Статья по геометрии на тему "Формирование интереса к изучению конических сечений"

                                                                                 В. А. Щерба

                                                                              ЧГПК, г. Черемхово

Формирование интереса к изучению конических сечений

 Целью курса «Конические сечения» является расширение и углубление знаний по геометрии, формирование познавательного интереса.  В традиционной школьной программе мало отведено места кривым линиям – в нее фактически включена только окружность. Их общее название конические сечения, или иначе кривые второго порядка. Первый термин связан с возможностью построения их в результате пересечения плоскости и простейшей конической поверхности (в чем легко убедиться на моделях). Второй термин основан на том, что все эти линии – графики алгебраических уравнений второй степени:   - эллипс,         -  гипербола,        - парабола.

Программа  курса  включает  изучение  исторических  сведений;  задач, приводящих к линиям второго порядка; практические занятия по вычерчиванию этих  кривых; изучение кривых в разных системах координат (прямоугольной декартовой и полярной); исследование их общих свойств. Программа курса составлена так, чтобы  учащиеся могли не только открывать факты, способы их обоснования, устанавливать взаимосвязи между ними, но и переводить открытые ими закономерности с естественного  языка на  язык символов, буквенных выражений.    Такой подход направлен на создание внутренней мотивации, чтобы ученик получил удовольствие от самой деятельности, понимал  значимость для  него ее непосредственного результата. Все это  способствует также более глубокому  пониманию, т. к.   известно, что никакое знание не может быть усвоено или использовано без действий, а действия (деятельность) без знаний.

Привлечение исторических сведений  показывает значимость теории  кривых второго порядка  в науке. Менехм (IV в. до н.э.) рассматривал кривые второго порядка как плоские сечения прямоугольного, тупоугольного и остроугольного конусов вращения плоскостью, перпендикулярной к образующей конуса. Он же  вывел основные планиметрические свойства сечений, которые древние называли симптомами.      

Аполлоний в трактате «Конические сечения» исследовал произвольные сечения произвольного, не обязательно прямого, конуса с круговым основанием, причем рассматривал обе половины конуса, что позволило  увидеть обе ветви гиперболы.

На  практическом занятии  учащиеся вычерчивают кривые второго порядка разными способами. Механическое построение, которое  они выполняют с помощью простейшего оборудования, основано на определении этих кривых как геометрического места точек.  Для сравнения  эти же кривые строят  приемами геометрического черчения с помощью геометрических инструментов.

                      

Механическое и геометрическое построение эллипса

                        

Механическое и  геометрическое  построение гиперболы

                               

Механическое  и геометрическое построение параболы

Полученные начальные сведения о кривых, новизна материала, наглядность способствуют формированию интереса к изучению этих кривых

Эллипс, гипербола и парабола часто встречаются в технике. Так,  эллипс встречается при вычерчивании наклонно расположенных окружностей, в очертании фланцев, сводов, спиц маховиков и т.д.

      Парабола встречается в прожекторном деле, в отливках деталей машин: корпусов, стоек и т. п. для придания им плавных переходов.       

Гипербола встречается в головках шатунов, в болтах и гайках, в рукоятках инструментов и т. д.

      К числу наиболее замечательных свойств эллипса, гиперболы и параболы относятся так называемые оптические свойства кривых. Эти свойства, между прочим, показывают, что название «фокусы» имеет источник в физике. На занятиях свойства можно сформулировать чисто геометрически. Например, прямая, касающаяся параболы в некоторой точке M, составляет равные углы с фокальным радиусом FM и с лучом, который, исходя из точки  M, идет параллельно оси параболы в ту сторону, куда парабола бесконечно простирается. Изучение этого  свойств позволит учащимся сделать вывод: почему при устройстве  прожектора  используют  параболическое зеркало.

     Учащиеся самостоятельно получают простейшие  уравнения эллипса, гиперболы и параболы в прямоугольной декартовой системе координат. Исследуя эти уравнения, выявляют свойство, общее для кривых, - они являются также геометрическим местом точек, для каждой из которых отношение расстояния до данной точки F (фокуса)  к расстоянию ее до данной прямой (директрисы) равно эксцентриситету. Это общее  свойство кривых второго порядка удобнее рассматривать с помощью полярной системы координат.

Введение полярной системы координат расширяет представление учащихся о возможностях координатного метода.  Получив уравнение кривой  в полярной системе координат, можно по его  внешнему виду установить, какая кривая в данный момент рассматривается. Пусть М₀ – точка дуги ВС конического сечения, лежащая на перпендикуляре к полярной оси, проходящей через полюс F.

Обозначим длину FM₀ через  р и будем называть ее фокальным параметром конического сечения. .Уравнение в полярной системе координат имеет вид: , где   - эксцентриситет кривой.  Уравнение будет определять эллипс, если , параболу, если  , гиперболу, когда .   Этим уравнением пользуются в механике и астрономии при изучении движения планет. Так, Кеплер (1571- 1630) установил, что планета Марс движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

       Итак, при изучении конических сечений  основной акцент сделан  на наглядность.   Построенный таким образом курс по выбору, а также разнообразие методов обучения, создание проблемных ситуаций,  использование межпредметных связей, организация самостоятельного исследования  позволяют учащимся получить достаточно полное представление  об одном из замечательных  фактов геометрии и способствуют  развитию интереса к ее изучению.

    Литература

1.Бахвалов С.В. и др. Аналитическая геометрия.– М.: Просвещение, 1970.

 2.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1969. 3.Марков С.Н. Курс истории математики. – Иркутск: изд-во ИГУ, 1995

4.Розов С.В. Курс черчения.- М.:  Машиностроение , 1965

5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. – М.:  Рольф, 2002.