Статья на тему "Математические фокусы"

Математические фокусы

Оглавление

                                                                                                             Стр.

1.     Введение …………………………………………………………..   2  

2.     Основная часть

2.1.                     Первое упоминание о математических фокусах …    2

2.2.                     Фокусы с настенным календарем ………………….   2

2.3.                     Фокусы с числами …………...……………………...   5

2.4.                     День рождения ………………………………….…...   7

2.5.                     Фокусы знаменитостей ………………………….…..  8

2.6.                     Разные фокусы ………………………..……………...  10

3.     Заключение ……………………………………………...…………  11

4.     Адреса использованных сайтов ………………...………………...  12

Введение

Математика - единственный совершенный метод,

позволяющий провести самого себя за нос.
А. Эйнштейн

Иногда в разговоре со сверстниками можно услышать, что математика – это сухая, неинтересная наука. Это не так: математика тоже может быть интересной и увлекательной наукой. Для этого познакомимся с математическими фокусами.

Математические фокусы не пользуются особым вниманием ни у математиков, ни у фокусников. Математики считают их пустой забавой, а фокусники пренебрегают ими, так как считают их слишком скучными.  И все-таки математические фокусы имеют свою особую прелесть.

Удивительной для непосвященных кажется способность человека отгадывать задуманные другими числа. Но если вы узнаете секрет математических фокусов, то сможете не только их показывать, но и придумывать свои новые фокусы. Секрет фокуса становится понятен, если записать предложенные действия в виде алгебраического выражения. Выполнив действия, получаем секрет отгадывания чисел.

Основная часть

Первое упоминание о математических фокусах встречаются в книге русского математика Леонтия Филипповича Магницкого с длинным названием “Арифметика, сиречь наука числительная, с разных диалектов на славянский язык переведенная и во едино собрана и на две книги разделена…”, опубликованной в 1703 году и содержащей начала математических знаний того времени. Одна глава книги была названа автором “Об утешных некиих действах, через арифметику употребляемых”. Эта глава содержала математические игры и фокусы. Сам Магницкий пишет, что поместил эту главу в книгу для “утехи и особенно для изощрения ума учащихся”.

Предлагаю вам познакомиться с математическими фокусами.

Фокусы с настенным календарем

Фокус с нахождением суммы.

В этом фокусе очень быстро может отгадать сумму чисел, входящих в обведенный квадрат на календаре. Для этого обведем на настенном календаре в любом месяце квадрат, содержащий 16 чисел. Взглянув на него ровно секунду, отворачиваетесь и через мгновение, называете сумму всех чисел, находящихся в выделенном квадрате.

Этот фокус описан также в книге для учащихся Кордемского  Б.А. и Ахадова А.А. «Удивительный мир чисел: (математические головоломки и задачи для любознательных)» в главе «Таинственные квадраты в календаре» [10].

Секрет фокуса: умножить сумму двух чисел, стоящих на противоположных концах любой диагонали обведенного квадрата, на восемь.

          Например, в выделенном квадрате на концах одной из диагоналей стоят числа 7 и 31. Сложим 7 и 31 и умножим полученную сумму на 8: (7 + 31) * 8 = = 304. Значит, сложив числа 7, 8, 9, 10, 14, 15, 16, 17, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30 и 31, получим 304.

Докажем обоснование выбранных действий. Пусть х – наименьшее число в выбранном квадрате, тогда все выбранные числа можно записать так:

х	х+1	х+2	х+3
х+7	х+8	х+9	х+10
х+14	х+15	х+16	х+17
х+21	х+22	х+23	х+24

Найдем сумму этих чисел: х + х + 1 + х + 2 + х + 3 + х + 7 + х + 8 + х + 9 + х + 10 + х + 14 + + х + 15 + х + 16 + х + 17 + х + 21 + х + 22 + х + 23 + х + 24 = 16х + 192 = 8 (2х + 24). 2х + 24 - сумма чисел, расположенных на концах диагонали, ч.т.д.

Вычисления вслепую

Выберем на настенном календаре любой месяц и обведем на нем какой-нибудь квадрат, содержащий 9 чисел. Предложим назвать зрителю наименьшее из чисел, попавших в этот квадрат, после чего можно назвать сумму этих девяти чисел.

Секрет фокуса: прибавьте к названному числу 8 и результат умножьте на 9.

Например, в выделенном квадрате наименьшее число равно 10. (10 + 8) * 9 = 162. Проверим: 10 + 11 + 12 +17 + 18 + 19 + 24 + 25 + 26 = 162.

х	х+1	х+2
х+7	х+8	х+9
х+14	х+15	х+16

Обоснование секрета: пусть х – наименьшее число из этого квадрата, тогда числа в выделенном квадрате будут выглядеть так:

Найдем сумму этих чисел: х + (х +1) + (х+2) + (х+7) + + (х+8) + (х+9) + (х+14) + (х+15) + (х+16) = 9х + 72 = 9 (х + 8), ч.т.д.

Фокус-предсказание

Предупредив зрителей, что вы обладаете даром прорицания и умеете проводить в уме быстрое сложение нескольких чисел, попросите кого-то обвести на настенном календаре в любом месте любой квадрат из 16 чисел. Бегло посмотрев на обведенную фигуру, вы записываете на листке предсказание, кладете его в конверт и отдаете на хранение зрителю. Затем просите зрителя выбрать любое число в этом квадрате, обвести его кружком и вычеркнуть все числа, находящиеся в той же строчке и в том же столбике, что и обведенное число. В качестве второго числа зритель может обвести кружком любое число, оставшееся не зачеркнутым. После этого он должен вычеркнуть все числа, стоящие в одной строчке и в одном столбике со вторым обведенным числом. Так же выбирается третье  число, а соответствующие столбик и строчка вычеркиваются. В результате этих операций останется не зачеркнутым одно единственное число.    Его тоже нужно обвести кружком и подсчитать сумму четырех чисел, выбранных абсолютно случайным образом. Например, один из календарных месяцев выглядит так:

Понедельник		7	14	21	28
Вторник	1	8	15	22	29
Среда	2	9	16	23	30
Четверг	3	10	17	24	31
Пятница	4	11	18	25
Суббота	5	12	19	26
Воскресение	6	13	20	27

После выполненных преобразований вид календаря будет следующим:

Понедельник		7	14	21	28
Вторник	1	8	15	22	29
Среда	2	9	16	23	30
Четверг	3	10	17	24	31
Пятница	4	11	18	25
Суббота	5	12	19	26
Воскресение	6	13	20	27

Затем предлагаете достать из конверта листок и убедиться, что на нем заранее была написана именно эта сумма. Чтобы это сделать, нужно было сложить два числа, находящихся на двух диагонально противоположных углах квадрата (неважно,  какая пара из двух возможных берется) и удвоить найденную сумму.

Сумма чисел, выбранных по одному из каждой строки и каждого столбца квадрата, равна сумме чисел на диагонали. Эта последняя есть сумма четырех слагаемых, разность которых равна одному и тому же числу. Например, рисунок приведенный выше. После вычеркивания и обведения трех чисел осталось число 12. Найдем сумму: 3 + 16 + 25 + 12 = 56. Этот же результат будет получен, если (5 + 23) * 2 = 56.

Фокусы с числами

Вначале попробуем проделать самые простые фокусы на обыкновенное угадывание.

Фокус 1.

1.     Выпишите на листке бумаги последовательно числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

2.     Сложите в уме любые три числа, следующие одно за другим.

3.     Назовите результат, а я скажу вам, какие числа вы задумали.

Пример:  задумали числа 5, 6 и 7; их сумма равна 18.

Секрет фокуса: названную сумму разделите на 3. В нашем случае получится 6. Это искомое среднее число. Число, стоящее перед ним — 5, а после неё – 7.

Обоснование секрета: пусть х - первое число, тогда (х + 1) – второе число, (х + 2) – третье число (т.к. числа – последовательные, то каждое последующее число больше от предыдущего на 1).

х + (х + 1) + (х + 2) = 3х + 3 = 3 (х + 1). Разделив полученную сумму на 3, получим (х + 1), т.е. второе число из трех задуманных.  

Фокус 2.

1.     Задумайте любое число от 6 до 60.

2.     Разделите это число на 3.

3.     Разделите это число на 4.

4.     Разделите это число на 5.

5.     Назовите по порядку остатки от деления, а я скажу вам, какое число вы задумали.

Пример: задумали число 54. Разделив 54 на 3, получим 17, остаток 3. Разделив 54 на 4, получим 13, остаток 2.  Разделив 54 на 5, получим 10, остаток 4.

Секрет фокуса: чтобы угадать число, надо первый остаток умножить на 40, второй — на 45 и третий — на 36. Если вы сложите все произведения, а сумму разделите на 60, то в остатке получится задуманное число. В нашем примере: (3 * 40 + 2 * 45 + 4 * 36) : 60 = 354 : 60 = 5 (ост. 54, т.е. это и есть задуманное число).

Фокус 3.

1.     Задумайте число.

2.     Умножьте его на 2

3.     Прибавьте 4

4.     Умножьте на 4

5.     Отнимите 16

6.     Разделите на задуманное число.

Получилось число 8.

Докажем, что получится именно 8. Пусть х – задуманное число. Выполним предложенные действия и упростим полученное выражение:

((х * 2 + 4) * 4 – 16) : х = (8х + 16 – 16 ) : х = (8х) : х = 8, ч.т.д.

Фокус 4.

1.     Запишите число из трех разных цифр

2.     Запишите число из этих же цифр, но в обратном порядке.

3.     Вычтите большее число из меньшего и вы увидите, что в середине числа стоит девятка.

№ п/п	Данное число	Число, записанное в обратном порядке	Разность чисел большего и меньшего
1	348	843	495
2	269	962	693
3	597	795	198
4	124	421	297

Фокус 5.

1.     Задумайте число.

2.     Отнимите 1.

3.     Остаток удвойте.

4.     Прибавьте первоначально задуманное число.

Скажите результат и я угадаю задуманное число.
         Секрет фокуса: прибавьте к результату 2, а сумму разделите на 3. Частное — задуманное число. 

Обоснование секрета: пусть х – задуманное число. Выполним предложенные действия: (х – 1) * 2 + х = 2х – 2 + х = 3х – 2, т. е., чтобы отгадать задуманное число, нужно выполнить обратные полученным действия.
Пример. Задумано 18; (18 – 1) * 2 + 18 = 52. Угадываем: (52 + 2) : 3 = 18.

            Фокус с запиской.

1.     Напишите на бумажке число 1089, вложите бумажку в конверт и запечатайте его.

2.     Предложите другу написать на этом конверте любое  трехзначное число, но такое, чтобы крайние цифры в нем были различны и отличались друг от друга более чем на единицу.

3.     Пусть затем друг поменяет местами крайние цифры и вычтет из большего трехзначного числа меньшее.

4.     В результате пусть он опять переставит крайние числа, и получившееся число прибавит к разности первых двух.

5.     Пусть друг вскроет конверт. Там он найдет бумажку с числом 1089, которое, к удивлению, и есть полученное им число.

Секрет фокуса: разность между любым трехзначным числом, полученным из него  перестановкой крайних цифр, всегда делится на 99. Докажем это: заметим, что каждое трехзначное число можно представить в виде 100a + 10b + с, тогда число с переставленными цифрами будет равно 100c + 10b + a. Вычтем второе число из первого и разделим полученную разность на 9, имеем: (100a + 10b + с –  (100c + 10b + a)) : 9 = (99а – 99с) : 9 = (99 (a-c)) : 9 = 11(a – с).

Так как крайние цифры отличаются  более чем на единицу, то эта разность обязательно будет трехзначным числом, обозначим ее 100m + 10n + h. Имеем: 100m + 10n + h = 99m + (10n + m + h). Так как разность делится на 99, то это равенство показывает, что обязательно: 10n + m + h = 99, откуда вытекает, что n = 9, m + h = 9. Число с переставленными крайними цифрами имеет вид 100m + 10n + h, и сумма равняется: 100m + 10n + h + 100h + 10n + k =100(m + h) + 20n + (h + k) = 100 * 9 + 20 * 9 + 9 = 1089, ч.т.д.

Фокусы на отгадывание даты рождения

Один из фокусов на отгадывание даты рождения описан в главе «С днем рождения!» книги Кордемского  Б.А. и Ахадова А.А. «Удивительный мир чисел: (математические головоломки и задачи для любознательных)» [10]. Я познакомлю вас с другими подобными фокусами.

Фокус 1.

1.     Умножьте число вашего дня рождения на 2.

2.     Прибавьте к полученному результату 5.

3.     Умножьте на 50 предыдущий результат.

4.     Прибавьте порядковый номер месяца.

5.     Скажите результат и я скажу вашу дату рождения.

Секрет фокуса: от полученного результата отнимите 250 и получите день рождения и месяц.

Например, ваш друг родился 8 апреля. Выполненные действия: (8 * 2 + 5) * 50 + 4 = 1054. Проверим: 1054 – 250 = 804, т.е. дата рождения – 8 апреля (первая и вторая цифра – день рождения, третья и четвертая – месяц рождения).

Фокус 2.

1.     Порядковый номер месяца вашего рождения умножьте на 100.

2.     К полученному произведению прибавьте число месяца.

3.     Полученную сумму умножьте на 2 и к новому произведению прибавьте 8.

4.     Новую сумму надо умножьте на 5 и к полученному произведению прибавьте 4.

5.     Умножьте опять полученную сумму на 10 и опять прибавьте 4.

6.     Прибавьте полное число ваших лет.

7.     Назовите окончательный результат и я скажу вам дату вашего рождения и ваш возраст. 

Секрет фокуса: допустим, это будут числа 101676 и 50964, отнимаем от написанных чисел всегда 444, и остаток разбиваем справа налево на группы по две цифры в каждой.  Последние две цифры показывают полное число лет; вторая группа — число месяца, а первая группа - порядковый номер месяца. Объявляйте первому человеку: "Вам 32 года, вы родились 12 октября". Второму человеку говорите: "Вам полных 20 лет, вы родились 5 мая".

101676                     50964

      444                            444

10.12.32                     5.05.20

Обоснование фокуса: пусть а - порядковый номер месяца, b - число месяца, с - число полных лет, тогда все производимые выше вычисления будут выражены следующим выражением: (((100а + b) * 2 + 8) * 5 + 4) * 10 + 4 + с = 10000а + 100b + 444 + с. Если отнять число 444, то получается: 10000а + 100в + с, т.е. последние две цифры показывают полное число лет; третья и четвертая — число месяца, а первые две цифры - порядковый номер месяца.

Фокусы знаменитостей

Математическая забава М. Ю. Лермонтова

 Мы все знакомы с творчеством великого русского поэта М.Ю. Лермонтова, но не каждому известно, что он был большим любителем и математики, особенно его привлекали математические фокусы, которых он знал великое множество, причем некоторые из них он придумывал сам. Вот отрывок из воспоминаний однополчанина поэта Е. И. Мейделя о забавном случае, связанном с пребыванием Михаила Юрьевича в крепости (в Анапе) «… Зимой офицеры анапского гарнизона, проходя службу в захолустном местечке, собирались по вечерам у кого-либо из друзей и развлекались от скуки как могли. Однажды, находясь в такой компании, Лермонтов предложил: "Задумайте какую угодно цифру, и я с помощью простых арифметических действий, которые вы будете проводить со мною, определю эту цифру". В итоге Лермонтов всегда безошибочно называл ее. Батальонный был изумлен: "Фу ты... Да вы уж не колдун ли?!" Поэт улыбнулся: "Колдун - не колдун, а математике учился", и раскрыл секрет фокуса…» [2]

Вот один из фокусов М.Ю. Лермонтова.

1.     Задумайте любое число.

2.     Прибавьте к нему 25.

3.     Прибавьте еще 125.

4.     Отнимите 36.

5.     Вычтите задуманное число.

6.     Остаток умножьте на 5.

7.     Полученное число разделите на 2.

Получится 285.

Обоснование фокуса: пусть а – задуманное число, тогда (а + 25 + 125 – 36 –  а) * 5 : 2 = 114 * 5 : 2 = 285. В процессе преобразований задуманное число а исключается, и собеседник выполняет остальные действия только над теми числами, которые дает сам автор. Вместо чисел 25, 125, 36, 5 и 2 можно брать, конечно, и другие числа, но тогда и ответ будет иной.

Математический фокус Дэвида Копперфильда

Копперфильд включил в свои программы серию математических фокусов, которые редко показывают из-за того, что они не очень зрелищны. Тем не менее Копперфильду удалось найти эффектную подачу одного такого фокуса, описанного в известной книге Мартина Гарднера «Математические чудеса и тайны» [9]. Фокусник не только приглашает поучаствовать в нем всех зрителей в зале, но делает активным участником представления каждого телевизионного зрителя! [11]

Происходит это следующим образом. Фокусник размещает на экране пятнадцать предметов, например кружков, и выкладывает их в виде шестерки: в колечке — 12, а в хвостике — 3. У Копперфильда кружки заменены одной звездочкой и двумя стрелками (в хвостике) и картинками (в колечке), изображающими среди прочего самые известные в мире достопримечательности: Эйфелеву башню, египетские пирамиды, статую Свободы и т.д. Зрителям предлагается задумать любое число больше трех (предположим, семь) и отсчитать его сверху вниз начиная с первой звездочки, по хвостику, и далее по колечку против часовой стрелки (рис. а).

Потом фокусник просит зрителей снова посчитать предметы до задуманного числа, начиная с того, на котором они остановились, на этот раз по часовой стрелке и только вокруг колечка (рис. б). Предмет, на который при счете попадает задуманное число, на рисунках затенен. В принципе фокус может быть закончен уже на этой стадии, но Копперфильд идет дальше.

Он уверенно снимает с экрана ряд предметов, заявляя, что они лишние и зритель остановиться на них не мог (рис. в). Потом снова предлагает отсчитать в любом направлении еще четыре предмета, начиная с соседнего от того, на котором остановился каждый зритель на предыдущем этапе (рис. г). Удивительно, что в результате этих манипуляций все указывает на один и тот же предмет.

Фокусы подобного типа называется фокусами с предопределенным выбором. Они основаны на том, что, независимо от варианта схемы (количества звездочек на хвостике или предметов на колечке), действий фокусника и зрителей, результат предсказуем и будет одним и тем же для всех участников, несмотря на то, что каждый из них задумал свое число. При всей кажущейся сложности объяснение этих фокусов достаточно простое.

Итак, независимо от того, какое число первоначально задумал зритель, счет заканчивается всегда на одном и том же предмете. Чтобы его найти, нужно хвостик шестерки, в данном случае три звездочки, наложить на колечко по часовой стрелке начиная с предмета, следующего (тоже по часовой стрелке) за тем, к которому присоединяется хвостик. Кончик хвостика ляжет на задуманный предмет на колечке (рис. д). Все остальные манипуляции фокусника — только отвлекающий маневр для того, чтобы замаскировать этот факт. В зависимости от своей фантазии, фокусник может на каком-то этапе даже снять с экрана предмет, на котором остановится зритель при первоначальном счете. Ответ все равно будет для всех одинаковый.

Теперь легко догадаться, для чего фокусник ставит ограничение на задуманное число (в нашем случае больше трех). Только выполнение этого условия позволит зрителям при счете предметов попасть на кольцо — основную фигуру при манипуляции.

          Подобный фокус описан в книге Кордемского  Б.А. и Ахадова А.А. «Удивительный мир чисел: (математические головоломки и задачи для любознательных)» в главе «Таинственные цифры» [10].

Разные фокусы.

Фокус 1(разрезание бумаги).

Оказывается, можно пройти сквозь обыкновенный лист бумаги, имея только этот лист и ножницы.

Секрет фокуса: сложите лист пополам и сделайте надрезы так, как показано на рисунке, после чего лист превратится в большое кольцо, сквозь которое легко можно пройти.

Фокус 2 (со спичками).

Положите на стол четыре спички, одну за другой. Предложите сделать из 4 спичек 3, не убирая ни одной.

Секрет фокуса: сложите из четырех спичек цифру "3".

Фокус 3 (день недели на ладони).

Покажите пяти-семи зрителям семь табличек, на которых написаны и пронумерованы дни недели, и предложите каждому выбрать любой один день. Затем отвернитесь от зрителей, а те, выбрав по таблице, положат их на стол надписями вниз. Далее по вашей команде каждый увеличивает порядковый номер выбранного дня в два раза, к этому произведению прибавляет 5, затем полученную сумму умножает на 5, а то, что получается, умножает на 10. По объявленному каждым зрителем результату называйте выбранный день.

Секрет фокуса: из объявленного результата вычитается 2. Остаток указывает номер выбранного дня недели.

Обоснование фокуса: пусть х - номер дня, тогда ((2 * х + 5) * 5) * 10 = (10х + 25) * 10 = 100х + 250; 100х + 250 – 250 = 100х. Значит, количество сотен всегда соответствует номеру дня, ч.т.д.

Фокус 4. (феноменальная память)

Напишите на листке очень длинный числовой ряд (22—26 чисел) и скажите, что сможете по памяти перечислить все числа в ряду в том же порядке. Выполнив, можно повторить фокус, чтобы доказать, что числовой ряд абсолютно произвольный (в нем действительно не должно быть никакой закономерности).

Секрет фокуса: все числа в ряду - всего-навсего хорошо знакомые номера телефонов (можно брать последние 4-7 чисел от каждого номера).

Заключение.

Математические фокусы - своеобразная форма демонстраций математических закономерностей. В них изящество математики соединяется с занимательностью. Понять суть математических фокусов помогают эксперименты, основанные на свойствах фигур и чисел. Именно эксперименты помогают понять пусть небольшую, но математическую закономерность.

Математические фокусы — самые простые в исполнении, они не требуют реквизита, длительной тренировки и особого места для их демонстрации. Они очень хорошо подходят для детей и для взрослых.

Такими фокусами с числами можно удивлять друзей за столом, в долгой поездке или летним днем, отдыхая на природе. Смысл этих фокусов состоит в отгадывании чисел, задуманных зрителями, или в каких-нибудь операциях над ними. И хотя вместо цифр, геометрических фигур в некоторых фокусах используются различные предметы, все они связаны с числами.

Содержание математических фокусов разнообразно.

Список использованных источников

1.     http://sokolova-aa.ru/teacher/open-lessons/vneklassnoe-meropriyatie-matematicheskie-fokusy

2.     http://nsportal.ru/sites/default/files/2012/10/3_kosheleva_ea.ppt-rabota_koshelevoy_e.a._v_nominacii_matematika_i_iskusstvo.pptx

3.     http://festival.1september.ru/articles/568450/

4.     http://goodmagic.ru/category/fokus-matematicheskie

5.     http://festival.1september.ru/articles/313993/

6.     http://fokusy.kak-nauchitsya.ru/matematicheskie-fokusy-sekrety.html

7.     http://besttest2012.ru/fokus/Matematik/matematik.htm

8.     http://nsportal.ru/shkola/raznoe/library/matematicheskie-fokusy

9.     Гарднер  М. Математические чудеса и тайны. (Математические фокусы и головоломки). – М.: Наука, 1978

10. Кордемский  Б. А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: (матем. головоломки и задачи для любознательных): Кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1986

11. Пономарев В.Т. Лучшая книга знаменитых фокусов. - АСТ, Сталкер, 2007 (http://stepanov.lk.net/magic/ponomar/copper.html)

Краткое описание документа:

Иногда в разговоре со сверстниками можно услышать, что математика – это сухая, неинтересная наука. Это не так: математика тоже может быть интересной и увлекательной наукой. Для этого познакомимся со статьей, посвященной математическим фокусам.Математические фокусы не пользуются особым вниманием ни у математиков, ни у фокусников. Математики считают их пустой забавой, а фокусники пренебрегают ими, так как считают их слишком скучными. И все-таки математические фокусы имеют свою особую прелесть. Удивительной для непосвященных кажется способность человека отгадывать задуманные другими числа. Но если вы узнаете секрет математических фокусов, то сможете не только их показывать, но и придумывать свои новые фокусы. Секрет фокуса становится понятен, если записать предложенные действия в виде алгебраического выражения. Выполнив действия, получаем секрет отгадывания чисел.