Тема: "Введение. Векторы на плоскости и в пространстве. Действия над векторами. Разложение вектора на составляющие. Полярная и декартовая система координат. Действие над векторами, заданными своими координатами."

Тема: Введение. Векторы на плоскости и в пространстве. Действия над векторами. Разложение вектора на составляющие. Полярная и декартовая система координат. Действие над векторами, заданными своими координатами.

Цель урока: Рассмотреть основные понятия векторной алгебры, правила действий над векторами, заданными своими координатами. Ввести понятие полярной системы координат.

План урока:

1.      Введение.

2.      Объяснение нового материала.

3.      Закрепление нового материала.

4.      Домашнее задание.

Ход урока:

1.      Провести краткий обзор по данной дисциплине.

2.      Начнём рассмотрение нового материала.

1.      Понятие вектора.

       Определение:  Отрезок называется направленным, если один из его концов считается началом отрезка, а другой—его концом.

Определение:  Вектором называется направленный отрезок.

Вектор, заданный парой (А, В) несовпадающих точек, обозначается символом . Точка А называется началом, а точка В—концом вектора.

Определение:  Расстояние  называется длиной {модулем) вектора .

Для обозначения векторов употребляются также строчные латинские буквы со стрелкой наверху: а, b, ..., х, у.

Определение:  Вектор А А, концы которого совпадают, называется нулевым вектором.

 Длина нулевого вектора равна нулю. Понятие направления для нулевого вектора не вводится.

Каждый вектор, отличный от нулевого, вполне характеризуется своим направлением и длиной.

Определение:  Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Определение:  Если два ненулевых вектора а и b коллинеарные, то они могут быть направлены либо одинаково, либо противоположно. В первом случае векторы а и b называются сонаправленными (аb), во втором—противо­положно направленными (аb).

Определение:  Два вектора называются равными, если они:

а) сонаправлены

б) равны по модулю.

Т. е. если а= b то аb и  = и, обратно, если векторы сонаправлены и равны по  модулю, то они равны, т. е. если аb и  = , то а= b.

 Любой вектор равен самому себе: а=а. Если а= b и b =с, то а=с.

2.      Откладывание вектора от данной точки.

Из любой точки плоскости а но отложить единственный вектор, равный данному вектору. Построение вектора MN, равного вектору а, называют откладыванием вектора а от точки М.

Чтобы построить вектор MN = a, проведем из точки М луч, сонаправленный с вектором а, и отложим на нем отрезок MN такой, что MN =

Тогда MN = a.

Задачи для самостоятельного решения:

1.      Сколько векторов задают всевозможные упорядоченные пары точек, составленные из вершин: 1) треугольника; 2) параллело­грамма?

Ответ: 1) 7; 2) 9.

2.      Даны пары точек: 1) (-2; -3); (5; 4); 2) (6; -2), (13; 5); 3) (—8;—5), (—1; 1). Укажите, какие пары определяют равные векторы.

Ответ: пары 1) и 2).

3^*. Дан параллелограмм ABCD; О—точка пересечения его диагоналей. Какие пары, составленные из точек А, В, С, D и О определяют один и тот же вектор?

3.      Действия над векторами.

а). Сложение векторов. Для того чтобы построить сумму двух данные векторов а и b, нужно выбрать произвольную точку А и отложить от неё вектор АВ=а, а затем от точки В отложить вектор ВС = b. Тогда вектор АС является искомой суммой: а+b=АВ+ ВС=АС=а.

Вектор с=а+b называют замыкающим вектором, а векторы а и b—составляющими векторами. Этот способ построения называется правилом треугольника.

Правило треугольника можно сформулировать и так: если А, В  и С произвольные точки плоскости, то АВ +ВС=АС.

Это равенство называют правилом трех точек.

 Сумму двух данных векторов а и b можно построить и следующим образом:

 откладывая от произвольной точки О векторы ОА= а и ОВ=b, построим параллелограмм ОАСВ. Тогда вектор ОС (где [ОС}—диагональ параллелограмма) является искомой суммой: а+b=ОА+ОВ=ОА+АС=ОС=с. Этот способ построения называется правилом параллелограмма.

Для того чтобы построить сумму п данных векторов а_1, а₂, ..., а_n, нужно от произвольной точки О отложить вектор a₁, затем от конца вектора  а₁  отложить вектор а₂  ..., наконец, от конца вектора а _n-1 отложить вектор а_n . Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора а_1, а конец  - с концом вектора а_n, является искомой суммой: с= а_{1 +} а_{2 + … +} а_n.

б) Вычитание векторов.

Определение: Два вектора называются противоположными, если их сумма равна нулевому вектору.

 Вектор, противоположный вектору а обозначают -а. Таким образом, а +(-а)=0. Ненулевые противоположные векторы имеют равные длины и противоположные направления.

Определение: Вектор с называется разностью векторов а и b, если с+ b=а.

 Чтобы вычесть из вектора а вектор b, достаточно прибавить к вектору вектор, противоположный вектору b, т. е. a - b =a+ (- b).

 Другой способ построения разности векторов а и b состоит в следующем. Откладывая от произвольной точки О векторы ОА=а и ОС =-b (вектор, противоположный вектору b), получим ОВ==а— b.

в) Умножение вектора на число.

 Определение : Произведением ненулевого вектора а на число т называется вектор, имеющий направление вектора а, если т>0, и противоположное направление, если т<0. Длина этого вектора равна произведению длины вектора а на модуль числа т.

 Произведение вектора а на число т обозначается та. При любых т и а векторы та и а коллинеарные и =*.

г) Угол между двумя векторами.

Определение: Углом между двумя ненулевыми векторами а и b называется угол между направлениями этих векторов:

(а,=φ, где 0 ≤ φ ≤ 180°. 

   Частные случаи: 1) если аb то φ =0; 2) если аb, то φ =180°.

4.      Прямоугольная система координат.

Определение : Прямая, на которой выбрано положительное направление и задана единица измерения длины, называется осью.

Определение : Вектор е , имеющий длину =1 и направление, совпадающее с направлением оси, называется единичным вектором (ортом) этой оси.

Пусть на плоскости задана пара взаимно перпендикулярных векторов  i и j., отложенных от некоторого начала  - точки О. Такую пару векторов называют прямоугольным базисом на плоскости.

Определение : Совокупность начала О и прямоугольного базиса (i; j) называют прямоугольной системой координат на плоскости. Точку О называют началом координат, а вектора i и j – координатными векторами.

5.      Координаты вектора.

Определение : Вектор, направленный из начала координат в произвольную точку М плоскости хОу, называется радиусом-вектором точки М и обозначается r: ОМ = r .

Определение : Проекции вектора r на координатные оси называются координатами вектора.

Координаты вектора r  кратко записывают так: r =(х; у).

Координаты радиуса-вектора r =ОМ являются одновременно координа­тами точки М, т. е. конца радиуса-вектора r.

Если начало вектора а=АВ не совпадает с началом координат, то координаты вектора а и координаты его конца различны. В этом случае проекции вектора а=АВ на оси координат соответственно равны х=Хв-Ха и у=Ув-Уа, т.е.

а=АВ=(х; у)=(Хв-Ха; Ув-Уа)

6.    Разложение вектора по координатным осям.

Разложение вектора а в базисе (i; j)  имеет вид

а = x i +y j,

где i  — единичный вектор на оси Ох, а  j — единичный вектор на оси Оу. Числа х и у называются координатами вектора а в базисе (i , j).

Векторы xi и yj называются составляющими (или компонентами) вектора а по осям координат.

Если начало вектора а находится в точке А(Ха; Уа), а конец—в точке В (Хb; Ув), то разложение вектора а записывается в виде

а=АВ=(Хв –Ха) i+(Ув-Уа) j

7.      Правила действий над векторами, заданными своими координатами.

Если в базисе (i , j) заданы векторы а=(х₁ ; у₁) и b=(х₂ ; у₂), то:

координаты суммы двух (или более) векторов равны суммам соответст­вующих координат слагаемых, т.е. а + b =(х₁ + х₂; у₁ +  у₂)

координаты разности двух векторов равны разностям соответствующих координат этих векторов, т.е. а - b =(х₁ - х₂; у_{1 -}  у₂),

координаты произведения вектора на число равны произведениям соответствующих координат данного вектора на это число, т. е. ma = (mx₁ ; my₂).

8. Длина вектора. Расстояние между двумя точками на плоскости.

Длина радиус – вектора а = (х;у) находится по формуле

 (1)

Длина вектора а = АВ = (Хв-Ха; Ув-Уа) находится по формуле

 (2)

С помощью формулы (2) вычисляется также расстояние между двумя точками на плоскости.

9. Деление отрезка в данном отношении.

Если отрезок АВ разделён точкой С в отношении АС:СВ =λ, то координаты точки с находятся по формулам

Хс= 

                                    (3)

   Ус=

Если λ=1, то получаются формулы для нахождения координат середины отрезка

Хс= 

                                    (4)

   Ус=

10. Скалярное произведение двух векторов.

Определение : Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

 (5)

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности  двух ненулевых векторов a и b является равенство нулю их скалярного произведения.

Скалярное произведение векторов а=(х₁; у₁) и b=( х₂; у₂) находится по формуле:

 (6)

11. Полярные координаты.

Элементами полярной системы координат являются:

1)      точка О—по­люс;

2)      луч, выходящий из точки О,—полярная ось Ор;

3)       единица измерения длины /.

Положение точки М на плоскости  задается расстоянием этой точки от полюса—длиной радиуса-вектора, выраженной в принятых единицах измерения, и углом между радиусом-вектором и полярной осью. Числа φ и г называются полярными координатами точки М, r—полярным радиусом, а φ —полярным углом. Полярные координаты точки записываются так: М(r; φ).

Если точка М совпадает с полюсом, то г=0, а значение φ не определено. Для любой другой точки плоскости г>0, а значение φ определяется с точностью до слагаемого, кратного 2π.

Если полюс полярной системы координат находится в начале прямо­угольной системы координат, а положительная полуось Ох совпадает с полярной осью, то прямоугольные координаты точки выражаются через ее полярные координаты по формулам

х = r*cos φ,  у = г*sin φ. (7)

Для выражения полярных координат точки через ее прямоугольные координаты используются формулы

(8)

3. После рассмотрения данной теории, разобрать решения следующих задач в тетради: Учебник Н.В. Богомолов “Практические занятия по математике” №17, №25(1), №35, №41, №58, №77.

4. Подводится итог урока. Анализируется работа учащихся.

Домашнее задание:

·         Конспект лекций

·         Глава 17, § 4,5,6,8

·         Решить задачи  №25(3), №33, №36, №64, №70, №78,

№  100(1), № 101(1)

·         Изучить самостоятельно и выполнить конспект главы 21, § 1,2.

Практическая работа №1.

Тема: “Действия над векторами”.

Цель урока: Закрепить основные понятия векторной алгебры в ходе выполнения различных заданий. Оценить знания студентов по данной теме.

План урока:

1.      Цель урока. Проверка домашнего задания.

2.      Математический диктант.

3.      Решение упражнений.

4.      Практическая работа.

5.      Домашнее задание.

Ход урока:

1.      Сообщаю учащимся цель урока. Выполняю проверку домашнего задания на доске.

2.      В рабочих тетрадях выполняют математический диктант.

Математический диктант.

Вопрос 1: Что называется вектором. Способы обозначения векторов.

Вопрос 2: Сформулировать определения коллинеарных векторов. Привести примеры.

Вопрос 3: Сформулировать определение соноправленных векторов. Привести примеры.

Вопрос 4: Сформулировать определение равных векторов. Привести примеры.

Вопрос 5: Сколько равных векторов можно отложить на плоскости от данной точки? Способ построения.

Вопрос 6: Что называется суммой векторов? Сформулировать правила треугольника и параллелограмма.

Вопрос 7: Что называется углом между векторами?

Вопрос 8: Сформулировать определение скалярного произведения векторов. Записать формулу вычисления скалярного произведения.

Вопрос 9: Записать условие коллинеарности, перпендикулярности векторов.

Вопрос 10: Что называется базисом на плоскости? Сформулировать определение прямоугольной системы координат.

Вопрос 11: что называется полярной системой координат? Записать формулы перехода из одной системы в другую.

Вопрос 12: Что называется длиной вектора. Записать формулу вычисления длины вектора.

Вопрос 13: Записать формулы нахождения координат середины отрезка.

3.      В рабочих тетрадях выполняют решения задач, предложенных преподавателем.

Учебник Н.В. Богомолов “Практические занятия по математике” №118, №121, стр. 285.

4.      После выполнения заданий рабочие тетради сдаются на проверку преподавателю. В контрольных тетрадях выполняется практическая работа. Каждый студент получает индивидуальное задание по карточкам.

5.      Подводится итог урока. Выполняется анализ работы студентов.

Домашнее задание.

·         Конспект лекций

·         Разработать кейс-папку на тему “Векторы на плоскости”.

Тема: Общее уравнение прямой и плоскости. Линии и поверхности II порядка.

Цель урока: Рассмотреть общее уравнение прямой и плоскости. Ввести определения кривых второго порядка: окружности, эллипса, гиперболы, параболы с вершиной в начале координат. Закрепит рассмотренные понятия в ходе выполнения заданий.

План урока:

1.      Цель урока. Анализ практической работы.

2.      Объяснение нового материала.

3.      Закрепление нового материала.

4.      Домашнее задание.

Ход урока:

1.      Сообщаю учащимся цель урока. Выполняю анализ практической работы.

2.      В тетрадях записывают лекционный материал.

п.1. Общее уравнение прямой.

Определение: Уравнение первой степени относительно переменных х и у, т. е. уравнение вида

Ах+Ву+С=0

при условии, что коэффициенты А и В одновременно не равны нулю. называется общим уравнением прямой.

Отметим частные случаи общего уравнения прямой.

Значение коэффициента	Вид уравнения	Положение прямой
С=0 А=0  В=0 А=С=0 В=С=0	Ах +Ву=0 Ву+С=0  Ах+С=0 y=Q х=0	Проходит через начало координат Параллельна оси Ох Параллельна оси  Оу Совпадает с осью Ох Совпадает с осью Оу

п. 2. Векторное уравнение прямой.

Пусть l—прямая на плоскости х0у, Мо(хо,уо)—точка на этой прямой, а п=(А; В)—ненулевой вектор, перпендикулярный прямой / (он называется нормальным вектором пря­мой). Возьмём точку М (х, у) - произвольная точка на прямой /, отличная от Мо. Рассмотрим вектор МоМ. Он имеет следующие координаты

МоМ =(Х—Хо, У—Уо)  (*)

Проведём радиус – векторы в каждую из данных точек : r и r₀. Рассмотри треугольник ОМ₀М . По правилу треугольника сложения векторов получаем:

r₀ + МоМ= r

Выразим из данного равенства вектор МоМ, получаем

МоМ = r - r₀   (**)

Так как вектор МоМ  принадлежит прямой l , а вектор п=(А; В) перпендикулярен прямой l, то данные вектора будут перпендикулярными, т.е. п┴ МоМ. По необходимому и достаточному условию перпендикулярности векторов их скалярное произведение должно быть равно нулю. Получаем равенство:

(п∙ МоМ) = 0.

Подставим в полученное равенство вместо вектора МоМ  правую часть равенства (**), получим:

п∙ (r - r₀ ) = 0. (1)

Уравнение (1) называется векторное уравнение прямой.

 Если его переписать в координатной форме, то получится уравнение

А(Х—Хо) +В(У—Уо)=0.

п. 3. Каноническое уравнение прямой.

Пусть l—прямая на плоскости х0у, Мо(хо,уо)—точка на этой прямой, а q=(m; n)—ненулевой вектор, коллинеарный прямой / (он называется направляющим  вектором пря­мой). Возьмём точку М (х, у) - произвольная точка на прямой /, отличная от Мо. Рассмотрим вектор МоМ. Он имеет следующие координаты

МоМ =(Х—Хо, У—Уо)

Так как вектор МоМ  принадлежит прямой l , а вектор q=(m; n) коллинеарен прямой l, то данные вектора будут коллинеарными. По  условию коллинеарности векторов их координаты должны быть пропорциональными. Получаем равенство:

(Х—Хо) / m = (У—Уо) / n (2)

Уравнение (2) называется каноническим уравнением прямой.

п. 4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:

у = kх +b

где k= tga – угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к оси Ох, а b – ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

п.5. Условие параллельности двух прямых.

Условие параллельности двух прямых, заданных общими уравнениями А₁ х+В ₁ у+С=0 и А₂ х+В₂ у+С=0

имеет вид

А₁/А₂=В₁/В₂

Условие параллельности прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами у = k ₁х +b₁ и у = k ₂ х +b₂ имеет вид

k ₁= k _2.

п.6. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки А(х_а ; у_а ) и В(х_в ; у_в ) имеет вид:

у – у_а = ( х – х_а )

                                        Кривые второго порядка.

                                               п.1 Окружность.

Определение: Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки этой плоскости, называемой центром.

Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r имеет вид

 (1)

Уравнение окружности с центром в точке 0₁ (а, b) и радиусом r имеет вид

 (2)

Уравнение окружности в общем виде записывается так:

 (3)

где А, В. Си D—постоянные коэффициенты.

Пример: Составить уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, равным

 Решение: Так как центр окружности находится в начале координат, то для составления уравнения

окружности используем формулу (1):

х² + у² =()² или х² + у² =3.

Ответ: х² + у² =3.

Пример: Составить уравнение окружности с центром в точке (-2;-5) и радиусом равным

3.

Решение: Так как центр окружности находится в (-2;-5), то для составления уравнения

окружности используем формулу (2):

(х-(-2))² +( у-(-5))² =(3)² или (х+2)² + (у+5)² =9.

Ответ: (х+2)² + (у+5)² =9.

                                                   п.2. Эллипс

Определение: Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (2а), большая расстояния между фокусами (2с).

Уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Ох, имеет вид

 (1)

где а—длина большой полуоси; b —длина малой полуоси (рис. ). Зависимость между параметрами а, b  и с выражается соотношением

 (2)

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния 2с к большой оси 2а:

 (3)

Если фокусы эллипса лежат на оси Оу  (рис. ), то его уравнение имеет вид

 (4)

Во всех задачах на эллипс предполагается, что оси симметрии эллипса совпадают с осями координат.

      

п. 3. Гипербола.

Определение: Гиперболой называется      множество точек плоскости, абсолютная вели­чина разности расстояний     которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (2а), меньшая расстояния между фокусами (2с).

Уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси Ох, имеет вид

 (1)

где а—длина действительной полуоси; b—длина мнимой полуоси (рис.)  Зависимость между параметрами а, b и с выражается соотношением

 (2)

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстоя­ния к ее действительной оси:

 (3)

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

 (4)

Если действительная и мнимая оси гиперболы равны (т. е. a= b ), то гипербола называется равносторонней. Уравнение равносторонней гипер­болы записывается в виде

 (5)

а уравнения ее асимптот

 (6)

Если фокусы гиперболы лежат на оси Оу (рис. ), то ее уравнение имеет вид

 (7)

а уравнения асимптот такой гиперболы

 (8)

п. 4. Парабола с вершиной в начале координат.

Определение: Параболой называется множество точек на плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой фокусом и отданной прямой, называемой директрисой.

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Ох и ветви направлены вправо, имеет вид

 (1)

где р>0 (параметр параболы)—расстояние от фокуса до директрисы. Уравнение ее директрисы х=—р/2. (рис. а)

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Ох и ветви направлены влево (рис. б), имеет вид

 (2)

Уравнение ее директрисы х=р/2.

3.      После рассмотрения новой темы разбираем в тетрадях примеры задач из учебника Н.В. Богомолов “Практические задачи по математике”, стр. 310, №48, №74, №90.

4.      Подводится итог урока. Анализируется работа учащихся.

Домашнее задание.

·         Конспект лекций.

·         Задачи из учебника №52, №72, №91.

Практическая работа №2.

Тема: Кривые второго порядка.

Цель урока: Обеспечить усвоение знаний по теме “Кривые второго порядка”. Закрепить полученные знания по данной тема. Оценить знания студентов.

План урока:

1.      Цель урока. Проверка домашнего задания.

2.      Устная работа.

3.      Решение задач.

4.      Практическая работа.

5.      Домашнее задание.

Ход урока:

1.      Сообщаю учащимся цель урока. Выполняю проверку домашнего задания. Разбираю на доске задачи, вызвавшие затруднения.

2.     Устная работа:

Вопрос 1: Что называется общим уравнением прямой? Привести примеры.

Вопрос 2: Записать всевозможные случаи общего уравнения прямой. Привести примеры.

Вопрос 3: Сформулировать условие параллельности прямых. Привести примеры параллельных прямых.

Вопрос 4: Какие кривые второго порядка вы знаете?

Вопрос 5: Сформулировать определение окружности. Записать уравнения окружностей в зависимости от расположения центра.

Вопрос 6: Что называется эксцентриситетом эллипса? Записать формулу вычисления е.

Вопрос 7: Перечислить координаты вершин и фокусов у эллипса.

Вопрос 8: Что называется гиперболой? Записать уравнение гиперболы.

Вопрос 9: Сколько вершин у гиперболы? Записать их координаты.

Вопрос 10: Записать уравнения асимптот гиперболы.

Вопрос 11: Что называется параболой? Записать уравнение параболы, ветви которой направлены вправо; влево?

3.      После устного опроса разбираем решение задач на доске:

Учебник Н.В. Богомолов “Практические задания по математике”, стр. 312, №55, №58, №79, №95(1).

4.      Рабочие тетради сдаются на проверку преподавателю. В контрольных тетрадях выполняется практическая работа. Каждый студент получает индивидуальное задание по карточкам.

5.      Подводится итог урока.

Домашнее задание.

·         Конспект лекций.

·         Учебник Н.В. Богомолов “Практические задания по математике”, стр. 312, №60, №81, №96.

·         Разработать кейс-папку по теме “Кривые второго порядка”

Тема: Предел функции. Теоремы о пределах. Два “замечательных” предела.

Цель урока: Ввести определение предела функции. Сформулировать теоремы о пределах. Рассмотреть способы вычисления пределов. Записать два “замечательных” предела.

План урока:

1.      Цель урока.

2.      Объяснение нового материала.

3.      Закрепление нового материала.

4.      Домашнее задание.

Ход урока:

1.      Сообщаю учащимся цель урока. Выполняю анализ практической работы.

2.      Начнём рассмотрение новой темы с рассмотрения графика функции:

    Найдём по графику значение функции при х стремящемся к 2. Значение функции стремится к 6. Число 6 является пределом функции при х стремящемся к 2.

Определение: Число А называется пределом функции f(x) при х → а, если для любого числа ε>0 можно указать такое δ>0, что для любого ха, удовлетворяющего неравенству 0<|х—а|<δ, выполняется неравенство

f(x) —A<ε. В этом случае пишут lim f(x) =A.

                                                   ^х→а 

Определение: Функция f(x) называется бесконечно малой при х→а, если lim f (x)=0.

     Функция f(x) называется бесконечно большой при х→а, если lim f (x)=∞.

Отметим свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций

1°. Если функции f(x) и g(х ) —бесконечно малые при х→а, то их сумма f(x)+ g(х ) при х→а также является бесконечно малой.

2°. Если функция f(x)—бесконечно малая при х→а, a F(x)—ограничен­ная функция, то их произведение f(x) F (х) есть функция бесконечно малая.

Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая.

3°. Если при х→а функция f(x) имеет конечный предел limf(x)=A, a

функция φ(х)— бесконечно большая, то

4°. Если функция f(x) —бесконечно малая при х→а, то функция 1 /f(x)—бесконечно большая, причем предполагается, что в окрестности точки а функция f(x) не обращается в нуль. Наоборот, если при х→а функция φ(х) - бесконечно большая, то функция 1/ φ(х)  - бесконечно малая.

Между бесконечно малой функцией и функцией, имеющей конечный предел, существует следующая зависимость:

Если функция f(x) имеет конечный предел при х→а, то ее мож­но представить в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции при х→а. Наоборот, если функция f(x) может быть представлена в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции при х→а, то эта функция имеет конечный предел при х→а, который равен значению постоянной.

Теоремы о пределах.

 Теорема 1. Если существуют пределы функций f(x) и φ(х), то существует также и предел их суммы, равный сумме пределов функций f(x) и φ(х)

Теорема 2. Если существуют пределы функций f(x) и φ(х) при х→а, то существует также и предел их произведения, равный произведению пределов функций f(x) и φ(х):

Теорема 3. Если существуют пределы функций f(x) и φ(х) при х→а и предел функции φ(х) отличен от нуля, то существует также предел отношения f(x)/ φ(х), равный отношению пределов функций f(x) и φ(х)

Следствия

 1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

2. Если n—натуральное число, то

3. Предел многочлена (целой рациональной функции)

lim P(x)=P(a).

                                                               ^х→а

4. Предел дробно-рациональной функции

при х→а равен значению этой функции при х=а, если а принадлежит области определения функции, т. е. lim R(x)=R(a).

                      ^х→а

Пример 1: Вычислить пределы

а)  б)  в)

Решение:

а) Здесь пределы числителя и знаменателя при x→0 равны нулю. Непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного значения вычислить предел нельзя, так как при x→0 получается отношение двух бесконечно малых величин.

Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю, и, следовательно, сделать возможным применение теоремы 3. Нужно иметь в виду, что здесь не производится сокращение на нуль, что недопустимо. По определению предела функции аргумент х стремится к своему предельному значению, никогда не принимая этого значения; поэтому до перехода к пределу можно произвести сокращение на множитель, стремящийся к нулю. Имеем

б) Пределы числителя и знаменателя при х→3 равны нулю. Разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители по формуле ax² + bx + c = a(x—х₁)(x—x₂), где х₁ и х₂— корни трехчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим дробь на х-3. Используя следствие 4, получим

в) Пределы числителя и знаменателя при х→0 равны нулю. Умножим числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель  и затем сократив дробь на х, получим

Пример 2: Вычислить пределы

а)  б)  в)  г) .

Решение:

а) Первые три слагаемых при х→ ∞ пределов не имеют, поэтому следствием 3 непосредственно воспользоваться нельзя. Вынося х³ за скобки, получим

б) При х→∞ знаменатель 4х+1 неограниченно растет, т.е. является

величиной бесконечно большой, а обратная величина бесконечно малой. Произведение 5 бесконечно малой на ограниченную величину постоянная (частный случай ограниченной величины) есть величина беско­нечно малая, и предел ее при х→∞ равен нулю. Следовательно,

в) При х→ ∞ числитель и знаменатель—величины бесконечно боль­шие. Поэтому при непосредственном применении теоремы 3 получаем выражение ∞ /∞ , которое представляет собой неопределенность. Для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель разделить

на х:

г) Разделим числитель и знаменатель на наивысшую степень аргумента в знаменателе, т.е. на х³:

При х→∞ имеем

Так как знаменатель есть величина ограниченная, то

3.      Учащимся предлагается на закрепление решить следующие задания:

Учебник Н. В. Богомолов “Практические занятия по математике”, стр. 80, №5 - №19.

Два “замечательных” предела.

Многие пределы решаются с помощью замечательных пределов:

1) lim (1+^х = е.       2) lim=1.

    ^{х→∞                                                                 х→0} 

Разбираются несколько примеров на вычисление пределов с использованием первого и второго замечательного предела.

4.      Подводится итог урока. Оценивается работа учащихся.

Домашнее задание

·         Конспект лекций.

·         Разобрать примеры, рассмотренные на лекции.

·         Решить примеры, которые не успевают решить в классе.

Краткое описание документа:

Рассмотреть основные понятия векторной алгебры, правила действий над векторами, заданными своими координатами. Ввести понятие полярной системы координат.