11. Спецкурс "Математика Зототого Сечения". Золотые "пифагоровы штаны"

11. Золотые пифагоровы штаны.

Золотой прямоугольный треугольник

№ 19. Найти прямоугольный треугольник с золотыми пифагоровыми штанами.

Решение.   По условию , где S₁ + S₂ = S (рис.38), то есть    (рис.39),  отсюда АС² = ВС·АВ.  Катет АС есть среднее пропорциональное между АВ и АМ, поэтому  АС² = АМ·АВ. Последнее означает, что ВС = АМ.

       

Ответ: золотые пифагоровы штаны у того прямоугольного треугольника, в котором меньший катет равен проекции на гипотенузу большего катета, или, используя задачу № 18, - тот, в котором высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу в золотом отношении.

Определение 8. Прямоугольный треугольник, в котором высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу в золотом отношении, называется золотым.

Этот треугольник также имеет свою особенность. Она заключается в том, что высота, проведенная на гипотенузу,  делит данный золотой прямоугольный треугольник на два подобных ему, а потому золотых, прямоугольных треугольника, в каждом из которых аналогичная высота также дает другие такие же золотые прямоугольные треугольники (рис.40). Этот процесс можно продолжить до бесконечности, и мы вновь, как и в случае с другими золотыми многоугольниками, получим бесконечную последовательность золотых прямоугольных треугольников (рис.41).

Заметим, что в золотом прямоугольном треугольнике получается не одна, а бесчисленное множество бесконечных последовательностей золотых прямоугольных треугольников, ведь высота золотого прямоугольного треугольника делит его сразу на 2 золотых, подобных данному. Вначале у нас 1 золотой прямоугольный треугольник, затем их уже 3 (1 + 2), затем 7 (1 + 2 + 4), после этого 15 (1 + 2 + 4 + 8) и так далее (рис. 42-43).