Одним из сложных разделов математики является
решение задач.
Сложным он является потому что для решения задач
учащемуся необходимо иметь навык логического мышления, умения устанавливать
связь в предметах и действиях, понимать смысл текста (условия задачи). Если
учащийся не осмыслил условие задачи, то, естественно, и решить ее он не сможет.
Задачи на части. Само название вида задач говорит о том, что
рассматриваемые в них величины состоят из частей. В некоторых из
них части представлены явно, в других надо суметь выделить, приняв подходящую
величину за 1 часть и определив, из скольких таких частей состоят другие
величины, о которых идет речь в задаче.
Рассмотрим
некоторые задачи данного вида, для решения которых некоторую величину можно
принять за одну или несколько частей. При решении таких задач бывает полезно
делать рисунки, облегчающие решение.
Задача 1. В двух
коробках лежит 120 дисков – в первой коробке в 3 раза больше дисков, чем во
второй. Сколько дисков лежит в каждой коробке?
Решение:
Представим содержимое
коробок в виде частей. Если диски, находящиеся во второй коробке, составляют 1
часть, то в первой коробке – 3 такие части. Сделаем схематический рисунок:
1) Сколько частей
составляют 120 дисков?
1 + 3 = 4 (части)
2) Сколько дисков
приходится на 1 часть?
120 : 4 = 30
(дисков)
3) Сколько дисков
находится в первой коробке?
30 · 3 = 90
(дисков)
Ответ: 90 – в
первой коробке, 30 – во второй.
Задача 2. Некто
заплатил за книжку на 120 рублей больше, чем за тетрадь. Известно, что книга
дороже тетради в 4 раза. Сколько стоит книга?
Решение:
Представим
стоимость в виде частей. Если стоимость тетради составляет 1 часть, то
стоимость книги составляет 4 такие же части. Сделаем схематический рисунок:
1) 4 - 1 = 3
(части) – приходится на 120 рублей.
2) 120 : 3 = 40
(рублей) – приходится на 1 часть.
3) 4 · 40 = 160
(рублей) – стоит книга.
Ответ: книга стоит
160 рублей.
Задача 3. В первой
коробке на 6 карандашей больше, чем во второй, а в двух вместе 30 карандашей.
Сколько карандашей в каждой коробке?
Решение:
Сделаем
схематический рисунок:
1) Если из первой
коробки вынуть 6 карандашей, в ней станет столько же карандашей, сколько и во
второй:
30 - 6 = 24
(кар.)
2) Найдём число
карандашей в каждой из коробок:
24 : 2 = 12
(кар.)
3) Теперь вернём
6 карандашей в первую коробку:
12 + 6 = 18
(кар.)
Ответ: в первой
коробке 18 карандашей, во второй – 12.
Задача 4. В первой пачке было на 10 тетрадей больше, чем во второй.
Всего было 70 тетрадей. Сколько тетрадей было в каждой пачке?
Решение: В задаче рассматриваются две пачки тетрадей. Всего
тетрадей 70. В одной пачке на 10 тетрадей больше. Требуется узнать количество
тетрадей в каждой пачке.
Изобразим при помощи отрезка
количество тетрадей в первой и во второй пачке.
1
10 т.
?
2 ?
70 т.
По чертежу видно, что если
тетради во второй пачке составляют 1 часть всех тетрадей, то тетради в первой
пачке составляют 1 часть и еще 10 тетрадей.
Если эти 10 тетрадей убрать
из первой пачки, то в пачках станет поровну. Запишем решение по действиям.
1)
70 – 10 = 60 (т) – столько тетрадей приходится на 2 равные части, или столько
было бы тетрадей в двух пачках, если бы их было поровну;
2)
60 : 2 = 30 (т) – столько тетрадей приходится на 1 часть, или столько
тетрадей было во второй пачке;
3)
30 + 10 = 40 (т) – столько тетрадей было в первой пачке.
Мы использовали при решении
вспомогательную модель – чертеж, которая показывает и второй способ решения.
Если за 1 часть принять тетради в первой пачке, то чтобы во второй стало
столько же, надо к ней прибавить 10 тетрадей:
2)
70 + 10 = 80 (т.)
3)
80 : 2 = 40 (т.)
4) 40
– 10 = 30 (т.)
Существует и третий
арифметический способ решения данной задачи:
1)
10 : 2 = 5(т.) – столько тетрадей надо переложить из первой пачки во вторую,
чтобы в них стало поровну;
2)
70 : 2 = 35 (т.) – столько тетрадей в каждой пачке, если из первой переложить
во вторую 5 тетрадей;
3)
35 + 5 = 40 (т.) – столько тетрадей в первой пачке;
4)
35 – 5 = 30 (т.) – столько тетрадей во второй пачке.
Ответ: в первой пачке 40 тетрадей, во второй – 30 тетрадей.
Задачи для самостоятельной работы.
1.
Чтобы
приготовить овощной салат, на 10 частей картофеля берут 3 части свеклы и 2 части моркови.
Сколько картофеля надо взять, если для салата имеется 150 г свеклы?
2.
Спортивная
школа получила 120 мячей. Из них 2 части составляли волейбольные мячи, 5 частей
футбольные и 3 части баскетбольные. Сколько мячей получила каждая спортивная
секция?
3.
Пальто в
6 раз дороже шапки. Сколько стоит шапка, если за всю покупку заплатили 238
рублей?
4.
На
пароходе было 240 пассажиров, причем мужчин было в три раза меньше, чем женщин,
а детей столько же, сколько мужчин и женщин вместе. Сколько было на пароходе
мужчин, женщин и детей в отдельности?
5.
Чтобы
приготовить фасолевый салат, на 7 частей фасоли берут 4 части курицы и 2 части сыра. Сколько фасоли надо взять, если для
салата имеется 360 г
курицы?
6.
Три
класса собрали 1500 кг макулатуры. Первый класс собрал 2 части, второй 3 части,
а третий - 5 частей всей массы. Сколько кг макулатуры собрал каждый класс
школьников?
7.
Стол в 2
раза дешевле шкафа. Сколько стоит стол, если за всю покупку заплатили354 рубля?
8. Тесто для вареников содержит 16 частей
творога, 3 части
муки, 3 части
сметаны и 3 части
сахара. Найдите массу каждого продукта, необходимого для приготовления 1 кг теста.
9. Для компота взяли 6 частей
яблок, 5 частей
груш и 3 части
слив. Груш и слив вместе было 2 кг 400 г. Какова была общая масса всех фруктов?
10. В магазин завезли 540 кг огурцов, помидоров
и картофеля, причем помидоров было в два раза больше, чем огурцов, а картофеля
столько, сколько помидоров и огурцов вместе. Сколько килограммов овощей каждого
вида завезли в магазин?
11. Для варенья на 2 части
малины берут 3 части сахара. Сколько килограммов сахара следует взять на
2 600 г ягод?
12. Шоколадные конфеты
составляют 3 части, карамель – 2 части, ириски – 5 частей всех конфет. За
карамель с ирисками заплатили 140 рублей. Сколько заплатили за шоколадные
конфеты?
13. Купили 90 тетрадей в
клетку и в линейку, причем тетрадей в клетку взяли 4 части, а в линейку-1
часть. Сколько купили тетрадей в клетку? Сколько купили тетрадей в
линейку?
14. Для варенья на 2 части
малины берут 3 части сахара. Сколько килограммов малины было у мамы,
если для варки варенья она приготовила 4 500 г сахара?
15. Шоколадные конфеты
составляют 2 части, карамель – 4 части, ириски – 3 частей всех конфет.
Определите массу всех конфет, если масса ирисок и карамели – 210 грамм.
16. В плацкартном вагоне
было 3 части спальных мест, и 1 часть спальных мест в мягком вагоне. Всего в
плацкартном и мягком вагонах 72 спальных места. Сколько спальных мест в
мягком вагоне?
17.
В бочке 40 л. воды. Отлили воды в 3 раза
больше, чем осталось. Сколько воды осталось в бочке?
18.
У брата в 2 раза больше марок, чем у
сестры, а всего у них 120 марок. Сколько марок у брата?
19.
Альбом в 4 раза дороже тетради, а тетрадь
на 21 р. дешевле альбома. Сколько стоит альбом?
20.
Пальто в 6 раз дороже шапки. Сколько
стоит шапка, если за всю покупку заплатили 238 рублей?
21. Три
класса собрали 1500 кг макулатуры. Первый класс собрал 2 части, второй 3 части,
а третий - 5 частей всей массы. Сколько кг макулатуры собрал каждый класс
школьников?
22.
В бочке 50 л. воды. Отлили воды в 4 раза
больше, чем осталось. Сколько воды осталось в бочке?
23.
У сестры в 3 раза больше марок, чем у
брата, а всего у них 120 марок. Сколько марок у сестры?
24.
Книга в 10 раз дороже блокнота, а блокнот
на 50 р. дешевле книги. Сколько стоит книга?
25.
Стол в 2 раза дешевле шкафа. Сколько
стоит стол, если за всю покупку заплатили 354 рубля?
26.
Требуется смешать 3 части песка и 2 части
цемента. Сколько цемента и песка
нужно взять отдельно, чтобы получить 30 кг смеси?
27.
Для компота купили 1800 г сухофруктов.
Яблоки составляют 4 части, груши
3 части, сливы 2 части общего веса всех фруктов. Сколько граммов яблок,
груш и слив было в отдельности?
28.
Яблоки составляют 7 частей, груши 4 части,
сливы 5 частей общего веса
сухофруктов. Найдите общий вес сухофруктов, если в них содержится 160 г груши?
29.
При пайке изделий из жести применяют сплав,
содержащий 2 части свинца и 5 частей олова
а) Кусок сплава весит 350 г. Сколько в нем содержится свинца и сколько
олова?
б) Сколько свинца и олова содержит кусок сплава, в котором олова на 360 г больше,
чем свинца?
30.
При помоле на каждые 3 части муки
получается 1 часть отходов. Сколько
смололи ржи, если муки получилось на 36 ц больше, чем отходов?
31.
Взяли 6 частей яблок, 5 частей груш и 3
части слив. Груш и слив вместе
2 кг 400 г. Сколько всего сухофруктов?
32.
Купили 60 тетрадей, причем тетрадей в
клетку было в 2 раза больше, чем
тетрадей в линейку. Сколько частей приходится на тетради в линейку; на
тетради в клетку; на все тетради. Сколько купили тетрадей в клетку,
сколько в линейку?
33.
На первой полке стояло в 3 раза больше
книг, чем на второй. На двух полках
вместе – 420 книг. Сколько книг стояло на каждой полке?
34.
За рубашку и галстук папа заплатил 140
руб. Рубашка дороже галстука
в 4 раза. Сколько стоит галстук?
35.
Девочка прочитала в 3 раза меньше
страниц, чем ей осталось прочитать.
Всего в книге 176 страниц. Сколько страниц прочитала девочка?
36.
Надо разложить в два пакета 56 орехов так,
чтобы в одном было в 3 раза
больше, чем в другом. Сколько орехов надо положить в каждый пакет?
37.
В отрывном календаре 366 листов. К
сентябрю в календаре осталось листов в
2 раза меньше, чем оторвали. Сколько листов оторвали?
38.
Ученик купил тетрадей в клетку в 3 раза
больше, чем тетрадей в линейку.
Причем их было на 18 больше, чем тетрадей в линейку. Сколько тетрадей
купил ученик?
39.
На первой полке стояло в 4 раза больше
книг, чем на второй. Это на 12 книг
больше, чем на второй полке. Сколько книг стояло на каждой полке?
40.
За три дня Митя прочитал 84 страницы. В
первый день он прочитал в 3 раза
больше чем во второй, а в третий – 16 страниц. Сколько страниц прочитал
Митя в первый день?
41.
Кусок ткани длиной 76 м разрезали на 3
части. Первая из них имеет длину
25 м, а вторая в 2 раза короче третьей. Найдите длину второй и третьей
части.
42.
Дочка младше мамы в 4 раза и младше
бабушки в 9 раз. Сколько лет
каждой, если вместе им 98 лет?
43.
У Сережи в коллекции в 3 раза меньше
марок, чем у Васи, а у Андрея
в 2 раза больше, чем у Васи. Сколько марок у каждого, если у Андрея
на 80 марок больше, чем у Сережи?
44.
В двух коробках 36 кусков мела. Когда из
одной коробки израсходовали
12 кусков мела, то в ней стало в 3 раза меньше мела, чем в другой. Сколько
кусков мела было в каждой коробке первоначально?
45.
В двух банках 5 л молока. Когда в одну
банку добавили 1 л, то в ней стало в 2 раза больше молока, чем в другой.
Сколько литров молока было в каждой банке первоначально?
46.
В трех больших пакетах и четырех маленьких
содержится 550 г печенья. Сколько граммов в маленьком пакете, если в него
входит в 2 раза меньше печенья, чем в большом?
47.
В шести маленьких коробках на 12
карандашей больше, чем в двух больших. Сколько карандашей во всех маленьких
коробках и сколько во всех больших, если в одной маленькой коробке в 2 раза
меньше карандашей, чем в большой?
48.
Я провел год в деревне, в Москве и в дороге — и
притом в Москве в 8 раз более времени, чем в дороге, а в деревне в 8 раз более,
чем в Москве. Сколько дней провел я в дороге, в Москве и в деревне?
49.
При изготовлении кофейного
напитка «Ячменный» на 4 части ячменя берут 1 часть цикория. Сколько пачек
напитка изготовлено, если каждая пачка весит 250 г,
и на изготовление партии напитка израсходовано ячменя на 36 кг больше, чем цикория?
50.
При изготовлении кофейного
напитка «Наша марка» на 7 частей кофе берут 6 частей цикория, 5 частей желудей
и 2 части каштанов. Сколько пачек напитка изготовлено, если каждая пачка весит
200 г, а кофе и цикория вместе
израсходовали 26 кг?
51.
Календарь дороже общей тетради в 2 раза,
а вместе они стоят 9 р. Сколько стоит календарь?
52.
Мальчик и девочка рвали в
лесу орехи. Всего они сорвали 120 штук. Девочка сорвала в два раза меньше
мальчика. Сколько орехов было у мальчика и девочки в отдельности?
53.
Девочка прочитала в 3 раза
меньше страниц, чем ей осталось прочитать. Всего в книге 176 страниц. Сколько
страниц прочитала девочка?
54. Чтобы сварить рисовую кашу, надо взять 4 части
крупы и 6 части воды. Сколько потребуется воды, если в кастрюлю положили 160 г
крупы?
55. Для приготовления пшенной каши надо взять 2
части пшена, 3 части молока и 5 частей воды. Сколько молока надо взять , если
получилось 220 г каши?
56. В сплаве содержится 2 части меди и 1 часть
цинка. Сколько меди содержится в 630 г сплава?
57. На трех полках расставили чашки так, что
на второй полке чашек вдвое больше, чем на первой, а на третьей втрое больше ,
чем на второй. Сколько чашек на каждой полке, если всего их 27?
58. Мальчик разрезал провод на две части так, что
одна из них оказалась в 6 раза длиннее другой. Какова первоначальная длина
провода, если меньшая часть на 35 см короче большей ?
Задача 52 взята из повести Н. Носова «Витя
Малеев в школе и дома», дающей довольно точное описание характерных ошибок
учащихся и самой процедуры поиска решения.
«Прочитал я задачу и даже смех разобрал. «Вот
так задача! — думаю. — Чего тут не понимать? Ясно. 120 надо поделить на 2,
получится 60. Значит, девочка сорвала 60 орехов. Теперь нужно узнать, сколько
мальчик: 120 отнять 60, тоже будет 60. Только как же это так? Получается, что
они сорвали поровну, а в задачнике сказано, что девочка сорвала в 2 раза меньше
орехов. Ага! — думаю. — Значит, 60 надо поделить на 2, получится 30. Значит,
мальчик сорвал 60, а девочка 30 орехов». Посмотрел в ответ; а там: мальчик 80,
а девочка 40».
Витя смог решить задачу лишь тогда, когда
нарисовал девочку в переднике с одним карманом, а мальчика в курточке с двумя
карманами.
«Все 120 орехов теперь лежали у них в трех
карманах: в двух карманах у мальчика и в одном кармане у девочки, а всего,
значит, в трех. И вдруг у меня в голове, будто молния, блеснула мысль: «Все 120
орехов надо делить на три части!»
Надо сказать, что первое действие, к которому с
таким трудом пришел Витя Малеев, вызывает большие трудности у учащихся, этот
шаг решения задач «на части» требует специальной отработки, которая будет тем
успешнее, чем активнее учащиеся опираются на наглядные образы.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.