
	Правило округления натуральных чисел.	+
	Сравнение натуральных чисел, сравнение с числом 0
	Понятие о сравнении чисел, сравнение натуральных чисел друг с другом и с нулем, математическая запись сравнений, способы сравнения чисел.	+
	Действия с натуральными числами
	Сложение и вычитание, компоненты сложения и вычитания, связь между ними, нахождение суммы и разности, изменение суммы и разности при изменении компонентов сложения и вычитания.	+
	Умножение и деление, компоненты умножения и деления, связь между ними, умножение и сложение в столбик, деление уголком, проверка результата с помощью прикидки и обратного действия.	+
	Переместительный и сочетательный законы сложения и умножения, распределительный закон умножения относительно сложения, обоснование алгоритмов выполнения арифметических  действий.	+
	Степень с натуральным показателем
	Запись числа в виде суммы разрядных слагаемых, порядок выполнения действий в выражениях, содержащих степень, вычисление значений выражений, содержащих степень.	+
	Числовые выражения
	Числовое выражение и его значение, порядок выполнения действий.	+
	Деление с остатком
	Деление с остатком на множестве натуральных чисел, свойства деления с остатком.	+
	Практические задачи на деление с остатком.	+
	Свойства и признаки делимости
	Свойство делимости суммы (разности) на число.	+
	Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.	+
	Признаки делимости на 4, 6, 8, 11.	+
	Доказательство признаков делимости.	+
	Решение практических задач с применением признаков делимости.	+
	Разложение числа на простые множители
	Простые и составные числа, решето Эратосфена.	+
	Разложение натурального числа на множители, разложение на простые множители.	+
	Количество делителей числа, алгоритм разложения числа на простые множители, основная теорема арифметики.	+
	Алгебраические выражения
	Использование букв для обозначения чисел, вычисление значения алгебраического выражения, применение алгебраических выражений для записи свойств арифметических действий, преобразование алгебраических выражений.	+	+
	Делители и кратные
	Делитель и его свойства, общий делитель двух и более чисел, наибольший общий делитель, взаимно простые числа, нахождение наибольшего общего делителя.	+
	Кратное и его свойства, общее кратное двух и более чисел, наименьшее общее кратное, способы нахождения наименьшего общего кратного.	+
Дроби	Обыкновенные дроби
	Доля, часть, дробное число, дробь.	+
	Дробное число как результат деления.	+
	Правильные и неправильные дроби, смешанная дробь (смешанное число).	+
	Запись натурального числа в виде дроби с заданным знаменателем, преобразование смешанной дроби в неправильную дробь и наоборот.	+
	Приведение дробей к общему знаменателю.	+
	Сравнение обыкновенных дробей.	+
	Сложение и вычитание обыкновенных дробей.	+
	Умножение и деление обыкновенных дробей.	+
	Арифметические действия со смешанными дробями.	+
	Арифметические действия с дробными числами.	+
	Способы рационализации вычислений и их применение при выполнении действий.	+	+
	Десятичные дроби
	Целая и дробная части десятичной дроби.		+
	Преобразование десятичных дробей в обыкновенные.		+
	Сравнение десятичных дробей.		+
	Сложение и вычитание десятичных дробей.		+
	Округление десятичных дробей.		+
	Умножение и деление десятичных дробей.		+
	Преобразование обыкновенных дробей в десятичные дроби.		+
	Конечные и бесконечные десятичные дроби.		+
	Отношение двух чисел
	Масштаб на плане и карте.	+
	Пропорции.		+
	Свойства пропорций, применение пропорций и отношений при решении задач.		+
	Среднее арифметическое чисел
	Среднее арифметическое двух чисел.	+
	Изображение среднего арифметического двух чисел на числовой прямой.	+
	Решение практических задач с применением среднего арифметического.	+
	Среднее арифметическое нескольких чисел.	+
	Проценты
	Понятие процента.		+
	Вычисление процентов от числа и числа по известному проценту, выражение отношения в процентах.		+
	Решение несложных практических задач с процентами.		+
	Диаграммы
	Столбчатые и круговые диаграммы.		+
	Извлечение информации из диаграмм.		+
	Изображение диаграмм по числовым данным.		+
Рациональные числа	Положительные и отрицательные числа
	Изображение чисел на числовой (координатной) прямой.		+
	Сравнение чисел.		+
	Модуль числа, геометрическая интерпретация модуля числа.		+
	Действия с положительными и отрицательными числами.		+
	Множество целых чисел.		+
	Понятие о рациональном числе
	Первичное представление о множестве рациональных чисел.		+
	Действия с рациональными числами.		+
Решение текстовых задач	Единицы измерений
	Единицы измерений: длины, площади, объема, массы, времени, скорости.	+	+
	Зависимости между единицами измерения каждой величины.	+	+
	Зависимости между величинами: скорость, время, расстояние; производительность, время, работа; цена, количество, стоимость.	+	+
	Задачи на все арифметические действия
	Решение текстовых задач арифметическим способом.	+	+
	Использование таблиц, схем, чертежей, других средств представления данных при решении задачи.	+	+
	Задачи на движение, работу и покупки
	Решение несложных задач на движение в противоположных направлениях, в одном направлении, движение по реке по течению и против течения. Решение задач на совместную работу. Применение дробей при решении задач.	+	+
	Задачи на части, доли, проценты
	Решение задач на нахождение части числа и числа по его части.	+	+
	Решение задач на проценты и доли.		+
	Применение пропорций при решении задач.		+
	Логические задачи
	Решение несложных логических задач.	+	+
	Решение логических задач с помощью графов, таблиц.	+	+
	Основные методы решения текстовых задач
	Основные методы решения текстовых задач: арифметический, перебор вариантов.	+	+
Наглядная геометрия	Наглядная геометрия
	Фигуры в окружающем мире.	+	+
	Наглядные представления о фигурах на плоскости: прямая, отрезок, луч, угол, ломаная, многоугольник, окружность, круг.	+	+
	Четырехугольник, прямоугольник, квадрат.	+
	Треугольник, виды треугольников.	+
	Правильные многоугольники.	+
	Изображение основных геометрических фигур.	+	+
	Взаимное расположение двух прямых, двух окружностей, прямой и окружности.	+
	Длина отрезка, ломаной.	+
	Единицы измерения длины.	+
	Построение отрезка заданной длины.	+
	Виды углов.	+
	Градусная мера угла.	+
	Измерение и построение углов с помощью транспортира.	+
	Периметр многоугольника.	+
	Понятие площади фигуры; единицы измерения площади.	+	+
	Площадь прямоугольника, квадрата.	+
	Приближенное измерение площади фигур на клетчатой бумаге.	+
	Равновеликие фигуры.	+	+
	Наглядные представления о пространственных фигурах: куб, параллелепипед, призма, пирамида, шар, сфера, конус, цилиндр.	+	+
	Изображение пространственных фигур.	+	+
	Примеры сечений.	+
	Многогранники.	+
	Правильные многогранники.	+
	Примеры разверток многогранников, цилиндра и конуса.	+
	Понятие объема; единицы объема.	+
	Объем прямоугольного параллелепипеда, куба.	+
	Понятие о равенстве фигур.	+
	Центральная, осевая и зеркальная симметрии.		+
	Изображение симметричных фигур.		+
	Решение практических задач с применением простейших свойств фигур.	+	+
История математики	История математики
	Появление цифр, букв, иероглифов в процессе счета и распределения продуктов на Древнем Ближнем Востоке. Связь с Неолитической революцией.	+
	Рождение шестидесятеричной системы счисления. Появление десятичной записи чисел.	+
	Рождение и развитие арифметики натуральных чисел. НОК, НОД, простые числа. Решето Эратосфена.	+
	Появление нуля и отрицательных чисел в математике древности. Роль Диофанта. Почему ?		+
	Дроби в Вавилоне, Египте, Риме. Открытие десятичных дробей. Старинные системы мер. Десятичные дроби и метрическая система мер.  Л. Магницкий.	+	+

Содержание курса математики в 7–9 классах

(базовый уровень)

Название раздела	Краткое содержание	7 класс	8 класс	9 класс
АЛГЕБРА
Числа	Рациональные числа
	Множество рациональных чисел.	+
	Сравнение рациональных чисел.	+
	Действия с рациональными числами.	+
	Представление рационального числа десятичной дробью.	+
	Иррациональные числа
	Понятие иррационального числа.	+
	Распознавание иррациональных чисел.	+
	Примеры доказательств в алгебре.	+
	Иррациональность числа .		+
	Применение в геометрии.		+
	Сравнение иррациональных чисел.		+
	Множество действительных чисел.		+
Тождественные преобразования	Числовые и буквенные выражения
	Выражение с переменной.	+	+	+
	Значение выражения.	+	+	+
	Подстановка выражений вместо переменных.	+	+	+
	Целые выражения
	Степень с натуральным показателем и ее свойства.	+
	Преобразования выражений, содержащих степени с натуральным показателем.	+
	Одночлен, многочлен.	+
	Действия с одночленами и многочленами (сложение, вычитание, умножение).	+
	Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы и разности.	+
	Разложение многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки, группировка, применение формул сокращенного умножения.	+
	Квадратный трёхчлен, разложение квадратного трехчлена на множители.		+
	Дробно-рациональные выражения
	Степень с целым показателем.	+
	Преобразование дробно-линейных выражений: сложение, умножение, деление.	+
	Алгебраическая дробь.	+
	Допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях.	+
	Сокращение алгебраических дробей.	+
	Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю.	+
	Действия с алгебраическими дробями: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень.	+
	Преобразование выражений, содержащих знак модуля.	+	+	+
	Квадратные корни
	Арифметический квадратный корень.		+
	Преобразование выражений, содержащих квадратные корни: умножение, деление, вынесение множителя из-под знака корня, внесение множителя под знак корня.		+
Уравнения и неравенства	Равенства
	Числовое равенство.	+
	Свойства числовых равенств.	+
	Равенство с переменной.	+
	Уравнения
	Понятие уравнения и корня уравнения.	+
	Представление о равносильности уравнений.	+	+
	Область определения уравнения (область допустимых значений переменной).		+
	Линейное уравнение и его корни
	Решение линейных уравнений.	+
	Линейное уравнение с параметром.	+
	Количество корней линейного уравнения.	+
	Решение линейных уравнений с параметром.	+
	Квадратное уравнение и его корни
	Квадратные уравнения.		+
	Неполные квадратные уравнения.		+
	Дискриминант квадратного уравнения.		+
	Формула корней квадратного уравнения.		+
	Теорема Виета. Теорема, обратная теореме Виета.		+
	Решение квадратных уравнений: использование формулы для нахождения корней, графический метод решения, разложение на множители, подбор корней с использованием теоремы Виета.		+
	Количество корней квадратного уравнения в зависимости от его дискриминанта.		+
	Биквадратные уравнения.		+
	Уравнения, сводимые к линейным и квадратным.		+
	Квадратные уравнения с параметром.		+
	Дробно-рациональные уравнения
	Решение простейших дробно-линейных уравнений.		+
	Решение дробно-рациональных уравнений.		+
	Методы решения уравнений: методы равносильных преобразований, метод замены переменной, графический метод.		+
	Использование свойств функций при решении уравнений.		+
	Простейшие иррациональные уравнения вида , .		+
	Уравнения вида .		+	+
	Уравнения в целых числах.		+	+
	Системы уравнений
	Уравнение с двумя переменными.	+
	Линейное уравнение с двумя переменными.	+
	Прямая как графическая интерпретация линейного уравнения с двумя переменными.	+
	Понятие системы уравнений.	+
	Решение системы уравнений.	+
	Методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными: графический метод, метод сложения, метод подстановки.	+
	Системы линейных уравнений с параметром.	+
	Неравенства
	Числовые неравенства.			+
	Свойства числовых неравенств.			+
	Проверка справедливости неравенств при заданных значениях переменных.			+
	Неравенство с переменной.			+
	Строгие и нестрогие неравенства.			+
	Область определения неравенства (область допустимых значений переменной).			+
	Решение линейных неравенств.			+
	Квадратное неравенство и его решения.			+
	Решение квадратных неравенств: использование свойств и графика квадратичной функции, метод интервалов.			+
	Запись решения квадратного неравенства.			+
	Решение целых и дробно-рациональных неравенств методом интервалов.			+
	Системы неравенств
	Системы неравенств с одной переменной.			+
	Решение систем неравенств с одной переменной: линейных, квадратных.			+
	Изображение решения системы неравенств на числовой прямой.			+
	Запись решения системы неравенств.			+
Функции	Понятие функции
	Декартовы координаты на плоскости.		+
	Формирование представлений о метапредметном понятии «координаты».		+
	Способы задания функций: аналитический, графический, табличный.		+
	График функции.		+
	Примеры функций, получаемых в процессе исследования различных реальных процессов и решения задач.		+
	Значение функции в точке.		+
	Свойства функций: область определения, множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, четность/нечетность, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения.		+	+
	Исследование функции по ее графику.		+	+
	Представление об асимптотах.		+
	Непрерывность функции.		+	+
	Кусочно заданные функции.		+	+
	Линейная функция
	Свойства и график линейной функции.		+
	Угловой коэффициент прямой.		+
	Расположение графика линейной функции в зависимости от ее углового коэффициента и свободного члена.		+
	Нахождение коэффициентов линейной функции по заданным условиям: прохождение прямой через две точки с заданными координатами, прохождение прямой через данную точку и параллельной данной прямой.		+
	Квадратичная функция
	Свойства и график квадратичной функции (парабола).		+
	Построение графика квадратичной функции по точкам.		+
	Нахождение нулей квадратичной функции, множества значений, промежутков знакопостоянства, промежутков монотонности.		+
	Обратная пропорциональность
	Свойства функции .		+
	Гипербола.		+
	Графики функций.
	Преобразование графика функции  для построения графиков функций вида .		+
	Графики функций , , , .		+
	Последовательности и прогрессии
	Числовая последовательность.			+
	Примеры числовых последовательностей.			+
	Бесконечные последовательности.			+
	Арифметическая прогрессия и ее свойства.			+
	Геометрическая прогрессия.			+
	Формула общего члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий.			+
	Сходящаяся геометрическая прогрессия.			+
Решение текстовых задач	Задачи на все арифметические действия
	Решение текстовых задач арифметическим способом.	+	+	+
	Использование таблиц, схем, чертежей, других средств представления данных при решении задачи.	+	+	+
	Задачи на движение, работу и покупки
	Анализ возможных ситуаций взаимного расположения объектов при их движении, соотношения объемов выполняемых работ при совместной работе.	+	+	+
	Задачи на части, доли, проценты
	Решение задач на нахождение части числа и числа по его части.	+	+	+
	Решение задач на проценты и доли.	+	+	+
	Применение пропорций при решении задач.	+	+	+
	Логические задачи
	Решение логических задач.	+	+	+
	Решение логических задач с помощью графов, таблиц.	+	+	+
	Основные методы решения текстовых задач
	Основные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, перебор вариантов.	+	+	+
	Первичные представления о других методах решения задач (геометрические и графические методы).	+	+	+
Статистика и теория вероятностей	Статистика
	Табличное и графическое представление данных, столбчатые и круговые диаграммы, графики, применение диаграмм и графиков для описания зависимостей реальных величин, извлечение информации из таблиц, диаграмм и графиков.	+	+	+
	Описательные статистические показатели числовых наборов: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения.	+	+	+
	Меры рассеивания: размах, дисперсия и стандартное отклонение.			+
	Случайная изменчивость.			+
	Изменчивость при измерениях.			+
	Решающие правила.			+
	Закономерности в изменчивых величинах.			+
	Случайные события
	Случайные опыты (эксперименты), элементарные случайные события (исходы).	+
	Вероятности элементарных событий.	+
	События в случайных экспериментах и благоприятствующие элементарные события.	+
	Вероятности случайных событий.	+
	Опыты с равновозможными элементарными событиями.	+
	Классические вероятностные опыты с использованием монет, кубиков.	+
	Представление событий с помощью диаграмм Эйлера.		+
	Противоположные события, объединение и пересечение событий.		+
	Правило сложения вероятностей.		+
	Случайный выбор.		+
	Представление эксперимента в виде дерева.		+
	Независимые события.		+
	Умножение вероятностей независимых событий.		+
	Последовательные независимые испытания.		+
	Представление о независимых событиях в жизни.		+
	Элементы комбинаторики
	Правило умножения, перестановки, факториал числа.			+
	Сочетания и число сочетаний.			+
	Формула числа сочетаний.			+
	Треугольник Паскаля.			+
	Опыты с большим числом равновозможных элементарных событий.			+
	Вычисление вероятностей в опытах с применением комбинаторных формул.			+
	Испытания Бернулли.			+
	Успех и неудача.			+
	Вероятности событий в серии испытаний Бернулли.			+
	Случайные величины
	Знакомство со случайными величинами на примерах конечных дискретных случайных величин.			+
	Распределение вероятностей.			+
	Математическое ожидание.			+
	Свойства математического ожидания.			+
	Понятие о законе больших чисел.			+
	Измерение вероятностей.			+
	Применение закона больших чисел в социологии, страховании, в здравоохранении, обеспечении безопасности населения в чрезвычайных ситуациях.			+
ГЕОМЕТРИЯ
Геометрические фигуры	Фигуры в геометрии и в окружающем мире
	Геометрическая фигура.	+
	Формирование представлений о метапредметном понятии «фигура».	+
	Точка, линия, отрезок, прямая, луч, ломаная, плоскость, угол, биссектриса угла и ее свойства, виды углов, многоугольники, круг.	+
	Осевая симметрия геометрических фигур.		+
	Центральная симметрия геометрических фигур.		+
	Многоугольники
	Многоугольник, его элементы и его свойства.		+
	Распознавание некоторых многоугольников.		+
	Выпуклые и невыпуклые многоугольники.		+
	Правильные многоугольники.			+
	Треугольники.	+
	Высота, медиана, биссектриса, средняя линия треугольника.	+
	Равнобедренный треугольник, его свойства и признаки.	+
	Равносторонний треугольник.	+
	Прямоугольный, остроугольный, тупоугольный треугольники.	+
	Внешние углы треугольника.	+
	Неравенство треугольника.	+
	Четырехугольники.		+
	Параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, трапеция, равнобедренная трапеция.		+
	Свойства и признаки параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата.		+
	Окружность, круг
	Окружность, круг, их элементы и свойства; центральные и вписанные углы.	+	+
	Касательная и секущая к окружности, их свойства.		+
	Вписанные и описанные окружности для треугольников, четырехугольников, правильных многоугольников.		+	+
	Геометрические фигуры в пространстве (объемные тела)
	Многогранник и его элементы.			+
	Названия многогранников с разным положением и количеством граней.			+
	Первичные представления о пирамиде, параллелепипеде, призме, сфере, шаре, цилиндре, конусе, их элементах и простейших свойствах.			+
Отношения	Равенство фигур
	Свойства равных треугольников.	+
	Признаки равенства треугольников.	+
	Параллельно­сть прямых
	Признаки и свойства параллельных прямых.	+
	Аксиома параллельности Евклида.	+
	Теорема Фалеса.	+
	Перпендикулярные прямые
	Прямой угол.	+
	Перпендикуляр к прямой.	+
	Наклонная, проекция.	+
	Серединный перпендикуляр к отрезку.		+
	Свойства и признаки перпендикулярности.		+
	Подобие
	Пропорциональные отрезки, подобие фигур.		+
	Подобные треугольники.		+
	Признаки подобия.		+
	Взаимное расположение
	Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей.		+
Измерения и вычисления	Величины
	Понятие величины.	+
	Длина. Измерение длины. Единицы измерения длины.	+
	Величина угла. Градусная мера угла.	+
	Понятие о площади плоской фигуры и ее свойствах.		+
	Измерение площадей. Единицы измерения площади.		+
	Представление об объеме и его свойствах. Измерение объема. Единицы измерения объемов.			+
	Измерения и вычисления
	Инструменты для измерений и построений; измерение и вычисление углов, длин (расстояний), площадей.	+	+
	Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике.		+
	Тригонометрические функции тупого угла.		+
	Вычисление элементов треугольников с использованием тригонометрических соотношений.		+
	Формулы площади треугольника, параллелограмма и его частных видов, формулы длины ок­ружности и площади круга.		+
	Сравнение и вычисление площадей.		+
	Теорема Пифагора.		+
	Теорема синусов.			+
	Теорема косинусов.			+
	Расстояния
	Расстояние между точками.	+
	Расстояние от точки до прямой.	+
	Расстояние между фигурами.			+
	Геометрические построения
	Геометрические построения для иллюстрации свойств геометрических фигур.	+
	Инструменты для построений: циркуль, линейка, угольник.	+
	Простейшие построения циркулем и линейкой: построение биссектрисы угла, перпендикуляра к прямой, угла, равного данному.	+
	Построение треугольников по трем сторонам, двум сторонам и углу между ними, стороне и двум прилежащим к ней углам.	+
	Деление отрезка в данном отношении.	+
Геометрические преобразования	Преобразования
	Понятие преобразования.		+
	Представление о метапредметном понятии «преобразование».		+
	Подобие.		+
	Движения
	Осевая и центральная симметрия, поворот и параллельный перенос.		+	+
	Комбинации движений на плоскости и их свойства.			+
Векторы и координаты на плоскости	Векторы
	Понятие вектора, действия над векторами, использование векторов в физике, разложение вектора на составляющие, скалярное произведение.			+
	Координаты
	Основные понятия, координаты вектора, расстояние между точками.			+
	Координаты середины отрезка.			+
	Уравнения фигур.			+
	Применение векторов и координат для решения простейших геометрических задач.			+
История математики	История математики
	Возникновение математики как науки, этапы ее развития. Основные разделы математики. Выдающиеся математики и их вклад в развитие науки.	+
	Бесконечность множества простых чисел. Числа и длины отрезков. Рациональные числа. Потребность в иррациональных числах. Школа Пифагора		+
	Зарождение алгебры в недрах арифметики. Ал-Хорезми. Рождение буквенной символики. П. Ферма, Ф. Виет, Р. Декарт. История вопроса о нахождении формул корней алгебраических уравнений степеней, больших четырех. Н. Тарталья, Дж. Кардано, Н.Х. Абель, Э. Галуа.	+	+	+
	Появление метода координат, позволяющего переводить геометрические объекты на язык алгебры. Появление графиков функций. Р. Декарт, П. Ферма. Примеры различных систем координат.	+
	Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи) о кроликах, числа Фибоначчи. Задача о шахматной доске. Сходимость геометрической прогрессии.			+
	Истоки теории вероятностей: страховое дело, азартные игры. П. Ферма, Б.Паскаль, Я. Бернулли, А.Н.Колмогоров.	+
	От земледелия к геометрии. Пифагор и его школа. Фалес, Архимед. Платон и Аристотель. Построение правильных многоугольников. Триссекция угла. Квадратура круга. Удвоение куба. История числа π. Золотое сечение. «Начала» Евклида. Л Эйлер, Н.И.Лобачевский. История пятого постулата.	+
	Геометрия и искусство. Геометрические закономерности окружающего мира.			+
	Астрономия и геометрия. Что и как узнали Анаксагор, Эратосфен и Аристарх о размерах Луны, Земли и Солнца. Расстояния от Земли до Луны и Солнца. Измерение расстояния от Земли до Марса.			+
	Роль российских ученых в развитии математики: Л. Эйлер. Н.И. Лобачевский, П.Л.Чебышев, С. Ковалевская, А.Н. Колмогоров.	+	+	+
	Математика в развитии России: Петр I, школа математических и навигацких наук, развитие российского флота, А.Н. Крылов. Космическая программа и М.В. Келдыш.		+	+

 

 

Содержание курса математики в 7–9 классах

(углублённый уровень)

Название раздела	Краткое содержание	7 класс	8 класс	9 класс
АЛГЕБРА
Числа	Рациональные числа
	Сравнение рациональных чисел.	+
	Действия с рациональными числами.	+
	Конечные и бесконечные десятичные дроби.	+
	Представление рационального числа в виде десятичной дроби.	+
	Иррациональные числа
	Понятие иррационального числа.		+
	Распознавание иррациональных чисел.		+
	Действия с иррациональными числами.		+
	Свойства действий с иррациональными числами.		+
	Сравнение иррациональных чисел.		+
	Множество действительных чисел.		+
	Представления о расширениях числовых множеств.		+
Тождественные преобразования	Числовые и буквенные выражения
	Выражение с переменной.	+	+	+
	Значение выражения.	+	+	+
	Подстановка выражений вместо переменных.	+	+	+
	Законы арифметических действий.	+	+	+
	Преобразования числовых выражений, содержащих степени с натуральным и целым показателем.	+	+
	Многочлены
	Одночлен, степень одночлена.	+
	Действия с одночленами.	+
	Многочлен, степень многочлена.	+
	Значения многочлена.	+
	Действия с многочленами: сложение, вычитание, умножение, деление.	+
	Преобразование целого выражения в многочлен.	+
	Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы и разности.	+
	Формулы преобразования суммы и разности кубов, куб суммы и разности.	+
	Разложение многочленов на множители: вынесение общего множителя за скобки, группировка, использование формул сокращенного умножения.	+
	Многочлены с одной переменной.	+
	Стандартный вид многочлена с одной переменной.	+
	Квадратный трехчлен.		+
	Корни квадратного трехчлена.		+
	Разложение на множители квадратного трехчлена.		+
	Теорема Виета. Теорема, обратная теореме Виета.		+
	Выделение полного квадрата.		+
	Разложение на множители способом выделения полного квадрата.		+
	Понятие тождества
	Тождественное преобразование.	+	+
	Представление о тождестве на множестве.	+	+
	Дробно-рациональные выражения
	Алгебраическая дробь.		+
	Преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем.		+
	Допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях.		+
	Сокращение алгебраических дробей.		+
	Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю.		+
	Действия с алгебраическими дробями: сложение, умножение, деление.		+
	Преобразование выражений, содержащих знак модуля.		+
	Иррациональные выражения
	Арифметический квадратный корень.		+
	Допустимые значения переменных в выражениях, содержащих арифметические квадратные корни.		+
	Преобразование выражений, содержащих квадратные корни.		+
	Корни n-ых степеней.			+
	Допустимые значения переменных в выражениях, содержащих корни n-ых степеней.			+
	Преобразование выражений, содержащих корни n-ых степеней.			+
	Степень с рациональным показателем.			+
	Преобразование выражений, содержащих степень с рациональным показателем.			+
Уравнения	Равенства
	Числовое равенство.	+
	Свойства числовых равенств. Равенство с переменной.	+
	Уравнения
	Понятие уравнения и корня уравнения.	+
	Представление о равносильности уравнений и уравнениях-следствиях.	+
	Представление о равносильности на множестве.	+
	Равносильные преобразования уравнений.	+
	Методы решения уравнений
	Методы равносильных преобразований, метод замены переменной, графический метод.	+	+	+
	Использование свойств функций при решении уравнений, использование теоремы Виета для уравнений степени выше 2.		+	+
	Линейное уравнение и его корни
	Решение линейных уравнений.	+
	Количество корней линейного уравнения.	+
	Линейное уравнение с параметром.	+
	Квадратное уравнение и его корни
	Дискриминант квадратного уравнения.		+
	Формула корней квадратного уравнения.		+
	Количество действительных корней квадратного уравнения.		+
	Решение квадратных уравнений: графический метод решения, использование формулы для нахождения корней, разложение на множители, подбор корней с использованием теоремы Виета.		+
	Биквадратные уравнения.		+
	Уравнения, сводимые к линейным и квадратным.		+
	Квадратное уравнение с параметром.		+
	Решение простейших квадратных уравнений с параметрами.		+
	Решение некоторых типов уравнений 3 и 4 степени.		+	+
	Дробно-рациональные уравнения
	Решение дробно-рациональных уравнений.		+
	Простейшие иррациональные уравнения
	Простейшие иррациональные уравнения вида: ,  и их решение.		+
	Решение иррациональных уравнений вида .		+
	Системы уравнений
	Уравнение с двумя переменными.	+
	Решение уравнений в целых числах.	+
	Линейное уравнение с двумя переменными.	+
	Графическая интерпретация линейного уравнения с двумя переменными.	+
	Представление о графической интерпретации произвольного уравнения с двумя переменными: линии на плоскости.	+
	Понятие системы уравнений. Решение систем уравнений.	+
	Представление о равносильности систем уравнений.	+
	Методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными графический метод, метод сложения, метод подстановки.	+
	Количество решений системы линейных уравнений.	+
	Система линейных уравнений с параметром.	+
	Системы нелинейных уравнений.			+
	Методы решения систем нелинейных уравнений.			+
	Метод деления, метод замены переменных.			+
	Однородные системы.			+
	Неравенства
	Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств.		+
	Проверка справедливости неравенств при заданных значениях переменных.		+
	Неравенство с переменной.		+
	Строгие и нестрогие неравенства.		+
	Доказательство неравенств.		+
	Неравенства о средних для двух чисел.		+
	Понятие о решении неравенства. Множество решений неравенства.		+
	Представление о равносильности неравенств.		+
	Линейное неравенство и множества его решений. Решение линейных неравенств.		+
	Линейное неравенство с параметром.		+
	Квадратное неравенство и его решения.		+
	Решение квадратных неравенств: использование свойств и графика квадратичной функции, метод интервалов.		+
	Запись решения квадратного неравенства.		+
	Квадратное неравенство с параметром и его решение.		+
	Простейшие иррациональные неравенства вида: , , .			+
	Обобщенный метод интервалов для решения неравенств.			+
	Системы неравенств
	Системы неравенств с одной переменной.			+
Решение систем неравенств с одной переменной: линейных, квадратных, дробно-рациональных, иррациональных.			+
Изображение решения системы неравенств на числовой прямой.			+
Запись решения системы неравенств.			+
Неравенство с двумя переменными.			+
Представление о решении линейного неравенства с двумя переменными.			+
Графическая интерпретация неравенства с двумя переменными.			+
Графический метод решения систем неравенств с двумя переменными.			+
Функции	Понятие зависимости
	Прямоугольная система координат.	+
	Формирование представлений о метапредметном понятии «координаты».	+
	График зависимости.	+
	Функция
	Способы задания функций: аналитический, графический, табличный.	+
	График функции.	+
	Примеры функций, получаемых в процессе исследования различных процессов и решения задач.	+
	Значение функции в точке.	+
	Свойства функций: область определения, множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, четность/нечетность, возрастание и убывание, промежутки монотонности, наибольшее и наименьшее значение, периодичность.	+	+	+
	Исследование функции по ее графику.	+	+	+
	Линейная функция
	Свойства, график.	+
	Угловой коэффициент прямой.	+
	Расположение графика линейной функции в зависимости от ее коэффициентов.	+
	Квадратичная функция
	Свойства.	+	+
	Парабола.	+	+
	Построение графика квадратичной функции.	+	+
	Положение графика квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов.		+
	Использование свойств квадратичной функции для решения задач.		+
	Обратная пропорциональность
	Свойства функции .		+
	Гипербола.		+
	Представление об асимптотах.		+
	Степенная функция с показателем 3
	Свойства.			+
	Кубическая парабола.			+
	Функции , ,
	Функции , , .		+	+
	Их свойства и графики.		+	+
	Степенная функция с показателем степени больше 3.			+
	Преобразование графиков функций: параллельный перенос, симметрия, растяжение/сжатие, отражение.		+	+
	Представление о взаимно обратных функциях.		+
	Непрерывность функции и точки разрыва функций. Кусочно заданные функции.		+	+
	Последовательности и прогрессии
	Числовая последовательность. Примеры.			+
	Бесконечные последовательности.			+
	Арифметическая прогрессия и ее свойства.			+
	Геометрическая прогрессия.			+
	Суммирование первых членов арифметической и геометрической прогрессий.			+
	Сходящаяся геометрическая прогрессия.			+
	Сумма сходящейся геометрической прогрессии.			+
	Гармонический ряд.			+
	Расходимость гармонического ряда.			+
	Метод математической индукции, его применение для вывода формул, доказательства равенств и неравенств, решения задач на делимость.			+
Решение текстовых задач	Задачи на все арифметические действия
	Решение текстовых задач арифметическим способом.	+	+	+
	Использование таблиц, схем, чертежей, других средств представления данных при решении задачи.	+	+	+
	Решение задач на движение, работу, покупки
	Анализ возможных ситуаций взаимного расположения объектов при их движении, соотношения объемов выполняемых работ при совместной работе.	+	+	+
	Решение задач на нахождение части числа и числа по его части
	Решение задач на проценты, доли, применение пропорций при решении задач.	+	+	+
	Логические задачи
	Решение логических задач. Решение логических задач с помощью графов, таблиц.	+	+	+
	Основные методы решения задач
	Арифметический, алгебраический, перебор вариантов.	+	+	+
	Первичные представления о других методах решения задач (геометрические и графические методы).	+	+	+
Статистика и теория вероятностей	Статистика
	Табличное и графическое представление данных, столбчатые и круговые диаграммы, извлечение нужной информации.	+	+	+
	Диаграммы рассеивания.	+
	Описательные статистические показатели: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения числового набора.	+	+	+
	Отклонение.			+
	Случайные выбросы.			+
	Меры рассеивания: размах, дисперсия и стандартное отклонение.			+
	Свойства среднего арифметического и дисперсии.			+
	Случайная изменчивость.			+
	Изменчивость при измерениях.			+
	Решающие правила.			+
	Закономерности в изменчивых величинах.			+
	Случайные опыты и случайные события
	Случайные опыты (эксперименты), элементарные случайные события (исходы).	+
	Вероятности элементарных событий.	+
	События в случайных экспериментах и благоприятствующие элементарные события.	+
	Вероятности случайных событий.	+
	Опыты с равновозможными элементарными событиями.	+
	Классические вероятностные опыты с использованием монет, кубиков.	+
	Представление событий с помощью диаграмм Эйлера.		+
	Противоположные события, объединение и пересечение событий.		+
	Правило сложения вероятностей.		+
	Случайный выбор.		+
	Независимые события.		+
	Последовательные независимые испытания.		+
	Представление эксперимента в виде дерева, умножение вероятностей.		+
	Испытания до первого успеха.			+
	Условная вероятность.			+
	Формула полной вероятности.			+
	Элементы комбинаторики и испытания Бернулли
	Правило умножения, перестановки, факториал.			+
	Сочетания и число сочетаний.			+
	Треугольник Паскаля и бином Ньютона.			+
	Опыты с большим числом равновозможных элементарных событий.			+
	Вычисление вероятностей в опытах с применением элементов комбинаторики.			+
	Испытания Бернулли.			+
	Успех и неудача.			+
	Вероятности событий в серии испытаний Бернулли.			+
	Геометрическая вероятность
	Случайный выбор точки из фигуры на плоскости, отрезка и дуги окружности.			+
	Случайный выбор числа из числового отрезка.			+
	Случайные величины
	Дискретная случайная величина и распределение вероятностей.			+
	Равномерное дискретное распределение.			+
	Геометрическое распределение вероятностей.			+
	Распределение Бернулли.			+
	Биномиальное распределение.			+
	Независимые случайные величины.			+
	Сложение, умножение случайных величин.			+
	Математическое ожидание и его свойства.			+
	Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины; свойства дисперсии.			+
	Дисперсия числа успехов в серии испытаний Бернулли.			+
	Понятие о законе больших чисел.			+
	Измерение вероятностей и точность измерения.			+
	Применение закона больших чисел в социологии, страховании, в здравоохранении, обеспечении безопасности населения в чрезвычайных ситуациях.			+
ГЕОМЕТРИЯ
Геометрические фигуры	Фигуры в геометрии и в окружающем мире
	Геометрическая фигура.	+
	Внутренняя, внешняя области фигуры, граница.		+
	Линии и области на плоскости.		+
	Выпуклая и невыпуклая фигуры.		+
	Плоская и неплоская фигуры.		+	+
	Выделение свойств объектов.	+
	Формирование представлений о метапредметном понятии «фигура».	+
	Точка, отрезок, прямая, луч, ломаная, плоскость, угол, биссектриса угла и ее свойства, виды углов, многоугольники, окружность и круг.	+
	Осевая симметрия геометрических фигур. Центральная симметрия геометрических фигур.		+
	Многоугольники
	Многоугольник, его элементы и его свойства.		+
	Правильные многоугольники.			+
	Выпуклые и невыпуклые многоугольники.		+
	Сумма углов выпуклого многоугольника.		+
	Треугольник.	+
	Сумма углов треугольника.	+
	Равнобедренный треугольник, свойства и признаки.	+
	Равносторонний треугольник.	+
	Медианы, биссектрисы, высоты треугольников.	+
	Замечательные точки в треугольнике.		+
	Неравенство треугольника.	+
	Четырехугольники. Параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, трапеция. Свойства и признаки параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата. Теорема Вариньона.		+
	Окружность, круг
	Их элементы и свойства.	+	+
	Хорды и секущие, их свойства.		+
	Касательные и их свойства.		+
	Центральные и вписанные углы.		+
	Вписанные и описанные окружности для треугольников.		+
	Вписанные и описанные окружности для четырехугольников.			+
	Вневписанные окружности.		+
	Радикальная ось.		+
	Фигуры в пространстве (объемные тела)
	Многогранник и его элементы.			+
	Названия многогранников с разным положением и количеством граней.			+
	Первичные представления о пирамидах, параллелепипедах, призмах, сфере, шаре, цилиндре, конусе, их элементах и простейших свойствах.			+
Отношения	Равенство фигур
	Свойства и признаки равенства треугольников.	+
	Дополнительные признаки равенства треугольников.	+
	Признаки равенства параллелограммов.		+
	Параллельность прямых
	Признаки и свойства параллельных прямых.	+
	Аксиома параллельности Евклида.	+
	Первичные представления о неевклидовых геометриях.	+
	Теорема Фалеса.	+
	Перпендикулярные прямые
	Прямой угол.	+
	Перпендикуляр к прямой.	+
	Серединный перпендикуляр к отрезку.		+
	Свойства и признаки перпендикулярности прямых.		+
	Наклонные, проекции, их свойства.	+
	Подобие
	Пропорциональные отрезки, подобие фигур.		+
	Подобные треугольники.		+
	Признаки подобия треугольников.		+
	Отношение площадей подобных фигур.		+
	Взаимное расположение прямой и окружности
	Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей.		+
Измерения и вычисления	Величины
	Понятие величины. Длина. Измерение длины. Единцы измерения длины.	+
	Величина угла. Градусная мера угла.	+
	Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.	+
	Понятие о площади плоской фигуры и ее свойствах. Измерение площадей. Единицы измерения площади.		+
	Представление об объеме пространственной фигуры и его свойствах. Измерение объема. Единицы измерения объемов.			+
	Измерения и вычисления
	Инструменты для измерений и построений; измерение и вычисление углов, длин (расстояний), площадей, вычисление элементов треугольников с использованием тригонометрических соотношений.	+	+
	Площади.		+
	Формулы площади треугольника, параллелограмма и его частных видов, трапеции, формула Герона, формула площади выпуклого четырехугольника, формулы длины окружности и площади круга.		+
	Площадь кругового сектора, кругового сегмента.			+
	Площадь правильного многоугольника.			+
	Теорема Пифагора.		+
	Пифагоровы тройки.		+
	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике.		+
	Тригонометрические функции тупого угла.		+
	Теорема косинусов.			+
	Теорема синусов.			+
	Решение треугольников.			+
	Вычисление углов.			+
	Вычисление высоты, медианы и биссектрисы треугольника.		+	+
	Ортотреугольник.		+
	Теорема Птолемея.			+
	Теорема Менелая.			+
	Теорема Чевы.			+
	Расстояния
	Расстояние между точками.	+
	Расстояние от точки до прямой.	+
	Расстояние между фигурами.			+
	Равновеликие и равносоставленные фигуры.		+
	Свойства (аксиомы) длины отрезка, величины угла, площади и объема фигуры.	+	+	+
	Геометрические построения
	Геометрические построения для иллюстрации свойств геометрических фигур.	+
	Инструменты для построений.	+
	Циркуль, линейка.	+
	Простейшие построения циркулем и линейкой: построение биссектрисы угла, перпендикуляра к прямой, угла, равного данному.	+
	Построение треугольников по трем сторонам, двум сторонам и углу между ними, стороне и двум прилежащим к ней углам, по другим элементам.	+
	Деление отрезка в данном отношении.	+
	Основные методы решения задач на построение (метод геометрических мест точек, метод параллельного переноса, метод симметрии, метод подобия).		+
	Этапы решения задач на построение.		+
Геометрические преобразования	Преобразования
	Представление о межпредметном понятии «преобразование».		+
	Преобразования в математике (в арифметике, алгебре, геометрические преобразования).		+
	Движения
	Осевая и центральная симметрии, поворот и параллельный перенос.		+	+
	Комбинации движений на плоскости и их свойства.			+
	Подобие как преобразование
	Гомотетия.			+
	Геометрические преобразования как средство доказательства утверждений и решения задач.			+
Векторы и координаты на плоскости	Векторы
	Понятие вектора, действия над векторами, коллинеарные векторы, векторный базис, разложение вектора по базисным векторам.			+
	Единственность разложения векторов по базису, скалярное произведение и его свойства, использование векторов в физике.			+
	Координаты
	Основные понятия, координаты вектора, расстояние между точками.			+
	Координаты середины отрезка.			+
	Уравнения фигур.			+
	Применение векторов и координат для решения геометрических задач.			+
	Аффинная система координат.			+
	Радиус-векторы точек.			+
	Центроид системы точек.			+
История математики	История математики
	Возникновение математики как науки, этапы ее развития. Основные разделы математики. Выдающиеся математики и их вклад в развитие науки.	+
	Бесконечность множества простых чисел. Числа и длины отрезков. Рациональные числа. Потребность в иррациональных числах. Школа Пифагора		+
	Зарождение алгебры в недрах арифметики. Ал-Хорезми. Рождение буквенной символики. П. Ферма, Ф. Виет, Р. Декарт. История вопроса о нахождении формул корней алгебраических уравнений степеней, больших четырех. Н. Тарталья, Дж. Кардано, Н.Х. Абель, Э.Галуа.	+	+	+
	Появление метода координат, позволяющего переводить геометрические объекты на язык алгебры. Появление графиков функций. Р. Декарт, П. Ферма. Примеры различных координат.	+
	Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи) о кроликах, числа Фибоначчи. Задача о шахматной доске.			+
	Сходимость геометрической прогрессии.			+
	Истоки теории вероятностей: страховое дело, азартные игры. П. Ферма, Б. Паскаль, Я. Бернулли, А.Н. Колмогоров.	+
	От земледелия к геометрии. Пифагор и его школа. Фалес, Архимед. Платон и Аристотель. Построение правильных многоугольников. Триссекция угла. Квадратура круга. Удвоение куба. История числа π. Золотое сечение. «Начала» Евклида. Л. Эйлер, Н.И. Лобачевский. История пятого постулата.	+
	Геометрия и искусство. Геометрические закономерности окружающего мира.			+
	Астрономия и геометрия. Что и как узнали Анаксагор, Эратосфен и Аристарх о размерах Луны, Земли и Солнца. Расстояния от Земли до Луны и Солнца. Измерение расстояния от Земли до Марса.			+
	Роль российских ученых в развитии математики: Л.Эйлер. Н.И. Лобачевский, П.Л. Чебышев, С. Ковалевская, А.Н. Колмогоров.	+	+	+
	Математика в развитии России: Петр I, школа математических и навигацких наук, развитие российского флота, А.Н. Крылов. Космическая программа и М.В. Келдыш.		+	+

Cодержание курсов математики 5–6 классов, алгебры и геометрии 7–9 классов объединено как в исторически сложившиеся линии (числовая, алгебраическая, геометрическая, функциональная и др.), так и в относительно новые (стохастическая линия, «реальная математика»). Отдельно представлены линия сюжетных задач, историческая линия.

 

Элементы теории множеств и математической логики

Согласно ФГОС основного общего образования в курс математики введен раздел «Логика», который не предполагает дополнительных часов на изучении и встраивается в различные темы курсов математики и информатики и предваряется ознакомлением с элементами теории множеств.

Множества и отношения между ними

Множество, характеристическое свойство множества, элемент множества, пустое, конечное, бесконечное множество. Подмножество. Отношение принадлежности, включения, равенства. Элементы множества, способы задания множеств, распознавание подмножеств и элементов подмножеств с использованием кругов Эйлера.

Операции над множествами

Пересечение и объединение множеств. Разность множеств, дополнение множества. Интерпретация операций над множествами с помощью кругов Эйлера.

Элементы логики

Определение. Утверждения. Аксиомы и теоремы. Доказательство. Доказательство от противного. Теорема, обратная данной. Пример и контрпример.

Высказывания

Истинность и ложность высказывания. Сложные и простые высказывания. Операции над высказываниями с использованием логических связок: и, или, не. Условные высказывания (импликации).