Статья "Геометрические задачи для учащихся 5-6" класса, подготовка к олимпиадам

И.М.КАЧАНОВСКАЯ,  ГУО «Средняя школа № 9 г. Пинска»

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 5-6 КЛАССОВ

Несмотря на то, что предмет «Геометрия»   не изучается в 5-6 классах, учащиеся прекрасно справляются с задачами такого типа, используя логику и сообразительность.  Необходимо как можно раньше начинать рассматривать геометрические задания. Предлагая учащимся решить такие задачи, учитель тем самым повышает не только интерес к математике, но и мотивацию к учению. Уровень сложности таких задач зависит от возраста: пятиклассники могут справиться с задачами по готовым рисункам на клетчатой бумаге; шестиклассникам уже известны координаты. Способный учащийся может сам верно оценить свои способности и определить, какие задачи ему по силам, а какие нет. Но в любом случае будет полезно ознакомиться с приведенными решениями. Вполне вероятно, что предложенный способ может отличаться от решения учащегося, но все равно будет полезно сравнить ход рассуждений.
Задача 1. Туристам-байдарочникам нужны восемь одинаковых   мягких ковриков для сидений длиной не менее 35 см и шириной не менее 20 см. В спортивном магазине продаются большие коврики длиной 110 см и шириной 56 см. Хватит ли большого коврика на восемь маленьких?

Решение: разрежем большой коврик на два куска размерами 110x20 и 110x36. Из первого куска можно вырезать 3маленьких коврика для сидений размером 35x20 (и даже 36x20), а из второго куска – 5,  размером 35x20 (и даже 36x22). Следует обратить внимание учащихся на тот факт, что подсчет и сравнение площадей: 110·56=6160 – площадь большого ковра, 8·(35·20)=5600 – суммарная площадь маленьких, 6160>5600 – обоснованием не является. Например, большой ковер мог быть шириной 10 см, а длиной – километр. Его площади хватило бы, однако ни одного маленького коврика из него вырезать нельзя.

Ответ. Да, хватит.

Задача 2. Разрежьте прямоугольник, длина которого 

9 см, а ширина 4 см, на две части так, чтобы можно было составить квадрат.

Ответ: разрезать, как показано на рисунке

Задача 3. Можно ли разрезать шахматную доску на прямоугольники из двух клеток, если из доски вырезали два противоположных уголка?

Решение: так как клеток 8·8-2=62; а 62 делится на 2, то есть необходимость продолжить решение. Каждый прямоугольник из двух клеток  на шахматной доске занимает одну черную клетку и одну белую. Значит, в том случае,  если ответ утвердительный, то число черных и белых клеток должно быть одинаковым, а это не так. Не имеет значения, какие два противоположных уголка вырезали – белые или черные- количество их будет не одинаково.

Ответ: нет, нельзя

Задача 4. Сосуд имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Как, не делая никаких измерений и не имея других емкостей, наполнить водой  ровно половину объема этого сосуда?

Решение:  наклонить параллелепипед так, чтобы уровень воды находился по диагональному сечению параллелепипеда.

Задача 5. Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.

Решение: каждый из меньших треугольников не может накрывать более одной вершины большого треугольника.

Задача 6. Можно ли квадрат со стороной 20 см разрезать на 10 попарно неравных квадратов, длины сторон которых выражаются целым числом сантиметров?

Решение: используем метод площадей: 20²=400 см² – площадь данного квадрата.  Наименьшая площадь, которую могут занимать десять попарно неравных квадратов, длины сторон которых выражаются целым числом см, равна 1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+8²+9²+10²=385 см²  - это меньше площади исходного квадрата. Но следующая по величине площадь, занимаемая квадратами, равна 1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+8²+9²+11²=406 см²  - это больше площади исходного квадрата. Значит, разрезать квадрат требуемым образом нельзя.

Ответ: нельзя.

Задача 7. Найдите площадь треугольника, вершины которого заданы координатами: А(3; 6),  В(-5; 3), С(3; -1).

Решение: на координатной оси отмечаем вершины треугольника АВС. Данный треугольник можно разделить на два прямоугольных треугольника. Площадь каждого такого треугольника можно найти как площадь половины прямоугольника.

Ответ: 28 кв. ед.

Задача 8.  Какое наименьшее количество клеток квадрата 5 x 5 нужно закрасить, чтобы в любом квадрате 3 x 3, являющемся его частью, было ровно 4 закрашенных клетки?

Ответ: 7 клеток.

Задача 9. Найдите величину угла между часовой и минутной стрелкой в 19 часов 10 минут 12 января 2016 года, если температура воздуха на улице -16 ⁰С.

Решение: угол между часовой и минутной стрелкой в 19 часов 05 минут составляет 180⁰, величина угла между двумя делениями на часах равна 360⁰:12=30⁰.  180⁰+30⁰=210⁰. Следует обратить внимание, что информация о дате и погодных условиях для решения задачи не нужна.

Ответ: 210⁰.

Задача 10. Иван Васильевич решил у себя в саду посадить 10 деревьев. А его жена требует разместить деревья в саду так, чтобы получилось 5 рядов и в каждом ряду по 4 дерева. Сможет ли Иван Васильевич справиться с заданием?

Ответ:  сможет, если догадается расположить деревья "звездой": в точках пересечения линий необходимо  садить дерево.