Статья "Решение комбинаторных задач"

ФОРМИРОВАНИЕ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ УМЕНИЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ КОМБИНАТОРНОГО ХАРАКТЕРА

  В начальной школе задания комбинаторного характера представлены в виде элементов комбинаторики, теории графов, элементов теории вероятностей и наглядной и описательной статистики. Те или иные материалы по этой тематике давно уже присутствуют в учебниках математики. Так, в УМК «Школа России» автор учебника Математики М.И.Моро  встречаются задания комбинаторного характера:

1)    Сколько раз среди чисел от 1 до 100 встречается цифра 0? Цифра 1?

2)    Записали подряд все трёхзначные числа. Сколько всего цифр записано в этом ряду?

3)    Чтобы открыть сейф, нужно отгадать код. Известно, что код – трёхзначное число, записанное тремя из цифр 1, 2, 3, 4, и это число больше, чем 400. Сколько чисел нужно проверить, чтобы определить код?

4)    В соревнованиях участвуют 8 футбольных команд. По правилам после каждой игры проигравшая команда выбывает. На который по счёту день определиться чемпион?

5)    Саша выше Коли, но ниже Пети, а  Петя ниже Толи. Кто выше всех?

     Основная функция комбинаторных задач в начальных классах     - создать условия для формирования у учащихся приёмов умственной деятельности (анализ и синтез, абстрагирование), для развития произвольного внимания и образного мышления и для усвоения тех вопросов, которые входят в содержание программы.

      На  уроках  я знакомлю  учащихся с наиболее часто встречающимися методами перебора, показываю, что перебор должен быть логически упорядочен по какому – либо признаку (условию) ,  пусть даже по самому простому: по возрастанию, по алфавиту, слева направо или справа налево, сверху вниз или снизу вверх и т.д.

Рассмотрим  типы  задач каждого  раздела и  их решение.

         Вероятность. Формирование таких понятий, как «наверняка», «ни в коем случае», «возможно да, возможно нет». Качественная оценка шансов наступления того или иного события. В начальной школе в игровой ситуации целесообразно начинать учить детей различать такие понятия, как «возможно да» или « обязательно да» (наверняка), «не обязательно да» или «обязательно нет».

Шарики в мешочке

 Можно научить детей качественно оценивать шансы наступления случайного события. Фактически в примерах, используемых для формирования этих понятий, речь идёт о применении классической вероятности. Но прийти к сознательному применению формулы классической вероятности младшие школьники смогут после продолжительного экспериментирования с пуговицами, шарами, бусинками и т.п. Спустя некоторое время учащиеся начальной школы смогут решать подобные задачи, не прибегая к эксперименту.

Комбинаторика.

В начальной школе комбинаторные задачи решаются перебором возможных вариантов, осуществляемых путём предметной деятельности с конкретными вещами. Первые комбинаторные задачи должны давать возможность выполнять практические действия, которые потом будут перенесены в план умственных действий. С этой целью я предлагала первоклассникам  задания в виде игр.       Игра «День и ночь».

     Учитель вызывает трёх учеников Наташу, Серёжу, Борю. Они садятся у доски на стулья. По команде «День!» ребята встают и могут передвигаться. По команде « Ночь!» они садятся на стулья, но так, чтобы каждый раз порядок расположения был другой. Все остальные дети записывают в тетради расположение  вызванных учеников по первым буквам имён и следят за тем, чтобы играющие выполняли поставленное условие. Игра продолжается до тех пор, пока не обнаружатся все возможные варианты. Их шесть:

1.     Н.С.Б.

2.     С.Н.Б.

3.     Б.Н.С.

4.     Н.Б.С.

5.     С.Б.Н.

6.     Б.С.Н.

В процессе игры возникают ситуации, когда играющие повторяют расположение или не могут найти новое. Тогда им помогают ребята класса. Возникают вопросы: « Можно ли играть без ошибок? Как нужно действовать для этого?»

     В процессе осуществления игровой деятельности ученики осознают необходимость введения правила, которого надо придерживаться в игре. Анализируя полученные расположения, они замечают, что нужно каждому садиться на первое место дважды, а двум остальным при этом меняться местами.

        Младшие школьники решают комбинаторные задачи методом, используя приём перебора (хаотичного или системного). Предлагаю учащимся такую задачу:

1.     Задача на упорядочение предметов (по кругу), среди которых есть

одинаковые: «Нарисуй, какие различные колечки можно сделать из 5 одинаковых маленьких бусинок и 2 одинаковых больших бусинок».

 Ответ:

2.Задача на выбор по одному, по два из трёх элементов с повторениями:

« Сделай карточки для игры в геометрическое домино, используя 3 фигуры: круг, квадрат и треугольник».

Ответ:

         В процессе решения таких задач учащиеся приобретают опыт хаотичного перебора возможных вариантов. И на основе этого опыта в дальнейшем можно будет обучать детей организации систематического перебора.

     На следующем этапе формирования умения решать комбинаторные задачи происходит переход от предметных действий к использованию схематизации. Накопленный на предыдущем этапе практический опыт дети обобщают, переходя к  более рациональным средствам организации перебора: таблицам и графам. Это позволяет учащимся более чётко строить ход своих рассуждений, учитывать все возможные ситуации перебора.   Таблицы и графы позволяют расчленить ход рассуждений, чётко провести перебор, не упустив каких – либо имеющихся возможностей.          

        Учащимся была предложена такая задача: «Встретились пятеро друзей. Здороваясь, они пожали друг другу руки. Сколько всего рукопожатий было сделано?» Сначала выясняется, как можно обозначить каждого человека. Рассматривая разные предложения, дети приходят к выводу, что удобнее изображать людей точками. Учитель советует расположить точки по кругу. Дети придумывают, как показать, что два человека пожали друг другу руки.

       От двух точек навстречу друг другу проводятся чёрточки – «руки», которые, встречаясь, образуют одну линию. Так происходит переход к символическому изображению рукопожатия. Сначала составляются все рукопожатия одного человека (точка соединяется со всеми остальными) Потом переходят к другому человеку. И так действуют до тех пор, пока все не «поздороваются» друг с другом. По получившемуся графу подсчитывается число рукопожатий (их всего 10).

 Рассмотрим  задачу,  варианты  решений которой можно оформить в таблицу. 

 « Катя хочет надеть на куклу блузку и юбку. Сколько костюмов она

может составить?»

Детям было предложено решение задачи проиллюстрировать с помощью таблицы:

     После составления таблицы учащиеся смогли сосчитать получившиеся варианты решения: их 6.

                 Методика обучения решению комбинаторных задач строится с учётом психологических особенностей детей младшего школьного возраста и направлена на развитие мышления. Способы действия не даются «в готовом виде», а дети сами приходят к их «открытию», накапливая опыт. Рассмотрение разнообразных комбинаторных задач и различных возможностей их решения (разный ход рассуждений, средства организации перебора, способы обозначения объектов) обеспечивает ученику выбор путей и средств решения в соответствии с его индивидуальными способностями